STANDAR KOMPETENSI. 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR

Transkripsi

1 STANDAR KOMPETENSI 5. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah KOMPETENSI DASAR 5.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain 5.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x Menggunakan determinan dan invers dalam penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel 5.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah 5.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah. 5.6 Menggunakan transformasi geometri yang dapat dinyatakan dengan matriks dalam pemecahan masalah 5.7 Menentukan komposisi dari beberapa transformasi geometri beserta matriks transformasinya

2 TRANSFORMASI GEOMETRI A. Transformasi Transformasi adalah pemetaan suatu titik A pada suatu bidang ke titik A. Tiitik A disebut bayangan dari titik A. Transformasi ada dua, yaitu : 1. Transformasi Isometri Merupakan transformasi yang memindahkan suatu bangun geometri dari bentuk nya sebelum dan sesudah transformasi tidak berubah( besarnya tetap). Transformasi pegeseran,pencerminan,pemutaran,dan perkalian termasuk isometri. 2. Transformasi Non isometri Merupakan transformasi memindahkan suatu bangun geometri dari bentuknya semula sebelum dan sesudah transformasi mengalami perubahan ( besarnya berubah ). Transformasi perkalian termasuk transformasi nonisometri. Jenis jenis Transformasi Dalam transformasi dikenal empat transformasi dasar, yaitu: a) Pegeseran (translasi) B B A A C C Translasi b) Pencerminan (refleksi) B B A A C C Refleksi

3 c) Perputaran (rotasi) B C B A C O Rotasi A d) Perubahan sekala (dilatasi) C C A A B B Dilatasi a. Pergeseran Atau Translasi Pergeseran atau translasi adalah suatu transformasi yang memindahkan tiap titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu tersebut dapat diwakili oleh suatu ruas garis berarah atau oleh suatu pasangan bilangan terurut. dinamakan komponen translasi. Jika translasi T = memetekan titik P ( x, y ) maka berlaku hubungan x = x + a dan y = y + b. secara pemetaan dapat dituliskan: T = : P ( x,y ) P ( x + a, y + b ) Titik P disebut bayangan titik P oleh translasi T = y P (x+a, y+b) T= b O p(x.y) a X

4 Contoh: Bayangan titik ( 3,-7 ) oleh translasi adalah. a. ( 5, -3 ) c. ( 7, -5 ) e. ( 12, -4 ) b. ( -1, -9 ) d. ( 1, 9 ) Penyelesaian: Misalkan titik P ( 3, -7 ) T = : P ( 3, -7 ) P ( 3+4, -7+2 ) = P ( 7, -5 ) Jadi bayangan titik ( 3, -7 ) oleh translasi adalah ( 7, -5 ) Jawaban: C b. Pencerminan Atau Refleksi Pencerminan atau refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik dengan menggunakan sifat bayangan oleh suatu cermin. Pencerminan dilambangkan dengan M a, dinamakan a adalah sumbu cermin. Sifat-sifat pencerminan adalah: a. Jarak dari titik asal kecermin sama dengan jarak cermin ke titik bayangan. b. Garis yang menghubungkan titik asal dengan titik bayangan tegak lurus terhadap cermin. Langkah-langkah menentukan bayangan titik A terhadap garis l a. Buatlah garis g yang melalui titik A dan memotong garis l tegak lurus. Misalkan g dan l berpotongan di titik N. b. Tentukan sebuah A pada terusan ruas garis AN sehingga = A N. c. Titik A adalah bayangan titik A terhadap garis l. Untuk menentukan bayangan titik A terhadap garis l L B B Menunjukkan refleksi garis AB terhadap sumbu Pencerminan l. A L A

5 Y Hasil pencerminan titik p(x,y) di tuliskan pada P n (-x,y) P(x,y) table dibawah ini: titik Sumbu pencerminan Bayangan O X P (x,y) Sumbu x Sumbu y (x,-y) (-x,y) P (x,-y) Pencerminan terhadap sumbu x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = x dan y = -y. M x : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( x,-y ) Pemetaan P ( x,y ) P ( x,y ) dapat pula ditentukan oleh persamaan matriks 0 = Matriks 1 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 1 sumbu X. Pencerminan terhadap sumbu y Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = -x dan y = y. Secara pemetaan dapat ditulis: M y : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( -x,y ) Dengan persamaan matriks 0 = Matriks 1 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 1 sumbu Y. Pencerminan terhadap titik asal O ( 0,0 ). Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik asal O ( 0,0 ), maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = -x dan y =- y. Secara pemetaan ditulis: M 0 : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( -x,-y ) Dengan persamaan matriks 0 = Matriks 1 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 0 1 sumbu O ( 0,0 ).

6 Pencerminan terhadap garis y = x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = y dan y = x. Secara pemetaan ditulis: M y = x : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( y,x ) Dengan persamaan matriks 1 = Matriks 0 1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y 1 0 = x. Pencerminan terhadap garis y = -x Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = -x, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = -y dan y = -x. Secara pemetaan ditulis: M y =- x : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( -y,-x ) Dengan persamaan matriks 0 1 = 1 0 Matriks 0 1 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap 1 0 garis y = -x. Pencerminan terhadap garis x = h Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis x = h, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = 2h x dan y = y. Secara pemetaan ditulis: M x = h : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( 2h x, y ) Pencerminan terhadap garis y = k Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap garis y = k, maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = x dan y = 2k - y. Secara pemetaan ditulis: M y = k : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( x, 2k - y ) Pencerminan terhadap titik ( a,b ) Jika titik P ( x,y ) dicerminkan terhadap titik ( a,b ), maka bayangannya adalah titik P (x,y ) dengan x = 2a x dan y = 2b - y. Secara pemetaan ditulis: M ( a,b ) : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( 2a x, 2b - y ) Contoh: Jika garis x 2y 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y, maka persamaan bayangannya adalah

7 a. x + 2y 3 = 0 c. x + 2y + 3 = 0 e. x 2y 3 = 0 b. x 2y + 3 = 0 d. x 2y 3 = 0 Penyelesaian: Garis x 2y 3 = 0 dicerminkan terhadap sumbu Y 0 = = Dengan demikian x = -x x = -x dan y = y y = y Dengan mensubstitusikan x = -x dan y = y pada persamaan garis, maka diperoleh: ( -x ) -2 ( y ) -3 = 0 -x 2y 3 = 0 Jadi bayangan garis x 2y 3 = 0 oleh pencerminan terhadap sumbu Y adalah x 2y 3 =0 Jawaban: E c. Perputaran atau rotasi Perputaran atau rotasi adalah transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh terhadap suatu titik pusat rotasi. Perputaran atau rotasi pada bidang datar ditentukan oleh: 1. Titik pusat rotasi 2. Besar sudut rotasi 3. Arah sudut rotasi Sudut rotasi adalah sudut antara garis yang menghubungkan titik asal dan pusat rotasi dengan garis yang menghubungkan titik bayangan dan pusat rotasi. Jika ( sudut rotasi ) positif, arah putaran ( rotasi ) berlawanan dengan arah putaran jam. sebaliknya jika negatif, arah putaran searah dengan arah putaran jam. Suatu rotasi dengan pusat P dan sudut rotasi dinotasikan dengan R ( P, ). A Titik A pada gambar dirotasikan terhadap titik O Sejauh 120 o searah dengan perputaran jarum jam. Bayangan A adalah A. Rotasi yang berlawanan 120 o arah dengan perputaran jarum jam disebut rotasi A positif, dan begitu pula sebaliknya. a. Rotasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) Y p (x,y ) jika P(x,y) dirotasikan dengan pusat O(0,0) sebesar Berlawanan arah perputaran jarum jam, bayangannya Adalah P (x,y') dengan: R p(x,y) Y

8 O x = x x cos - y sin y = x sin + y cos Pembuktian: Misalkan: OP = R x = R cos y = R sin x = R cos (+) = R cos cos - R sin sin x = x cos sin. y = R sin (+) = R sin cos + R cos sin = y cos + x sin y = x sin + y cos. secara pemetaan ditulis: R ( O, ) : P ( x,y ) P ( x,y ) = P ( x cos - y sin, x sin + y cos ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: sin = cos sin cos cos sin Matriks dinamakan matriks yang bersesuaian dengan rotasi R ( O, ) sin cos Berikut ini adalah bayangan dan matriks yang bersesuaian dengan rotasi P ( x,y ) P ( x,y ) Rotasi Bayangan Matriks R ( O, 90 o ) ( -y, x ) R ( O, 90 o ) ( y, -x ) R ( O, 180 o ) R ( O, 270 o ) R ( O, -270 o ) ( -x,-y ) ( y, -x ) ( -y, x )

9 b. Rotasi terhadap titik pusat A ( a,b ) Y P (x,y ) R b A R p(x,y) O X Jika titik P ( x,y ) diputar sebesar berlawanan arah putaran jam terhadap titik pusat A ( a,b ), maka diperoleh bayangan P ( x,y ) dengan: x a = ( x a ) cos - ( y b ) sin y b = ( x a ) sin + ( y b ) cos Pembuktian: Misalkan: AP = R, maka x = +cos y = b + R sin x =cos y b = R sin x = +cos(+) x - = R cos cos sinsin x - = ( x ) cos ( )sin y = b + R sin (+ ) y b = R sin cos+cossin y b = (y-b) cos +( )sin y b =(x - ) sin +(y - b)cos [ terbukti ] Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: cos sin = sin cos + Contoh: Titik B ( 5, -1 ) dirotasikan terhadap titik P ( 2,3 ) sejauh 90 o searah putaran jam. Bayangan titik B adalah.. a. B ( -4, -3 ) c. B ( -5, -1 ) e. ( 0, -2 ) b. B ( -5, 1 ) d. B ( -2, 0 )

10 c. Perkalian atau dilatasi Perkalian atau dilatas adalah suatu transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor sekala dan titik tertentu itu dinamakan pusat dilatas. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa suatu dilatasi ditentukan oleh: a. Faktor skala ( k ) b. Pusat dilatasi Jika yang dilatasikan suatu bangun, maka dilatasi akan mengubah ukuran tanpa mengubah bentuk bangun tersebut. Dilatasi yang berpusat di P dengan faktor skala k dinotasikan desngan, Berdasarkan nilai dari faktor skala k, bangun bayangan yang diperoleh dapat ditetapkan sebagai berikut: Jika k > 1, bangun bayangan diperbesar dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika 0 < k < 1, bangun bayangan diperkecil dan terletak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika -1 < k < 0 bangun bayangan diperkecil dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. Jika k < -1, bangun bayangan diperbesar dan terletak tidak sepihak terhadap pusat dilatasi dan bangun semula. a. Dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P ( x,y ) dengan x = kx dan y = ky secara pemetaan dapat ditulis:, : P ( x,y ) P ( kx, ky ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: = 0 0 Matriks 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi,. 0 b. Dilatasi terhadap titik pusat A ( a,b ) Jika titik P ( x,y ) didilatasikan terhadap titik pusat A ( a,b ) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah P ( x,y ) dengan x a = k ( x a ) dan y b = k ( y b ) Dengan persamaan matriks, pemetaan diatas ditulis: = Matriks 0 dinamakan matriks yang bersesuaian dengan dilatasi,. 0 Contoh:

11 Bayangan titik P ( -6,3 ) oleh dilatasi terhadap titik pusat O ( 0,0 ) dengan faktor sekala - adalah.. a. ( 3,- ) c. ( -6, 2 ) e. ( -, 3 ) b. ( - 3, ) d. ( 5, 2 ) Penyelesaian: = 0 0 = 0 0 = d. Transformasi Oleh Suatu Matriks Jika transformasi yang bersesuaian dengan matriks mentransformasikan titik A ( x,y ) Ke A ( x,y ), maka hubungan antara koordinat A dan A dinyatakan dengan persamaan matriks: = contoh: bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah. a. A ( -9, -14 ) c. A ( 9, -32 ) e. A ( -5, -11 ) b. A ( 7, 9 ) d. A ( 12, -14 ) Penyelesaian: = ( 4) = ( 4) = = Dengan demikian x = -9 dan y = -14. Jadi, bayangan titik A ( 3, -4 ) oleh suatu transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 3 adalah A ( -9, -14 ) 2 5 Jawaban : A B. KOMPOSISI TRANSFORMASI Komposisi transformasi adalah pengerjaan dua atau lebih transformasi secara berurutan. Transformasi T 1 dilanjutkan dengan transformasi T 2 terhadap sasuatu titik A dapat ditulis: (T 2 o T 1 ) (A) T 2 (T 1 (A))

12 Sebaliknya, T 1o T 2 (baca:t 1 komposisi T 2 ) berarti transformasi T 2 dilanjutkan T 1. (T 1 o T 2 ) (A) T 1 (T 2 (A)) 1. Komposisi Translasi Jika ditranslasi T 1 = dan T 2 =, maka komposisi translasi T 1 dan T 2 dapat diwakili oleh sebuah translasi tunggal yang ditentukan oleh : T = + + Sifat- sifat komposisi translasi: 1) Untuk dua translasi berurutan berlaku : T 1 o T 2 = T 2 o T 1 (kumutatif) 2) Untuk tiga translasi berurutab berlaku : (T 1 o T 2 ) = T 1 o (T 2 o T 3 ) (asosoatif) Contoh : Titik A ( 6,3) ditranslasi oleh T 1 = 2 kemudian dilajutkan dengan 3 T 2 = 1 Bayangan titik A adalah 4 A. A ( 9, -4 ) B. A ( 7, 4 ) C. A ( 3, 10 ) D. A ( 9, 10) E. A ( 3, -4) Penyelesaian : T = T 2 o T 1 = = 1 1 = = 4 7 Jadi, bayangannya adalah A ( 7, 4) Jawaban : b 2. Komposisi Refleksi a) Komposisi Dua Refleksi Berurutan Terhadap Dua sumbu Sejajar B A B 1 C B 2 A A 1 A 2 G G 2 G 1 C C 1 C 2 B D G 1 adalah bayangan G karena refleksi terhadap sumbu AB

13 G 2 adalah bayangan G 1 karena refleksi terhadap sumbu CD G 2 adalah juga merupakan bayangan dari G karena refleksi terhadap sumbu AB dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD Perhatikan, melakukan refleksi dua kali berurutan terhadap sumbu sejajar sama dengan melakukan sebuah translasi. Masalah kita sekarang adalah menentukan suatu translasi yang ekuivalen dengan komposisi dua refleksi di atas. b) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang sejajar sumbu x Dua sumbu sejajar yang sejajar terhadap sumbu X misalkan titik P(x,y ) Dicerminkan terhadap garis y = a, kemudian dicerminkan terhadap garis Y = b, maka diperoleh bayangan P ( x, 2 (b-a) + y). Secara pemetaan dapat dituliskan : M y = b o M y = a : P(x,y) P (x,3 (b-a) + y) Misalkan titk P (x,y) dicerminkan terhadap garis y = b, kemudian dicerminkan terhadap garis y= a, maka diperoleh bayangan P (x, 2(a-b) + y) Secara pemetaan dapat dituliskan : M y = a o M y = b : P(x,y) P (x,2 (a-b) + y) c) Komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus G O G 2 A C G G 1 D G 2 B Segitiga G direfleksikan dua kali berurutan terhadap sumbu AB lalu sumbu CD G 1 adalah bayangan G karena refleksi terhadap sumbu AB G 2 adalah bayangan G 1 karena refleksi terhadap sumbu CD G 2 juga merupakan bayangan dari G karena refleksi berurutan terhadap sumbu AB dilanjutkan refleksi terhadap sumbu CD. Misalkan M 1 adalah refleksi terhadap AB dan M 2 adalah refleksi terhadap CD, d.komposisi dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yang saling berpotongan

14 Garis l dan m berpotongan di titik P. Garis l dan m membentuk sudut. Titik A 1 adalah bayangan titik A Karena refleksi terhadap garis l. Titik A 2 adalah bayangan titik A 1 karena refleksi terhadap garis m. Titik A 2 merupakan bayangan titik A karena dua refleksi berurutan terhadap garis l dan garis m. Misalkan M 1 adalah refleksi terhadap sumbu l dan M 2 adalah refleksi terhadap sumbu m, c. Komposisi dua rotasi sepusat yang berurutan Perhatikan gambar titik A 1 adalah bayangan titik A karna rotasi sebesar a 1 terhadap pusat P dan A 2 adalah bayangan A 1 karna rotasi sebesar a 1 terhadap pusat P. Maka titik A dipetaka ke A 2 oleh rotasi terhadap pusat p sejauh a 1 + a 2. Jadi, transformasi tunggal ekuivalen dengan komposisi dua rotasi yang berurutan terhadap pusat P sejauh a 1 dan a 2 adalah rotasi terhadap pusat yang sama jauh (a 1 + a 2 ) Misalkan R 1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a 1 = Rot(P,a 1 ) R 2 = rotasi terhadap pusat P sejauh a 2 = Rot(P,a 2 ) R 2 o R 1 = rotasi terhadap pusat P sejauh a 1 dilanjutkan rotasi terhadap pusat P sejauh a 2 = rotasi terhadap pusat P sejauh (a 1 + a 2 ) = rot(p, a 1 + a 2 ) Contoh 1. Tentukan bayangan titki (4,2) kerna rotasi sejauh a 1 = 10 o dilanjutkan rotasi sejauh a 2 =50 Terhadap pusat (0,0) Jawab :

15 Rotasi sejauh a 1 = 10 0 dilanjutkan rotasi sejauh a 2 = 50 ekuivalen dengan rotasi Rot(0,a 1 + a 2 ) = Rot (0,60 0 ) Misalkan (x 2,y2,)adalah bayangan titik (4,2) akibat rotasi 2 diatas, maka = = = Jadi, bayangan titik ( 4, 2 ) akibat rotasi terhadap pusat O sejauh 10 o dilanjutkan 50 o adalah titik ( 2-3,2 3+1 )

16 SOAL 1. Titik (4, 8) dicerminkan terhadap garis x = 6,dilanjutkan dengan rotasi (0,60 ),hasilnya adalah... a 4+4 3,4 4 3 b 4+4 3, c 4+4 3,4 4 3 d 4+4 3,4 4 3 e 4+4 3,4 3 4 UAN Garis dengan persamaan 2 6=0 dicerminkan terhadap garis = dilanjutkan dengan bersesuaian dengan matriks 2 1.persamaan bayangan adalah a 2+5+6=0 b 2+5 6=0 c 2+3 6=0 d 2+2 6=0 e 5+2+6=0 UAN Garis dengan garis persamaan =2+3dicerminkan terhadap sumbuh kemudian diputar dengan (,90 ).Persamaan bayangan adalah... a 2 3=0 b +2 3=0 c 2 3=0 d 2+ 3=0 e 2++3=0 EBTANAS Persamaan peta garis 2+4=0 yang dirotasikan dengan pusat 0(0,0) sejauh 90,dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = adalah... a +2+4=0 b +2 4=0 c 2++4=0 d 2 4=0 e 2+ 4=0 UAN Bayangan, dengan (2,1),(6,1),(5,3) karena fefleksi terhadap sumbu dilanjutkan rotasi (,90 ) adalah... a ( 1, 2), " (1,6 ) dan ( 3, 5) b ( 1, 2), " (1, 6 ) dan ( 3, 5) c (1, 2), " ( 1,6 ) dan ( 3,5) d ( 1, 2), " ( 1, 6 ) dan ( 3, 5) e ( 1,2), " ( 1, 6 ) dan ( 3, 5) EBTANAS Luas bayangan persegi panjang dengan

17 ( 1,2 ), ( 3,2 ), ( 3, 1 ), ( 1, 1 ) karena dilatasi 0 3 dilanjutkan rotasi dengan pusat sejauh adalah a 36 satuan luas b 48 satuan luas c 72 satuan luas d 96 satuan luas e 108 satuan luas UAN Bayangan garis =2+2 yang dicerminkan terhadap garis = adalah... a =+1 b = 1 c = 1 d = +1 e = UAN Garis yang persamaannya 2+3=0 dipetakan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks 1 3.Persamaan bayangan garis itu adalah a 3+2 3=0 b ++3=0 c 3 2 3=0 d +3=0 e 3+2+3=0 SNMPTN Persamaan peta garis 2 +5=0 karena refleksi terhadap garis +3= 0 dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks 2 4 adalah a =0 b =0 c =0 d 3+2 7=0 e +2 14=0 SNMPTN Persamaan bayangan garis = 6+3 karena transformasi oleh matriks karena kemudian dilanjutkan dengan matriks 0 2 adalah... a +2+3=0 b +2 3=0 c =0 d =0 e =0 1 2 SNMPTN Persamaan bayangan garis 4 3+5=0 oleh translasi sejauh matriks 2 3 dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis = adalah... a =0 b =0 c 4 3 9=0

18 d =0 e =0 UAN Titik (6, 1) (1,0) berturut-turut adalah bayangan titik (2,4), (,) karena percerminan terhadap garis = dilanjutkan dengan translasi = +3.Koordinat titik (,). a (6, 1) b ( 1,3) c (2, 3) d (2, 6) e (3, 1) UAN Bayangan lingkaran ( 2) + (+3) = 25,Oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 0 1.dilanjutkan dengan pencerminan terhaddap garis = adalah a =0 b =0 c =0 d =0 e =0 SNMPTN Persamaan bayangan lingkaran =0 oleh Trnsformasi yang berkaitan dengan matriks 0 1 adalah a =0 b =0 c =0 d =0 e =0 UAN Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat sejauh,dilanjutkan dilatasi (0,2)adalah =2+.persamaan kurrva semula adalah... a = +4 b = 4 c = ++4 d = 2 +1 e =2 1 UAN Banyangan garis =2+2 yang dicerminkan terhadap garis = adalah: a. =+1 b. = 1 c. = 1 d. = + 1

19 e. = UAN Persamaan bayangan kurva = 2 3 oleh rotasi 0,180, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis = adalah a. = 2 3 b. = 2+3 c. = d. = 2 3 e. = UAN Segitiga ABC dengan (2,1),(6,1),(6,4) ditransformasikan dengan matriks transformasi 3 1. Luas bangun hasil transformasi segitiga adalah 0 1 a. 56 satuan b. 36 satuan c. 28 satuan d. 24 satuan e. 18 satuan Ebtanas Luas bayangan persegipanjang PQRS dengan ( 1,2),(3,2),(3, 1),( 1, 1) karena dilatasi 0,3 dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut adalah... a. 36 b. 48 c. 72 d. 96 e. 108 Ebtanas Persamaan peta kurva = 3+2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah... a =0 b =0 c =0 d =0 e =0 UAN Diketahui koordinat titik P adalah (4, 1). Oleh karena translasi diperoleh bayangan titik P, yaitu ( 2, 4), nilai = a. -3 b. -1 c. 0 d. 2 e. 3 SNMPTN 2OO4 22. Titik (2, 4) adalah bayangan titik (3,5) oleh translasi. Translasi =.. a. b. c. d. e.

20 Ebtanas Jika garis =+5 ditranslasikan oleh, maka persamaan bayangannya adalah. a. =2+8 b. =+10 c. =+5 d. =2+5 e. =+8 SNMPTN titik (3, 5)dicerminkan terhadap sumbu. koordinat bayangan titik adalah. a. (3,5) b. ( 3, 5) c. ( 3, 5) d. ( 5,3) e. ( 5, 3) UAN Titik P ( -3, 7 ) ( 3,7) dicerminkan terhadap garis = koordinat bayangan titik adalah.. a. (3, 7) b. (3, 7) c. (7, 3) d. ( 7,3) e. ( 7, 3) UAN Titik (2,1) dirotasikan terhadap titik (0,0) sejauh 90 berlawanan arah putaran jam. Bayangan titik adalah a. ( 1,2 ) b. ( 2,1 ) c. (1, 2 ) d. ( 1, 2 ) e. (2,1 ) SNMPTN Bayangan titik oleh rotasi (0,45 ) adalah 2, 2. Koordinat titik adalah. a. (0, 0) b. (0, 2) c. (2, 0) d. ( 2,0) e. (0, 2) UAN Jika garis x 2y = 5 diputar sejauh 90 o terhadap titik ( 2,4 ) berlawanan arah putaran jam, maka persamaan bayangannya adalah. a. 2+= 19 b. 2+=19 c. =19 d. =19 e. =19

21 e. = 3 SNMPTN 2009 UAN Bayangan titik (2, 1) oleh dilatasi terhadap titik pusat (3,4)dengan faktor skala -3 adalah. a. ( 6,1) b. ( 3,15) c. (6,19) d. (3,15) e. (0,11) UAN Diketahui bayangan titik (3,2)oleh suatu transformasi adalah (3,7) dan bayangan titik (1,1) adalah (1,4). Matriks yang bersesuaian dengan transformasi tersebut adalah a b c d e SNMPTN Garis =2 3 ditranslasikan oleh dilanjutkan oleh translasi persamaan bayangan garis adalah. a. = 5 b. =2+5 c. =2 5 d. = titik (5,1)dicerminkan terhadap garis =1 kemudian dilanjutkan terhadap garis = 3 Bayangan terakhir titik adalah. a. (5, 7) b. (5, 3) c. ( 3,1) d. ( 3,3) e. (13,1) UAN Titit (2, 5) dicerminkan terhadap garis =3 kemudian dilanjutkan garis =1. Koordinat bayangan titik R adalah. a. (4, 5) b. ( 4,5) c. ( 4, 7) d. (4, 7) e. ( 4, 7) UAN Garis +=3 dicerminkan terhadap sumbu kemudian dicerminkan terhadap sumbu. persamaan bayangan adalah. a. = 3

22 b. += 3 c. +=3 d. += 3 e. =3 UAN Persamaan bayangan garis =2 3 yang direfleksikan terhadap garis = dan di lanjutkan garis = adalah.. a. 2++3=0 b. +2 3=0 c. 2 3=0 d. 2+ 3=0 e. 2 3=0 UAN Bayangan garis 2 6=0 jika dicermikan tehadap sumbu dilajutkan rotasi pusat sejauh 90 adalah.. a. 2+ 6=0 b. +2 6=0 c. 2 6=0 d. +2+6=0 e. 2+6=0 UAN Persamaan bayangan garis 4+3 2=0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matrik di lanjutkan matrik 1 adalah a =0 b =0 c. 2 2=0 d. +2 2=0 e =0 UAN Bayangan kurva = 3 jika dicerminkan terhadap sumbu dilanjutkan dengan dilatasi pusat dan faktor skala 2 adalah.. a. = + 6 b. = 6 c. = 6 d. =6 e. = 3 UAN Persamaan bayangan garis 4 +5=0 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matrik 2 0 dilanjutkan pencerminan terhadap sumbu adalah a =0

23 b =0 c =0 d =0 e =0 UAN Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O bersudut, dilanjutkan dilatasi 0,2 adalah =2+. Persamaan kurva semula adalah a. = +4 b. = + 4 c. = ++4 d. = e. =2 1 UAN 2011

24 PEMBAHASAN 1. Titik P (x,y) dicermin terhadap x = a bayangan adalah P (2a-x,y). Titik P (4,-8) dicerrmin terhadap x = 6 bayangan adalah p (2.6-4,-8 ) = (8,-8). Selanjutnya titik P (2,-8) dirotasikan (0,60 0 ) untuk menghasilkan bayangan hasil P(x,y ) P (8,8) rot (0,60) P(x.y ). Matriks rotasi (0,60 0 ) adalah cos60 sin60 = sin60 cos60 3 " = " = Bayangan adalah akhirnya adalah (4+4 3, Jawaban: E 2. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis = adalah Garis yang persamaan 2 6=0 dicerminkan terhadap garis = dilanjutkan dengan bersesuaian dengan matriks 2 1 bayangannya ditentukan sebagai berikut: 1 0 " 2 1 " = = = " " = =1 0 1 = +2 = +2 dan = Substitusikan harga dan kedalam persamaan garis 2 6=0 didapat : 2( +2 ) ( ) 6= = =0 Jadi bayangan akhirnya adalah 2+5 6=0 Jawaban: B 3. Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap sumbu addalah 1 0 dan 0 1 matriks yang bersesuaian dengan rotasi (,90 )adalah 1 0.bayangan garis 0 1 =2+3 dicerminkan terhadap sumbu kemudian diputar dengan (,90 ) ditentukan sebagai berikut: 1 =

25 = = = Di dapat = dan =.disubsitusikan harga = dan = kedalam persamaan garis =2+3 didapat ; =2 2 3=0. persamaan bayangan adalah; 2 3=0 Jawaban: A 4. Matriks yang rotasi dengan pusat (0,0)sejauh 90 adalah 0 1.Matriks rotasi 1 0 terhadap garis = adalah Persamaan peta garis 2+4=0 yang dirotasikan dengan pusat (0,0) percerminan terhadap garis = ditentukan sebagai berikut: = = = = = = Didapat = dan = ke dalam persamaan garis 2+4=0 di dapat : 2+4=0 2( )+4= =0 jadi persamaan bayanganya adalah: +2+4=0 Jawaban : A 5. Matriks refleksi terhadap sumbu adalah dan matriks rotasi (,90 ) adalah 0 1.Bayangan titik (.) karena refleksi terhadap sumbu dilanjutkan dengan 1 0 rotasi (,90 ) ditentukan sebagai berikut : " 1 = 0 " = = " = " Diperoleh = " dan = " atau " (, ).Bayangan ketiga titik karena refleksi terhadap sumbu dilanjutkan dengan rotasi (,90 ) adalah: (2,,1) "( 1, 2) (6,1) " ( 1, 6) (5,3) "( 3, 5)

26 Jawaban : D 6. Matriks dilatasi 0,3 adalah danrotasi dengan pusat sejauh 1 adalah Dilatasi 0,3 dilanjutkan dengan pusat sejauh,matriks komposisi trnsformasinya adalah =0.Persegi panjang dengan ( 1,2),(3,2), (3, 1),( 1, 1). =(3+1) +(2 2) = 16+0 = 4 dan =( 1+1) +( 1 2) = 9 = 3 Luas persegi panjang : = =4 3 =12. Luas bayangan persegi panjang karena dilatasi 0,3 dilanjutkan rotasi dengan pusat sejauh adalah = 0 3 =(0+9) 12= Jawaban : E 7. Matriks refleksi terhadap garis = adalah 0 1.Bayangan garis 2+2 yang 1 0 dicerminkan terhadap garis = ditentukan sebagai berikur: = = =.Subsitusikan = =. Kedalam persamaan garis 2+2 didapat: = = 2 = 1 = 1 Jawaban : C 8. 3 = = = = Didapat = Disubsitusikan nilai dan kedalam persamaan garis 2+3= ( 2 + )+3= =0 + +3=0 Persamaan bayangan ++3=0 Jawaban : B 9. Garis +3=0 = 3 (,) (2,) 2 +5=0 2(2( 3) ) +5=0 2( 6 ) +5=0 2 7=0

27 Garis 2 7=0 ini ditransformasikan oleh matriks Bayangannya ditentukan sebagai berikut: = = = = 2 didapat = 2 =.Subsitusikan harga-harga ini kedalam persamaan garis 2 7= = =0 +5 7= = =0 : 10. Bayangan ditentukan sebagai berikut: = = = = = = " = = Subsitusikan nilai-nilai dan kedalam persamaan garis = 6+3 didapat: = = = = =0 Jawaban : E =0 4( 2) 3(+3)+5= = =0 () = =0 Jadi,persamaan bayangan adalah =0 Jawaban : D

28 12. (2,4) (2,4) (,) =(6, 1) =2,= 6 (,) (,) (,) =(1,0)didapat +=1 + 2=1 = 1 ++3=0 6+3=0 =3, (3, 1) Jawaban : E 13. ( 2) + (+3) =25 (2, 3) =5 Matriks Pencerminan ; = h Matriks Komposisi Transformasi ; = = = = = = = = =. subsitusikan = dan = kedalam persamaan lingkaran ( 2) + (+3) =25 didapat ( 2) +(+3) =25 ( ) 4 +4+( ) 6 +9=25 ( ) +( ) = =0 Jawaban : D 14. = = = = = = =. subsitusikan = dan = kedalam persamaan =0 ( ) +( ) 4+( ) 6 3=0 ( ) +( ) = =0

29 Jawaban : C 15. Matriks Rotasi, 1 adalah 0.Matriks dilatasi,2 0 adalah 2 misal persamaan kurva semula adalah = ++ maka perbayangan ditentukan sebaggai berikut. = = =0 2 0 = = 0 0 = Didapat = = subsitusikan keduanya kedalam persamaan kurva = ++ h; = + + = ( ) + + = ( ) 2 persamaan garis bayangannya adalah; = 1 2 ( ) 2 = 2 = 1 2 ( ). Karena persamaan bayangannya adalah =2+ maka = 1,= 1,=2. Dengan demikian persamaan kurva semula adalah =2 1. Jawaban : E 16. Rumus dasarnya : (,) (,)... (1) Pencerminan terhadap garis y = x : (,) (,)... (2) Dari (1) dan (2) maka : = =... (3) Substitusi (3) kegaris =2+2 =2+2 2= 2 = 1 Hasil pencerminannya adalah = 1 Jawaban : C

30 Rotasi terhadap R (0,) cos sin = sin cos Maka rotasi terhadap R (0,180 ) = cos180 sin180 sin180 cos180 = Rotasi sudut sudut yang lain dapat dihitung sendiri menggunakan kaidah trigonometri. 2. Pencerminan terhadap garis = (,) (, ) matriksnya Bayangan oleh rotasi 0,180, kemudian dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis = adalah : = = = (,) = ;= Substitusikan pada kurva = 2 3 = 2 3 = 2 3 Jawaban: D 18. Misalkan = 3 1 maka luas bayangan atau transformasi ABC = det x luas 0 1 det = = 3 0 = 3 Luas : Luas = = = 4 3 = 6 Luas bayangan/ transformasi = det =3 6 =18 Jawaban: E 19. Dilatasi 0,3 0,3 (,) (3,3) Rotasi pusat O bersudut 0, (,), 0,3 (,) (,) (3,3) ( 3,3)

31 Sehingga : (,) ( 3,3) ( 1,2),(3,2),(3, 1),( 1, 1) ( 1,2) ( 6, 3) (3,2) ( 6,9) (3, 1) (3,9) ( 1, 1) (3, 3) Sehingga luas transformasinya adalah : Panjang (p) x lebar (l) = 12 x 9 = 108 satuan luas Jawaban: E 20. Pencerminan terhadap sumbu x : (,) (, ) Dilatasi terhadap titik pusat (0,0) dengan faktor skalar 3 :, (,) (,),3 (,) (3,3) Pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skalar 3 : (,) (, ) (3, 3) =3 = 1 3 = 3 = 1 3 Substitusi pada persamaan = 3+2 menjadi : 1 3 = = = = =0 21. Penyelesaian: = 2 : (4,1) ( 2, 4) ( 2, 4)= 2+4,+ ( 1) Jadi : 2=6 dan + ( 1)= 4 = 3 = 3 Jawaban: A 22. Penyelesaian: = (3,5) : P (3,5) Sehingga diperoleh : ((3+,5+)= (2, 4)

32 3+=2 = 1 5+= 4 = 9 Jadi transslasi = Jawaban : E 23. Penyelesaian: = Dengan demikian = +2 = 2, dan = +3 = 3 Dengan mensubtitusikan = 2 dan = 3 pada persamaan garis, Diperoleh: 3= ( 2)+ 5 = = + 6 Jadi, persamaan bayangan garis =+5 oleh translasi 2 adalah =+6 3 Jawabann: C 24. Penyelesaian : = (3, 5) (, ) Kita gunakan persamaan matriks untuk menentukan dan 0 = = ( 5) = 0.3+( 1)( 5) = 3 5 Jadi bayangan titik (3, 5) oleh pencerminan terhadap sumbu adalah (3,5) Jawaban: A 25. Penyelesaian: 0 1 = = ( 1).7 = 0.( 3)+ ( 1)( 3)+ 0.7 = 7 3 Jadi, bayangan titik ( 3,7) oleh pencerminan terhadap garis = adalah ( 7,3) Jawaban: D 26. Penyelesaian: 1 = = = 1 2 Dengan demikian = 1 dan = 2 Jadi bayangan titik (2,1) oleh rotasi terhadap titik (0,0) sejauh 90 berlawanan arah putaran jam adalah ( 1,2) Jawaban: A

33 27. Penyelesaian: Misalkan koordinat titik A adalah ( x, y ). sin = cos sin cos Karena = 45, maka cos45 sin45 = sin45 cos = = Dengan demikian, 2 2= 2.(1) 2+2= 2.(2) Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 2 diatas,diperoleh x=0 dan y=2. Jadi koordinat titik A adalah (0,2) Jawaban : B = = = 6 +2 Dengan demikian =6 =6 dan y =x+2 x=y 2 Dengan mensubsitusikan = 2 dan y=6 x pada persamaan,diperoleh; ( 2) 2(6 )= =5 + = =19 Jadi,persamaan bayangan garis 2=5 oleh rotasi sejauh 90 terhadap titik(2,4) berlawanan arah putaran jam adalah 2+=19 Jawaban : B 29.. = = = =6 19 Dengan demikian, = 6 dan, = 19 Jadi, banyangan titik P (2, 1) oleh dilatasi terhadap titik pusat A (3, 4 )adalah, ( 6, 9 ) Jawaban : C 30. = 3 = 7 3 2

34 . 3 7 = Dengan demikian 3+2=...(1) 3+2=7...(2) Untuk titik 1 = =+ + Dengan demikian +=1...(3) +=4..(4) Dengan menyelesaikan persamaan 1 dan 3 diperoleh =1 dan =0,dengan menyelesaikan persamaan 2 dan 4diperoleh = 1 dan =5.jadi,matriks yang bersesuaian dengan transformasi itu adalah: Jawaban : B 31. Misalkan 0 6 Dan = 2 4 T=T ot =2 2 = +2 2 =+2 +2 Dengan demikian =+2 = 2 dan =+2 Dengan mensubsitusikan = 2 dan = 2 kepersamaan =2 3 diperoleh : 2=2( 2) 3 2=2 4 3 =2 5 Jadi persamaan garis bayangan adalah =2 5 Jawaban : C 32. =(,) "(2( )+,) =(5,1) "(2( 3 1)+5,1="( 3,1) Jadi bayangan adalah ( 3,1) Jawaban : C 33. = o M =M ((P,Q)) o M =M ((3,1)) Pencerminan terhadap garis =3 dilanjutkan terhadap garis =1 ekuivalen dengan pencerminan terhadap titik (3,1) (,) (,) (2,2 ) (,) :(2, 5) (2.3 2,21 5= (4,7) Dengan demikian o M =R(2, 5) R (4,7)

35 Jadi bayangan adalah R (4,7) Jawaban D 34. Matriks = dan M = Matriks o = M = = = = Dengan demikian = = dan = = Dengan mensubsitusikan = = kepersamaan +=3 Diperoleh ; ( )+( )=3 =3 + = 3 Jadi persmamaan bayangan adalah += 3 Jawaban B 35. Langkah 1: =2 3 direfleksikan terhadap garis = matriks yang bersesuaian dengan = = = = Dengan demikian: = = = = =2 3 = 2 3 Langkah 2: = 2 3 direfleksikan terhadap garis =. Matriks yang bersesuaian dengan. == = = Dengan demikian = = =2 3 =2 3

36 2 3=0 Jawaban : C 36. Matriks = dan (0,90 )= Matriks = (0,90 ) = = = = Dengan demikian = dan = Dengan mensubstitusikan = dan = kepersamaan 2 6=0 diperoleh Jawaban : E 2 6=0 2 6=0 37. garis 4+3 2=0 ditransformasikan oleh matriks 0 1 dilanjutkan oleh = = (1) 1 0 = 1 2 = = = = = = = Hasil transformasi garis 4+3 2=0 adalah ( ) 2= =0 2 2=0 2 2=0

37 Jadi persamaan bayangannya adalah 2 2=0 Jawaban : C 38. Diketahui kurva = 3 dicerminkan terhadap sumbu kemudian 0,2 Ditanyakan bayangan akhir kurva Matriks yang berhubungan dengan refleksi terhadap sumbu adalah Matriks yang berhubungan dengan 0,2 adalah Dengan demikian matriks yang berhubungan dengan transformasi refleksi terhada sumbu dilanjutkan 0,2 adalah = Bayangan x dan y oleh transformasi diatas adalah = = 2 2 = 2, maka =... (1) = 2, maka =...(2) Substitusikan (1) dan (2) ke persamaan kurva = 3 = 3 = ( ) 3 = 6 ( ) Atau =6 Jadi bayangan kurva oleh transformasi diatas adalah =6 Jawaban : D 39. misalkan = transformasi yang bersesuaian dengan matriks = = transformasi pencerminan terhadap sumbu Y = Persamaan garis 4 +5=0 ditransformasikan oleh kemudian oleh.( ) Komposisi transformasi bersesuaian dengan perkalian matriks., yaitu

38 . = Bayangan 0 = = = 2 +3 = 2 = = +3 Dengan mensubstitusikan = pada = +3 maka diperoleh: = + 3 = = 3 = Substitusikan = dan = pada persamaan garis 4+= 50 diperoleh: 4 +5=0 kalikan kedua ruas dengn 6, sehingga di peroleh: = = =0 Jadi persamaan bayangan garis 4 +5=0 adalah 11=2 3=0 Jawaban: D 40. Rotasi, 1 =0 1 0 Dilatasi (0,2)= Rotasi, dilanjutkan dengan dilatasi (0,2) bersesuaian dengan matrik: = = = 0 2 = 2 0 = = 2 =2 Dimisalkan persamaan peta suatu kurva oleh rotasi (0,90 ) dilanjutkan dilatasi(0,2) adalah =2+ maka persamaan kurva semula : =2+ 2=2+2 (2 ) 2=2+2 4 =2 1 Jawaban : E : 2