MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

Transkripsi

1 MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley, Spiegel, Murray R, Advanced Calculus, Shcaum s Series, mc. Graw Hill, Singapore, Spiegel, Murray R, Vektor Analysis, Shcaum s Series, mc. Graw Hill, Singapore, T. Sutojo, S.Si., dkk, Aljabar Linier & Matriks, Penerbit Andi, 2010

2 1. VEKTOR 1. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Besaran-besaran pada fisika banyak yang termasuk besaran vektor. Contohnya gaya, kecepatan, percepatan, perpindahan, momen gaya dan momentum.. Vektor jika digambar dilambangkan dengan tanda panah ( ). Besar vektor proporsional dengan panjang panah dan arahnya bertepatan dengan arah panah. Vektor dapat melambangkan perpindahan dari titik A ke B. Vektor sering ditandai sebagai Contoh: AB B A AB = notasi pada vektor AB Titik pangkal di A Titik ujung di B Arah vektor dari A menuju Besar vektor ditunjukkan oleh panjang garis AB Vektor-vektor yang mempunyai arah dan panjang yang sama dikatakan ekivalen Vektor yang panjangnya nol dinamakan vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Penjumlahan dengan vektor nol didefinisikan 0 + v = v + 0 = v Jika v sebarang vektor tak nol, maka v (negatif v) adalah vektor yang mempunyai besaran sama seperti v tetapi arahnya berlawanan dengan v.

3 Selain cara di atas, vektor bisa juga diberi lambang huruf alfabet kecil, misalkan diberikan vektor a. Jika elemen-elemen ditulis berderet membentuk satu baris, disebut vektor baris. a = vektor kolom a = [ a 1, a 2, a 3,, a n ] vektor baris [ ] Latihan soal: 1. Berikut adalah gambar lima buah mobil yang diamati berdasarkan ciri-ciri yang dimilikinya yaitu massa, kecepatan, tinggi, panjang, dan harganya Misalkan data-data dari mobil tersebut adalah: Mobil ke : Massa (kg) Kecepatan (km/jam) Tinggi (m) Panjang (m) Harga (Juta Rp) ,7 3, ,5 2, , ,5 2,4 550 Nyatakan data-data di atas sebagai vektor baris. 2. Ada 5 citra yang akan dikenali menggunakan komputer. Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiaptiap citra σ, rata-ratanya μ, histogramnya h, dan entropinya e Maka vektor ciri 5 buah citra tersebut dapat dinyatakan sebagai

4 1. Ruang Vektor 1.1 Vektor di ruang R 2 dan R 3 Vektor Satuan dan Vektor Basis di Ruang R 2 Tinjau vektor-vektor berikut : y j=(0, 1) i=(1, 0) x Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan di ruang R 2. Vektor basis di ruang R 2 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, atau dalam bentuk vektor baris ditulis sebagai berikut e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1) atau dalam bentuk vektor kolom berikut * + * + Oleh karena i dan j sebagai basis di ruang R 2, maka setiap vektor = (V 1, V 2 ) di ruang R 2 dapat dinyatakan dengan i dan j sebagai berikut : = (V 1, V 2 ) = V 1 (1, 0) + V 2 (0, 1) = V 1 i, V 2 j = V 1 * + + V 2 * + Contoh : Vektor artinya sama dengan * + [ ] ( ) ( ) * + * + Misalkan v suatu vektor pada bidang, titik awal v diletakkan pada pusat sistem koordinat, dan titik ujung v terletak pada koordinat (v 1,v 2 ), maka (v 1,v 2 ) dinamakan komponen dari v. Dalam hal ini ditulis v = (v 1,v 2 ).

5 Secara geometri v 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan v 2 menyatakan komponen pada sumbu y. Jika v = (v 1,v 2 ) dan w = (w 1,w 2 ) adalah vektor-vektor pada bidang (R 2 ), maka v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v 1 =w 1 dan v 2 =w 2. Jika v = (v 1,v 2 ) dan w = (w 1,w 2 ), maka berlaku 1. v + w = (v 1 +w 1, v 2 +w 2 ) 2. k v = (kv 1,kv 2 ) dengan k suatu skalar Contoh : Misalkan v = ( 2, 1) dan w = (1, 3), maka v + w = ( 2, 1) + (1, 3) = ( 2+1, 1+3) = ( 1, 4) 2v = 2( 2, 1) = (2.( 2), 2.1) = ( 4, 2) v w = ( 2, 1) (1, 3) = ( 2 1, 1 3) = ( 3, 2) w v = (1, 3) ( 2, 1) = (1 ( 2), 3 1) = (3, 2) Kadang-kadang vektor diletakkan sedemikian sehingga titik awalnya tidak terletak pada pusat koordinat. Misalkan titik awalnya adalah P 1 (x 1,y 1 ) dan titik ujungnya adalah P 2 (x 2,y 2 ) maka P P = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). Komponen P P didapat dengan mengurangkan koordinat tititk awal dari koordinat titik ujung. Jika dijelaskan dengan gambar, didapat pula P P = P P = (x 2,y 2 ) (x 1,y 1 ) = (x 2 x 1, y 2 y 1 ).

6 Jika v = (v 1,v 2 ) adalah vektor di R 2 maka panjang vektor (disebut norm ) v didefinisikan sebagai v = v v Jika P 1 (x 1,y 1 ) dan P 2 (x 2,y 2 ) adalah dua titik di R 2, maka jarak dua titik tersebut didefinisikan sebagai norm dari vektor P P, yaitu d = ((x x ) (y y ) ) Vektor Satuan dan Basis di Ruang R 3 Tinjaulah vektor-vektor berikut : z k=(0,0,1) j=(0,1,0) y x i=(1,0,0) Masing-masing vektor ini mempunyai panjang 1 dan terletak sepanjang sumbu koordinat. Vektor tersebut dinamakan vektor satuan dan menjadi vektor basis di ruang R 3. Vektor basis (vektor satuan) di ruang R 3 pada sumbu x dinyatakan dengan i, vektor satuan pada sumbu y dinyatakan dengan j, sedang vektor satuan pada sumbu z dinyatakan dengan k, atau dalam bentuk vektor baris berikut : e 1 = (1,0,0), e 2 = (0,1,0), e 3 = (0,0,1) atau dalam bentuk vektor kolom berikut :

7 e 1 = [ ] e 2 = [ ] e 3 = [ ] Oleh karena i, j, dan k basis di ruang R 3, maka setiap vektor = (V 1, V 2, V 3 ) di ruang R 3 dinyatakan dengan i, j, k sebagai berikut : = (V 1, V 2, V 3 ) = V 1 (1,0,0) + V 2 (0,1,0) + V 3 (0,0,1) = V 1 i, V 2 j, V 3 k = V 1 [ ] + V 2 [ ] + V 3 [ ] Contoh : Vektor k artinya sama dengan [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] Vektor di ruang R 2 dan R 3 diposisikan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berada di titik asal sistem koordinat siku-siku, dan koordinat titik terminal tersebut dinamakan komponen-komponen vektor. Misalkan v suatu vektor pada ruang (R 3 ), maka komponen dari v adalah (v 1,v 2,v 3 ) yang secara geometri v 1 menyatakan komponen pada sumbu x dan v 2 menyatakan komponen pada sumbu y dan v 3 menyatakan komponen pada sumbu z. Jika v = (v 1,v 2,v 3 ), dan w = (w 1,w 2,w 3 ), maka: 1. v ekivalen dengan w jika dan hanya jika v 1 =w 1,v 2 =w 2,v 3 =w v + w = (v 1 +w 1,v 2 +w 2,v 3 +w 3 ) 3. k v = (kv 1,kv 2,kv 3 ) dengan k suatu skalar Jika P 1 (x 1,y 1,z 1 ) dan P 2 (x 2,y 2,z 2 ) adalah titik-titik di R 3, maka P P = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) Jika w = (w 1,w 2,w 3 ) suatu vektor di R 3, maka panjang vektor (norm) w didefinisikan sebagai = (w w w )

8 Jika (x 1,y 1,z1) dan P 2 (x 2,y 2,z 2 ) adalah dua titik di R 3, maka jarak antara dua titik tersebut adalah norm dari vektor P P, yaitu Contoh : d = (x x ) (y y ) (z z ) Norma vektor v = (3, 4, 0) adalah v = ( )=5 Jarak di antara titik P1(2, 1, 0) dan P2(4, 3, 1) adalah d= (( ) ( ) ( ) )= ( ( ) )= 21. Latihan soal: Tentukan komponen vektor dari gambar berikut: 1. 2 j Y v 0 i 4 x 2. 6 z w k 5 i j 4 y 1.2 Vektor di ruang R n Pada saat pertama kali ilmu vektor dikembangkan, hanya dikenal vektor vektor di R 2 dan R 3 saja, tetapi dalam perkembangannya ternyata didapatkan permasalahan yang lebih kompleks sehingga dikembangkan vektor vektor di ruang berdimensi 4, 5 atau secara umum merupakan vektor vektor di R n. Secara geometris memang vektor vektor di R 4 dan seterusnya memang belum bisa digambarkan, tetapi dasar yang digunakan seperti operasi operasi vektor masih sama seperti operasi pada vektor vektor di R 2 dan R 3. Orang yang pertama kali mempelajari vektor vektor di R n adalah Euclidis sehingga vektor vektor yang berada di R n dikenal sebagai vektor Euclidis, sedangkan ruang vektornya disebut ruang n Euclidis.

9 Vektor di ruang R n dinyatakan sebagai [ ] Panjang sebuah vektor disebut juga norma dinyatakan dengan : a a a a a n Vektor satuan dalam arah adalah : e a a a a a a n Contoh : Tentukan panjang vektor = i + 2j 3k dan vektor satuan dalam arah a adalah : ( ) [ ] * + 2. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor Jarak vektor [ ] dan vektor [ ] dinyatakan sebagai : ab (a b ) (a b ) (a b ) (a n b n ) Contoh : Jarak vektor k dan vektor k adalah ( ) ( ) ( ) Aplikasi Jarak Euclidean dalam Pengenalan Pola Wajah Contoh: Diketahui tiga buah citra wajah yaitu Citra 1 (Dila), Citra 2 (Agil), dan Citra 3 (Alim) yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer.

10 1 2 3 Citra 1 : σ = 0,15 μ = 40 e = 1,25 Citra 2 : σ = 0,05 μ = 60 e = 2,35 Citra 3 : σ = 0,24 μ = 53 e = 0,85 Kemudian diambil satu citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji. Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut: Citra 4 : σ = 0,23 μ = 55 e = 0,82 Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan siapakah nama dari citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer? Penyelesaian: Komputer bisa mengenali citra ke-4 menggunakan metode jarak dari euclidean. Pertama masing-masing basis data dari ciri citra dan citra uji dijadikan bentuk vektor berikut. C = [ ] C 1 = [ ] C 2 = [ ] C 3 = [ ] C 4 = [ ] d 14 = ( ) ( ) ( ) d 24 = ( ) ( ) ( ) d 34 = ( ) ( ) ( ) Dari hasil perhitungan jarak menunjukkan bahwa citra ke-3 dan citra ke-4 mempunyai jarak paling kecil. Artinya citra ke-4 sangat mirip dengan citra ke-3, dibanding dengan citra ke-1 dan ke-2. Sehingga dari hasil perhitungan ini komputer memutuskan bahwa nama dari cara uji (citra ke-4) adalah Alim. 3. Aljabar Vektor Operasi-operasi pada vektor : 1. Kesamaan Dua Vektor Dua vektor dan adalah sama jika mereka memiliki besar/panjang dan arah yang sama dimanapun titik awalnya; =

11 2. Negatif Sebuah Vektor Sebuah vektor dengan arah berlawanan terhadap vektor tetapi memiliki besar atau panjang yang sama dinyatakan sebagai Resultan Dua Buah Vektor Jumlah atau resultan vektor dan adalah sebuah vektor yang terbentuk dengan meletakkan titik awal pada titik akhir dan menghubungkan titik awal ke titik akhir. Jumlah ditulis sebagai +. Definisi ini sama dengan hukum jajargenjang untuk penjumlahan vektor. + + Perluasan terhadap jumlah lebih dari dua vektor dapat dilakukan secara langsung, contohnya : D 4. Selisih vektor Selisih vektor dan, direpresentasikan - adalah vektor yang ditambahkan ke menghasilkan. Secara ekuivalen - dapat didefinisikan sebagai + ( ). Jika =, maka - didefinisikan sebagai vektor kosong atau vektor nol. Vektor ini memiliki besar nol tetapi tidak memiliki arah. E

12 - +(- ) 5. Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar Perkalian sebuah vektor dengan sebuah skalar m menghasilkan sebuah vektor m yang memiliki besar kali besar dan arah sama atau berlawanan dengan tergantung pada apakah m positif atau negatif. Jika m = 0, maka m = 0, berarti vektor nol. Contoh : Diketahui dua vektor a = i + 2j 3k dan b = 2i + 5j + 4k, maka: 5a = 5 (i + 2j 3k) = 5i + 10j 15k 2a + 4b = 2 (i + 2j 3k) + 4 (2i + 5j + 4k) = (2i + 4j 6k) + (8i + 20j + 16k) = 10i + 24j +10k Latihan soal: 1. Diketahui vektor A = 3i + 4j, gambarlah vektor 2A dan 1/2A 2. Momentum adalah besaran vektor yang didefinisikan oleh P = mv. Sebuah massa 10 kg bergerak dengan kecepatan v = (5i + 5j 20k) m/s. Tentukan momentum yang dimiliki oleh massa tersebut. Dalil pada Operasi vektor : 1. + = hukum komutatif penjumlahan 2. + ( ) = ( ) hukum asosiatif penjumlahan 3. m(n ) = (mn) = n(m ) hukum asosiatif perkalian 4. (m + n) = m + n hukum distributif 5. m( + ) = hukum distributif = 7. +(- ) = =

13 Operasi perkalian titik atau perkalian skalar : Bila A= [ ] dan B = [ ] adalah vektor di R n, ϴ adalah sudut antara dan (0 ) A A A= [ ] A n θ. B B B = [ ] B n Perkalian titik dari dua vektor dan, dilambangkan dengan. (dibaca dot ) didefinisikan sebagai perkalian dari besar dan dan cosinus sudut antara keduanya. Ini dituliskan :. = A 1 B 1 + A 2 B A n B n Sedangkan sudut antara dua vektor tersebut didefinisikan oleh : Sifat-sifat perkalian titik : Misalkan dan adalah vektor di ruang R n, 1. ( ) 2. k k v k k k y k k y k k y k Bukti : 1. Karena sudut di antara dan adalah 0, maka dapat diperoleh :

14 2. Karena 4. Cross Product Operasi perkalian silang atau perkalian vektor : θ Jika = (A 1, A 2, A 3 ) dan = (B 1, B 2, B 3 ) adalah vektor di ruang R 3, maka hasil kali x adalah vektor yang tegak lurus terhadap yang didefinisikan oleh determinan berikut. x k x ( ) x ( ) Contoh : Carilah A x B dimana ( ) ( ) Jawab : * + A x B = ( ) ( )

15 Teorema Jika adalah vektor dalam ruang R 3, maka : 1. A.(A x B) = 0 2. x (Identitas Lagrange) Jika adalah sudut di antara, maka A.B =, sehinga identitas Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai : atau x ( ) x Jadi besar dari hasil perkalian silang antara dua vektor genjang yang sisi-sisinya adalah panjang vektor sama dengan luas jajaran Sifat-sifat hasil kali silang : 1. x = -( ) 2. x ( ) = ( x ) ( x ) 3. ( + )x = ( x ) ( x ) 4. k ( x ) = ( ) ( ) 5. x 0 = x 6. x = 0 Soal-soal latihan: 1. Carilah komponen-komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal di Q a. P(-4,6) dan Q(7,9) b. P(10,15,-8) dan Q(8,-8,-6) 2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2,-4,3) yang mempunyai arah seperti v[1,3,1] 3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(4,0,-6) yang mempunyai arah berlawanan dengan v=[-4,6,8] 4. Misalkan P adalah titik (3,-3,4) dan Q adalah tititk (6,5,-1)

16 a. Carilah titk tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P & Q yang ¾ dari P dan Q 5. Hitunglah panjang v bila a. v = [2,2,6] b. v = [-6,-9,4] 6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila a. P(4,2) dan Q(4,5) b. P(2,1,-4) dan Q(8,-4,4) 7. Diketahui tiga citra buah, yaitu Citra 1(jeruk), Citra 2(Apel), Citra 3(Pisang) yang akan digunakan sebagai basis data untuk pengenalan pola wajah menggunakan komputer Beberapa ciri untuk mengenali citra tersebut adalah dilihat dari standar deviasi intensitas warna dalam tiap-tiap citra σ, rata-ratanya μ, dan entropinya e. Setelah ketiga ciri tersebut dihitung diperoleh data berikut: Citra 1 : σ = 0,05 μ = 30 e = 1,42 Citra 2 : σ = 0,25 μ = 70 e = 1,65 Citra 3 : σ = 0,45 μ = 58 e = 2, 65 Kemudian diambil 1 citra lagi, yaitu citra ke-4 sebagai citra uji. Pada citra uji dihitung nilai-nilai ciri citra tersebut, diperoleh data berikut: Citra 4 : σ = 0,04 μ = 31 e = 1,41 Tentukan bagaimana komputer bisa mengenali citra ke-4? Dan apa nama buah dari citra ke-4 menurut hasil pengenalan komputer? 8. Sebuah massa 20 kg bergerak dengan kecepatan v = (-2i+8j -4k) m/s. tentuakan momentum yang dimiliki oleh massa tersebut. 9. Tentukan : a. a.b bila a = [4,8,-9] dan b = [-8,12,-4] b. Jarak A(4,6,6), B(-6,-8,1) c. Jarak vektor a = [2,8] dan b = [-7,-4] 10. a. Tentukan k supaya a = [3,k,-4,1] mempunyai panjang b. Berapa sudut antara a = [-1,4,8,-4] dan b = [2,0,4,0] c. Tentukan k supaya a = [2,k,-5] tegak lurus b =[0,-k,4]