RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

Transkripsi

1 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT)

2 RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol Operation Research dan lain-lain

3 Ruang Vektor Umum Misalkan u, v, w V dan k, l Riil V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan. Untuk setiap u, v V maka u v V 2. u v v u 3. u v w u v w 4. Terdapat 0 V sehingga untuk setiap u V berlaku u 0 0 u u 5. Untuk setiap u V terdapat u sehingga u u u u 0

4 6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar. Untuk setiap u V dan k Riil maka k u V 7. k u v ku kv 8. k l u ku lu 9. k l u l k u kl u u u

5 Contoh : 1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar). Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n) R : Bilangan real R2 : Vektor di bidang R3 : Vektor di ruang tiga dimensi 2. Himpunan matriks berukuran m x n dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar), Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn) 3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar. Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

6 Ruang Euclides orde n Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides: Penjumlahan u v u1 v1, u 2 v 2,..., u n v n Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k) ku ku1, ku 2,..., ku n Perkalian Titik (Euclidean inner product) u v u1v1 u 2 v 2... u n v n Panjang vektor didefinisikan oleh : u u u u1 u 2... u n 2 Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh : d u, v u v u1 v1 2 u 2 v u n v n 2

7 Contoh : Diketahui u 1, 1, 2, 3 dan v 2, 2, 1, 1 Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut Jawab: Panjang vektor : u u u Jarak kedua vektor v d u, v u v

8 Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V. W dinamakan subruang (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Syarat W disebut subruang dari V adalah : 1. W { } 2. W V 3. Jika u, v W maka u v W 4. Jika u W dan k Riil maka k u W

9 Contoh 1: Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan subruang dari ruang vektor matriks 2x2 Jawab : 0 0 W maka W 1. O Jelas bahwa W M2x2 3. Ambil sembarang matriks A, B W 0 b1 0 a1 dan B Tulis A a2 0 b2 0

10 Perhatikan bahwa : 0 a1 0 b1 A B b a a1 b1 0 a b Ini menunjukan bahwa A B W 4. Ambil sembarang matriks A W dan k Riil, maka 0 ka ka2 ka1 W 0 Ini menunjukan bahwa ka W Jadi, W merupakan Subruang dari M2x2.

11 Contoh 2 Apakah W sub ruang dari ruang vektor R3 jika W didefinisikan sebagai {(a,b,c) dimana a.b.c = 0} Jawab W = {(a,b,c) dimana a.b.c = 0, a,b,c R} Vektor (0,0,0) W W { } dan W R3 Misalkan a = (0,1,2), b = (2,1,0) adalah vector di W c = a + b = (2,2,2) c bukan vector di W karena = 8 0 W bukan sub ruang di R3 * Jika c di W, kita tidak dapat membuat kesimpulan bahwa W sub ruang dari R3

12 Contoh 3: Periksa apakah himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol merupakan subruang dari ruang vektor M2x2 Jawab : a b a b W= det 0, a, b, c, d R c d c d W, maka W Jelas bahwa W M 2 2

13 3. Misalkan ambil sembarang matriks A, B W. Pilih a b : a b, jelas bahwa det (A) = 0 A , jelas bahwa det (B) = 0 B b a A B a b = b a Karena a b Maka det (A + B ) = a2 b2 0 Jadi W bukan merupakan subruang karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

14 Contoh 4 Tunjukkan bahwa W : garis yang berasal dari titik pusat di bidang adalah sub ruang dari ruang vektor R2 Jawab W = {(x,y) ax + by = 0, a,b R} W {} 1. Garis x + y = 0 dan x y = 0 W 2. Misalkan Garis1: a1x + b1y = 0 dan Garis2 : a2x + b2y = 0 adalah garis di W W R2 3. Garis3 = Garis1+Garis2 = (a1+a2)x + (b1+b2)y = 0 ada di W 4. k Garis1= ka1x + kb1y = 0 ada di W Maka, W sub ruang di R2

15 Sebuah vektor u dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2,, vn jika vektor-vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk : u k1v1 k 2v2... k n vn dimana k1, k2,, kn adalah skalar riil.

16 Contoh Misal u (2, 4, 0) dan v (1, 1, 3) adalah vektor-vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas a. a (4, 2, 6) b. b (1, 5, 6) c. c (0, 0, 0)

17 Jawab : a. Tulis k1u k 2 v a akan diperiksa apakah ada k1, k2, sehingga kesamaan tersebut dipenuhi k1 4 k Ini dapat ditulis menjadi: k1 4 2 k 6 2

18 dengan OBE, diperoleh: ~ ~ Dengan demikian, k1 = 1 dan k2 = 2 a merupakan kombinasi linear dari vektor u dan v atau a u 2v

19 b. Tulis : k1u k 2 v b 2 k1 4 k ini dapat ditulis menjadi: k1 5 k2 6

20 dengan OBE dapat kita peroleh : ~ ~ ~ Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa SPL tersebut adalah tidak konsisten (tidak mempunyai solusi). Jadi, tidak ada nilai k1 dan k2 yang memenuhi b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan v

21 c. Dengan memilih k1 = 0 dan k2 = 0, maka dapat ditulis k1u k 2 v c artinya vektor nol merupakan kombinasi linear dari vektor apapun.

22 LATIHAN Misalkan u = (1, 2, -1) dan v = (6, 4, 2) adalah vektor di R3. Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor di atas a. a = (9, 2, 7) b. b = (4, -1, 8) c. c = (2, 6, 10)

23 Definisi membangun dan bebas linear Himpunan vektor S v1, v 2,..., v n dikatakan membangun suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di S. Contoh : Tentukan apakah v1 = (1, 1, 2), v2 = (1, 0, 1), dan v3 = (2, 1, 3) membangun V???

24 Jawab : Ambil sembarang vektor di R2 misalkan. Tulis :. u1 u u2 u 3 u k1 v1 k 2 v 2 k 3 v 3 Sehingga dapat ditulis dalam bentuk : k1 u k u 2 2 u k3 3

25 Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) Dengan OBE diperoleh : Agar SPL itu konsisten haruslah u3 u2 u1 = 0 Ini kontradiksi dengan pengambilan vektor sembarang (unsur-unsurnya bebas, tak bersyarat) Dengan demikian, vektor-vektor tersebut tidak membangun R3

26 Misalkan S u1, u 2,..., u n adalah himpunan vektor diruang vektor V S dikatakan bebas linear (linearly independent) JIKA SPL homogen : k1u1 k2u2... kn un 0 hanya mempunyai satu solusi (tunggal), yakni k1 0, k 2 0,..., k n 0 Jika solusinya tidak tunggal, maka S kita namakan himpunan tak bebas linear (Bergantung linear / linearly dependent)

27 Contoh : Diketahui u 1, 3, 2 dan a 1, 1, 1 Apakah saling bebas linear di R3 Jawab : Tulis k1u k 2 a 0 atau -1 1 k k

28 dengan OBE dapat diperoleh : ~ ~ dengan demikian diperoleh solusi tunggal yaitu : k1 = 0, dan k2 = 0. Ini berarti ū dan ā adalah saling bebas linear.

29 Contoh : Misalkan, 1 a 3 2, 2 1 b 1 c Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear R3 Jawab : Tulis : 0 k1 a k 2 b k 3 c atau 2 k k k 0 3

30 dengan OBE diperoleh : ~ Ini menunjukan bahwa k1, k2, k3 merupakan solusi tak hingga banyak Jadi a, b, c adalah vektor-vektor yang bergantung linear.

31

32 Basis dan Dimensi Jika V adalah sembarang ruang vektor dan S = { ū1, ū2,, ūn } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor di V, maka S dinamakan basis bagi V jika kedua syarat berikut dipenuhi : S membangun V S bebas linear

33 Contoh : Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut : M , , 12 4, 1 2 merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 Jawab : Tulis kombinasi linear : k3 k1 k atau 3k1 k 4 3k1 k 2 12k 3 k k4 1 0 a b 1 2 c d 6k1 k 2 8k 3 a b 6k1 4k 3 2k 4 c d

34 dengan menyamakan setiap unsur pada kedua matriks, diperoleh SPL : k1 a k b k3 c k 4 d Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 det(mk) 0 SPL memiliki solusi untuk setiap a,b,c,d Jadi, M membangun M2 x 2 Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, det(mk) 0 SPL homogen punya solusi tunggal. Jadi, M bebas linear.

35 Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 maka M merupakan basis bagi M2 x 2. Ingat Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. Contoh : Untuk ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks : , 0 0, 1 0, 0 1 juga merupakan basisnya.

36 Misalkan matriks : A Vektor baris Vektor kolom dengan melakukan OBE diperoleh : Perhatikan kolom-kolom pada matriks hasil OBE

37 matriks A mempunyai basis ruang kolom yaitu : 1 1 1, basis ruang baris diperoleh dengan cara, mentransposkan terlebih dahulu matriks A, lakukan OBE pada At, sehingga diperoleh :

38 Kolom-kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki satu utama berseseuaian dengan matriks asal (A). Ini berarti, matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris : , Dimensi basis ruang baris = ruang kolom dinamakan rank. Jadi rank dari matriks A adalah 2.

39 Contoh : Diberikan SPL homogen : 2p + q 2r 2s = 0 p q + 2r s =0 p + 2q 4r + s = 0 3p 3s =0 Tentukan basis ruang solusi dari SPL diatas Jawab : SPL dapat ditulis dalam bentuk :

40 dengan melakukan OBE diperoleh : Solusi SPL homogen tersebut adalah : p 1 0 q 0 2 r 0 a 1 b s 1 0 dimana a, b merupakan parameter.

41 Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas adalah : 1 0 0, Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

42 Latihan Bab Nyatakanlah matriks 0 8 sebagai kombinasi linear dari matriks berikut : , , dan Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear! a. {6 x2, 6 + x + 4x2 } b. {1 + 3x + 3x2, x + 4x2, 5 + 6x + 3x2, 7 + 2x x2} 3. Periksa, apakah himpunan A = {6 x2, 6 + x + 4x2 } membangun polinom orde 2!

43 4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan basis bagi polinom orde 2 (P2) a. {4 + 6x + x2, 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x x2} b. { 4 + x + 3x2, 6 + 5x + 2x2, 8 + 4x + x2} 5. Misalkan J a bx cx 2 a 2 b 2 c 2 merupakan himpunan bagian dari ruang vektor Polinom orde dua. Periksa apakah J merupakan sub ruang dari ruang vektor Polinom orde dua Jika ya, tentukan basisnya

44 6. Diberikan SPL homogen : p + 2q + 3 r = 0 p + 2q 3 r = 0 p + 2q + 3 r = 0, Tentukan basis ruang solusi (buktikan) dan tentukan dimensinya. 7. Tentukan rank dari matriks :