Ruang Vektor Euclid R n
|
|
|
- Djaja Sugiarto Darmadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Ruang Vektor Euclid R n Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Oktober 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
2 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi , oleh Adiwijaya. 2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres. 3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri. 4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh Kasiyah M. Junus dan Siti Aminah. 5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UI oleh L. Y. Stefanus. Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim ke <pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
3 Bahasan 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
4 Bahasan Pendahuluan dan Motivasi 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
5 Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
6 Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
7 Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
8 Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. 5-tupel bilangan (v, w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 5. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
9 Pendahuluan dan Motivasi Sejarah Perkembangan Vektor Ide untuk menggunakan pasangan bilangan (x, y) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 2 sudah ada sejak abad ke-17. Demikian pula halnya dengan ide untuk menggunakan tripel bilangan (x, y, z) untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 3. Pada akhir abad ke-19 matematikawan dan fisikawan mulai menyadari bahwa kita tidak harus hanya berhenti pada tripel bilangan. Kita membutuhkan alat yang dapat merepresentasikan keadaaan pada dimensi yang lebih tinggi. Kuadrupel bilangan (w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 4. 5-tupel bilangan (v, w, x, y, z) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi 5. n-tupel bilangan (x 1, x 2,..., x n ) dapat digunakan untuk merepresentasikan posisi suatu benda pada ruang berdimensi n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
10 Motivasi Pendahuluan dan Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
11 Motivasi Pendahuluan dan Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
12 Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
13 Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
14 Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a 1, a 2,..., a n ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
15 Pendahuluan dan Motivasi Motivasi Ruang vektor berdimensi n banyak digunakan dalam Ilmu Komputer, Ekonomi, Fisika, Matematika Terapan dan beberapa bidang ilmu lain. Beberapa di antaranya adalah kajian mengenai: Pemrosesan citra digital (image processing). Teori pengkodean (coding theory): cara untuk mengkompresi data dan mentransmisikan data. Kriptografi: cara untuk merahasiakan suatu data. Pada bidang-bidang di atas, suatu data dapat direpresentasikan menjadi suatu vektor (a 1, a 2,..., a n ). Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk memperkenalkan operasi dan sifat vektor yang terdapat pada ruang berdimensi n. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
16 Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
17 Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor v yang berdimensi 5, yaitu v = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) dapat dipandang sebagai array V = v 1 v 2 v 3 v 4 v 5. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
18 Vektor dan Array Pendahuluan dan Motivasi Vektor berdimensi n yang ditulis (x 1, x 2,..., x n ) analog dengan array yang telah Anda pelajari di kuliah-kuliah pemrograman. Kadang-kadang vektor dapat dipandang sebagai array yang komponen-komponennya adalah bilangan-bilangan. Vektor berdimensi n dapat dipandang sebagai array dengan n komponen. Suatu vektor v yang berdimensi 5, yaitu v = (v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) dapat dipandang sebagai array V = v 1 v 2 v 3 v 4 v 5. Jika pada kuliah-kuliah yang terkait pemrograman Anda akan mempelajari operasi array terkait struktur data dan algoritmanya, contohnya searching dan sorting, pada perkuliahan Aljabar Linier Anda akan mengkaji struktur dan operasi matematika yang dapat dilakukan pada suatu vektor (array). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
19 Bahasan Ruang Vektor Euclid R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
20 Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
21 Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
22 Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) 2 matriks baris, contohnya v = [ v 1 v 2 v n ], notasi ini jarang dipakai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
23 Ruang Vektor Euclid R n Definisi Ruang Vektor Euclid R n Definisi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka suatu vektor v adalah n tupel terurut (ordered n-tuple) (v 1, v 2,..., v n ), dengan v i R untuk 1 i n. Himpunan seluruh n tupel terurut disebut ruang vektor Euclid berdimensi n dan ditulis dengan R n. Untuk meringkas, kita katakan ruang vektor Euclid berdimensi n sebagai ruang Euclid berdimensi n (tanpa kata vektor). Vektor pada R n dapat dinyatakan dalam bentuk 1 n tupel terurut, contohnya v = (v 1, v 2,..., v n ) 2 matriks baris, contohnya v = [ v 1 v 2 v 1 v n ], notasi ini jarang dipakai v 2 3 matriks kolom, contohnya v =. v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
24 Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
25 Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika (u 1 = v 1 ) (u 2 = v 2 ) (u n = v n ). Jika u dan v sama, kita dapat menuliskan u = v. Catatan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
26 Ruang Vektor Euclid R n Kesamaan Dua Vektor di R n Definisi Dua vektor u, v R n dengan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) dikatakan sama jika (u 1 = v 1 ) (u 2 = v 2 ) (u n = v n ). Jika u dan v sama, kita dapat menuliskan u = v. Catatan Kesamaan dua vektor di R n juga dapat dipandang sebagai kesamaan dua matriks kolom dengan n baris, atau kesamaan dua matriks baris dengan n kolom. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
27 Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
28 Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
29 Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
30 Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = ( u 1, u 2,..., u n ) u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
31 Ruang Vektor Euclid R n Operasi Vektor di R n Kita perlu mendefinisikan operasi pejumlahan dan perkalian skalar untuk vektor di R n. Definisi Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,... v n ) adalah dua vektor di R n dan α R, maka Definisi u + v = (u 1 + v 1, u 2 + v 2,..., u n + v n ) α u = (αu 1, αu 2,..., αu n ) u = ( u 1, u 2,..., u n ) u v = u + ( v) = (u 1 v 1, u 2 v 2,..., u n v n ) Vektor 0 di R n didefinisikan sebagai 0 = (0, 0,..., 0). Vektor 0 di R n juga dapat dipandang sebagai suatu matriks kolom (matriks baris) yang seluruh entrinya 0. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
32 Ruang Vektor Euclid R n Catatan Penjumlahan dua vektor di R n dapat dipandang sebagai penjumlahan dua matriks kolom dengan n baris. Perkalian suatu vektor dengan suatu skalar di R n juga dapat dipandang sebagai perkalian suatu matriks kolom dengan n baris dan suatu skalar di R. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
33 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
34 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
35 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
36 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
37 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
38 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
39 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
40 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u 7 α (β u) = (αβ) u MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
41 Ruang Vektor Euclid R n Aritmetika Vektor di R n Teorema Jika u, v, w R n dan α, β R, maka 1 u + v = v + u 2 ( u + v) + w = u + ( v + w) 3 u + 0 = 0 + u = u 4 u + ( u) = ( u) + u = 0 5 α ( u + v) = α u + α v 6 (α + β) u = α u + β u 7 α (β u) = (αβ) u 8 1 u = u Bukti Cukup mudah. Tinjau u, v, dan w sebagai suatu matriks kolom berukuran n 1. Sifat-sifat yang dijelaskan pada teorema analog dengan sifat yang dimiliki matriks kolom berukuran n 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
42 Bahasan Vektor-vektor Basis Standar di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
43 Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
44 Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan e i = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
45 Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan ( ) e i = 0,..., 0, 1, 0,..., 0. posisi ke-i Jika v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, maka kita memiliki sifat v = α 1 e 1 + α 2 e α n e n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
46 Vektor-vektor Basis Standar di R n Vektor-vektor Basis Standar di R n Kita telah melihat bahwa î = (1, 0) dan ˆ = (0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 2, sedangkan î = (1, 0, 0), ˆ = (0, 1, 0), dan ˆk = (0, 0, 1) adalah vektor-vektor basis standar di R 3. Definisi Vektor-vektor basis standar di R n adalah e 1, e 2,..., e n dengan ( ) e i = 0,..., 0, 1, 0,..., 0. posisi ke-i Jika v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, maka kita memiliki sifat v = α 1 e 1 + α 2 e α n e n (α 1 = v 1 ) (α 2 = v 2 ) (α n = v n ). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
47 Bahasan Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
48 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Norm dari Vektor di R n Norm dari vektor di R n merupakan perumuman dari norm vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari v dinotasikan dengan v dan didefinisikan sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
49 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Norm dari Vektor di R n Norm dari vektor di R n merupakan perumuman dari norm vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan v = (v 1, v 2,..., v n ) R n, norm Euclid atau panjang Euclid (Euclidean norm/ Euclidean length) dari v dinotasikan dengan v dan didefinisikan sebagai v = v1 2 + v v2 n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
50 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
51 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. d (P 1, P 2 ) = P 1 P 2 = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) (y n x n ) 2. Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua titik di R n, maka jarak dari u ke v (yang sama dengan jarak dari v ke u) adalah panjang dari vektor u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
52 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Jarak Dua Titik (Vektor) di R n Jarak dari dua titik (vektor) di R n merupakan perumuman dari jarak dua titik (vektor) di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan P 1 (x 1, x 2,..., x n ) dan P 2 (y 1, y 2,..., y n ) adalah dua titik di R n. Jarak dari P 1 ke P 2 tidak lain merupakan panjang dari vektor P 1 P 2. d (P 1, P 2 ) = P 1 P 2 = (y 1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) (y n x n ) 2. Jika u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua titik di R n, maka jarak dari u ke v (yang sama dengan jarak dari v ke u) adalah panjang dari vektor u v d ( u, v) = u v = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) (v n u n ) 2. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
53 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Vektor Satuan di R n Definisi vektor satuan di R n analog dengan definisi vektor satuan (unit vector) di R 2 maupun R 3. Definisi Suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) apabila u = 1. Teorema Misalkan v adalah suatu vektor tak nol di R n, maka 1 v v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan v. Bukti Jelas bahwa 1 v v searah dengan v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
54 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Vektor Satuan di R n Definisi vektor satuan di R n analog dengan definisi vektor satuan (unit vector) di R 2 maupun R 3. Definisi Suatu vektor u di R n dikatakan sebagai vektor satuan (unit vector) apabila u = 1. Teorema Misalkan v adalah suatu vektor tak nol di R n, maka 1 v v adalah sebuah vektor satuan yang searah dengan v. Bukti Jelas bahwa 1 v v searah dengan v. Kemudian perhatikan bahwa 1 v v = 1 v v v = = 1. (Q.E.D) v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
55 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n Catatan Untuk memperingkas, kita akan menulis v v untuk menyatakan 1 v v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
56 Bahasan Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
57 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik di R n Hasil kali titik dua vektor di R n merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua vektor di R n, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
58 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik di R n Hasil kali titik dua vektor di R n merupakan perumuman dari hasil kali titik dua vektor di R 2 dan R 3. Definisi Misalkan u = (u 1, u 2,..., u n ) dan v = (v 1, v 2,..., v n ) adalah dua vektor di R n, maka u v = u 1 v 1 + u 2 v u n v n Catatan Hasil kali titik (dot product) di R n selanjutnya juga akan dinamakan sebagai hasil kali dalam Euclid (Euclidean inner product). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
59 Sudut di R n Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R 2 maupun R 3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di R n untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mendefinisikan sudut antara dua vektor di R n melalui definisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika θ adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
60 Sudut di R n Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Berbeda dengan sudut antara dua vektor di R 2 maupun R 3 yang memiliki representasi geometris, sudut antara dua vektor di R n untuk n 4 tidak memiliki representasi geometris. Jadi kita perlu mendefinisikan sudut antara dua vektor di R n melalui definisi yang jelas dan tidak bertentangan dengan kaidah matematis yang sudah ada sebelumnya. Ingat kembali bahwa jika θ adalah cosinus sudut antara dua vektor, maka haruslah 1 cos θ 1. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
61 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Ketaksamaan Cauchy-Schwarz di R n Jika u, v R n, maka u v u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
62 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
63 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
64 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
65 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
66 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
67 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 4 ( u v) 2 4 u 2 v 2 0, atau MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
68 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Misalkan t R, tinjau bahwa 0 t u + v 2 (norm selalu tak negatif) = (t u + v) (t u + v) = u 2 t ( u v) t + v 2 (1) Dari pengetahuan kita di sekolah menengah, ketika fungsi kuadrat f (x) = ax 2 + bx + c selalu bernilai non negatif, maka fungsi tersebut memotong sumbu x tepat di satu titik atau sama sekali tidak memotong sumbu x. Akibatnya nilai dari disriminannya, yaitu D = b 2 4ac, selalu non positif. Pertidaksamaan (1) memberikan 4 ( u v) 2 4 u 2 v 2 0, atau ( u v) 2 ( u v ) 2 u v u v, karena u, v 0 (Q.E.D). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
69 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
70 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti u v u v u v. (2) Jika u dan v keduanya tak nol, maka u v > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan u v memberikan MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
71 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Sudut antara Dua Vektor Tak Nol di R n Teorema Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka maka Bukti 1 u v u v 1 Dari ketaksamaan Cauchy-Schwarz, kita memiliki u v u v, yang berarti u v u v u v. (2) Jika u dan v keduanya tak nol, maka u v > 0, akibatnya membagi ketaksamaan (2) dengan u v memberikan 1 u v 1. (Q.E.D) u v MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
72 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
73 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai u v cos θ = u v. Akibatnya, jika θ adalah sudut antara dua vektor tak nol u, v R n, maka MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
74 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Definisi (Sudut antara dua vektor tak nol di R n ) Jika u, v R n adalah dua vektor tak nol, maka cosinus sudut θ antara u dan v didefinisikan sebagai u v cos θ = u v. Akibatnya, jika θ adalah sudut antara dua vektor tak nol u, v R n, maka ( ) u v θ = arccos. u v Catatan Definisi di atas juga sesuai dengan kondisi di R 2 dan R 3, yaitu u v = u v cos θ. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
75 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Catatan Kita tidak mendefinisikan sudut antara sebuah vektor dengan vektor nol. Hal ini terjadi karena vektor nol merupakan vektor yang tidak memiliki arah yang jelas. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
76 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Latihan 1: Sudut Vektor di R n Latihan Tentukan nilai terkecil untuk θ jika θ adalah sudut antara vektor 1 u = (1, 1, 0, 0) dan v = (0, 1, 0, 1). 2 u = (1, 0, 1, 0) dan v = (0, 1, 0, 1). MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
77 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
78 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
79 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = 1 ( ) ( ) = θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
80 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = 120. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
81 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
82 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = 0 ( ) ( ) = θ = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
83 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Solusi: karena kita memiliki u v = u v cos θ, dengan θ adalah sudut antara vektor tak nol u dan v, maka cos θ = u v u v. 1 Kita memiliki u = (1, 1, 0, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 1, 0, 0) (0, 1, 0, 1) = 1, akibatnya cos θ = u v u v = θ = arccos ( 1 ) 2 1 ( 2 ) ( 2 ) = 1 2 = 2 3 π rad = Kita memiliki u = (1, 0, 1, 0) = 2, v = (0, 1, 0, 1) = 2, u v = (1, 0, 1, 0) (0, 1, 0, 1) = 0, akibatnya cos θ = u v u v = 0 ( ) ( ) = θ = arccos (0) = π 2 rad = 90. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
84 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks Misalkan u dan v adalah dua vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u 1 v 1 u 2 u =. dan v = v 2. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan. u n v n real (tanda kurung [ ] diabaikan), maka kita memiliki MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
85 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik Dua Vektor dan Perkalian Matriks Misalkan u dan v adalah dua vektor yang dinyatakan sebagai matriks kolom, u 1 v 1 u 2 u =. dan v = v 2. Bila matriks 1 1 dipandang sebagai bilangan. u n v n real (tanda kurung [ ] diabaikan), maka kita memiliki v 1 u T v = [ ] v 2 u 1 u 2 u n. = u 1v 1 + u 2 v u n v n = u v. v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
86 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Hasil Kali Titik dan Norm Teorema Jika v = v 1 v 2. v n Rn, maka v 2 = v v = v T v. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
87 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
88 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
89 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v vn 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
90 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v vn 2 = (v 1, v 2,..., v n ) (v 1, v 2,..., v n ) = v v = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
91 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Bukti Tinjau bahwa v 2 = v1 2 + v vn 2 = (v 1, v 2,..., v n ) (v 1, v 2,..., v n ) = v v v 1 = [ ] v 2 v 1 v 2 v n. = vt v (Q.E.D) v n MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
92 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
93 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u + v 2 = u 2 + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
94 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
95 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
96 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n Keortogonalan di R n Ingat kembali bahwa pada R 2 maupun R 3, dua vektor u dan v dikatakan ortogonal bila u v = 0. Definisi Dua vektor u, v R n dikatakan ortogonal bila u v = 0. Teorema (Teorema Phytagoras di R n ) Jika u, v R n saling ortogonal, maka Bukti Tinjau bahwa u + v 2 = u 2 + v 2 u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 = u 2 + v 2 (karena u v = 0). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
97 Bahasan Beberapa Sifat-sifat Penting 1 Pendahuluan dan Motivasi 2 Ruang Vektor Euclid R n 3 Vektor-vektor Basis Standar di R n 4 Norm dari Vektor dan Jarak Dua (Titik) Vektor di R n 5 Hasil Kali Titik, Sudut, dan Keortogonalan di R n 6 Beberapa Sifat-sifat Penting MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
98 Beberapa Sifat-sifat Penting Beberapa Sifat Terkait Norm Teorema Jika v R n dan α R, maka 1 v 0 2 v = 0 jika dan hanya jika v = 0. 3 α v = α v. 4 u + v u + v (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk norm) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk vektor di R 2 yang sudah kita buktikan di slide sebelumnya. MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
99 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
100 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
101 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
102 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 u u v + v 2 (sifat nilai mutlak) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
103 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 u u v + v 2 (sifat nilai mutlak) u u v + v 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) = MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
104 Beberapa Sifat-sifat Penting Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa u + v 2 = ( u + v) ( u + v) = u ( u v) + v 2 u u v + v 2 (sifat nilai mutlak) u u v + v 2 (ketaksamaan Cauchy-Schwarz) = ( u + v ) 2 Jadi u + v u + v (karena u + v 0). (Q.E.D) MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R n Oktober / 38
105 Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) =
106 Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v =
107 Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v
108 Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v = u w + w v (ketaksamaan segitiga untuk norm)
109 Beberapa Sifat Terkait Jarak Teorema Jika u, v, w R n, dan d ( u, v) menyatakan jarak dari u ke v, maka 1 d ( u, v) 0 2 d ( u, v) = 0 jika dan hanya jika u = v 3 d ( u, v) = d ( v, u) 4 d ( u, v) d ( u, w) + d ( w, v) (ketaksamaan segitiga/ triangle inequality untuk jarak) Bukti untuk sifat nomor 1 3 analog dengan bukti untuk norm pada teorema sebelumnya. Bukti (Bukti sifat 4) Tinjau bahwa d ( u, v) = u v = u w + w v u w + w v (ketaksamaan segitiga untuk norm) = d ( u, w) + d ( w, v) (Q.E.D)
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)
Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,
Sistem Persamaan Linier (SPL)
Sistem Persamaan Linier (SPL) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) SPL Agustus 2015 1 / 27 Acknowledgements
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks
Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)
Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan
Rencana Perkuliahan. Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil MZI. Fakultas Informatika Telkom University. FIF Tel-U.
Rencana Perkuliahan Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Rencana Perkuliahan Agustus 2015 1 / 22 Acknowledgements
Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Geometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Teori Himpunan Elementer
Teori Himpunan Elementer Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Himpunan Januari 2016 1 / 72 Acknowledgements
Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;
BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,
ALJABAR LINEAR ELEMENTER
BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.
Aljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR
MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional
Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang
01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1
01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.
DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam
CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal
Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6, 4 ). ( -1, 4 ) E. ( 5, 4 ) B. ( 6, 4) D. ( 1, 4 )
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
1 Mengapa Perlu Belajar Geometri Daftar Pustaka... 1
Daftar Isi 1 Mengapa Perlu Belajar Geometri 1 1.1 Daftar Pustaka.................................... 1 2 Ruang Euclid 3 2.1 Geometri Euclid.................................... 8 2.2 Pencerminan dan Transformasi
Vektor di Bidang dan di Ruang
Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen
MA5032 ANALISIS REAL
(Semester I Tahun 2011-2012) Dosen FMIPA - ITB E-mail: hgunawan@math.itb.ac.id. August 16, 2011 Pada bab ini anda diasumsikan telah mengenal dengan cukup baik bilangan asli, bilangan bulat, dan bilangan
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
MA3231. Pengantar Analisis Real. Hendra Gunawan, Ph.D. Semester II, Tahun
MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D. Tentang Mata Kuliah MA3231 Mata kuliah ini merupakan mata kuliah wajib bagi mahasiswa program studi S1 Matematika, dengan
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem
Dasar-dasar Statistika Pemodelan Sistem Kuliah Pemodelan Sistem Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2016 MZI (FIF Tel-U) Statistika Pemodelan Januari 2016
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
MA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli
INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Aljabar Linear ELementer MA Analisis
UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Ruang Norm Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Definisi. Misalkan suatu ruang vektor atas. Norm pada didefinisikan sebagai fungsi. : yang memenuhi N1. 0 N2. 0 0 N3.,, N4.,, Kita dapat
VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA
Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.
Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor
Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus
VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain
VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering
BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert
BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN
BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab
SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 132
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode Oleh Tutur Widodo. Lingkaran (x 6) + (y + ) = menyinggung garis x = di titik... (, 6) d. (, ) (, 6) e. (, ) c. (,
Edisi Juni 2011 Volume V No. 1-2 ISSN SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS
SIFAT-SIFAT RUANG HASIL KALI DALAM-n KOMPLEKS Sri Maryani Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto Email : sri.maryani@unsoed.ac.id Abstract Inner
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL
PENGANTAR ANALISIS FUNGSIONAL SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika. Kode Paket 634. Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. x 0 x 2.
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 6 Oleh : Fendi Alfi Fauzi. lim x 0 cos x x tan x + π )... a) b) 0 c) d) e) Jawaban : C Pembahasan: lim x 0
Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.
RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh: Kelompok 5 1. Nurita Cahyaningtyas (14144100112)
PERTIDAKSAMAAN RASIONAL. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 1 Kelas matematika PEMINATAN PERTIDAKSAMAAN RASIONAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan rasional..
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA
GRUP ALJABAR DAN -MODUL REGULAR SKRIPSI SARJANA MATEMATIKA OLEH: FITRIA EKA PUSPITA 07934028 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ANDALAS PADANG 2011 ABSTRAK Misalkan
0. Pendahuluan. 0.1 Notasi dan istilah, bilangan kompleks
0. Pendahuluan Analisis Fourier mempelajari berbagai teknik menganalisis sebuah fungsi dengan menguraikannya sebagai deret atau integral fungsi tertentu (yang sifat-sifatnya telah kita kenal dengan baik,
Wardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018-1. Jika diketahui x = 8, y = 25 dan z = 81, maka nilai dari x 2 y 2 z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500
Vektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Materi Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
SILABUS PENGALAMAN BELAJAR ALOKASI WAKTU
SILABUS Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Ungguan BPPT Darus Sholah Jember kelas : XII IPA Semester : Ganjil Jumlah Pertemuan : 44 x 35 menit (22 pertemuan) STANDAR 1. Menggunakan konsep
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg
SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd
SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126
Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Kode 483
Tutur Widodo Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 0 Kode 8 Oleh Tutur Widodo. Di dalam kotak terdapat bola biru, 6 bola merah dan bola putih. Jika diambil 8 bola tanpa pengembalian,
Teori Bilangan (Number Theory)
Bahan Kuliah ke-3 IF5054 Kriptografi Teori Bilangan (Number Theory) Disusun oleh: Ir. Rinaldi Munir, M.T. Departemen Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung 2004 3. Teori Bilangan Teori bilangan
TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab
a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3
a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
BAHAN AJAR ANALISIS REAL 1 Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang
Pertemuan 2. BAHAN AJAR ANALISIS REAL Matematika STKIP Tuanku Tambusai Bangkinang 0. Bilangan Real 0. Bilangan Real sebagai bentuk desimal Pada pembahasan berikutnya kita diasumsikan telah mengetahui dengan
Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert
Vol 12, No 2, 153-159, Januari 2016 Beberapa Sifat Operator Self Adjoint dalam Ruang Hilbert Firman Abstrak Misalkan adalah operator linier dengan adalah ruang Hilbert Pada operator linier dikenal istilah
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Matematika Dasar FUNGSI DAN GRAFIK
FUNGSI DAN GRAFIK Suatu pengaitan dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi bila mengaitkan setiap anggota dari himpunan A dengan tepat satu anggota dari himpunan B. Notasi : f : A B f() y Himpunan
BAB 1. PENDAHULUAN KALKULUS
BAB. PENDAHULUAN KALKULUS (Himpunan,selang, pertaksamaan, dan nilai mutlak) Pembicaraan kalkulus didasarkan pada sistem bilangan nyata. Sebagaimana kita ketahui sistem bilangan nyata dapat diklasifikasikan
KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN
KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian
Pemanfaatan Permodelan Ruang Vektor untuk Pengecekan Kemiripan
Pemanfaatan Permodelan Ruang Vektor untuk Pengecekan Kemiripan Andri Hardono Hutama - 13514031 1 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha
WARP PADA SEBUAH SEGITIGA
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 3 Hal. 26 33 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND WARP PADA SEBUAH SEGITIGA ABDUL ZAKY, MAHDHIVAN SYAFWAN Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan
2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL. Indah Yanti
Kuliah 2: FUNGSI MULTIVARIABEL Indah Yanti Definisi Dasar Perhatikan fungsi f: A R n R m : x f x n = m = 1 fungsi bernilai riil satu variabel n = 1, m > 1 fungsi bernilai vektor satu variabel n > 1, m
APLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR
Jurnal Matematika UNAND Vol. 4 No. 1 Hal. 31 39 ISSN : 303 910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND APLIKASI DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR PADA KOMPRESI UKURAN FILE GAMBAR AMANATUL FIRDAUSI, MAHDHIVAN SYAFWAN,
Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Aljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 Berlaku mulai: Genap/2011 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR NOMOR KODE / SKS : 410202051/ 3 SKS PRASYARAT
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian
ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS MODUL 9 Vektor dalam Ruang Euklidian Zuhair Jurusan Teknik Informatika Universitas Mercu Buana Jakarta 2007 年 12 月 16 日 ( 日 ) Vektor dalam Ruang Euklidian Sebelum kita menginjak
Aljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n
19. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah θ. = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a. a =
19. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri 1. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah θ 3. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a1 1. Komponen dan panjang vektor: a = a =
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam
MATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 2012 Tanggal Ujian: 13 Juni 2012
Soal-Soal dan Pembahasan Matematika IPA SNMPTN 01 Tanggal Ujian: 13 Juni 01 1. Lingkaran (x + 6) + (y + 1) 5 menyinggung garis y 4 di titik... A. ( -6 4 ). ( -1 4 ) E. ( 5 4 ) B. ( 6 4) D. ( 1 4 ) BAB
Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks
Vol. 8, No.1, 1-11, Juli 2011 Perluasan Teorema Cayley-Hamilton pada Matriks Nur Erawati, Azmimy Basis Panrita Abstrak Teorema Cayley-Hamilton menyatakan bahwa setiap matriks bujur sangkar memenuhi persamaan
Euclidean n & Vector Spaces. Matrices & Vector Spaces
Lecture 9 Euclidean n & Vector Spaces Delivered by: Filson Maratur Sidjabat fmsidjabat@president.ac.id Matrices & Vector Spaces #4 th June 05 (90%*score / 0% extra points for HW-Q) Retake Quiz. Compute
Pendahuluan Perkuliahan Matematika Diskret
Pendahuluan Perkuliahan Matematika Diskret Kuliah Matematika Diskret Semester Genap 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Januari 2015 MZI (FIF Tel-U) Pendahuluan Perkuliahan Januari
fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi
BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher
Aplikasi Aljabar Lanjar untuk Penyelesaian Persoalan Kriptografi dengan Hill Cipher Nursyahrina - 13513060 Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO
PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS
Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran 2002/2003
DOKUMEN NEGARA SANGAT RAHASIA Ujian Akhir Nasional Tahun Pelajaran / SMU/MA Program Studi IPA Paket Utama (P) MATEMATIKA (D) SELASA, 6 MEI Pukul 7.. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL --D-P Hak Cipta pada
Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung
Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan
BAB IV PERTIDAKSAMAAN. 1. Pertidaksamaan Kuadrat 2. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak
BAB IV PERTIDAKSAMAAN 1. Pertidaksamaan Kuadrat. Pertidaksamaan Bentuk Pecahan 3. Pertidaksamaan Bentuk Akar 4. Pertidaksamaan Nilai Mutlak 86 LEMBAR KERJA SISWA 1 Mata Pelajaran : Matematika Uraian Materi
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR
BAB 2 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR MATERI A. Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak A. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN YANG MEMUAT NILAI MUTLAK Dalam matematika, sesuatu yang nilainya selalu positif
b c a b a c 1. Bentuk sederhanaa dari
7 a b c. Bentuk sederhanaa dari 6 6a b c c A. a b b B. a c C. b a c bc D. a E. 7 7 c a b. Dalam kantong kantong diambil dua kelereng sekaligus, maka peluang mendapatkan kelereng satu berwarna merah dan
Logika Predikat (Kalkulus Predikat)
Logika Predikat (Kalkulus Predikat) Kuliah (Pengantar) Metode Formal Semester Ganjil 2015-2016 M. Arzaki Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Logika Predikat (Kalkulus
DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS
Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks