KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK
|
|
- Handoko Muljana
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2. Sudut antara dua garis lurus di bidang dan di ruang 3. Menentukan jarak titik ke garis di bidang dan di ruang 4. Menentukan jarak antara dua garis lurus di ruang. A. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Hubungan dua garis lurus dapat kita kaitkan dengan situasi sehari-hari. Jika terdapat dua garis lurus, maka ada beberapa hubungan atau situasi yang bisa terjadi. Kedua garis tersebut dapat sejajar, saling tegak lurus, berimpit, atau berpotongan. Kegiatan 4.1. Kedudukan Dua Garis Lurus di Bidang Untuk menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang, lakukan langkahlangkah berikut. 1. Pilih dua titik pada bidang koordinat, missal titik A dan B, kemudian hubungkan kedua titik tersebut, sehingga diperoleh suatu garis lurus AB, namakan garis h. 2. Hitunglah gradien garis h. 3. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis h, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 4. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilihlah dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis.
2 2 5. Gambarlah garis yang sejajar dengan garis, pilih dua titik pada garis, kemudian hitunglah gradien garis. 6. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai garis-garis h,, dan? 7. Apa yang dapat kalian simpulkan mengenai gradien dari garis-garis h,, dan. Dari kegiatan 4.1 di atas, jika kita perhatikan garis-garis h,, dan adalah garisgaris yang saling sejajar, dan jika hitung gradiennya maka mempunyai nilai gradien yang sama sehingga dapat di simpulkan bahwa garis-garis yang sejajar mempunyai gradien yang sama yaitu : = (16) Masalah 4.1 Diketahui persamaan garis =3 +5, tentukan gradien garis tersebut, kemudian tentukan gradien garis h yang sejajar dengan garis =3 +5 Dari masalah di atas, gradien garis =3 +5 adalah 3. Maka gradien garis h yang sejajar dengan garis =3 +5 adalah 3. Kegiatan Persamaan Gradien Garis Lurus Jika Garisnya Tegak Lurus Untuk menentukan gradien garis-garis yang saling tegak lurus maka lakukan langkah-langkah berikut. 1. Gambarlah grafik garis dengan persamaan =0 2. Hitunglah gradien garis. 3. Gambarlah grafik garis h dengan persamaan =0 4. Hitunglah gradien garis h. 5. Selidiki apakah garis tegak lurus pada garis h? 6. Tentukan hasil kali antara gradien garis dengan gradien garis h 7. Apa yang dapat kalian simpulkan dari hasil langkah ke-6 berdasarkan kedudukan garis dan h? Dari kegiatan 4.2 di atas, jika kita perhatikan garis dan h diperoleh hasil kali gradien-gradien yang saling tegak lurus adalah -1. Dengan demikian dapat (17)
3 3 diambil kesimpulan bahwa hasil kali gradien garis-garis yang saling tegak lurus adalah -1. Persamaan garis-garis yang saling tegak lurus adalah: Masalah 4.2 = Diketahui titik 4,5 dan titik 6, 3. Jika garis tegak lurus dengan garis, tentukan gradien garis. Berdasarkan permasalahan di atas, pertama sekali kita menghitung nilai gradien yang melalui titik 4,5 dan titik 6, 3 dengan menggunakan persamaan gradien pada kegiatan 3.1 yaitu: = Maka di dapat nilai gradiennya adalah = 4 5 Setelah memperoleh nilai gradien, karena garis tegak lurus dengan maka kita menggunakan persamaan pada kegiatan 3 yaitu: maka, = 1 Sehingga diperoleh, 4 5 = 1 = 5 4 Apabila dan adalah dua buah garis lurus pada bidang XOY, maka hubungan yang mungkin terjadi antara kedua garis tersebut adalah 1. berimpit dengan Misalkan + + =0 dan + + =0 maka g 1 dan g 2 dikatakan berimpit jika dan hanya jika: = = 2. sejajar dengan (tidak berimpit) Misalkan + + =0 dan + + =0 maka g 1 dan g 2 dikatakan sejajar jika dan hanya jika: = 3. berpotongan dengan
4 4 Misalkan + + =0 dan + + =0 maka dan dikatakan berpotongan jika dan hanya jika: Masalah 4.3 Diketahui garis =0, h 4 5 7=0 dan =0. Tentukan kedudukan antara garis dengan dan garis dengan h, apakah sejajar, berimpit atau berpotongan. : Garis =0, dan =0 = = 3 6 = 2 4 = 2 4 Kerena nilainya sama maka garis berimpit dengan garis. Garis =0, h 4 5 7= Karena nilainya tidak sama maka garis berpotongan dengan garis h. 4.1 Kedudukan Dua Garis Lurus di Ruang Misalkan,, =,, +,, dan,, =,, +,, Ada beberapa kemungkinan kedudukan antara garis dan. 1. Garis sejajar jika dan hanya jika :,, =,, atau = = 2. Garis berimpit dengan jika dan hanya jika:,, =,,,, =,,
5 5 Masalah 4.4 Tunjukkan bahwa garis sejajar dengan garis. 7 = 6 2 = dan = +2 = 1 = Vektor arah garis adalah 6,2,1 dan vektor arah adalah 6,2,1. Karena vektor arah sama dengan vektor arah berarti kedua garis tersebut sejajar tetapi tidak berimpit, karena hasil penggurangan 2 7,1 0,11 0 = 6,2,1 9,1,11 6,2,1. 3. Jika,,,,, maka garis dan mungkin saja berpotongan atau bersilangan. Misalkan berpotongan dengan, berarti ada titik potong,,. sehingga,, dan,, sebagai titik potong garis dan. Jika,, maka,, =,, +,,..(1) Jika,, maka,, =,,,,..(2) Dari persamaan (1) dan (2) jika di kurangkan menjadi:,, +,, =,,,, atau + = + = + = Berdasarkan teori persamaan linier, nilai dan ada, jika nilai determinannya: (18) = Merupakan syarat dua garis lurus berpotongan pada suatu titik. Jika nilai determinannya tidak sama dengan nol maka kedua garis tersebut bersilangan. Sedangkan persamaan bidang yang memuat kedua garis dan adalah: = (19)
6 6 Masalah 4.5 Tunjukkan bahwa garis berpotongan dengan garis. Jika berpotongan maka tentukan titik potong kedua garis tersebut serta tentukan bidang yang memuat kedua garis tersebut. 1 = = dan 4= +3 4 = +1 7,, = 1, 1, , 3,8,, = 4, 3, 1 + 1, 4,7 Jika kita perhatikan vektor arah kedua garis tersebut tidak berkelipatan berarti kedua garis tersebut tidak sejajar dan tidak berimpit. Untuk menunjukkan kedua garis tersebut berpotongan, kita harus mencari determinannya terlebih dahulu, dan nilai determinannya harus sama dengan nol. = = = = =0 0=0 Karena determinannya sama dengan nol maka garis berpotongan dengan garis. Titik potong kedua garis tersebut diperoleh dari persamaan: 2 + =3 3 4 = =9 Cukup kita ambil dua persamaan, sehingga diperoleh nilai dan dengan cara mengeliminasikan kedua persamaan tersebut. Setelah di eliminasi maka diperoleh nilai =2 dan = 1. Untuk memperoleh titik potong kedua garis tersebut kita menggunakan persamaan:,, =,, +,,
7 7,, = 1, 1, , 3,8,, = 5, 7,6 Jika kita menggunakan persamaan:,, =,,,,,, = 4, 3, 1 1 1, 4,7,, = 5, 7, 6 Jadi, titik potong kedua garis tersebut adalah 5, 7,6 Bidang rata yang memuat garis dan adalah: = = = = =0 Jadi, persamaan bidang yang memuat kedua garis tersebut adalah =0. B. Garis Lurus Memotong Dua garis Lurus Lain di Bidang dan di Ruang 4.2 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Bidang Misalkan + + =0 dan + + =0. Untuk menentukan persamaan garis lain kita menggunakan persamaan berkas garis, berkas garis adalah garis-garis yang melalui sebuah titik yang sama (satu titik tetap) sedangkan arahnya berlainan. Persamaan berkas garis adalah + = dimana disebut dengan parameter dan harus linier. Titik potong S kedua garis dan terletak pada garis, berarti koordinat titik potong tersebut memenuhi ke dalam persamaan garis maupun ke dalam garis. Serta untuk tiap-tiap harga bentuk + =0 selalu linier, sehingga menghasilkan sebuah garis lurus yang melalui S. Jadi dapat disimpulkan bahwa semua garis yang didapat dari persamaan + =0 selalu melalui titik potong kedua garis dan. (20) Masalah 4.6 Diketahui dua garis lurus = 1 dan = +2
8 8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut. Buatlah berkas garis + = sehingga dapat di tulis menjadi: = = 0 Karena garis tersebut melalui titik pangkal yaitu 0,0 maka diperoleh: =0 sehingga di dapatlah nilai =. Subsitusikan nilai = ke persamaan (1) yaitu: = = = =0 = 1 2 Jadi, persamaan garis lurus yang melalui titik pangkal dan titik potong kedua garis tersebut adalah =. 4.3 Garis Lurus Memotong Dua Garis Lurus Lain Di Ruang Jika =0= dan =0= maka persamaan umum dari garis lurus yang memotong dan adalah + = dan + = (21) Masalah 4.7 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2, 1,1 dan memotong garis-garis lurus 2 + 4=0, +2 =0 serta +3 =4,2 +5 = 8.
9 9 Persamaan umum garis lurus yang memotong dan adalah: + = dan + = Pertama kita menggunakan persamaan + = = =0 (22) Karena melalui titik 2, 1,1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (22), = =0 1+ =0 =1 Subsitusikan nilai =1 ke persamaan (22) sehingga diperoleh persamaan garis: = = =0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + + =. Kedua kita menggunakan persamaan + = = = 0 (23) Karena melalui titik 2, 1,1 maka subsitusikan titik tersebut ke persamaan (23), = = 0 1+ =0 = 1 Subsitusikan nilai = 1 ke persamaan (23) sehingga diperoleh persamaan garis: = = = 0 Jadi, persamaan garis lurus adalah + =.
10 10 C. Sudut Antara Dua Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sekarang kita perhatikan sudut yang merupakan sudut diantara dua garis lurus di bidang seperti yang terlihat pada Gambar 4.1. Jika = + dan = +. Sudut adalah sudut perpotongan antara kedua garis tersebut. tan = dan tan = = + = tan =tan tan tan tan = 1+tan.tan karena tan = dan tan = maka di peroleh suatu persamaan: tan = 1+. Supaya sudut selalu lancip, maka tan harus bernilai positif, oleh karena itu diambil harga mutlaknya yaitu: =. (24) =. (25) CATATAN (4) Jika =, maka =. Ini berarti dua garis tersebut sejajar atau berimpit. Dua garis tersebut akan sejajar apabila dan dua garis tersebut berimpit, apabila =.
11 11 Jika harga tan besarnya tak berhingga, yaitu =, maka +. = atau. =. Ini berarti kedua garis tersebut saling tegak lurus. Masalah 4.8 Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik 2,1 dan mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis =0. Perhatikan gambar 4.2 di bawah ini adalah sketsa dari ketentuan-ketentuan dalam soal dan garis dan adalah garis-garis yang mengapit sudut yang besarnya 45 dengan garis 2 +3 =4=0. Tanjakan garis =0 adalah =. Misalkan tanjakan garis yang dicari adalah, maka tan45 = 1+. 1= = = + 2 3
12 = = 5 3 = 1 5 Jadi, persamaan garis adalah garis dengan gradien = 2,1, yaitu: = dan melalui titik 1= = =0 Gradien garis adalah = 5, karena garis tegak lurus dengan garis sehingga diperoleh persamaan garis melalui titik 2,1 dengan gradien = 5 adalah = 1= 5 2 1= =0 Berdasarkan proses di atas, persamaan garis lurus yang melalui titik 2,1 adalah + = dan + =. Sedangkan sudut antara garis dan di ruang adalah sudut antara vektor-vektor arah,, dan,, yaitu: cos =,,.,,,,,, + + cos = Jadi, persamaan untuk menentukan sudut antara dua garis lurus di ruang adalah: = CATATAN (5) (25) Jika kedua garis dan saling tegak lurus apabial dot product vektor arah mereka sama dengan nol sehingga diperoleh suatu persamaan:,,.,, = + + = (26)
13 13 Masalah 4.9 Tentukan sudut antara garis h,, = 1,2,0 + 2, 1,2 dan garis,, = 2, 6,3. Sudut antara garis h dan garis adalah + + cos = cos = cos = cos = cos = 3.7 cos = 4 21 Jadi, sudut antara garis h dan garis adalah = cos. D. Jarak Sebuah Titik Ke Sebuah Garis Lurus di Bidang dan di Ruang Sebelumnya kita sudah mempelajari kegiatan 3.3 yaitu persamaan normal Hesse adalah cos + sin = dengan adalah jarak dari titik pangkal ke garis dan adalah sudut antara jarak tersebut dengan sumbu positif serta titik, yang berjarak dari garis seperti yang terlihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.
14 14 Gambar 4.3. Garis Lurus sejajar dengan garis Dari persamaan normal Hesse tersebut dapat ditentukan persamaan normal garis yang melalui titik, dan sejajar dengan garis. Jelas bahwa panjang normal dari normal dari garis adalah +, maka persamaan normal garis adalah + + =. Karena titik, pada garis, maka koordinat-koordinat titik memenuhi persamaan garis, sehingga diperoleh + + =. Jadi, = +. Dengan cara yang sama dapat ditentukan pula jarak tersebut apabila titik-titik dan terletak sepihak terhadap garis, sehinga diperoleh = +. Karena adalah jarak, maka nilainya harus positif, sehingga harus diambil harga mutlaknya. = + (27) Jika persamaan garisnya merupakan persamaan untuk umum, maka untuk menentukan jarak suatu titik pada garis tersebut harus diubah ke persamaan normal. Karena persamaan normal garis + + =0 adalah =0 Maka jarak titik, ke garis tersebut adalah = Bentuk persamaan normal garis = + adalah =0 1+ Maka jarak titik, ke garis = + adalah (28)
15 15 = (29) Masalah 4.10 Tentukan jarak titik 2,3 ke garis 3 4 3=0 Jarak titik 2,3 ke garis 3 4 3=0 adalah = = = = 9 5 = 9 5 Sedangkan jarak titik ke garis di ruang, kita misalkan titik,, dan garis tersebut berada di ruang. Kita dapat di menghitungnya dengan cara sebagai berikut: 1. Buat bidang melalui yang tegak lurus garis. 2. Cari titik, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. 3. Setelah dapat titik maka hubungkan titik ke sehingga terbentuklah sebuah garis lurus yaitu garis. Garis adalah suatu garis yang tegak lurus garis dan melalui titik sehingga panjang adalah jarak titik ke garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.4 dibawah ini. Gambar 4.4. Bidang rata tegak lurus terhadap garis
16 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan Untuk mencari panjang kita menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu = + +. Masalah 4.11 Tentukan jarak titik 4, 5,3 ke garis lurus 5 = = +6 5 Untuk mencari jarak titik ke garis lurus kita ikuti langkah-langkah di atas: 1. Buat bidang melalui titik,, yang tegak lurus garis Persamaan bidang rata yang melalui titik,, adalah + + = = 0 Karena bidang maka = sehingga di peroleh,, =,, 3, 4,5 =,, Berarti =3, = 4 dan =5, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu = = =0 (1) 2. Cari titik,, titik ini adalah titik tembus garis pada bidang. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang, kita gunakan persamaan parameter garis lurus yaitu = + = + = + = 5+ 3 = 3 4..(2) = 6+ 5 Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1), untuk memperoleh niai = = = =0 =1
17 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 17 Subsitukan nilai =1 ke persamaan (2), sehingga diperoleh = 5+ 3=8 = 3 4= 7 = 6+ 5= 1 Jadi, titik adalah 8, 7, Jarak antara titik 4, 5,3 ke titik 8, 7, 1 adalah = + + = = = = 36=6 Jadi, jarak titik ke garis tersebut adalah 6 satuan panjang. E. Jarak Antara Dua Garis Lurus di Ruang Untuk mencari jarak antara dua garis lurus dan di ruang ada beberapa hal yang harus di perhatikan yaitu: 1. Jika dan sejajar, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Pilihlah sebarang titik pada garis berarti,, b. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis, yang dengan sendirinya juga tegak lurus pada pada garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.5 di bawah ini. Gambar 4.5. Bidang rata tegak lurus terhadap dua garis yang sejajar c. Tentukan titik, titik adalah titik tembus garis pada. d. Setelah titikk di dapat maka carilah panjang dimana panjang ini adalah jarak antara garis dan garis. Seperti yang terlihat pada Gambar 4.6 di bawah ini.
18 18 Gambar 4.6. Bidang rata sejajar dengan garis lurus e. Mencari panjang dengan menggunakan persamaan jarak antara dua titik yaitu: = Jika dan bersilangan, maka kita dapat menghitung jaraknya dengan mengikuti langkah-langkah berikut ini. a. Buat bidang rata yang melalui garis dan sejajar dengan garis. b. Pilih sebarang titik pada garis. c. Tentukan jarak titik ke bidang, jarak ke bidang ini adalah jarak antara garis dan garis. d. Untuk menghitung jarak titik ke bidang, kita menggunakan Masalah 4.12 persamaan jarak antara titik ke bidang rata yaitu = Tentukan jarak antara garis lurus dan dibawah ini. 2 = 2 3 = 2 2 = 4 = 8 3 Pertama-tama kita perhatikan apakah kedua garis tersebut sejajar atau bersilangan. Jika kedua garis tersebut sejajar maka kita menggunakan langkah yang pertama, dan jika tidak maka kita menggunakan langkah yang kedua. Perhatikan vektor arah kedua garis lurus tersebut, apakah sama atau tidak. Ternyata kedua garis tersebut memiliki vektor arah yang sama yaitu 2,3,1,
19 Modul Geometri Analitik Berbasis Kontruktivisme dengan 19 berarti kedua garis tersebut sejajar. Karena maka kita menggunakan langkah yang pertama yaitu: 1. Pilihlah sebarang titik pada garis, berarti,, Titik 2,0,2 yang terletak pada garis berarti 2,0,2. 2. Buat bidang rata yang melalui titik dan tegak lurus pada garis yang juga akan tegak lurus dengan garis. Persamaan bidang rata yang melalui titik 2,0,2 adalah + + = = = 0 Karena bidang maka = sehingga di peroleh,, =,, 2,3,1 =,, Berarti =2, =3 dan =2, subsitusikan nilai tersebut ke persamaan bidang yaitu = = = 0..(1) 3. Tentukan titik,, titik adalah titik tembus garis pada. Untuk menentukan titik tembus garis pada bidang rata adalah dengan menggunakan persamaan parameter garis lurus yaitu = + = + = + = 2 = 4+3.(2) = 8+ Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (1) untuk memperoleh nilai yaitu = = = =0 = 1 Subsitusikan nilai = 1 ke persamaan (2) sehingga diperoleh = 2 = =1 = 8+ 1 =7 Jadi titik adalah 2,1,7. 4. Jarak antara titik,, ke titik,, adalah
20 20 = + + = = = = 42 Jadi, jarak antara garis ke garis adalah 42 satuan panjang. Rangkuman 1. Kedudukan dua garis lurus di Bidang, Jika garis sejajar dengan garis maka = Jika garis tegak lurus dengan garis maka. = Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika = dan =. Garis berpotongan dengan garis jika dan. 2. Kedudukan dua garis lurus di Ruang, Jika garis sejajar dengan garis maka = Garis berimpit dengan garis jika dan hanya jika = dan,, = Garis berpotongan dengan garis jika dan hanya jika. 3. Persamaan garis lurus yang perpotongan dengan dua buah garis lurus di bidang adalah + = sedangkan persamaan garis lurus yang berpotongan dengan garis lain adalah + = dan + =. 4. Sudut antara dua buah garis lurus di bidang adalah = + sedangkan sudut antara dua buah garis lurus di ruang adalah = Jarak sebuah titik, ke garis + + =0 adalah = + + +
MODUL 2 GARIS LURUS. Mesin Antrian Bank
1 MODUL 2 GARIS LURUS Gambar 4. 4 Mesin Antrian Bank Persamaan garis lurus sangat berperan penting terhadap kemajuan teknologi sekarang ini. Bagi programmer handal, banyak aplikasi yang membutuhkan persamaan
Lebih terperinciMODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]
1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata
Lebih terperinciSUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA
1 KEGIATAN BELAJAR 6 SUDUT DAN JARAK ANTARA DUA BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 6 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan sudut antara dua bidang rata 2. Menentukan jarak sebuah
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
1 KEGIATAN BELAJAR 3 PERSAMAAN GARIS LURUS Setelah mempelajari kegiatan belajar 3 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. menentukan persamaan gradien garis lurus, 2. menentukan persamaan vektoris dan persamaan
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada
Lebih terperinciBola dan bidang Rata
1 KEGIATAN BELAJAR 9 Bola dan Bidang Rata Setelah mempelajari kegiatan belajar 9 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan bidang singgung bola dan titik kuasa bola. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciGEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT. sofyan mahfudy-iain Mataram 1
GEOMETRI ANALITIK PERTEMUAN2: GARIS LURUS PADA BIDANG KOORDINAT sofyan mahfudy-iain Mataram 1 Sasaran kuliah hari ini 1. Mahasiwa dapat menjelaskan konsep kemiringan garis/gradien 2. Mahasiswa dapat menentukan
Lebih terperinciProgram Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR
VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,
Lebih terperincic. 2 d Jika suatu garis mempunyai persamaan 2x + y + 4 = 0, maka gradiennya adalah a. 2 b. ½ c. 2 d. ½
1 SOAL LATIHAN UH MATEMATIKA PERSAMAAN GARIS LURUS KELAS 8 SMP I. Pilihan Ganda GRADIEN (m) 1. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah a. b. 4 c. d.. Persamaan garis y = x, maka gradiennya adalah
Lebih terperinciVII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK
HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciGaris Singgung Lingkaran
1 KEGIATAN BELAJAR 8 Garis Singgung Lingkaran Setelah mempelajari kegiatan belajar 8 ini, mahasiswa diharapkan mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran dan kuasa lingkaran. Pernahkah Anda memperhatikan
Lebih terperinciPERSAMAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORMAL. (,, ) dan (,, ). Dan misalkan
PERSAAAN BIDANG RATA DAN VEKTOR NORAL Bila terdapat tiga titik yang tidak kolinear maka ketiga titik itu menentukan sebuah bidang rata. dan. Dan misalkan isalkan ketiga titik itu masing-masing vector-vektor
Lebih terperinciPENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK. 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar
PENGANTAR KALKULUS PEUBAH BANYAK ERIDANI 1. Pengertian Vektor pada Bidang Datar Misalkan R menyatakan sistem bilangan real, yaitu himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan empat operasi baku (tambah,
Lebih terperinciBESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS A. Menggambar grafik garis lurus Langkah langkah mengambar grafik persamaan garis lurus sama dengan langkahlangkah membuat grafik pada sistim koordinat. Gambarlah grafik persamaan
Lebih terperinciBAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor
BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS
1 KEGIATAN BELAJAR 13 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELLIPS Setelah mempelajari kegiatan belajar 13 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Elips, Titik Singung dan Garis Pada kegiatan
Lebih terperinciPP' OP = OP' PERSAMAAN UMUM LINGKARAN
Bab III : Lingkaran 30 Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik ang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak ang sama itu disebut jari-jari sedangkan titik tetap dinamakan pusat lingkaran 3..
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 15 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 15 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menemukan Persamaan Garis Singgung Hiperbola, Titik Singung dan Garis
Lebih terperinciSEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA
PEMERINTAH PROVINSI DAERAH KHUSUS IBUKOTA JAKARTA DINAS PENDIDIKAN SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP) NEGERI 103 JAKARTA SEKOLAH STANDAR NASIONAL (SSN) Jl. RA Fadillah Komp. Kopassus Cijantung Telp. 8400005,
Lebih terperinciArahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,
VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,
Lebih terperinciVektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.
Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4
BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk
Lebih terperinciMATEMATIKA DASAR TAHUN 1987
MATEMATIKA DASAR TAHUN 987 MD-87-0 Garis singgung pada kurva y di titik potong nya dengan sumbu yang absisnya positif mempunyai gradien 0 MD-87-0 Titik potong garis y + dengan parabola y + ialah P (5,
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciKONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA
Prosiding Seminar Nasional Volume 02, Nomor 1 ISSN 2443-1109 KONSTRUKSI PERSAMAAN GARIS LURUS MELALUI ANALISIS VEKTORIS DALAM RUANG BERDIMENSI DUA Rio Fabrika Pasandaran 1, Patmaniar 2 Universitas Cokroaminoto
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS FUNGSI LINIER
MODUL MATEMATIKA BISNIS 2 FUNGSI LINIER Definisi Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut, atau dengan kata lain
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
dan Gradien dan Gradien Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia dan Gradien Turunan-turunan parsial f x (x, y) dan f y (x, y) mengukur laju perubahan (dan kemiringan garis singgung) pada arah sejajar
Lebih terperinciBAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG
BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciVEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.
VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciModul. Geometri Analitik Ruang. Jero Budi Darmayasa
Modul Geometri Analitik Ruang Pada perkuliahan Geometri Analitik Ruang, diawali dengan diskusi tentang sistek koordinat tegak lurus pada ruang. Untuk pembicaraan saat ini, terdapat beberapa kajian yaitu
Lebih terperinci1. Jika f ( x ) = sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ) =. a. 2 b. 2 c. 2. Diketahui f(x) = sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x) =.
1. Jika f ( x ) sin² ( 2x + ), maka nilai f ( 0 ). a. 2 b. 2 c. d. e. 2. Diketahui f(x) sin³ (3 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f (x). a. 6 sin² (3 2x) cos (3 2x) b. 3 sin² (3 2x) cos (3 2x) c. 2
Lebih terperinciAnalisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah
Lebih terperinciTURUNAN FUNGSI. dy (y atau f (x) atau ) dx. Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :
TURUNAN FUNGSI dy (y atau f () atau ) d Hal-hal yang perlu diingat untuk menyelesaikan turunan fungsi aljabar adalah :. ( a + b) = ( a + ab + b ). ( a b) = ( a ab + b ) m n m n. a = a 4. a m = a m m m.
Lebih terperinciVektor Ruang 2D dan 3D
Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciFUNGSI. A. Relasi dan Fungsi Contoh: Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii)
FUNGSI A. Relasi dan Fungsi Manakah yang merupakan fungsi/pemetaan dan manakah yang bukan fungsi? (i) (ii) (iii) Relasi himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memasangkan/mengkawankan/mengkorepodensikan
Lebih terperinciDr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY
SISTEM-SISTEM KOORDINAT Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Sistem Koordinat Kartesian Dalam sistem koordinat Kartesian, terdapat tiga sumbu koordinat yaitu sumbu x, y, dan z. Suatu titik
Lebih terperinci2. Memahami dan mampu menyelesaikan Permasalahan yang berkaitan dengan vektor di Ruang Tiga, yaitu Persamaan Bidang
TUJUAN EMBELAJARAN Agar pembaca memahami tentang Sistem Koordinat Kartesian beserta fungsinya yaitu titik, jarak dua titik, persamaan bola serta Vektor dalam ruang dimensi tiga beserta aplikasinya yaitu
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciVektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3
Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciMAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS
MAKALAH GEOMETRI ANALITIK RUANG PERSAMAAN GARIS LURUS Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Geometri Analitik Ruang Dosen Pengampu : NINA AGUSTYANINGRUM, M.Pd Disusun Oleh Yani Novita Murni
Lebih terperinciB.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis
BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS LURUS
Bab 4 PERSAMAAN GARIS LURUS A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar 1. Mampu mentransformasi diri dalam berpilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan
Lebih terperinciPerkalian Titik dan Silang
PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut
Lebih terperinciOutline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika
Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya
Lebih terperinciBAB I VEKTOR DALAM BIDANG
BAB I VEKTOR DALAM BIDANG I. KURVA BIDANG : Penyajian secara parameter Suatu kurva bidang ditentukan oleh sepasang persamaan parameter. ; dalam I dan kontinue pada selang I, yang pada umumnya sebuah selang
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciPembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN)
Pembahasan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi Negeri (SNMPTN) Bidang Matematika Kode Paket 578 Oleh : Fendi Alfi Fauzi 1. Diketahui vektor u = (a,, 1) dan v = (a, a, 1). Jika vektor u tegak lurus
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciVEKTOR II. Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 03 Kelas X matematika PEMINATAN VEKTOR II Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami tentang pembagian vektor.. Memahami tentang
Lebih terperinciPertemuan ke 8. GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x D f } disebut grafik fungsi f.
Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(,y): y = f(), D f } disebut grafik fungsi f. Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTAT MATEMATIKA II (PERSAMAA GARIS DA PERSAMAA BIDAG DATAR) Drs. A. ABABA PURAWA, M.T JURUSA PEDIDIKA TEKIK MESI FAKULTAS PEDIDIKA TEKOLOGI DA KEJURUA UIVERSITAS PEDIDIKA IDOESIA 004 PERSAMAA GARIS DA
Lebih terperinciDIKTAT MATEMATIKA II
DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah
Lebih terperinciMatematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor. Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya
Matematika Teknik Dasar-2 5 Perkalian Antar Vektor Sebrian Mirdeklis Beselly Putra Teknik Pengairan Universitas Brawijaya Komponen-Komponen Vektor dalam Suku-Suku Vektor Satuan Artinya, OP = a (di sepanjang
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciDiferensial Vektor. (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan III) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciBank Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Lurus
Bank Soal dan Pembahasan Persamaan Garis Lurus 1. Garis m mempunyai persamaan y = -3x + 2. Garis tersebut memotong sumbu Y dititik... a. (0, -3) b. (0, 2) c. (0, 3) d. (0, -2) e. (0, 4) Pembahasan : Persamaan
Lebih terperinciSISTEM KOORDINAT. Berikut ini kita akan mempelajari bagaimana menentukan sistem koordinat dibidang dan diruang.
1 KEGIATAN BELAJAR 1 SISTEM KOORDINAT Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini, mahasiswa diharapkan mampu menggambarkan dan membedakan sebuah titik yang terletak di bidang dan Berikut ini kita akan
Lebih terperinci(A) 3 (B) 5 (B) 1 (C) 8
. Turunan dari f ( ) = + + (E) 7 + +. Turunan dari y = ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( + ) (E) ( ) ( + ) 7 5 (E) 9 5 9 7 0. Jika f ( ) = maka f () = 8 (E) 8. Jika f () = 5 maka f (0) +
Lebih terperinciKALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA
KALKULUS BAB I. PENDAHULUAN DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA BAB I Bilangan Real dan Notasi Selang Pertaksamaan Nilai Mutlak Sistem Koordinat Cartesius dan Grafik Persamaan Bilangan Real dan Notasi Selang Bilangan
Lebih terperinciBAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
BAB III TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n 1. FUNGSI DUA PEUBAH ATAU LEBIH fungsi bernilai riil dari peubah riil, fungsi bernilai vektor dari peubah riil Fungsi bernilai riil dari dua peubah riil yakni, fungsi
Lebih terperinciFUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR. EvanRamdan
FUNGSI DAN PERSAMAAN LINEAR TEORI FUNGSI Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel (terikat dan bebas), koefisien dan
Lebih terperincimatematika KTSP & K-13 GARIS SINGGUNG LINGKARAN K e a s A. Definisi Garis Singgung Lingkaran Tujuan Pembelajaran
KTSP & K-3 matematika K e l a s XI GARIS SINGGUNG LINGKARAN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami definisi garis singgung lingkaran..
Lebih terperinciSoal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q
Soal No. 1 Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan titik ujung Q a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom b) Nyatakan PQ dalam bentuk i, j (vektor satuan) c) Tentukan
Lebih terperinciPenyelesaian : Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. 3 x
Latihan : Tentukan persamaan garis a. Melalui (3, 0) dan (0, 6) b. Melalui (0, 1) dan (4, 0) c. y 3 x 9 3. Hubungan dua buah garis Letak dua buah garis y = m 1 x + c 1 dan y = m 2 x + c 2 dalam satu bidang
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciBab 3. Persamaan Garis Lurus. Standar Kompetensi. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus.
Bab 3 Persamaan Garis Lurus Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi, dan persamaan garis lurus. Kompetensi Dasar 1.4 Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis lurus 3.1 Pengertian
Lebih terperinciAljabar Linier & Matriks
Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya
Lebih terperinciSistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier
Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinci18. VEKTOR. 2. Sudut antara dua vektor adalah. a = a 1 i + a 2 j + a 3 k; a = 2. Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian vektor dengan bilangan real:
8. VEKTOR A. Vektor Secara Geometri. Ruas garis berarah AB = b a. Sudut antara dua vektor adalah. Bila AP : PB = m : n, maka: B. Vektor Secara Aljabar a. Komponen dan panjang vektor: a = a a a = a = a
Lebih terperinciBab 1 : Skalar dan Vektor
Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar
Lebih terperinci8. Nilai x yang memenuhi 2 log 2 (4x -
1. Agar F(x) = (p - 2) x² - 2 (2p - 3) x + 5p - 6 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p p > l 2 < p < 3 p > 3 1 < p < 2 p < 1 atau p > 2 2. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciPeta Konsep. Standar Kompetensi. Kompetensi Dasar. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi. persamaan garis lurus
PErSamaan GarIS lurus Untuk SMP Kelas VIII Peta Konsep Standar Kompetensi Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus Kompetensi Dasar Menentukan gradien, persamaan dan grafik garis
Lebih terperinciAB = AB = ( ) 2 + ( ) 2
Nama Siswa Kelas LEMBAR AKTIVITAS SISWA HUBUNGAN ANTAR GARIS Titik Tengah Sebuah Segmen Garis : : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.10 Menganalisis sifat dua garis sejajar dan saling tegak lurus dan
Lebih terperinciPertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS. Interpretasi Geometri pada Sampel. Generalisasi varians
Pertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS Interpretasi Geometri pada Sampel Generalisasi varians , Interpretasi Geometri pada Sampel Sample Geometry and Random Sampling Data sampel
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS. Dua garis sejajar mempunyai gradien sama, sehingga persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (3,4) adalah
PERSAMAAN GARIS. SIMAK UI Matematika Dasar 9, 9 Diketahui adalah garis l yang dinyatakan oleh det( A) dimana A x y, persamaan garis yang sejajar l dan melalui titik (,4) adalah... A. x y 7 C. x y E. x
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciUKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI
UKURAN RUAS-RUAS GARIS PADA SEGITIGA SKRIPSI Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana
Lebih terperinci12. PERSAMAAN GARIS LURUS
12. PERSAMAAN GARIS LURUS A Persamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus merupakan sebuah persamaan linier dua variabel (PLDV) dengan dua variabel yang tidak diketahui. Ilustrasi: Dari persamaan garis,
Lebih terperincia menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1
1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai
Lebih terperinci(2) Titik potong kurva dengan sumbu y, bila x = 0, diperoleh x = 0 y = mx + n y = m(0) + n y = n Jadi, titik potongnya dengan sumbu y, adalah (0, n) y
BAB 3 FUNGSI LINIER DAN PERSAMAAN GARIS LURUS 3.1 Pengantar Fungsi linier adalah bentuk fungsi yang paling sederhana. Banyak hubungan antara variable ekonomi, dalam jangka pendek dianggap linier. Pengetahuan
Lebih terperinciMatematika EBTANAS Tahun 1986
Matematika EBTANAS Tahun 986 EBT-SMA-86- Bila diketahui A = { x x bilangan prima < }, B = { x x bilangan ganjil < }, maka eleman A B =.. 3 7 9 EBT-SMA-86- Bila matriks A berordo 3 dan matriks B berordo
Lebih terperinciIKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2
IKIP BUDI UTOMO MALANG GEOMETRI HAND OUT 2 ALFIANI ATHMA PUTRI ROSYADI, M.Pd 4/14/2012 KUMPULAN DEFINISI DAN AKSIOMA DALAM GEOMETRI Nama Definisi 2.1 Definisi 2.2 Definisi 2.3 Definisi 2.4 Definisi 2.5
Lebih terperinci