DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks"

Transkripsi

1 DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1

2 DAFTAR ISI ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS Daftar isi... Bab 1 Sistem Persamaan Linear dan Matriks... Bab Determinan Bab Ruang Vektor... Bab 4 Ruang Hasil Kali Dalam... 4 Bab 5 Transformasi Linear Bab 6 Nilai dan Vektor Eigen Daftar Pustaka... 7 Daftar Isi. IF/011

3 1 SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS JUMLAH PERTEMUAN : PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui sifat-sifat dan operasi matriks. Mengetahui bentuk bentuk penyelesaian sistem persamaan linear.. Menggunakan operasi baris elementer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dan menentukan invers dari suatu matriks Materi : 1.1 Bentuk Umum Matriks Definisi 1.1 Matriks adalah suatu susunan banjar (array) bilangan-bilangan dalam bentuk segi empat, dengan jumlah baris sebanyak m dan jumlah kolom sebanyak n. dinotasikan dengan a a a a a a A a a a n 1 n m1 m mn Baris jumlahnya m atau dapat ditulis secara ringkas dengan A ( aij ) m n Kolom jumlahnya n dimana i =1,...,m dan j =1,...,n, aij adalah elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j. Ukuran (dimensi/ordo) matriks A diatas adalah mxn. Contoh 1.1: A B 0 C D Tentukan dimensi dari matriks berikut dan tentukan elemen dari matriks berikut ini a1, b1, c1, d IF/011

4 Definisi 1. Kesamaan dua matriks Dua buah matriks dikatakan sama jika dimensi kedua matriks sama dan elemen-elemen seletaknya sama. Berikan dua contoh matriks yang sama 1. Operasi dan Sifat Matriks Definisi 1. Operasi Matriks a) Jika A ( a ij ) dan B ( b ij ) masing-masing adalah matriks mxn, maka A B mxn yang elemen ke-ij adalah a b, ( i, j). ij ij adalah matriks b) Jika A adalah matriks mxn, α adalah suatu skalar maka αa adalah matriks yang dibentuk dari perkalian setiap elemen A dengan α. c) Jika A dan B adalah matriks mxn maka A B adalah matriks mxn yang dapat dituliskan dari A B A ( B). d) Jika A matriks mxr dan B matriks rxn maka hasil kali A.B=C adalah matriks mxn yang anggota-anggotanya didefinisikan sebagai berikut: Contoh 1.: n c a b, i 1,..., m j 1,..., n ij ik kj k1 Misalkan diketahui Tentukan : a. A+B b. αa, dimana α adalah skalar Penyelesaian a11 a1 b11 b1 A B, a a b b 1 1 c. A-B d. A.B a. a11 a1 b11 b1 a11 b11 a1 b1 A B a a b b a b a b a11 a1 a11 a1 b. A a1 a a1 a c. d. a11 a1 b11 b1 a11 b11 a1 b1 A B a a b b a b a b a11 a1 b11 b1 a11b 11 a1b1 a11b 1 a1b AB.. a a b b a b a b a b a b IF/011 4

5 Latihan 1.1 Selesaikan soal berikut ini ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS A B C a. Tentukan matriks C b. Tentukan matriks A+B, periksalah apakah matriks yang diperoleh sama dengan matriks B+A c. Tentukan matriks A-B, periksa pula matriks B-A! Apa kesimpulan yang dapat diambil? d. Tentukan matriks AB, BA, AC, CA. Apakah semua matriks tersebut dapat ditentukan Teorema 1.1 nilai elemen-elemennya? Apa syarat agar dua matriks dapat dikalikan? Untuk setiap skalar α, β dan untuk setiap matriks A,B dan C dimana operasi-operasi yang bersangkutan terdefinisi maka berlaku : 1. A B B A. ( A B) C A ( B C). ( AB) C A( BC) 4. A( B C) AB AC 5. ( A B) C AC BC 6. ( ) A ( A) Bukti dapat dilihat di Howard Anton, Aljabar Linear Elementer 7. ( AB) ( A) B A( B) 8. ( )A A A 9. ( A B) A B 1. Beberapa Matriks Istimewa a. Matriks berukuran 1xn disebut vektor baris, matriks berukuran mx1 disebut vektor kolom. Contoh 1.: 1 P 1 4 Q P adalah vektor baris dan Q adalah vektor kolom. 0 b. Matriks bujur sangkar berorde n jika jumlah baris dan kolom matriks sama yaitu n buah. Contoh 1.4: A B IF/011 5

6 c. Jika A matriks bujur sangkar maka elemen aii disebut elemen diagonal dari A, dan elemenelemen lain merupakan elemen diluar diagonal A. Contoh 1.5: a a a A a a a a a a maka a11, a, a adalah elemen diagonal dan yang lainnya elemen elemen diluar diagonal A. a11, a, a disebut juga diagonal utama. d. Jika A matriks bujur sangkar dan elemen aii 0 sedangkan semua elemen diluar diagonal A a 0, i j maka matrik A disebut matriks diagonal. ij Contoh 1.6: A D e. Jika A matriks bujur sangkar dan elemen a, i 1,..., n dimana adalah suatu skalar ii sedangkan semua elemen diagonal A a 0, i j maka matriks A disebut matriks skalar. Contoh 1.7: A B ij f. Jika A adalah matriks skalar dimana a 1, i 1,..., n, maka matriks A disebut matriks identitas, matriks A dapat ditulis dengan I n. Contoh 1.8: A B ii g. Jika A adalah matriks dimana semua elemennya bernilai 0 maka A disebut matriks null, sering dituliskan dengan matriks O. Contoh 1.9: O O IF/011 6

7 h. Jika A matriks bujur sangkar dimana semua elemen diatas diagonal utama adalah nol maka A disebut matriks segitiga bawah. Contoh 1.10: A B i. Jika A matriks bujur sangkar dimana semua elemen dibawah diagonal utama adalah nol maka A disebut matriks segitiga atas. Contoh 1.11: 4 5 A B Transpose dari Suatu Matriks Definisi 1.4 Jika A adalah matriks mxn maka transpos A (ditulis A T ) adalah matriks berukuran nxm yang T didapatkan dengan mempertukarkan baris dengan kolom dari A. A ( a ij ) dan A ( a ji ). Jika A matriks bujur sangkar dan T A Amaka A adalah matriks simetri. Contoh 1.1: 1 0 T A A Dari contoh matriks B adalah matriks simetri T B 8 B Teorema 1. A,B adalah matriks mxn dan α adalah skalar maka berlaku sifat: T a) A T A b) T T T A B A B c) T T A A IF/011 7

8 Definisi 1.5 Jika A adalah matriks bujur sangkar maka trace A (ditulis tr(a)) didefinisikan sebagai jumlah anggota-anggota dari diagonal utama matriks A. Trace A tidak terdefinisi jika A bukan matriks bujur sangkar. Latihan 1. Diketahui matriks-matriks berikut ini : A 0 B C D Sederhanakan matriks berikut ini jika mungkin a. A T C T b. A B T c. tr( DD ) d. T B CA e. tr( CA) tr( B) f. ( AC) T D 1.5 Sistem Persamaan Linear Definisi 1.6 Secara umum sebuah persamaan linear dengan n variabel x1, x,..., x n dapat dituliskan sebagai suatu persamaan linear dalam bentuk Dengan a1, a,..., a n dan b konstanta real. a1x 1 ax ax... anxn b Latihan 1. Tentukan persamaan berikut yang merupakan persamaan linear : a. xy 7 d. x1 x x... x n 1 b. x x 4x x 1 e f. c. x1 x 4x 1 x x x 1/ 1 1 x1 x 4x x / Definisi 1.7 Sebuah himpunan terhingga m buah persamaan linear dengan variabel x1, x,..., xn disebut sistem persamaan linear dengan n variabel dituliskan sebagai IF/011 8

9 a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS a x a x... a x b m1 1 m mn n m Suatu urutan bilangan-bilangan s1, s,, sn disebut himpunan penyelesaian sistem jika x1 s1, x s,..., xn sn memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut. Contoh 1.1: Sistem persamaan linear x1 5x x 4 Tentukan jumlah variabel dan banyak persamaan dari sistem persamaan disamping (m dan n) x x x 8 1 Definisi 1.8 Sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sistem yang tak konsisten sedangkan jika minimal terdapat satu penyelesaian maka sistem tersebut disebut konsisten. Setiap sistem persamaan linear mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, atau tak hingga banyaknya penyelesaian. Latihan 1.4 Periksalah ketiga sistem persamaan berikut dan gambarkan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut dalam koordinat kartesian. Tentukan sistem persamaan yang mempunyai tepat satu penyelesaian, tak hingga atau tidak mempunyai penyelesaian x x x x x x x x x x 1 x x Definisi 1.9 Suatu sistem persamaan linear dikatakan homogen jika semua konstantanya nol, yaitu jika sistem tersebut mempunyai bentuk : a x a x... a x n n a x a x... a x n n a x a x... a x 0 m1 1 m mn n Setiap sistem homogen mempunyai sifat konsisten, karena semua sistem seperti itu mempunyai penyelesaian x1 0, x 0,, x n 0. Penyelesaian ini disebut penyelesaian IF/011 9

10 trivial. Jika ada penyelesaian lain yang memenuhi sistem persamaan tersebut maka penyelesaian sistemnya disebut penyelesaian tak-trivial. Contoh 1.14: a) x x x 0 1 x 8x 0 4x 0 b) x x 0 1 6x 4x 0 1 Tunjukkan bahwa a) memiliki penyelesaian trivial dan b) memiliki penyelesaian tak-trivial. Definisi 1.10 Sistem m persamaan linear dengan n buah variabel dapat diubah dalam bentuk matrik yang diperbanyak (augmented matrix) yang dituliskan sebagai: a x a x a x b n n 1 a x a x a x b 1 1 n n a x a x a x b m1 1 m mn n m a11 a1 a1n b1 a1 a an b am1 am amn bm Latihan 1.5 Buatlah augmented matrix dari sistem persamaan linear berikut: x x x x x x 0 1 x x x x 4x x Eliminasi Gaussian Penyelesaian sistem persamaan dapat dilakukan dengan operasi baris elementer (OBE) pada matriks yang diperbanyak. Metode dasar dari OBE adalah dengan menggantikan sistem yang diberikan dengan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah diselesaikan. Definisi 1.11 Tiga langkah yang digunakan dalam OBE adalah: 1. Kalikan suatu baris dengan bilangan real bukan nol.. Pertukarkan dua baris. Ganti suatu baris dengan hasil penjumlahannya dengan kelipatan dari baris lain. IF/011 10

11 Definisi 1.1 Sebuah matriks dikatakan memiliki bentuk baris eselon jika: 1. Elemen bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1. Jika baris k tidak seluruhnya mengandung 0, maka banyak elemen nol bagian muka pada baris k+1 lebih besar dari banyaknya elemen nol di bagian depan baris k.. Jika terdapat baris-baris yang elemennya semuanya adalah nol, maka baris-baris ini berada tepat dibawah baris-baris yang memiliki elemen-elemen bukan nol. Latihan 1.6 Tentukan apakah matriks-matriks berikut ini merupakan matriks yang memiliki bentuk eselon baris atau tidak a) b) 0 1 c) d) e) Definisi 1.1 Proses mengubah matriks yang diperbanyak menjadi matrik baris eselon menggunakan OBE disebut Eliminasi Gauss. dengan Definisi 1.14 Suatu matriks memiliki baris eselon tereduksi jika : 1. Matriks memiliki bentuk baris eselon.. Elemen bukan nol pertama dalam setiap baris adalah satu-satunya elemen bukan nol dalam kolom yang bersangkutan. Proses mengubah matriks yang diperbanyak menjadi matrik baris eselon tereduksi dengan menggunakan OBE disebut Eliminasi Gauss-Jordan/Reduksi Gauss-Jordan. Latihan 1.7 Tentukan apakah bentuk matriks berikut ini memiliki baris eselon tereduksi atau tidak a) b) c) IF/011 11

12 Contoh 1.15 : ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan berikut ini menggunakan reduksi Gauss-Jordan x 4x x 1 1 x x x 9 1 x 6x 5x 0 1 Langkah langkah penyelesaian sistem persamaan diatas dilakukan sebagai berikut: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Keterangan: (h) a. Pertukarkan baris pertama dengan baris kedua sehingga diperoleh matriks (a). b. Kalikan baris pertama dengan - kemudian tambahkan dengan bilangan yang ada pada baris kedua sehingga diperoleh matriks (b). c. Kalikan baris pertama dengan - kemudian tambahkan dengan bilangan yang ada pada baris ketiga sehingga diperoleh matriks (c). 1 d. Kalikan baris kedua dengan sehingga diperoleh matriks (d). e. Kalikan baris kedua dengan - kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris ketiga sehingga diperoleh matriks (e). f. Kalikan baris ketiga dengan - sehingga diperoleh matriks (f). g. Kalikan baris kedua dengan -1 kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris pertama sehingga diperoleh matriks (g). Penyelesaiannya adalah x 1, x, x 1 IF/011 1

13 h. Kalikan baris ketiga dengan 7 ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris kedua selanjutnya kalikan baris ketiga dengan - 11 kemudian tambahkan dengan bilangan pada baris pertama sehingga diperoleh matriks (h). Perhatikan kembali contoh 1.15 Proses yang dilakukan dari (a) sampai (f) adalah proses Eliminasi Gauss dapat dituliskan menjadi x x x 9 1 x x 7 17 x Dengan mensubstitusikan x ke persamaan kedua akan diperoleh x kemudian nilai x, xdisubstitusikan ke persamaan pertama sehingga diperoleh x1 1. Proses yang dilakukan ini disebut dengan cara substitusi balik. Latihan 1.8 Gunakan Eliminasi Gauss dan subtitusi balik untuk menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini kemudian periksa hasilnya dengan menggunakan Reduksi Gauss Jordan a) x x x 8 b) x x x 1 c) x x x x x x 1 x x x x x x x 7x 4x 10 x 4x x 4 x x x Menentukan Invers Matriks dengan OBE Definisi 1.16 Suatu matriks A bujur sangkar dapat dibalik jika terdapat suatu matriks B sehingga berlaku AB BA I maka matriks A disebut dapat dibalik dan B adalah matriks invers dari A (ditulis 1 A ). Latihan 1.9 Periksalah apakah B adalah invers dari matriks A. Teorema A B 1 1 Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama maka: a) AB dapat dibalik b) AB B A IF/011 1

14 Untuk mendapatkan invers suatu matriks yang dapat dibalik A, kita harus menemukan serangkaian OBE yang mereduksi A menjadi identitas dan kemudian melakukan serangkaian operasi yang sama pada I n untuk memperoleh matriks 1 A. Contoh 1.6: Cari invers dari matriks 1 A Penyelesaian: Kita harus menyandingkan matriks A dengan matriks I berukuran x sehingga diperoleh 1 matriks A I dan setelah proses OBE diperoleh matriks I A OBE 1 A I I A Jadi 1 A Latihan Lakukan proses OBE pada contoh diatas sehingga terbukti bahwa invers dari A adalah Carilah invers dari matriks berikut ini dengan OBE IF/011 14

15 DETERMINAN JUMLAH PERTEMUAN : PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui sifat-sifat determinan.. Menggunakan teknik ekspansi kofaktor untuk menghitung determinan.. Menggunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Materi :.1 Pendahuluan Definisi.1 Misalkan A adalah matriks bujur sangkar berukuran x. Determinan matriks A didefinisikan sebagai : a11 a1 a11 a1 det(a)=det a a a a a1 a a1 a Definisi. Jika matriks A berukuran x, determinan matriks A didefinisikan sebagai : a a a det( A) a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 Determinan dapat dihitung dengan menggunakan metode Sarrus, diilustrasikan sebagai berikut: a a a a a a a i) ii) a1 a a a1 a a1 a a1 a a a1 a Latihan.1 Hitunglah determinan dari matriks berikut ini (bisa menggunakan aturan Sarrus) : A B IF/011 15

16 *Aturan Sarrus hanya berlaku untuk matriks berukuran maksimal x. ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS. Sifat-sifat Determinan Sebelumnya kita telah membahas tentang cara menghitung determinan untuk matriks berukuran maksimal x, berikutnya kita dapat menggunakan sifat-sifat determinan berikut ini untuk menghitung determinan dari matriks yang berukuran lebih besar. Teorema.1 Jika A matriks bujur sangkar maka: i) Jika A mempunyai sebuah baris nol atau sebuah kolom nol maka det(a) = 0. ii) det(a)=det(a T ) Latihan. Gunakan matriks x sebarang untuk memeriksa sifat i) dan ii) dari teorema.1. Teorema. Jika A adalah suatu matriks segitiga nxn (segitiga atas,segitiga bawah, atau diagonal) maka det(a) adalah hasil kali anggota-anggota pada diagonal utamanya, yaitu det( A) a a a 11 Latihan. Hitunglah determinan dari masing-masing matriks berikut ini: nn 1 A D B E C Teorema. Misalkan A matriks nxn - Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu baris tunggal atau kolom tunggal dari A dikalikan dengan suatu skalar α, maka det(b) = α.det(a). IF/011 16

17 - Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika dua baris atau kolom dari A dipertukarkan maka det(b) = -det(a). - Jika B adalah matriks yang dihasilkan jika suatu panggandaan suatu baris A ditambahkan pada baris lainnya atau jika suatu penggandaan suatu kolom ditambahkan pada kolom lainnya, maka det(b) = det(a). Contoh.1: Hubungan a a a a a a a a a a a a 1 1 a a a a a a 1 1 Operasi Baris pertama A dikalikan dengan α. det(b)=α.det(a) a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 Baris pertama dan kedua dari A dipertukarkan. det(b) = - det(a) a a a a a a a a a a a a a a a 1 1 a a a a a a 1 1 Suatu penggandaan baris kedua dari A ditambahkan pada baris pertama. det(b) = det(a) Teorema.4 Jika A adalah matriks bujur sangkar dengan dua baris proporsional atau dua kolom proporsional, maka det (A)=0. Contoh. : = Dari contoh baris pertama dan baris kedua adalah dua baris yang proporsional sehingga nilai determinannya adalah 0. IF/011 17

18 Latihan.4 ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS Periksalah bahwa matriks-matriks diatas mempunyai determinan nol, berikan alasannya! Teorema.4 Sifat-sifat dasar determinan: Misalkan A dan B matriks nxn dan α skalar maka n 1. det( A) det( A). det( AB) det( A).det( B). Ekspansi Kofaktor Definisi. Jika A sebuah matriks bujursangkar nxn maka minor dari a ij dituliskan dengan M ij dan didefinisikan sebagai determinan sub-matriks yang masih tersisa setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Bilangan 1 i j Mij dinyatakan oleh Cij dan disebut kofaktor anggota a ij. Contoh.: 1 A Latihan.5 1 M 15 4 C 1. M 15 Dengan menggunakan matriks contoh. tentukan M 1, C 1 dan M, C Teorema.5 Determinan suatu matriks A berukuran nxn bisa dihitung dengan mengalikan anggota-anggota pada sebarang baris (atau kolom) dengan kofaktornya dan menjumlahkan hasil kali yang didapatkan yaitu untuk setiap 1indan 1 j n det( A) a C a C... a C (perluasan kofaktor disepanjang kolom ke-j) 1 j 1 j j j nj nj det( A) a C a C... a C (perluasan kofaktor disepanjang baris ke-i) i1 i1 i i in in IF/011 18

19 Contoh.4: ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS det(a)= 4 (1) (0) ( 4) (1)( 11) Perhatikan bahwa Cij Mij sehingga secara matriks dapat digambarkan Latihan.6 Gunakan kolom atau baris lainnya untuk menghitung determinan A! Apakah nilai determinan yang diperoleh sama dengan contoh.4..4 Menghitung Determinan Menggunakan Sifat-sifat Determinan Kita dapat menggunakan reduksi baris, sifat-sifat determinan yang dibahas sebelumnya dan perluasan kofaktor untuk menghitung determinan matriks. Perhatikan contoh berikut dan tentukan sifat-sifat yang digunakan untuk menentukan determinannya. Contoh.5: 4 A B det(a)= [ 55 ( 60)] det(b) IF/011 19

20 Latihan.7 Tentukan determinan dari matriks berikut ini P 4 6 Q Aplikasi Determinan Salah satu kegunaan determinan adalah untuk menentukan invers suatu matriks Teorema.6 Matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det(a) 0 Definisi.4 Matriks yang mempunyai determinan 0 disebut matriks tak singular, sedangkan matriks yang mempunyai determinan = 0 disebut matriks singular. Definisi.5 Jika A adalah sebarang matriks nxn dan C C C C C C C C C n 1 n n1 n nn Cij adalah kofaktor dari aij maka matriks disebut matriks kofaktor dari A. Transpos dari matriks ini disebut adjoin A dinyatakan adj(a). Teorema.7 Jika A adalah suatu matriks yang dapat dibalik, maka: Latihan.8 A adj( A) det( A) 1 1 Tentukan adj(a) dan 1 A 1 A IF/011 0

21 Teorema.8 Jika A dan B adalah matriks matriks nxn yang taksingular, maka AB juga tak singular dan AB B A..6 Aturan Cramer Definisi.6 Diketahui suatu sistem persamaan linear : a x a x... a x b n n 1 a x a x... a x b 1 1 n n a x a x... a x b m1 1 m mn n m dapat dituliskan dalam bentuk hasil kali matriks Teorema.9 Jika Ax a11 a1 a1 n x1 b1 a1 a an x b a a a x b m1 m mn n m atau Ax b merupakan suatu sistem n persamaan linear dengan n peubah sedemikian sehingga A 0 maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian tunggal yaitu: Dengan det( A1) det( A det ) An x1, x,, xn det( A) det( A) det( A) Aj adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan anggota-anggota pada kolom ke-j dari A dengan anggota-anggota pada matriks b1 b b bn b Contoh.6 : Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan x x 6 x 4x 6x 0 x x x 8 IF/011 1

22 Penyelesaian ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS A 4 6 A A 0 6 A sehingga diperoleh det( A1) det( A) 7 18 det( A ) 15 8 x1 x x det( A) det( A) det( A) Latihan.9 Selesaikan sistem persamaan berikut menggunakan aturan Cramer 4x5y 11x y z x 5y z 1 IF/011

23 RUANG VEKTOR JUMLAH PERTEMUAN : PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Menjelaskan sifat-sifat dan operasi vektor di R dan R.. Menjelaskan aksioma ruang vektor dan syarat subruang.. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor sebagai suatu ruang vektor atau subruang vektor. 4. Mengidentifikasi suatu himpunan vektor membangun, bebas linear,basis. 5. Menentukan basis dan dimensi dari himpunan vektor-vektor yang merupakan anggota dari suatu ruang vektor atau subruang. 6. Menghitung matriks transisi dari perubahan basis. 7. Menentukan ruang baris, ruang kolom, ruang null dan dimensinya. Materi :.1 Vektor di R dan R Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah. Perhatikan gambar berikut ini : v B Titik A disebut titik pangkal vektor dan titik B disebut titik ujung A Vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B dinotasikan dengan AB atau dapat dituliskan dengan huruf kecil v Di dalam sistem koordinat vektor dapat digambarkan sebagai berikut: Vektor dalam Ruang Berdimensi (R ) Vektor dalam Ruang Berdimensi (R ) Y O v Titik Pangkal A Titik Ujung X Titik Pangkal X Z O A w Titik Ujung B B Y OA, OB disebut vektor standar karena titik pangkal vektor tersebut berada pada titik O. IF/011

24 Definisi.1 ALJABAR LINEAR DAN MATRIKS Misalkan AB dan PQ adalah vektor dalam R dan R maka dalam koordinat kartesian vektor komponen A = ( x1, y 1) dan komponen B = ( x, y ) sedangkan dalam R komponen P = ( x1, y1, z 1) dan Q = ( x, y, z ). Panjang vektor AB dinotasikan AB dan PQ dinotasikan PQ adalah AB ( x x ) ( y y ) dan 1 1 PQ ( x x ) ( y y ) ( z z ) Operasi Operasi Vektor a. Penjumlahan Vektor Cara segitiga v Cara jajaran genjang w v w v w w w v w v b. Perkalian Vektor dengan Skalar v u c. Vektor Negatif u u Latihan.1 u Misalkan u (,,), v (1,, 4), w (,6, 4). Hitunglah ekspresi yang ditunjukkan: a. u 5v w 1 b. u v w d. u v c. u v e. 1 w w IF/011 4

25 . Ruang Vektor dan Sub Ruang Vektor Aksioma.1 Misalkan V suatu himpunan tak kosong dimana operasi penjumlahan dan perkalian didefinisikan, jika untuk setiap u, v, w anggota V dan α,β adalah skalar berlaku: (a) u, vv u v V (b) u v v u (c) u ( v w) ( u v) w (d) 0 V u 0 0 u u, u V (e) u V, uv u ( u) 0 (f) α skalar, u V u V (g) ( u) ( ) u (h) ( u v) u v (i) ( )u u u (j) 1u u IF/011 5

26 Maka V disebut ruang vektor dan anggota dalam V disebut vektor. Contoh.: Misalkan V R adalah himpunan vektor-vektor yang didefinisikan sebagai berikut Maka x1 x1 y y 1 1 x1 x x1 x y y y y 1 1 R memenuhi semua aturan dari aksioma.1. Jika diberikan suatu ruang vektor V, maka kita dapat membentuk ruang vektor lain S yang merupakan himpunan bagian dari V dan menggunakan operasi-operasi pada V. Definisi. Jika S adalah himpunan bagian tidak kosong dari suatu ruang vektor V dan S memenuhi syarat-syarat berikut ini maka berlaku : a) xs jika xs untuk sembarang skalar. b) xysjika xs dan y S. maka S disebut subruang dari V. Contoh.: Misalkan S =( x,0) x R. Tunjukkan S adalah subruang dari R. Penyelesaian: Ambil u ( u1,0), v ( v1,0) S dan R maka u ( u,0) ( u,0) S u v ( u,0) ( v,0) ( u v,0) S Dari 1. dan. Terbukti S =( x,0) x R adalah subruang dari R. Contoh.4: IF/011 6

27 Diketahui K =( x,0) x 0. Periksalah apakah K adalah subruang dari R. K bukan subruang dari R karena terdapat u(1,0) K dan 1 R sehingga ( 1)u R. Latihan. Periksa apakah himpunan berikut adalah subruang dari R. a. K ( x, y, z) x y, z y b. K ( x, y, z) x y 1.4 Kombinasi Linear dan Membangun Berikut ini diperkenalkan tentang konsep kombinasi linear dari vektor-vektor kolom. Definisi. Suatu vektor w disebut suatu kombinasi linear dari vektor-vektor v1, v,..., vr jika bisa dinyatakan dalam bentuk : Dengan 1,,, n adalah skalar. Contoh.5: Diketahui u (1,, 1) dan (6,4,) w v v v n n a (, 1, ) adalah kombinasi linear dari vektor u dan v. Penyelesaian: v dalam R. Periksalah apakah 4,0, 4 w dan a. Jika w adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka w dapat dituliskan ke dalam bentuk w 1u v sehingga diperoleh 1 4,0, 4 (1,, 1) (6, 4, ) ,0, 4 (,, ) (6,4, ) IF/011 7

28 ,0, 4 ( 6, 4, ) Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh Kemudian 1disubstitusikan ke persamaan 1) atau ) sehingga diperoleh 1. Terakhir memeriksa hasil dengan cara mensubstitusikan 1, ke persamaan. Karena 1 dan memenuhi ketiga persamaan maka a adalah kombinasi linear dari vektor u dan v. b. Jika a adalah kombinasi linear dari vektor u dan v maka a dapat dituliskan ke dalam bentuk a 1u v sehingga diperoleh 1, 1, (1,, 1) (6,4,) 1 1 1, 1, (,, ) (6,4, ) 1 1 1, 1, ( 6, 4, ) Dengan menyamakan komponen-komponen diperoleh Kemudian 8 disubstitusikan ke persamaan 1) atau ) sehingga diperoleh. Terakhir memeriksa hasil dengan cara mensubstitusikan 1, ke 1 4 persamaan ternyata diperoleh IF/011 8

29 Maka a adalah bukan kombinasi linear dari vektor u dan v. Latihan. Diketahui u (,1, 4), v (1, 1,) dan w (,,5), nyatakan vektor-vektor berikut ini sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor u, v, w. a. a (6,11,6) b. b ( 9, 7, 15) Definisi.4 Diketahui V adalah ruang vektor dan S s1, s,..., sn dimana s1, s,..., s n V. S dikatakan membangun (merentang) V jika v V, v merupakan kombinasi linear dari S, yaitu : v s s... s,,, skalar 1 1 n n 1 n S disebut ruang rentang dan s1, s,..., s n disebut rentang dari V. Contoh.6: Apakah u (1,,), v (, 4,6), w (, 4,7) membangun di R? Penyelesaian: Misalkan u, v, w membangun R maka untuk sembarang vektor ( x, y, z) R akan ditunjukkan bahwa vektor ( x, y, z ) adalah kombinasi linear dari u, v, w, sehingga dapat dituliskan IF/011 9

30 1,,, 4,6, 4,7 x, y, z 1 Atau dalam bentuk matriks dapat dituliskan menjadi 1 1 x 4 4 y 6 7 z Persamaan linear ini akan konsisten jika tidak ada baris 0 pada matriks A setelah dilakukan reduksi baris. Dengan OBE diperoleh Karena ada baris yang 0 maka pastilah ada vekor di R yang bukan merupakan kombinasi linear dari u, v, w. Jadi u, v, w tidak membangun di R. Latihan.4 u (1,), v,, w (1,). Apakah u, v, w membangun di R? Diketahui.5 Bebas Linear dan Bergantung Linear Definisi.5 Misalkan S = { v 1, v,..., v r } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor v1, v,..., vr disebut bebas linear jika untuk persamaan vektor 1v1 v... v 0 mempunyai satu-satunya penyelesaian yaitu Definisi.6 1 r 0, 0,..., 0 r r IF/011 0

31 Misalkan S = { v 1, v,..., v r } adalah suatu himpunan vektor-vektor tak kosong, vektor-vektor v1, v,..., vr disebut bergantung linear jika terdapat skalar-skalar 1,,..., r yang tidak semuanya nol sehingga 1v1 v... v 0. Contoh.7: 1 a. Vektor-vektor 1 dan 1 adalah bebas linear karena jika b. Diketahui dua vektor (4,) dan ( 4, ) maka 4, 4, 0,0 1 r r maka 1 0 dan 1 0 sehingga diperoleh misalkan t maka 1 t Maka kedua vektor bergantung linear. Atau tanpa menyelesaikan sistem persamaan linear kita dapat menunjukkan bahwa determinan dari matriks koefisiennya = 0 maka sistemnya punya penyelesaian tak-trivial. Latihan.5 Periksalah apakah vektor-vektor berikut ini bebas linear atau bergantung linear a. u 8, 1,, v 4,0,1 b. u (1,), v,, w (1,).6 Basis dan Dimensi Definisi.7 Misalkan V ruang vektor dan S { s1, s,..., s n }. S disebut basis dari V jika memenuhi dua syarat, yaitu : 1. S bebas linear IF/011 1

32 . S membangun V Basis dari suatu ruang vektor bisal lebih dari satu. Ada dua macam basis yang kita kenal, yaitu: a. Basis standar Contoh.8: - S {(1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1)} dimana (1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1) adalah anggota vektor n R sehingga (1,0,...,0),(0,1,...,0),...,(0,0,...,1) adalah basis standar dari n R S,,, adalah basis dari M Didalam R dan b. Basis tidak standar R, basis standar sering dituliskan menjadi i, j, k. Definisi.8 Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika V berisi suatu himpunan vektor terhingga v1, v,..., v n yang membentuk suatu basis. Jika tidak ada himpunan seperti itu maka V disebut berdimensi tak hingga. Ruang vektor nol berdimensi hingga. Teorema.1 Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan v1, v,..., vn adalah sembarang basis, maka: a. Setiap himpunan yang lebih dari n vektor adalah tak bebas linear. b. Tidak ada himpunan dengan vektor yang kurang dari n yang membangun V. IF/011

33 Teorema. Semua basis untuk suatu ruang vektor berdimensi terhingga mempunyai jumlah vektor yang sama. Definisi.9 Dimensi suatu ruang vektor berdimensi terhingga V, yang dinyatakan dengan dim(v), didefinisikan sebagai jumlah vektor dalam suatu basis untuk V. Teorema. Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan dalam V dengan tepat n vektor, maka S adalah suatu basis untuk V jika S merentang V atau S bebas linear. Contoh.9: Misalkan v1 (1,,1), v (,9,0), v (,,4). Tunjukkan bahwa himpunan S={ v 1, v, v } adalah suatu basis dari R. Penyelesaian: Untuk menunjukkan bahwa himpunan S membangun R akan ditunjukkan bahwa untuk sembarang b b b b R ( 1,, ) bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear b v v v 1 1 Sehingga diperoleh ( b1, b, b ) 1(1,,1) (,9,0) (,,4) ( b, b, b ) (, 9, 4 ) Dengan menyamakan komponen-komponen berpadanan diperoleh: b b 1 4 b 1 IF/011

34 Untuk menunjukkan bahwa S membangun R harus ditunjukkan bahwa sistem persamaan linear diatas punya penyelesaian untuk semua b. Untuk menunjukkan bebas linear maka jika Maka 1 0 1v1 v v 0 Karena dim R = dan jumlah anggota S =, maka kita hanya perlu menunjukkan bahwa vektor-vektornya saling bebas linear atau membangun. Dengan menunjukkan matriks koefisiennya punya determinan tidak nol, maka dikatakan S bebas linear dan membangun Jadi S adalah basis untuk R. 1 A det( A) 1 Latihan.6 Tunjukkan bahwa 1 1, 1, adalah basis R.7 Vektor Koordinat dan Matriks Transisi Definisi.10 Misalkan V adalah suatu ruang vektor dengan basis B = b1, b,..., b n dan v V. Koordinat vektor v terhadap basis B adalah : 1 v B n IF/011 4

35 Dimana 1 1 n n b b b v Contoh.10: Tentukan koordinat vektor Penyelesaian 1 v 0 terhadap basis B 0,, Koordinat v terhadap B adalah vektor 1 v B yang memenuhi Sehingga diperoleh matriks augmentednya OBE Jadi 9 4 v 4 B Perhatikan bahwa urutan vektor di basis menentukan koordinat. Jika IF/011 5

36 ' B 1 1 1, 1, Maka koordinat v terhadap B adalah Latihan.7 4 v ' B 9 4 Tentukan koordinat relatif dari (,,5) T terhadap basis u (1,1,1), u (1,,), u (,,4). T T T 1 Teorema.4 Koordinat vektor terhadap suatu basis tertentu adalah tunggal. Definisi.11 Pandang B b1, b,..., bn dan U u1, u,..., un B ke U adalah Dan memenuhi persamaan P b, b... b n 1 U U U v U P v B untuk ruang vektor V. Matriks transisi dari v V Matriks P adalah matriks tak singular dan P adalah matriks transisi dari U ke B. Contoh.11: IF/011 6

37 a. Carilah matriks transisi dari perubahan basis v1, v ke u1, u dimana 1 b. Jika a V Penyelesaian 5 7 v1, v tentukan a U 1 dan u1, u 1 a. Kita dapat menuliskan masing-masing basis v1, vke dalam u1, u v p u p u v p u p u 1 1 Dengan mensubstitusi v1, v dan u1, u diperoleh dua persamaan sebagai berikut: 5 p p p 11 1 p 11 1 dan 7 p p p 1 p 1 p11 p1 4 Dari persamaan ini diperoleh p dan 1 4 p 5 Sehingga diperoleh P b. Dapat ditunjukkan pula bahwa adalah matriks transisi dari basis v1, v ke 1, u u. a U a 4 5 V Latihan.8 1. Dari contoh diatas tentukan matriks transisi dari basis 1, u u kev1, v. Misalkan v1 (4,6,7) T, v (0,1,1) T, v (0,1,) T T adalah basis dan u1 (1,1,1), IF/011 7

38 u (1,,), u (,,4) T T a. Tentukan matriks transisi dari u1, u, u ke v1, v, v b. Jika x v1 v 4v, tentukan koordinat dari x relatif terhadap u1, u, u.8 Rank dan Nulitas Definisi.1 Jika A adalah matriks mxn maka subruang n R yang direntang oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Subruang dari m R yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang penyelesaian dari sistem persamaan homogen Ax 0 adalah subruang dari Contoh.1 Misalkan n R disebut ruang null/ruang kosong dari A dinotasikan N(A). A Ruang baris dari A adalah himpunan dari (1,0,0) (0,1,0),,0 Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk Teorema.5 Operasi baris elementer tidak mengubah ruang null dari suatu matriks Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu kolom Contoh.1: IF/011 8

39 1 1 1 Diketahui A Tentukan basis untuk ruang kosong A (N(A)) Penyelesaian Menggunakan operasi baris elementer diperoleh matriks U yang merupakan matriks bentuk eselon baris tereduksi dari A. U Karena persamaan Ax 0 ekivalen dengan Ux 0 (berdasarkan Teorema.5) maka x N( A) jika dan hanya jika x x x x x 0 4 sehingga x x x x 1 4 x 4 Misalkan x dan x4 maka vektor-vektor x N( A) berbentuk x1 x 1 0 x 0 x4 0 1 Jadi basis untuk N( A) adalah,1,0,0 T dan,0,,1 T Teorema.6 Jika suatu matriks U berada dalam bentuk baris eselon maka vektor-vektor baris dengan utama 1 (yaitu vektor-vektor tak-nol) membentuk suatu basis untuk ruang baris U dan IF/011 9

40 vektor-vektor kolom dengan utama 1 dari vektor-vektor baris membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari U. Teorema.7 Jika A dan B adalah matriks yang ekivalen baris maka a. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang bebas linear jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang berpadanan dari B juga bebas linear. b. Suatu himpunan vektor kolom dari A yang diberikan membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari A jika dan hanya jika vektor-vektor kolom yang berpadanan dari B membentuk suatu basis untuk ruang kolom dari B. Berdasarkan teorema.6, teorema.7 dan teorema.5 maka kita dapat menentukan basis dari suatu matriks A dengan cara Diketahui himpunan vektor S = { v1, v,, v k } 1. Bentuk matriks A yang mempunyai vektor v1, v,, vk sebagai vektor-vektor kolomnya. Reduksi matriks A menjadi matriks baris eselon tereduksi R dan anggaplah w1, w,, wk adalah vektor-vektor kolom dari U.. Kenali kolom-kolom yang mengandung utama 1 di U. Vektor-vektor yang berpadanan dari A merupakan vektor-vektor basis yang membangun S. 4. Nyatakan setiap kolom dari U yang tidak mengandung utama 1 sebagai kombinasi linear n R dari vektor-vektor kolom yang mengandung utama 1. Persamaan yang berpadanan untuk vektor-vektor kolom dari A menyatakan bahwa vektor-vektor yang tidak ada dalam basis tersebut dapat diperoleh dari kombinasi linear dari vektor-vektor basisnya. IF/011 40

41 Definisi.1 Rank dari suatu matriks A adalah dimensi dari ruang baris/ruang kolom dari A. Nulitas adalah dimensi dari ruang nol. Pada umumnya jumlah rank dan nulitas akan selalu sama dengan banyak kolom dari matriks. Teorema.8 Jika A adalah matriks m x n, maka rank dari A ditambah nulitas dari A sama dengan n. Contoh.14 Diketahui Tentukan A a. Semua vektor baris dan vektor kolom dari A b. Basis dan dimensi dari ruang kolom A c. Basis dan dimensi dari ruang baris A Penyelesaian a. Vektor baris : v1 (1,,), v (,1,0), v (,1,1), v4 (5,0, 1) Vektor kolom : w1, w, w IF/011 41

42 b A U Bilangan utama 1 ada pada semua kolom pada matriks U sehingga basis dari ruang kolom adalah S { w1, w, w} dan dimensi ruang kolomnya adalah. c. T A U Bilangan utama satu terletak pada kolom ke-1,, maka basis dari ruang baris A adalah S { v, v, v } dan dimensi ruang baris A adalah. 1 Latihan.9 1. Tentukan basis dan dimensi dari ruang kosong A jika ada ( i) A ( ii) A Tentukan basis ruang kolom, basis ruang baris dan rank dari matriks A berikut ini Tentukan basis dari ruang yang direntang oleh vektor vektor berikut ini v1 (1,0,1,1), v (,,7,1), v ( 1,,9,), v4 ( 5,,5, 1) IF/011 4

43 4 RUANG HASIL KALI DALAM JUMLAH PERTEMUAN : PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Menghitung hasil kali dalam baku dan hasil kali silang.. Menggunakan aksioma hasil kali dalam untuk memeriksa ruang hasil kali dalam. Mengetahui sifat-sifat ruang hasil kali dalam 4. Menggunakan sifat-sifat basis ortogonal dan basis ortonormal 5. Menggunakan metode Gram-Schimdt untuk menentukan basis ortogonal. Materi : 4.1 Hasil Kali Dalam Baku Definisi 4.1 Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi maka dinotasikan uv. sebagai hasil kali titik/hasil kali skalar u. v u v u v 1 1 Jika u dan v adalah vektor-vektor kolom dalam ruang berdimensi maka u. v u v u v u v 1 1 Hasil kali dalam baku untuk R, R didefinisikan sebagai hasil kali skalar u, v. u v Definisi 4. IF/011 4

44 Jika u dan v adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi dan berdimensi, adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u v cos, jika u 0 dan v 0 uv. 0 jika u 0 dan v 0 Definisi 4. Jika u dan v adalah vektor-vektor tak-nol, maka sudut dari dua buah vektor dapat ditentukan dengan cara cos uv. u. v Latihan Jika 1 1 a b tentukan T a b dan ab,. Diketahui u (, 1,1) dan v (1,1,) Tentukan sudut antara u dan v. 4. Hasil Kali Silang Dalam penerapan vektor dalam ruang berdimensi kadang-kadang diperlukan suatu vektor yang tegak lurus terhadap dua vektor yang diketahui, untuk itu diperkenalkan sebuah jenis perkalian vektor yang menghasilkan vektor-vektor tersebut. Definisi 4.4 Jika u u1 u u v v1 v v (,, ), (,, ) adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi maka hasil kali silang uvadalah vektor yang didefinisikan sebagai IF/011 44

45 Contoh 4.1: u u u u u u uv,, v v v v v v Carilah uvdimana u (1,, ), v (,0,1). Penyelesaian : Susun dalam bentuk matriks Maka 1 1 uv,, (, 7, 6) Latihan 4. a. Hitunglah u v dimana u (, 1,1) dan v (1,1,) b. Kemudian tentukan u v dan u, v c. Hitunglah u v. u dan u v. v. Apa yang dapat Anda simpulkan dari hasil perhitungan tersebut? d. Periksalah apakah uv u. v ( u v) 4. Ruang Hasil Kali Dalam Definisi 4.5 Hasil kali dalam (dinotasikan <.,.>) adalah fungsi yang mengaitkan setiap vektor di ruang vektor V dengan suatu bilangan riil dan memenuhi aksioma berikut. Misalkan V adalah ruang vektor, u, v, wv suatu skalar, maka berlaku: IF/011 45

46 1. Simetris : u, v v, u. Aditivitas : u v, w u, w v, w. Homogenitas : u, v. u, v 4. Positifitas : uu, 0dan u, u 0 u 0 Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam. Contoh 4. n 1. Ruang hasil kali dalam Euclides ( R ) n Misalkan u, v R maka u, v u1v 1 uv... unvn. Panjang vektor di n R dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam yaitu 1/, n n u u u u u u u u u Dapat ditunjukkan bahwa sifat simetris, aditivitas, homogenitas dan positifitas dipenuhi n. Jarak antara dua vektor u, v R dinyatakan dengan d( u, v) juga dapat dinyatakan sebagai bentuk hasil kali dalam. d( u, v) u v u v, u v 1/ ( u v ) ( u v )... ( u v ) 1 1 n n. Misalkan W R yang dilengkapi dengan operasi hasil kali u, v u1v 1 uv uv dimana u, v W. Tunjukkan W adalah ruang hasil kali dalam. a. Simetris Ambil u, vw sembarang maka u, v u v u v u v v u v u v u v, u b. Aditivitas IF/011 46

47 Ambil u, v, ww sembarang maka u v, w ( u v ) w ( u v ) w ( u v ) w ( u w v w ) ( u w v w ) ( u w v w ) u w v w u w v w u w v w (u w u w u w ) (v w v w v w ) u, w v, w c. Homogenitas Ambil u, vw, skalar maka u, v u v u v u v 1 1 d. Positifitas Ambil uw maka (u v u v u v ) u, v 1 1 u, u u u u u u u u u u Karena u, u, u 0 maka 1 u u u 0 1 dan u u u 0 u Tunjukkan bahwa u, v u1v 1 uv uv bukan merupakan hasil kali dalam Perhatikan untuk u, u u u u saat 1 u u u maka uu, 0 1 Sehingga tidak memenuhi sifat positivitas. Latihan 4. IF/011 47

48 a. Periksa apakah u, v 4u1v 1 5uv adalah suatu hasil kali dalam pada b. Periksa apakah u, v u1v 1 uv adalah suatu hasil kali dalam pada R R c. Periksa apakah u, v u v u v u v adalah hasil kali dalam pada 1 1 R Teorema 4.1 Berikut ini beberapa sifat dari vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam Jika u, v, w adalah vektor-vektor dalam ruang hasil kali dalam real, dan adalah skalar sembarang maka : a. 0, v v,0 b. u, v w u, v u, w c. u, v. u, v d. u v, w u, w v, w e. u, v w u, v u, w Latihan Buktikan Teorema 4.1. Jika U u11 u1 v11 v1 V u u v v 1 1 didefinisikan hasil kali dalam untuk M maka U, V u v u v u v u v dan / U U, U u u u u Tentukan UV, jika U V IF/011 48

49 Definisi 4.6 Dua buah vektor u dan v dalam n R disebut ortogonal jika uv, 0 Latihan 4.5 Tunjukkan bahwa matriks U V saling ortogonal 4.4 Basis Ortonormal Definisi 4.7 Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1, v,, vn V. H v1, v,, vn disebut himpunan ortogonal jika untuk setiap vektor dalam V saling tegak lurus berlaku v, v 0 i j dan i, j 1,,..., n. i j Definisi 4.8 Diketahui V adalah ruang hasil kali dalam dan v1, v,, vn V himpunan ortonormal jika - G adalah himpunan ortogonal - Norma dari v 1, i 1,,..., n atau v, v 1 i i i. G v1, v,, vn disebut Latihan 4.6 Diketahui u u u R 1 (0,1,0), (1,0,1), (1,0, 1) dan R adalah ruang hasil kali dalam. a. Tunjukkan bahwa u1, u, u ortogonal b. Apakah u1, u, u ortonormal? IF/011 49

50 c. Hitunglah u1, u, u v. u, v. u, v. u u u u d. Tentukan v1, v, v e. Hitunglah v1, v, v f. Apakah v1, v, v adalah vektor ortonormal? NB: Vektor v1, v, v disebut vektor satuan/vektor normal karena vektor ini mempunyai panjang Metode Gram-Schimdt Basis yang berisi vektor-vektor ortonormal disebut basis ortonormal dan basis yang berisi vektor-vektor ortogonal disebut basis ortogonal. Perhatikan gambar berikut u u proyw u proyw u W proyw u W proyw u adalah proyeksi ortogonal u pada W dan proyw u adalah proyeksi ortogonal u pada W. Jika u proyw u proy u W maka proy u u proy W W u sehingga u proy u proy u dapat dituliskan menjadi u proy u ( u proy u) W W W W Teorema 4. Misalkan W adalah subruang berdimensi tehingga dari suatu ruang hasil kali dalam V. IF/011 50

51 a. Jika v1, v,..., vr adalah suatu basis ortonormal untuk W, dan u adalah sebarang vektor dalam V maka proy u u, v1 v1 u, v v... u, v v b. Jika dalam V maka Latihan 4.7 W r r v1, v,..., vr adalah suatu basis ortogonal untuk W dan u adalah sebarang vektor u, v1 u, v u, vr proywu v 1 v... v v v v 1 W adalah subruang yang dibangun oleh 1, v 4,0, 5 5. a. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W b. Tentukan proyeksi ortogonal dari u =(1,1,1) pada W r v v vektor-vektor ortonormal v1 (0,1,0), r Definsi 4.9 Metode Gram-Schimdt adalah metode yang digunakan untuk mengubah himpunan vektor yang bebas linear menjadi himpunan vektor ortogonal. Misalkan diketahui B = b1, b,..., bn adalah himpunan vektor yang bebas linear, maka B dapat diubah menjadi himpunan S = s1, s,..., s n yang ortogonal dengan cara: 1. s1 u1 u, s1. s u proyw u u s 1 s 1 1 IF/011 51

52 . 4. s u proy u u u, s1 s u, s s s s W 1 1 s u proy u u u4, s1 s u4, s s u4, s s s s s 4 4 W s u proy u u un, s1 s un, s s... un, sn s s s s n n W n n 1 n 1 n Contoh 4.: Diketahui u1, u, u adalah basis untuk ruang vektor R dengan hasil kali dalam. u1 (1,1,1), u (0,1,1), u (0,0,1). Maka : a. Ubahlah basis u1, u, u menjadi basis ortogonal s1, s, s b. Ubahlah basis s1, s, s menjadi basis ortonormal v1, v, v Penyelesaian 1. s1 u1 (1,1,1) u, s 1 1 0,1,1 (1,1,1),, s 1. s u proy u u s W1 1 u, s1 u, s. s u proyw u u s s s s / ,0,1 (1,1,1),, 0,, / IF/011 5

53 Jadi s1 (1,1,1) s,, s 0,, Setelah dihitung diperoleh norma dari masing-masing vektor 6 1 s1 s s Sehingga diperoleh basis ortonormal s s 1 1 v1,, v,, s s v s s 1 1 0,, Latihan 4.7 Diketahui H { v1, v, v} dengan v1 (1,1,1) v (1,,1) v ( 1,1,0) adalah basis a. Ubahlah H { v1, v, v} menjadi basis-basis ortogonal. b. Ubahlah H { v1, v, v} menjadi basis-basis ortonormal. Salah satu kegunaan dalam menggunakan basis ortonormal adalah sebagai berikut: Teorema 4. Jika S v1, v,..., vn uv maka berlaku: adalah suatu basis ortonormal untuk suatu ruang hasil kali dalam V, dan u u v v u v v u v v, 1 1,..., n n IF/011 5

54 Latihan 4.7 Diberikan suatu basis-basis ortonormal yang relatif terhadap suatu ruang hasil kali dalam. Tentukan vektor koordinat w terhadap basis yang bersangkutan. (,7) 1, 1 1, 1 1. w u1 u 1 ( 1,0,),,, 1, 1,,. w u1 u u IF/011 54

55 5 TRANSFORMASI LINEAR JUMLAH PERTEMUAN : PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : 1. Mengetahui definisi dan contoh-contoh transformasi linear.. Menggunakan definisi transformasi linear untuk memeriksa suatu fungsi merupakan suatu transformasi linear atau bukan.. Mengkaji sifat-sifat transformasi linear. 4. Menggunakan definisi ruang kernel dan range untuk menentukan basis dari suatu matriks transformasi 5. Menghitung dimensi dari matriks transformasi 6. Mengkaji sifat dari matriks transformasi, matriks standar pada operator linear 7. Menghitung matriks transisi P untuk menentukan matriks transformasi pada suatu basis B MATERI : 5.1 Transformasi Linear Definisi 5.1 Suatu fungsi yang memetakan suatu vektor di ruang vektor V ke ruang vektor W (dituliskan T : V W ) disebut sebagai transformasi linear bila u, vv berlaku : 1. T( u v) T( u) T( v). T( u) T( u) Jika V=W maka transformasi T : V V disebut suatu operator linear pada V. Transformasi T : V W dengan Tu ( ) 0 disebut transformasi nol. IF/011 55

56 Transformasi TA : V W dengan T( u) disebut matriks transformasi. Transformasi dengan I( u) Au disebut transformasi matriks, sedangkan A u, I disebut operator identitas pada V. Contoh 5.1 Diketahui linear? T : R Penyelesaian: R dengan x y x T x y. Periksalah apakah T adalah transformasi y Ambil x1 x u, v R sembarang y y 1 a. x1 x x1 x u v y y y y 1 1 maka x x ( x x ) ( y y ) x y x y T u v T x1 x x1 x T u T v y1 y y1 y y 1 y ( ) ( ) b. Ambil x u y 1 1 R, suatu skalar sembarang sehingga x y ( x y ) ( x y ) x T u T x x x T u ( ) ( ) y 1 y 1 y 1 y 1 x y x Jadi dari a) dan b) terbukti bahwa T x y adalah transformasi linear. y IF/011 56

57 Contoh 5. Diketahui linear? T : R Penyelesaian: R dengan x x T x y. Periksalah apakah T adalah transformasi y Untuk sebarang x u y R dan sebarang diperoleh 1 1 x1 x1 1 1 y1 y1 T( u) x. T( u). x x x Sehingga T x y y bukan merupakan transformasi linear. Latihan 5.1 Periksa apakah T : R transformasi linear P dengan a T b ( abc) ( a b) x ( a c) x c merupakan suatu Berikut ini adalah sifat-sifat transformasi linear Teorema 5.1 Jika a. b. adalah suatu transformasi linear, maka: IF/011 57

58 c. 5. Kernel dan Range Definisi 5. Diketahui transformasi linear T : V W dengan T( u), u V. Kernel dari T (dinotasikan Ker(T)) adalah himpunan u sedemikian sehingga Tu ( ) 0 atau Ker(T)=u T( u) 0. Ker(T) sering disebut ruang nol dari T. Himpunan semua b sedemikian sehingga T( u) range dari T atau disingkat RT ( ). RT ( ) disebut juga dengan bayangan u oleh Tu. ( ) b disebut Definisi 5. Jika adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T dinyatakan sebagai rank dari T (notasi : rank(t)) dan dimensi dari T dinyatakan nullitas dari T (notasi:nullitas(t)). Teorema 5. Jika A adalah suatu matriks mxn dan adalah perkalian dengan A, maka : a. Nullitas( = Nullitas(A) b. Rank(( = Rank (A) c. Rank(( + Nullitas( =n Contoh 5. Tentukan basis dan dimensi dari Ker( TA) dan RT ( A) dari transformasi linear T : R R A dengan TA( u) Au, dengan u R dan 1 1 A 4 IF/011 58

59 Penyelesaian : a. Kernel Ker( TA) adalah ruang nol dari T ( u) Au 0 maka A sehingga ts 1 u t 1 t 0 s s 0 1 Jadi basis b. Range 1 Ker( T A ) 1, dan Rank(( = dim Ker( TA) RT ( A) merupakan himpunan dari dengan maka adalah ruang kolom dari. Sehingga basis dari Latihan Tentukan Nullitas (T) berdasarkan informasi berikut ini a. punya rank (T) = b. punya rank(t) =1 c. Daerah hasil dari adalah 1 adalah dan Nullitas( = dim.. Diketahui transformasi matriks memiliki matriks transformasi A 1 1. Tentukan basis dan dimensi dari dan. 0. Anggap adalah operator linear yang ditentukan dari a. Tentukan basis dari ruang Kernel dan ruang Rangenya IF/011 59

60 b. Periksa apakah vektor (5,0) dan vektor (-,1) berada pada R(T) c. Periksa apakah vektor (,) dan vektor (5,10) berada pada Ker(T) 5. Matriks Transformasi Definisi 5.4 Diketahui ruang V,W dengan dimensi ruang vektor berturut-turut n dan m dan transformasi linear dengan fungsi,. Jika B merupakan basis V, dan B adalah basis dari W. Jika A adalah matriks standar maka dapat ditentukan dengan A disebut matriks untuk T berkenaan dengan basis B dan B T= transformasi V ke W T A Diasumsikan adalah basis pada ruang V dan adalah basis pada ruang W, maka untuk mengkonstruksi matriks A dapat diperoleh dengan cara mentransformasi basis-basis di B lalu menentukan koordinat vektor dari setiap hasil transformasi matriks terhadap basis-basis B. Dapat dituliskan A T ( u1) T ( u ' )... T ( u ) ' n ' B B B T T ( u ', 1) T ( u ' )... T ( u ) ' n ' atau B B B B B A matriks transformasi yang memetakan ke Sehingga dapat dituliskan menjadi. IF/011 60

61 Notasi subscript kanan adalah suatu basis untuk daerah asal T, sedangkan subscript kiri adalah suatu basis untuk ruang bayangan dari T. Jadi untuk notasi basis dari daerah asal adalah B dan basis untuk ruang bayangan adalah B. Jika V=W maka persamaan dapat dituliskan menjadi. Contoh 5.4 Diketahui transformasi linear dengan. Jika A = {(,1) T,(5,) T } adalah basis dari dan B= ={(1,0,-1) T,(-1,,) T,(0,1,) T }adalah dari a. Tentukan matriks T terhadap basis A dan B. b. Dengan cara tak langsung untuk Tentukan c. Dengan cara langsung untuk Tentukan Penyelesaian: a. Pertama dihitung nilai dan (dengan kata lain bayangan dari dan ) yaitu dan Karena dan berada di R dan B= adalah basis dari R maka masing dan dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari, sehingga dan Maka dengan OBE diperoleh vektor koordinat dan terhadap basis B yaitu IF/011 61

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.

Lebih terperinci

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BAB II DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS A. OPERASI ELEMENTER TERHADAP BARIS DAN KOLOM SUATU MATRIKS Matriks A = berdimensi mxn dapat dibentuk matriks baru dengan menggandakan perubahan bentuk baris dan/atau

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Macam Matriks Matriks Nol (0) Matriks yang semua entrinya nol. Ex: Matriks Identitas (I) Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya

Lebih terperinci

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR

M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR M AT E M AT I K A E K O N O M I MATRIKS DAN SPL TO N I BAKHTIAR I N S TITUT P ERTA N I A N BOGOR 2 0 1 2 Kesetimbangan Dua Pasar Permintaan kopi bergantung tidak hanya pada harganya tetapi juga pada harga

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 1 dan 2 Aljabar Linier Elementer Kuliah 1 dan 2 1.3 Matriks dan Operasi-operasi pada Matriks Definisi: Matriks adalah susunan bilangan dalam empat persegi panjang. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut

Lebih terperinci

Vektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor

Vektor. Vektor. 1. Pengertian Vektor Universitas Muhammadiyah Sukabumi Artikel Aljabar Vektor dan Matriks Oleh : Zie_Zie Vektor Vektor 1. Pengertian Vektor a. Definisi Vektor adalah suatu besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah. Contohnya

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Sistem Persamaan Linier dan Matriks Sistem Persamaan Linier dan Matriks 1.1 Pendahuluan linier: Sebuah garis pada bidang- dapat dinyatakan secara aljabar dengan sebuah persamaan Sebuah persamaan jenis ini disebut persamaan linier dalam dua

Lebih terperinci

1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom.

1.1 MATRIKS DAN JENISNYA Matriks merupakan kumpulan bilangan yang berbentuk segi empat yang tersusun dalam baris dan kolom. Bab MATRIKS DAN OPERASINYA Memahami matriks dan operasinya merupakan langkah awal dalam memahami buku ini. Beberapa masalah real dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Masalah tersebut antara lain

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan

Lebih terperinci

BAB 2. DETERMINAN MATRIKS

BAB 2. DETERMINAN MATRIKS BAB. DETERMINAN MATRIKS DETERMINAN MATRIKS . Definisi DETERMINAN Determinan : produk (hasil kali) bertanda dari unsur-unsur matriks sedemikian hingga berasal dari baris dan kolom yang berbeda, kemudian

Lebih terperinci

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN Modul Matriks Dra. Sri Haryatmi Kartiko, M.Sc. I PENDAHULUAN lmu pengetahuan dewasa ini menjadi semakin kuantitatif. Data numerik dengan skala besar, hasil pengukuran berupa angka sering dijumpai oleh

Lebih terperinci

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih:

Modul Praktikum. Aljabar Linier. Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: Modul Praktikum Aljabar Linier Disusun oleh: Machudor Yusman IR., M.Kom. Ucapan Terimakasih: David Abror Gabriela Minang Sari Hanan Risnawati Ichwan Almaza Nuha Hanifah Riza Anggraini Saiful Anwar Tri

Lebih terperinci

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks 1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi

Lebih terperinci

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j.

MATRIKS. a A mxn = 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn a ij disebut elemen dari A yang terletak pada baris i dan kolom j. MATRIKS A. Definisi Matriks 1. Definisi Matriks dan Ordo Matriks Matriks adalah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung. Jika suatu matriks tersusun

Lebih terperinci

METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n

METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV. Norma Puspita, ST. MT. a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n METODE MATRIKS (MATRIKS) Mekanika Rekayasa IV Norma Puspita, ST MT Matriks Matriks adlah susunan bilangan (elemen) yang disusun menurut baris dan kolom sehingga berbentuk persegi panjang Matriks dinotasikan

Lebih terperinci

SUMMARY ALJABAR LINEAR

SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan

Lebih terperinci

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA CATATAN KULIAH ALJABAR LINEAR MUSTHOFA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FMIPA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 20 SISTEM PERSAMAAN LINEAR Tujuan : Menyelesaikan sistem persamaan linear. OPERASI BARIS ELEMENTER

Lebih terperinci

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti

Part III DETERMINAN. Oleh: Yeni Susanti Part III DETERMINAN Oleh: Yeni Susanti Perhatikan determinan matriks ukuran 2x2 berikut: Pada masing-masing jumlahan dan Terdapat wakil dari setiap baris dan setiap kolom. Bagaimana dengan tanda + (PLUS)

Lebih terperinci

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66 MATRIKS Departemen Matematika FMIPA-IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66 Topik Bahasan 1 Matriks 2 Operasi Matriks 3 Determinan matriks 4 Matriks Invers 5 Operasi

Lebih terperinci

dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta

dimana a 1, a 2,, a n dan b adalah konstantakonstanta Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin, cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau dirinya sendiri. Secara umum persamaan

Lebih terperinci

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks

Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Matriks - 1: Beberapa Definisi Dasar Latihan Aljabar Matriks Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) Matriks -

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN Determinan Matriks Determinan Matriks Sub Pokok Bahasan Permutasi dan Determinan Matriks Determinan dengan OBE Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Beberapa Aplikasi

Lebih terperinci

Definisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}:

Definisi : det(a) Permutasi himpunan integer {1, 2, 3,, n}: Definisi : Determinan dari matrik bujursangkar A berorde n adalah jumlah semua permutasi n (n!) hasil kali bertanda dari elemen-elemen matrik. Dituliskan : det(a) atau A (jr j r...j n ).a jr a j r...am

Lebih terperinci

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

MATRIKS Nuryanto, ST., MT.

MATRIKS Nuryanto, ST., MT. MateMatika ekonomi MATRIKS TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah mempelajari bab ini, anda diharapkan dapat : 1. Pengertian matriks 2. Operasi matriks 3. Jenis matriks 4. Determinan 5. Matriks invers 6.

Lebih terperinci

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.

Lebih terperinci

Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks

Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menentukan ukuran dari matriks tersebut, disebut ordo matriks MATRIKS DEFINISI Matriks adalah susunan bilangan real atau bilangan kompleks (atau elemen-elemen) yang disusun dalam baris dan kolom sehinggga membentuk jajaran persegi panjang. Matriks memiliki m baris

Lebih terperinci

MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT)

MATRIKS DAN OPERASINYA. Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Nurdinintya Athari (NDT) MATRIKS DAN OPERASINYA Sub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya Operasi Matriks Operasi Baris Elementer Matriks Invers (Balikan) Beberapa Aplikasi Matriks

Lebih terperinci

Catatan Kuliah Aljabar Linier

Catatan Kuliah Aljabar Linier Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL

Lebih terperinci

8 MATRIKS DAN DETERMINAN

8 MATRIKS DAN DETERMINAN 8 MATRIKS DAN DETERMINAN Matriks merupakan pengembangan lebih lanjut dari sistem persamaan linear. Oleh karenanya aljabar matriks sering juga disebut dengan aljabar linear. Matriks dapat digunakan untuk

Lebih terperinci

MATRIK dan RUANG VEKTOR

MATRIK dan RUANG VEKTOR MATRIK dan RUANG VEKTOR A. Matrik. Pendahuluan Sebuah matrik didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matrik ditulis sebagai berikut: a a

Lebih terperinci

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. 1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y

Lebih terperinci

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR SOLUSI SISTEM PERSAMAAN LINEAR Bentuk umum persamaan linear dengan n peubah diberikan sebagai berikut : a1 x1 + a2 x2 +... + an xn = b ; a 1, a 2,..., a n R merupakan koefisien dari persamaaan dan x 1,

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 7 Aljabar Linier Elementer Kuliah 7 Materi Kuliah Ekspansi kofaktor Aturan Cramer 2 2.4 Espansi Kofaktor; Aturan Cramer Definisi: Jika A adalah matriks bujur sangkar, maka minor dari entri a ij dinyatakan

Lebih terperinci

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 LAMPIRAN 16 Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3 Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3. Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1

Aljabar Linear Elementer MA SKS. 07/03/ :21 MA-1223 Aljabar Linear 1 Aljabar Linear Elementer MA SKS 7//7 : MA- Aljabar Linear Jadwal Kuliah Hari I Hari II jam jam Sistem Penilaian UTS 4% UAS 4% Quis % 7//7 : MA- Aljabar Linear Silabus : Bab I Matriks dan Operasinya Bab

Lebih terperinci

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks

SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 1 Matriks dan Operasinya. 1. Pengertian Matriks JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FPMIPA UNIVERSITAS PENDIDIKAN MATEMATIKA MINGGU KE SILABUS MATA KULIAH : ALJABAR MATRIKS (2 SKS) KODE: MT304 POKOK & SUB POKOK TUJUAN INSTRUKSIONAL TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS

Lebih terperinci

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3.

Matriks - Definisi. Sebuah matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut matriks m n. Sebagai contoh: Adalah sebuah matriks 2 3. MATRIKS Pokok Bahasan Matriks definisi Notasi matriks Matriks yang sama Panambahan dan pengurangan matriks Perkalian matriks Transpos suatu matriks Matriks khusus Determinan suatu matriks bujursangkar

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dipaparkan mengenai konsep dasar tentang matriks meliputi definisi matriks, jenis-jenis matriks, operasi matriks, determinan, kofaktor, invers suatu matriks, serta

Lebih terperinci

Matriks Jawab:

Matriks Jawab: Matriks A. Operasi Matriks 1) Penjumlahan Matriks Jika A dan B adalah sembarang Matriks yang berordo sama, maka penjumlahan Matriks A dengan Matriks B adalah Matriks yang diperoleh dengan cara menjumlahkan

Lebih terperinci

Pertemuan 2 Matriks, part 2

Pertemuan 2 Matriks, part 2 Pertemuan 2 Matriks, part 2 Beberapa Jenis Matriks Khusus 1. Matriks Bujur Sangkar Suatu matriks dengan banyak baris = banyak kolom = n disebut matriks bujur sangkar berukuran n (berordo n). Barisan elemen

Lebih terperinci

MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR

MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR MAKALAH ALJABAR LINEAR TRANSFORMASI LINEAR ATAU PEMETAAN LINEAR Disusun oleh : 1. Supriyani (0903040095) 2. Sri Hartati (0903040113) 3. Anisatul M. (0903040065) TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------

Lebih terperinci

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3

Matriks. Baris ke 2 Baris ke 3 Matriks A. Matriks Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung

Lebih terperinci

BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS :

BAB I MATRIKS DEFINISI : NOTASI MATRIKS : BAB I MATRIKS DEFINISI : Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun/dijajarkan berbentuk persegi panjang (menurut baris dan kolom). Skalar-skalar itu disebut elemen matriks.

Lebih terperinci

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR

MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR MATRIKS VEKTOR DETERMINAN SISTEM LINEAR ALJABAR LINEAR 7.1 Matriks DEFINISI Susunan bilangan (fungsi) berbentuk persegi panjang yang ditutup dengan tanda kurung. Bilangan (fungsi) disebut entri-entri matriks.

Lebih terperinci

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan

Contoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS

MATRIKS. Notasi yang digunakan NOTASI MATRIKS MATRIKS Beberapa pengertian tentang matriks : 1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

MATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita

MATRIKS. Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita MATRIKS A. Pengertian Matriks. Pengertian Matriks dan Ordo Matriks Perhatikan tabel yang memuat data jumlah siswa di suatu sekolah Tabel Jumlah Siswa Kelas Laki-laki Wanita Ι ΙΙ ΙΙΙ Dari tabel di atas,

Lebih terperinci

Determinan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2

Determinan. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo 2 Determinan Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung

Lebih terperinci

Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij)

Operasi Pada Matriks a. Penjumlahan pada Matriks ( berlaku untuk matriks matriks yang berukuran sama ). Jika A = a ij. maka matriks A = ( a ij) MATRIKS a a a... a n a a a... an A a a a... a n............... am am am... a mn Matriks A dengan m baris dan n kolom (A m n). Notasi Matriks : a, dimana a adalah elemen pada baris ke i kolom ke j Kesamaan

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE

a11 a12 x1 b1 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Lanjutan Mencari Matriks Balikan dengan OBE a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Untuk DIPERHATIKAN! a A c Untuk mencari Matriks INVERS ordo 2, rumus: 1 1 d b A a d b c c a b

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015

Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan. Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Matematika Teknik I: Matriks, Inverse, dan Determinan Oleh: Dadang Amir Hamzah STT DR. KHEZ MUTTAQIEN 2015 Dadang Amir Hamzah (STT) Matematika Teknik I Semester 3, 2015 1 / 33 Outline 1 Matriks Dadang

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen

Lebih terperinci

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi

TUGAS MANDIRI MATRIKS. Mata Kuliah : Matematika ekonomi TUGAS MANDIRI MATRIKS Mata Kuliah : Matematika ekonomi NamaMahasiswa : Suriani NIM : 140610098 Kode Kelas Dosen : 141-MA112-M6 : NeniMarlinaPurbaS.Pd UNIVERSITAS PUTERA BATAM 2014 KATA PENGANTAR Puji syukur

Lebih terperinci

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan

Lebih terperinci

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier

PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier PAM 252 Metode Numerik Bab 3 Sistem Persamaan Linier Mahdhivan Syafwan Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas Semester Genap 2013/2014 1 Mahdhivan Syafwan Metode Numerik: Sistem Persamaan Linier

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II.A.1 Matriks didefinisikan sebagai susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Contoh II.A.1: 9 5

Lebih terperinci

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3 11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

Matriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers

Matriks. Matriks B A B. A. Pengertian Matriks. B. Operasi Hitung pada Matriks. C. Determinan dan Invers Matriks B B 3. Pengertian Matriks B. Operasi Hitung pada Matriks C. Determinan dan Invers Matriks D. Penerapan Matriks dalam Sistem Persamaan Linear Sumber: www.smanela-bali.net Pernahkah kalian mengamati

Lebih terperinci

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5

Aljabar Linear. & Matriks. Evangs Mailoa. Pert. 5 Aljabar Linear & Matriks Pert. 5 Evangs Mailoa Pengantar Determinan Menurut teorema 1.4.3, matriks 2 x 2 dapat dibalik jika ad bc 0. Pernyataan ad bc disebut sebagai determinan (determinant) dari matriks

Lebih terperinci

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse

Tujuan. Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Matriks Tujuan Mhs dapat mendemonstrasikan operasi matriks: penjumlahan, perkalian, dsb. serta menentukan matriks inverse Pengertian Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam

Lebih terperinci

Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik

Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Penyelesaian SPL dalam Rangkaian Listrik Harry Octavianus Purba (13514050) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha 10 Bandung 40132,

Lebih terperinci

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1 6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli

Lebih terperinci

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor

Lebih terperinci

MATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom)

MATRIKS. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris dan kolom) MTRIKS DEFINISI Bentuk umum =(aij),i=,,...m J=,,...m a a a n baris a a..a n baris MTRIKS Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil/kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris

Lebih terperinci