GEOMETRI. Transformasi & Analitik Ruang UNIVERSITAS HASANUDDIN. M Saleh AF. Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang LKPP.

Transkripsi

1 GEOMETRI Transformasi & Analitik Ruang D M M Refleksi M Saleh AF LKPP UNIVERSITAS HASANUDDIN

2 BAB II TRANSFORMASI GEOMETRI DI A. Pendahuluan Salam hangat dan sejahtera bagi para pembelajar Kreatif! Bab ini merupakan bagian pertama bagi anda. Semoga anda terinspirasi dan menyenangi mata kuliah Geometri Transformasi dan Analitik Ruang ini dan anda dapat memahami konsep-konsep dasar dan muatan dalam bab ini tanpa mengalami kesulitan yang berarti. Konsep geometri sama dan sebangun sudah dikenal dibangku SLTP/SLTA. Hal ini secara tidak langsung telah memperkenalkan transformasi yang menyebabkan objek-objek geometri menjadi sama dan sebangun. Misalnya sebuah segitiga dikatakan sama dan sebangun dengan segitiga lain jika dapat dilakukan penggeseran dan memutar satu segitiga menjadi tepat berimpit dengan segitiga yang lainnya. Jadi secara alamiah muncul pertanyaan tentang sifat-sifat dari transformasi yang didasarkan pada pergeseran dan rotasi. Dalam bab ini anda akan mempelajari konsep tentang Transformasi pada bidang digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membahas tentang perubahan (letak bentuk dan penyajian) yang didasarkan pada gambar atau notasi matriks. Selanjutnya akan diperkenalkan tentang pencerminan translasi rotasi penskalaan geseran dilatasi dan komposisi transformasi. Pada bagian akhir bab ini diberikan soal-soal dan pembahasan masalah disekitar anda.

3 B. Sasaran Umum Setelah mempelajari bab ini para pembelajar kfreatif diharapkan akan dapat memahami pengertian transformasi geometri pencerminan (refleksi) translasi rotasi dan dilatasi terhadap suatu titik atau objek pada bidang rata serta komposisi transformasi dengan operasi matriks C. Sasaran Khusus Setelah mempelajari bab ini para pembelajar kreatif diharapkan akan dapat : a. menentukan bayangan sebuah titik atau objek terhadap suatu cermin garis yang di ketahui b. menentukan bayangan suatu objek terhadap sumbu-sumbu koordinat titik asal atau garis-garis tertentu yang diketahui. c. melakukan translasi sumbu koordinat terhadap suatu objek yang diketahui d. melakukan suatu rotasi objek terhadap titik asal atau terhadap sembarang titik yang diketahui e. menentukan refleksi (pencerminan) translasi dan rotasi sutu objek dengan menggunakan matriks berukuran x f. membuat geseran dan penskalaan serta dilatasi pada suatu objek terhadap sumbu-sumbu koordinat g. menentukan komposisi transformasi linier menggunakan matriks h. terlatih memecahkan soal-soal transformasi berdasarkan konsep atau dalil-dalil yang baku dan benar.

4 4 Selamat Datang Pada Trayek Seorang Pemuda Seorang pemuda berangkat dari rumahnya berjalan kaki selama jam untuk tiba di rumah tunangannya. Dirumah tersebut ia beristirahat selama jam kemudian pemuda tersebut pulang ke rumahnya dengan kendaraan motor tunangannya Gamabr.. Dapatkah anda membantu menemukan trayek perjalanan si Pemuda tersebut diantara gambar berikut yang menunjukkan perjalanan si pemuda sejak meninggalkan rumah hingga kembali kerumahnya. [deuxieme] km km 4 5 km 4 5 km km 5 4 km Gambar. Sumbu X : waktu dalam jam (t) ; Sumbu Y : Jarak dalam km.

5 5 Kegiatan Belajar.. TRANSFORMASI GEOMETRI.. Refleksi (Pencerminan) Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik pada bidang dengan menggunakan sifat suatu cermin datar. Gambar.a memperlihatkan bahwa titik dari titik adalah bayangan akibat refleksi terhadap sumbu D dinotasikan ( ). D M M Gambar.a : refleksi jika D adalah mediatris (garis tengah) segmen [MM ] jika Jika Sebuah titik M adalah invariant akibat ( ) maka ( ) jika dan hanya jika M sebuah titik pada D

6 6 Refleksi dalam bentuk matriks di : Misalkan datar. adalah transformasi linier pada bidang Suatu titik atau bangun dapat di refleksikan dengan delapan cara sebagai berikut (a) Refleksi terhadap sumbu x Perhatikan bahwa koordinat titik ( ) akan mempunyai bayangan ( ) bila dicerminkan terhadap sumbu x Gambar.b. adalah sebuah operator yang mencerminkan titik ( ) Jika terhadap sumbu x maka adalah transformasi linier sehingga dapat di lambangkan oleh matriks Dalam hal ini (.) disebut matrik stnadar untuk T. Hal ini diperoleh dari dan dimana berukuran yaitu : (e ) (e ) (e ) merupakan kolom pertama matrik A dan merupakan kolom kedua dari matriks A dimana adalah basis standar untuk y ( ) x ( ). (e ) dan y F x F Gambar.b : Refleksi terhadap sumbu x

7 7 Dengan demikian bayangan dari titik ( ) akibat refleksi terhadap sumbu x diperoleh dari rumus atau disingkat (.a) (b) (.b) Refleksi terhadap sumbu y Dengan cara serupa koordinat titik ( ) akan mempunyai bayangan ( ) bila dicerminkan terhadap sumbu y Gambar.. Jika adalah sebuah operator yang mencerminkan vector titik ( ) terhadap sumbu y maka matriks standar untuk Karena (e ) dan (e ) y ( ) adalah (.) y ( ) x F F x Gambar. Refleksi terhadap sumbu y

8 8 Jadi bayangan dari titik ( ) akibat pencerminan terhadap sumbu y dinyatakan dengan rumus (.4a) atau disingkat (c) (.4b) Refleksi terhadap titik asal Jika sebuah titik ( ) di refleksikan terhadap Gambar (.4) maka matriks standar untuk Sehingga titik asal O diberikan oleh (.5a) ( ) (d) O (.5b) ( ) Gambar.4 Refleksi terhadap titik asal O Refleksi terhadap garis Koordinat titik ( ) akan mempunyai bayangan ( ) bila dicerminkan terhadap garis Karena (e ) Gambar.4. dan (e )

9 9 maka matriks stnadar untuk Sehingga (.6a) y ( ) adalah : (.6b) y F ( ) x Gambar.4 Refleksi terhadap garis yx (e) Refleksi terhadap garis adalah Sehingga (f) (.7b) ℎ (garis yang sejajar sumbu y) Pencerminan titik ( ) terhadap garis.5 x (.7a) bayangan ( ) dimana F maka matriks standar untuk Refleksi terhadap garis ℎ ℎ menghasilkan dan Gambar

10 Jika di notasikan dalam matriks transformasi rumusnya adalah (g) Refleksi terhadap garis ℎ (.8) (sejajar sumbu x) Pencerminan titik ( ) terhadap garis bayangan ( ) dimana.6 dan menghasilkan Gambar Jika di notasikan dalam matriks transformasi rumusnya adalah y ( ) xh ( ) (ℎ ) ℎ y (.9) ( ) ( ) ( ) x Gambar.5 : Refleksi terhadap garis ℎ (h) yk Gambar.6 : Refleksi terhadap garis x Refleksi terhadap titik ( ) Bayangan dari titik ( ) bila direfleksikan terhadap titik ( ) adalah ( ) dengan Gambar.7 sehingga dan

11 y ( ) (.) ( ) ( ) ( ) x a x Gambar.7 : Refleksi terhadapa titik ( ).. Translasi di Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah (vector) atau dengan suatu pasangan bilangan(ℎ ) Gambar.5. M Trnaslasi dimana ℎ ℎ Gambar.8 M memetakan titik M(x y) ke titik M( ) ℎ dan dinotasikan sebagai : M(x y) M(x h y k) (.a)

12 Dalam bntuk matriks bayangan diperoleh dengan rumus ℎ (.b) disingkat (.c) Langkah-langkah translasi Letakkan suatu titik atau bangun F pada suatu bidang (D) Translasikan objek F dengan menambahkan jarak horisontal ℎ dan jarak pertikal sehingga dari posisi semula titik atau bangun F bergeser tanpa mengalami perubahan dimensigambar.9. y y y F x Gambar.9a : sebelum translasi O F x O Gambar.9b : setelah translasi x.. Perputaran (rotasi) Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar titik-titik tersebut sebesar sudut rotasi I disebut rotasi. Sebuah titik titik terhadap suatu titik pusat mempunyai bayangan di melalui rotasi pada pusat I dengan sudut sebagai ( )( ) disingkat di notasikan ( ) Gambar.

13 dengan sifat bahwa M M jika M I IM IM dan sudut ; jika M M M I Gambar. : Rotasi (a). Rotasi terhadap titik pusat () Misalkan dalam adalah transformasi linier yang memetakan yang merotasi setiap vector sebesar sudut berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal Gambar. tampak bahwa adalah sin cos dipetakan ke adalah sin cos Secara geometrik jika untuk memutar cos sin yang (). Pada dan peta dari. Matriks A yang melambangkan transformasi ini akan memiliki entri-entri kolom pertama keduanya adalah ke cos sin cos sin dan kolom sehingga matrik transformasinya sin cos sembarang vector di (.) maka berlawanan arah jarum jam sebesar sudut maka tinggal mengalikan matriks dengan vector Gambar..

14 4 ( sin cos ) () (cos sin ) () Gambar. Gambar. Penurunan rumus (.) diperoleh sebagai berikut Pada koordinat polar titik ( ) dinyatakan sebagai cos dan sin dan bayangannya dinyatakan sebagai ( ) Gambar. dimana cos( ) ( cos )cos ( sin ) sin sin( ) ( cos ) sin ( sin )cos Setelah cos dan sin disubtitusi diperoleh cos sin dan sin cos atau dalam bentuk matriks di tuliskan : cos sin y r sin cos disingkat y ( ) r Gambar. ( ) x O ( ) A (.) ( ) r r ( ) Gambar. x

15 5 (b). Rotasi terhadap titik ( ) Jika suatu titik ( ) di putar sebesar sudut yang berlawanan arah jarum jam dengan pusat titik ( ) dan bayangannya adalah ( ) Gambar. dengan ( ) cos ( ) sin ( ) sin ( ) cos atau dalam bentuk matriks di tuliskan sebagai cos sin sin cos (.4)..4 Perkalian atau Dilatasi (Dilatation) Suatu transformasi yang berbentuk ( ) (.5) disebut dilatasi (perkalian) dengan faktor bilangan positif pusat dilatasi di O(). Jika dengan > menghasilkan gambar yang diperbesar (ekspansi) Gambar..a dan jika < < menghasilkan gambar yang diperkecil (reduksi) Gambar.b. Transformasi dilambangkan oleh matriks matriks identitas berukuran. Gambar semula dengan O Gambar.a : ekspansi k.5

16 6 Gambar.a adalah sebuah ekspansi yang memperbesar.5 yang berarti gambar dengan faktor sebesar.5.5 dan. Sedangkan Gambar.b adalah suatu reduksi yang memperkecil gambar dengan faktor sebesar " yang berarti dan " " ". O Gambar.b : reduksi k/ Karena transformasi dilambangkan oleh matriks matriks identitas berukuran maka rumus dengan dengan pusat () dapat dinyatakan trnasformasi (.5) dalam bentuk : disingkat (.6) ( ) atau dengan Dilatasi dengan pusat ( ) dinyatakan dengan rumus (.7) (.8) Penskalaan dan Geseran (Scaling and Shear) Jika koordinat x dari setiap titik pada bidang dikalikan dengan sebuah konstanta positif maka efeknya adalah memperbesar

17 7 atau memperkecil gambar bidang datar dalam arah x. < Jika < maka hasilnya adalah sebuah penskalaan yang > memperkecil (reduksi) gambar dalam arah x dan jika maka hasilnya akan memperbesar (ekspansi) gambar dalam arah x dengan matriks standar. (.9a) Dengan cara serupa matriks standar untuk penskalaan ke arah y adalah Geseran (.9b) Jika sebuah transformasi menggerakkan setiap titik ( ) sejajar ke posisi yang baru ( sumbu x sebesar. ) (. ) transformasi seperti ini disebut geseran (shear) ke arah x dengan matriks standar (.a) Demikian juga bila setiap titik ( ) sejajar sumbu y sebesar posisi yang baru ( ke ) (. ) transformasi seperti ini disebut geseran ke arah y dengan matriks standar (.b)

18 8 Tabel.: Tabel Pemetaan dan Matriks Transformasi No Jenis Transformasi Refleksi terhadap sumbu x Refleksi terhadap sumbu y Refleksi terhadap titik asal () Refleksi terhadap garis Refleksi terhadap garis Refleksi terhadap garis ℎ Refleksi terhadap garis Refleksi terhadap titik ( ) Rotasi terhadap titik () sebesar sudut berlawanan arah jam Rotasi terhadap titik ( ) sebesar sudut berlawanan arah jam Dilatasi terhadap titik pusat () dengan faktor skala > ℎ Translasi Scaling ke arah x dengan faktor > Scaling ke arah y dengan faktor > Geseran ke arah x dengan faktor Geseran ke arah y dengan faktor Bentuk transformasi Geometri umum Pemetaan / Bayangan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (ℎ ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos sin sin cos ) ( ) cos ( ) sin ( ) ( ) ( ) ( ℎ ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) cos sin cos sin ( ) sin ( ) cos Matriks transformasi ℎ ℎ ) sin cos sin cos ℎ Sumber : Modul Geometri transformasi HSA

19 9 Matriks-matriks transformasi tersebut diasumsikan dapat dibalik (mempunyai invers). KOMPOSISI TRANSFORMASI DI Gabungan dari beberapa transformasi disebut komposisi transformasi. Transforma terhadap titik dilanjutkan transformasi ( ) dapat digambarkan dalam bentuk bagan urutan transformasi sebagai berikut: ( ) ( ) ( ) yang dapat dituliskan dalam bentuk komposisi transformasi berikut dibaca transforma terhadap titik ( ) ( ) dilanjutkan dengan transformasi ( )... Komposisi untuk Transformasi yang berbentuk perkalian matriks (Multiplikatif) Jika adalah matriks yang bersesuaian dengan trnasformasi dan bersesuaian dengan trnasformasi adalah matriks yang ℎ dengan dan matriks- matriks yang dapat dibalik. Maka komposisi transformasi menghasilkan perkalian matriks berikut : (a) (b) ℎ (.) ℎ (.)

20 dimana Rumus ini dapat diperluas untuk berhingga banyaknya transformasi dengan memperhatikan urutan trnasformasinya... Komposisi untuk transformasi yang berbentuk penjumlahan matriks (Additive) Jika translasi dilanjutkan ℎ dan maka komposisi translasi dapat diwakili oleh translasi tunggal yang ditentukan oleh ℎ ℎ (.) Perhatikan diagram translasi berurutan yang mentranslasikan titik ( ) maka bayangan komposisi translasi adalah ℎ (.4) Sifat-sifat komposisi translasi (a) Jika dan dua translasi berurutan maka (komutatif) (b) Jika tiga translasi berurutan ( ) ( dan maka ) (asosiatif)

21 .. Transformasi Oleh Perkalian Matriks yang Dapat Dibalik Teorema. : Jika adalah perkalian oleh sebuah matriks berukuran yang dapat dibalik (mempunyai invers) maka efek dari T adalah sama seperti urutan yang sesuai dari gesesran dilasi (kontraksi ekspansi) dan refleksi. Bukti Karena matriks dapat dibalik maka dapat direduksi kepada identitas dengan urutan berhingga dari operasi baris elementer. Sebuah baris elementer dapat dilakkan dengan mengalikan sebuah matriks elementer dari kiri sehingga ada matriks-matriks elementer Dengan mengalikan dari kiri diperoleh atau sedemikian sehingga. (.5) pada (.5) (.6) Teorema. Jika : adalah perkalian oleh sebuah matriks berukuran yang dapat dibalik maka (a) Bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus (b) Bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah garis lurus melalui titik asal (c) Bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis lurus yang sejajar

22 (d) Bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik adalah segmen garis yang menghubungkan bayangan P dan bayangan Q. (e) Bayangan dari tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika dan hanya jika titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis (koliner) Dengan kedua teorema ini dapat dijelaskan efek geometrik dari suatu transformasi oleh perkalian matrik yang dapat dibalik. Luas daerah bangun hasil transformasi Jika mtariks transformasi adalah mentransformasikan bangun ( ) yang menjadi maka luas bangun (.7) dimana ( ) nilai mutlak determinan A dan

23 . APLIKASI GEOMETRI TRANSFORMASI Pada bagian ini akan dibahas beberapa soal-soal untuk memperjelas konsep teori yang telah diuraikan sebelumnya.... Refleksi. Tentukan bayangan dari ruas garis yang berpangkal di titik () dan berujung di titik () melalui refleksi terhadap (a) sumbu x (b) sumbu y (c) titik asal (d) (f) (e) Penyelesaian (a). Refleksi garis AB terhadap sumbu x. Dengan rumus (.) maka Bayangan titik () adalah Bayangan titik () adalah (b).refleksi garis AB terhadap sumbu y. Dengan rumus (.a) maka Bayangan titik () adalah Bayangan titik () adalah

24 4 (c). Refleksi garis AB terhadap titik asal (). Dengan rumus (.5b) maka Bayangan titik () adalah Bayangan titik () adalah. Dengan rumus (.6b) (d). Refleksi garis AB terhadap garis maka Bayangan titik () adalah Bayangan titik () adalah (e). Refleksi garis AB terhadap garis (.7b) maka. Dengan rumus Bayangan titik () adalah Bayangan titik () adalah (e). Refleksi garis AB terhadap garis (sejajar sumbu x). Dengan rumus (.9) maka bayangan titik () adalah () 5 Bayangan titik () adalah ()

25 5 Hasil dari semua refleksi ini di tunjukkan dalam Gambar.4. Refleksi terhadap sumbu x Refleksi terhadap sumbu y Refleksi terhadap titik asal () 4 Refleksi terhadap garis 5 Refleksi terhadap garis 6 Refleksi terhadap garis ( ) (5) 6 ( ) 5 ( ) ( ) O B() A() ( ) 4 () ( ) ( ) Gambar.4 : Refleksi.. Translasi. Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut () () dan ( ) di translasikan pada vector 4. Tentukan dan gambar hasil translasi tersebut. Penyelesaian Dengan rumus (.b) maka bayangan hasil transformasitiaptiap titik sudut segitiga ABC adalah

26 6 4 5 ; 4 7 (5) Sehingga diperoleh titik-titik Gambar (74) dan y y A () B() C( ) A (5) x (a). sebelum translasi ; (7) B(74) C(7) (b). setelah translasi x Gambar.5.. Rotasi. Diberikan titik () dan (). Carilah bayangan segmen garis AB dengan rotasi 9 berlawanan arah jarum jam dengan pusat titik asal yaitu ( )( ) Penyelesaian. Dengan rumus (.a) maka ( )( ): ( )( ): cos 9 sin 9 sin 9 cos 9 cos 9 sin 9 sin 9 cos 9 Jadi hasil rotasi segmen garis AB adalah segmen dengan ( ) dan ( ) Gambar.6

27 7 B() A ( ) B ( ) A() O Gambar.6 Cara lain adalah sebagai berikut : ( )( ) Jadi kolom pertama adalah adalah 4. ( ) dan kolom kedua ( ). Tenukan bayangan parabola bila dirotasikan sebesar 9 berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi ( ) Penyelesaian Ambil sembarang titik ( ) pada parabola sehingga. Rotasikan titik sebesar 9 berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat rotasi ( ) ( ) sehingga diperoleh bayangan titik ( cos 9 sin 9 sin 9 cos 9 ) dengan

28 8 diperoleh persamaan atau dan Subtitusi pada parabola ( ) Jadi bayangan dari parabola berpusat di ( ) adalah 5. atau Dilatasi diperoleh 9 atau 6 8 akibat rotsi Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut () (4) dan / (4 ) Tentukan dilatasi dengan. dan transformasinya. Kemudian gambarkan hasil Penyelesaian Berdasarkan rumus dilatasi (.6) untuk masing-masing adalah dan / dan /. Tuliskan koordinat-koordinat x pada baris pertama dan y pada baris kdua dari titik-titik AB dan C demikian pula untuk bayangannya sehingga: Untuk / 4 4

29 9 Untuk / Jadi dilatasi dengan dengan faktor sebesar / ukuran segitiga ABC mengecil / Gambar.7b dan dengan / maka ukuran segitiga ABC akan membesar dengan dengan faktor A ().5 Gambar.7c B( /) C( /) (b).kontraksi A / () B(4) C(4 ) (a).gambar semula B"(6 ) A" () (c). Ekspansi C"(6.5 Gambar.7 : Dilatasi Cara lain dapat dilakukan dengan mendilatasikan setiap titiktitik segitiga ABC dan memberikan hasil yang sama.

30 ..5. Komposisi Geseran dan Refleksi (Composition of Shear and Reflection) 6. (a). Tentukan sebuah transformasi matriks dari yang mula-mula menggeser objek dengan sebuah faktor sebesar dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap garis (b).. Tentukan sebuah transformasi matriks dari yang mula-mula merefleksikan objek terhadap garis kemudian menggeser dengan sebuah faktor sebesar dalam arah x. (c). Berikan sebuah contoh figur dan untuk soal (a) dan (b) untuk memperlihatkan efek transformasi tersebut. Penyelesaian (a). Dari rumus (.a) matriks standar untuk geseran kearah x dengan faktor adalah dan dari rumus (.6a) matriks refleksi terhadap garis adalah Sehingga matriks standar untuk geseran yang di ikuti oleh refleksi adalah (b) dengan cara serupa maka matriks standar untuk refleksi yang di ikuti oleh geseran adalah

31 Dari kasus ini tampak bahwa sehingga efek penggeseran kemudian di ikuti refleksi berbeda dari efek refleksi kemudian di ikuti penggeseran. (c) Gambar.8 memperlihatkan efek transformasi pada sebuh persegi panjang (5) () (5) Figur semula Geseran pada arah Refleksi terhadap Gambar.8 () Figur semula () (7) Refleksi terhadap Geseran pada arah Verifikasi Perhatikan titik () dituliskan bayangannya adalah ( kompositnya (a). (b). ) atau dan misalkan maka aturan yang sesuai hasil 5 7 yang sesuai hasil

32 Jika di kehendaki mencari titik semula maka dapat dicari dengan rumus [ 7 ] yang merupakan titik semula. 7. (a) Tentukan hasil transformasi matriks titik ( ) dan 4 terhadap 5 (b) Kemudian cari efek geometrinya yang merupakan urutan transformasinya Penyelesaian adalah (a). Bayangan dari (b). Lakukan operasi baris elementer pada matriks transformasi 4 5 dengan dan sehingga Dengan 5 membaca ( ) dari belakang maka efek geometri 4 5 dari tarnsformasinya adalah (a). geseran ke arah x dengan factor (b). refleksi terhadap sumbu x di ikuti di ikuti

33 di ikuti (c). geseran kea rah y dengan factor (d). scaling kea rah x dengan skala Pemeriksaan : (a) (b) Nyatakan matriks 4 (c) ( ) sebagai hasil kali matriks- matriks elementer dan jelaskan efek geometric dari perkalian oleh A dalam geseran dilasi dan refleksi. Penyelesaian Matrik berukuran dapat direduksi pada matriks identitas sebagai berikut : 4 Ketiga operasi baris yang berurutan tersebut dapat dilakukan dengan mengalikan dari sebelah kiri oleh Invers masing-masing matriks ini adalah Berdasarkan (.6) maka

34 4 Tetapi bentuk maka A dapat dituliskan dalam Dengan membacanya dari arah kanan ke kiri terlihat bahwa efek pengalian matriks ekivalen dengan (a). Geseran oleh sebuah faktor dalam arah x (b). Kemudian menskalakannya dengan faktor sebesar arah y dalam (c). Kemudian merefleksikannya terhadap sumbu x (d). Kemudian menggesernya dengan sebuh faktor 9. Tentukan bayangan matriks Penyelesaian melalui transformasi garis Menurut teorema. matriks sehingga memetakan garis lain. pada arah y dapat dibalik ke dalam garis yang Misalkan (. ) adalah sebuah titik pada garis dan ( ) adalah bayangannya di bawah perkalian oleh maka atau

35 5 Karena A dapat dibalik yaitu maka A atau ( ) diperoleh Dengan mensubtitusikan (*) ke dalam Jadi ( diminta ( ( ) diperoleh. ) atau ) memenuhi persamaan garis yang Cari bayangan sebuah bujur sangkar dengan titik-titk sudut () () () dan () di bawah transformasi perkalian oleh matriks Penyelesaian dan tentukan luas daerah bayangannya Transformasikan setiap titik-titk sudut bujur sangkar untuk memperoleh bayangannya Jadi bayangan bujur sangkar dengan adalah sebuah jajaran genjang titik-titik sudut () ( ) ( ) dan () Gambar.9.

36 6 ( ) () O () () O () ( ) Gambar.9 Berdasarkan rumus (.7) maka luas jajaran genjang ( ) luas bujursangkar Pemeriksaan Alas jajaran genjang adalah sehingga luas jajaran genjang Ataupun. 8 8 satuan luas dan tinggi adalah Diketahui jajaran genjang ABCD dengan titik-titik sudut ( ) ( ) (4) dan jajaran genjang tersebut jika ( 5). Tentukan bayangan (a) di refleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu y (b) di refleksikan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu x Penyelsaian (a) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu x adalah

37 Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu y sehingga bayangan jajaran genjang adalah (b) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu y adalah Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu x sehingga bayangan jajaran genjang adalah Cara lain dapat digunakan komposisi dua refleksi yaitu refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu x yaitu Tampak bahwa hasil (a) sama dengan hasil (b). Hal ini disebabkan karena dua refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu yang saling tegak lurus adalah bersifat komutatif.

38 8 RANGKUMAN GAMBAR PENCERMINAN (Reflection) SIMETRI TITIK (Simetri Pusat) O TRANSLASI ROTASI 9 O PENSKALAAN (Scaling) DILATASI GESERAN PADA ARAH X (Shear) (x sy y) (b). Geseran > (x y) (x sy y) (a). Gambar semula (c). Geseran <

39 9 Mencari Grafik aliran air Enam benda berikut mempunyai tinggi yang sama 8 dan memiliki volume yang sama. Keenam benda tersebut di aliri air / dengan debit konstan Gambar.. Grafik kenaikan permukaan air dalam ke enam benda tersebut selama awal pengisian hingga penuh merupakan fungsi dari waktu ditunjukkan dalam Gambar.. Temukan pasangan yang bersesuaian antara benda dan grafik kenaikan ] permukaan air tersebut. [ air A air air B air D C air E F Gambar Gambar.

40 4 Referensi David W Hnderson 995 Experiencing Geometry on plan and sphere Ithaca Nathalie Nakatani et Francis Nassiet 994 DIMATHEME Didier Paris P.A. Surjadi 979 Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik Jambatan Rawuh 988 GEOMETRI Karunika Jakarta Shanti Narayan 7 Analytical Solid Geometry S.Chand & Company LTD. New Delhi. 6. Suryadi 984 Ilmu Ukur Analitik Ruang Ghalia Indonesia Jakarta 7. Varberg Purcell Calculus and Geometry Prentice-Hall Inc New Jersey