Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
|
|
|
- Herman Sasmita
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
3 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
4 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
5 Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
6 Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koefisiennya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
7 Ruang Vektor Euclid dan Matriks Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks. Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koefisiennya. Tujuan lain adalah memberi suatu keterkaitan antara ruang vektor Euclid dan sebuah matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
8 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
9 Definisi Vektor-vektor Baris dan Kolom Suatu Matriks Definisi (Vektor-vektor baris dan kolom) Misalkan A adalah suatu matriks m n, a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =......, a m1 a m2 a mn vektor-vektor r 1 = [ a 11 a 12 a 1n ], r 2 = [ a 21 a 22 a 2n ],. r m = [ a m1 a m2 a mn ]. dalam R n yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagai vektor-vektor baris dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
10 Kemudian vektor-vektor a 11 a 21 c 1 =., c 2 = a m1 a 12 a 22. a m2,..., c n = a 1n a 21. a mn dalam R m yang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagai vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
11 Contoh Misalkan M = , vektor-vektor baris dari M adalah: r 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
12 Contoh Misalkan M = r 1 = [ ] = , vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), r 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
13 Contoh Misalkan M = r 1 = [ ] = r 2 = [ ] = , vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), = ( 1, 0, 1, 0), r 3 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
14 Contoh Misalkan M = r 1 = [ ] = r 2 = [ ] = r 3 = [ ] = , vektor-vektor baris dari M adalah: = (1, 2, 3, 4), = ( 1, 0, 1, 0), = (2, 2, 4, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
15 Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah c 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
16 Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
17 Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = = [ ] = (2, 0, 2), c 3 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
18 Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = c 3 = 2 0 = [ ] = (2, 0, 2), = [ ] = (3, 1, 4), 4 c 4 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
19 Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah 1 c 1 = 1 = [ ] = (1, 1, 2), 2 c 2 = c 3 = c 4 = 2 0 = [ ] = (2, 0, 2), = [ ] = (3, 1, 4), = [ ] = (4, 0, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
20 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Definisi Misalkan A adalah suatu matriks m n, maka 1 Subruang dari R n yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagai ruang baris dari A, dinotasikan dengan row (A). 2 Subruang dari R m yang direntang/ dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagai ruang kolom dari A, dinotasikan dengan col (A). 3 Subruang dari dari R n yang merupakan ruang penyelesaian dari SPL homogen Ax = 0 dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengan null (A). Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi. Catatan Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagai peta (image) dari A. Kita memiliki Im (A) = Peta (A) = col (A) = {y R m y = Ax untuk suatu x R n }. Ruang null dari A juga dikatakan sebagai inti atau kernel dari A. Kita memiliki ker (A) = inti (A) = null (A) = {x R n Ax = 0}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
21 Teorema SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A. Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks m n. Teorema di atas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b = α 1 c 1 + α 2 c α n c n, untuk suatu α 1, α 2,..., α n R, dengan c i (1 i n) adalah vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
22 Bukti Tulis A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn. Akibatnya kita memiliki Ax = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
23 Bukti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Tulis A = Akibatnya kita memiliki. a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x n Ax = a m1 a m2 a mn x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n = a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
24 Bukti a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n Tulis A = Akibatnya kita memiliki. a m1 a m2 a mn a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n x n Ax = a m1 a m2 a mn x n a 11 x 1 a 12 x 2 a 1n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2n x n = a m1 x 1 a m2 x 2 a mn x n a 11 a 21 = x 1. a m1 + x 2 a 12 a 22. a m2 + + x n a 1n a 2n. a mn MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
25 = x 1 c 1 + x 2 c x n c n Jadi SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika terdapat x 1, x 2,..., x n sehingga b = x 1 c 1 + x 2 c x n c n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
26 Latihan 0 Latihan Misalkan Ax = b adalah SPL x 1 x 2 x 3 = Periksa apakah b = (1, 9, 3) berada pada ruang kolom A. Jika ya nyatakan b sebagai kombinasi linier vektor-vektor kolom dari A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
27 Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh Lebih jauh, perhatikan bahwa x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
28 Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3. Lebih jauh, perhatikan bahwa x 1 + 3x 2 + 2x 3 Ax = x 1 + 2x 2 3x 3 = x 1 2x 1 + x 2 2x x x 3 dengan mensubstitusikan x 1 = 2, x 2 = 1, x 3 = 3, kita memiliki = , MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
29 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
30 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut. Teorema OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
31 Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut. Teorema Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya). 1 Suatu himpunan vektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier. 2 Suatu himpunan vektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom A jika dan hanya jika himpunan vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk basis untuk ruang kolom B. Teorema Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka 1 vektor-vektor baris dengan 1 utama (vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A; 2 vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor baris membentuk basis untuk ruang kolom A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
32 Contoh Misalkan M = Basis bagi row (M) adalah. Matriks M berada pada bentuk eselon baris. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
33 Contoh Misalkan M = Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
34 Contoh Misalkan M = Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu Jadi basis bagi col (M) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
35 Contoh Misalkan M = Matriks M berada pada bentuk eselon baris. Basis bagi row (M) adalah {(1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu Jadi basis bagi col (M) adalah {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
36 Contoh Misalkan M = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
37 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
38 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = Akibatnya basis bagi row (M ) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
39 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
40 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
41 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah {(1, 0, 0)}. Karena vektor (1, 0, 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
42 Contoh Misalkan M = Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris: M = Akibatnya basis bagi row (M ) adalah {(1, 1, 1)}. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M ). Jadi basis bagi row (M) adalah {(1, 1, 1)}. Kemudian basis bagi col (M ) adalah {(1, 0, 0)}. Karena vektor (1, 0, 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah {(0, 1, 1)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
43 Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
44 Latihan 1 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan r 1 = (1, 2, 5, 0, 3), r 2 = (0, 1, 3, 0, 0), r 3 = (0, 0, 0, 1, 0), basis untuk col (A) adalah {c 1, c 2, c 4 }, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 2 = ( 2, 1, 0, 0), c 4 = (0, 0, 1, 0). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
45 Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
46 Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
47 Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = ( 11s 3t, 3s, s, 0, t) dengan s, t R atau x = s ( 11, 3, 1, 0, 0) + t ( 3, 0, 0, 0, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
48 Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x 1 2x 2 + 5x 3 + 0x 4 + 3x 5 = 0 x 2 + 3x 2 + 0x 4 + 0x 5 = 0 x 4 + 0x 5 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 5 = t, kita juga memiliki x 4 = 0, x 2 = 3s, dan x 1 = 2x 2 5x 3 3x 5 = 2 ( 3s) 5s 3t = 6s 5s 3t = 11s 3t. Jadi jika x ker (A), maka x = ( 11s 3t, 3s, s, 0, t) dengan s, t R atau x = s ( 11, 3, 1, 0, 0) + t ( 3, 0, 0, 0, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah {( 11, 3, 1, 0, 0), ( 3, 0, 0, 01)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
49 Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
50 Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk eselon baris, A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
51 Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang beradadalam bentuk eselon baris, A = Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
52 Latihan 2 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut A = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A yang beradadalam bentuk eselon baris, A = Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah {r 1, r 2, r 3 }, dengan r 1 = (1, 3, 4, 2, 5, 4), r 2 = (0, 0, 1, 3, 2, 6), r 3 = (0, 0, 0, 0, 1, 5). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
53 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
54 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
55 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
56 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A T ). Salah satu bentuk EB dari A T adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
57 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A ) T. Salah satu bentuk EB dari A T adalah , MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
58 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 3, c 5}, dengan c 1 = (1, 0, 0, 0), c 3 = (4, 1, 0, 0, ), c 5 = (5, 2, 1, 0). Dengan demikian basis untuk col (A) adalah {c 1, c 3, c 5 }, dengan c 1 = (1, 2, 2, 1), c 3 = (4, 9, 9, 4), c 5 = (4, 2, 7, 4). Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row ( A ) T. Salah satu bentuk EB dari A T adalah akibatnya {(1, 2, 2, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 0)} adalah basis bagi col (A)., MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
59 Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
60 Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 Misalkan x 2 = r, x 4 = s, dan x 6 = t, kita memiliki x 5 = 5t x 3 = 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t x 1 = 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
61 Karena ker (A) = ker (A ), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A x = 0, yaitu x 1 3x 2 +4x 3 2x 4 +5x 5 +4x 6 = 0 +x 3 +3x 4 2x 5 6x 6 = 0 +x 5 +5x 6 = 0 Misalkan x 2 = r, x 4 = s, dan x 6 = t, kita memiliki x 5 = 5t x 3 = 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t x 1 = 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. Jadi jika x ker (A), x = (3r + 14s + 37t, r, 3s 4t, s, 5t, t) dengan r, s, t R. Akibatnya x = r (3, 1, 0, 0, 0, 0) + s (14, 0, 3, 1, 0, 0) + t (37, 0, 4, 0, 5, 1). Akibatnya basis bagi ker (A) adalah {(3, 1, 0, 0, 0, 0), (14, 0, 3, 1, 0, 0), (37, 0, 4, 0, 5, 1)}. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
62 Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut M = Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
63 Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut M = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, M = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
64 Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut M = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, M = Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M ) sama, yaitu adalah {r 1, r 2 }, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
65 Latihan 3 Latihan Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut M = Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk eselon baris, M = Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M ) sama, yaitu adalah {r 1, r 2 }, dengan r 1 = [ ], r 2 = [ ]. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
66 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
67 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan c 1 = 1 0 0, c 2 = Dengan demikian basis untuk col (M) adalah {c 1, c 2 }, dengan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
68 Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M ) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A ) adalah {c 1, c 2}, dengan c 1 = 1 0 0, c 2 = Dengan demikian basis untuk col (M) adalah {c 1, c 2 }, dengan 1 1 c 1 = 1 1, c 2 = 1 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
69 Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
70 Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu x x 2 x = x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
71 Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu x x 2 x = x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
72 Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu x x 2 x = x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. s t Jadi jika x ker (A), maka x = s + t s dengan r, s, t R. Akibatnya t x = s t Sehingga bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
73 Karena ker (M) = ker (M ), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M x = 0, yaitu x x 2 x = x 4 x 1 +x 3 +x 4 = 0 +x 2 +x 3 x 4 = 0 Misalkan x 3 = s dan x 4 = t, maka x 2 = s + t dan x 1 = s t. s t Jadi jika x ker (A), maka x = s + t s dengan r, s, t R. Akibatnya t x = s t {( 1, 1, 1, 0), ( 1, 1, 0, 1)}.. Sehingga bagi ker (A) adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
74 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
75 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
76 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
77 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
78 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
79 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
80 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
81 Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antara dimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang null dari suatu matriks maupun transposnya. Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti). Mengingat row ( A T ) = col (A) dan col ( A T ) = row (A), dari suatu matriks A dan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A, row (A), ruang kolom A, col (A), ruang null A, null (A), dan ruang null A T, null ( A T ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
82 Definisi Rank dan Nulitas Teorema Misalkan A adalah suatu matriks dengan entri-entri berupa bilangan real, maka dim (row (A)) = dim (col (A)). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
83 Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
84 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
85 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
86 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki Kita juga memiliki dim (col (A )) = dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
87 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
88 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
89 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
90 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya Jadi dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = dim (col (A )). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
91 Bukti Misalkan A adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki dim (row (A)) = dim (row (A )) dan dim (col (A)) = dim (col (A )). Kita juga memiliki dim (col (A )) = # 1 utama pada A. Akibatnya Jadi dim (row (A )) = # baris tak nol pada A = # 1 utama pada A = dim (col (A )). dim (row (A)) = dim (row (A )) = dim (col (A )) = dim (col (A)). MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
92 Definisi Rank dan Nulitas Dari teorema yang telah dijelaskan, kita dapat mendefinisikan rank dan nulitas dari suatu matriks sebagai berikut. Definisi Apabila A adalah suatu matriks dengan entri-entri real, maka dimensi bersama untuk ruang baris dan ruang kolom dari A disebut sebagai rank dari A dan dinotasikan dengan rank (A). Dengan perkataan lain rank (A) = dim (row (A)) = dim (col (A)) = dim (Im (A)). Selanjutnya dimensi untuk ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A dan dinotasikan dengan nulitas (A). Dengan perkataan lain nulitas (A) = dim (null (A)) = dim (ker (A)). Catatan Untuk sembarang matriks A, secara intuitif kita dapat mengatakan bahwa rank (A) adalah banyaknya baris (atau kolom) yang bebas linier pada A. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
93 Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks A apabila Solusi: A = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
94 Latihan 4 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks A apabila A = Solusi: Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut A = Akibatnya diperoleh rank (A) = 2.. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
95 Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
96 Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
97 Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh Jadi x 2 = 2q + 12r + 16s 5t, x 1 = 4q + 28r + 37s 13t. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
98 Kemudian karena ker (A) = ker (A ) = { x R 6 A x = 0 } kita memiliki SPL berikut x 1 +2x 2 +4x 4 +5x 5 3x 6 = 0 +x 2 2x 3 12x 4 16x 5 +5x 6 = 0 misalkan x 3 = q, x 4 = r, x 5 = s, x 6 = t, diperoleh Jadi x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = q x 2 = 2q + 12r + 16s 5t, x 1 = 4q + 28r + 37s 13t r s t Oleh karenanya basis bagi ker (A)adalah {(4, 1, 1, 0, 0, 0), (28, 12, 0, 1, 0, 0), (37, 16, 0, 0, 1, 0), ( 13, 5, 0, 0, 0, 1)}. Jadi nulitas (A) = 4., MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
99 Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks M apabila M = Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
100 Latihan 5 Latihan Tentukan rank dan nulitas dari matriks M apabila M = Solusi: Kita dapat mereduksi M menjadi matriks M yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut M = Akibatnya diperoleh rank (A) = 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
101 Kemudian karena ker (M) = ker (M ) = { x R 4 M x = 0 } kita memiliki SPL berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
102 Kemudian karena ker (M) = ker (M ) = { x R 4 M x = 0 } kita memiliki SPL berikut x x x = 0. 0 x 4 x 1 2x 3 = 0 +x x x 4 = 0 +x 3 = 0 Jadi diperoleh x 3 = 0, x 1 = 0, dan jika x 4 = t, maka x 2 = 1 2t. Akibatnya x x 2 x 3 = 1 2 t 0 = t x 4 t 1 Oleh karenanya basis bagi ker (M)adalah {( 0, 1 2, 0, 1)} = {(0, 1, 0, 2)} = {(0, 1, 0, 2)}. Jadi nulitas (M) = 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
103 Bahasan 1 Motivasi 2 Definisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null 4 Rank dan Nulitas 5 Beberapa Teorema Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
104 Beberapa Teorema Penting Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank ( A T ). Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
105 Beberapa Teorema Penting Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan entri real, maka rank (A) = rank ( A T ). Bukti rank (A) = dim (row (A)) = dim ( col ( A T )) = rank ( A T ).. Teorema Jika A adalah sebarang matriks dengan real berukuran m n, maka rank (A) + nulitas (A) = n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
106 Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
107 Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A ) dan nulitas (A) = nulitas (A ). Selanjutnya pandang SPL A x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita definisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
108 Bukti Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A yang berada dalam bentuk EB. Berdasarkan teorema sebelumnya, rank (A) = rank (A ) dan nulitas (A) = nulitas (A ). Selanjutnya pandang SPL A x = 0. SPL ini memiliki m persamaan dan n variabel. Kita definisikan variabel utama sebagai variabel yang bersesuaian dengan sebuah 1 utama dan parameter sebagai variabel yang tidak terkait dengan 1 utama. Kita memiliki Mengingat (# variabel utama) + (# parameter) = (# seluruh variabel) (# 1 utama) + (# parameter) = n rank (A) + (# parameter) = n. nulitas (A) = nulitas (A ) = dim (ker (A )) = # parameter pada solusi SPL A x = 0, kita mendapatkan rank (A) + nulitas (A) = n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
109 Teorema Jika A adalah suatu matriks dengan entri-entri real berukuran m n, maka 1 rank (A) sama dengan banyaknya variabel utama (variabel yang bersesuaian dengan 1 utama) dari solusi Ax = 0. 2 nulitas (A) sama dengan banyaknya parameter dari solusi Ax = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
110 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
111 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
112 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
113 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
114 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
115 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
116 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = n r dim ( null ( A T )) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
117 Keterkaitan antara Rank dan Nulitas untuk A dan A T Misalkan A adalah suatu matriks real berukuran m n maka 0 rank (A) min {m, n}. Dari teorema-teorema penting yang telah dijelaskan sebelumnya, apabila A adalah suatu matriks real berukuran m n dengan rank (A) = r, maka kita memiliki dim (row (A)) = r dim (col (A)) = r dim ( row ( A T )) = r dim ( col ( A T )) = r dim (null (A)) = n r dim ( null ( A T )) = m r MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom, & Null November / 43
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Ruang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A
Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.
Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN
KS96 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Baris Ruang Kolom Ruang Nol TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mencari ruang baris, ruang kolom,
RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)
1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol
SUMMARY ALJABAR LINEAR
SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan
Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :
Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26
Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor
Aljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR
BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan
RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR
7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut
Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1
Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w
Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:
Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank
Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar
Aljabar Linier Elementer
Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah
SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks
DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI
Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------
Teori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III
ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,
SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
MAKALAH BASIS RUANG SOLUSI
MAKALAH BASIS RUANG SOLUSI Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen pengampu : Darmadi,S.Si,M.pd Di susun Oleh : Kelompok 6/ VF 1. Fitria Wahyuningsih ( 08411.135 ) 2. Pradipta Annurwanda
Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut
RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7
Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan
Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2
Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI
MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan
Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor
Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi
6 Sistem Persamaan Linear
6 Sistem Persamaan Linear Pada bab, kita diminta untuk mencari suatu nilai x yang memenuhi persamaan f(x) = 0. Pada bab ini, masalah tersebut diperumum dengan mencari x = (x, x,..., x n ) yang secara sekaligus
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,
dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu
BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR
MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan
5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.
1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen
BAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015
Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang
Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks
Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan
Aljabar Linier Elementer. Kuliah 27
Aljabar Linier Elementer Kuliah 27 Materi Kuliah Transformasi Linier Invers Matriks Transformasi Linier Umum //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Satu ke satu dan Sifat-sifatnya Definisi
Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F
BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor
RUANG FAKTOR. Oleh : Muhammad Kukuh
Muhammad Kukuh, Ruang RUANG FAKTOR Oleh : Muhammad Kukuh Abstraksi Pada struktur aljabar dikenal istilah grup faktor yaitu Jika grup dan N Subgrup normal G, maka grup faktor dengan operasi Apabila G ruang
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks
Part II SPL Homogen Matriks
Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a
Aljabar Matriks. Aljabar Matriks
Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor
Kumpulan Soal,,,,,!!!
Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI QR TUGAS AKHIR
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR FUZZY KOMPLEKS MENGGUNAKAN METODE DEKOMPOSISI QR TUGAS AKHIR Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Oleh :
1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang
Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE
Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016 Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali
Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Pertama, daftarkan kedua himpunan vektor: himpunan yang merentang diikuti dengan himpunan yang bergantung linear, perhatikan:
Dimensi dari Suatu Ruang Vektor Jika suatu ruang vektor V memiliki suatu himpunan S yang merentang V, maka ukuran dari sembarang himpunan di V yang bebas linier tidak akan melebihi ukuran dari S. Teorema
Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree)
Logika Proposisi 1: Motivasi Pohon Urai (Parse Tree) Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Proposisi
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN
KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas
Aljabar Linier. Kuliah
Aljabar Linier Kuliah 10 11 12 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2 Transformasi Linier
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :
Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan
RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF
Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 1 (2013), hal. 63 70. RANK MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF Eka Wulan Ramadhani, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani INTISARI Rank dari matriks
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bab II ini menjelaskan tentang teori-teori pendukung yang digunakan untuk pembahasan selanjutnya yaitu sistem persamaan linear sistem persamaan linear kompleks dekomposisi Doolittle
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b
Solusi Sistem Persamaan Linear Ax = b Kie Van Ivanky Saputra April 27, 2009 K V I Saputra (Analisis Numerik) Kuliah Sistem Persamaan Linier c April 27, 2009 1 / 9 Review 1 Substitusi mundur pada sistem
BAB II DASAR DASAR TEORI
BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal
7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Matriks dan Sistem Persamaan Linear
Modul 2.2 Matriks dan Sistem Persamaan Linear (Topik 4) A. Pendahuluan Salah satu kajian matematika sekolah menengah yang memiliki banyak aplikasinya dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dalam kehidupan
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Nursyahrina - 13513060 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU
BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus
(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66
MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi
BAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks
BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas
Logika Predikat (Kalkulus Predikat)
Logika Predikat (Kalkulus Predikat) Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016 M. Arzaki Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus
HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.
HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081
Dalam bentuk SPL masalah ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
SISTEM PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat fungsi eksponensial, trigonometri, logaritma serta tidak melibatkan suatu hasil kali peubah atau akar peubah atau
Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT
Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui
RUANG VEKTOR BAGIAN RANK KONSTAN DARI BEBERAPA RUANG VEKTOR MATRIKS
Prosiding Seminar Nasional Volume, Nomor 1 ISSN 443-119 RUANG VEKOR BAGIAN RANK KONSAN DARI BEBERAPA RUANG VEKOR MARIKS Iin Karmila Putri 1, Andi Jumardi Universitas Cokroaminoto Palopo 1, iinkarmilaputri@gmail.com
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS
ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam
Aljabar Linear Elementer MUG1E3 3 SKS
// ljabar Linear Elementer MUGE SKS // 9:7 Jadwal Kuliah Hari I Selasa, jam. Hari II Kamis, jam. Sistem Penilaian UTS % US % Quis % // 9:7 M- ljabar Linear // Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
Pertemuan 14. persamaan linier NON HOMOGEN
Pertemuan 14 persamaan linier NON HOMOGEN 10 Metode GAUSS Aljabar Linier Hastha 2016 10.2.2 METODE ELIMINASI GAUSS Apabila [A][X]=[B] maka dengan menyusun matriks baru yaitu matriks [A.B] akan didapat
RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang