Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3
|
|
- Hadi Tan
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
3 Bahasan 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
4 Bahasan Vektor di Sekolah Menengah 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
5 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Operasi Aritmetika Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 2, yaitu P 1 (3, 5) dan P 2 ( 1, 2). Jika u = P 1 P 2 dan v = P 2 P 1, tentukan: 1 u 2 v 3 3 u 4 4 v ( u + 4 v) ( 2 v + u) u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
6 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
7 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
8 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
9 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
10 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) 4 4 v = 4 (4, 3) = ( 16, 12). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
11 Vektor di Sekolah Menengah Solusi: 1 u = P 1 P 2 = ( 1 3, 2 ( 5)) = ( 4, 3). 2 v = P 2 P 1 = (3 ( 1), 5 ( 2)) = (4, 3) 3 3 u = 3 ( 4, 3) = ( 12, 9) 4 4 v = 4 (4, 3) = ( 16, 12) ( u + 4 v) ( 2 v + u) u = 1 2 u + 2 v + 2 v u u = 1 2 u u u + 2 v + 2 v = 4 v = 4 (4, 3) = (16, 12). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
12 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Jarak dan Panjang Latihan (Jarak dan Panjang di R 2 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 2, yaitu P 1 (3, 5) dan P 2 ( 1, 2). Tentukan 1 Jarak dari P 1 ke P 2. 2 Panjang vektor P 2 P 1 Latihan (Jarak dan Panjang di R 3 ) Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua titik di R 3, yaitu P 1 (1, 1, 3) dan P 2 ( 2, 1, 1). Tentukan 1 Jarak dari P 2 ke P 1. 2 Panjang vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
13 Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
14 Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
15 Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
16 Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 2 ke P 1, maka d = (x (P 1 ) x (P 2 )) 2 + (y (P 1 ) y (P 2 )) 2 + (z (P 1 ) z (P 2 )) 2 = (1 ( 2)) 2 + ( 1 ( 1)) 2 + ( 3 1) 2 = (3) 2 + (0) 2 + ( 4) 2 = 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
17 Vektor di Sekolah Menengah Solusi untuk vektor di R 2 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 1 ke P 2, maka d = (x (P 2 ) x (P 1 )) 2 + (y (P 2 ) y (P 1 )) 2 = ( 1 3) 2 + ( 2 ( 5)) 2 = ( 4) 2 + (3) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 2 P 1 = panjang dari vektor P 1 P 2 = jarak dari P 1 ke P 2, yaitu 5 satuan. Solusi untuk vektor di R 3 : 1 Misalkan d adalah jarak dari P 2 ke P 1, maka d = (x (P 1 ) x (P 2 )) 2 + (y (P 1 ) y (P 2 )) 2 + (z (P 1 ) z (P 2 )) 2 = (1 ( 2)) 2 + ( 1 ( 1)) 2 + ( 3 1) 2 = (3) 2 + (0) 2 + ( 4) 2 = 5 satuan. 2 Panjang dari vektor P 1 P 2 = panjang dari vektor P 2 P 1 = jarak dari P 2 ke P 1, yaitu 5 satuan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
18 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
19 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: 1 u v = (2, 1, 0) (0, 2, 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
20 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Hasil Kali Titik dan Hasil Kali Silang Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (2, 1, 0) dan v = (0, 2, 1). Tentukan nilai dari 1 u v 2 u v Solusi: 1 u v = (2, 1, 0) (0, 2, 1) = (2) (0) + ( 1) ( 2) + (0) (1) = 2. î ˆ ˆk 2 u v = = î ˆ ˆk = î 2ˆ 4ˆk = ( 1, 2, 4) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
21 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). Tentukan sudut terkecil antara u dan v. Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
22 Vektor di Sekolah Menengah Vektor di Sekolah Menengah: Sudut antara Dua Vektor Latihan Soal berikut dapat dikerjakan dengan pengetahuan Anda tentang vektor yang telah diperoleh di sekolah menengah. Diberikan dua vektor di R 3, yaitu u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). Tentukan sudut terkecil antara u dan v. Solusi: Kita memiliki hubungan u v = u v cos θ, dengan u, v berturut-turut adalah panjang dari vektor u dan v, serta θ adalah sudut antara vektor u dan v. Akibatnya cos θ = = = u v (0, 0, 1) (0, 2, 2) = u v (0, 0, 1) 0, 2, 2 2 ( ) ( ) 2 = = 1 = 1 2. Jadi 2 2 θ = 45 = π 4 rad. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
23 Bahasan Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
24 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
25 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu. Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
26 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Skalar dan Vektor Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah diperkenalkan dengan istilah besaran skalar dan besaran vektor. Besaran Skalar Besaran skalar adalah besaran yang cukup dijelaskan dengan suatu bilangan saja. Contohnya: massa, panjang, dan waktu. Besaran Vektor Besaran vektor adalah besaran yang memerlukan bilangan dan arah untuk mendeskripsikan secara lengkap besaran tersebut. Contohnya adalah kecepatan, perpindahan, dan gaya. Di sini kita akan mengkaji struktur aljabar untuk vektor dan himpunan yang anggota-anggotanya adalah vektor. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
27 Penyajian Vektor Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda belajar penyajian vektor dalam diagram berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
28 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R 2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
29 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Kemudian, pada pelajaran Matematika, vektor pada bidang (vektor pada R 2 ) juga dapat disajikan dengan cara berikut. Pada kuliah ini, kita akan menyajikan vektor dalam bentuk tupel, matriks baris, atau matriks kolom. Jika ditinjau pada bidang, maka suatu vektor ditulis sebagai (a, b). Perlu diingat bahwa (a, b) tidak selalu sama dengan (b, a). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
30 Vektor dan Notasinya Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Suatu vektor ditulis dengan huruf cetak tebal (contoh: vektor a) atau huruf cetak miring dengan anak panah di atasnya (contoh: vektor a). Ini dilakukan untuk membedakan skalar dan vektor. Vektor AB menyatakan vektor dengan titik pangkal A dan titik akhir B. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
31 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor I Secara aljabar, vektor di R 2 dapat ditulis dalam bentuk pasangan bilangan real (a, b), matriks baris [ a b ] [ ] a, atau matriks kolom. Kita akan cukup sering b [ ] a menggunakan notasi tupel (a, b) dan notasi matriks kolom untuk b menyatakan suatu vektor. Notasi matriks baris [ a b ] jarang digunakan, tetapi perlu Anda ketahui. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
32 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor II MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
33 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor III MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
34 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya Lebih Jauh tentang Notasi Vektor IV Pada suatu vektor a = a = (a 1, a 2 ) yang ditinjau pada bidang (ditinjau pada R 2 ), a 1 dan a 2 keduanya adalah bilangan real. Kita katakan a 1 sebagai komponen pertama (atau komponen x) dari a dan a 2 sebagai komponen kedua (atau komponen y) dari a. Secara serupa, jika a = a = (a 1, a 2, a 3 ) R 3, maka a 1 adalah komponen pertama (atau komponen x) dari a, a 2 adalah komponen kedua (atau komponen y) dari a, dan a 3 adalah komponen ketiga (atau komponen z) dari a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
35 Bahasan Dasar-dasar Aljabar Vektor 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
36 Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Fisik Secara intuitif, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama bila besar dan arahnya sama (meskipun titik pangkal dan titik akhirnya mungkin berbeda). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
37 Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
38 Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Vektor Secara Geometris Secara geometris, dua (atau lebih) vektor dikatakan sama ketika panjang dan arah dari vektor-vektor tersebut sama, tidak tergantung pada posisinya di sistem koordinat. y x 4 Semua vektor yang ada pada gambar di atas adalah vektor yang sama, yaitu vektor (1, 2). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
39 Dasar-dasar Aljabar Vektor Kesamaan Dua Vektor Secara Aljabar Kesamaan Dua Vektor Dua vektor a dan b sama, ditulis dengan a = b jika dan hanya jika komponen-komponen yang bersesuaian sama. Diberikan dua vektor di R 2, yaitu a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ), maka a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ). Diberikan dua vektor di R 3, yaitu a = (a 1, a 2, a 3 ) dan b = (b 1, b 2, b 3 ), maka a = b (a 1 = b 1 ) (a 2 = b 2 ) (a 3 = b 3 ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
40 Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Geometris Dua buah vektor yang berada di ruang yang sama dapat dijumlahkan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
41 Dasar-dasar Aljabar Vektor Sifat Komutatif Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor di R 2 maupun R 3 mengikuti hukum paralelogram (hukum jajar genjang). Akibatnya penjumlahan vektor bersifat komutatif, yaitu v + w = w + v untuk setiap vektor v dan w yang ada di ruang yang sama. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
42 Dasar-dasar Aljabar Vektor Sifat Asosiatif Penjumlahan Vektor Penjumlahan dua vektor di R 2 maupun R 3 bersifat asosiatif. Jika u, v, dan w adalah tiga vektor di ruang yang sama, maka (u + v) + w = u + (v + w). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
43 Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan b pada ruang yang sama, suatu vektor c merupakan hasil penjumlahan dua vektor a dan b, ditulis dengan a + b, bila komponen-komponen vektor c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor a dan b yang bersesuaian. Diberikan a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ). Jika c = (c 1, c 2 ) dan c = a + b, maka c 1 = a 1 + b 1 dan c 2 = a 2 + b 2. Kita dapat menulisnya sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
44 Dasar-dasar Aljabar Vektor Penjumlahan Vektor Secara Aljabar Penjumlahan Vektor Diberikan dua vektor a dan b pada ruang yang sama, suatu vektor c merupakan hasil penjumlahan dua vektor a dan b, ditulis dengan a + b, bila komponen-komponen vektor c diperoleh dengan menjumlahkan komponen vektor a dan b yang bersesuaian. Diberikan a = (a 1, a 2 ) dan b = (b 1, b 2 ). Jika c = (c 1, c 2 ) dan c = a + b, maka c 1 = a 1 + b 1 dan c 2 = a 2 + b 2. Kita dapat menulisnya sebagai (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 Hal serupa juga berlaku untuk vektor di R 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
45 Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
46 Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 [ ] [ ] [ ] b1 + a = 1 b1 a1 = +. b 2 + a 2 b 2 a 2 Dan juga MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
47 Dasar-dasar Aljabar Vektor Dari definisi penjumlahan vektor secara aljabar, jelas bahwa penjumlahan vektor bersifat komutatif dan asosiatif. Sebagai ilustrasi, di R 2 kita memiliki [ ] [ ] [ ] a1 b1 a1 + b + = 1 a 2 b 2 a 2 + b 2 [ ] [ ] [ ] b1 + a = 1 b1 a1 = +. b 2 + a 2 b 2 a 2 Dan juga ([ ] [ ]) [ ] a1 b1 c1 + + a 2 b 2 c 2 = = = = [ ] [ ] a1 + b 1 c1 + a 2 + b 2 c 2 [ ] a1 + b 1 + c 1 a 2 + b 2 + c 2 ] [ ] b1 + c + 1 a 2 b 2 + c 2 ] ([ ] [ ]) b1 c a 2 b 2 c 2 [ a1 [ a1 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
48 Vektor Nol Dasar-dasar Aljabar Vektor Vektor Nol Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol. Secara geometris vektor nol digambarkan sebagai titik di R 2 atau R 3. Secara aljabar vektor nol, ditulis 0, merupakan { (0, 0), jika 0 R 0 = 2 (0, 0, 0), jika 0 R 3 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
49 Dasar-dasar Aljabar Vektor Catatan Vektor nol adalah satu-satunya vektor yang tidak berarah, vektor nol hanya memiliki besar (panjang) saja, yang nilainya adalah nol. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
50 Latihan 0 Bagian 1 Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
51 Latihan 0 Bagian 2 Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
52 Dasar-dasar Aljabar Vektor Perkalian Vektor dengan Skalar Perhatikan gambar berikut. Pada gambar di atas, b searah dengan a dan panjang b lima kali panjang a. Kita dapat menuliskan b = 5a ataupun a = 1 5 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
53 Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
54 Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
55 Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
56 Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan k R dang k 0. Kita memiliki Jika k > 0, maka ka searah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k < 0, maka ka berlawanan arah dengan a dan panjangnya k kali panjang a. Jika k = 1, maka ka = a. Dalam hal ini a dikatakan sebagai negatif dari a. Kita juga memiliki sifat a + ( a) = 0. Dua Vektor yang Sejajar Dua vektor a dan b dikatakan sejajar apabila a = kb untuk suatu k R. Dengan perkataan lain ketika dua vektor sejajar maka vektor yang satu merupakan kelipatan skalar vektor yang lain. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
57 Dasar-dasar Aljabar Vektor MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
58 Dasar-dasar Aljabar Vektor Selisih Vektor Selisih Vektor Misalkan u dan v adalah dua vektor di ruang yang sama. Maka u v didefinisikan sebagai u + ( v). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
59 Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
60 Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki OP 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan OP 2 = (x 2, y 2, z 2 ). Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P 1 P 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
61 Vektor dari Dua Titik Dasar-dasar Aljabar Vektor Misalkan P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) adalah dua titik di R 3 dan O menyatakan titik (0, 0, 0). Vektor P 1 P 2 merupakan vektor yang didefinisikan sebagai P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). Kita juga memiliki OP 1 = (x 1, y 1, z 1 ) dan OP 2 = (x 2, y 2, z 2 ). Akibatnya dengan memakai sifat aritmetika vektor, kita memiliki P 1 P 2 = OP 2 OP 1. Hal yang serupa juga jelas berlaku di R 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
62 Bahasan Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
63 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka
64 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u
65 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w)
66 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u
67 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0
68 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u
69 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v
70 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v 7 (α + β) u = α u + β u
71 Sifat Aritmetika Vektor Teorema Misalkan u, v, dan w ketiganya adalah vektor di R 2 atau R 3 (di ruang yang sama), serta α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α (β u) = (αβ) u 6 α ( u + v) = α u + α v 7 (α + β) u = α u + β u 8 1 ( u) = u. Bukti Cukup mudah. Tinjau u, v, dan w sebagai suatu matriks kolom berukuran 2 1 atau 3 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran 2 1 maupun 3 1. (Q.E.D).
72 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 Teorema Jika u adalah vektor di R 2 atau R 3, dan α R maka 1 0 u = 0 2 α 0 = 0 3 ( 1) u = u Teorema Jika u adalah vektor di R 2 atau R 3 dengan sifat α u = 0, maka α = 0 atau u = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
73 Bahasan Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
74 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
75 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
76 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = v 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
77 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 2 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 2 adalah {i = (1, 0), j = (0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Setiap vektor v = (v 1, v 2 ) R 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î dan ˆ secara tunggal v = αî + βˆ α = v 1 dan β = v 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
78 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
79 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
80 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
81 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = v 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
82 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 Basis Standar di R 3 Himpunan vektor-vektor basis standar di R 3 adalah {i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)}. Vektor i juga dapat ditulis sebagai î, e 1, atau e 1. Vektor j juga dapat ditulis sebagai ˆ, e 2, atau e 2. Vektor k juga dapat ditulis sebagai ˆk, e 3, atau e 3. Setiap vektor v = (v 1, v 2, v 3 ) R 3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari î, ˆ, dan ˆk secara tunggal v = αî + βˆ + γˆk α = v 1, β = v 2, dan γ = v 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
83 Bahasan Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
84 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 2 Norm Euclid dari Vektor di R 2 Misalkan u = u = (u 1, u 2 ) adalah suatu vektor di R 2. Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan u, didefinisikan sebagai u = u u2 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
85 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 3 Norm Euclid dari Vektor di R 3 Misalkan u = u = (u 1, u 2, u 3 ) adalah suatu vektor di R 3. Norm Euclid atau panjang dari u, ditulis dengan u, didefinisikan sebagai u = u u2 2 + u2 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
86 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Penting Norm Euclid (panjang) dari suatu vektor selalu bernilai tak negatif. Untuk sembarang vektor u pada bidang maupun ruang, u 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
87 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm dan Jarak Dua Titik Kita akan meninjau keterkaitan antara norm Euclid dan jarak antara dua titik pada R 3. Diberikan dua titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ) di R 3. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan norm dari vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
88 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
89 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Untuk dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) di R 2, bila jarak dari P 1 ke P 2 dinyatakan dengan d, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Latihan Tentukan jarak dari P 1 (2, 1, 5) ke P 2 (4, 3, 1). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
90 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Karena P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ), kita memiliki P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Bila d menyatakan jarak dari P 1 ke P 2, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Untuk dua titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ) di R 2, bila jarak dari P 1 ke P 2 dinyatakan dengan d, kita memiliki d = P 1 P 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Latihan Tentukan jarak dari P 1 (2, 1, 5) ke P 2 (4, 3, 1). Solusi: bila jarak dari P 1 ke P 2 adalah d, maka d = (4 2) 2 + ( 3 + 1) 2 + (1 + 5) 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
91 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka α u = α u. Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
92 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
93 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
94 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u u2 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
95 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u u2 2 ) = α 2 u u2 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
96 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Perkalian Skalar Suatu Vektor Teorema Diberikan sembarang vektor u di R 2 atau R 3 dan bilangan real α, maka Bukti α u = α u. Kita akan buktikan teorema di atas untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bila u = (u 1, u 2 ), maka α u = α (u 1, u 2 ) = (αu 1, αu 2 ) (perkalian skalar suatu vektor) = (αu 1 ) 2 + (αu 2 ) 2 = α 2 u 21 + α2 u 22 = α 2 (u u2 2 ) = α 2 u u2 2 = α u, karena norm selalu tak negatif (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
97 Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena
98 Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena î = (1, 0, 0) = 1, ˆ = (0, 1, 0) = 1, ˆk = (0, 0, 1) = 1. ( ) ( ) Vektor u = 1 1 2, 0, 2 dan v = 1 3, 1 1 3, 3 juga merupakan vektor satuan karena
99 Vektor Satuan (Unit Vector) Definisi Suatu vektor u di R 2 atau R 3 dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) bila u = 1. Contoh Vektor-vektor basis standar î, ˆ, dan ˆk di R 3 adalah vektor satuan karena î = (1, 0, 0) = 1, ˆ = (0, 1, 0) = 1, ˆk = (0, 0, 1) = 1. ( ) ( ) Vektor u = 1 1 2, 0, 2 dan v = 1 3, 1 1 3, 3 juga merupakan vektor satuan karena ( ) ( u = 1 1 2, 0, = 1, v = 1 2 3, 1 ) 1, = Catatan Secara umum, suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan bila u = 1.
100 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
101 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
102 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
103 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
104 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u u = 1 u u (sifat norm) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
105 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Mengkonstruksi Suatu Vektor Satuan Permasalahan Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Berikan semua vektor satuan yang sejajar dengan u. Pilih vektor v = ±1 u u. Karena u tak nol, maka u 0. Perhatikan bahwa v = ±1 u = 1 u u (sifat norm) = 1 u = 1. u Jadi v adalah suatu vektor satuan. Karena v adalah kelipatan skalar dari u, maka v adalah vektor satuan yang sejajar dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
106 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan sebuah vektor tak nol u = (u 1, u 2, u 3 ) yang tidak nol. Semua vektor v = ±1 u u merupakan vektor satuan yang sejajar dengan u. Lebih jauh, kita memiliki 1 1 vektor u u sejajar dan searah dengan u, 2 vektor 1 u u sejajar dan berlawanan arah dengan u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
107 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 1: Mengkonstruksi Vektor Satuan Latihan 1 Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u = (3, 4) di R 2. 2 Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v = ( 6, 8) di R 2. 3 Berikan vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a = ( 1, 2, 2) di R 3. 4 Berikan vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan b = ( 2, 1, 2) di R 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
108 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
109 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
110 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
111 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. 3 Kita memiliki a = ( 1) ( 2) 2 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a adalah 1 a a = 1 3 ( 1, 2, 2) = ( 1 3, 2 3, 3) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
112 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 Solusi: 1 Kita memiliki u = = 5. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan u adalah 1 u u = 1 5 (3, 4) = ( 3 5, 5) 4. 2 Kita memiliki v = ( 6) = 10. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan v adalah 1 1 v v = 10 ( 6, 8) = ( 3 5, 5) 4. 3 Kita memiliki a = ( 1) ( 2) 2 = 3. Vektor satuan yang sejajar dan searah dengan a adalah 1 a a = 1 3 ( 1, 2, 2) = ( 1 3, 2 3, 3) 2. 4 Kita memiliki b = ( 2) = 3. Vektor satuan yang sejajar dan berlawanan arah dengan b adalah 1 b b = 1 3 ( 2, 1, 2) = ( 2 3, 1 3, 2 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
113 Bahasan Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
114 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik (Dot Product) di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Ketika titik pangkal dari u dan v dibuat saling bertumpuan, kita dapat menentukan sudut antara u dan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
115 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Jika θ adalah sudut terkecil antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 θ π. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
116 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3. Jika θ adalah sudut terkecil antara u dan v maka kita senantiasa memiliki 0 θ π. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
117 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik Dua Vektor: Definisi 1 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal definisi berikut. Definisi (Hasil Kali Titik) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, didefinisikan sebagai { 0, jika u = 0 atau v = 0 u v = u v cos θ, lainnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
118 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Hasil Kali Titik Dua Vektor: Definisi 2 Teorema Diberikan dua vektor tak nol u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka u v = u v cos θ { u1 v = 1 + u 2 v 2, jika u, v R 2 u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3, jika u, v R 3 Untuk 1 i 3, u i adalah komponen ke-i dari vektor u dan v i adalah komponen ke-i dari vektor v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
119 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Untuk membuktikan teorema tersebut, terlebih dulu tinjau gambar berikut. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
120 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
121 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
122 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
123 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u u v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
124 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u u v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u u v v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
125 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u u v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u u v v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = 1 2 (2u 1v 1 + 2u 2 v 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
126 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Kita akan membuktikan teorema untuk vektor di R 2. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara serupa. Berdasarkan rumus cosinus, u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ, jadi u v cos θ = 1 ( u 2 + v 2 u v 2). 2 = 1 ( ( u u v1 2 + v2 2 (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2)). 2 Tinjau bahwa (u 1 v 1 ) 2 + (u 2 v 2 ) 2 = u u v v 2 2 2u 1 v 1 2u 2 v 2. Akibatnya u v cos θ = 1 2 (2u 1v 1 + 2u 2 v 2 ) = u 1 v 1 + u 2 v 2 (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
127 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Definisi Hasil Kali Titik Definisi (Definisi hasil kali titik 1) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3, jika θ dengan 0 θ π adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik (dot product) antara u dan v, ditulis dengan u v, didefinisikan sebagai { 0, jika u = 0 atau v = 0 u v = u v cos θ, lainnya. Definisi (Definisi hasil kali titik 2) Diberikan dua vektor u dan v di R 2 atau R 3. Jika u i dan v i menyatakan komponen ke-i dari masing-masing vektor tersebut, maka u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 (jika u, v R 2 ) u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 (jika u, v R 3 ) Definisi kedua selanjutnya juga akan kita gunakan untuk memperumum definisi hasil kali titik di R n untuk n 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
128 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Sudut dan Hasil Kali Titik Dua Vektor Berdasarkan rumus hasil kali titik, untuk dua vektor u dan v pada ruang yang sama dan θ adalah sudut antara keduanya, kita memiliki u v = u v cos θ. Perhatikan bahwa 1 cos θ 1. Karena u dan v senantiasa tak negatif, maka < 0, jika cos θ < 0 atau θ sudut tumpul u v = 0, jika u tegak lurus dengan v > 0, jika cos θ > 0 atau θ sudut lancip. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
129 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
130 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
131 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = (0, 0) (u 1, u 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
132 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Dua Vektor yang Saling Ortogonal Definisi Dua vektor u dan v pada ruang yang sama dikatakan ortogonal apabila u v = 0. Teorema Vektor 0 senantiasa ortogonal dengan sembarang vektor di ruang yang sama. Bukti Bukti untuk kasus di R 3 ditinggalkan kepada pembaca sebagai latihan. Bukti untuk kasus di R 2 dijelaskan berikut. Jika 0 = (0, 0) dan u = (u 1, u 2 ) R 2, maka 0 u = (0, 0) (u 1, u 2 ) = 0u 1 + 0u 2 = 0 (Q.E.D). Diberikan dua vektor u dan v pada ruang yang sama, notasi u v menyatakan bahwa u dan v saling ortogonal. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
133 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Catatan Secara geometris, dua vektor u dan v di R 2 atau R 3 yang keduanya tak nol bersifat ortogonal bila u tegak lurus dengan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
134 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
135 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
136 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = 1. Akibatnya u u = u 2. Jadi u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
137 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Norm Euclid dan Hasil Kali Titik Apakah keterkaitan antara norm dan hasil kali titik? Diberikan suatu vektor u = (u 1, u 2 ) R 2, kita memiliki u u = u u cos θ. Karena sudut antara u dengan dirinya sendiri adalah 0, maka θ = 0, sehingga cos (θ) = 1. Akibatnya u u = u 2. Jadi u = u u. Teorema Jika u adalah sebuah vektor di R 2 atau R 3, maka u = u u. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
138 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
139 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = u v cos θ, karena u, v 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
140 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz Teorema (Ketaksamaan Cauchy-Schwarz) Diberikan dua vektor u dan v yang keduanya ada di R 2 atau R 3, maka u v u v. Bukti Perhatikan bahwa u v = u v cos θ = u v cos θ, karena u, v 0 u v, karena cos θ 1. (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
141 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
142 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
143 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
144 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w 3 α (u v) = (αu) v = u (αv) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
145 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Beberapa Sifat Hasil Kali Titik Teorema Jika u, v, w adalah tiga vektor yang berada pada ruang yang sama dan α R, maka 1 u v = v u 2 u (v + w) = u v + u w 3 α (u v) = (αu) v = u (αv) 4 v v > 0 jika v 0, dan v v = 0 jika dan hanya hanya jika v = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
146 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Bukti Bukti untuk sifat nomor 1 3 cukup mudah dan diserahkan kepada pembaca sebagai latihan. Untuk sifat nomor 4 kita akan membuktikan untuk vektor di R 2 saja. Bukti untuk vektor di R 3 dapat diperoleh secara analog. Misalkan v = (v 1, v 2 ), maka v v = (v 1, v 2 ) (v 1, v 2 ) = v1 2 + v2 2 0 berdasarkan sifat bilangan real { = 0, jika v1 = v 2 = 0. v v 2 2 > 0, lainnya Jadi v v > 0 jika v 0 dan v v = 0 jika dan hanya jika v = 0. (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
147 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
148 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: 1 Kita memiliki u = 2 v, sehingga u = 20 dan v = 10. Akibatnya MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
149 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 Latihan 2: Hasil Kali Titik Latihan 1 Jika panjang vektor u adalah dua kali panjang vektor v, panjang vektor v adalah 10 satuan, serta u dan v membentuk sudut 45, tentukan nilai dari u v. 2 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (0, 0, 1) dan v = (0, 2, 2). 3 Tentukan besar sudut terkecil antara vektor u = (2, 1, 1) dan v = (1, 1, 2). Solusi: 1 Kita memiliki u = 2 v, sehingga u = 20 dan v = 10. Akibatnya ( ) 1 u v = u v cos (45 ) = (20) (10) 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
150 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ =
151 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ = u v u v = = θ =
152 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = = ( ) 1 θ = arccos 2 = 45. 2
153 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = = ( ) 1 θ = arccos 2 = Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ =
154 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = = ( ) 1 θ = arccos 2 = Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka cos θ = u v u v = ( 3 ) 2 = θ =
155 2 Kita memiliki u v = (0) (0) + (0) (2) + (1) (2) = 2, u = 1, dan v = 2 2. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = = ( ) 1 θ = arccos 2 = Kita memiliki u v = (2) (1) + ( 1) (1) + (1) (2) = 3, u = 6, dan v = 6. Misalkan θ sudut terkecil antara u dan v, karena u v = u v cos θ, maka u v cos θ = u v = ( 3 ) 2 = ( ) 1 θ = arccos = 60. 2
156 Bahasan Proyeksi Ortogonal 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
157 Proyeksi Ortogonal Proyeksi Ortogonal pada Sumbu Koordinat Pada pelajaran Fisika di sekolah, Anda sudah diperkenalkan dengan proyeksi dari suatu vektor pada sumbu koordinat. Pada ilustrasi di atas, kita memiliki v = v x + v y. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
158 Proyeksi Ortogonal Proyeksi Ortogonal Pada kuliah ini kita akan mempelajari proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada sembarang vektor tak nol. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
159 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
160 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
161 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
162 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
163 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
164 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
165 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
166 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b k = = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = k b 2 (karena b b = b 2 ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
167 Perhatikan gambar berikut. Proyeksi Ortogonal Pada gambar di atas u 1 dikatakan sebagai proyeksi ortogonal dari u pada b. Kita akan mencari keterkaitan antara u 1 dan b. Tinjau bahwa u 1 + u 2 = u, akibatnya u 1 = u u 2. Karena u 1 sejajar dengan b, maka u 1 = kb, untuk suatu k R. Perhatikan bahwa u b = (u 1 + u 2 ) b = u 1 b + u 2 b = kb b + 0 (karena u 1 = kb dan u 2 b) = k b 2 (karena b b = b 2 ) k = u b b 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
168 Proyeksi Ortogonal Oleh karenanya kita memiliki ( ) u b u 1 = b 2 b Vektor u 1 juga akan kita tuliskan sebagai proj b u yang berarti proyeksi dari vektor u sepanjang vektor b. Proyeksi Ortogonal Diberikan sebuah vektor u dan vektor tak nol b pada ruang yang sama. Proyeksi ortogonal dari u sepanjang b (atau proyeksi ortogonal dari u pada b), ditulis dengan proj b u, didefinisikan sebagai ( ) u b proj b u = b 2 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
169 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
170 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
171 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
172 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ cos θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
173 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ cos θ = u b u b, karena u 1 = u cos θ, maka u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
174 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
175 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
176 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
177 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = u 1 b b = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
178 Proyeksi Ortogonal Kita juga dapat memperoleh proj b u dengan cara lain. Dari gambar, kita mengetahui bahwa u 1 = u cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan b (atau u dan u 1 ). Tinjau bahwa u b = u b cos θ u b cos θ = u b, karena u 1 = u cos θ, maka ( ) u b u 1 = u = u b u b b. Karena u 1 = kb, maka u 1 = k b, jadi k = u 1 / b. Akibatnya diperoleh u 1 = kb = u 1 b b = u b b 2 b. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
179 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
180 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
181 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
182 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = ( ) u v v 2 v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
183 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = = ( ) ( ) u v ( 2, 4, 3) (1, 3, 4) v 2 v = (1, 3, 4) (1, 3, 4) ( ( 4) 2 ) 2 (1, 3, 4) = (1, 3, 4) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
184 Proyeksi Ortogonal Contoh Kita akan menentukan proyeksi ortogonal dari u = ( 2, 4, 3) terhadap v = (1, 3, 4). Kita memiliki proj v u = α v, dengan α = u v v 2, jadi proj v u = = ( ) ( ) u v ( 2, 4, 3) (1, 3, 4) v 2 v = (1, 3, 4) (1, 3, 4) ( ( 4) 2 ) 2 (1, 3, 4) = (1, 3, 4) = ( 1, 3, 4). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
185 Proyeksi Ortogonal Latihan 3: Proyeksi Ortogonal Latihan 1 Misalkan u = ( 1, 1) dan v = (0, 1). Tentukan 1 Proyeksi ortogonal dari u terhadap v. 2 Proyeksi ortogonal dari v terhadap u. 2 Misalkan a = (1, 1, 1) dan b = (0, 2, 2). Tentukan 1 Proyeksi ortogonal dari a terhadap b. 2 Proyeksi ortogonal dari b terhadap a. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
186 Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
187 Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) 2 1 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
188 Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) Kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
189 Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari a terhadap b adalah proj b a = a b b 2 b = (1,1,1) (0,2,2) (0, 2, 2) = 4 (0, 2, 2) = (0, 1, 1). 0,2,2 2 8 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
190 Proyeksi Ortogonal Solusi: 1 Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari u terhadap v adalah proj v u = u v v = ( 1,1) (0,1) (0, 1) = 1 (0, 1) = (0, 1), v 2 (0,1) proyeksi ortogonal dai v terhadap u adalah proj u v = v u (0,1) ( 1,1) u = ( 1, 1) = 1 ( 1, 1) = ( 1, ) 1 u ( 1,1) Kita memiliki 1 proyeksi ortogonal dari a terhadap b adalah proj b a = a b b 2 b = (1,1,1) (0,2,2) (0, 2, 2) = 4 (0, 2, 2) = (0, 1, 1). 0,2, proyeksi ortogonal dari b terhadap a adalah proj a b = b a a = (0,2,2) (1,1,1) (1, 1, 1) = 4 (1, 1, 1) = ( 4, 4, ) 4 a 2 (1,1,1) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
191 Bahasan Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
192 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang (Cross-Product) di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, kita sudah mengenal definisi hasil kali silang (cross product) berikut. Hasil Kali Silang di R 3 Diberikan dua vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) di R 3, hasil kali silang u v merupakan vektor yang diperoleh sebagai berikut i j k u v = u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. Dari pengetahuan kita tentang menghitung determinan dengan kofaktor, kita memiliki u v = u 2 u 3 v 2 v 3 i u 1 u 3 v 1 v 3 j + u 1 u 2 v 1 v 2 k. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
193 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Penyalahagunaan Notasi Catatan Perlu diingat bahwa definisi u v = i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 merupakan suatu bentuk penyalahgunaan notasi (abuse of notation) mengingat i, j, dan k ketiganya adalah vektor satuan. Kita tidak mengenal nilai determinan dari suatu matriks yang entrinya adalah vektor. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
194 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Definisi Hasil Kali Silang Agar tidak terjadi penyalahgunaan notasi, kita akan mendefinisikan hasil kali silang dari dua vektor sebagai berikut. Definisi Diberikan dua vektor u = (u 1, u 2, u 3 ) dan v = (v 1, v 2, v 3 ) di R 3. Hasil kali silang u v didefinisikan sebagai vektor ( ) u u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2. Kita dapat mengingat definisi ini dengan membentuk matriks 2 3 berikut [ ] u1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 Hasil ( kali silang u v tak lain adalah u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3, u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3, u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 u 3 ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
195 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
196 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: 1 u v = (2, 7, 6). ( , , ) = (2, (7), 6) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
197 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) u v = 0 1, , = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, , = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
198 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) u v = 0 1, , = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, , = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). ( ) u v = 3 2, , = (20, (2), 3) = (20, 2, 3). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
199 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Latihan 4: Hasil Kali Silang Latihan 1 Carilah u v dan v u jika u = (1, 2, 2) dan v = (3, 0, 1). 2 Carilah u v dan v u jika u = (1, 4, 4) dan v = (0, 3, 2). Solusi: ( ) u v = 0 1, , = (2, (7), 6) = ( ) 0 1 (2, 7, 6). v u = 2 2, , = ( 2, ( 7), 6) = ( 2, 7, 6). ( ) u v = 3 2, , = (20, (2), 3) = ( ) 3 2 (20, 2, 3). v u = 4 4, , = ( 20, ( 2), 3) = ( 20, 2, 3). Dari dua soal di atas, kita menemukan bahwa u v = (v u). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
200 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Penting Operasi Hasil Kali Silang Operasi hasil kali silang (cross product) merupakan operasi yang melibatkan dua vektor dan menghasilkan sebuah vektor. Dengan perkataan lain, operasi ini memiliki input dua buah vektor (boleh sama) dan memberikan output sebuah vektor. Perlu diingat bahwa hasil kali silang hanya didefinisikan di ruang vektor R 3 saja. Kita tidak memiliki definisi hasil kali silang untuk dua vektor di ruang R n untuk n selain 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
201 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan vektor-vektor basis standar. Tinjau bahwa i j = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
202 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
203 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
204 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. j k = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
205 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, , = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
206 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, , = (1, 0, 0) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
207 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, , = (1, 0, 0) = i. i i = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
208 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, , = (1, 0, 0) = i. ( ) 0 0 i i = 0 0, , = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
209 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Silang Vektor Basis Standar Diberikan tiga vektor basis standar di R 3, yaitu i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), dan k = (0, 0, 1). Kita akan meninjau nilai dari i j, j k, dan hasil kali silang lain yang melibatkan ( vektor-vektor basis standar. ) Tinjau bahwa 0 0 i j = 1 0, , = (0, 0, 1) = k. ( ) 1 0 j k = 0 1, , = (1, 0, 0) = i. ( ) 0 0 i i = 0 0, , = (0, 0, 0) = 0. Secara serupa, kita juga dapat dengan mudah membuktikan bahwa j j = 0 dan k k = 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
210 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
211 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengetahui bahwa hasil kali silang vektor-vektor basis standar dapat diingat dengan diagram berikut Dari diagram di atas, kita dapat dengan mudah mengetahui bahwa: i j = k dan j i = k j k = i dan k j = i i k = j dan k i = j MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
212 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Hasil Kali Skalar Tripel Definisi (Hasil Kali Skalar Tripel) Diberikan tiga vektor di R 3 berikut: u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ). Hasil kali skalar tripel dinotasikan dengan u (v w). Teorema Jika u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ), maka u (v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. w 1 w 2 w 3 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
213 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
214 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 v = u 2 v 3 1 w 2 w 3 + ( 1) u 2 v 1 v 3 w 1 w 3 + u 3 v 1 v 2 w 1 w 2 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
215 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Perhatikan bahwa ( v u (v w) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 v 3 w 2 w 3, v 1 v 3 w 1 w 3, v 1 v 2 w 1 w 2 v = u 2 v 3 1 w 2 w 3 + ( 1) u 2 v 1 v 3 w 1 w 3 + u 3 v 1 v 2 w 1 w 2 = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3. (Q.E.D). w 1 w 2 w 3 ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
216 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Aturan Tangan Kanan Di pelajaran Fisika sekolah menengah, Anda sudah mengenal aturan tangan kanan. Jika u dan v adalah dua vektor (yang tidak sejajar), maka arah dari u v selalu tegak lurus dengan u maupun v dan dapat ditentukan melalui aturan tangan kanan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
217 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Keterkaitan Hasil Kali Silang dan Hasil Kali Titik Teorema Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah tiga vektor di R 3, maka: 1 u (u v) = 0 dan v (u v) = 0. Ini berarti baik u maupun v ortogonal terhadap u v. 2 u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 (identitas Lagrange). 3 u (v w) = (u w) v (u v) w 4 (u v) w = (u w) v (v w) u Bukti dari sifat-sifat pada teorema di atas tidak sulit, Anda hanya butuh ketelitian dan kesabaran untuk membuktikannya. Di sini kita hanya akan membuktikan sifat pada nomor 1 dan ide untuk membuktikan sifat nomor 2. Sisanya dapat dikerjakan sebagai latihan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
218 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa u (u v) = ( u (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
219 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa ( u u (u v) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + ( 1) u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 2 u 3 v 2 v 3 ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
220 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Bukti sifat nomor 1) Perhatikan bahwa ( ) u u (u v) = (u 1, u 2, u 3 ) 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 2 u 3 v 2 v 3 u = u 2 u 3 1 v 2 v 3 + ( 1) u 2 u 1 u 3 v 1 v 3 + u 3 u 2 u 3 v 2 v 3 u 1 u 2 u 3 = u 1 u 2 u 3 = 0 (baris pertama dan kedua sama). v 1 v 2 v 3 Dengan cara yang serupa, v (u v) = 0 (Anda dapat memperoleh matriks yang baris pertama dan ketiganya sama). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
221 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Bukti (Ide untuk nomor 2) ( u Tinjau bahwa u v = 2 u 3 v 2 v 3, u 1 u 3 v 1 v 3, u 1 u 2 v 1 v 2 ). Akibatnya u v 2 = (u 2 v 3 u 3 v 2 ) 2 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2. (1) Tinjau pula bahwa u 2 v 2 (u v) 2 = ( u u u 2 2 ( 3) v v2 2 + v3 2 ) (u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 ) 2. (2) Bukti dapat diperoleh dengan menjabarkan bentuk (1) dan (2) serta memeriksa kesamaannya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
222 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
223 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
224 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
225 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) u v = = u 2 v 2 sin 2 θ MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
226 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Norm dari Vektor Hasil Kali Silang Identitas Langrange menyatakan bahwa u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 untuk setiap vektor di R 3. Karena u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara u dan v, maka u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ) = u 2 v 2 sin 2 θ u v = u v sin θ mengingat sin θ 0 untuk 0 θ π Jadi kita memiliki u v = u v sin θ. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
227 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 Sifat-sifat Hasil Kali Silang & Skalar Tripel Teorema Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ), dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah tiga vektor di R 3 dan k R, maka 1 u v = (v u); 2 Jika u sejajar dengan v, maka u v = v u = 0. Akibatnya u u = 0; 3 (ku) v = u (kv) = k (u v); 4 u (v + w) = (u v) + (u w); 5 u (v w) = (u v) w MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
228 Bahasan Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 1 Vektor di Sekolah Menengah 2 Pendahuluan: Vektor dan Notasinya 3 Dasar-dasar Aljabar Vektor 4 Sifat-sifat Aritmetika Vektor di R 2 dan R 3 5 Vektor-vektor Basis Standar di R 2 dan R 3 6 Norm Euclid (Panjang) dari Vektor di R 2 dan R 3 7 Hasil Kali Titik Dua Vektor di R 2 dan R 3 8 Proyeksi Ortogonal 9 Hasil Kali Silang Dua Vektor di R 3 10 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 11 Latihan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
229 Hasil Kali Silang, Luas Jajar Genjang, dan Luas Segitiga di R 3 Hasil Kali Silang dan Luas Jajar Genjang di R 3 Perhatikan paralelogram (jajar genjang) berikut MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September / 116
Ruang Vektor Euclid R n
Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober 2015 1 / 38 Acknowledgements
Lebih terperinciRuang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Lebih terperinciMatriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Lebih terperinciSistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciDefinisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
Lebih terperinciOperasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor
PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciVektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciVEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciVEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B
Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciSelain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor
Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciRencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.
Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciVEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT
VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).
Lebih terperinciTeori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Lebih terperincia11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
Lebih terperinciALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Lebih terperinciRudi Susanto, M.Si VEKTOR
Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi
Lebih terperinciMatematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
Lebih terperinciMATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinci9.1. Skalar dan Vektor
ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal
Lebih terperinciA x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor
. Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperincifi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Lebih terperinci19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Lebih terperinci1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Lebih terperinciVEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.
VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan huruf
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR B A B B A B
Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?
Lebih terperinciMAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L
MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha
Lebih terperinciMUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 4 Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan Ruang Sub Pokok Bahasan Notasi dan Operasi Vektor Perkalian titik Perkalian silang Beberapa Aplikasi Proses
Lebih terperinciMODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.
Jurusan Teknik Sipil 15 MODUL PERTEMUN KE MT KULIH : FISIK TERPN ( sks) MTERI KULIH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BHSN: VEKTOR -1 DEFINISI VEKTOR Skalar
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.
.. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya
Lebih terperinciBESARAN, SATUAN & DIMENSI
BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan
Lebih terperinciBAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom
A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciVEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN
Lebih terperinciALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS VEKTOR Definisi Vektor Ada dua besaran yaitu: Vektor mempunyai besar dan arah Skalar mempunyai besar A AB B A : titik awal B : titik akhir Notasi vektor biasanya menggunakan
Lebih terperinciPesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat
Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi
Lebih terperinciPENGAJARAN HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANG PADA VEKTOR SERTA BEBERAPA PENGEMBANGANNYA. Suwandi 1.
PENGAJARAN HASIL KALI TITIK DAN HASIL KALI SILANG PADA VEKTOR Suwandi 1 1 Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika FMIPA Universitas Riau e-mail: suwandiwandi2323@gmail.com ABSTRACT Dot product and cross product
Lebih terperinciMATEMATIKA. Sesi VEKTOR 2 CONTOH SOAL A. DEFINISI PERKALIAN TITIK
MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Sesi NGAN VEKTOR A. DEFINISI PERKALIAN TITIK Misal a a a a dan b b b b dua vektor di R. Perkalian titik dari a dan b, dinotasikan a badalah a b ab + ab + ab
Lebih terperinciCandi Gebang Permai Blok R/6 Yogyakarta Telp. : ; Fax. :
ii Aljabar Linear Kata Pengantar iii iv Aljabar Linear ALJABAR LINEAR Oleh : Setiadji Edisi Pertama Cetakan Pertama, 2008 Hak Cipta 2008 pada penulis, Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak
Lebih terperinciBAB II BESARAN VEKTOR
BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciVektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3
Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Lebih terperinciMA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Aljabar Linear ELementer MA Analisis
Lebih terperinciBab 1 Vektor. A. Pendahuluan
Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang
Lebih terperinciRANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd.
RANGKUMAN MATERI VEKTOR Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika Sekolah Dosen Pembina: Dr. Tatag Yuli Eko Siswono, M.Pd. Universitas Negeri Surabaya Oleh Abdul Hayyih (147785010) Kelas D PROGRAM
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)
Lebih terperinciDIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
Lebih terperinciBAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
Lebih terperinciVEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor
VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinciAljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
Lebih terperinciDasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
Lebih terperinciBAB 2 ANALISIS VEKTOR
BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinci01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1
01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks
Lebih terperinciPengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor
Lebih terperinciAplikasi Aljabar Geometri dalam Menentukan Volume Parallelepiped Beserta Penurunan ke Rumus Umum dengan Memanfaatkan Sifat Aljabar Vektor
Aplikasi Aljabar Geometri dalam Menentukan Volume Parallelepiped Beserta Penurunan ke Rumus Umum dengan Memanfaatkan Sifat Aljabar Vektor Ade Yusuf Rahardian / 13514079 1 Program Studi Teknik Informatika
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa
TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi
Lebih terperinciHasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel
BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)
SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) 1. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Mekanika Teknik Jurusan/Prodi : Pendidikan Teknik Elektro/ Pendidikan Teknik Mekatronika Semester : 3 (tiga) Minggu ke : 3 (tiga)
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG. Analytic Geometry TEXT BOOK. Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd
IKIP BUDI UTOMO MALANG Analytic Geometry TEXT BOOK Alfiani Athma Putri Rosyadi, M.Pd 2012 DAFTAR ISI 1 VEKTOR 1.1 Vektor Pada Bidang... 4 1.2 Vektor Pada Ruang... 6 1.3 Operasi Vektor.. 8 1.4 Perkalian
Lebih terperinciPanGKas HaBis FISIKA. Vektor
Vektor PanGKas HaBis FISIKA Mari kita pandang sebuah perahu yang mengarungi sebuah sungai. Perahu itu, misalnya, berangkat dari dermaga menuju pangkalan bahan bakar. Jika dermaga dipakai sebagai titik
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperinciPertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS. Interpretasi Geometri pada Sampel. Generalisasi varians
Pertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS Interpretasi Geometri pada Sampel Generalisasi varians , Interpretasi Geometri pada Sampel Sample Geometry and Random Sampling Data sampel
Lebih terperincidengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya
1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan
Lebih terperinciGESERAN atau TRANSLASI
GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.
Lebih terperinciProgram Studi Teknik Mesin S1
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMATIKA TEKNIK 2 KODE/SKS : IT042227 / 2 SKS Pertemuan Pokok Bahasan dan TIU 1 Pendahuluan Mahasiswa mengerti tentang mata kuliah Matematika Teknik 2 : bahan ajar,
Lebih terperinci