RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR
|
|
- Yandi Pranata
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut ruang vektor jika memenuhi:.. u+v = v+u. u+(v+w)=(u+v)+w k(u+v)=ku+kv 8. (k+l)u=ku+kl 9. k(lu)=(kl)(u). u, v V ( u v) V V u u u, u V u V, ( u) V u ( u) ( u) u k, u V ku V u u
2 7//5 SUBRUANG Definisi. MisalkanV adalah ruang vektor atas R dan S V. S disebut Sub Ruang dari V jika terhadap operasi yang sama dengan V, S juga mrp ruang vektor. CONTOH:. S = { } mrp sub ruang dari ruang R n, dan disebut sub ruang nol. Dapat ditunjukkan bahwa S terhadap operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi aksioma dari ruang vektor.. Misalkan W = {(a, b, ) / a, b R}. Dapat ditunjukkan bahwa W adalah sub ruang dari R
3 7//5 Teorema MisalkanV adalah ruang vektor dan S V. S disebut sub ruang dariv jhj. u + v S (tertutup thd penjumlahan). ku S (tertutup thd perkalian skalar) untuk setiap u, v S dan k R. LATIHAN:. Misalkan a b S / a, b, c, d R c d S merupakan sub ruang dari M x. Tunjukkan dengan Teorema. Misalkan S = {(a, b, ) / a, b R}. Apakah S subruang dari R?
4 7//5 Definisi Misal V adalah ruang vektor dan S = {v, v,, v k } V. Suatu vektor v V disebut sebagai kombinasi linier dari S jika ada k,k,,k r R s.d.h v = k v + k v + + k r v r Ilustrasi gambar k v v = k v +k v k v Vektor v di R sbg kombinasi linier dari v dan v 4
5 7//5 Definisi Misal V adalah ruang vektor dan S = {v, v,, v r } V. Himpunan semua vektor dariv yg mrp kombinasi linier dari S disebut span S (rentang S). Span S = {k v + k v + + k r v r /c i R} Catt: Span S mrp sub ruang dari V. Ilustrasi Gambar Jika S = {u, v}, dengan u, v R tidak berada dalam satu garis, maka span(s) mrp bidang yang melalui titik pusat dan titik u dan v. 5
6 7//5 6 Himpunan Pembangun Jika V adalah r.v. dengan maka dikatakan S adalah himpunan pembangun untuk V. Dengan kata lain, S membangun V artinya setiap vektor dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S CONTOH:. Unit vektor: span. Himpunan {, x, x,, x n } membangun semua polinomial berderajad n.,, e e e R
7 7//5 Bagaimana??? Apakah himpunan membangun R? Penyelesaian: S ( ), ( ), ( Apakah ada x, x, x R s.d.h x (,, ) t + x (, -, -) t + x (,, ) t = b utk setiap b R? Persamaan diatas dapat ditulis: x b x b x b ) Merupakan SPL non homogen : Ax b SPL Ax b akan konsisten jhj rank [A b] = rank (A) Dalam kasus ini, rank (A)=, rank [A b]= Jadi S bukan span R. ( b, b, b ) 7
8 7//5 KEBEBASAN LINIER Definisi. Suatu himpunan S v, dikatakan Himpunan v,..., v n Bebas Linier jhj utk persamaan k v k v... k v r r hanya dipenuhi oleh k k... k r Jika ada Linier. k i, maka dikatakan S Himpunan Tak Bebas Dengan kata lain. Himpunan bebas linier : himpunan yang vektor-vektornya tidak saling berhubungan (tidak bergantung / bebas) Himpunan Tak Bebas Linier : himpunan yang salah satu vektornya mrp kombinasi linier dari vektor yang lain (satu vektor bergantung pada vektor lain / tidak bebas). 8
9 7//5 9 CONTOH: Tunjukkan himpunan berikut bebas linier atau tidak. Penyelesaian: Bentuk 7 6 5,, S Bentuk diatas dapat ditulis Jika maka Karena terdapat penyelesaian yang non trivial (tidak tunggal), maka S tidak bebas linier A E A
10 7//5 Tunjukkan apakah himpunan berikut bebas linier atau tidak (a). (b). (c). (d). 9 5,,, 6, 5 4,,,,, BASIS dan DIMENSI Definisi MisalkanV ruang vektor atas R dan S = {v, v,, v n } subset dari V. S disebut basis dariv jika. S membangun V ( span(s) = V ). S bebas linier
11 7//5 Definisi Jika S = {v, v,, v n } adalah basis dari ruang vektor V, maka dikatakan V berdimensi n. Notasi dim(v) = n Jadi, dimensi suatu ruang vektor adalah jumlah vektor yang bebas linier dan membangun ruang vektor tsb. TEOREMA-TEOREMA DALAM KEBEBASAN LINIER dan BASIS Anita T. Kurniawati
12 7//5 Teorema (i) (ii) Suatu himpunan berhingga dari vektor yang memuat vektor nol mrp himpunan yang tak bebas linier. Himpunan yang terdiri atas dua elemen vektor saja mrp himpunan bebas linier jhj tidak ada vektor yg mrp kelipatan skalar dari vektor lain. BUKTI (i) Andaikan S = {v, v,, v n, } himpunan bebas linier, maka untuk kombinasi linier v + v + + n v n + k. = (*) hanya dipenuhi oleh = = = n = k =. Terjadi kontradiksi, karena untuk persamaan. v +. v + +. v n + k. = k. = k Jadi yang benar adalah S tak bebas linier.
13 7//5 (ii) Arah Kanan () Diketahui W = {v, v } adalah himp. bebas linier. Dibuktikan : v k.v, dengan k. Andaikan v = k.v, maka v - k.v = Karena W bebas linier, maka =. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar, v k.v, dengan k. Arah Kiri () Diketahui v k.v, dengan k. DibuktikanW = {v, v } adalah himp.bebas linier. AndaikanW adalah himp.tak bebas linier. Maka ada s.d.h kombinasi linier v + v =. Dari sini diperoleh v + ( / )v = v + c.v = v = -c.v = k.v Terjadi kontradiksi. Yang benar W bebas linier. TEOREMA Jika S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektorv, maka untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S secara tunggal.
14 7//5 BUKTI KarenaV = span(s), maka jelas untuk setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S. Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa kombinasi linier ini adalah tunggal. Andaikan v = v + v + + n v n dan v = k v + k v + + k n v n Maka v + v + + n v n = k v + k v + + k n v n ( k )v + ( k )v + + ( n k n )v n = Karena {v, v,, v n } bebas linier, maka diperoleh k =, k =,, n k n = = k,, = k,, n = k n, TEOREMA Jika V ruang vektor berdimensi n dan S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektor V, maka (i) setiap himpunan yang terdiri lebih dari n vektor mrp himpunan yang tak bebas linier. d.k.l Jika S = {w, w,, w m } dimana m > n maka S tak bebas linier. (ii) Tidak ada himpunan yang lebih kecil dari n vektor yang dapat membangun V. d.k.l Jika S {w, w,, w r } adalah vektor dalam V dengan r < n maka V span(s ). 4
15 7//5 CATATAN: Teorema Bagian (i) mrp definisi dari Himpunan Bebas Linier Maksimal Teorema Bagian (ii) mrp definisi dari Himpunan Pembangun Minimal. Bukti Teorema (i) Misalkan S = {w, w,, w m } adalah m vektor dalam V (m > n). Karena S = {v, v,, v n } adalah basis untuk ruang vektor V, maka setiap w i (i =,,,m) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S, yaitu w = a v + a v + + a n v n w = a v + a v + + a n v n..(*). dst w m = a m v + a m v + + a nm v n 5
16 7//5 Selanjutnya. Akan ditunjukkan S tak bebas linier, yaitu ada k, k,, k m yg tak nol s.d.h k w + k w + + k m w m = (**) Dari persamaan (*) dan (**) diperoleh (k a + k a + + k m a m ) v + (k a + k a + + k m a m ) v +. + (k a n + k a n + + k m a nm ) v n = Karena S = {v, v,, v n } bebas linier, maka a k + a k + + a m k m = a k + a k + + a m k m =. dst a n k + a n k + + a nm k m =..(***) SPL (***) mrp SPL homogen dengan banyaknya variabel (m) > banyaknya persamaan (n), maka solusi nya adalah non trivial. 6
17 7//5 (ii). Misalkan S = {w, w,, w r } adalah vektor dalam V dengan r < n. Akan ditunjukkan S tidak membangun V. Andaikan S membangun V, maka setiap vektor dalam V dapat ditulis sbg kombinasi linier dari S, khususnya vektor v j, (j =,,,n) dalam V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari w i v = a w + a w + + a r w r v = a w + a w + + a r w r dst.. (a) v n = a n w + a n w + + a rn w r Utk menunjukkan adanya kontradiksi, akan ditunjukkan bahwa S = {v, v,, v n } tak bebas linier Bentuk k v + k v + + k n v n = (b) A.d.t. ada k i yang memenuhi pers.(b). Atau dari persamaan (a) dan (b) diperoleh (k a + k a + + k n a n ) w + (k a + k a + + k n a n ) w +. + (k a r + k a r + + k n a rn ) w r =.(c) a.d.t. ada k i yang memenuhi persamaan ini. 7
18 7//5 Dari persamaan c, jika dibentuk a k + a k + + a n k n = a k + a k + + a n k n =. dst a r k + a r k + + a rn k n = Maka SPL ini mrp SPL homogen dengan banyak variabel tak diketahui (n) > banyak persamaan (r), sehingga mempunyai penyelesaian non trivial. Jadi k i. Terjadi kontradiksi. Jadi yang benar adalah S tidak membangun V. Latihan Soal. Yang manakah dari himpunan berikut ini mrp himp.tak beba linier? a. {(4, -, ), (-4,, )} di R b. {(-,, ), (,, 5), (6, -, ), (7,, -)} di R c. {(6 x ), ( + x + 4x )} di P d. {(+x+x ), (x+4x ), (5+6x+x ), (7+ x x )} di P. Tunjukkan bahwa : Jika {v, v, v } bebas linier, maka himpunan {v, v }, {v, v {v, v }, {v }, {v }, {v } juga bebas linier.. Tunjukkan : Jika {v, v, v } tak bebas linier pada ruang vektor V da v 4 V, maka himpunan {v, v, v, v 4 } juga tak bebas linier. 8
19 7//5 RUANG BARIS, RUANG KOLOM, dan RUANG NULL Definisi Jika A adalah matriks ukuran mxn a a a a maka : am am (i) Vektor-vektor r a a a. n r a a an r m a m dalam R n disebut vektor-vektor baris dari matriks A. a m an a n amn a mn 9
20 7//5 (ii) vektor-vektor,,, di R m disebut vektor-vektor kolom dari matriks A. a m a a c a m a a c mn n n n a a a c CONTOH: Diberikan matriks Maka : vektor baris dari A adalah r = [ ], r = [ - 4] dan vektor kolom dari A adalah,, 4 A c c 4 c
21 7//5 Definisi Misalkan A adalah matriks mxn. Maka (i) subruang dari R n yang dibangun oleh vektor baris dari matriks A disebut Ruang Baris (row space) dari A (ii) subruang dari R m yang dibangun oleh vektor kolom dari matriks A disebut Ruang Kolom (column space) dari A Jadi Ruang baris A, dinotasikan R(B), adalah R(B) = Ruang yang dibangun oleh vektor baris matriks A = span{r, r,, r m } R n Ruang Kolom A, dinotasikan R(K), adalah R(K) = Ruang yang dibangun oleh vektor kolom matriks A = span{c, c,, c n } R m
22 7//5 Apakah ada hubungan antara solusi SPL A.x = b dengan ruang baris dan ruang kolom, dari matriks A? Apakah ada hubungan antara ruang baris, ruang kolom, ruang null dari suatu matriks? Teorema Misalkan A adalah matriks ukuran mxn. Suatu SPL Ax = b konsisten jhj b adalah elemen dari ruang kolom matriks A. Atau : b R(K) b = A.x
23 7//5 Contoh : Diberikan SPL Ax = b Dengan EGJ, diperoleh solusi : x =, x = -, dan x = sehingga : yaitu b mrp kombinasi linier dari kolom matriks A. shg b mrp elemen dari ruang kolom matriks A. 9 x x x 9 Contoh: Tentukan apakah b mrp elemen dari ruang kolom matriks A berikut ini? Jika ya, tuliskan kombinasi liniernya. ; 6 4 b A
24 7//5 Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks dengan kata lain: Jika matriks A dan B mrp matriks ekuivalen baris, maka ruang baris A dan B adalah sama. Contoh 4 Diberikan matriks A 7 8 Menggunakan OBE, matriks A diubah menjadi bentuk eselon baris tereduksi: 7 / B 5 / maka, ruang baris dari matriks A dan B adalah sama. 4
25 7//5 5 Basis utk ruang baris dan ruang kolom Misalkan Menggunakan OBE, matriks A diubah kebentuk matriks eselon baris tereduksi : Ruang baris matriks A dan B adalah sama A B Selanjutnya Basis utk ruang baris matriks A adalah vektor baris tak nol dari matriks B, yaitu w = [ ] w = [ ] w = [ -] Sedangkan basis untuk ruang kolom matriks A adalah vektor kolom standar dari matriks B, yaitu u =, u =, u = 4
26 7//5 Prosedur utk mencari basis dari sub ruang V di R n Misalkan S = {v, v,, v k } adalah vektor di R n, dengan V = span(s). Maka basis utk V ditentukan dengan langkah : Langkah Bentuk matriks A = Langkah Langkah v v v k Ubah matriks A kebentuk matriks eselon baris tereduksi B. vektor baris tak nol dari matriks B mrp basis utk V. Contoh 5 Misalkan S = {v, v, v, v 4 } adalah vektor di R 5 dengan v = [ - -4] v = [ 8 4] v = [ 7 ] v 4 = [- 4 -] dan misalkan V adalah subruang dari R 5 yang dibangun oleh S. Tentukan basis untuk V 6
27 7//5 7 Contoh 6 Carilah basis utk ruang baris dan ruang kolom dari matriks berikut : B Teorema Jika A sebarang matriks, maka ruang baris dan ruang kolom dari matriks A mpy dimensi yang sama.
28 7//5 Contoh 7 Pada contoh 5, dim(ruang baris A) = dim(ruang kolom A) = Pada contoh 6, dim(ruang baris B) = dim(ruang kolom B) = RANK MATRIKS DEFINISI (i) Dimensi dari ruang baris disebut rank baris (ii) Dimensi dari ruang kolom disebut rank kolom 8
29 7//5 Definisi 4 Jika A adalah matriks sebarang, maka rank baris A = rank kolom A = rank A. Rank matriks A dituliskan : rank(a). Cara mencari Rank suatu matriks Misalkan A adalah sebarang matriks. Langkah Ubah matriks A menjadi matriks eselon baris tereduksi B. Langkah Rank A = jumlah baris tak nol dari matriks B. 9
30 7//5 Carilah rank dari matriks : A 9 8 RUANG NULL dan NULLITY Definisi 5 (i) Himpunan dari semua solusi sistem homogen A.x = disebut dengan Ruang Null (Nullspace). Nullspace merupakan subset dari R n. (ii) Dimensi dari ruang null disebut Nullity.
31 7//5 Basis utk Ruang Null Diberikan SPL homogen A.x =, dengan A matriks berukuran m x n. Solusi dari sistem di atas dicari menggunakan EGJ, yaitu matriks augmented diubah ke matriks eselon baris tereduksi dimana matriks B mpy r baris tak nol, r m. A B Jika m > n (r = n), yaitu B r = n m n Maka, solusi A.x = trivial. Artinya, semua solusinya adalah nol, sehingga ruang solusinya tidak punya basis, akibatnya, nullity =.
32 7//5 Jika m < n (r < n), yaitu rn r n n s s s s s s B r m n Maka, solusi A.x = adalah non trivial (mpy r buah solusi), shg ruang solusinya mpy r buah basis, akibatnya nillity = r. Contoh 9 Carilah ruang null dan nullity dari SPL homogen : 5 4 x x x x x
33 7//5 Teorema 4 Jika A adalah matriks ukuran m x n, maka rank(a) + nullity A = n Contoh Apakah SPL berikut mpy solusi? x x x
34 7//5 RANK dan KESINGULARAN MATRIKS Teorema 6 Diberikan matriks A berukuran nxn. det(a) jhj rank(a) = n Teorema 7 Misalkan A matriks ukuran nxn. i. SPL A.x = b mempunyai penyelesaian tunggal jhj rank(a) = n ii. SPL A.x = mpy solusi non trivial jhj rank(a) < n. 4
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A
Lebih terperinciOperasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN
KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom,
Lebih terperinciAljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Lebih terperinciRUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
Lebih terperinciBab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
Lebih terperinciSebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Lebih terperinciPERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1
PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi
Lebih terperinciSuatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Lebih terperinciRuang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
Lebih terperinciRuang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Lebih terperinciSUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
Lebih terperinciPart II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN
KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas
Lebih terperinciSOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
Lebih terperinciALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)
Lebih terperinciPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Lebih terperinciPertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciMAKALAH BASIS RUANG SOLUSI
MAKALAH BASIS RUANG SOLUSI Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen pengampu : Darmadi,S.Si,M.pd Di susun Oleh : Kelompok 6/ VF 1. Fitria Wahyuningsih ( 08411.135 ) 2. Pradipta Annurwanda
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinciYang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi
7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)
Lebih terperinciPertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema
Lebih terperinciPertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
Lebih terperinciBAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
Lebih terperinciSUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
Lebih terperinciDIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Lebih terperincivektor u 1, u 2,, u n.
KOMBINASI LINEAR BEBAS LINEAR BERGANTUNG LINEAR Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Kombinasi Linear (linear combination) Andaikan ruang vektor V melalui field F, dengan vektor-vektor
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciAljabar Linier. Kuliah 3. 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand
Aljabar Linier Kuliah 3 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 1 Materi Kuliah 3 Jumlah Langsung, Hasilkali Langsung Himpunan Pembangun (Spans) dan Bebas Linier 5/9/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2
Lebih terperinci04-Ruang Vektor dan Subruang
04-Ruang Vektor dan Subruang Vektor (1) Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Ruang Vektor Bagian 2: Nullspace of A: Solusi Ax = 0 Bagian 3: Rank dan Row-reduced-form
Lebih terperinciBASIS DAN DIMENSI. dengan mengurangkan persamaan kedua dengan persamaan menghasilkan
BASIS DAN DIMENSI Representasi Basis Jika S={v 1,v,...,v n ) adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka tiap vektor v pada V dapat dinyatakan dalam bentuk v= c 1 v 1 + c v +... c n v n dengan cepat satu
Lebih terperinciProf.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta
BASIS DAN DIMENSI Prof.Dr. Budi Murtiyasa Muhammadiyah University of Surakarta Basis dan Dimensi Ruang vektor V dikatakan mempunyai dimensi terhingga n (ditulis dim V = n) jika ada vektor-vektor e, e,,
Lebih terperinciBAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
Lebih terperinciBAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau
Lebih terperinci7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Lebih terperinciCourse of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
Lebih terperinciBAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Lebih terperinciDIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd
DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciKumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
Lebih terperinciDalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinci0. Diperoleh bahwa: Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar:
f g) f g C atau ( f g). Diperoleh bahwa: f g) ( f g) dg f ( f dg g) g dg f g Selanjutnya dibuktikan tertutup terhadap perkalian skalar: Ambil. f ) f C, R. Ditunjukkan bahwa. f C atau (. f ).. f ). diketahui
Lebih terperinci5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Lebih terperinciMODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
Lebih terperinciHASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.
HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Lebih terperinciSistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE
Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016 Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 9467 Teknik Nmerik Sistem Linear Trihastti Agstinah Bidang Stdi Teknik Sistem Pengatran Jrsan Teknik Elektro - FTI Institt Teknologi Seplh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------
Lebih terperinciBAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER
BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x
Lebih terperinciG a a = e = a a. b. Berdasarkan Contoh 1.2 bagian b diperoleh himpunan semua bilangan bulat Z. merupakan grup terhadap penjumlahan bilangan.
2. Grup Definisi 1.3 Suatu grup < G, > adalah himpunan tak-kosong G bersama-sama dengan operasi biner pada G sehingga memenuhi aksioma- aksioma berikut: a. operasi biner bersifat asosiatif, yaitu a, b,
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciTransformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi
Lebih terperinciMatriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
Lebih terperinciPertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
Lebih terperinciTRANSFORMASI MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
TRANSFORMAS MATRKS Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMPA UNEJ agustina.fmipa@unej.ac.id Definisi : BEBAS LNER Suatu himpunan vektor-vektor v, v, v k dikatakan bebas linier jika persamaan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier dan Matriks
Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah 26
Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor
Lebih terperinciBAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
Lebih terperinciCOURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear
COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear PERSAMAAN LINIEAR Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variale x 1 x x n seagai erikut : dengan a1 a... an adalah konstanta real. a1x 1 ax ax...
Lebih terperinciAljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Lebih terperinciII. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperincidimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
Lebih terperinciM AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR
M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga
Lebih terperinci02-Pemecahan Persamaan Linier (1)
-Pemecahan Persamaan Linier () Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal - Anny Agenda Bagian : Vektor dan Persamaan Linier Bagian : Teori Dasar Eliminasi Bagian 3: Eliminasi Menggunakan Matriks Bagian 4:
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinci3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE
3 Langkah Determinan Matriks 3x3 Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 10 Oktober 2016 Selain metode Sarrus dan Minor-Kofaktor, ada satu metode lain yang dapat
Lebih terperinciNILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan
Lebih terperinciPart III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti
Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)
Lebih terperinciSebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.
. INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling
Lebih terperinciadalah isomorphik dengan im( ), 2) The rank plus nullity Theorem dim(ker ( ) )+dim(im ( )
The Rank Plus Nullity Theorem L(V,W) 1) Sembarang komplemen dari ker () adalah isomorphik dengan im( ), 2) The rank plus nullity Theorem dim(ker () )+dim(im () ) = dim(v) Teorema 2.8. Misal atau rk() +
Lebih terperinciJURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER
Lebih terperinciDiagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan
Diagonalisasi Matriks Segitiga Atas Ring komutatif Dengan Elemen Satuan Fitri Aryani 1, Rahmadani 2 Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Suska Riau e-mail: khodijah_fitri@uin-suskaacid Abstrak
Lebih terperinciBAB 5 RUANG VEKTOR UMUM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 5 RUANG VEKTOR UMUM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN. Ruang Vetor Nyata. Subruang. Kebebasan Linier 4. Basis dan Dimensi 5. Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Nul 6. Ran dan Nulitas
Lebih terperinciII. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3
11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5
Lebih terperinciBAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT. Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi
BAB III OPERATOR LINEAR TERBATAS PADA RUANG HILBERT 3.1 Operator linear Operator merupakan salah satu materi yang akan dibahas dalam fungsi real yaitu suatu fungsi dari ruang vektor ke ruang vektor. Ruang
Lebih terperinciSISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR Persamaan Linear Pengertian Persamaan linear adalah persamaan yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut. + + + Di mana:,,,, dan adalah konstanta-konstanta riil.,,,, adalah bilangan
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Suatu matriks A C m n dikatakan memiliki faktorisasi LU jika matriks tersebut dapat dinyatakan sebagai A = LU dengan L C m m matriks invertibel segitiga bawah
Lebih terperinci(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
Lebih terperinciYang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR
Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan
Lebih terperinciALJABAR LINIER DAN MATRIKS
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya
Lebih terperinci