BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor"

Transkripsi

1 BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor dengan besaran skalar dan vektor lain Mempelajari fisika secara utuh dan mendalam tidak bisa dilakukan tanpa memahami aturan-aturan pengoperasian vektor. Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, sebagian besaran hanya dinyatakan dengan nilai (magnitude) dan satuan saja, sementara sebagian besaran lainnya dinyatakan dengan nilai, satuan, dan juga arah. Besaran-besaran jenis pertama dinamakan besaran skalar sedangkan besaran-besaran jenis kedua dinamakan besaran vektor. Contoh dari besaran skalar adalah jarak, kelajuan, massa, suhu, waktu, tekanan, usaha, dan energi. Sebagai contoh misalnya waktu, kita cukup mengatakan satu menit, satu jam, atau satu hari untuk menyatakan selang waktu tertentu. Adapun contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum, impuls, dan momen gaya (torsi). Perpindahan misalnya, ketika seorang siswa mengikuti latihan baris-berbaris, lalu ada instruksi dari pelatihnya untuk melangkah beberapa langkah tanpa menyebutkan arah, maka siswa tersebut kemungkinan besar akan kebingungan. Ke arah mana dia harus melangkah? Ke kanan, ke kiri, ke depan, ataukah ke belakang? Oleh karena itu, besaran perpindahan memerlukan arah sehingga merupakan jenis besaran vektor. A. Representasi Besaran Vektor Besaran vektor biasanya dilambangkan dengan huruf kapital dan dicetak tebal atau bisa juga huruf biasa (tidak tebal) namun dengan anak panah diatasnya. Pada buku ini, besaran vektor ditandai dengan huruf (kapital atau tidak) yang tegak dan dicetak tebal. Secara geometris, vektor

2 2 direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor. A Gambar 1. Vektor perpindahan seekor semut pada selang waktu tertentu Sebagai contoh, pada Gambar 1 ditampilkan lintasan gerak seekor semut dalam selang waktu tertentu. Mula-mula semut itu berada di titik A lalu bergerak dengan lintasan yang ditunjukkan oleh garis putus-putus dan akhirnya sampai pada titik B. Besar perpindahan yang dialami semut adalah sama dengan panjang garis lurus yang menghubungkan titik A dengan titik B, dan arah perpindahannya adalah dari titik A menuju titik B. Perpindahan semut itu secara grafis diwakilkan oleh anak panah dengan pangkal berada pada titik A dan kepala berada pada titik B. Anak panah ini selanjutnya disebut sebagai vektor perpindahan semut. Selanjutnya pada Gambar 2 diberikan contoh dua buah vektor berbeda yang diberi nama vektor dan vektor. B A2 A1 (a) Gambar 2. Contoh dua buah vektor dengan nilai dan arah yang berbeda (a) Vektor (b) Vektor Vektor memiliki nilai dan arah. Nilainya disimbolkan dengan atau, yang mana secara geometri direpresentasikan oleh panjang anak panah. Arah vektor adalah ke kanan atau membentuk sudut 0 terhadap horizontal. Sementara itu, vektor memiliki nilai atau dan arah terhadap horizontal. Tampak bahwa nilai vektor lebih besar daripada nilai vektor. (b)

3 3 Suatu vektor lebih mudah dianalisis jika digambarkan pada sistem koordinat cartesian, seperti vektor pada Gambar 3 (a) dan vektor pada Gambar 3 (b). Vektor-vektor tersebut dapat diuraikan pada tiap-tiap sumbu koordinat. Penguraian vektor pada suatu sumbu koordinat dilakukan dengan memproyeksikan vektor pada sumbu tersebut. Vektor dalam koordinat dua dimensi dapat diurai menjadi dua vektor komponen, vektor komponen pada sumbu x dan vektor komponen pada sumbu y. Sementara Vektor yang berada pada koordinat tiga dimensi dapat diurai menjadi tiga vektor komponen,, and secara berturut-turut adalah vektor komponen sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. (a) (b) Gambar 3. Vektor dalam koordinat cartesian dan penguraiannya Pada Gambar 3 (a), vektor S diuraikan menjadi dua vektor komponennya, maka jumlah kedua vektor komponen tersebut sama dengan vektor S, = + dengan = vektor komponen dari vektor S pada sumbu x = vektor komponen dari vektor S pada sumbu y Berdasarkan gambar, nilai vektor yaitu dapat dinyatakan dengan nilai-nilai dari vektor komponennya, dan dengan menggunakan teorema pitagoras, yaitu = + dengan

4 4 = nilai vektor = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen Sementara itu, vektor T pada Gambar 3 (b) terurai pada tiga sumbu, maka hubungan yang berlaku adalah = + + dengan = vektor komponen T pada sumbu x = vektor komponen T pada sumbu y = vektor komponen T pada sumbu z Nilai vektor T, yaitu jika dinyatakan dalam nilai-nilai vektor komponennya yaitu,, and dengan menggunakan teorema pitagoras, diperoleh = + + dengan = nilai vektor T = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen = nilai vektor komponen B. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang memiliki nilai sama dengan satu. Vektor satuan dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan diberi tanda topi di atasnya. Oleh karena tidak memiliki dimensi maka vektor satuan bukan lah vektor dalam arti yang sebenarnya, ia hanya membawa informasi arah saja. Pada sistem koordinat cartesian, didefinisikan vektor satuan pada masing-masing sumbu. Vektor-vektor satuan tersebut adalah, ", dan #$ yang secara berturut-turut mengarah pada sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.

5 5 Dengan adanya definisi vektor satuan, ", dan #$ maka sembarang vektor dalam koordinat cartesian dapat dinyatakan menggunakan vektor-vektor satuan tersebut. Vektor S dan T pada Gambar 3 sebelumnya, jika dinyatakan dengan vektor satuan maka menjadi =S & +S ' " = + " + #$ #$ z Gambar 4. Vektor satuan pada sistem koordinat cartesian " y Selanjutnya, kita juga dapat mencari vektor satuan pada sembarang arah, misalnya vektor satuan yang searah dengan vektor. Vektor satuan ini diperoleh dengan membagi vektor dengan nilainya sendiri,. Vektor satuan ini dilambangkan dengan (, dan disebut sebagai vektor satuan dari. (= Contoh Soal Posisi titik A (-6,6) dan titik B (5,2) dalam koordinat cartesius masingmasing dinyatakan oleh vektor ) dan vektor ). a) Nyatakan vektor ) dan ) dalam ungkapan vektor satuan adalah, ", dan #$, serta tentukan vektor-vektor komponennya masing-masing! b) Tentukan vektor satuan dari vektor ) dan vektor ) Penyelesaian a) Vektor ) = 6 +6 ", komponennya adalah ) = 6, dan ) =6 " Vektor ) =5 +2 ", komponennya adalah ) =5, ) =2 " b) Vektor satuan dari )

6 6 ). = ) " ). = 6( 6) " ). = " ). = 2 ). = + " Vektor satuan dari ) : ). = ) / " ). = " ). = 29 ). = " 29 C. Penjumlahan Vektor Penjumlahan vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaranbesaran yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon. 1. Metode Jajargenjang Vektor A and vektor B pada Gambar 4 merupakan vektor-vektor sejenis. Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan dengan membuat dua garis putus-putus yang masing-masing sejajar dengan vektor A dan B. Garis putus-putus yang sejajar dengan vektor A diletakkan di ujung vektor B, dan garis putus-putus yang sejajar dengan vektor B, diletakkan di ujung vektor A. Hasilnya, diperoleh bangun jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor dan kedua garis putus-putus tersebut. Resultan dari vektor dan B adalah sebuah vektor yang terletak pada diagonal jajar genjang tersebut dengan titik pangkal berimpit dengan titik pangkal kedua vektor (Gambar 5). 9 :=+ Gambar 5. Penjumlahan vektor A dan B dengan metode jajargenjang 9

7 7 Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu ;=6 +< +2 < cos 9 dengan = nilai vektor A < = nilai vektor B 9 = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B 2. Metode Poligon Penjumlahan vektor dengan metode poligon disebut juga dengan penjumlahan vektor dengan metode segibanyak. Jika vektor yang dijumlahkan hanya dua buah maka disebut juga dengan metode segitiga. Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan ujung vektor pertama. Selanjutnya vektor ketiga digeser posisinya sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor kedua, begitu seterusnya sampai vektor teraktir. Resultan vektor dari penjumlahan ini adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit pada pangkal vektor pertama dan ujung yang berimpit dengan vektor terakhir. Perlu diketahui bahwa suatu vektor dapat digeser posisinya dengan syarat panjang dan arahnya tetap sama. : : (a) (b) (c) Gambar 6. Penjumlahan dua vektor Sebagai contoh, pada Gambar 6 (a) terdapat dua vektor sejenis, vektor dan vektor. Penjumlahan keduanya dilakukan dengan menggeser vektor B sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A. Maka vektor resultan :, dimana := +, adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik pangkal vektor A dan

8 8 ujung yang berimpit dengan ujung vektor B, Gambar 6 (b). Hasil yang sama akan diperoleh jika +. Pada Gambar 6 (c) terlihat bahwa := +. Dengan demikian, berlaku sifat komutatif pada penjumlahan vektor, yaitu := + = +. Lebih lanjut, jika tiga buah vektor dijumlahkan, misalnya vektor,,dan C, maka caranya dengan menggeser vektor agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, setelah itu menggeser vektor C agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7. Maka diperoleh resultan vektor, :=++C C : C 3. Metode Vektor Komponen Gambar 7. Penjumlahan tiga vektor Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita memiliki dua vektor, dan, yaitu = + " =< +< " Jika dijumlahkan maka resultannya adalah := + :=D + " E+(< +< " ) :=( +< )+( " +< " ) :=( +< ) +D +< E " Sementara itu, vektor : dapat dinyatakan dengan vektor satuan, :=; +; " maka diperoleh nilai vektor komponen dari :, yaitu ; = +< ; = +<

9 9 Contoh Soal Pada gambar di samping, diberikan tiga vektor gaya. Tentukan resultan dari ketiga gaya itu menggunakan metode jajargenjang, poligon, dan vektor komponen! Penyelesaian Penjumlahan dengan metode jajargenjang dan poligon diberikan oleh gambar berikut. (a) Metode jajargenjang (b) Metode poligon Tampak bahwa resultan vektor yang diperoleh dari kedua metode ini adalah sama. Jika dinyatakan dalam vektor satuan, resultannya adalah F : F +F +F H =10 2 " Sementara itu, untuk menjumlahkan dengan metode vektor komponen, terlebih dahulu kita harus menuliskan ketiga vektor dengan ungkapan vektor satuan, ", dan #$. Dari gambar diperoleh F = 4 +4", F =9, dan F H =5 6" Maka resultan dari ketiga vektor itu adalah F : =F +F +F H F : =( 4 +4 " )+(9 )+(5 6 " ) F : =10 2 " Hasil ini sama dengan yang diperoleh sebelumnya. Namun, metode vektor komponen lebih mudah digunakan.

10 10 D. Pengurangan Vektor Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan vektor negatif. Jika vektor dikurangi dengan vektor maka sama dengan vektor ditambahkan dengan negatif dari vektor. =+( ) Negatif dari vektor yaitu vektor adalah suatu vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor namun berlawanan arah. Pada Gambar 8 (a), diberikan vektor,, dan C. Negatif dari ketiga vektor tersebut ditunjukkan oleh Gambar 8 (b). C C (a) Gambar 8. (a) Vektor,, dan C (b) (b) Negatif dari vektor,, dan C Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vektor secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan hasil dari pengurangan vektor :, C, dan. C C (a) (b) (c) Gambar 9. Pengurangan vektor (a) (b) C (c) Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektor-vektor komponennya, pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya = + " =< +< " Maka pengurangan vektor dengan vektor = + " D< +< " E

11 11 = < + " < " =( < ) +D < E " Contoh Soal Tentukan hubungan yang benar dari vektor-vektor kecepatan pada tiaptiap gambar berikut! J H J H J J J J J H J J (a) (b) (c) Penyelesaian Hubungan vektor dapat dicari dengan menggunakan metode poligon pada penjumlahan vektor. Pertama menentukan titik acuan, misalnya titik sudut sebelah kiri bawah segitiga. Setelah itu, tentukan arah putaran, misalnya jika arah vektor searah dengan arah putaran jarum jam, maka bernilai positif, dan jika berlawanan arah maka negatif. Untuk gambar (a) Untuk gambar (c) J +( J H )+( J )=0 J +J H +J =0 J J H J =0 J +J H =J J =J +J H Untuk gambar (b) J +J H +J =0 J +J +J H =0 E. Perkalian Vektor Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau dengan vektor lainnya. Jika vektor dikalikan dengan suatu konstanta atau besaran skalar positif, misalnya K, maka hasilnya adalah vektor K,

12 12 yaitu suatu vektor dengan arah sama dengan vektor dan bernilai K. Namun jika dikalikan dengan konstanta atau besaran skalar negatif K, maka hasilnya adalah vektor K, suatu vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor dan bernilai K. Sementara itu, perkalian vektor dengan vektor tidak sesederhana perkalian vektor dengan skalar atau konstanta. Terdapat tiga bentuk perkalian vektor dengan vektor, perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), dan perkalian dyadic (perkalian tensor). Masingmasing memiliki aturannya sendiri. Pada modul ini hanya akan dibahas dua bentuk perkalian, yaitu perkalian titik, dan perkalian silang. Adapun perkalian dyadic akan dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika. 1. Perkalian Titik Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = < NOP 9 dengan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Interpretasi geometris perkalian titik vektor dan vektor adalah perkalian skalar antara panjang vektor dengan panjang proyeksi vektor A pada vektor B (Gambar 8.a), atau perkalian skalar antara panjang vektor A dengan panjang proyeksi vektor B pada vektor A (Gambar 8.b). 9 0 = cos 9 < Q =< cos 9 9 (a) (b) Gambar 8. Interpretasi geometris perkalian titik (a) = ( NOP 9) < (b) = (< NOP 9) Jika vektor dan vektor dinyatakan dengan dalam vektor satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut

13 13 =D + " E (< +< " ) = < ( )+ < ( " )+ < (" )+ < (" " ) = < + < sedangkan hasil perkalian titik vektor dengan dirinya sendiri, maka =D + " E ( + " ) = ( )+ ( " )+ (" )+ (" " ) = + = Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, yaitu cos9= < Beberapa sifat-sifat perkalian titik 1. = 2. = 3. = " " = #$ #$ =(1)(1) cos0=1 4. " = " #$ = #$ =(1)(1) cos90 T =0 5. Vektor and saling tegak lurus jika =U dan dan bukan nol 2. Perkalian Silang Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vektor menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai = WX dengan = <sin9

14 14 dan 9 adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, dan WX adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari vektor. Secara geometri, nilai dari perkalian silang dua vektor menyatakan luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut (Gambar 9). luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh dan 9 sin 9 < Gambar 9. Interpretasi geometris dari Terdapat aturan untuk menentukan arah dari yang disebut dengan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contohnya, perkalian silang dengan ", " seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10 (a). z #$ " y (a) (b) Gambar 10. (a) Perkalian silang " (b) Aturan tangan kanan Dari definisi perkalian silang, maka " = " sin9 WX " = 1 1 sin90 T WX " = WX Kemana arah WX? Jika kita mengepalkan tangan kanan dengan arah lipatan ke empat jari searah dengan putaran dari ujung vektor ke ujung vektor " maka ibu jari akan mengarah ke sumbu z, searah dengan vektor

15 15 #$. Oleh karena nilai vektor WX sama dengan satu, dan searah dengan #$ maka WX=#$. Dengan demikian, maka diperoleh " = #$ Beberapa sifat dari perkalian silang: 1. " = #$, " #$ =, #$ =" 2. " = #$, #$ " =, #$ = " 3. = " " = #$ #$ =0 ( karena 9=0 ) 4. = 5. Vektor sejajar dengan vektor jika =0 dan dan tidak nol Contoh Soal Diberikan vektor [= +2" +2#$ dan vektor \=2 2" +#$, a. gambar vektor [ dan \ dalam koordinat cartesian b. tentukan nilai vektor [ dan \ c. tentukan hasil dari [ \ d. tentukan hasil dari [ \ e. tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor [ and \ f. tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor [ dan \ Penyelesaian a. Vektor [ dan \ pada koordinat cartesian ditunjukkan oleh gambar b. Nilai vektor [ z 2 [ ^=^ +^ +^ ^= ^= 9 ^=3 \ y b. Nilai vektor \ _=_ +_ +_

16 16 ^=62 +( 2) +1 ^= 9 ^=3 c. Hasil dari [ \ [ \=D +2" +2#$E D2 2" +#$E [ \=2 4+2 [ \=0 d. Hasil dari [ \ [ \=D +2" +2#$E D2 2" +#$E [ \= 2 + ( 2" )+ #$ +2" 2 +2" ( 2" )+2" #$ [ \=+2#$ 2 +2#$ ( 2" )+2#$ #$ [ \=U 2#$ " 4#$ +U+ +`" +` +U [ \=a +H" 6#$ e. sudut yang dibentuk kedua vektor sin9= [ \ ^_ sin9= ( 6) 3 3 sin9= 81 9 sin9=1 maka 9=90 T f. misalkan vektor satuannya WX, maka WX= [ \ [ \ WX= 6 +3" 6# $ c WX= " 2 3 # $

17 17 LATIHAN 1. Tentukan resultan vektor-vektor berikut dengan menggunakan metode jajargenjang dan poligon 2. Tentukan hubungan vektor-vektor pada masing-masing gambar berikut ini! B B B A C A C A C 3. Berikut ini adalah vektor-vektor gaya yang bekerja pada suatu balok. Uraikan vektor-vektor tersebut pada masing-masing sumbu! g f θ 4. Vektor ), ), dan ) H berturut-turut adalah vektor posisi titik (3,4,0), (0,5,-2), dan (8,0,6). Gambarkan vektor ), vektor ), dan vektor ) H dalam sistem koordinat cartesian, dan nyatakan ketiga vektor ini dalam ungkapan vektor satuan, ", dan #$ 5. Vektor ) adalah vektor posisi dari titik (3,4,-5) dan vektor ) adalah vektor posisi titik (-5,-2,8). a. hitung resultan kedua vektor menggunakan metode vektor komponen! b. cari jarak yang memisahkan kedua titik secara vektor! 6. Jika = 4" +6#$ dan =4 2" 2#$ maka a. tunjukkan bahwa B=! b. tunjukkan bahwa! c. tentukan vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor! F F F H

18 18 RANGKUMAN 1. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan, dan arah. 2. Secara geometris, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor. 3. Penjumlahan vektor dibedakan dalam dua jenis, penjumlahan secara grafis dan penjumlahan secara matematis. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon sedangkan penjumlahan secara matematis dilakukan dengan metode vektor komponen. 4. Penjumlahan vektor A and B dengan metode jajargenjang : 5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon C : C 6. Penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan metode vektor komponen :=; +; " dimana ; = +< dan ; = +< 7. Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = <cos9 8. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai = <sin9 WX dan = <sin9 9. Aturan untuk menentukan arah dari vektor hasil perkalian silang menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contoh: " =#$.

19 19 UJI PEMAHAMAN KONSEP 1. Berikut ini adalah vektor-vektor dari besaran momentum, vektor yang memiliki nilai paling besar adalah... a. b. c. Apa alasannya? 2. Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah... C a. C=+ b. C= c. C= Apa alasannya? 3. Hubungan yang benar dari vektor-vektor berikut adalah... C a. + C=0 b. +C=0 c. ++C=0 Apa alasannya? 4. Vektor komponen pada sumbu x dari vektor A adalah... y a. NOP 9 b. Phi 9 c. j Apa alasannya? x 5. Perhatikan gambar pada Soal no.4! Nilai vektor komponen pada sumbu y dari vektor A adalah... a. NOP 9 b. Phi 9 c. y Apa alasannya? 6. Jika C= maka arah dari Vektor C adalah... x a. ke sumbu y positif b. ke sumbu x positif z

20 20 c. ke sumbu x negatif Apa alasannya? 7. Perhatikan gambar dua vektor berikut ini. Hasil dari perkalian titik kedua vektor tersebut adalah... a. 0 b. 11 satuan c. 30 satuan Apa alasannya? 8. Perhatikan kembali gambar pada Soal no. 7, hasil dari = a. 0 b. 11 #$ c. 30 #$ Apa alasannya? 9. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor berikut ini a. 120 o b. 135 o c. tidak membentuk sudut Apa alasannya? 10. Berikut ini yang bukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang datar yang dibentuk oleh vektor [= +" dan \= +#$ adalah... a. + " + # $ H H H b. " # $ H H H c. " # $ H H H Apa alasannya?

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR B A B B A B

BESARAN VEKTOR B A B B A B Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

BESARAN, SATUAN & DIMENSI

BESARAN, SATUAN & DIMENSI BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan

Lebih terperinci

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor . Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak

Lebih terperinci

BAB II BESARAN VEKTOR

BAB II BESARAN VEKTOR BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat. .. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH BAB I VEKTOR Pendahuluan B esaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angkaangka. Besaran fisika dapat dibagi menjadi besaran pokok dan besaran

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52 FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II V E K T O R Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1 1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)

Lebih terperinci

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org a b 2 Vektor Sumber:www.tallship.org Pada bab ini, nda akan diajak untuk dapat menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya dengan cara melakukan penjumlahan vektor. Pernahkah nda mengarungi lautan

Lebih terperinci

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT Modul Sifat dan Operasi Gaya Ir.Yoke Lestyowati, MT Konten E-Learning IDB 7in1 Terintegrasi PDITT 2015 BAB I SIFAT DAN OPEASI GAYA 1.1. Capaian Pembelajaran 1.1.1. Umum 1. Mampu menggunakan teori gaya

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

BAB 2 ANALISIS VEKTOR

BAB 2 ANALISIS VEKTOR BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu. VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel

Lebih terperinci

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor Vektor PanGKas HaBis FISIKA Mari kita pandang sebuah perahu yang mengarungi sebuah sungai. Perahu itu, misalnya, berangkat dari dermaga menuju pangkalan bahan bakar. Jika dermaga dipakai sebagai titik

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar

Lebih terperinci

BAB I BESARAN DAN SATUAN

BAB I BESARAN DAN SATUAN BAB I BESARAN DAN SATUAN A. STANDAR KOMPETENSI :. Menerapkan konsep besaran fisika, menuliskan dan menyatakannya dalam satuan dengan baik dan benar (meliputi lambang, nilai dan satuan). B. Kompetensi Dasar

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

Lebih terperinci

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda

Lebih terperinci

Pentalogy BIOLOGI SMA

Pentalogy BIOLOGI SMA GENTA GROUP in PLAY STORE CBT UN SMA IPA Buku ini dilengkapi aplikasi CBT UN SMA IPA android yang dapat di-download di play store dengan kata kunci genta group atau gunakan qr-code di bawah. Kode Aktivasi

Lebih terperinci

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya 1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP)

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP) Penjumlahan Vektor Edisi Kedua Untuk SMA kelas X (Telah disesuaikan dengan KTSP) Lisensi Dokumen : Copyright 008 009 GuruMuda.Com Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas

Lebih terperinci

BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR

BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR I BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR Tujuan umum perkuliahan yang dicapai setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep-konsep besaran satuan dan vektor pada

Lebih terperinci

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor MENJUMLAH VEKTOR Kompetensi Siswa 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong,

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

2 Mekanika Rekayasa 1

2 Mekanika Rekayasa 1 BAB 1 PENDAHULUAN S ebuah konstruksi dibuat dengan ukuran-ukuran fisik tertentu haruslah mampu menahan gaya-gaya yang bekerja dan konstruksi tersebut harus kokoh sehingga tidak hancur dan rusak. Konstruksi

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar

Lebih terperinci

1.1. Mekanika benda tegar : Statika : mempelajari benda dalam keadaan diam. Dinamika : mempelajari benda dalam keadaan bergerak.

1.1. Mekanika benda tegar : Statika : mempelajari benda dalam keadaan diam. Dinamika : mempelajari benda dalam keadaan bergerak. BAB I. PENDAHULUAN Mekanika : Ilmu yang mempelajari dan meramalkan kondisi benda diam atau bergerak akibat pengaruh gaya yang bereaksi pada benda tersebut. Dibedakan: 1. Mekanika benda tegar (mechanics

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS) BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS) A. Pengertian LKS Lembar kerja siswa merupakan salah satu komponen dari perangkat pembelajaran yang bertujuan untuk mengukur kemampuan serta pemahaman siswa terhadap

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Bab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada

Bab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada Bab 3 Sifat Penampang Datar 3.1. Umum Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifatsifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG

BAB I VEKTOR DALAM BIDANG BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal ME KANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu : a. KINE MATI KA = Ilmu

Lebih terperinci

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagad raya melalui pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya. 2.1 Menunjukkan

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks

Aljabar Linier & Matriks Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya

Lebih terperinci

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C VEKTOR ANALISIS 1.1. Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada sebuah jumlah yang nilai dapat diwakili oleh satu ( positif atau negatif ) nomor asli. x, y, dan z yang kami gunakan dalam dasar aljabar

Lebih terperinci

SP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan

SP FISDAS I. acuan ) , skalar, arah ( ) searah dengan SP FISDAS I Perihal : Matriks, pengulturan, dimensi, dan sebagainya. Bisa baca sendiri di tippler..!! KINEMATIKA : Gerak benda tanpa diketahui penyebabnya ( cabang dari ilmu mekanika ) DINAMIKA : Pengaruh

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

9.1. Skalar dan Vektor

9.1. Skalar dan Vektor ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor

Lebih terperinci

Materi Aljabar Linear Lanjut

Materi Aljabar Linear Lanjut Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari jari r lintasannya Gambar 1

a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari jari r lintasannya Gambar 1 . Pengantar a. Hubungan Gerak Melingkar dan Gerak Lurus Gerak melingkar adalah gerak benda yang lintasannya berbentuk lingkaran dengan jari jari r Kedudukan benda ditentukan berdasarkan sudut θ dan jari

Lebih terperinci

GESERAN atau TRANSLASI

GESERAN atau TRANSLASI GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.

Lebih terperinci

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika

Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika Integral yang berhubungan dengan kepentingan fisika 14.1 APLIKASI INTEGRAL A. Usaha Dan Energi Hampir semua ilmu mekanika ditemukan oleh Issac newton kecuali konsep energi. Energi dapat muncul dalam berbagai

Lebih terperinci

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Konsep Dasar Drs. Yurizal Rahman Drs. Mulyatno, M.Si. F PENDAHULUAN isika adalah ilmu pengetahuan yang memusatkan perhatian pada fenomena-fenomena alam. Sebagai ilmu pengetahuan alam, fisika didasarkan

Lebih terperinci

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui

Lebih terperinci

A. Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal MEKANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu :

A. Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal MEKANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu : BAB VI KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Standar Kompetensi 2. Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar 2.1 Menformulasikan hubungan antara konsep

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.

BAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan

Lebih terperinci

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2

K 1. h = 0,75 H. y x. O d K 2 1. (25 poin) Dari atas sebuah tembok dengan ketinggian H ditembakkan sebuah bola kecil bermassa m (Jari-jari R dapat dianggap jauh lebih kecil daripada H) dengan kecepatan awal horizontal v 0. Dua buah

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah : SMA Negeri 1 Kayen Mata pelajaran : Fisika Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 12 x 45 menit A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati

Lebih terperinci

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar

PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar

Lebih terperinci

BAB 3 DINAMIKA. Tujuan Pembelajaran. Bab 3 Dinamika

BAB 3 DINAMIKA. Tujuan Pembelajaran. Bab 3 Dinamika 25 BAB 3 DINAMIKA Tujuan Pembelajaran 1. Menerapkan Hukum I Newton untuk menganalisis gaya pada benda diam 2. Menerapkan Hukum II Newton untuk menganalisis gaya dan percepatan benda 3. Menentukan pasangan

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN. Sekolah/Satuan Pendidikan : SMA 64 Jakarta

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN. Sekolah/Satuan Pendidikan : SMA 64 Jakarta RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Sekolah/Satuan Pendidikan : SMA 64 Jakarta Mata Pelajaran : Fisika Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 6 Jam Pelajaran x 45 menit I. TUJUAN PEMBELAJARAN

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA

PERSAMAAN BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

Lebih terperinci

MODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.

MODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. Jurusan Teknik Sipil 15 MODUL PERTEMUN KE MT KULIH : FISIK TERPN ( sks) MTERI KULIH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BHSN: VEKTOR -1 DEFINISI VEKTOR Skalar

Lebih terperinci

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor

ANALISIS VEKTOR. Aljabar Vektor. Operasi vektor ANALISIS VEKTOR Aljabar Vektor Operasi vektor Besaran yang memiliki nilai dan arah disebut dengan vektor. Contohnya adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, dan momentum. Sementara itu, besaran

Lebih terperinci

Transformasi Geometri Sederhana. Farah Zakiyah Rahmanti 2014

Transformasi Geometri Sederhana. Farah Zakiyah Rahmanti 2014 Transformasi Geometri Sederhana Farah Zakiyah Rahmanti 2014 Grafika Komputer TRANSFORMASI 2D Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut

Lebih terperinci

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor

Lebih terperinci

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank

MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank 1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan

Lebih terperinci

Transformasi Geometri Sederhana

Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Geometri Sederhana Transformasi Dasar Pada Aplikasi Grafika diperlukan perubahan bentuk, ukuran dan posisi suatu gambar yang disebut dengan manipulasi. Perubahan gambar dengan mengubah koordinat

Lebih terperinci

Standar Kompetensi Lulusan. Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif

Standar Kompetensi Lulusan. Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif Standar Kompetensi Lulusan 1 Standar Kompetensi Lulusan Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif Indikator Membaca hasil

Lebih terperinci

TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL

TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL TRAINING CENTER OLIMPIADE INTERNASIONAL 7 th International Junior Science Olympiad (IJSO) 11 th Initational World Youth Mathematics Intercity Competition (IWYMIC) MODUL FISIKA GERAK (Sumber: College Physics,

Lebih terperinci