PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO"

Transkripsi

1 PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

2 KONTRAK PEMBELAJARAN ALJABAR LINIER 2 MKK Semester IV / 2 SKS Program Studi Pendidikan Matematika Oleh : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Universitas Veteran Bangun Nusantara Sukoharjo Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

3 I. Identitas Mata Kuliah Nama Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Matakuliah SKS Semester Prodi Dosen : MKK : 2 SKS : IV : Pendidikan Matematika : Annisa Prima Exacta, M.Pd. II. Manfaat Matakuliah Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks dan transformasi linear dalam menyelesaikan permasalahan, memahami pengertian teorema spektral dan bentuk kuadratik, memahami pengertian bentuk Kanonik Jordan, dan memiliki pengetahuan untuk dapat menggunakan konsep transformasi linear, teorema Spektral, bentuk kuadratik dan bentuk Kanonik Jordan pada persoalan-persoalan yang berkaitan dengan ilmu-ilmu matematika atau ilmu-ilmu lainnya. III. Deskripsi Matakuliah Dalam perkuliahan ini dibahas: 1. Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal. 2. Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier. 3. Nilai dan vektor eigen IV. Kompetensi Dasar dan Indikator Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya

4 maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. KD 1 : Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian Indikator : Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks. KD 2 : menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektorvektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator : 1. Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 2. Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 4. Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. KD 3 : Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator :. 1. Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. 2. Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. KD 4 : Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. Indikator : 1. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. 2. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product.

5 3. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. KD 5 : Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 1. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 3. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. KD 6 : Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. KD 7 : Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung dengan menggunakan teorema Caely-hamilton Indikator : Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung menggunakan teorema Caely-hamilton. A e dengan A e V. Organisasi Materi a. Ruang-ruang vektor 1) Ruang vektor 2) Ruang vektor bagian 3) Ruang baris 4) Ruang kolom

6 b. Ruang Vektor 1) Bebas linier 2) Bergantung linier 3) Kombinasi linier 4) Basis dan dimensi c. Transformasi Linier 1) Transformasi linier 2) Koordinat relatif 3) Perubahan basis 4) Matriks transformasi linier 5) Ruang peta 6) Ruang nol d. Vektor di R 2 dan R 3 1) Ruang inner product 2) Panjang vektor 3) Jarak antar vektor 4) Sudut antara dua vektor 5) Unit vektor 6) Vektor yang ortogonal 7) Ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt e. Nilai Eigen 1) Eigenvalues dan eigen vektor 2) Similarita 3) Pendiagonalan matriks transformasi linier f. 1) Relasi kongruensi 2) Bentuk bilinier 3) Bentuk kuadrat g. Determinan 1) Bentuk kanonik jordan 2) Teorema Caley Hamilton

7 VI. Pendekatan dan Strategi Pembelajaran Perkuliahan diselenggarakan dengan perpaduan teori (metode ceramah, diskusi, tanya jawab dan studi kasus). Diskusi dilakukan secara kelompok, tanya jawab dan studi kasus dilaksanakan di setiap akhir perkuliahan. VII. Sumber Belajar a. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. b. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. c. Modul Aljabar Linier 2 VIII. Penilaian dan Kriteria Pembelajaran JENIS TES BOBOT a. Presensi, sikap, perilaku, keaktifan 30% b. Diskusi, tanya jawab, studi kasus 20% c. UTS 20% d. UAS 30% IX. Jadwal Pembelajaran MINGGU KE- MATERI 1 Ruang vektor, ruang vektor bagian 2 Ruang baris dan ruang kolom 3 Bebas linier, bergantung linier, kombinasi linier 4 Basis dan dimensi 5 Transformasi linier, koordinat relatif, perubahan basis 6 Matriks transformasi linier, ruang peta, ruang nol

8 7 Ruang inner product, panjang vektor, jarak antar vektor, sudut antara dua vektor, unit vektor. 8 Vektor yang ortogonal, ortogonalisasi vektor dengan Gram-Schmidt 9 Ujian Tengah Semester 10 Eigenvalues dan eigen vektor, similarita 11 Pendiagonalan matriks transformasi linier 12 Relasi kongruensi 13 Bentuk bilinier, bentuk kuadrat 14 Bentuk kanonik jordan, teorema Caley Hamilton 15 Review Materi 16 Ujian Akhir Semester

9 SILABUS MATA KULIAH Program Studi : Pendidikan Matematika Kode Mata Kuliah : MKK Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Bobot : 2 SKS Semester : IV Mata Kuliah Prasyarat : Aljabar Linier 1 Deskripsi Mata Kuliah : Dalam perkuliahan ini dibahas: (1) Ruang euclides, ruang vektor umum, ruang bagian, kebebasan linier, basis dan dimensi, ruang baris dan ruang kolom matriks, rank, penerapan terhadap pencarian basis, ruang hasil kali dalam, dan basis orthonormal; (2) Transformasi linier: sifat transformasi linier, kernel dan jangkauan transformasi linier dari Rn ke Rm, geometri transformasi linier dari R2 ke R2, matriks transformasi linier; dan (3) Nilai dan vektor eigen. Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar Indikator Pengalaman Belajar Materi Pokok 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian. Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor dan ruang bagian. Ruang vektor Ruang vektor bagian Ruang baris Ruang kolom Alokasi Waktu (menit) Sumber/Bahan Ajar/Media 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, Penilaian/ evaluasi Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

10 matriks. 2. Menunjukkan 5. Menentukan vektor-vektor himpunan vektor yang bebas linier yang bebas linier dari suatu ruang 6. Menentukan himpunan vektor vektor, vektorvektor yang saling yang bergantung linier. bergantung linier 7. Menemukan dan dapat kombinasi linier dari mencari suatu vektor kombinasinya, terhadap vektorvektor serta menjelaskan lainnya. konsep basis dan 8. Mencari dan dimensi ruang menemukan basis vektor. dan dimensi dari suatu ruang vektor. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang vektor-vektor yang saling bergantung linier. Mendiskusikan persoalan tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. Mendiskusikan persoalan mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. Bebas linier Bergantung linier Kombinasi linier Basis dan dimensi whiteboard 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

11 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasika n ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. Mampu menentukan matriks transformasi linier. Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product. Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal ruang dengan dari vektor proses Mengkaji tentang konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor Menkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. Mendiskusikan persoalan tentang panjang dan sudut Transformasi linier Koordinat relatif Perubahan basis Matriks transformasi linier Ruang peta Ruang nol Ruang inner product Panjang vektor Jarak antar vektor Sudut antara dua vektor Unit vektor Vektor yang ortogonal Ortogonalisas 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar. Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

12 ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi matriks linier, menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. serta Gram-Schmidt. 4. Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 5. Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product Mendiskusikan persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier. menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang similaritas matriks transformasi linier. Mendiskusikan persoalan tentang pendiagonalan matriks transformasi linier. i vektor dengan Gram- Schmidt Eigenvalues dan eigen vektor Similaritas Pendiagonala n matriks transformasi linier 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

13 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Mendiskusikan persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Relasi kongruensi Bentuk bilinier Bentuk kuadrat 4 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar. Media: LCD, whiteboard Dapat bentuk mencari kanonik jordan dari matriks dengan menghitung dengan menggunakan teorema Caelyhamilton A e 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks A dengan menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. Mendiskusikan persoalan tentang bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. Bentuk kanonik jordan Teorema Caley Hamilton 2 x 50 Sumber: Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Modul Aljabar Linier 2 Media: LCD, whiteboard Partisipasi dalam diskusi Latihan soal-soal di bahan ajar.

14 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 1 dan 2 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 1. Menjelaskan konsep-konsep tentang ruang vektor, ruang vektor bagian. Indikator : 1.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap suatu himpunan dan operasi padanya termasuk grup, field, ruang vektor, dan ruang vektor bagian, serta menunjukkan ruang baris dan ruang kolom pada matriks. A. MATERI RUANG VEKTOR Misalkan V sebarang himpunan benda yang operasinya didefinisikan, yakni penambahhan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut dipahami untuk mengasosiasikan suatu aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang dinamakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar diartikan aturan untuk mengasosiasikan baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, dan w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka dinamakan V sebagai ruang vektor (vector space) dan bendabenda pada V dinamakan vektor. 1. Jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u v berada di V 2. u v v u u v w u v w Ada suatu benda 0 di V sehingga 0u u 0 u untuk semua u di V 5. Untuk setiap u di V, maka ada suatu benda u di V yang dinamakan negatif u sehingga u u u u 0 6. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V k u v ku kv k lu ku lu 9. k lu kl u

15 10. 1u u Sub Ruang Vektor Misalkan W himpunan bagian dari ruang vektor V maka W disebut sub ruang vektor (subspace vector) dari V, bila vektor-vector didalam W memenuhi sifat penjumlahan dan perkalian skalar dari V. Teorema 1.4 Jika W adalah himpunan dari satu atau lebih vektor dari suatu ruang vektor V, maka W adalah subruang dari V jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut berlaku. 1. Jika u dan v adalah vektor-vektor pada W, maka u v terletak di W 2. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor pada W, maka ku berada di W. Ruang Baris dan Ruang Kolom Misal matriks A berukuran mxn a11 a12 a1 n a21 a22 a 2n A am1 am2 amn Vektor baris: r a a a n r a a a n r a a a m m1 m2 mn Sub ruang R n yang direntang oleh vektor baris disebut ruang baris (row space) dari A Vektor kolom: a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2n c1, c2,, cn 1m 1 1m 2 1mn Sub ruang R n yang direntang oleh vektor kolom disebut ruang kolom (colomn space) dari A B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok.

16 C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-1 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan kontrak perkuliahan 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang vektor dan ruang vektor bagian. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang vektor dan ruang vektor bagian. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-2 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep ruang baris dan ruang kolom. Alokasi waktu 15 menit

17 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan ruang baris dan ruang kolom. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai ruang baris dan ruang kolom. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR d. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. e. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. f. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

18 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 3 dan 4 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 2. Menunjukkan vektor-vektor yang bebas linier dari suatu ruang vektor, vektor-vektor yang saling bergantung linier dan dapat mencari kombinasinya, serta menjelaskan konsep basis dan dimensi ruang vektor. Indikator : 2.1 Menentukan himpunan vektor yang bebas linier 2.2 Menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 2.3 Menemukan kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor-vektor lainnya. 2.4 Mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Vektor w dikatakan kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v2,..., v r bila vektor w dapat dinyatakan sebagai persamaan vektor (SPL) berikut: w k1v 1 k2v2 krvr, di mana k1, k2,, k r adalah skalar. Merentang Misalkan v1, v2,, v r di V dan tiap-tiap vektor tersebut kombinasi linear dari v1, v2,, vr maka vektor tersebut dikatakan merentang ruang V

19 Bebas Linier Jika S v v v 1, 2,, r adalah himpunan vektor dan suatu persamaan vektor: k v k v k v r r 0 Persamaan tersebut pasti mempunyai satu pemecahan (Pemecahan trivial) yaitu: k1 k2 k3 k r 0 Jika demikian maka vektor S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent) dan jika ada pemecahan lain (pemecahan tak trivial), maka S dinamakan tak bebas linear (linearly independent). Basis dan Dimensi Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S v v v,,, r 1 2 berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika: a. S bebas linear b. S merentang V Contoh 1.10 merupakan himpunan Apakah himpunan S v, v, v di mana v 1,2,1 ; v 2,9,0 ; v 3,3, merupakan basis untuk R 3? Solusi: a. Buktikan S bebas linear syarat: punya pemecahan k1 k2 k3 0 k1v 1 k2v2 k3v3 0 k1 2k2 3k SPL 2k1 9k2 3k3 0 A k1 4k b. Buktikan S merentang R 3 syarat : kominasi linear Konsisten/tidak? Det (A) 0 A dapat dibalik (punya invers) S merentang R 3 Kesimpulan: S adalah sebuah basis untuk R 3 Punya invers Det (A) 0 Definisi: Dimensi suatu ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai banyaknya vektor pada basis untuk V. Teorema: 1. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V 2. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor yang merentang pada suatu ruang V yang berdimensi n, maka S adalah suatu basis untuk V 3. Jika S v1, v2,, vn adalah suatu himpunan n vektor bebas linear pada suatu ruang V yang berdimensi n, dan r n, maka S adalah dapat diperbesar menjadi basis untuk

20 V; yakni vektor-vektor v,, 1 v untuk V r n sehingga v1, v2,, vr, vr 1, vn B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-3 adalah suatu basis No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bebas linier. 2. Menjelaskan tentang cara menentukan himpunan vektor yang bergantung linier. 3. Mengkaji tentang kombinasi linier dari suatu vektor terhadap vektor lainnya. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 10 menit 60 menit 50 menit 15 menit 15 menit

21 Pertemuan ke-4 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan tentang cara mencari dan menemukan basis dan dimensi dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan mengenai vektor yang bebas linier, vektor yang bergantung linier, dan kombinasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 10 menit 50 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

22 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 5 dan 6 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 3. Menjelasakan konsep transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, serta menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. Indikator : 3.1 Mampu melakukan evaluasi terhadap beberapa bentuk transformasi yang merupakan transformasi linier. 3.2 Mampu menentukan matriks transformasi linier. 3.3 Mampu menemukan basis dan dimensi dari ruang peta dan ruang nol. A. MATERI RUANG VEKTOR Kombinasi Linier Jika F : V W adalah suatu fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W, maka F dikatakan transformasi linear (linear transformation) jika F u v F u F v untuk semua vektor u dan v di V F ku kf u untuk semua vektor u di V dan semua skalar k Sifat Transformasi Linear; Kernel dan Jangkauan Jika T : V W adalah transformasi linear, maka himpunan vektor di V yang dipetakan T ke dalam 0 dinamakan kernel (atau ruang nol) dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh ker T. Himpunan semua vektor di W yang merupakan bayangan di bawah T dari paling sedikit satu vektor di V dinamakan jangkauan dari T; himpunan tersebut dinyatakan oleh RT.

23 Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka T T v T v untuk semua v di V 3. T v w T v T w untuk semua v dan w di V Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dinamakan nulitas (nullity) T. Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear, maka 1. Kernel dari T adalah subruang dari V 2. Jang/kauan dari T adalah subruang dari W Teorema: Jika T : V W adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada suatu ruang vektor W, maka: rank dari T nulitas dari T n Teorema: Jika A adalah matriks m x n maka dimensi ruang pemecahan dari Ax 0 adalah: n rank A Misalkan v1, v2,, v n adalah basis untuk ruang vektor v dan T : V W adalah transformasi linear. Jika bayangan vektor basisnya diketahui yaitu: T v1, T v2,, T v n Maka kita dapat memperoleh bayangan dulu v dalam basis tersebut, misalkan: v k v k v k v Tv dari sebarang vektor v dengan menyatakan n n Dan kemudian dapat ditulis: T v k T v k T v k T v n n B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-5 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. Alokasi waktu 5 menit 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Mengkaji tentang konsep 50 menit

24 transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi. 2. Menjelaskan konsep perubahan basis dari suatu ruang vektor. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai transformasi linier antar ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 70 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-6 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Mendiskusikan persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor b. Elaborasi Alokasi waktu 15 menit 45 menit

25 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang ruang vektor, matriks transformasi linier dari suatu transformasi, dan perubahan basis dari suatu ruang vektor. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

26 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 7 dan 8 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 4. Memahami konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product, menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. Indikator : 4.1 Mampu menghitung panjang dan sudut dari vektor-vektor. 4.2 Mampu menentukan matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 4.3 Mampu menentukan basis ortogonal dan basis ortonormal dari ruang vektor dengan proses Gram-Schmidt. A. MATERI RUANG VEKTOR di R 2 dan R 3 Ruang Hasil Kali Dalam ( Ruang Inner Product) Hasil kali dalam atau perkalian dalam adalah pemetaan suatu bilangan rill uv, pada setiap pasangan vektor u dan v di ruang V yang memenuhi keempat aksioma berikut: 1. u, v v, u simetris 2. u v, w u, w v, w aditivitas 3. ku, v k u, v homogenitas 4. vv, 0; dan vv, 0 jhj v 0 positivitas Suatu ruang vektor yang dilengkapi dengan perkalian dalam (memenuhi 4 aksioma) disebut ruang perkalian dalam V u, v

27 Ketaksamaan Cauchy-Scwarz Jika u dan v adalah vektor-vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam V maka berlaku: 2 u, v u, u v, v Panjang, Jarak dan Sudut Dalam Ruang Perkalian Dalam Misalkan u dan v vektor-vektor di dalam ruang hasil kali dalam maka panjang (norma) dari vektor u didefinisikan: u d u, v u v Jadi, jika dan v v v v 1 2 u, u dan jarak vektor u dan v didefinisikan: 1, 2,..., n adalah vektor di R n maka: , 1 2. n u u u u u u ,, n n d u v u v u v u v u v u v u v Dari ketaksamaan CHAUCHY-SCHWARZ jika u dan v vektor-vektor pada dalam ruang hasil kali dalam, maka: 2 u, v u, u v, v u, v u v 2 uv, 1 u v u, v u, v 1 1 cos dan 0 u v u v didefinisikan sebagai sudut di antara vektor u dan vektor v. Teorema: Jika V adalah ruang hasil kali dalam, maka norma memenuhi semua sifat yang didaftarkan pada tabel di atas 1 2 u u, v dan jarak d u, v u v Definisi: Dalam ruang hasil kali dalam, dua vektor u dan v disebut orthogonal jika uv, 0. Selanjutnya, jika u orthogonal terhadap setiap vektor sebarang di dalam himpunan W, maka: u orthogonal kepada W. Teorema (Teorema Pythagoras yang digeneralisasikan): Jika u dan v adalah vektor-vektor orthogonal pada ruang hasil kali dalam, maka: u v u v

28 Basis Orthonormal dan Proses Gram Schmidt Suatu himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan orthogonal jika semua pasangan vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut orthogonal. Selanjutnya himpunan orthogonal yang setiap vektornya mempunyai norma 1 dinamakan orthonormal. Contoh: Diketahui v1 0,1,0, v2,0,, v3,0, Apakah S v 1, v2, v3 di ruang hasil kali dalam Euclidis orthonormal? Solusi: Cek orthogonalitas masing-masing vektor v, v v, v v, v Cek jarak : v1 v2 v3 1 Jika v adalah vektor taknol pada ruang hasil kali dalam, maka dapat dibuat mempunyai panjang (norma) 1 dengan jalan menormalisasikan vektor v yaitu mengalikan vektor v taknol dengan kebalikan panjangnya. 1 v v Misal: v 1 1,1,1 1,1, ,, v Teorema: Jika S v1, v2,, vn adalah baris orthonormal untuk ruang hasil kali dalam V dan u adalah sebarang vektor dalam V maka: u u, v1 v1 u, v2 v2 u, vn vn atau u sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor di dalam S Bukti: S v1, v2, v3 : basis u k1v 1 k2v2 knvn Harus dibuktikan: k u, v, i 1,2,, n u, v k v k v k v, v i n n i i 1 1 i 2 2 i n n i i k v, v k v, v k v, v * Karena S: orthonormal v, v v 1 i i i v, v 0 jika j 1 i j Sehingga persamaan (*) dapat disederhanakan menjadi u, vi k1 (terbukti) Contoh: v 0,1,0, v 4/5,0,3/5, v 3/5,0,4/5 Misal:

29 A. Apakah S v1, v2, v3 B. Nyatakan u 1,1,1 sebagai kombinasi linear vektor-vektor S basis orthonormal untuk R 3 dengan hasil kali dalam Euclidis? Solusi: v, v v, v v, v 0 a v1 v2 v3 1 k u, v 1, k u, v 1, k u, v 7 n u v1 v2 v3 5 5 b ,1,1 0,1,0,0,,0, Teorema: Jika S v1, v2,, vn adalah himpunan orthogonal vektor taknol di ruang hasil kali dalam, maka S bebas linear Bukti S bebas linear k1v 1 k2v2 k3v3 k v 0 Harus dibuktikan: k1 k2 k n 0 k1v 1 k2v2 k3v3 knvn, vi 0 k v, v k v, v k v, v k v, v i 2 2 i 3 3 i n n i Karena: i j v, v 0 i j v, v 0 i i j j n n Sehingga persamaan di atas menjadi k v, v 0 k 0, i 1,2, n S bebas linear i i j i Contoh: Terdapat himpunan vektor v1 0,1,0, v2,0,, v3,0, S v1, v2, v3 membentuk himpunan orthonormal terhadap hasil kali R 3 sehingga himpunan vektor tersebut bebas linear k k k. Cek! Teorema: Misalkan V adalah ruang hasil kali dalam dan S v1, v2,, vr adalah himpunan orthonormal dari vektor-vektor V. Jika W menyatakan ruang yang direntang oleh v1, v2,, v r, maka untuk setiap vektor u dalam V dapat dinyatakan sebagai: u w1 w2

30 Di mana w 1 terletak di W dan w 2 orthogonal terhadap W dengan memisalkan: w u, v v u, v v u, v v * r r dan w u u, v v u, v v u, v v ** r r Bukti u w 2 w 1 Gambar Proyeksi Orthogonal pada u dan W dan komponen u orthogonal terhadap W w 1 = proyeksi orthogonal u pada W (proy w u) w 2 = proyeksi u yang orthogonal terhadap W (u-proy w u) Jadi (*) dan (**) menjadi Proy u u, v v u, v v u, v v w r r u proy u u u, v v u, v v u, u v w r r Contoh: Misalkan R 3 mempunyai ruang hasil kali dalam Euclidis dan W adalah subruang yang 4 3 direntang oleh vektor-vektor orthonormal: v1 0,1,0, v2,0, 5 5. Tentukan proyeksi orthogonal u pada W dan komponen u yang orthogonal terhadap W. Solusi: Proyeksi orthogonal 1,1,1 u pada W adalah: Proy u u, v v u w 1 1, v v ,1,0,0, ,1, Komponen u yang orthogonal terhadap w adalah: 4 3 u proy wu 1,1,1,1, ,0, cek apakah u proy w u orthogonal terhadap v1, v 2? W

31 v 2 u 2 W 1 u proy u, v u proy u, v 0 w 1 w 2 Teorema: Setiap ruang hasil kali dalam berdimensi berhingga taknol mempunyai satu basis orthonormal. Bukti: Misalkan S u1, u2, u3,, un adalah sebarang basis untuk V yang merupakan sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n taknol, akan dibangun basis orthonormal v1, v2, v3,, v n untuk V dengan langkah-langkah sebagai berikut: Langkah 1 Andaikan v u 1 1 v u1 1 Langkah 2 Misalkan w 1 sub ruang yang direntang untuk v 1 Mencari komponen u 2 yang tegak lurus (orthogonal) pada w 1 u Proy u u u, v v 2 w Normalisasi u 2 maka didapat v 2 u2 proywu2 v2 v2 1 u proy u 2 w 2 proy w u 1 2 v 1 proy w u 1 2 Gambar Normalisasi Komponen u 2 Langkah 3: Misalkan w 2 pada sub ruang yang direntang untuk v 1 dan v 2 Komponen u3 w2 u Proy u u u, v v u, v v 3 w Normalisasi u 3 maka didapat v 3 u3 u3, v1 v1 u3, v2 v2 v3 v3 1 u u, v v u, v v u proy w u u 1 v 1 v 2 proy w2u2 W 2 Gambar Normalisasi Komponen u 3

32 Dengan meneruskannya dalam cara ini (analog dengan langkah 2 dan 3 v4, v5,, v n akan didapat himpunan orthonormal dari vektor-vektor v1, v2, v3,, vn di ruang hasil kali dalam V berdimensi n dan bebas linear. basis orthonormal untuk V Kesimpulan: Proses pembentukan langkah demi langkah untuk mengubah basis ke basis orthonormal disebut proses Gram-Schmid B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-7 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Mengkaji tentang konsep panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai panjang dan sudut dari vektor-vektor, matriks yang mempresentasikan ruang inner product. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. Alokasi waktu 5 menit 50 menit 70 menit 15 menit

33 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 10 menit Pertemuan ke-6 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Menjelaskan proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, serta melakukan ortogonalisasi basis ruang vektor dengan proses Gram- Schmidt. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 45 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop

34 E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

35 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 10 dan 11 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 5. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier, serta menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. Indikator : 5.1 Dapat mencari eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 5.2 Dapat menemukan matriks yang similaritas dengan matriks transformasi linier. 5.3 Dapat mendiagonalkan matriks transformasi linier. A. MATERI NILAI EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam R n dinamakan vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yakni: Ax x Untuk suatu skalar. Skalar dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A dan x dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan. Teorema: Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain: 1. adalah nilai eigen dari A 2. Sistem persamaan I A x 0 mempunyai pemecahan taktrivial 3. Ada vektor tak nol x di dalam R n sehingga Ax x 4. adalah pemecahaan riil dari persamaan karakteristik dari I A x 0

36 Diagonalisasi Matriks kuadrat A dinamakan didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat matriks P yang 1 dapat dibalik sehingga P AP diagonal, matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. Teorema: Jika A adalah matriks nn, ' maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen satu sama lain. 1. A dapat didiagonalisasi 2. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Teorema: Jika v1, v2,, v k adalah vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda 1, 2,, k maka v1, v2,, v k adalah himpunan bebas linear Teorema: Jika matriks A yang berukuran n x n mempunyai n nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalisasi. Prosedur untuk mendiagonalisasi matriks: Teorema sebelumnya menjamin bahwa suatu matriks A berukuran n x n, dengan v vektor eigen yang bebas linear dapat didiagonalkan, dan buktinya memberikan metode berikut ini untuk mendiagonalkan A. Langkah 1: Cari n vektor eigen yang bebas secara linear dari A, katakanlah P1, P1, P3, P n Langkah 2: Bentuk matriks P yang mempunyai P1, P1, P3, P n sebagai vektor kolom-kolomnya Langkah 3: 1 Bentuk matriks P AP akan menjadi matriks diagonal dengan P1, P1, P3, P n berturutturut sebagai anggota diagonalnya, di mana i adalah nilai eigen yang berpadanan dengan P untuk i 1, 2,3, n i Contoh: 3 2 Carilah nilai-nilai eigen dari matriks A 1 0 Jawab: A I Polinomial karakteristik daria; det I A det Persamaan karakteritik dari A Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah 2, 1

37 B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-10 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep eigenvalues dan eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier. 2. Menjelaskan konsep-konsep similaritas matriks transformasi linier. b. Elaborasi 1. Mahasiswa dibagi menjadi beberapa kelompok secara heterogen. 2. Setiap kelompok diberikan persoalan mengenai eigenvalues, eigen vektor dari suatu matriks transformasi linier, dan similaritas matriks transformasi linier. 3. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi perkelompok. 4. Dosen memilih secara acak salah satu perwakilan kelompok untuk mempresen-tasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 5 menit 50 menit 70 menit 15 menit 10 menit

38 Pertemuan ke-11 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi pada pertemuan sebelumnya. 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi Menjelaskan konsep pendiagonalan matriks transformasi linier. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan tentang proyeksi ortogonal dari suatu vektor, pendiagonalan matriks transformasi linier. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 45 menit 60 menit 20 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

39 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 12 dan 13 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 6. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi, bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. Indikator : 6.1 Dapat menentukan relasi kongruen, mencari bentuk bilinear, dan bentuk kuadrat. A. MATERI 1. Relasi Kongruensi 2. Bentuk Bilinier 3. Bentuk Kuadrat B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-12 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Memberikan contoh persoalan tentang relasi kongruensi antara matriks transformasi. Alokasi waktu 15 menit 60 menit

40 b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai relasi kongruensi antara matriks transformasi. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 50 menit 15 menit 10 menit Pertemuan ke-13 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Mengingat kembali materi sebelumnya 2. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Memberikan penjelasan tentang konsep bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Memberikan contoh persoalan yang berkaitan dengan bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk bilinier, dan bentuk kuadrat. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. Alokasi waktu 15 menit 60 menit 50 menit 15 menit 10 menit

41 D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

42 RENCANA MUTU PERKULIAHAN (RMP) Nama Dosen : Annisa Prima Exacta, M.Pd. Fakultas : Keguruan dan Ilmu Pendidikan Program Studi : Pendidikan Matematika Mata Kuliah : Aljabar Linier 2 Kode Mata Kuliah : MKK Bobot : 2 sks Semester : IV Pertemuan ke- : 14 Standar Kompetensi : Menguasai konsep-konsep aljabar linier dan dapat menggunakannya untuk membantu persoalan-persoalan di berbagai bidang, baik di matematika, ilmu-ilmu lainnya maupun masalah keseharian, terutama masalah-masalah yang bisa dibuat model persamaan liniernya. Kompetensi Dasar : 7. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan Indikator A menghitung e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. : 7.1 Dapat mencari bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung A e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. A. MATERI 1. Bentuk kanonik Jordan 2. Teorema Caley Hamilton B. METODE PEMBELAJARAN Pembelajaran Langsung (Direct Instruction) dan diskusi kelompok. C. LANGKAH PEMBELAJARAN Pertemuan ke-14 No Tahap Kegiatan Pembelajaran 1. Pendahuluan Apersepsi dan motivasi: 1. Memberikan motivasi pada mahasiswa tentang pentingnya mempelajari mata kuliah aljabar linier untuk kehidupan sehari-hari. 2. Penyajian a. Eksplorasi 1. Menjelaskan konsep bentuk kanonik jordan dari matriks dengan A menghitung e dengan menggunakan teorema Caely-hamilton. Alokasi waktu 15 menit 60 menit

43 b. Elaborasi 1. Mahasiswa diberi persoalan baru mengenai bentuk kanonik jordan dari matriks dengan menghitung A e dengan menggunakan teorema Caelyhamilton. 2. Mahasiswa diminta untuk mengerjakan persoalan yang diberikan dengan berdiskusi. 3. Perwakilan mahasiswa mempresentasikan hasil diskusi didepan kelas. c. Eksplanasi Dosen memberikan umpan balik pada hasil diskusi yang dipresentasikan. 3. Penutup Refleksi Dosen bersama mahasiswa membuat rangkuman/ kesimpulan. 50 menit 15 menit 10 menit D. MEDIA PEMBELAJARAN Whiteboard, LCD dan Laptop E. SUMBER BELAJAR 1. Anton, Howard Aljabar Linier Elementer. Jakarta: Erlangga. 2. Budi, Wono Setyo Aljabar Linier. Jakarta: Gramedia. 3. Modul Aljabar Linier 2 F. PENILAIAN Teknik : Hasil diskusi, keaktifan dalam diskusi

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

MA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli

MA Analisis dan Aljabar Teori=4 Praktikum=0 II (angka. 17 Juli INSTITUT TEKNOLOGI KALIMANTAN JURUSAN MATEMATIKA DAN TEKNOLOGI INFORMASI PROGRAM STUDI MATEMATIKA SILABUS MATA KULIAH KODE Rumpun MK BOBOT (sks) SEMESTER Tgl Penyusunan Aljabar Linear ELementer MA Analisis

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pembahasan mendasar mengenai matriks terutama yang berkaitan dengan matriks yang dapat didiagonalisasi telah jelas disajikan dalam referensi yang biasanya digunakan

Lebih terperinci

Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut

Lebih terperinci

Latihan 5: Inner Product Space

Latihan 5: Inner Product Space Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A =

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN disebut vektor eigen dari matriks A = NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN >> DEFINISI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol x pada R n disebut vektor eigen (vektor karakteristik) dari A jika Ax adalah

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline

Lebih terperinci

S I L A B U S. Kode Mata Kuliah : SKS : 3. Dosen Pembimbing : M. Soenarto

S I L A B U S. Kode Mata Kuliah : SKS : 3. Dosen Pembimbing : M. Soenarto 081316373780 S I L A B U S Mata Kuliah : ALJABAR LINIER Kode Mata Kuliah : SKS : 3 Prasyarat : MATEMAA DASAR Dosen Pembimbing : M. Soenarto Prodi / Jenjang : MATEMAA / S1 Buku Sumber : Singapore : Mc-Graw-

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 Berlaku mulai: Genap/2011 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR NOMOR KODE / SKS : 410202051/ 3 SKS PRASYARAT

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER UNIVERSITAS GADJAH MADA FAKULTAS MIPA, JURUSAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI S1 MATEMATIKA Sekip Utara Yogyakarta Buku 1: RPKPS (Rencana Program dan Kegiatan Pembelajaran Semester) ALJABAR LINEAR ELEMENTER

Lebih terperinci

SUMMARY ALJABAR LINEAR

SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan

Lebih terperinci

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 Berlaku mulai: Gasal/2010 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR KODE MATA KULIAH / SKS : 410102042 / 3 SKS MATA

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

BAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks

BAB III MATRIKS HERMITIAN. dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks BAB III MATRIKS HERMITIAN Pada bab ini, akan dibahas beberapa konsep penting dari matriks Hermitian dan konsep-konsep lainnya yang berkaitan dengan matriks Hermitian. Matriks Hermitian merupakan kelas

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26 Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS

DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Buletin Ilmiah Mat Stat dan Terapannya (Bimaster) Volume 04, No 3 (2015), hal 337-346 DIAGONALISASI MATRIKS KOMPLEKS Heronimus Hengki, Helmi, Mariatul Kiftiah INTISARI Matriks kompleks merupakan matriks

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Eigen Value Eigen Vector TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat menghitung eigen value dan eigen vector

Lebih terperinci

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI

DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN INTISARI Buletin Ilmiah Mat. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 02, No. 3 (2013), hal. 183-190 DIAGONALISASI MATRIKS ATAS RING KOMUTATIF DENGAN ELEMEN SATUAN Fidiah Kinanti, Nilamsari Kusumastuti, Evi Noviani

Lebih terperinci

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar

Lebih terperinci

PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH KODE DOSEN : GEOMETRI TRANSFORMASI : MKK632515 : Drs. SUYONO, M.Si. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor

Lebih terperinci

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1

MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1 Mata : MATEMATIKA TEKNIK 1 Jurusan : TEKNIK ELEKTRO SKS : 2 Sks Kode Mata : KD-041205 MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH MATEMATIKA TEKNIK 1 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU 1 Vektor tentang pengertian

Lebih terperinci

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2. SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1 Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Lebih terperinci

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT

KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT KAJIAN MATRIKS JORDAN DAN APLIKASINYA PADA SISTEM LINEAR WAKTU DISKRIT Nama Mahasiswa : Aprilliantiwi NRP : 1207100064 Jurusan : Matematika Dosen Pembimbing : 1 Soleha, SSi, MSi 2 Dian Winda Setyawati,

Lebih terperinci

DESKRIPSI MATA KULIAH MT413 ALJABAR LINEAR LANJUT. Prasyarat : Mahasiswa telah mengikuti mata kuliah Aljabar Linear

DESKRIPSI MATA KULIAH MT413 ALJABAR LINEAR LANJUT. Prasyarat : Mahasiswa telah mengikuti mata kuliah Aljabar Linear DESKRIPSI MATA KULIAH MT41 ALJABAR LINEAR LANJUT SKS Setelah mengikuti perkuliahan ini mahasiswa diharapkan dapat :memahami kembali pengertian matriks dan transformasi linear, dapat penggunakan matriks

Lebih terperinci

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh

3. RUANG VEKTOR. dan jika k adalah sembarang skalar, maka perkalian skalar ku didefinisikan oleh . RUANG VEKTOR. VEKTOR (GEOMETRIK) PENGANTAR Jika n adalah sebah bilangan blat positif maka tpel-terorde (ordered-n-tple) adalah sebah rtan n bilangan riil (a a... a n ). Himpnan sema tpel-terorde dinamakan

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks

Lebih terperinci

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,

Lebih terperinci

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi

Lebih terperinci

MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS E-LEARNINGDENGANAUTHENTIC ASSESSMENT PADA MATA KULIAHALJABAR LINIER PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS JEMBER

MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS E-LEARNINGDENGANAUTHENTIC ASSESSMENT PADA MATA KULIAHALJABAR LINIER PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS JEMBER MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS E-LEARNINGDENGANAUTHENTIC ASSESSMENT PADA MATA KULIAHALJABAR LINIER PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FKIP UNIVERSITAS JEMBER Arika Indah Kristiana 25 Abstrak. Belajar adalah suatu

Lebih terperinci

PM-11 PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN DENGAN MENGOPTIMALKAN MEDIA DAN TEKNOLOGI PADA MATAKULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER

PM-11 PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN DENGAN MENGOPTIMALKAN MEDIA DAN TEKNOLOGI PADA MATAKULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER Kode Makalah PM-11 PENINGKATAN KUALITAS PEMBELAJARAN DENGAN MENGOPTIMALKAN MEDIA DAN TEKNOLOGI PADA MATAKULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER Oleh: R. Sulaiman dan Pradnyo Wijayanti (Jurusan Matematika FMIPA

Lebih terperinci

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,

Lebih terperinci

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Lebih terperinci

METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS

METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS METODE PANGKAT DAN METODE DEFLASI DALAM MENENTUKAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS Arif Prodi Matematika, FST- UINAM Wahyuni Prodi Matematika, FST-UINAM Try Azisah Prodi Matematika, FST-UINAM

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan

Lebih terperinci

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M. RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh: Kelompok 5 1. Nurita Cahyaningtyas (14144100112)

Lebih terperinci

Yang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi

Yang dipelajari. 1. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya 2. Masalah Pendiagonalan. Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi 7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x)

Lebih terperinci

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain : Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional

RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 526 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional Ming gu ke RENCANA KEGIATAN PERKULIAHAN Kode Mata Kuliah : MAA 56 Nama Mata Kuliah : Analisis Fungsional T o p i k S u b T o p i k 1. Ruang Banach - Ruang metrik - Ruang vektor bernorm - Barisan di ruang

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP)

SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) Nama matakuliah : Aljabar Linier Kode matakuliah : MKK 315 Dosen Pengampu : Ega Gradini, M.Sc Diberikan pada : Semester 3 Jumlah sks : 2 SKS Jenis sks Alokasi Waktu Prasyarat

Lebih terperinci

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan

Lebih terperinci

1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata

1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer

Aljabar Linier Elementer Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah

Lebih terperinci

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5

Lebih terperinci

PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : TEORI BILANGAN KODE : MKK206515 DOSEN : JANUAR BUDI ASMARI, S.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci

Program Studi Teknik Mesin S1

Program Studi Teknik Mesin S1 SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : MATEMAA TEKNIK 1 KODE / SKS : IT042220 / 2 SKS Pokok Bahasan Pertemuan dan 1 Vektor : pengertian vektor, operasi aljabar vektor ruang, vektor cross product serta

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 6 Ruang Hasil Kali Dalam Sub Pokok Bahasan Definisi Ruang Hasilkali Dalam Himpunan ortonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

PERANGKAT PEMBELAJARAN

PERANGKAT PEMBELAJARAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : PROGRAM LINEAR KODE : MKK206515 DOSEN : ERIKA LARAS ASTUTININGTYAS, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH KODE DOSEN PENGAMPU : PENILAIAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA : MKK41515 : EDY MULYONO, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

KONTRAK PERKULIAHAN (ALJABAR LINIER)

KONTRAK PERKULIAHAN (ALJABAR LINIER) KONTRAK PERKULIAHAN (ALJABAR LINIER) Bobot SKS : 3 SKS Semester : 4 Hari Pertemuan : 16 Pertemuan Dosen Pengampuh : Dra. Cecil Hiltrimartin, M.Si 1. Deskripsi Mata Kuliah Mata kuliah ini membahas konsep

Lebih terperinci

MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK

MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL. Anis Fitri Lestari. Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK MATRIKS UNITER, SIMILARITAS UNITER DAN MATRIKS NORMAL Anis Fitri Lestari Mahasiswa Universitas Muhammadiyah Ponorogo ABSTRAK Matriks normal merupakan matriks persegi yang entri-entrinya bilangan kompleks

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan

BAB II KAJIAN TEORI. dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan BAB II KAJIAN TEORI Pada bab ini akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen, sistem dinamik, sistem linear, sistem nonlinear, titik ekuilibrium, analisis kestabilan sistem dinamik, kriteria Routh-Hurwitz,

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Sub Pokok Bahasan : Sistem persamaan linier Eliminasi Gauss Eliminasi Gauss Jordan Penyelesaian SPL dengan invers SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan

Lebih terperinci

SILABUS. Mengenal matriks persegi. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Mengenal invers matriks persegi.

SILABUS. Mengenal matriks persegi. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Mengenal invers matriks persegi. SILABUS Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMA NEGERI 2 LAHAT : MATEMATIKA : XII / IPA : GANJIL STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan

Lebih terperinci

BAB II DASAR DASAR TEORI

BAB II DASAR DASAR TEORI BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian

Lebih terperinci

4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum

4.1 Algoritma Ortogonalisasi Gram-Schmidt yang Diperumum BAB 4 ORTOGONALISASI GRAM-SCHMIDT YANG DIPERUMUM Diberikan sebarang barisan hingga vektor di ruang Hilbert berdimensi hingga. Pada bab ini akan diberikan algoritma untuk menghitung frame Parseval pada

Lebih terperinci

BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert

BAB 2 RUANG HILBERT. 2.1 Definisi Ruang Hilbert BAB 2 RUANG HILBERT Pokok pembicaraan kita dalam tugas akhir ini berpangkal pada teori ruang Hilbert. Untuk itu di bab ini akan diberikan definisi ruang Hilbert dan ciri-cirinya, separabilitas ruang Hilbert,

Lebih terperinci

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP)

Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Nama Sekolah : SMP N Ayo Belajar 1 Mata Pelajaran : Matematika Kelas/Semester : VIII/ 1 (Satu) Standar Kompetensi : 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam

Lebih terperinci

MODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA

MODUL E LEARNING SEKSI -1 MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA 151 : 5099 : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA MODUL E LEARNING SEKSI - MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE MATA KULIAH : ESA DOSEN : : DRA ENDANG SUMARTINAH,MA TUJUAN MATA KULIAH : A.URAIAN DAN TUJUAN MATA KULIAH : Mahasiswa mempelajari Matriks, Determinan,

Lebih terperinci

MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR

MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan

Lebih terperinci

PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi

PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT. Skripsi PROYEKSI ORTOGONAL PADA RUANG HILBERT Skripsi Diajukan Kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memenuhi Gelar Sarjana

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci