Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Transkripsi

1 Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014

2 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar basis (b) Sistem koordinat (definisi) (c) matrik perubahan koordinat 1

3 (d) pemetaan koordinat 2. Dimensi ruang vektor (a) ketidak bebasan himpunan diluar basis (b) dimensi (definisi) (c) dimensi subruang vektor (d) dimensi ruang null dan ruang kolom

4 3. Rank (a) Ruang kolom (b) rank (definisi) (c) dimensi ruang null dan rank (d) Aplikasi pada SPL

5 SISTEM KOORDINAT 1. Ketunggalan penulisan basis 2. Sistem koordinat (definisi) 3. matrik perubahan koordinat 4. pemetaan koordinat 2

6 KETUNGGALAN PENULISAN BASIS teorema 1. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V. Untuk setiap x V terdapat skalar tunggal a 1, a 2,, a n R yang memenuhi x = n i=1 a ib i definisi 2. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V dan x V. Koordinat relatif x terhadap basis B atau koordinat-b dari x adalah nilai-nilai 3

7 c 1, c 2,, c n sedemikian sehingga x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n yang dapat dituliskan sebagai [x] B = c 1. c n contoh. Misalkan basis dari R 2, yaitu e 1 = [1 0] T dan e 2 = [1 2] T. Misalkan diketahui sistem koordinat [x] B = [ 2 3] T. Tentukan x.

8 solusi. Dengan definisi, diketahui bahwa [x] B = [c 1 c 2 ] yang memenuhi x = c 1 e 1 + c 2 e 2 sehingga x = = 1 6

9 MATRIKS PERUBAHAN KOORDINAT Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V dan x V. Untuk setiap x dapat ditentukan skalar sehingga x = c 1 b 1 + c 2 b c n b n dengan menjabarkan persamaan di atas, misalkan b 1 = a 11 a 21. a r1 4

10 maka akan diperoleh x = c 1 a 11 + c 2 a 12 +c n a 1n c 1 a r1 + c 2 a r2 +c n a rn yang dapat dibentuk pada SPL x = A b x = a 11 a 12 a 1n a r1 a r2 a rn c 1. c n Selanjutnya, a 11 a 12 a 1n a r1 a r2 a rn

11 disebut matriks perubahan koordinat, disimbolkan sebagai P B teorema 3. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi ruang vektor V. Pemetaan T : x [x] B adalah pemetaan linier yang satu-satu dan pada (isomorfis). Bukti. 1. Misalkan y,z V sehingga y+z = (c 1 b c n b n ) + (k 1 b k n b n ) = (c 1 + k 1 )b (c n + k n )b n

12 sehingga diperoleh [y+z] B = c 1 + k 1. c n + k n = c 1. c n + k 1. k n = [y] B + [z] B 2. Misalkan k R. Kita dapatkan ky = kc 1 b kc n b n = (kc 1 )b (kc n )b n

13 sehingga [ky] B = kc 1. kc n = k c 1. c n = k[y] B 3. Misalkan y,z V dan α, β [x] B. Akan didapatkan α = β c 1 b c n b n = k 1 b k n b n y=z 4. Misalkan α [x] B. Untuk setiap α [x] B akan selalu

14 ditemukan y V sedemikian sehingga α = P 1 B y

15 DIMENSI RUANG VEKTOR 1. ketidak bebasan himpunan diluar basis 2. Ketunggalan basis dalam ruang vektor 3. dimensi (definisi) 4. dimensi subruang vektor 5. dimensi ruang null dan ruang kolom 5

16 teorema 4. Jika ruang vektor V memiliki basis B = {b 1, b 2,, b n } maka setiap himpunan yang memiliki lebih dari n-vektor bersifat tidak bebas linier. Bukti. Misalkan S = {s 1, s 2,, s p } adalah sebuah himpunan di ruang vektor V yang memiliki jumlah vektor lebih dari n. Koordinat dari S dapat dituliskan s 1 = c 11 b 1 + c 12 b c 1n b n. s p = c p1 b 1 + c p2 b c pn b n 6

17 Untuk menunjukkan bahwa S bebas linier atau tidak maka akan ditentukan solusi skalar bagi persamaan k 1 s k p s p = 0 sehingga diperoleh k 1 (c 11 b 1 + c 12 b c 1n b n ) + + k p (c p1 b 1 + c p2 b c pn b n ) = 0 dengan mengumpulkan koefisien bagi b i, i = 1,, n akan

18 diperoleh (k 1 c 11 + k 2 c k p c p1 )b (k 1 c 1n + k 2 c 2n + + k p c pn )b n = 0 Untuk mendapatkan bebas linier maka k 1 c 11 + k 2 c k p c p1 = 0.. k 1 c 1n + k 2 c 2n + + k p c pn = 0

19 Kita akan menentukan k j, j = 1,, p. Oleh karena p > n maka SPL di atas memiliki jumlah variabel yang tidak diketahui lebih banyak dibandingkan jumlah persamaan sehingga solusi SPL homogen tersebut tak trivial. Artinya, terdapat k l R sedemikian sehingga memenuhi persamaan k 1 s k p s p = 0 yang berarti bahwa S = {s 1, s 2,, s p } tergantung linier.

20 teorema 5. Misalkan ruang vektor V dengan basis yang memiliki n vektor maka setiap basis dari ruang vektor V memiliki n jumlah vektor Bukti. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } dan S = {s 1, s 2,, s m } adalah basis bagi ruang vektor V. 1. Oleh karena B basis bagi V maka B bebas linier. Oleh karena S basis bagi V maka S merentang V. Kesimpulan diperoleh n m 7

21 2. Oleh karena S basis bagi V maka S bebas linier. Oleh karena B basis bagi V maka B merentang V. Kesimpulan diperoleh m n Bukti. Misalkan B = {b 1, b 2,, b n } dan S = {s 1, s 2,, s m } adalah basis bagi ruang vektor V. Oleh karena B adalah basis dan S bebas linier, maka m n. Oleh karena S adalah basis dan B bebas linier, maka n m. Oleh karena m n dan n m maka disimpulkan m = n.

22 Definisi : Dimensi Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = {b 1, b 2,, b n }. Banyaknya vektor dalam basis B disebut dengan dimensi (V ), yang dituliskan dengan dim(v ). 1. Jika himpunan B adalah himpunan hingga, maka dimensi V disebut dimensi-hingga 2. Jika himpunan B tidak tersusun oleh himpunan B yang hingga, maka dimensi V disebut dimensi-tak hingga. 8

23 teorema 6. Misalkan H adalah subruang vektor dari V yang berdimensi berhingga. Setiap himpunan di H yang bebas linier dapat diperbesar, bila perlu menjadi basis bagi H. H adalah ruang vektor berdimensi berhingga yang memenuhi dim H dim V Bukti. 1. Jika H = {0} maka jelas dim H dim V. 2. Misalkan S = {s 1, s 2,, s l } H yang bebas linier. 9

24 (a) Jika S merentang H maka S adalah basis bagi H dan karena S H diperoleh dim S dim V. (b) Misalkan terdapat B = {s l+1,, s n } yang tidak dapat direntang oleh S. Jelas bahwa U = B S H adalah himpunan bebas linier karena setiap vektor di B tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari S (ingat: S tidak merentang B). Proses dapat berulang hingga B S membesar sampai merentang H dan dimensi-b S selalu lebih kecil dari V karena seluruh vektor di-h bebas linier.

25 teorema 7. Misalkan V adalah ruang vektor berdimensi-n. Jika S = {s 1, s 2,, s n } V bebas linier maka S adalah basis bagi V. Jika S = {s 1, s 2,, s n } V merentang V maka S adalah basis bagi V. Bukti. 1. Misalkan S = {s 1, s 2,, s n } V bebas linier. Misalkan w V. Jika w bukan kombinasi linier dari

26 S maka w bebas linier. Oleh karena V adalah ruang vektor berdimensi-n, misalkan B = {b 1, b 2,, b n } adalah basis bagi V dan S {w} dapat direntang oleh B. Oleh karena S {w} bebas linier maka akan diperoleh n + 1 n. Jelas kondisi ini salah sehigga kita simpulkan w dapat dikombinasi linierkan oleh S. Oleh karena w V selalu dapat dikombinasi linierkan oleh S maka S merentang V. Jadi, S basis bagi V. 2. Misalkan S = {s 1, s 2,, s n } V merentang V sehingga setiap v V dapat dinyatakan sebagai kombi-

27 nasi linier dari S. Telah diketahui bahwa dim V = n sehingga terdapat B = {b 1, b 2,, b n } basis bagi V. Oleh karena S merentang V maka b 1 = a 11 s a 1n s n. b n = a n1 s a nn s n Oleh karena B adalah basis bagi V maka 0 = c 1 b c n b n

28 yang hanya dipenuhi oleh c i = 0, i = 1,, n. Subtitusi persamaan b i, i = 1,, n sehingga diperoleh 0 = c 1 (a 11 s a 1n s n ) + + c n (a 1n )s a nn s n 0 = (c 1 a c n a 1n )s (c 1 a 1n+ +cn a nn )s n Oleh karena c i = 0, i = 1,, n maka dipastikan n c ia j,i = 0, j = 1,, n i=1

29 sehingga S bebas linier. Oleh karena S merentang dan bebas linier, S basis bagi V.

30 RANK 1. Ruang kolom 2. rank (definisi) 3. dimensi ruang null dan rank 4. Aplikasi pada SPL 10

31 Definisi Misalkan A adalah matriks dengan ukuran m n. A = a 11 a 1n..... a m1 a mn 1. Ruang kolom adalah himpunan yang dibentuk dari kolom matriks A. Col(A) = span{a 1 n,1,, A 1 n,n } 11

32 2. Ruang baris adalah himpunan yang dibentuk oleh baris matriks A. RowA = span{a 1,1 n,, A n,1 n } 3. Ruang null adalah himpunan yang memenuhi persamaan A x = 0. NullA = {x x R n dan A x = 0}

33 teorema 8. Jika matriks A dan B memiliki keserupaan baris maka keduanya memiliki ruang baris yang sama. Jika matriks B dalam bentuk eselon tereduksi, baris tak nol dari matriks B adalah basis untuk ruang baris dari A dan B. contoh. Misalkan A adalah matriks A =

34 dengan operasi baris elementer akan diperoleh B = Pada matriks B, baris ke-1,2 dan 3 bukan merupakan baris nol. Sesuai dengan teorema, maka diperoleh bahwa baris ke-1,2 dan 3 adalah basis bagi B dan A. Dinotasikan Row(A) = {[1, 3, 5, 1, 5], [0, 1, 2, 2, 7], [0, 0, 0, 4, 20]}

35 Kolom yang entry pertama merupakan pivot, yaitu kolom ke-1,2 dan 4 sehingga basis bagi ruang kolom A adalah Col(A) = , , Jika matriks B dioperasikan menjadi bentuk tereduksi, akan diperoleh

36 yang berarti akan diperoleh sistem persamaan linier x 1 + x 3 + x 5 = 0 x 2 2x 3 + 3x 5 = 0 x 4 5x 5 = 0 dengan x 3 dan x 5 adalah variabel bebas. Misalkan x 3 = t

37 dan x 5 = s maka akan diperoleh x 5 = t x 4 = 5t x 3 = s x 2 = 2s 3t x 1 = s t

38 atau dalam bentuk kombinasi linier x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = s t sehingga dapat kita katakan bahwa Null(A) = { v 1, v 2 }

39 dengan v 1 = , v 2 = oleh karena v 1, v 2 adalah vektor yang saling bebas linier dan vektor yang merentang Null(A) maka kita katakan { v 1, v 2 } adalah basis bagi N ull(a).

40 definisi 9. Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang Kolom dari matriks A. teorema 10. Misalkan V adalah ruang vektor dan dim V = n maka dim Null(T ) + Rank(T ) = n Bukti. Rank(A) adalah jumlah kolom di A yang tereduksi dengan element bukan nol. N ull(a) adalah jumlah variabel bebas dalam matriks SPL A atau jumlah kolom yang 13

41 tereduksi dengan semua elemen nol. Akhirnya diperoleh jumlah kolom pivot + jumlah kolom non-pivot = jumlah kolom rank(a) + dim Null(A) = n

42 teorema 11. Misalkan A adalah matriks n n. Pernyataan berikut adalah ekuivalen dengan pernyataan bahwa matriks A invertible (dapat diinverskan). 1. Kolom dari matriks A adalah pembentuk basis dari R n 2. Col(A) = R n 3. Rank(A) = n 4. Null(A) = { 0} 14

43 5. dim Col(A) = n 6. dim Null(A) = 0

44 Perubahan Basis Misalkan V adalah Ruang Vektor dengan basis B = { b 1,, b n } 1. Vektor x V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis B, [x] B 2. Vektor x V diubah bentuk dalam koordinat dengan basis C, [x] C 15

45 3. Bagaimana hubungan antara [x] B dan [x] C dalam bentuk matriks perubahan?. teorema 12. Misalkan V adalah ruang vektor dengan basis B = { b 1,, b n } dan C = { c 1,, c n }. Terdapat matriks tunggal n n yang memenuhi [ x] c = P B C [ x] B dengan P B C = [[ b 1 ] c [ b 2 ] c [ b n ] C ]

46 Bagaimana menentukan P? B C Misalkan V ruang vektor, V = { v 1, v 2, v 3 } dengan basis B = { b 1, b 2, b 3 } dan C = { c 1, c 2, c 3 }. Misalkan x V. Perhatikan bahwa x dapat direntang oleh basis B. x = k 11 b1 + k 12 b2 + k 13 b3 Basis B dapat direntang oleh basis C yaitu b1 = l 11 c 1 + l 12 c 2 + l 13 c 3 b2 = l 21 c 1 + l 22 c 2 + l 23 c 3 b3 = l 31 c 1 + l 32 c 2 + l 33 c 3 16

47 Dengan subtitusi akan diperoleh x = (k 11 l 11 c 1 + k 11 l 12 c 2 + k 11 l 13 c 3 ) + (k 12 l 21 c 1 + k 12 l 22 c 2 + k 12 l 23 c 3 ) + (k 13 l 31 c 1 + k 13 l 32 c 2 + k 13 l 33 c 3 ) x = (k 11 l 11 + k 12 l 21 + k 13 l 31 ) c 1 + (k 11 l 12 + k 12 l 22 + k 13 l 32 ) c 2 + (k 12 l 23 + k 11 l 13 + k 13 l 33 ) c 3

48 Ambil koordinat x V terhadap basis C akan didapatkan [x] C = k 11 l 11 + k 12 l 21 + k 13 l 31 k 11 l 12 + k 12 l 22 + k 13 l 32 k 12 l 23 + k 11 l 13 + k 13 l 33 [x] C = l 11 l 21 l 31 l 12 l 22 l 32 l 13 l 23 l 33 k 11 k 12 k 13 [x] C = [ [b 1 ] C [b 2 ] C [b 3 ] C ] [x]b [x] C = P B C [x] B