BAB III PEMBAHASAN. Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN Bab III terbagi menjadi tiga sub-bab, yaitu sub-bab A, sub-bab B, dan subbab C. Sub-bab A menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang vektor beserta contohnya. Sub-bab B menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang bernorm, sifat topologi pada C[a, b] sebagai ruang bernorm, beserta contohnya. Sub-bab C menjelaskan mengenai konsep dasar C[a, b] sebagai ruang metrik dan sifat topologi pada C[a, b] sebagai ruang metrik. A. Konsep Dasar C[a, b] pada Ruang Vektor C[a, b] menyatakan himpunan semua fungsi bernilai real yang terdefinisi dan kontinu pada domain terbatas atau pada interval tertutup [a, b]. Dalam kasus ini himpunan semestanya adalah himpunan fungsi-fungsi. Jumlah f + g dari dua fungsi f, g C[a, b] didefinisikan oleh : (f + g)(x) = f(x) + g(x), x [a, b] Sebab penjumlahan dua fungsi kontinu adalah kontinu. Kemudian jika f C[a, b] dan k R, maka perkalian kf didefinisikan oleh : (kf)(x) = kf(x), x [a, b] Sebab perkalian skalar dengan fungsi kontinu adalah kontinu. (Wono Setya Budi, 1995). Dari konsep tersebut dan menurut Definisi 2.1.1, maka diperoleh suatu pernyataan berupa Fakta sebagai berikut 32

2 Fakta Diberikan C[a, b] yang merupakan himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian skalar, maka C[a, b] dengan kedua operasi tersebut merupakan suatu ruang vektor. Bukti : Untuk sebarang f, g, h C[a, b] dan r, s R, maka (i) (f + g)(x) = f(x) + g(x) ( definisi penjumlahan) = g(x) + f(x) = (g + f)(x) ( definisi penjumlahan ) (ii) [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) ( definisi penjumlahan ) = f(x) + g(x) + h(x) ( definisi penjumlahan ) = f(x) + (g + h)(x) ( definisi penjumlahan ) = [f + (g + h)](x) ( definisi penjumlahan ) (iii)terdapat elemen identitas θ C[a, b] sedemikian sehingga (f + θ)(x) = f(x) + θ(x) = f(x) + 0 = f(x) (iv) Untuk setiap f C[a, b] terdapat f t (x) C[a, b] sedemikian sehingga (f + f t )(x) = 0 f(x) + f t (x) = 0 f(x) + f(x) + f t (x) = f(x) f t (x) = f(x) (v) [r(f + g)](x) = r(f + g)(x) ( definisi perkalian skalar ) 33

3 = r[f(x) + g(x)] = rf(x) + rg(x) = (rf + rg)(x) (vi)[(r + s)f](x) = (r + s)f(x) ( definisi perkalian skalar ) = rf(x) + sf(x) = (rf + sf)(x) (vii) [r(sf)](x) = r(sf)(x) = rsf(x) = [(rs)f](x) (viii) Ambil 1 R, maka (1f)(x) = 1f(x) = f(x) Contoh Diberikan C[ 1,1] merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [ 1,1], maka C[ 1,1] merupakan suatu ruang vektor. 1. Subruang pada C[a, b] Konsep subruang C[a, b] didasarkan menurut Definisi dan Teorema serta telah ditunjukkan pembuktian bahwa C[a, b] merupakan ruang vektor melalui Fakta 3.1.1, sehingga penjelasan subruang pada C[a, b] dengan memberikan contoh. Berikut dua contoh yang masing-masing subruang dan bukan subruang pada C[a, b] 34

4 Contoh Diberikan S 1 C[ 1,1] dengan S 1 merupakan himpunan fungsi genap yang kontinu dan bernilai real pada interval tertutup [ 1,1] yang didefinisikan sebagai berikut : S 1 = {f: C[ 1,1] R f( x) = f(x), x [ 1,1]} S 1 merupakan subruang dari C[ 1,1]. Bukti : Ambil sebarang f 1, f 2 S 1 dan k R. Akan ditunjukkan f 1 + f 2 S 1 dan kf 1 S 1. Karena f 1 dan f 2 adalah fungsi genap maka f 1 ( x) = f 1 (x) dan f 2 ( x) = f 2 (x) untuk setiap x [ 1,1]. Sehingga (i) (f 1 + f 2 )( x) = f 1 ( x) + f 2 ( x) ( definisi penjumlahan ) = f 1 (x) + f 2 (x) = (f 1 + f 2 )(x) S 1 ( definisi penjumlahan ) (ii) (kf 1 )( x) = kf 1 ( x) ( definisi perkalian skalar ) = kf 1 (x) = (kf 1 )(x) S 1 ( definisi perkalian skalar ). Contoh Diberikan C[ 1,1] suatu ruang vektor dan Z C[ 1,1] dengan Z = {f C[ 1,1] f(1) = 1} Z bukan subruang di C[ 1,1], sebab : 35

5 Z tidak memenuhi syarat definisi penjumlahan yaitu Jika g Z maka (f + g)(1) = 1 Akan tetapi (f + g)(1) = f(1) + g(1) = Kebebasan Linear pada C[a, b] Konsep kombinasi linear, bebas linear, dan bergantung linear pada C[a, b] didasarkan dari Definisi 2.1.8, Definisi , dan Definisi Karena diketahui bahwa C[a, b] merupakan ruang vektor, Menurut Definisi maka himpunan fungsi pada C[a, b] dapat membentuk kombinasi linear, berikut contohnya Contoh Diberikan f C[ 1,1] dengan f(x) = x 2 x, untuk x [ 1,1], Kemudian diberikan vektor-vektor f 1 dan f 2 di C[ 1,1] dengan f 1 (x) = x 2 dan f 2 (x) = x, untuk x [ 1,1], maka f merupakan kombinasi linear dari vektorvektor f 1 dan f 2. Bukti : Jika diberikan skalar k 1 dan k 2, maka dibentuk persamaan k 1 f 1 (x) + k 2 f 2 (x) = f(x) k 1 x 2 + k 2 x = x 2 x Sehingga diperoleh nilai k 1 = 1 dan k 2 = 1 Jadi terbukti bahwa f merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor f 1 dan f 2. Selanjutnya akan dijelaskan mengenai kebebasan linear fungsi di C[a, b]. 36

6 Karena fungsi-fungsi dalam C[a, b] tidak semua berbentuk polinomial, maka untuk menentukan kebebasan linear dari fungsi-fungsi di C[a, b] dapat menggunakan turunan fungsi C (n 1) [a, b]. Definisi (Steven J. Leon, 1998) Diberikan vektor f 1, f 2,, f n C (n 1) [a, b] dan didefinisikan fungsi W[f 1, f 2,, f n ](x) pada [a,b] dengan f 1 (x) f W[f 1, f 2,, f n ](x) = 1 (x) f (n 1) 1 (x) f 2 (x) f 2 (x) f 2 (n 1) (x) f n (x) f n (x) f (n 1) n (x) Fungsi W[f 1, f 2,, f n ] disebut Wronskian dari f 1, f 2,, f n. Turunan fungsi C (n 1) [a, b] dapat digunakan untuk menentukan kebebasan linear pada vektor yang berupa fungsi-fungsi di C[a, b] yaitu dengan memakai determinan dari fungsi tersebut. Jika fungsi f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) adalah fungsi yang dapat diturunkan n 1 kali pada selang [a, b] dan andaikan f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) adalah vektor di C[a, b] yang bergantung linear, maka ada skalar c 1, c 2,, c n yang tidak sama dengan 0 sedemikian sehingga c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 (1) untuk setiap x [a, b]. Dengan menurunkan fungsi n 1 kali persamaan (1), diperoleh c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + + c n f n (x) = 0 37

7 c 1 f 1 (n 1) (x) + c 2 f 2 (n 1) (x) + + c n f n (n 1) (x) = 0 untuk setiap x [a, b], maka persamaan matriks f 1 (x) f ( 1 (x) f (n 1) 1 (x) f 2 (x) f 2 (x) f 2 (n 1) (x) f n (x) c 1 0 f 2 (x) c 2 ) ( ) = ( 0 ) (2) f (n 1) n (x) c n 0 akan mempunyai penyelesaian nontrivial. Dengan kata lain jika f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) bergantung linear untuk setiap x [a, b], maka matriks koefisiennya tidak memiliki invers, sebab determinan dari matriks koefisiennya sama dengan nol.(steven J. Leon, 1998) Selanjutnya diberikan Teorema sebagai berikut. Teorema (Steven J. Leon, 1998) Diberikan vektor f 1, f 2,, f n C (n 1) [a, b]. Jika terdapat titik x di [a, b] sedemikian sehingga W[f 1, f 2,, f n ](x) 0, maka vektor f 1, f 2,, f n bebas linear. Bukti : Andaikan f 1, f 2,, f n bergantung linear, maka matriks koefisien di (2) tidak memiliki invers untuk setiap x [a, b], sehingga W[f 1, f 2,, f n ](x) sama dengan 0. Keterangan : Andaikan W[f 1, f 2,, f n ](x) = 0 maka f 1, f 2,, f n belum bisa ditentukan apakah bebas linear atau bergantung linear. 38

8 Contoh Diberikan vektor f 1 (x) = 3, f 2 (x) = e x, dan f 3 (x) = sin x di C[ 1,1], maka vektor tersebut membentuk vektor yang bebas linear. Bukti : Diketahui f 1 (x) = 3, f 2 (x) = e x, dan f 3 (x) = sin x, maka 3 e x sin x W[3, e x, sin x] = 0 e x cos x = 3e x (sin x + cos x) 0 e x sin x Karena fungsi diatas tidak mempunyai nilai nol untuk setiap x [ 1,1], maka vektor-vektor tersebut bebas linear. Berikut diberikan contoh vektor bebas linear jika nilai Wronskian dari vektor bernilai nol. Contoh Diberikan vektor f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x x di C[ 1,1], maka Gambar Grafik f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = x x di C[ 1,1] 39

9 W[x 2, x x ] = x2 x x 2x 2 x = 0 Karena fungsi diatas bernilai nol, maka belum dapat ditentukan apakah vektor tersebut bebas linear. Oleh karena itu perlu ditunjukkan bahwa ax 2 + bx x = 0 untuk setiap x [ 1,1]. Ambil x = 1 dan x = 1, maka a b = 0 (i) a + b = 0 (ii) Dari persamaan (i) diperoleh a = b, kemudian disubstitusikan ke persamaan (ii), sehingga akan diperoleh nilai b = 0 yang berakibat nilai a = 0. Jadi vektor-vektor tersebut bebas linear. Selanjutnya akan diberikan contoh vektor yang bergantung linear. Contoh Diberikan vektor f 1 (x) = sin 2 x, f 2 (x) = cos 2 x, dan f 3 (x) = 2 di C[ 1,1]. Maka vektor-vektor tersebut bergantung linear, sebab : sin 2 x cos 2 x 2 W[sin 2 x, cos 2 x, 2] = sin 2x sin 2x 0 = 0 2 cos 2x 2 cos 2x 0 Karena fungsi diatas bernilai nol, maka belum bisa ditentukan bahwa vektor tersebut bergantung linear. Oleh karena itu perlu ditunjukkan untuk c 1 sin 2 x + c 2 cos 2 x + 2c 3 = 0 untuk setiap x [ 1,1]. Vektor yang bergantung linear cukup diberikan salah satu solusi yang nilai skalarnya tidak semua nol. 40

10 Andaikan c 1 = c 2, maka diperoleh c 1 (sin 2 x + cos 2 x) + 2c 3 = 0 Perlu diingat bahwa sin 2 x + cos 2 x = 1, maka c 1 + 2c 3 = 0 c 1 = 2c 3 Ambil c 3 = 1, maka c 2 = 2 dan c 3 = 2 Karena nilai skalar diatas tidak semua bernilai nol, maka vektor-vektor tersebut bergantung linear. Fakta C[a, b] memuat tak berhingga vektor yang bebas linear. Bukti : Ambil P C[a, b] suatu ruang polinomial pada [a, b], maka {1, x, x 2, } P. Akan ditunjukkan P memuat tak berhingga banyak vektor yang bebas linear. Tahap pertama akan dibuat kombinasi linear dari {1, x, x 2, } P, ambil skalar c 1, c 2, c 3, sehingga diperoleh c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 + = 0 untuk setiap x [a, b]. Selanjutnya menurunkan fungsi sebanyak (n 1) kali dari persamaan diatas, sehingga diperoleh system persamaan c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 + = 0 c 2 + 2c 3 x + 3c 4 x 2 + 4c 5 x 3 + = 0 41

11 2c 3 + 6c 4 x + 12c 5 x c 6 x 3 + = 0 untuk setiap x [a, b]. Kemudian dituliskan dalam bentuk matriks menjadi berikut ini : 1 ( 0 0 x 1 0 c 1 0 c ) ( 2 c ) = ( 0 ) ! 2! 3! Kemudian dicari nilai dari W[1, x, x 2, ] dan diperoleh 1 W[1, x, x 2, ] = 0 0 x ! 2! 3! Wronskian diatas tidak mempunyai nilai 0 untuk setiap x [a, b], maka dapat disimpulkan bahwa {1, x, x 2, } bebas linear. Jadi P memuat tak berhingga banyak vektor yang bebas linear. Karena P memuat tak berhingga vektor yang bebas linear, dan P C[a, b], maka berakibat C[a, b] memuat tak berhingga vektor yang bebas linear. B. Konsep C[a, b] pada Ruang Bernorm Definisi ( Darmawijaya, 2012 ) Sebuah fungsi C[a, b] R dikatakan norm* pada C[a, b] jika memenuhi sifat-sifat : (i) f 0, untuk setiap f C[a, b] (ii) f = 0 jika dan hanya jika f = 0 42

12 (iii) αf = α f, untuk setiap f C[a, b], α R (iv) f + g f + g, untuk setiap f, g C[a, b]. Definisi Diberikan f C[a, b], dan didefinisikan f sebagai Maka f suatu norm*. f = max f(x) Bukti : Gambar Grafik f = max f(x) (i) Ambil sebarang f C[a, b], maka f = max f(x) Jelas bahwa f(x) 0, maka f 0 (ii) ( ) Ambil sebarang f C[a, b] dan f = 0, maka Ini menunjukkan bahwa f(x) = 0 Akibatnya f(x) = 0 f = max f(x) = 0 43

13 ( ) Diberikan f(x) = 0, maka f = max 0 = 0 (iii)ambil sebarang f C[a, b] dan α R, maka (iv) Ambil sebarang f, g C[a, b], maka αf = max αf(x) = max α f(x) = α max f(x) = α f f + g = max f(x) + g(x) Perlu dingat bahwa a + b a + b, maka Sehingga, f + g max [ f(x) + g(x) ] f + g = max f(x) + max g(x) f + g = f + g Contoh Diberikan C[1,2] yang merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [1,2], maka C[1,2] merupakan ruang bernorm Fakta Diketahui bahwa C[a, b] suatu ruang bernorm, maka C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) juga memenuhi sifat : 44

14 f g f g untuk f, g C[a, b], maka Bukti : Ambil sebarang f, g C[a, b], maka f = f max f(x) = max f(x) max f(x) max g(x) + max g(x) = max f(x) g(x) + g(x) Menurut Definisi bagian (iv) maka diperoleh max f(x) max g(x) + max g(x) max [ f(x) g(x) + g(x) ] max f(x) max g(x) + max g(x) max Contoh max f(x) max g(x) max f g f g f(x) g(x) + max g(x) f(x) g(x) Diberikan f 1, f 2 C[ 1,1] dengan f 1 (x) = x 2 dan f 2 (x) = x Akan dibuktikan bahwa f 1 f 2 f 1 f 2. Bukti : f 1 f 2 = max 1 x 1 f 1(x) f 2 (x) = max 1 x 1 ( x2 ) ( x 2 + 1) = max 1 x 1 1 = max 1 x 1 1 = 1 45

15 f 1 f 2 = max 1 x 1 f 1(x) max 1 x 1 f 2(x) = max 1 x 1 x2 max 1 x 1 x2 + 1 = max 1 x 1 1 max 1 x 1 1 = 0 Sehingga f 1 f 2 = 1 0 = f 1 f 2. Jadi terbukti bahwa f 1 f 2 f 1 f Topologi C[a, b] sebagai Ruang Bernorm Konsep topologi C[a, b] sebagai ruang bernorm telah dijelaskan secara umum melalui Definisi dan Definisi serta karena C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) terbukti memenuhi sifat pada norm melalui Fakta 3.2.2, maka penjelasan selanjutnya cukup dengan memberikan contoh supaya pemahaman C[a, b] sebagai ruang bernorm lebih mudah dipahami. Berikut contoh bahwa C[a, b] dengan persamaan f = max f(x) juga memenuhi definisi Contoh Diberikan (C[ 1,1], ) suatu ruang bernorm dan f C[ 1,1] dengan f(x) = x 2. Maka bola buka dengan pusat f dan jari-jari 5 yaitu B t (f, 5) = {g C[ 1,1] g f < 5} B t (x 2, 5) = {g C[ 1,1] max 1 x 1 g(x) x2 < 5} = {g C[ 1,1] max 1 x 1 [ g(x) x2 ] < 5} 46

16 = {g C[ 1,1] max g(x) 1 < 5} 1 x 1 = {g C[ 1,1] max g(x) < 6} 1 x 1 Selanjutnya diberikan contoh bahwa C[a, b] sebagai ruang norm memenuhi sifat pada Teorema Contoh Diberikan ruang vektor C[0, 1 ] dengan norm 2 f = max f(x). Diberikan juga 0 x 1 2 W suatu himpunan yang memuat semua polinomial pada [0, 1 ] yang merupakan 2 subruang dari C[0, 1 ]. W bukan himpunan tertutup, sebab : 2 Ambil P k W, k N yang didefinisikan sebagai k P k (x) = 1 n + 1 xn = x k + 1 xk, n=0 x [0, 1 2 ] Diberikan Maka untuk setiap x [0, 1 2 ], Sehingga P(x) = 1 n + 1 xn, x [0, 1 2 ] n=0 P(x) P k (x) = 1 n + 1 xn 1 n + 1 xn n=0 = 1 n + 1 xn n=k+1 k n=0 1 n n + 1 (1 2 ). n=k+1 47

17 Karena 1 n=k+1 n+1 (1 2 )n P P k = max P(x) P 0 x 1 k (x), x [0, 1 2 ] 2 1 n n + 1 (1 2 ) n=k+1 konvergen, maka diperoleh P P k 0, k Menurut teorema maka W himpunan tidak tertutup. C. Konsep C[a, b] pada Ruang Metrik Pengertian C[a, b] telah dijelaskan sebelumnya pada konsep dasar C[a, b] pada ruang vektor. Kemudian menurut Kreyzig bahwa C[a, b] dengan fungsi-fungsi bernilai real f, g, yang merupakan fungsi dengan variabel bebas x yang terdefinisi dan kontinu pada interval tertutup [a, b] didefinisikan sebagai berikut d(f, g) = max f(x) g(x) Gambar Grafik d(f, g) = max f(x) g(x) Maka menurut konsep tersebut dan menurut definisi 2.3.1, maka diperoleh 48

18 pernyataan berupa Fakta sebagai berikut Fakta Diberikan C[a, b] dengan fungsi d: C[a, b] C[a, b] [0, ) yang didefinisikan sebagai d(f, g) = max f(x) g(x) Maka d(f, g) merupakan metrik dan (C[a, b], d) merupakan ruang metrik. Bukti : Diberikan f(x), g(x), h(x) C[a, b] dengan x [a, b], maka (i) Jelas bahwa d(f, g) R. Ambil sebarang nilai real positif M sedemikian sehingga f(x) < M dan g(x) < M. Sehingga f(x) g(x) f(x) + g(x) < 2M Jadi jelas bahwa d(f, g) berhingga. Karena f(x) g(x) 0, maka jelas untuk d(f, g) 0. (ii) ( ) Diberikan d(f, g) = 0 Maka jelas untuk f(x) g(x) = 0, sehingga f(x) g(x) = 0. Akibatnya f(x) = g(x). ( ) Diberikan f(x) = g(x), maka (iii)d(f, g) = max f(x) g(x) d(f, f) = max f(x) f(x) = max 0 = 0. = max 1(g(x) f(x)) ( definisi perkalian skalar ) = max g(x) f(x) 49

19 = d(g, f) (iv) d(f, g) = max f(x) g(x) = max f(x) h(x) + h(x) g(x) Karena a + b a + b, maka max ( f(x) h(x) + h(x) g(x) ) = max f(x) h(x) + max h(x) g(x) = d(f, h) + d(h, g). Contoh Diberikan C[ 1,1] yang merupakan himpunan semua fungsi kontinu dengan domain terbatas atau pada interval tertutup [ 1,1] dengan fungsi d yang didefinisikan menurut Fakta Maka C[ 1,1] dengan fungsi d merupakan suatu ruang metrik. Konsep himpunan terbatas dalam suatu ruang metrik telah dijelaskan dalam bab II melalui definisi Selanjutnya konsep himpunan terbatas C[a, b] pada ruang metrik akan dijelaskan dengan memberikan contoh melalui contoh sebagai berikut. Contoh Diberikan (C[ 1,1], d) suatu ruang metrik, dan Z C[ 1,1] dengan Z didefinisikan sebagai berikut Z = {f C[ 1,1] f(1) = 0} 50

20 Maka Z terbatas sebab terdapat bilangan positif M = 1 sedemikian sehingga Sehingga, d(f, g) = d(f, g) = d(f, g) = 0 < 1 max f(1) g(1) 1 x 1 max 0 1 x 1 1. Topologi C[a, b] sebagai Ruang Metrik Selanjutnya mengenai topologi pada ruang metrik C[a, b] telah dijelaskan secara umum melalui Definisi 2.3.7, Definisi 2.3.9, dan Definisi , sehingga pembahasan selanjutnya mengenai topoologi pada ruang metrik C[a, b] dengan memberikan contoh supaya pemahaman topologi pada ruang metrik Ca, b] lebih mudah dipahami, Berikut contoh bola terbuka pada ruang metrik C[a, b] Contoh Diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 1 C[1,2] dengan f(x) = 2, maka bola terbuka dengan pusat f 1 dan berjari-jari 4 yaitu B (f 1, 4) = {g C[1,2] max g(x) 2 < 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 < 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) < 6} 1 x 2 Contoh

21 Diberikan (C[ 1,1], d), kemudian diberikan juga f 2 C[ 1,1] dengan f(x) = x 2 + 3x, maka bola terbuka dengan pusat f 2 dan berjari-jari 3 yaitu B (f 2, 3) = {g C[1,2] max 1 x 2 g(x) ( x2 + 3x) < 3} = {g C[1,2] max g(x) 2 < 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 < 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) < 5} 1 x 2 Berikut contoh bahwa dua bola terbuka dengan pusat yang sama pada ruang metrik C[a, b], maka salah satu dari bola terbuka tersebut merupakan himpunan bagian dari bola terbuka yang lain. Contoh Diberikan (C[0,1], d) dengan d(f 1, f 2 ) = max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) Untuk setiap f 1, f 2 C[0,1] merupakan ruang metrik. Misalkan B (f 1, r 1 ) dan B (f 1, r 2 ) merupakan bola terbuka pada (C[0,1], d) dengan pusat yang sama yaitu f 1 C[0,1] dengan r 1, r 2 > 0. Maka B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 }, B (f 1, r 2 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 2 } (i) Jika r 1 = r 2 maka B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 = r 2 } = B (f 1, r 2 ) 52

22 (ii) Jika r 1 > r 2 maka B (f 1, r 2 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 2 < r 1 } (iii)jika r 2 > r 1 maka = B (f 1, r 1 ) B (f 1, r 1 ) = {f 2 C[0,1] max 0 x 1 f 1(x) f 2 (x) < r 1 < r 2 } = B (f 1, r 2 ) Jika Contoh menjelaskan bola terbuka pada ruang metrik C[a, b], maka Contoh berikut akan menjelaskan bola tertutup pada ruang metrik C[a, b]. Contoh Diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 1 C[1,2] dengan f(x) = 1, maka bola tertutup dengan pusat f 1 dan berjari-jari 4 yaitu Contoh B [f 1, 4] = {g C[1,2] max g(x) 1 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 1 4} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 5} 1 x 2 Diambil dari Contoh 3.3.7, diberikan (C[1,2], d) suatu ruang metrik dan f 2 C[1,2] dengan f 2 (x) = x 2 + 3x, maka bola tertutup dengan pusat f 2 dan berjarijari 3 yaitu B [f 2, 3] = {g C[1,2] max 1 x 2 g(x) ( x2 + 3x) 3} = {g C[1,2] max g(x) 2 3} 1 x 2 = {g C[1,2] max g(x) 2 3} 1 x 2 53

23 = {g C[1,2] max g(x) 5} 1 x 2 2. Ruang Metrik Tidak Lengkap pada C[a, b] Pada subbab ini akan diberikan contoh bahwa (C[a, b], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap melalui Contoh sebagai berikut. Contoh Diberikan (C[0,3], d) dengan d didefinisikan sebagai berikut 3 d(f, g) = f(x) g(x) dx 0 maka (C[0,3], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap. Bukti : (i) Akan dijelaskan bahwa barisan pada (C[0,3], d) merupakan barisan Cauchy. Diberikan grafik fungsi f 1 (x) sebagai berikut Gambar Grafik fungsi f 1 (x) Untuk x 1 [1, ] = [1,2], maka fungsinya 3.1 f 1 (x) = y 1 = m 1 x 1 + c 54

24 Ambil ( x 1, y 1 ) = (1,0), dan m 1 = Sehingga f 1 (x) = x 1, jadi f 1 (x) = { 0 = c c = 1 = 1 diperoleh 0, x [0,1] x 1, x [1, ] = [1,2] 1, x [ , 3] = [2,3] 3.1 Kemudian diberikan grafik fungsi untuk f 2 (x) sebagai berikut Gambar Grafik fungsi f 2 (x) Untuk x 2 [1, ] = [1, 3 ], maka fungsinya f 2 (x) = y 2 = m 2 x 2 + c Ambil ( x 2, y 2 ) = (1,0), dan m 2 = = c c = 2 Sehingga f 2 (x) = 2x 2 = 2(x 1), jadi = 2 diperoleh 55

25 f 2 (x) = { 0, x [0,1] 2(x 1), x [1, ] = [1, 3 2 ] 1, x [ , 3] = [3 2, 3] Kemudian f n (x) dan f m (x) dengan cara yang sama diperoleh grafik sebagai berikut Gambar Grafik Fungsi f m (x) dan f n (x) dan f n (x) = f m (x) = { { 0, x [0,1] n(x 1), x [1, n ] = [1,1 + 1 n ] 1, x [ n, 3] = [1 + 1 n, 3] 0, x [0,1] m(x 1), x [1, m ] = [1,1 + 1 m ] 1, x [ m, 3] = [1 + 1 m, 3] Sehingga diperoleh {f 1 (x), f 2 (x),, f m (x),, f n (x),. } Merupakan suatu barisan di C[0,3]. Sekarang akan dibuktikan bahwa d(f m (x), f n (x)) < ε. 56

26 3 d(f m (x), f n (x)) = f m (x) f n (x) dx, m, n > 1 ε 0 Dari pendefinisian diatas dapat diketahui bahwa d(f m (x), f n (x)) merupakan luas area/daerah yang diarsir pada grafik dibawah ini. Gambar Grafik Luas Daerah untuk d(f m (x), f n (x)) Untuk mengetahui luas daerah yang diarsir maka dibentuk bangun bidang sebagai berikut Gambar Penampang Luas Daerah untuk d(f m (x), f n (x)) Sehingga diperoleh luas area sebagai berikut Misal L = Luas daerah yang diarsir pada Gambar 3.5, maka L = ( n ) + (1. ( 1 m 1 n )) ( m ) = 1 2n + 1 m 1 n 1 2m 57

27 = 1 2m 1 2n Jadi diperoleh bahwa d(f m (x), f n (x)) = 1 1 2m 2n Ambil sebarang ε > 0 sedimikian sehingga untuk setiap bilangan asli N > 1 ε dan m, n > N maka d(f m (x), f n (x)) = 1 2m 1 2n < 1 2m < 1 m < 1 N < ε Terbukti bahwa barisan pada C[0,3] merupakan barisan Cauchy. Akan dibuktikan bahwa barisan Cauchy pada C[0,3] diatas memiliki limit yaitu 0. Ambil sebarang ε > 0 sedemikian sehingga untuk setiap N > 1 ε dan m, n > N, maka ( 1 2m 1 1 ) 0 = ( 2n 2m 1 2n ) < 1 2m = 1 2m < 1 m < 1 N < ε Sehingga terbukti bahwa barisan Cauchy pada C[0,3] konvergen ke 0. Berikut gambar grafiknya Gambar Grafik hasil barisan konvergen pada d(f m (x), f n (x)) 58

28 Akan tetapi, hal ini berakibat nilai dari f(1) = 1, ini merupakan kontradiksi dimana f(1) = 0, sehingga barisan Cauchy pada C[0,3] tidak konvergen. Jadi terbukti bahwa (C[0,3], d) merupakan ruang metrik tidak lengkap. 59