Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :

Transkripsi

1 Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi TRANSFORMASI LINIER UMUM Transformasi linier umum adalah sebuah fungsi yang memetakan suatu ruang vector B ke suatu ruang vector C, sehingga variable A dinyatakan sebagai transformasi linier dari B ke C. Pernyataan tersebut ditunjukkan pada skema dibawah ini : Jika A : B C Variabel akan disebut sebagai transformasi linier jika semua vector u dan v yang ada pada B dan semua scalar c, seperti : T(u + v) = T(u) + T(v) T(cu) = ct(u) Transformasi linier akan tampak terlihat jelas jika B = C dan akan dinyatakan dalam bentuk A: B B yang disebut dengan operator linier pada B. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain : Fungsi diatas bernilai real. Contoh : f(x) = x + sin x Fungsi diatas merupakan fungsi variabel. Contoh: f(x,y) = (x+y) Fungsi diatas merupakan fungsi n variable. Contoh:

2 f(x, x,.,x n ) = a x + a x + + a n x n Fungsi diatas bernilai vektor. Contoh: f(t) = (t +,t) Fungsi diatas merupakan fungsi variabel bernilai vektor. Contoh: F(x,y) = (cos x, sin y).fungsi DARI R n KE R m Fungsi adalah aturan yang mengkaitkan setiap x elemen di daerah definisi di R n ke f(x) elemen di daerah hasil di R m. Fungsi diatas disebut juga transformasi dai R n ke R m. Sistem persamaan linear (SPL) dapat dinyatakan dalam perkalian matriks vektor, seperti:, dimana vektor di R m sedangkan vektor di R n kemudian A matriks mxn. Matriks disebut matriks standard untuk transformasi linier T. Sedangkan transformasi nol dinyatakan dengan dan transformasi identitias dinyatakan dengan. Transformasi linier dari jika memiliki invers berupa. Transformasi Elementer Pada Baris dan Kolom Matriks Transformasi Elamenter pada matriks adalah: Penukaran tempat baris ke i dan ke j (baris ke i dijadikan baris ke j dan baris ke j dijadikan baris ke i), ditulis H ij (A) Penukaran tempat kolom ke i dan kolom ke j (kolom ke i dijadikan kolom ke j atau sebaliknya), ditulis K ij (A) Memperkalikan baris ke i dengan skalar Memperkalikan kolom ke i dengan, ditulis ditulis Menambah baris ke i dengan Menambah kolom ke i dengan kali baris ke j, ditulis kali kolom ke j,ditulis

3 3.INVERS TRANSFORMASI LINIER Jika suatu transformasi elementer adalah: Bentuk Kampanyon Koefisien-koefisien dari matriks tersebut adalah koefisien deret λ dari persamaan karakteristik: Dua bentuk kampanyon, tergantung pada koefisien-koefisin yang muncul pada kolom pertama atau baris terakhir. Contoh : Kampanyon kolom Kampanyon baris

4 Persamaan karakteristik : CONTOH KASUS Pada pertemuan enam ini akan dibahas contoh kasus menggunakan transformasi linier. Dibawah ini diberikan sebuah matriks A dengan anggota matriksnya adalah: Berdasarkan matriks tersebut, carilah matriks B yang dihasilkan sederetan transformasi elementer H 3 (-), H (), H, K 4 (), K 3 ().. Maka matriks B yang digunakan adalah: 4.MATRIKS TRANSFORMASI LINIER UMUM Misalkan A adalah suatu matriks berorde m n. Jika notasi matriks digunakan untuk vektor di R m dan R n, maka dapat didefinisikan suatu fungsi T: R n R m dengan T(x) = Ax Jika x adalah matriks n x, maka hasil kali Ax adalah matriks m x ; jadi T memetakan R n ke dalam R m dan T linier *teorema Jika T: R n R m adalah transformasi linier, dan jika e, e,, en adalah basis baku untuk R n, maka T adalah perkilaan oleh A atau T(x) = Ax dimana A adalah matriks yang mempunyai vektor kolom T(e), T(e),.., T(e3)

5 CONTOH Carilah matriks baku (A) untuk tranformasi T: R 3 R yang didefinisikan oleh T(x) = (x+x, x+x3), untuk setiap x = (x, x, x3) dalam R n Jawab T: R 3 R Basis baku dari R 3 adalah: e = (, 0, 0) T(e) = ( + 0, 0 + 0) = (, 0) e = (0,, 0) T(e) = (0 +, + 0) = (, ) e = (0, 0, ) T(e3) = (0 + 0, 0 + ) = (0, ) Maka matriks A nya adalah vektor kolom bentukan dari T(e), T(e), dan T(e3), yaitu Buktikan jawaban tersebut! SOAL Misalkan T: R 3 R adalah transformasi matriks, dan misalkan: T(,0,0) = (,) T(0,,0) = (3,0) T(0,0,) = (4, -7) Hitunglah: a. Matriks transformasinya b. T(, 3, 8) c. T(x, y, z)

6 5.KERNEL DAN JANGKAUAN Jika T: V W adalah transformasi linier, maka himpunan vektor di V yang dipetakan ke 0, dinamakan dengan kernel (atau ruang nol) dari T. himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(t). Hipunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Kernel dan jankauan pada matrix transformasi Jika TA : Rn Rm adalah perkalian matrix A mxn maka : Kernel dari TA ruang nol A Jangkauan dari TA ruang kolom pada A Kernel dan jankauan pada transformasi Nol Anggap T : V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor pada V ke 0 ker(t) = V Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada V Ker(T) = {0} Kernel dan jangkauan pada Operator indentitas Jika I:V V adalah operator identita Dimana I(v) = v untuk semua vektor pada V, setiap vektor pada V merupakan bayangan dari suatu vektor,yaitu vektor itu sendiri R(I ) = V. Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0 adalah 0 ker(i ) = {0}. SIFAT TRANSFORMASI LINIER Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka T(0) = 0 T(-v) = -T(v) untuk semua v di V T(v-w) = T(v) T(w) untuk semua v dan w di V

7 RANK DAN NULITAS Jika T:V W adalah transformasi linier, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T, dan dimensi kernel dinamakan nulitas T Jika T:V W adalah trasnformasi linier, maka 6.KESERUPAAN Kernel dari T adalah sub-ruang dari V Jangkauan dari T adalah subruang dari W Jika L adalah transpormasi linieryang memetakkan rung vektor V berdmensi n kedalam dirinya sndri, maka lambang matriks dari L akan bergantung pada basis terurut yang diplih untuk p. Dengan menggunakan basis basis yang berbeda, maka di mugkinkan untuk melambangkan l dengan matriks matriks n x n yang berbeda. Kita mulai dengan meninjau satu contoh di dalam R. misalkan L adalah transpormasi linieryang memetakan R kedalam dirinya sendiri yang di definisikan oleh L (x) = (x, x + x ) r Karena L(e ) = ( ) dan L(e ) = ( 0 ) Maka lambang matrik dari L relatif terhadap { e, e } adalah A = ( 0 ) Jika kita menggunaka basis yang berbeda utk R, lambang matriks dari L akan berubah sebagai conyoh kita akan mengguakan u = ( ) dan u = ( ) untuk sebuah basis maka untuk menetukan lambang matriks dari L relaatif terhadap [u, u ], kita harus menentukan L(u ), L (u ) dan menuskan vektor vektor in sebagai kombinasi linier dari u dan u. Kita dapat menggunakan matrks A ntuk menentukan L(u ), L (u ). L(u ) = Au = ( 0 ) ( ) = ( )

8 L(u ) = Au = ( 0 ) ( ) = ( 0 ) Untuk menyataakan vektor-vektor ini dalam u dan u, kita menggunakan matriks transisi untuk mengubah basis terurt [e, e] menjadi [u, u ], Marilah kita hitung matriks transisi dari [u, u ], ke V [ e, e] sederhana dapat di lihat di bawah ini U = (u + u ) = ( ) Matriks transisi dari [e, e] ke [u, u ] jadi U = [ ] untuk menentukan koordinat-koordinat dari L(u ) dan L (u ) relatif terhadap [u, u ] kalikan vektor-vektor ini dengan U L(u ) = U Au = [ L(u ) = U Au = [ ] = ( 0 ) ] 0 = ( )

9 Daftar Pustaka servletjsp/#respond