BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BESARAN VEKTOR. Gb. 1.1 Vektor dan vektor"

Transkripsi

1 BAB 1 BESARAN VEKTOR Tujuan Pembelajaran 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahkan vektor secara grafis dan dengan vektor komponen 3. Melakukan perkalian vektor dengan besaran skalar dan vektor lain Mempelajari fisika secara utuh dan mendalam tidak bisa dilakukan tanpa memahami aturanaturan pengoperasian vektor. Sebagaimana telah dipelajari di sekolah menengah, sebagian besaran hanya dinyatakan dengan nilai (magnitude) dan satuan saja, sementara sebagian besaran lainnya dinyatakan dengan nilai, satuan, dan juga arah. Besaranbesaran jenis pertama disebut besaran skalar sedangkan besaranbesaran jenis kedua disebut besaran vektor. Contoh dari besaran skalar adalah jarak, kelajuan, massa, suhu, waktu, usaha, dan energi. Contoh dari besaran vektor adalah perpindahan, kecepatan, percepatan, gaya, momentum, impuls, dan momen gaya (torsi). A. Representasi Vektor, Kesamaan Vektor, dan Komponen Vektor Besaran vektor dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan tegak atau dengan huruf biasa (tegak dan tidak tebal) namun dengan anak panah diatasnya. Pada buku ini, besaran vektor ditandai dengan huruf tegak, baik huruf kapital atau pun tidak, yang dicetak tebal. Secara grafis, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai (besar/magnitudo) vektor. Pada Gb. 1.1 diberikan contoh dua buah vektor, vektor dan vektor. A2 A1 (a) (b) Gb. 1.1 Vektor dan vektor Sebagai vektor, vektor dan memiliki baik nilai dan juga arah. Nilai dari vektor disimbolkan dengan atau sederhananya, dan direpresentasikan/ditunjukkan oleh panjang anak panah. Arah vektor adalah ke kanan atau membentuk sudut 0 terhadap sumbu x positif. Sementara itu, vektor memiliki nilai atau dengan arah terhadap sumbu x positif. Dari gambar di atas tampak bahwa nilai vektor lebih besar daripada nilai vektor. Selain itu, kedua vektor tersebut juga memiliki arah yang berbeda. Maka vektor. A B C D E F G Gb. 1.2 Macammacam nilai dan arah vektor Dua vektor dikatakan sama jika nilai dan arah keduanya sama. Untuk lebih jelasnya, perhatikan Gb. 1.2 berikut. Vektor A memiliki nilai 3 2 satuan dengan arah membentuk sudut 45 o terhadap sumbu x positif. Vektor lain yang memiliki nilai yang sama dengan vektor A adalah vektor E dan G. Vektor lain

2 2 yang memiliki arah yang sama dengan vektor A adalah vektor B dan G. Maka vektor lain yang sama dengan vektor A hanya vektor G sehingga dapat ditulis A = G. Suatu vektor lebih mudah dianalisis jika digambarkan pada sistem koordinat cartesian, seperti vektor pada Gb. 1.3 (a) dan vektor pada Gb. 1.3 (b). Vektorvektor tersebut dapat diuraikan pada tiaptiap sumbu koordinat. Penguraian vektor pada suatu sumbu koordinat dilakukan dengan memproyeksikan vektor pada masingmasing sumbu. Vektor dalam koordinat dua dimensi dapat diurai menjadi dua vektor komponen, dengan satu vektor komponen pada masingmasing sumbu. Vektorvektor komponennya adalah, vektor komponen pada sumbu, dan, vektor komponen pada sumbu. Sementara Vektor yang merupakan vektor tiga dimensi dapat diurai menjadi tiga vektor komponen, yaitu (vektor komponen sumbu ), (vektor komponen sumbu ), and (vektor komponen sumbu ). (a) (b) Gb. 1.3 Vektor dan vektorvektor komponennya Pada Gb. 1.3 (a), vektor S diuraikan menjadi dua vektor komponennya, maka jumlah kedua vektor komponen tersebut sama dengan vektor S, = + dengan = vektor komponen S pada sumbu x = vektor komponen S pada sumbu y Berdasarkan gambar, nilai vektor yaitu dapat dinyatakan dengan nilainilai dari vektor komponennya, dan dengan menggunakan teorema pitagoras, yaitu = + dengan = nilai vektor = nilai = nilai Sementara itu, vektor T pada Gb. 1.3 (b) terurai pada tiga sumbu, maka hubungan yang berlaku adalah = + + dengan = vektor komponen T pada sumbu x = vektor komponen T pada sumbu y

3 3 = vektor komponen T pada sumbu z Nilai vektor T, yaitu jika dinyatakan dalam nilainilai vektor komponennya yaitu,, and! dengan menggunakan teorema Phytagoras, diperoleh = + +! dengan = nilai vektor T = nilai = nilai! = nilai. B. Vektor Satuan Vektor satuan adalah vektor tak berdimensi yang bernilai satu dan dengan arah tertentu. Vektor satuan dilambangkan dengan huruf yang dicetak tebal dan diberi tanda topi di atasnya. Oleh karena tidak berdimensi maka vektor satuan bukanlah z vektor dalam arti yang sebenarnya. Vektor satuan hanya membawa informasi arah saja. &' Pada sistem koordinat cartesian, didefinisikan vektorvektor satuan % y pada masingmasing sumbu. Vektorvektor satuan tersebut adalah ", %, dan " &', yang secara berturutturut mengarah pada sumbu x positif, sumbu y positif, dan sumbu z positif (Gb. 1.4). Dengan adanya definisi vektor satuan ", %, dan &' maka sembarang vektor dalam koordinat cartesian dapat dinyatakan menggunakan vektorvektor satuan tersebut. Vektor S dan T pada Gb. 1.3 sebelumnya, jika dinyatakan dengan vektor satuan maka menjadi =S ) " +S * % = " + % +! &' Gb. 1.4 Vektor satuan Selanjutnya, kita juga dapat mencari vektor satuan pada sembarang arah, misalnya vektor satuan yang searah dengan vektor. Vektor satuan ini diperoleh dengan membagi vektor dengan nilainya sendiri,. Vektor satuan ini dilambangkan dengan +, dan disebut sebagai vektor satuan dari. + = + = S ) " +S * % + Contoh Soal Posisi titik A (6,6) dan titik B (5,2) dalam koordinat cartesius masingmasing dinyatakan oleh vektor, dan vektor,. a) Nyatakan vektor, dan, dalam ungkapan vektor satuan adalah ", %, dan &', serta tentukan vektorvektor komponennya masingmasing! b) Tentukan vektor satuan yang searah dengan vektor, dan vektor,

4 4 Penyelesaian a) Vektor, = 6 " +6 %, komponennya adalah, = 6 ", dan, =6 % Vektor, =5 " +2 %, komponennya adalah, =5 ",, =2 % b) Vektor satuan yang searah,,. =, " +6%,. = 7( 6) +6 6 " +6%,. = 6 2 " + %,. = 2,. = " 2 + % 2 Yang searah, :,. =, / 0 5 " +2%,. = " +2%,. = 29,. = 5 " % 29 C. Penjumlahan Vektor Penjumlahan pada besaran vektor hanya dapat dilakukan terhadap besaranbesaran vektor yang sejenis. Penjumlahan vektor dapat dilakukan secara grafis maupun menggunakan vektor komponen. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon. 1. Metode Jajargenjang Penjumlahan kedua vektor dengan metode jajargenjang dilakukan dengan membuat dua garis putusputus yang masingmasing sejajar dengan vektor A dan B. Garis putusputus yang sejajar dengan vektor A diletakkan di ujung vektor B, dan garis putusputus yang sejajar dengan vektor B, diletakkan di ujung vektor A. Hasilnya, diperoleh bangun jajar genjang yang dibentuk oleh kedua vektor dan kedua garis putusputus tersebut. Resultan dari vektor dan B adalah sebuah vektor yang terletak pada diagonal jajar genjang tersebut dengan titik pangkal berimpit dengan titik pangkal kedua vektor (Gb. 1.5). ;=+ : : Gb. 1.5 Penjumlahan vektor dengan metode jajargenjang

5 5 Jika nilai vektor A dan vektor B diketahui serta sudut yang dibentuk oleh keduanya diketahui maka nilai resultan vektor R dapat diperoleh dengan menggunakan rumus cosinus, yaitu < =7 += +2= cos : dengan = nilai vektor A = = nilai vektor B : = sudut yang dibentuk oleh vektor A dan B 2. Metode Poligon Penjumlahan vektor dengan metode poligon disebut juga dengan penjumlahan vektor dengan metode segibanyak. Jika vektor yang dijumlahkan hanya dua buah maka disebut juga dengan metode segitiga. Penjumlahan beberapa vektor dengan metode poligon dilakukan dengan menggeser vektor kedua sehingga pangkal vektor kedua berimpit dengan ujung vektor pertama. Selanjutnya vektor ketiga digeser posisinya sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor kedua, begitu seterusnya sampai vektor teraktir. Resultan vektor dari penjumlahan ini adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit pada pangkal vektor pertama dan ujung yang berimpit dengan vektor terakhir. Perlu diketahui bahwa suatu vektor dapat digeser posisinya dengan syarat panjang dan arahnya tetap sama. ; ; (a) (b) (c) Gb. 1.6 Sifat komutatif pada penjumlahan vektor Sebagai contoh, pada Gb. 1.6 (a) terdapat dua vektor sejenis, vektor dan vektor. Penjumlahan keduanya dilakukan dengan menggeser vektor B sehingga pangkalnya berimpit dengan ujung vektor A. Maka vektor resultan ;, dimana ;= +, adalah suatu vektor dengan titik pangkal yang berimpit dengan titik pangkal vektor A dan ujung yang berimpit dengan ujung vektor B, Gb. 1.6 (b). Hasil yang sama akan diperoleh jika +. Pada Gb. 1.6 (c) terlihat bahwa ;= +. Dengan demikian, berlaku sifat komutatif pada penjumlahan vektor, yaitu ;= + = +. Lebih lanjut, jika tiga buah vektor dijumlahkan, misalnya vektor,,dan D, maka caranya dengan menggeser vektor agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, setelah itu menggeser vektor D agar pangkalnya berimpit dengan ujung vektor, seperti yang ditunjukkan pada Gb. 1.7 Maka diperoleh resultan vektor, ;=++D D ; D 3. Metode Vektor Komponen Gb. 1.7 Penjumlahan tiga vektor Sekarang mari kita lihat bagaimana menggunakan metode vektor komponen untuk menjumlahkan vektor secara matematis. Anggap kita memiliki dua vektor, dan, yaitu = " + %

6 6 == " += % Jika dijumlahkan maka resultannya adalah ;= + ;=E " + % F+(= " += % ) ;=( " += " )+( % += % ) ;=( += ) " +E += F % Sementara itu, vektor ; dapat dinyatakan dengan vektor satuan, ;=< " +< % maka diperoleh nilai vektor komponen dari ;, yaitu < = += < = += Contoh Soal Pada gambar di samping, diberikan tiga vektor gaya. Tentukan resultan dari ketiga gaya itu menggunakan metode jajargenjang, poligon, dan vektor komponen! Penyelesaian Penjumlahan dengan metode jajargenjang dan poligon yaitu: (a) Metode jajargenjang (b) Metode poligon Tampak bahwa resultan vektor yang diperoleh dari kedua metode ini adalah sama. Jika dinyatakan dalam vektor satuan, resultannya adalah G ; G +G +G I =10 " 2 % Sementara itu, untuk menjumlahkan dengan metode vektor komponen, terlebih dahulu kita harus menuliskan ketiga vektor dengan ungkapan vektor satuan ", %, dan &'. Dari gambar diperoleh G = 4" +4%, G =9", dan G I =5" 6% Maka resultan dari ketiga vektor itu adalah G ; =G +G +G I G ; =( 4 " +4 % )+(9 " )+(5 " 6 % ) G ; =10 " 2 % Hasil ini sama dengan yang diperoleh sebelumnya. Namun, metode vektor komponen lebih mudah digunakan. D. Pengurangan Vektor

7 7 Pengurangan vektor adalah penjumlahan suatu vektor dengan vektor negatif. Jika vektor dikurangi dengan vektor maka sama dengan vektor ditambahkan dengan negatif dari vektor. =+( ) Negatif dari vektor yaitu vektor adalah suatu vektor yang memiliki nilai sama dengan vektor namun berlawanan arah. Pada Gb. 1.8 (a), diberikan vektor,, dan D. Negatif dari ketiga vektor tersebut ditunjukkan oleh Gb. 1.8 (b). D D (a) Gb. 1.8 (a) Vektor,, dan D (b) (b) Negatif dari vektor,, dan D Dengan menggunakan vektor negatif, prosedur pengurangan vektor secara prinsip sama dengan penambahan vektor. Berikut ini diperlihatkan hasil dari pengurangan vektor :, D, dan. D D (a) (b) (c) Gb. 1.9 Pengurangan vektor Jika vektor dapat dinyatakan dalam vektorvektor komponennya, pengurangan vektor dapat dilakukan secara matematis. Misalnya = " + % == " += % Maka pengurangan vektor dengan vektor = " + % E= " += % F = " = " + % = % =( = ) " +E = F % Contoh Soal Tentukan hubungan yang benar dari vektorvektor kecepatan pada tiaptiap gambar berikut! K I K I K K K K K I K K (a) (b) (c)

8 8 Penyelesaian Hubungan vektor dapat dicari dengan menggunakan metode poligon pada penjumlahan vektor. Pertama menentukan titik acuan, misalnya titik sudut sebelah kiri bawah segitiga. Setelah itu, tentukan arah putaran, misalnya jika arah vektor searah dengan arah putaran jarum jam, maka bernilai positif, dan jika berlawanan arah maka negatif. Untuk gambar (a) K +( K I )+( K )=0 K K I K =0 K =K +K I E. Perkalian Vektor Untuk gambar (b) K +K I +K =0 K +K +K I =0 Untuk gambar (c) K +K I +K =0 K +K I =K Suatu vektor dapat dikalikan dengan konstanta, besaran skalar, atau dengan vektor lainnya. Jika vektor dikalikan dengan suatu konstanta atau besaran skalar positif, misalnya L, maka hasilnya adalah vektor L, yaitu suatu vektor dengan arah sama dengan vektor dan bernilai L. Namun jika dikalikan dengan konstanta atau besaran skalar negatif L, maka hasilnya adalah vektor L, suatu vektor yang memiliki arah berlawanan dengan vektor dan bernilai L. Sementara itu, perkalian vektor dengan vektor tidak sesederhana perkalian vektor dengan skalar atau konstanta. Terdapat tiga bentuk perkalian vektor dengan vektor, perkalian titik (dot product), perkalian silang (cross product), dan perkalian dyadic (perkalian tensor). Masingmasing memiliki aturannya sendiri. Pada modul ini hanya akan dibahas dua bentuk perkalian, yaitu perkalian titik, dan perkalian silang. Adapun perkalian dyadic akan dipelajari pada Mata Kuliah Mekanika. 1. Perkalian Titik Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = = OPQ : dengan : adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Interpretasi geometris perkalian titik vektor dan vektor adalah perkalian skalar antara panjang vektor dengan panjang proyeksi vektor A pada vektor B (Gb a), atau perkalian skalar antara panjang vektor A dengan panjang proyeksi vektor B pada vektor A (Gb b). : 0 = cos : = R == cos : : (a) (b) Gb Interpretasi geometris perkalian titik Jika vektor dan vektor dinyatakan dengan dalam vektor satuan, maka perkalian titiknya diuraikan sebagai berikut =E " + % F (= " += % ) = = (" " )+ = (" % )+ = (% " )+ = (% % )

9 9 = = + = sedangkan hasil perkalian titik vektor dengan dirinya sendiri, maka =E " + % F ( " + % ) = (" " )+ (" % )+ (% " )+ (% % ) = + = Perkalian titik dapat digunakan untuk menentukan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, yaitu cos:= = Beberapa sifatsifat perkalian titik 1. = 2. = 3. " " = % % = &' &' =(1)(1) cos0=1 4. " % = % &' = &' " =(1)(1) cos90 T =0 5. Vektor and saling tegak lurus jika =U dan dan bukan nol 2. Perkalian Silang Berbeda dengan perkalian titik, perkalian silang dari dua vektor menghasilkan besaran vektor yang arahnya tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai = WX dengan ==sin: dan : adalah sudut yang dibentuk oleh kedua vektor, dan WX adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari vektor. Secara geometri, nilai dari perkalian silang dua vektor menyatakan luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut (Gb. 1.11). luas bangun jajargenjang yang dibentuk oleh dan sin : : = Gb Interpretasi geometris dari

10 10 Terdapat aturan untuk menentukan arah dari yang disebut dengan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contohnya, perkalian silang " dengan %, " % seperti yang ditunjukkan oleh Gb (a). z " &' % y Arah putaran (a) (b) Gb (a) Perkalian silang " % (b) Aturan tangan kanan Dari definisi perkalian silang, maka " % = " % sin: WX " % = 1 1 sin90 T WX " % = WX Kemana arah WX? Jika kita mengepalkan tangan kanan dengan arah lipatan ke empat jari searah dengan putaran dari ujung vektor " ke ujung vektor % maka ibu jari akan mengarah ke sumbu z, searah dengan vektor &'. Oleh karena nilai vektor WX sama dengan satu, dan searah dengan &' maka WX=&'. Dengan demikian, maka diperoleh " % = &' Beberapa sifat dari perkalian silang: 1. " % = &', % &' =", &' " =% 2. % " = &', &' % = ", " &' = % 3. " " = % % = &' &' =0 ( karena : =0 ) 4. = 5. Vektor sejajar dengan vektor jika =0 dan dan tidak nol Contoh 6. Soal Diberikan vektor [=" +2% +2&' dan vektor \=2" 2% +&', a. gambar vektor [ dan \ dalam koordinat cartesian b. tentukan nilai vektor [ dan \ c. tentukan hasil dari [ \ d. tentukan hasil dari [ \ e. tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor [ and \ f. tentukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh vektor [ dan \ Penyelesaian a. Vektor [ dan \ pada koordinat cartesian ditunjukkan oleh gambar z b. Nilai vektor [ 2 [ 1 ^=^ +^ +^! ^= \ y 2

11 11 ^= 9 ^=3 b. Nilai vektor \ _ =_ +_ +_! ^=72 +( 2) +1 ^= 9 ^=3 c. Hasil dari [ \ [ \=E" +2% +2&'F E2" 2% +&'F [ \=2 4+2 [ \=0 d. Hasil dari [ \ [ \=E" +2% +2&'F E2" 2% +&'F [ \=" 2" +" ( 2% )+" &' +2% 2" +2% ( 2% )+2% &' [ \=+2&' 2" +2&' ( 2% )+2&' &' [ \=0 2&' % 4&' +U+2" +4% +4" +U [ \=6" +3% 6&' e. sudut yang dibentuk kedua vektor sin:= [ \ ^_ sin:= ( 6) 3 3 sin:= 81 9 sin:=1 maka :=90 T f. misalkan vektor satuannya WX, maka WX= [ \ [ \ WX= 6" +3% 6& ' 9 WX= 2 3 " +1 3 % 2 3 & '

12 12 RANGKUMAN 1. Besaran vektor adalah besaran yang dinyatakan dengan nilai, satuan, dan arah. 2. Secara geometris, vektor direpresentasikan dengan anak panah. Arah anak panah menyatakan arah vektor dan panjangnya menyatakan nilai vektor. 3. Penjumlahan vektor dibedakan dalam dua jenis, penjumlahan secara grafis dan penjumlahan secara matematis. Penjumlahan vektor secara grafis dapat dilakukan dengan metode jajargenjang dan metode poligon sedangkan penjumlahan secara matematis dilakukan dengan metode vektor komponen. 4. Penjumlahan vektor A and B dengan metode jajargenjang ; 5. Penjumlahan vektor dengan metode poligon D ; D 6. Penjumlahan vektor A dengan vektor B menggunakan metode vektor komponen ;=< " +< % dimana < = += dan < = += 7. Perkalian titik dua vektor menghasilkan besaran skalar. Perkalian titik vektor dan vektor didefinisikan sebagai = =cos: 8. Perkalian silang dari vektor and vektor didefinisikan sebagai ==sin: WX dan ==sin: 9. Aturan untuk menentukan arah dari vektor hasil perkalian silang menggunakan kaidah tangan kanan (right hand rule). Contoh: " % =&'.

13 13 SOAL PEMAHAMAN KONSEP 1. Berikut ini adalah vektorvektor dari besaran momentum, vektor yang memiliki nilai paling besar adalah... a. b. c. 2. Hubungan yang benar dari vektorvektor berikut adalah... D a. D=+b. D= c. D= 3. Hubungan yang benar dari vektorvektor berikut adalah... D a. + D=0 b. +D=0 c. ++D=0 4. Vektor komponen pada sumbu x dari vektor A adalah... y a. OPQ : " b. Qab : " c. " c x 5. Perhatikan gambar pada Soal no.4! Nilai vektor komponen pada sumbu y dari vektor A adalah... a. OPQ : b. Qab : c. 6. Jika D= maka arah dari Vektor D adalah... a. ke sumbu y positif b. ke sumbu x positif c. ke sumbu x negatif z y x 7. Perhatikan gambar dua vektor berikut ini. Hasil dari perkalian titik kedua vektor tersebut adalah... a. 0 b. 11 satuan c. 30 satuan

14 14 8. Perhatikan kembali gambar pada Soal no. 7, hasil dari = a. 0 b. 11 &' c. 30 &' 9. Tentukan besar sudut yang dibentuk oleh kedua vektor berikut ini a. 120 o b. 135 o c. tidak membentuk sudut 10. Berikut ini yang bukan vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang datar yang dibentuk oleh vektor [= " +% dan \= " +&' adalah... " a. + % + & ' I I I " b. % & ' I I I c. " % & ' I I I

15 15 SOAL URAIAN 1. Tentukan resultan vektorvektor berikut dengan menggunakan metode jajargenjang dan poligon 2. Tentukan hubungan vektorvektor pada masingmasing gambar berikut! B B B A C A C A C 3. Berikut ini adalah vektorvektor gaya yang bekerja pada suatu balok. Uraikan vektorvektor tersebut pada masingmasing sumbu! g f θ G 4. Vektor,,,, dan, I berturutturut adalah vektor posisi titik (3,4,0), (0,5,2), dan (8,0,6). Gambarkan vektor,, vektor,, dan vektor, I dalam sistem koordinat cartesian, dan nyatakan ketiga vektor ini dalam ungkapan vektor satuan ", %, dan &' 5. Vektor, adalah vektor posisi dari titik (3,4,5) dan vektor, adalah vektor posisi titik (5,2,8). a. hitung resultan kedua vektor menggunakan metode vektor komponen! b. cari jarak yang memisahkan kedua titik secara vektor! 6. Jika =" 4% +6&' dan =4" 2% 2&' maka a. tunjukkan bahwa B=! b. tunjukkan bahwa! c. tentukan dua macam vektor satuan yang tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh kedua vektor! G G I

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor

BAB 1 BESARAN VEKTOR. A. Representasi Besaran Vektor BAB 1 BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menjelaskan definisi vektor, dan representasinya dalam sistem koordinat cartesius 2. Menjumlahan vektor secara grafis dan matematis 3. Melakukan perkalian vektor

Lebih terperinci

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor

Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Selain besaran pokok dan turunan, besaran fisika masih dapat dibagi atas dua kelompok lain yaitu besaran skalar dan besaran vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki nilai saja. Contoh :

Lebih terperinci

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah

Matematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang

Lebih terperinci

BESARAN VEKTOR B A B B A B

BESARAN VEKTOR B A B B A B Besaran Vektor 8 B A B B A B BESARAN VEKTOR Sumber : penerbit cv adi perkasa Perhatikan dua anak yang mendorong meja pada gambar di atas. Apakah dua anak tersebut dapat mempermudah dalam mendorong meja?

Lebih terperinci

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat,

Arahnya diwakili oleh sudut yang dibentuk oleh A dengan ketigas umbu koordinat, VEKTOR Dalam mempelajari fisika kita selalu berhubungan dengan besaran, yaitu sesuatu yang dapat diukur dan dioperasikan. da besaran yang cukup dinyatakan dengan nilai (harga magnitude) dan satuannya saja,

Lebih terperinci

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si.

VEKTOR. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3. Liduina Asih Primandari, S.Si., M.Si. VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada

Lebih terperinci

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor

BESARAN SKALAR DAN VEKTOR. Besaran Skalar. Besaran Vektor. Sifat besaran fisis : Skalar Vektor PERTEMUAN II VEKTOR BESARAN SKALAR DAN VEKTOR Sifat besaran fisis : Skalar Vektor Besaran Skalar Besaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh : waktu,

Lebih terperinci

BESARAN, SATUAN & DIMENSI

BESARAN, SATUAN & DIMENSI BESARAN, SATUAN & DIMENSI Defenisi Apakah yang dimaksud dengan besaran? Besaran : segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan angka (kuantitatif). Apakah yang dimaksud dengan satuan? Satuan

Lebih terperinci

BAB II BESARAN VEKTOR

BAB II BESARAN VEKTOR BAB II BESARAN VEKTOR.1. Besaran Skalar Dan Vektor Dalam fisika, besaran dapat dibedakan menjadi dua kelompok yaitu besaran skalar dan besaran vektor. Besaran skalar adalah besaran yang dinyatakan dengan

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat.

BAB II V E K T O R. Untuk menyatakan arah vektor diperlukan sistem koordinat. .. esaran Vektor Dan Skalar II V E K T O R da beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. da juga besaran fisis yang tidak cukup hanya

Lebih terperinci

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor

A x pada sumbu x dan. Pembina Olimpiade Fisika davitsipayung.com. 2. Vektor. 2.1 Representasi grafis sebuah vektor . Vektor.1 Representasi grafis sebuah vektor erdasarkan nilai dan arah, besaran dibagi menjadi dua bagian aitu besaran skalar dan besaran vektor. esaran skalar adalah besaran ang memiliki nilai dan tidak

Lebih terperinci

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT

VEKTOR. Oleh : Musayyanah, S.ST, MT VEKTOR Oleh : Musayyanah, S.ST, MT 1 2.1 ESRN SKLR DN VEKTOR Sifat besaran fisis : esaran Skalar Skalar Vektor esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan).

Lebih terperinci

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B

VEKTOR A. Vektor Vektor B. Penjumlahan Vektor R = A + B Amran Shidik MATERI FISIKA KELAS X 11/13/2016 VEKTOR A. Vektor Vektor adalah jenis besaran yang mempunyai nilai dan arah. Besaran yang termasuk besaran vektor antara lain perpindahan, gaya, kecepatan,

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor

BAB II LANDASAN TEORI. A. Tinjauan Pustaka. 1. Vektor BAB II LANDASAN TEORI A. Tinjauan Pustaka 1. Vektor Ada beberapa besaran fisis yang cukup hanya dinyatakan dengan suatu angka dan satuan yang menyatakan besarnya saja. Ada juga besaran fisis yang tidak

Lebih terperinci

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain

VEKTOR. 45 O x PENDAHULUAN PETA KONSEP. Vektor di R 2. Vektor di R 3. Perkalian Skalar Dua Vektor. Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain VEKTOR y PENDAHULUAN PETA KONSEP a Vektor di R 2 Vektor di R 3 Perkalian Skalar Dua Vektor o 45 O x Proyeksi Ortogonal suatu Vektor pada Vektor Lain Soal-Soal PENDAHULUAN Dalam ilmu pengetahuan kita sering

Lebih terperinci

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER

MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced

Lebih terperinci

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH

FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH FISIKA UNTUK UNIVERSITAS OLEH BAB I VEKTOR Pendahuluan B esaran adalah segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dalam bentuk angkaangka. Besaran fisika dapat dibagi menjadi besaran pokok dan besaran

Lebih terperinci

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR

Rudi Susanto, M.Si VEKTOR Rudi Susanto, M.Si VEKTOR ESRN SKLR DN VEKTOR esaran Skalar esaran yang cukup dinyatakan oleh besarnya saja (besar dinyatakan oleh bilangan dan satuan). Contoh Catatan : waktu, suhu, volume, laju, energi

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi

fi5080-by-khbasar BAB 1 Analisa Vektor 1.1 Notasi dan Deskripsi BB 1 nalisa Vektor Vektor, dibedakan dari skalar, adalah suatu besaran yang memiliki besar dan arah. rtinya untuk mendeskripsikan suatu besaran vektor secara lengkap perlu disampaikan informasi tentang

Lebih terperinci

Vektor Ruang 2D dan 3D

Vektor Ruang 2D dan 3D Vektor Ruang 2D dan D Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika

Outline Vektor dan Garis Koordinat Norma Vektor Hasil Kali Titik dan Proyeksi Hasil Kali Silang. Geometri Vektor. Kusbudiono. Jurusan Matematika Jurusan Matematika 1 Nopember 2011 1 Vektor dan Garis 2 Koordinat 3 Norma Vektor 4 Hasil Kali Titik dan Proyeksi 5 Hasil Kali Silang Definisi Vektor Definisi Jika AB dan CD ruas garis berarah, keduanya

Lebih terperinci

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom

BAB 1 Vektor. Fisika. Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom A 1 Vektor Fisika Tim Dosen Fisika 1, Ganjil 2016/2017 Program Studi S1 - Teknik Telekomunikasi Fakultas Teknik Elektro - Universitas Telkom Sub Pokok ahasan Definisi Vektor Penjumlahan Vektor Vektor Satuan

Lebih terperinci

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan

Bab 1 Vektor. A. Pendahuluan Bab 1 Vektor A. Pendahuluan Dalam mata kuliah Listrik Magnet A, maupun mata kuliah Listrik Magnet B sebagaii lanjutannya, penyajian konsep dan pemecahan masalah akan banyak memerlukan pengetahuan tentang

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3

a11 a12 x1 b1 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Definisi Vektor di R 2 dan R 3 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Pendahuluan Notasi dan Pengertian Dasar Skalar, suatu konstanta yang dituliskan dalam huruf kecil Vektor,

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Secara geometrik, vektor pada bidang dapat digambarkan sebagai ruas garis berarah (anak panah). Panjang dari anak panah merepresentasikan besaran (magnitude)

Lebih terperinci

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52

BAB II V E K T O R. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. 52 FISIKA KELAS X Drs. Pristiadi Utomo, M.Pd. BAB II V E K T O R Pernahkah Kamu naik pesawat terbang? Antara penumpang dan pilot dan copilot di ruang kemudi dipisah dengan sekat. Tujuannya agar pilot dapat

Lebih terperinci

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis

B.1. Menjumlah Beberapa Gaya Sebidang Dengan Cara Grafis BAB II RESULTAN (JUMLAH) DAN URAIAN GAYA A. Pendahuluan Pada bab ini, anda akan mempelajari bagaimana kita bekerja dengan besaran vektor. Kita dapat menjumlah dua vektor atau lebih dengan beberapa cara,

Lebih terperinci

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1

a menunjukkan jumlah satuan skala relatif terhadap nol pada sumbu X Gambar 1 1. Koordinat Cartesius Sistem koordinat Cartesius terdiri dari dua garis yang saling tegak lurus yang disebut sumbu Sumbu horizontal disebut sumbu X dan sumbu vertikal disebut sumbu Y Tiap sumbu mempunyai

Lebih terperinci

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan.

Vektor. Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur,

Lebih terperinci

Bab 1 : Skalar dan Vektor

Bab 1 : Skalar dan Vektor Bab 1 : Skalar dan Vektor 1.1 Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada kuantitas yang nilainya dapat diwakili oleh bilangan real tunggal (positif atau negatif). x, y dan z kita gunakan dalam aljabar

Lebih terperinci

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org

B a b 2. Vektor. Sumber:www.tallship.org a b 2 Vektor Sumber:www.tallship.org Pada bab ini, nda akan diajak untuk dapat menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya dengan cara melakukan penjumlahan vektor. Pernahkah nda mengarungi lautan

Lebih terperinci

BAB 2 ANALISIS VEKTOR

BAB 2 ANALISIS VEKTOR BAB ANALISIS VEKTOR A. Tujuan Umum Mahasiswa memahami pengertian vektor, operasi vektor, penjumlahan, pengurangan, perkalian dan kaedah aljabar vektor. B. Tujuan Khusus Mahasiswa dapat memahami konsep

Lebih terperinci

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR

Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI SUMBAR VEKTOR DAN SKALAR Materi pokok pertemuan ke I: 1. Vektor dan skalar 2. Komponen vektor 3. Operasi dasar aljabar vektor URAIAN MATERI Masih ingatkah Anda tentang vektor? Apa beda vektor dengan skalar? Ya,

Lebih terperinci

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT

Modul Sifat dan Operasi Gaya. Ir.Yoke Lestyowati, MT Modul Sifat dan Operasi Gaya Ir.Yoke Lestyowati, MT Konten E-Learning IDB 7in1 Terintegrasi PDITT 2015 BAB I SIFAT DAN OPEASI GAYA 1.1. Capaian Pembelajaran 1.1.1. Umum 1. Mampu menggunakan teori gaya

Lebih terperinci

ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B

ujung vektor A bertemu dengan pangkal vektor B . Pengertian Besaran Vektor Besaran skalar adalah besaran yang hanya memiliki besar (nilai) saja. Beberapa besaran skalar di antaranya : semua besaran pokok, jarak, laju, usaha atau energi, daya, massa

Lebih terperinci

DIKTAT MATEMATIKA II

DIKTAT MATEMATIKA II DIKTT MTEMTIK II (VEKTOR) Drs.. NN PURNWN, M.T JURUSN PENDIDIKN TEKNIK MESIN FKULTS PENDIDIKN TEKNOLOGI DN KEJURUN UNIVERSITS PENDIDIKN INDONESI 004 VEKTOR I. PENDHULUN 1.1. PENGERTIN Sepotong garis berarah

Lebih terperinci

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =

VEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = = VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang

Lebih terperinci

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya

dengan vektor tersebut, namun nilai skalarnya satu. Artinya 1. Pendahuluan Penggunaan besaran vektor dalam kehidupan sehari-hari sangat penting mengingat aplikasi besaran vektor yang luas. Mulai dari prinsip gaya, hingga bidang teknik dalam memahami konsep medan

Lebih terperinci

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm

PENGUKURAN BESARAN. x = ½ skala terkecil. Jadi ketelitian atau ketidakpastian pada mistar adalah: x = ½ x 1 mm = 0,5 mm =0,05 cm PENGUKURAN BESARAN A. Pengertian Mengukur Mengukur adalahmembandingkan suatu besaran dengan besaran lain yang dijadikan standar satuan. Misalnya kita mengukur panjang benda, dan ternyata panjang benda

Lebih terperinci

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor

PanGKas HaBis FISIKA. Vektor Vektor PanGKas HaBis FISIKA Mari kita pandang sebuah perahu yang mengarungi sebuah sungai. Perahu itu, misalnya, berangkat dari dermaga menuju pangkalan bahan bakar. Jika dermaga dipakai sebagai titik

Lebih terperinci

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya

Diferensial Vektor. (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya TKS 4007 Matematika III Diferensial Vektor (Pertemuan II) Dr. AZ Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya Definisi Secara Grafis : Dari gambar di samping, ada sebuah anak panah yang berawal

Lebih terperinci

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok 16424 2014/2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

Lebih terperinci

BAB I BESARAN DAN SATUAN

BAB I BESARAN DAN SATUAN BAB I BESARAN DAN SATUAN A. STANDAR KOMPETENSI :. Menerapkan konsep besaran fisika, menuliskan dan menyatakannya dalam satuan dengan baik dan benar (meliputi lambang, nilai dan satuan). B. Kompetensi Dasar

Lebih terperinci

MAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L

MAKALAH VEKTOR. Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L MAKALAH VEKTOR Di Susun Oleh : Kelas : X MIPA III Kelompok : V Adisti Amelia J.M.L PEMERINTAHAN KABUPATEN BOGOR SMAN 1 PAMIJAHAN 017 KATA PENGANTAR Dengan menyebut nama Allah Yang Maha Pengasih lagi Maha

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2013 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) Vektor memiliki besar dan arah Massa Waktu Kecepatan Percepatan

Lebih terperinci

Vektor di Bidang dan di Ruang

Vektor di Bidang dan di Ruang Vektor di Bidang dan di Ruang 4.1. Pengertian, notasi,dan operasi pada ektor Vektor merupakan istilah untuk menyatakan besaran yang mempunyai arah. Secara geometris, ektor dinyakan dengan segmen-segmen

Lebih terperinci

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Analisis Vektor. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Analisis Vektor Analisis vektor meliputi bidang matematika dan fisika sekaligus dalam pembahasannya Skalar dan Vektor Skalar Skalar ialah

Lebih terperinci

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat

Pesawat Terbang. gaya angkat. gaya berat Sumber: www.staralliance.com Pesawat Terbang Terbayangkah kalian dengan teknologi pesawat terbang? Alat transportasi ini diciptakan dengan teknologi yang canggih. Salah satunya adalah saat merancang konstruksi

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK

VII III II VIII HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK HAND OUT PERKULIAHAN GEOMETRI ANALITIK A. Sistem Koordinat Tegak Lurus Suatu sistem koordinat tegak lurus disebut juga dengan sistem koordinat cartesian. Di dalam ruang, terdapat tiga buah garis lurus

Lebih terperinci

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT

Pengantar KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT KULIAH MEDAN ELEKTROMAGNETIK Pengantar Definisi Arsitektur MATERI I ANALISIS VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT Operasional Sinkronisasi Kesimpulan & Saran Muhamad Ali, MT Http://www.elektro-uny.net/ali Pengantar

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor

MENJUMLAH VEKTOR. No Besaran Skalar Besaran Vektor MENJUMLAH VEKTOR Kompetensi Siswa 1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya 2. Mengembangkan perilaku (jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli, santun, ramah lingkungan, gotong royong,

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macam macam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG

BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG BAB II VEKTOR DAN GERAK DALAM RUANG 1. KOORDINAT CARTESIUS DALAM RUANG DIMENSI TIGA SISTEM TANGAN KANAN SISTEM TANGAN KIRI RUMUS JARAK,,,, 16 Contoh : Carilah jarak antara titik,, dan,,. Solusi :, Persamaan

Lebih terperinci

Pentalogy BIOLOGI SMA

Pentalogy BIOLOGI SMA GENTA GROUP in PLAY STORE CBT UN SMA IPA Buku ini dilengkapi aplikasi CBT UN SMA IPA android yang dapat di-download di play store dengan kata kunci genta group atau gunakan qr-code di bawah. Kode Aktivasi

Lebih terperinci

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili

Jika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili 4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik

Lebih terperinci

Perkalian Titik dan Silang

Perkalian Titik dan Silang PERKALIAN TITIK DAN SILANG Materi pokok pertemuan ke 3: 1. Perkalian titik URAIAN MATERI Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor dan dinyatakan oleh (baca: titik ). Untuk lebih jelas, berikut

Lebih terperinci

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu.

VEKTOR. Besaran skalar (scalar quantities) : besaran yang hanya mempunyai nilai saja. Contoh: jarak, luas, isi dan waktu. VEKTOR Kata vektor berasal dari bahasa Latin yang berarti "pembawa" (carrier), yang ada hubungannya dengan "pergeseran" (diplacement). Vektor biasanya digunakan untuk menggambarkan perpindahan suatu partikel

Lebih terperinci

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP)

Penjumlahan Vektor. Edisi Kedua. Untuk SMA kelas X. (Telah disesuaikan dengan KTSP) Penjumlahan Vektor Edisi Kedua Untuk SMA kelas X (Telah disesuaikan dengan KTSP) Lisensi Dokumen : Copyright 008 009 GuruMuda.Com Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara bebas

Lebih terperinci

VEKTOR YUSRON SUGIARTO

VEKTOR YUSRON SUGIARTO VEKTOR YUSRON SUGIARTO Jurusan Keteknikan Pertanian FTP UB 2012 2 3 B E S A R A N Skalar besaran yang hanya memiliki besar (panjang/nilai) massa, waktu, suhu, panjang, luas, volum Vektor memiliki besar

Lebih terperinci

1.1. Mekanika benda tegar : Statika : mempelajari benda dalam keadaan diam. Dinamika : mempelajari benda dalam keadaan bergerak.

1.1. Mekanika benda tegar : Statika : mempelajari benda dalam keadaan diam. Dinamika : mempelajari benda dalam keadaan bergerak. BAB I. PENDAHULUAN Mekanika : Ilmu yang mempelajari dan meramalkan kondisi benda diam atau bergerak akibat pengaruh gaya yang bereaksi pada benda tersebut. Dibedakan: 1. Mekanika benda tegar (mechanics

Lebih terperinci

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR

BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR BAB 2 PENJUMLAHAN VEKTOR A. Kompetensi Dasar dan Indikator 1.1 Menyadari kebesaran Tuhan yang menciptakan dan mengatur alam jagad raya melalui pengamatan fenomena alam fisis dan pengukurannya. 2.1 Menunjukkan

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :

VEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : 1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan

Lebih terperinci

Bab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada

Bab 3 (3.1) Universitas Gadjah Mada Bab 3 Sifat Penampang Datar 3.1. Umum Didalam mekanika bahan, diperlukan operasi-operasi yang melihatkan sifatsifat geometrik penampang batang yang berupa permukaan datar. Sebagai contoh, untuk mengetahui

Lebih terperinci

2 Mekanika Rekayasa 1

2 Mekanika Rekayasa 1 BAB 1 PENDAHULUAN S ebuah konstruksi dibuat dengan ukuran-ukuran fisik tertentu haruslah mampu menahan gaya-gaya yang bekerja dan konstruksi tersebut harus kokoh sehingga tidak hancur dan rusak. Konstruksi

Lebih terperinci

Geometri pada Bidang, Vektor

Geometri pada Bidang, Vektor Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,

Lebih terperinci

BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS)

BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS) BAHAN AJAR LEMBAR KERJA SISWA (LKS) A. Pengertian LKS Lembar kerja siswa merupakan salah satu komponen dari perangkat pembelajaran yang bertujuan untuk mengukur kemampuan serta pemahaman siswa terhadap

Lebih terperinci

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

VEKTOR. Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas. Disusun Oleh : PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN VEKTOR Makalah ini ditujukkan untuk Memenuhi Tugas Disusun Oleh : 1. Chrisnaldo noel (12110024) 2. Maria Luciana (12110014) 3. Rahmat Fatoni (121100) PRODI TEKNIK SIPIL FAKULTAS TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

Lebih terperinci

GESERAN atau TRANSLASI

GESERAN atau TRANSLASI GESERAN atau TRANSLASI Makalah ini disusun untuk memenuhi Tugas Geometri Transformasi Dosen Pembimbing : Havid Risyanto, S.Si., M.Sc. D I S U S U N O L E H 1. AMILIA 1111050031 2. HAIRUDIN 1111050153 3.

Lebih terperinci

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR

KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Dinamika Rotasi, Statika dan Titik Berat 1 KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal ME KANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu : a. KINE MATI KA = Ilmu

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks

Aljabar Linier & Matriks Aljabar Linier & Matriks 1 Vektor Orthogonal Vektor-vektor yang saling tegak lurus juga sering disebut vektor orthogonal. Dua vektor disebut saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil perkalian titik-nya

Lebih terperinci

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C

A + ( B + C ) = ( A + B ) + C VEKTOR ANALISIS 1.1. Skalar dan Vektor Istilah skalar mengacu pada sebuah jumlah yang nilai dapat diwakili oleh satu ( positif atau negatif ) nomor asli. x, y, dan z yang kami gunakan dalam dasar aljabar

Lebih terperinci

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3

Vektor-Vektor. Ruang Berdimensi-2. Ruang Berdimensi-3 Vektor-Vektor dalam Ruang Berdimensi-2 dan Ruang Berdimensi-3 Disusun oleh: Achmad Fachrurozi Albert Martin Sulistio Iffatul Mardhiyah Rifki Kosasih Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Lebih terperinci

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36

Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 36 Irisan Kerucut animation 1 animation 2 Irisan kerucut adalah kurva ang terbentuk dari perpotongan antara sebuah kerucut dengan bidang datar. Kurva irisan ini

Lebih terperinci

BAB 3 DINAMIKA GERAK LURUS

BAB 3 DINAMIKA GERAK LURUS BAB 3 DINAMIKA GERAK LURUS A. TUJUAN PEMBELAJARAN 1. Menerapkan Hukum I Newton untuk menganalisis gaya-gaya pada benda 2. Menerapkan Hukum II Newton untuk menganalisis gerak objek 3. Menentukan pasangan

Lebih terperinci

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK

KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK 1 KEGIATAN BELAJAR 4 KEDUDUKAN DUA GARIS LURUS, SUDUT DAN JARAK Setelah mempelajari kegiatan belajar 4 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan kedudukan dua garis lurus di bidang dan di ruang 2.

Lebih terperinci

FISIKA XI SMA 3

FISIKA XI SMA 3 FISIKA XI SMA 3 Magelang @iammovic Standar Kompetensi: Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar: Merumuskan hubungan antara konsep torsi,

Lebih terperinci

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor

L mba b ng n g d a d n n n o n t o asi Ve V ktor ANALISIS VEKTOR Vektor dan Skalar Macam-macammacam kuantitas dalam fisika seperti: temperatur, volume, dan kelajuan dapat ditentukan dengan angka riil (nyata). Kuantitas seperti itu disebut dengan skalar.

Lebih terperinci

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel

Hasil Kali Titik, Hasil Kali Silang, dan Hasil Kali Tripel BAB II HASIL KALI TITIK DAN SILANG A. HASIL KALI TITIK ATAU SKALAR Hasil kali titik atau skalar dari dua buah vektor A dan B yang dinyatakan oleh A B (dibaca A titik B ) didefinisikan sebagai hasil kali

Lebih terperinci

9.1. Skalar dan Vektor

9.1. Skalar dan Vektor ANALISIS VEKTOR 9.1. Skalar dan Vektor Skalar Satuan yang ditentukan oleh besaran Contoh: panjang, voltase, temperatur Vektor Satuan yang ditentukan oleh besaran dan arah Contoh: gaya, velocity Vektor

Lebih terperinci

BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR

BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR I BESARAN, SATUAN DAN VEKTOR Tujuan umum perkuliahan yang dicapai setelah mempelajari bab ini adalah pemahaman dan kemampuan menganalisis serta mengaplikasikan konsep-konsep besaran satuan dan vektor pada

Lebih terperinci

MAKALAH MOMEN GAYA. Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Mekanik. Disusun Oleh: 1.Heri Kiswanto 2.M Abdul Aziz

MAKALAH MOMEN GAYA. Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Mekanik. Disusun Oleh: 1.Heri Kiswanto 2.M Abdul Aziz MAKALAH MOMEN GAYA Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Fisika Mekanik Disusun Oleh: 1.Heri Kiswanto 2.M Abdul Aziz JURUSAN TEKNIK INDUSTRI SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TEXMACO SUBANG 2015 MOMEN GAYA

Lebih terperinci

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3

erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 erkalian Silang, Garis & Bidang dalam Dimensi 3 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat menghitung perkalian silang dari suatu vektor dan mengetahui

Lebih terperinci

A. Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal MEKANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu :

A. Pendahuluan. Dalam cabang ilmu fisika kita mengenal MEKANIKA. Mekanika ini dibagi dalam 3 cabang ilmu yaitu : BAB VI KESEIMBANGAN BENDA TEGAR Standar Kompetensi 2. Menerapkan konsep dan prinsip mekanika klasik sistem kontinu dalam menyelesaikan masalah Kompetensi Dasar 2.1 Menformulasikan hubungan antara konsep

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat]

MODUL 3 BIDANG RATA. [Program Studi Pendidikan Matematika STKIP PGRI Sumatera Barat] 1 MODUL 3 BIDANG RATA Setelah mempelajari modul 1 dan 2 anda akan melanjutkan mempelajari modul 3 tentang bidang rata. Materi bidang rata ini berkaitan dengan materi pada modul sebelumnya. Pada modul 3

Lebih terperinci

Pengertian Momen Gaya (torsi)- momen gaya.

Pengertian Momen Gaya (torsi)- momen gaya. Pengertian Momen Gaya (torsi)- Dalam gerak rotasi, penyebab berputarnya benda merupakan momen gaya atau torsi. Momen gaya atau torsi sama dengan gaya pada gerak tranlasi. Momen gaya (torsi) adalah sebuah

Lebih terperinci

Standar Kompetensi Lulusan. Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif

Standar Kompetensi Lulusan. Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif Standar Kompetensi Lulusan 1 Standar Kompetensi Lulusan Memahami prinsip-prinsip pengukuran besaran fisika secara langsung dan tidak langsung secara cermat, teliti dan objektif Indikator Membaca hasil

Lebih terperinci

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1

Keep running VEKTOR. 3/8/2007 Fisika I 1 VEKTOR 3/8/007 Fisika I 1 BAB I : VEKTOR Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan. Sebuah besaran vektor

Lebih terperinci

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor

VEKTOR GAYA. Gambar 1. Perkalian dan pembagian vektor VEKTOR GAYA Perkalian dan Pembagian vektor dengan scalar Jika vektor dikalikan dengan nilai positif maka besarnya meningkat sesuai jumlah pengalinya. Perkalian dengan bilangan negatif akan mengubah besar

Lebih terperinci

PERSAMAAN BIDANG RATA

PERSAMAAN BIDANG RATA 1 KEGIATAN BELAJAR 5 PERSAMAAN BIDANG RATA Setelah mempelajari kegiatan belajar 5 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan vektoris bidang rata 2. Menentukan persamaan linier bidang rata

Lebih terperinci

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY

Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik. Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Pengantar Teknologi dan Aplikasi Elektromagnetik Dr. Ramadoni Syahputra Jurusan Teknik Elektro FT UMY Kelistrikan dan Kemagnetan Tanpa listrik dan magnet, maka dalam kehidupan jaman sekarang: tanpa motor

Lebih terperinci

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN

Konsep Dasar. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Konsep Dasar Drs. Yurizal Rahman Drs. Mulyatno, M.Si. F PENDAHULUAN isika adalah ilmu pengetahuan yang memusatkan perhatian pada fenomena-fenomena alam. Sebagai ilmu pengetahuan alam, fisika didasarkan

Lebih terperinci

MODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor.

MODUL PERTEMUAN KE 2. MATA KULIAH : FISIKA TERAPAN (2 sks) Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. Jurusan Teknik Sipil 15 MODUL PERTEMUN KE MT KULIH : FISIK TERPN ( sks) MTERI KULIH: Definisi Vektor, Komponen Vektor, Penjumlahan Vektor, Perkalian Vektor. POKOK BHSN: VEKTOR -1 DEFINISI VEKTOR Skalar

Lebih terperinci

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule.

Satuan dari momen gaya atau torsi ini adalah N.m yang setara dengan joule. Gerak Translasi dan Rotasi A. Momen Gaya Momen gaya merupakan salah satu bentuk usaha dengan salah satu titik sebagai titik acuan. Misalnya anak yang bermain jungkat-jungkit, dengan titik acuan adalah

Lebih terperinci

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Sekolah : SMA Negeri 1 Kayen Mata pelajaran : Fisika Kelas/Semester : X/1 Materi Pokok : Vektor Alokasi Waktu : 12 x 45 menit A. Kompetensi Inti (KI) KI-1: Menghayati

Lebih terperinci