Aljabar Linier Elementer. Kuliah 27

Transkripsi

1 Aljabar Linier Elementer Kuliah 27

2 Materi Kuliah Transformasi Linier Invers Matriks Transformasi Linier Umum //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2

3 Transformasi Linier Satu ke satu dan Sifat-sifatnya Definisi Transformasi linier T: V W disebut satu ke satu jika T memetakan vector-vector yang berbeda pada V ke vector-vector yang berbeda pada W. (Transformasi linier T: V W disebut satu ke satu jika untuk setiap u, v V dengan T u = T(v) maka u = v. Teorema 8.3. Jika T: V W adalah transformasi linier, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen: a. T adalah satu ke satu b. Ker T = c. nulitas T = //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 3

4 Teorema Jika V adalah ruang vector berdimensi hingga, dant: V V adalah operator linier, maka pernyataanpernyataan berikut ekivalen: a. T adalah satu ke satu b. Ker T = c. Nulitas T = d. Range dari T adalah V; yaitu R T = V //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 4

5 Contoh. Suatu transformasi linier T: R n R n dapat diwakilkan dengan T A x = Ax. Untuk membuktikan T: R n R n satu ke satu atau tidak adalah dengan membuktikan apakah matriks perkalian A invertible atau tidak. Jika A invertible maka T adalah satu ke satu. 2. Misalkan T A : R 4 R 4 adalah perkalian dengan A = Tentukan apakah A satu ke satu? //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 5

6 Invers dari Transformasi Linier jika T A adalah transformasi linier satu ke satu maka A invertibel. Jadi dapat ditentukan T A, yang disebut sebagai invers dari T A, dan T A ini juga merupakan tranformasi linier. Perhatikan bahwa: T A T A x = AA x = Ix = x T A T A x = A Ax = Ix = x Atau ekivalen dengan T A T A = T AA = T I T A T A = T A A = T I Catatan: Jika T A mewakili transformasi linier T dengan T A = A, maka T A mewakili transformasi linier T dengan T A = A Karena matriks standar untuk T adalah invers dari matriks standar untuk T, maka T = T //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 6

7 Contoh Misalkan T: R 3 R 3 adalah operator linier yang didefinisikan dengan x 3x + x 2 T x 2 = 2x 4x 2 + 3x 3 x 3 5x + 4x 2 2x 3 Tentukan apakah T satu ke satu. Jika ya, tentukan x T x 2. x 3 //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 7

8 Teorema Jika T : U V dan T 2 : V W adalah transformasi linier, maka: a. T 2 T adalah satu ke satu b. T 2 T = T T 2 //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 8

9 Proses Mencari Matriks Standar Suatu transformasi linier T: R n R m dapat diwakilkan dengan T A x = Ax. Proses mendapatkan matriks ini berdasarkan basis standar dari R n dan R m. Contoh: Misalkan T: R 3 R 3 adalah operator linier yang didefinisikan dengan Basis standar di R 3 adalah S = Mencari A: T 3 = 2 = A = T A = T 2, T + 5 = S T 4 4, jadi,, T T, x x 2 = x S = S T = dst. 5 = S 3x + x 2 2x 4x 2 + 3x 3 5x + 4x 2 2x //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 9

10 Matriks Transformasi Linier Umum Jika pada proses mencari matriks standar yang digunakan adalah basis standar untuk masing-masing ruang vector rielnya, maka matriks transformasi linier umum memerlukan basis dari masing-masing ruang vektornya. Proses mendapatkan matriks transformasi linier umum ini sama dengan proses mencari matriks standart. Misalkan T: V W transformasi linier, dengan B basis untuk V dan B basis untuk W. Maka matriks yang mewakili T dengan basis B dan B, maka matriks ini dinamakan dengan matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B, symbol T B,B //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand

11 Proses Mencari Matriks Transformasi Linier Umum Misalkan T: V W transformasi linier, dengan B = u, u 2,, u n basis untuk V dan B basis untuk W.. Tentukan T u, T u 2,, T u n 2. Tentukan T u B, T u 2 B,, T u n B 3. Matriks T B,B adalah matriks yang kolom-kolomnya T u B, T u 2 B,, T u n B atau //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand

12 Contoh. Misalkan T: R 2 R 3 transformasi linier yang didefinisikan oleh T x x 2 x = 5x + 3x 2. Tentukan matriks T B,B jika B = 2 7x + 6x 2 3, adalah basis untuk R 2 dan B =, 2, adalah basis untuk R Misalkan T: R 2 R 2 transformasi linier yang didefinisikan oleh T x x x = + x 2. Tentukan T 2 2x + 4x B,B jika B = B = 2, 2 adalah basis untuk R2. (Untuk kasus seperti contoh ini T B,B disimbolkan dengan T B //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2

13 Matriks Komposisi dan Matriks Transformasi Invers Teorema Jika T : U V dan T 2 : V W adalah transformasi linier, dan jika B, B dan B adalah masing-masing basis untuk U, V dan W, maka T 2 T B,B = T 2 B,B T B,B Teorema Jika T: V V adalah sebuah operator linier, dan jika B adalah basis untuk V, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen a. T adalah satu ke satu. b. T B invertible. Selanjutnya dengan syarat ekivalensi tersebut, berlaku: T B = T B //24 Yanita, Matematika FMIPA Unand 3