Aljabar Linier. Kuliah

Transkripsi

1 Aljabar Linier Kuliah

2 Materi Kuliah Transformasi Linier Kernel dan Image dari Transformasi Linier isomorfisma Teorema Rank plus Nullity 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 2

3 Transformasi Linier Definisi: Misalkan V dan W ruang vector atas lapangan F. Fungsi T: V W adalah transformasi linier jika T ru + sv = rt u + st(v) Untuk semua scalar r, s F dan vector u, v V. Catatan: Definisi ini ekivalen dengan Misalkan V dan W ruang vector atas lapangan F. Fungsi T: V W adalah transformasi linier jika T u + v = T u + T(v) T ru = rt u Untuk semua scalar r F dan vector u, v V. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 3

4 Catatan: 1. Himpunan semua transformasi linier dari V ke W disimbolkan dengan L(V, W). 2. Operator Linier = Endomorfisma : Transformasi linier dari V ke V. 3. Operator riil : Transformasi linier dari V ke V dengan V ruang vector atas bilangan riil. 4. Operator kompleks: Transformasi linier dari V ke V dengan V ruang vector atas bilangan kompleks. 5. Fungsional linier: Transformasi linier dari V ke F. 6. Himpunan semua fungsional linier pada V disimbolkan dengan V, disebut ruang dual V. 7. Homomorfisma = transformasi linier. 8. Monomorfisma = transformasi linier yang injektif. 9. Epimorfisma = transformasi linier yang surjektif. 10. Isomorfisma = transformasi linier yang bijektif. 11. Automorfisma = operator linier yang bijektif 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 4

5 Contoh: 1. Derivatif D: V V adalah operator linier dengan V himpunan semua fungsi terdifferensial tak hingga pada R. 2. Operator integral τ: F[x] F[x] yang didefinisikan x dengan τ f = 0 f t dt adalah operator linier pada F[x]. 3. Misalkan A matriks m n atas F. Fungsi τ A : F n F m didefinisikan τ A v = Av, di mana semua vektor ditulis sebagai vektor kolom adalah transformasi linier dari F n ke F m 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 5

6 Teorema Himpunan L(V, W) adalah ruang vector atas F dengan penjumlahan fungsi dan perkalian scalar fungsi biasa. 2. Jika σ L(V, W) dan τ L(V, W), maka komposisi τσ L(V, W). 3. Jika τ L V, W adalah bijektif, maka τ 1 L(V, W). 4. Ruang vectorl(v) adalah aljabar, dimana perkalian adalah fungsi komposisi. Pemetaan identitas i L(V) adalah identitas untuk multipilikatif dan pemetaan 0 adalah identitas untuk penjumlahan. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 6

7 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 7

8 Teorema 2.2 Misalkan V dan W ruang vector dan misalkan B = v i i I adalah basis untuk V. Maka dapat didefinisikan transformasi linier τ L(V, W) dengan τ a 1 v 1 + a 2 v a n v n = a 1 τ v 1 + a 2 τ v a n τ v n Proses ini mendefinisikan transformasi linier yang tunggal, yaitu jika τ, σ L(V, W) memenuhi τ v i = σ v i untuk semua v i B maka τ = σ. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 8

9 Kernel dan Image dari Transformasi Linier Definisi: Misalkan τ L V, W. Himpunan ker τ = v V τ v = 0 disebut kernel dari τ dan Himpunan im τ = τ(v) v V disebut image dari τ. Dimensi dari ker(τ) disebut nullity dari τ, disimbolkan dengan null(τ). Dimensi dari im(τ) disebut rank dari τ dan disimbolkan dengan rk(τ). Catatan: ker τ = v V τ v = 0 adalah subruang di V dan im τ = τ(v) v V subruang di W. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 9

10 Sifat Teorema 2.3 Misalkan τ L V, W. Maka: 1. τ surjektif jika dan hanya jika im τ = W. 2. τ injektif jika dan hanya jika ker τ = 0 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 10

11 Bukti Teorema 2.3 (1) 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 11

12 Bukti Teorema 2.3 (2) 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 12

13 Isomorfisma Definisi: Misalkan V dan W ruang vektor atas F dan τ: V W adalah transformasi linier. τ disebut isomorfisma jika τ bijektif. Jika isomorfisma dari V ke W ada, maka dikatakan V dan W isomorfik dan ditulis V W. Contoh: Misalkan dim V = n. Untuk sebarang basis terurut B di V, pemetaan koordinat φ B : V F n, yaitu setiap vektor v V dibawa ke koordinat matriknya v B F n adalah isomorfisma. Oleh karena itu sebarang ruang vektor berdimensi-n atas lapangan Fadalah isomorphik ke F n. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 13

14 Teorema 2.4: Misalkan τ L V, W adalah isomorphisma dan S V. Maka: 1. S spans V jika dan hanya jika τ(s) spans W. 2. S bebas linier di V jika dan hanya jika τ(s) bebas linier di W. 3. S basis untuk V jika dan hanya jika τ(s) basis untuk W. Catatan. Jika τ L V, W dan S V, maka τ S = τ(s) s S 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 14

15 Bukti Teorema 2.4 (3) Diketahui τ L V, W, τ isomorphisma, S V, dan S basis untuk V. Akan dibuktikan τ(s) basis untuk W. Misalkan S = v 1, v 2,, v n. Untuk membuktikan τ(s) basis di W, berarti harus dibuktikan W = span(τ S ) dan τ(s) bebas linier. Akan dibuktikan W = span(τ S ). Ambil sebarang w W. Karena τ isomorphism (berarti surjektif dan injektif), maka terdapat v V sehingga τ v = w. Karena S = v 1, v 2,, v n basis untuk V berarti v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n. Berarti τ v = τ a 1 v 1 + a 2 v a n v n = w. Karena τ L V, W, berarti τ a 1 v 1 + a 2 v a n v n = a 1 τ v 1 + a 2 τ v a n τ v n = w.artinya w kombinasi linier dari τ v 1, τ v 2,, τ v n Dengan kata lain τ v 1, τ v 2,, τ v n span W atau W = span τ v 1, τ v 2,, τ v n = span(τ S ). 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 15

16 Bukti Teorema 2.4 (3) - Sambungan Akan dibuktikan τ(s) bebas linier. Bentuk a 1 τ v 1 + a 2 τ v a n τ v n = 0, akan dibuktikan a i = 0 untuk i = 1,2,, n. Karena τ L V, W, berarti a 1 τ v 1 + a 2 τ v a n τ v n = τ a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Artinya a 1 v 1 + a 2 v a n v n ker τ. Karena τ injektif berarti ker τ = {0} (Teorema 2.3(2)). Berarti a 1 v 1 + a 2 v a n v n = 0. Karena v 1, v 2,, v n bebas linier ( v 1, v 2,, v n basis V) berarti hanya dipenuhi oleh a 1 = 0, a 2 = 0,, a n = 0. Jadi a 1 τ v 1 + a 2 τ v a n τ v n = 0 hanya dipenuhi oleh a 1 = 0, a 2 = 0, a n = 0. Dengan kata lain {τ v 1, τ v 2,, τ v 2 } bebas linier atau τ(s) bebas linier. Terbukti {τ v 1, τ v 2,, τ v 2 } atau τ(s) basis untuk W. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 16

17 Teorema 2.5 Suatu transformasi linier τ L V, W adalah isomorphis jika dan hanya jika terdapat basis B untuk V dimana τ B basis untuk W. Dalam kasus ini, τ memetakan sebarang basis untuk V ke basis untuk W. Teorema 2.6 Misalkan V dan W ruang vektor atas F. jika dan hanya jika dim V = dim W. Maka V W 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 17

18 Teorema Rank Plus Nullity Teorema 2.8 Misalkan τ L V, W. 1. Komplemen dari ker(τ) isomorphik dengan im(τ). 2. dim(ker(τ)) + dim (im(τ)) = dim(v) atau dengan kata lain rk τ + null τ = dim(v). Korolari 2.9 Misalkan τ L V, W, dim V = dim(w) <. Maka τ injektif jika dan hanya jika τ surjektif. 1/11/2014 Yanita FMIPA Matematika Unand 18