TE Teknik Numerik Sistem Linear. Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Transkripsi

1 TE9467 Teknik Numerik Sistem Linear Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember

2 O U T L I N E OBJEKTIF TEORI 3 CONTOH 4 SIMPULAN 5 LATIHAN

3 OBJEKTIF Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu:. Menghitung hasil operator linear pada R untuk unit square. Menginterpretasikan efek perkalian matriks ang ekuivalen melalui operasi terurut ang sesuai melalui operator refleksi, ekspansi (kontraksi) dan shear.

4 TEORI Pendahuluan Operator linear pada R memiliki banak aplikasi dalam berbagai bidang seperti komputer grafis dan robotika. Efek perkalian dengan matriks dapat dijelaskan melalui operasi terurut ang sesuai meliputi operator refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.

5 TEORI Geometri Operator Linear pada R Operator T: R R merupakan matriks standar A a c b d dan T a c b d a + b c + d dua interpretasi: T memetakan garis pada garis T memetakan titik pada titik

6 TEORI Geometri Operator Linear pada R Operator Matriks standar Efek pada Refleksi pada sumbu - (,) (-,) Refleksi pada sumbu - Refleksi pada garis (,) (,) (, -) (, ) Rotasi berlawanan arah jarum jam sebesar θ cosθ sinθ sinθ cosθ (,) (cos θ - sin θ, sin θ + cos θ) θ

7 TEORI Ekspansi dan Kompresi Operator T: R R merupakan ekspansi (k>) atau kompresi (<k<) dalam arah dengan faktor k Matriks standar T: k (,) (/,) (,) unit square kompresi k / ekspansi k Matriks standar T untuk ekspansi (kompresi) arah dengan faktor k : k

8 TEORI Shear Operator T: R R merupakan shear dalam arah dengan faktor k Matriks standar T: k (,) (+k, ) (+k, ) unit square k > k < Matriks standar T untuk shear arah dengan faktor k : k

9 TEORI Hubungan antara Operator dengan Matriks Elementer Operator Matriks standar Operasi baris (matriks elementer) Shear arah- k Tambahkan k kali baris pada baris Shear arah- k Tambahkan k kali baris pada baris Refleksi pada garis Tukarkan baris dengan baris Kompresi (ekspansi) arah- dan arah- k k Kalikan satu baris dengan faktor k

10 TEORI Sifat Geometris Operator Linear pada R Teorema: jika T: R R merupakan perkalian dengan matriks A dapat dibalik, maka efek geometris dari T adalah sama dengan suksesi ang sesuai dari operator shear, kompresi, ekspansi dan refleksi Matriks A adalah ekuivalen dengan perkalian dari matriks elementer (invers matriks elementer adalah matriks elementer) A E E E3 Ek

11 CONTOH Dapatkan matriks transformasi dari R ke R, a) shears dengan faktor dalam arah dilanjutkan dengan refleksi pada garis b) refleksi pada garis dilanjutkan dengan shears dengan faktor dalam arah

12 a) shears diikuti dengan refleksi Matriks standar untuk shears dalam arah dengan faktor A Matriks standar untuk refleksi pada garis A A A b) refleksi diikuti dengan shears A A CONTOH Objektif

13 CONTOH (,) (,) (3, ) (, 3) (,) (3, )

14 CONTOH Jelaskan efek perkalian dengan matriks diagonal A melalui operator ekspansi dan kompresi A k k Jawab: A k k k k Perkalian dengan A adalah ekuivalen dengan ) ekspansi (kompresi) dengan faktor k dalam arah ) ekspansi (kompresi) dengan faktor k dalam arah

15 CONTOH 3 Natakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut. A 3 4

16 CONTOH 3 Objektif Matriks A direduksi menjadi matriks I sebagai berikut: b / -3b +b -b /5 -b +b 3 5 matriks elementer 3 5 invers matriks elementer

17 CONTOH 3 Objektif Invers matriks elementer E 3 E 5 5 E 3 E 4 operator linear ) shear faktor arah- ) ekspansi faktor 5 arah- 3) refleksi sumbu- 4) shear faktor 3 arah- 5) ekspansi faktor arah- 4 3 E E E E A

18 SIMPULAN Geometri Operator Linear. Geometri operator linear dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan garis pada garis dan titik ke titik. Efek perkalian dengan matriks dapat dinatakan melalui beberapa operasi terurut ang tepat dalam operasi refleksi, ekspansi (kompresi) dan shear.

19 SIMPULAN LATIHAN Dapatkan matriks transformasi dari R ke R, a) refleksi pada sumbu dilanjutkan dengan shear dengan faktor 3 dalam arah- b) Kompresi dengan faktor ½ dalam arah diikuti dengan ekspansi dengan faktor 5 dalam arah

20 LATIHAN Natakan matriks A sebagai perkalian matriks elementer, kemudian gambarkan efek geometri dari perkalian dengan matriks A tersebut. A 4 3 6

21