Aljabar Linier & Matriks

Transkripsi

1 Aljabar Linier & Matriks 1

2 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n bilangan riil dinyatakan sebagai (a1, a2,, an) disebut berada dalam ruang n atau R n. Dua vektor u = (u1, u2,,un) dan v =(v1, v2,,vn) dalam R n adalah sama jika 2

3 Jumlahan vektor u dan v didefinisikan sebagai: Jika k adalah skalar maka Vektor nol dalam R n didefinisikan sbg: Jika vektor u = (u1, u2,,un) dalam R n maka negatif vektor u didefinisikan sbg: Beda antara dua vektor dalam R n didefinisikan sbg: 3

4 Examples Data eksperimental Seorang ilmuan melakukan eksperimen dan membuat n pengukuran numerik setiap satu kali eksperimen. Hasilnya dapat dinyatakan sebagai vektor y=(y1, y2,,yn) dalam R n dengan y1, y2,, yn adalah hasil pengukuran. Gambar atau citra Salah satu cara untuk menampilkan gambar (citra) berwarna pada layar komputer adalah dengan menambahkan informasi hue, saturasi, dan kecerahan (brightness) pada tiap pikselnya. Dengan demikian gambar berwarna dinyatakan dalam vektor 5 dimensi, misalnya v = ((x, y, h, s, b); x dan y menyatakan posisi koordinat piksel pada layar, h = hue, s = saturasi, dan b = kecerahan. 4

5 Sifat-sifat Aritmatika Vektor R n Jika u, v dan w adl vektor dalam R n dan k dan m adl skalar, maka: u + v = v + u u +( v + w) = (u + v) + w u + 0 = 0 + u = u u + (-u) = 0 atau u u = 0 k(m u) = (k m)u k(u + v) = ku + kv (k + m)u = ku + mu 1u = u 5

6 Euclidean R n Jika vektor u = (u1, u2,,un) dan v =(v1, v2,,vn) dalam R n maka hasil kali perkalian dalam u.v adalah Contoh Jika u = (2, 4, 4, 1) dan v = (-1, -4, 3, 2) maka temukan u.v Catatan: Bandingkan dengan perkalian titik pada ruang 2D dan 3D 6

7 Sifat-sifat Perkalian Dalam Jika u, v dan w adl vektor dalam R n dan k adl skalar, maka: u.v = v.u (u + v).w = u.w + v.w (ku).v = k(u.v) v.v 0; v.v = 0 jika dan hanya jika v = 0 Contoh aplikasi perkalian dalam (dot product) ISBN (International Standard Book Number) 7

8 International Standard Book Number Semua buku yang dipublikasikan 25 tahun terakhir diberikan 10 digit bilangan unik yg dikenal dgn istilah ISBN. Sembilan digit pertama dibagi dlm 3 grup, grup pertama mewakili negara atau grup negara dari mana buku berasal, grup kedua menentukan penerbit, dan grup ketiga untuk judul buku yg bersangkutan. Angka ke-10 disebut digit cek, dihitung dari sembilan digit pertama dan digunakan utk memastikan bahwa transmisi elektronik dr ISBN (misalkan via internet) tidak mengalami eror. Misalkan sembilan digit pertama dlm ISBN dinyatakan sbg vektor b dan vektor a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), maka digit cek c dpt ditentukan 8

9 dengan prosedur sbb: Temukan hasil a.b Bagi a.b dengan 11, yg akan menghasilkan sisa c (berupa bilangan 0 9). Jika dihasilkan c = 10 maka ditulis X utk menghindari digit dobel. Contoh: ISBN nomor maka a = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) dan b = (0, 4, 7, 1, 1, 5, 3, 0, 7) sehingga a.b = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).(0, 4, 7, 1, 1, 5, 3, 0, 7) = /11 = /11 sisa = c = 9 digit ke=10 9

10 Norma & Jarak Euclidean R n Jika vektor u = (u1, u2,,un) dan v =(v1, v2,,vn) dalam R n maka: Norma vektor u didefinisikan sbg: Jarak antara vektor u dan v dinyatakan sbg: Contoh: Jika u = ( 1, 3, -2, 7) dan v = (0, 7, 2, 2) maka temukanlah u dan jarak antara u dan v. 10

11 Teorema: Jika vektor u dan v dalam R n maka: Jika vektor u dan v dalam R n maka u dan v orthogonal jika u.v = 0. Jika u dan v ortogonal dalam R n maka Notasi alternatif utk vektor dimensi n - sbg vektor baris atau vektor kolom 11

12 Formula Matriks Utk Perkalian Titik Jika u dan v adl sbb: Maka Sehingga dapat dinyatakan: 12

13 Juga berlaku: dengan A adl matriks ukuran nxn. Contoh: Buktikan u.v = v T u jika 13

14 Transformasi dari R n ke R m Fungsi dari R n ke R m memetakan variabel dalam domain ruang n (R n ) ke kodomain ruang m (R m ). Notasi f : R n R m Jika n = m maka: f : R n R n Misalkan: Fungsi yg memetakan dari R 2 ke R 3 14

15 Ilustrasi: Misalkan fungsi f1, f2,, fm adalah fungsi bernilai riil dari n variabel sbb: Hal ini berarti bahwa ada m fungsi f yang memetakan setiap titik (x1, x2,, xn) dlm R n ke satu titik unik (w1, w2,, wn) dlm R m. Dapat dinotasikan sbg; dan T : R n R m 15

16 Example Misalkan fungsi yg memetakan dari R 2 ke R 3 sbb: Notasi fungsi transformasi: T 2 3 : R R Tranformasi akan memetakan titik (x1, x2) ke: T(x1, x2) = (x1 + x2, 3x1 x2, x1 2 x2 2 ) Dimana peta titik (1, -2)? T(1, -2) =.. 16

17 Transformasi Linear Jika persamaan transformasinya linear maka T : R n R m disebut transformasi linear (atau operator linear jika n = m). Maka bentuknya menjadi: Dalam bentuk matriks mjd: 17

18 atau dpt dinyatakan sbg: w = Ax Matriks A disebut matriks standar utk transformasi linear T, dan T disebut perkalian oleh A (multiplication by A). Contoh: Transformasi linear T 4 3 : R R ditentukan oleh: maka dlm bentuk matriks: 18

19 Jenis-jenis Transformasi Linear 19

20 20

21 Operator Proyeksi Operator utk memetakan vektor ke proyeksi ortogonal sejajar sumbu x dpt dinyatakan dgn w = T(x) sbb: Sehingga matriks standarnya adl: 21

22 Proyeksi Ortogonal R 2 22

23 Proyeksi Ortogonal R 3 23

24 Examples Gunakan perkalian matriks untuk menemukan cerminan titik (-1, 2) terhadap: Sumbu x Sumbu y Garis y = x Gunakan perkalian matriks untuk menemukan cerminan titik (2, -5, 3) terhadap: Bidang xy Bidang xz Bidang yz 24

25 Examples Gunakan perkalian matriks untuk menemukan proyeksi ortogonal titik (2, -5) terhadap: Sumbu x Sumbu y Gunakan perkalian matriks untuk menemukan proyeksi ortogonal titik (-2, 1, 3) terhadap: Bidang xy Bidang xz Bidang yz 25