Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
|
|
- Vera Iskandar
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Indonesia 2010
2 Vektor-Vektor Dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi Pengantar Vektor (Geometris) Vektor bisa disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi-2 atau ruang berdimensi-3. Arah panah menentukan arah vektor, dan panjang panah menentukan panjang vektor. Ekor dari panah tersebut disebut titik pangkal vektor, dan ujung panah disebut titik ujung vektor. Vektor dilambangkan huruf kecil cetak tebal (misalnya a, b, v, w, dsb). Ketika mendiskusikan vektor, semua bilangan riil disebut skalat, dan dilambangkan huruf kecil cetak miring (misalnya, a, b, k, m, dsb). Jika titik pangkal suatu vektor v adalah A, dan titik ujungnya adalah B, maka dituliskan v AB. Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama disebut ekuivalen atau dapat dipandang sama (walaupun terletak dalam posisi berbeda). Jika v dan w ekuivalen maka dituliskan v = w. Definisi Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v+w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut: Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung vektor v. Vektor v+w disajikan oleh panah dari titik pangkal v hingga ke titik ujung w. Berikut ilustrasinya
3 Berdasarkan gambar diatas terlihat bahwa v+w = w+v dan jumlah dua vektor tersebut adalah diagonal dari jajargenjang yang ditentukan oleh v dan w dengan kedua titik pangkalnya sama. Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. Didefinisikan bahwa 0+v = v+0 = v untuk sebarang vektor v. Vektor nol mempunyai sebarang arah yang sesuai dengan keadaannya. Jika v adalah sebarang vektor tak-nol, maka v (yaitu negatif dari v) adalah vektor yang besarnya sama dengan v tetapi arahnya terbalik. Vektor v ini mempunyai sifat v+(- v) = 0. Didefinisikan pula -0 = 0. Definisi Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai v-w = v+(-w) Definisi Jika v adalah suatu vektor tak-nol dan k adalah suatu skalar tak-nol, maka hasil kali kv adalah vektor yang panjangnya kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan dengan arah v jika k < 0. Didefinisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0. Vektor kv tersebut disebut penggandaan skalar dari v. Vektor-vektor yang merupakan penggandaan skalar satu sama lain adalah sejajar. Begitu pula sebaliknya. Vektor-vektor dalam sistem Koordinat Anggap v adalah sebarang vektor pada bidang dan asumsikan bahwa v diletakkan sehingga titik pangkalnya berada pada titik asal sistem koordinat segi empat. Misalkan titik ujung v adalah titik ( v1, v 2) dalam ruang berdimensi-2. Koordinat dari titik ujung v tersebut disebut komponen v dan ditulis
4 v = ( v 1, v 2 ) Dengan memperhatikan hal diatas maka jika vektor-vektor yang ekuivalen diletakkan sehingga titik pangkalnya berada di titik asal, maka jelas bahwa titik ujungnya harus berhimpit. Jadi vektor-vektor tersebut mempunyai komponen yang sama. Sehingga dapat disimpulkan bahwa dua vektor v = ( v 1, v 2 ) dan w = ( w 1, w 2 ) dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika v 1 w 1 dan v2 w2. Operasi penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar mudah dilakukan dalam bentuk komponen. Berikut ilustrasi untuk penjumlahan vektor dan perkalian vektor dengan skalar. Penjumlahan vektor
5 Perkalian vektor dengan skalar Berdasarkan gambar tersebut, Jika v = ( v 1, v 2 ) dan w = ( w 1, w 2 ) didapat v+w = ( v1 w1, v2 w2 ) dan kv = ( kv1, kv 2). Lalu, karena v-w = v+(-1)w, maka berdasarkan operasi penjumlahan dan perkalian skalar diatas, didapat v-w = ( v1 w1, v2 w2 ). Vektor-Vektor dalam ruang berdimensi-3. Sistem koordinat segi empat dalam ruang berdimensi-3 memiliki tiga sumbu koordinat yang saling tegak lurus, diberi nama sumbu x, y dan z. Setiap pasangan koordinat menentukan suatu bidang yang disebut bidang koordinat, yaitu bidang-xy, bidang-xz dan bidang-yz. Untuk setiap titik P dalam ruang berdimensi-3 diberikan tiga pasangan terurut (x, y, z) yang disebut koordinat titik P. Berikut contoh penyusunan titik-titik yang koordinatnya adalah (4, 5, 6) dan (-3, 2, -4)
6 Sistem koordinat dalam ruang berdimensi-3 mempunyai dua kategori, yaitu sistem tangan-kiri dan tangan-kanan. Berikut ilustrasinya. Dalam pembahasan disini hanya akan digunakan sistem tangan-kanan. Berdasarkan pembahasan sebelumnya, mengenai komponen suatu vektor dalam ruang berdimensi-2, maka didapat pula pernyataan untuk komponen untuk vektor-vektor dalam ruang berdimensi-3 sebagai berikut v = ( v1, v2, v 3) dan w = ( w 1, w 2, w 3 ) Dua vektor v dan w ekuivalen jika dan hanya jika v1 w1, v2 w2dan v3 w3 v+w = ( v1 w1, v2 w2, v3 w3 ) kv = ( kv1, kv2, kv 3) dan v-w = ( v1 w1, v2 w2, v3 w3 ) Contoh: Jika v = (1, -3, 2) dan w = (4, 2, 1), maka v+w = (5, -1, 3) 2v = (2, -6, 4) -w = (-4, -2, -1) dan v-w = (-3, -5, 1)
7 Kadang suatu vektor titik pangkalnya tidak berada dititik asal. Jika vektor PP 1 2 mempunyai titik pangkal P1 ( x1, y1, z 1) dan titik ujung P2 ( x2, y2, z 2), maka PP ( x x, y y, z z ) Hal ini dapat dilihat pada gambar berikut. Vektor PP adalah selisih vektor 1 2 OP dan vektor 2 OP, sehingga 1 PP OP OP ( x, y, z ) ( x, y, z ) ( x x, y y, z z ) Jadi komponen PP diperoleh dengan pengurangan koordinat titik pangkal dari koordinat titik 1 2 ujung. Pergeseran Sumbu Penyelesaian atas banyak permaslahan bisa disederhanakan dengan menggeser sumbu koordinat untuk memperoleh sumbu baru yang sejajar dengan sumbu aslinya. Berikut adalah ilustrasinya.
8 Pada gambar diatas, sumbu suatu sistem koordinat-xy telah digeser sehingga diperoleh suatu sistem koordinat-x y yang titik asalnya adalah O yang berada pada titik (k, l) dalam koordinat-xy. Suatu titik P pada ruang berdimensi-2 sekarang mempunyai koordinat (x, y) dan (x, y ). Untuk melihat kaitan antar kedua koordinat tersebut, tinjau vektor O P. Pada sistem koordinat-xy titik pangkalnya adalah (k, l) dan titik ujungnya adalah (x, y), sehingga O P = (x-k, y-l). Sedangkan pada sistem koordinat-x y titik pangkalnya adalah (0,0) dan titik ujungnya adalah (x, y ), sehingga O P = (x, y ). Oleh karena itu diperoleh x = x-k dan y = y-l Rumus tersebut dinamakan persamaan pergeseran. Contoh: Anggap suatu sistem koordinat-xy digeser sehingga diperoleh suatu sistem koordinatx y yang titik asalnya mempunyai koordinat-xy (k, l) = (4, 1) a) Carilah koordinat-x y dari titik dengan koordinat xy P(2, 0) b) Carilah koordinat-xy dari titik dengan koordinat-x y Q(-1, 5) Penyelesaian: a) Persamaan pergeserannya adalah x = x-4 dan y = y-1. Sehingga koordinat-x y dari titik P adalah x = 2-4 = -2 dan y = 0-1 = -1. Jadi dalam koordinat-x y P(-2, -1) b) Persamaan pergeseran dapat ditulis pula menjadi x = x +4 dan y = y +1. Sehingga koordinat-xy dari titik Q adalah x =-1+4 = 3 dan y = 5+1 =6. Jadi dalam koordinat-xy Q(3, 6).
9 3.2 NORMA SUATU VEKTOR ; ARITMATIKA VEKTOR Pada bagian ini kita akan menetapkan aturan dasar dari aritmatika vektor SIFAT-SIFAT OPERASI VEKTOR Teorema : Jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 dan berdimensi 3 dan k dan l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku. a) u + v = v + u b) (u+v)+w = u+(v+w) c) u + 0 = 0 + u = u d) u + (-u) = 0 e) k(lu) = (kl)u f) k(u+v)=ku + kv g) (k+l) u = ku +lu h) 1u=u NORMA SUATU VEKTOR Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai norma u dan dinyatakan sebagai u. Anggap u =(u,u ) vektor dalam ruang berdimensi berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan : u = u u Anggap u =(u,u, u ) vektor dalam ruang berdimensi berdasarkan teorema pythagoras kita dapatkan : u = u u u
10 suatu vektor bernorma 1 disebut suatu vektor satuan Jika P ( x, y, z ) dan P ( x, y, z ) adalah dua titik dalam ruang berdimensi -3. maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma P P 1 2 P P = (x -x, y -y, z -z ) d = x -x y -y z -z
11 contoh : 1. u =(-3,2,1) u = P (2, 1, 5) dan P (4, 3,1) d = x -x y -y z -z d = 4-2 (-3)-(-1) 1-(-5) d = 44
12 3.3 Hasil Kali Titik ; Proyeksi Misalkan u dan v adalah vektor tak-nol dalam R 2 atau R 3,anggap vektor-vektor in telah diposisikan sehingga titik pangkalnya berhimpitan. Sudut antara vektor u dan v adalah, dimana. Definisi Hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u. v didefinisikan sebagai Anggap u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), sudut antara vektor u dan v adalah pada gambar di bawah ini. Sesuai aturan cosinus, diperoleh : ditunjukkan Karena, maka dan dapat disederhanakan menjadi. Mencari Sudut Antar Vektor dari definisi di atas, sudut antar vektor dapat diperoleh dari.
13 Selanjutnya, dalam memperoleh informasi dari sudut antar dua vektor, teorema di bawah ini dapat digunakan. Teorema Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam R 2 atau R 3. (a) (b) Jika u dan v adalah vektor tak-nol, sudut antara vektor u dan v adalah # lancip Jika dan hanya jika u. v > 0 # tumpul Jika dan hanya jika u. v < 0 # = Jika dan hanya jika u. v = 0, maka Vektor Vektor Ortogonal merupakan vektor-vektor yang tegak lurus. Berdasar teorema (b) di atas; jika u dan v adalah vektor tak-nol, maka = Jika dan hanya jika u. v = 0, artinya u dan v saling tegak lurus (orthogonal), dituliskan. Contoh : Tunjukkan bahwa dalam vektor tak-nol n = (a,b) tegak lurus dengan garis. Penyelesaian. Misal dan titik yang berbeda garis, maka Sedemikian sehingga vektor =. -- (*) dapat juga dinyatakan atau, maka benar (*) bahwa n dan saling tegak lurus.
14 Teorema maka: Anggap u dan v adalah vektor-vektor dalam R 2 atau R 3 dan k adalah suatu skalar, Bukti : (c) Misalkan u = (u1, u2, u3) dan v = (v1, v2, v3), maka Demikian juga dengan. Proyeksi Ortogonal Perhatikan gambar berikut : Dimana Vektor w1 sejajar dengan a, vektor w2 tegak lurus dengan a, dan. Selanjutnya, vektor w1 disebut proyeksi orthogonal dari u pada a atau komponen vektor dari u yang sejajar dengan a, dinyatakan dengan Proya u. karena, maka. Vektor w2 disebut komponen vektor u yang orthogonal terhadap a. Teorema Anggap u dan a adalah vektor-vektor dalam R 2 atau R 3, a 0, maka: Komponen vektor dari u yang sejajar dengan a : Komponen vektor dari u yang ortogonal dengan a : Panjang komponen vektor u yang sejajar vektor a bisa diperoleh dari
15 Sehingga akan menghasilkan Jika θ menyatakan sudut yang dibentuk oleh u dan a, maka u a = u a cos θ sehingga persamaan diatas dapat ditulis sebagai Berikut adalah contoh penggunaan metode vektor untuk menurunkan suatu rumus yaitu rumus jarak dari suatu titik pada bidang ke suatu garis. Contoh. Cari rumus jarak D dimana D adalah jarak antara titik P 0 (x 0, y 0 ) dan garis ax + by + c = 0. Penyelesaiaan. Misalkan titik Q(x 1, y 1 ) adalah sebarang titik pada garis tersebut dan letakkan vektor n = (a, b) sedemikian sehingga titik pangkalnya ada di Q. Karena vektor n tegak lurus garis ax + by + c = 0 maka jarak D sama dengan panjang proyeksi orthogonal QP 0 pada n, perhatikan gambar berikut
16 Dengan menggunakan persamaan sebelumnya diperoleh, dimana Sehingga diperoleh Karena titik Q(x 1, y 1 ) terletak pada garis tersebut sehingga Dengan mensubstitusikan persamaan ini maka diperoleh rumus
17 Cross Product Is a bilinear map R 3 R 3 R 3. Let u, v, and w be a vector in R 3 and w = u v then: w v = w u = 0 Meaning: w is perpendicular to both u and v Orientation is important Definition: a b = a b sinθn where θ is the angle between the vectors a and b Coordinate notation: a b = (a2b3 a3b2, a3b1 a1b3, a1b2 a2b1) Matrix Definition Geometric meaning: a b = a b sinθn a b = a b sinθ = area of parallelogram Relationship with dot product: a) u (u v) = 0 b) v (u v) = 0 c) u v 2 = u 2 v 2 -(u v) 2
18 d) u (v w) = (u w)v-(u v)w (u v) w = (u w)v-(v w)u Lines and Planes in 3-Space Lines Specify a vector v = (a, b, c) that is parallel to the line Given a point on the line p0=(x0, y0, z0), the vector from p0 to arbitrary point in the line is parallel to v. p0p = tv for any scalar t. Since p0p = (x-x0, y-y0, z-z0) then(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta, tb, tc) Equating LHS and RHS, we get the parametric equation for a line in 3-Space Vector form: r = r0 -tv Planes Specify a vector that is a normal to the plane, n = (a, b, c) Given a point on the plane p0=(x0, y0, z0), the vector from p0 to arbitrary point on the plane p0p is perpendicular to n. n (p0p) = 0 Since p0p = (x-x0, y-y0, z-z0) then a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0 specifies the plane Vector form: n (r-r0)=0
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3
erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer Part IV. Oleh : Yeni Susanti
Aljabar Linear Elementer Part IV Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Oleh : Yeni Susanti Vektor di Ruang R 2, R 3 dan R n Vektor: besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor secara geometris bisa digambarkan
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinci----- Garis dan Bidang di R 2 dan R
----- Garis dan Bidang di R dan R 3 ----- Sifat Operasi Hasil Kali Titik pada Vektor Teorema: Hasil kali titik (dot product) u dan v dapat dinyatakan pula sebagai: A. Pendekatan Geometri: R u v cos ; u,
Lebih terperinciInterpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan
Jurnal Sains Matematika dan Statistika Vol No Juli 5 ISSN 46-454 Interpretasi Geometri Dari Sebuah Determinan Riska Yeni Syamsudhuha M D H Gamal 3 Jurusan Matematika Fakultas Mipa Universitas Riau Jl HR
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinci8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari
8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciEuclidean n & Vector Spaces. Matrices & Vector Spaces
Lecture 9 Euclidean n & Vector Spaces Delivered by: Filson Maratur Sidjabat fmsidjabat@president.ac.id Matrices & Vector Spaces #4 th June 05 (90%*score / 0% extra points for HW-Q) Retake Quiz. Compute
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciAljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 7-8
Aljabar Linear & Matriks Pert. 7-8 Evangs Mailoa Yang dipelajari hari ini: Aritmatika Vektor Konsep Geometrik Titik, Garis dan Bidang Perkalian Titik Euclidean Vector Spaces I There are two major topics
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinciKS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
5 BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dan bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks. Berikut ini beberapa
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciChapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES
Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan
Lebih terperinciVEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor
VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciHand-Out Geometri Transformasi. Bab I. Pendahuluan
Hand-Out Geometri Transformasi Bab I. Pendahuluan 1.1 Vektor dalam R 2 Misalkan u = (x 1,y 1 ), v = (x 2,y 2 ) dan w = (x 3,y 3 ) serta k skalar (bilangan real) Definisi 1. : Penjumlahan vektor u + v =
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciGeometri dalam Ruang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah July 11, 2011 Koordinat Cartesius: Tiga garis koordinat yang saling tegak lurus (sumbu x, sumbu y dan sumbvu z); Titik nol ketiga garis berada pada titik O yang sama yang
Lebih terperinciL mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor
ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.
Lebih terperinciKAJIAN TEORI PENYELESAIAN MASALAH JARAK DAN SUDUT PADA BANGUN RUANG DIMENSI TIGA MENGGUNAKAN PENDEKATAN VEKTOR
KAJIAN TEORI PENYELESAIAN MASALAH JARAK DAN SUDUT PADA BANGUN RUANG DIMENSI TIGA MENGGUNAKAN PENDEKATAN VEKTOR Andi Pujo Rahadi FKIP Universitas Advent Indonesia Abstrak Materi utama dalam bab Geometri
Lebih terperinciCHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciVEKTOR. Matematika Industri I
VEKTOR Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali vektor
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan
Lebih terperinciVEKTOR Matematika Industri I
VEKTOR TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan: Kuantitas skalar dan vektor Representasi vektor Komponen-komponen vektor yang diketahui Vektor dalam ruang Kosinus arah Hasilkali skalar dari dua vektor Hasilkali
Lebih terperinciVEKTOR. maka a c a c b d b d. , maka panjang (besar/nilai) vector u ditentukan dengan rumus. maka panjang vector
VEKTOR Bab a. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor. OA a ; OB b maka OA AB OB AB OB OA AB b a a u b dan c v d maka a c a c u v b d b d Contoh : Tentukan nilai x dan y dari x y + y = 8 Jawab : x + 8 + y =
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor
BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
Lebih terperinciSOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN. yos3prens.wordpres.com
SOAL&PEMBAHASAN MATEMATIKATKDSAINTEK SBMPTN 05 yosprens.wordpres.com SOAL DAN PEMBAHASAN MATA UJI MATEMATIKA TKD SAINTEK SBMPTN 05 Berikut ini 5 soal mata uji matematika beserta pembahasannya yang diujikan
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciMODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. IDENTITAS Satuan Pendidikan Kelas / Semester Mata Pelajaran Program Pokok Bahasan Alokasi Waktu : Sekolah Menengah Atas : XII / 5 (lima) : Matematika : Matematika
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) 1. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik Jurusan/Prodi : Pendidikan Teknik Elektro/ Pendidikan Teknik Mekatronika Semester : 3 (tiga) Minggu ke : 3 (tiga)
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciALJABAR LINEAR (Vektor diruang 2 dan 3) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.
ALJABAR LINEAR (Vektor dirang 2 dan 3) Dissn Untk Memenhi Tgas Mata Kliah Aljabar Linear Dosen Pembimbing: Abdl Aziz Saefdin, M.Pd Dissn Oleh : Kelompok 3/3A4 1. Nrl Istiqomah 14144100130 2. Ambar Retno
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinci01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1
01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciGrafika Komputer. Evangs Mailoa
Grafika Komputer Evangs Mailoa Yang dipelajari hari ini: Aritmatika Vektor Konsep Geometrik Titik, Garis dan Bidang Perkalian Titik Pengenalan Kenapa kita perlu belajar vektor? Kita butuh untuk mengetahui
Lebih terperinci