TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa
|
|
- Sudirman Jayadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Biplot Biasa Analisis biplot merupakan suatu upaya untuk memberikan peragaan grafik dari matriks data dalam suatu plot dengan menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi rendah biasanya dua (atau tiga) yang mewakili vektorvektor baris matriks (gambaran objek) dengan vektor-vektor yang mewakili kolom matriks (gambaran peubah). Dari peragaan ini diharapkan diperoleh gambaran tentang objek misalnya kedekatan antarobjek gambaran tentang peubah baik tentang keragamannya maupun korelasinya serta keterkaitan antara objek-objek dengan peubah-peubahnya. Tampilan objek dalam analisis komponen utama (AKU Principal Components Analysis) merupakan kasus khusus dari analisis biplot dan penghitungan dalam analisis biplot didasarkan pada penguraian nilai singular (PNS Singular Value Decomposition) suatu matriks (Siswadi dan Suharjo 1999). Informasi yang dapat diperoleh dari analisis biplot antara lain tentang: 1. Kedekatan antarobjek. Informasi ini dapat dijadikan panduan untuk mengetahui objek yang memiliki kemiripan karakteristik dengan objek lain. Dua objek yang memiliki karakteristik sama akan digambarkan sebagai dua titik dengan posisi yang berdekatan. 2. Keragaman peubah. Informasi ini digunakan untuk melihat apakah ada peubah yang memiliki nilai keragaman yang hampir sama. Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek sebaliknya jika keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang. 3. Korelasi antarpeubah. Informasi ini dapat digunakan untuk mengetahui bagaimana hubungan satu peubah dengan peubah lainnya. Peubah digambarkan sebagai vektor. Dua peubah berkorelasi positif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang sama atau membentuk sudut lancip dua peubah berkorelasi negatif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah berlawanan atau membentuk sudut tumpul dan apabila sudut yang dibentuk siku-siku maka dua peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
2 4. Keterkaitan peubah dengan objek. Informasi ini digunakan untuk melihat keunggulan dari setiap objek. Objek yang letaknya searah vektor peubah menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata jika berlawanan arah berarti nilainya di bawah rata-rata jika hampir di tengah-tengah berarti nilainya mendekati rata-rata. Analisis Biplot adalah peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks data dengan baris mewakili objek dan kolom mewakili peubah. Dalam setiap aplikasi analisis biplot dimulai dengan mentransformasikan matriks sebagai matriks data asal yang terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya menjadi matriks yang akan digambarkan (Aitchison dan Greenacre 2001) 11' (1) dengan 1 adalah vektor berukuran n 1 yang semua elemennya bernilai 1. Matriks koragam yang diperoleh dari matriks ialah: (2) sedangkan matriks korelasi = yang diperoleh dari matriks ialah: (3) dengan = diag s11 s 22 s pp adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal utama 1 s ii ; i = p. Elemen juga merupakan kosinus sudut antara vektor peubah ke-i dan ke-j : Misalnya matriks dan ke-j didefinisikan oleh:. (4) maka jarak Euclid antara objek ke-i (5) dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:. (6) Apabila matriks berpangkat r dengan r min {n p} maka dengan menggunakan PNS matriks dapat diuraikan menjadi:
3 (7) dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau yaitu = diag (... ) dengan > 0. Nilai disebut nilai singular dari dan merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks atau. Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom sehingga (matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks yaitu dan adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks yaitu. Teorema Eckart-Young (Aitchison dan Greenacre 2001) menyatakan bahwa jika matriks dihitung dengan s pertama nilai dan vektor singular yang bersesuaian sebagai contoh untuk s = 2 : = (8) kemudian karena matriks sebagai pendekatan terbaik bagi maka : (9) menjadi minimum dengan merupakan notasi dari norma Frobenius. Dalam Jolliffe (2002) dengan mendefinisikan dan maka untuk α [01]: (10) dan elemen ke-( ) dari matriks dapat ditulis: (11) dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks i = 1 2 n dan merupakan vektor baris ke-j dari matriks j = 1 2 p; di mana vektor dan mempunyai r elemen.
4 Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r dapat didekati dengan menggunakan matriks berpangkat s = =. (12) Biasanya digunakan s = 2 sehingga koordinat-koordinat dan dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith 2002). Pengambilan nilai α tertentu berimplikasi penting dalam interpretasi biplot. Secara umum untuk setiap nilai α yang digunakan penumpangtindihan vektor dan yang diplot pada ruang yang sama diperoleh nilai amatan peubah ke-j pada objek ke-i yang telah dikoreksi terhadap nilai tengahnya yaitu. Nilai amatan tersebut bertanda positif bila kedua vektor tersebut searah yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam [0 ) bertanda negatif bila kedua vektor tersebut berlawanan arah yaitu sudut kedua vektor tersebut ada dalam ( ] dan bernilai nol bila kedua vektor tersebut saling tegak lurus yaitu sudut kedua vektor tersebut. Posisi relatif titik-titik dan akan memberikan informasi tentang objekobjek yang mempunyai nilai relatif besar rataan atau kecil dari peubah-peubah yang diamati. 1. Jika α = 0 maka dan akibatnya : (13) sehingga diperoleh: a. dengan adalah koragam peubah ke-i dan ke-j. Artinya penggandaan titik antara vektor dan akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j. b. = = artinya panjang vektor tersebut akan memberikan gambaran tentang keragaman peubah ke-i. Makin panjang vektor dibandingkan dengan vektor maka makin besar keragaman peubah dibanding peubah.
5 c. Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh kosinus sudut antara dan (misalnya : θ) yaitu : cos = = =. (14) Berdasarkan sudut yang dibentuk antara vektor dan korelasi peubah ke-i dan ke-j dapat dijelaskan sebagai berikut: 1) semakin besar korelasi positifnya jika θ mendekati 0 dan korelasi sama dengan 1 jika θ = 0 2) semakin besar korelasi negatifnya jika θ mendekati π dan korelasi sama dengan -1 jika θ = π dan 3) semakin kecil korelasi positif dan negatifnya jika θ mendekati dan tidak berkorelasi apabila θ =. d. Jika X berpangkat p maka dengan adalah matriks koragam yang diperoleh dari. Berarti kuadrat jarak Euclid antara vektor dan pada biplot sebanding dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor dan (Siswadi dan Suharjo 1999). 2. Jika α =1 maka dan atau ; akibatnya: sehingga diperoleh (15) a. artinya kuadrat jarak Euclid antara dan akan sama dengan kuadrat jarak Euclid antara dan. b. Posisi dalam plot akan sama dengan posisi objek ke-i dengan menggunakan r komponen utama pertama. c. Vektor kolom sama dengan vektor yang merupakan koefisien untuk komponen utama ke-j.
6 Dari interpretasi biplot di atas penguraian tidak bersifat khas. Jika α = 1 maka g-plot diperoleh dengan memisalkan dan baris ke-i matriks akan digunakan untuk merepresentasikan baris ke-i matriks yang berarti merepresentasikan objek ke-i sedangkan baris ke-j matriks akan digunakan untuk merepresentasikan kolom ke-j matriks yang berarti merepresentasikan peubah ke-j. Sedangkan jika α = 0 maka h-plot diperoleh dengan memisalkan dan yang merupakan gambaran ragam dan korelasi di dalam grafik. Ukuran Kesesuaian Biplot Biasa Menurut Gabriel (2002) biplot tidak hanya sebagai pendekatan matriks data dengan menggunakan matriks tetapi juga koragam dan korelasi antarpeubah serta kemiripan antarobjek. sebagai pendekatan dari matriks terkait pada matriks koragam dan korelasi antarpeubah sedangkan matriks sebagai pendekatan bagi terkait pada ukuran kemiripan objek. Rumus umum yang dikemukakan oleh Gabriel untuk ukuran kesesuaian biplot (Goodness of Fit of Biplot) adalah sebagai berikut (16) dengan dan adalah suatu matriks di mana merupakan pendekatan. Ukuran kesesuaian biplot sebagai ukuran kedekatan dari tiga bentuk matriks yaitu: 1. Kesesuaian data : GF. 2. Kesesuaian peubah : GF. 3. Kesesuaian objek : GF. (17) (18) (19) Makin besar (mendekati 100%) nilai ukuran kesesuaian untuk memperoleh gambaran layak tidaknya analisis biplot dalam ruang dimensi s dengan matriks sebagai matriks pendekatan terbaik berpangkat s makin sesuai matriks pendekatannya merepresentasikan matriks awalnya dan karenanya makin layak analisis biplot digunakan untuk penarikan kesimpulan (Siswadi dan Suharjo 1999).
7 Analisis Peubah Kanonik Pendekatan standar untuk perlakuan data peubah ganda dengan beberapa objek diidentifikasi a priori kelompok memiliki sejarah panjang dalam literatur statistika adalah analisis peubah kanonik (APK Canonical Variate Analysis) yang diperkenalkan oleh Fisher (1936). APK merupakan salah satu teknik statistika untuk analisis data dengan peubah ganda yang berbasis analisis pengelompokan data sehingga ragam antarkelompok maksimum dan ragam di dalam kelompok minimum (Varas et al. 2005). Salah satu pendekatan dalam APK ialah mencari peubah kanonik yang merupakan kombinasi linear dari peubah asal yang akan menghasilkan cara terbaik dalam pemisahan kelompok-kelompok tersebut. Peubah ini akan memberikan nilai sedekat mungkin bagi objek-objek dalam kelompok yang sama dan sebesar mungkin bagi objek-objek antarkelompok. Andaikan ada n objek dari m kelompok contoh acak dengan masing-masing berukuran n 1 n 2... n m (n 1 + n n m = n) dengan p peubah yang diamati X 1 X 2... X p. Misalnya = ( X 1 X 2... X p ) adalah vektor yang mewakili peubah adalah matriks data asal yang telah terkoreksi terhadap nilai rata-rata kolomnya dan diberikan oleh: adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy) yang. (20) Definisikan: = diag (n 1 n 2... n m ) (21) yaitu matriks diagonal berukuran m m dengan elemen diagonal utamanya merupakan banyak objek dari setiap kelompok dan m p merupakan matriks yang setiap barisnya merupakan vektor rata-rata dari peubah dalam setiap kelompok yaitu:. (22) Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok dapat dikonstruksi seperti pada Tabel 1.
8 Tabel 1 Analisis ragam antarkelompok dan dalam kelompok Sumber Keragaman Derajat Bebas db Antarkelompok m 1 (between group) Dalam kelompok n m (within group) Total n 1 Jumlah Kuadrat dan Hasil Kali JKK Untuk matriks jumlah kuadrat dan hasil kali (JKK sums of squares and products) data dalam kelompok dapat ditulis juga sebagai: dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok k untuk k = m yaitu untuk j j' = p dan didefinisikan oleh: (23) (24) dengan I 1 = {1 2 n 1 } I 2 = {n n n 1 + n 2 } I m = adalah rata-rata dari peubah j dalam kelompok k yaitu dan n k adalah banyaknya objek dari kelompok k dengan. Sedangkan matriks JKK data antarkelompok dapat ditulis sebagai: (25) dengan merupakan rata-rata keseluruhan dari peubah j yaitu dan. Tujuannya berdasarkan pengukuran peubah X 1 X 2... X p secara serempak akan memaksimumkan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Untuk mencapai tujuan ini transformasikan peubah vektor x ke dalam peubah baru yang membuat ragam yang tinggi antarkelompok terhadap ragam dalam kelompok. Jika transformasi dilambangkan oleh maka yang akan dicari adalah vektor sehingga maksimum dengan kendala yaitu solusi dibatasi untuk vektor dengan panjang satu satuan terhadap matriks. Fungsi yang akan dimaksimumkan merupakan rasio antara ragam antarkelompok dengan ragam dalam kelompok. Ini adalah fungsi homogen berderajat nol di dan invarian terhadap perubahan skala.
9 Sekarang akan dicari vektor yang dapat memaksimumkan fungsi dengan kendala. Menggunakan pengali Lagrange berarti yang akan dimaksimumkan adalah fungsi (26) sehingga (27) (28) atau. (29) Ini berarti maksimum yang dicari adalah Matriks merupakan matriks nonsingular sehingga dengan mengalikan persamaan (27) dengan diperoleh. (30) Artinya vektor atau bobot kanonik yang dapat memaksimumkan adalah eigenvektor dari matriks yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar. Transformasi yang diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar disebut peubah kanonik pertama. Peubah kanonik kedua diperoleh dari eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai terbesar kedua dan begitu pula untuk mencari peubah kanonik yang lainya. Banyaknya peubah kanonik yang mungkin diperoleh adalah r = pangkat ( = min (p m 1). Semua penyelesaian dari (28) dapat dikumpulkan bersama dalam bentuk (31) dengan dan = diag (... ) di mana... > 0 sehingga. Jika r = p maka dapat ditulis sebagai dan. Dengan mengalikan persamaan (31) dengan diperoleh. (32) Jika matriks tidak simetris dalam perhitungan eigenvektor dan peubah kanonik secara komputasi lebih menguntungkan menggunakan matriks
10 simetris berukuran p p daripada matriks (Gittins 1985). Dekomposisi spektral dari matriks simetris diberikan oleh: (33) dengan adalah suatu matriks berukuran p p yang elemen-elemennya eigenvektor dan adalah matriks diagonal yang memiliki eigennilai pada diagonal utamanya. Berdasarkan asumsi tersebut persamaan (27) dapat ditulis menjadi. Jadi persamaan tersebut dapat ditulis sebagai (34) dengan dan = 1. Persamaan (34) menyatakan bahwa adalah eigenvektor dari matriks yang bersesuaian dengan eigennilai dan = sehingga. Semua kombinasi linear untuk sebuah objek dengan nilai-nilai diberikan oleh:. (35) Hal ini memberikan sebuah transformasi dari peubah asal menjadi himpunan peubah baru yang dikenal sebagai peubah kanonik. Ruang yang dihasilkan oleh peubah-peubah ini disebut ruang kanonik. Rata-rata kelompok pada ruang kanonik disebut juga rata-rata kanonik diberikan oleh: (36) dan transformasi seluruh himpunan objek pada ruang kanonik diberikan oleh. Sehingga:. (37) Artinya jarak Euclid antara rata-rata dalam ruang peubah kanonik bersesuaian dengan jarak Mahalanobis dalam ruang peubah asal. Jadi ruang peubah kanonik dapat dianggap sebagai ruang Euclid.
11 Peubah kanonik yang diperoleh y 1 y 2 y r merupakan kombinasi linear yang dipilih sehingga y 1 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok peubah y 2 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y 1 peubah y 3 merefleksikan perbedaan terbesar antarkelompok yang tidak dapat dicakup oleh y 1 dan y 2 dan seterusnya. Diharapkan beberapa peubah kanonik pertama misalnya dua peubah kanonik pertama cukup layak digunakan sehingga masing-masing objek dan rataannya dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Bila hal ini dimungkinkan maka bagaimana baiknya upaya pemisahan antarkelompok dan penentuan objek ke suatu kelompok akan lebih mudah dilakukan. Analisis Biplot Kanonik Analisis biplot kanonik merupakan representasi grafik dari APK dikembangkan oleh Gabriel (1995) untuk memperoleh representasi secara serempak antara rata-rata kelompok dan peubah di mana dimungkinkan tidak hanya untuk menetapkan perbedaan antarkelompok tetapi juga untuk menggambarkan peubah yang dianggap dominan dalam membedakan antarkelompok (Vallejo-Arboleda et al. 2007). Misalnya adalah matriks data asal yang terkoreksi terhadap rata-rata kolomnya dan adalah matriks indikator m kelompok (peubah dummy). Analisis biplot kanonik merupakan peragaan secara grafik dari baris dan kolom sebuah matriks dengan baris mewakili rata-rata kelompok dan kolom mewakili peubah. Matriks merupakan rata-rata objek masing-masing kelompok untuk setiap peubah yang diamati dan terkoreksi terhadap nilai rata-rata keseluruhan. Untuk memperhitungkan pengaruh penyebaran objek dan skala pengukuran peubah diperkenalkan pembobotan sehubungan dengan matriks JKK data dalam kelompok dan yang lainnya berkaitan dengan banyaknya objek hal ini karena akurasi rata-rata tergantung pada ukuran yang telah dihitung sehingga dapat didefinisikan:. (38)
12 Artinya baris dari terboboti oleh banyaknya objek dan peubah pada kolom terboboti oleh invers dari matriks JKK dalam kelompok (Gabriel 1972) dengan (39) sehingga memiliki eigenvektor dan eigennilai dengan. Mengkonstruksi biplot dari matriks dengan mengkonstruksi biplot untuk matriks diperoleh dari PNS yaitu dengan ukuran tersebut akan setara. Biplot representasi dari matriks (40) dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan akar dari eigennilai-eigennilai positif matriks atau yaitu dengan. Nilai disebut nilai singular dari dan merupakan eigennilai-eigennilai positif matriks atau. Matriks dan adalah matriks ortonormal kolom sehingga (matriks identitas berdimensi r). Matriks adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai positif dari matriks yaitu dan adalah matriks yang kolom-kolomnya merupakan eigenvektor-eigenvektor yang bersesuaian dengan eigennilai-eigennilai positif dari matriks yaitu. Dari persamaan (39) diperoleh: Penyelesaian untuk persamaan (40) diperoleh:. (41) diperoleh dengan mensubstitusikan persamaan (38) ke
13 atau (42) yang ekuivalen dengan penguraian nilai singular umum (PNSU Generalized Singular Value Decomposition) dari matriks dalam metrik dan yaitu: (43) dengan dan. Dengan memilih matriks definit positif dan sehingga dan. PNSU menyediakan pendekatan terbaik pangkat rendah dari matriks menggunakan nilai dan vektor singular pertama. Penguraian pada (42) memungkinkan untuk mengkonstruksi representasi biplot untuk matriks rata-rata kelompok yaitu: (44) dengan dan di mana. Elemen ke-( ) dari matriks dapat ditulis sebagai: (45) dengan merupakan vektor baris ke-i dari matriks i = 1 2 n dan merupakan vektor baris ke-j dari matriks j = 1 2 p; di mana vektor dan mempunyai r elemen. Untuk menggambarkan pada ruang dimensi s < r dapat didekati menggunakan matriks berpangkat s = (46) dengan mengambil s kolom pertama matriks sebagai penanda baris (rata-rata kelompok m) dan s kolom pertama matriks sebagai penanda kolom (peubah p). Biasanya digunakan s = 2 sehingga koordinat-koordinat dan dapat digambarkan dalam ruang berdimensi dua. Pada diagram pencar penanda baris diwakili sebagai titik dan penanda kolom sebagai vektor.
14 Matriks dan pada biplot kanonik memenuhi sifat sebagai berikut: 1. Berdasarkan PNS matriks yang diberikan dalam persamaan (40) diperoleh dan. Oleh karena itu matriks dapat dinyatakan dengan mengganti ekspresi P dan pada (38) sebagai: (47) dan mengganti dalam persamaan (41) kemudian mensubstitusikannya ke (47) diperoleh:. (48) Persamaan (48) dapat menafsirkan matriks sebagai proyeksi pada daerah pemisahan maksimum dari kelompok yang dihasilkan oleh kolom dari matriks dan (49) dengan adalah matriks JKK data dalam kelompok adalah vektor ratarata dari kelompok i. Artinya kuadrat jarak Euclid antara vektor dan pada biplot sama dengan kuadrat jarak Mahalanobis antara vektor dan. 2. Perkalian dari penanda baris dengan penanda kolom merupakan pendekatan rata-rata dari kelompok ke-k pada peubah ke-j yang telah terkoreksi terhadap rata-rata terboboti seluruh objek. Sehingga memungkinkan untuk karakterisasi perbedaan antarkelompok. (50) 3. Kualitas representasi (atau ukuran kesesuaian dari matriks data) dapat didekati oleh:. (51) 4. Matriks sebagai pendekatan matriks JKK data dalam kelompok yaitu:. (52)
15 5. Panjang penanda kolom sebanding dengan variabilitas dalam kelompokkelompok = dengan =. 6. Kosinus sudut antarpeubah dapat diinterpretasikan sebagai pendekatan dari korelasinya. Analisis Procrustes Dalam Bakhtiar dan Siswadi (2011) analisis Procrustes adalah alat analisis berdasarkan asas kuadrat terkecil yang dapat digunakan untuk mengukur kemiripan maksimal antarkonfigurasi titik melalui serangkaian transformasi linear. Analisis ini bertujuan untuk membandingkan dua konfigurasi yang mewakili unit pengamatan yang sama. Untuk melihat kesamaan bentuk dan ukuran dari dua konfigurasi maka setelah kedua konfigurasi dilakukan translasi salah satu konfigurasi dibuat tetap sementara konfigurasi yang lainnya ditransformasikan sehingga paling sesuai dengan konfigurasi pertama. Misalnya adalah konfigurasi titik dalam ruang Euclid berdimensi dengan koordinat diberikan oleh matriks berikut (53) dengan untuk dan konfigurasi yang merupakan konfigurasi titik dalam ruang Euclid berdimensi. Konfigurasi ini akan dipasangkan dengan konfigurasi dalam bentuk baris dengan masingmasing baris dari konfigurasi dipasangkan dengan baris konfigurasi yang bersesuaian. Diasumsikan bahwa dimensi kedua konfigurasi dan adalah sama dengan demikian tiap matriks memiliki jumlah kolom yang sama. Jika maka kolom nol dapat ditambahkan pada matriks sehingga kedua konfigurasi berada pada ruang dimensi yang sama. Dengan demikian tanpa mengurangi perumuman dapat diasumsikan bahwa. Diasumsikan pula bahwa salah satu konfigurasi dibuat tetap dan konfigurasi yang lain akan ditransformasi agar sesuai dengan konfigurasi.
16 Dalam menentukan tingkat kesesuaian dua konfigurasi analisis Procrustes mendasarkan penghitungannya pada jumlah kuadrat jarak antartitik yang bersesuaian disebut juga jarak Procrustes yaitu. (54) Dengan mempertimbangkan perubahan posisi orientasi dan skala dua konfigurasi yang dibandingkan analisis Procrustes mensyaratkan tiga bentuk transformasi geometris harus dilakukan untuk mendapatkan E yang optimal. Ketiga bentuk transformasi ini adalah translasi rotasi dan dilasi. Translasi Translasi dalam analisis Procrustes merupakan proses penggeseran semua titik pada konfigurasi dan konfigurasi dengan jarak yang tetap dan arah yang sama sehingga kedua konfigurasi memiliki sentroid (titik berat) yang sama. Penguraian jumlah kuadrat persamaan (54) menghasilkan. (55) Karena bentuk kedua dari ruas kanan persamaan (55) bernilai nol maka diperoleh (56) di mana 1 1 dengan 1 adalah vektor berukuran yang semua elemennya bernilai 1 dan menyatakan sentroid dari masing-masing konfigurasi dan yang dinyatakan sebagai dan.
17 Penyesuaian optimal dengan translasi diperoleh dengan menghimpitkan sentroid X dan Y ( konfigurasi setelah penyesuaian dengan translasi adalah: Rotasi. Jadi norma kuadrat perbedaan minimum dua (57) Rotasi adalah proses pemindahan seluruh titik dengan sudut yang tetap tanpa mengubah jarak setiap titik terhadap sentroidnya. Dalam analisis Procrustes rotasi dilakukan dengan cara menggandakan konfigurasi ortogonal yang meminimumkan jarak antarkonfigurasi. dengan matriks Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan rotasi adalah Secara aljabar berdasarkan (54) diperoleh: Inf. (58) Q. (59) Untuk memperoleh nilai yang minimum harus dipilih matriks ortogonal Q yang memaksimumkan nilai. Misalnya merupakan hasil penguraian nilai singular bentuk lengkap dari matriks sehingga dengan adalah matriks diagonal dan merupakan matriks ortogonal maka (60) dengan merupakan perkalian matriks ortogonal sehingga juga matriks ortogonal dan berlaku 1 h ij 1. Sehingga diperoleh
18 . (61) Jadi E minimum ketika mengakibatkan (62) atau. (63) Jadi jarak Procrustes oleh rotasi yang optimal diberikan oleh:. (64) Dilasi Dilasi adalah pembesaran/pengecilan jarak setiap titik dalam konfigurasi terhadap sentroidnya. Dilasi Y terhadap X dilakukan dengan menggandakan konfigurasi Y dengan suatu skalar c. Norma kuadrat perbedaan kedua konfigurasi setelah penyesuaian dengan dilasi adalah sehingga Inf. (65) c. (66) yang dapat dilihat sebagai fungsi kuadrat dalam c sehingga nilai minimum diperoleh dengan memilih. (67) Jadi jarak Procrustes oleh dilasi yang optimal diberikan oleh:. (68)
19 Bakhtiar dan Siswadi (2011) telah menunjukkan bahwa urutan optimal transformasi linear dalam analisis Procrustes ialah translasi rotasi dan dilasi dengan jarak Procrustes diberikan oleh: Untuk memperoleh posisi yang paling sesuai sehingga kedua matriks menjadi semakin dekat dilakukan penyesuaian seperti di atas. Ukuran kesesuaian dua konfigurasi menggambarkan kedekatan (kesesuaian) antara dua matriks. Semakin tinggi nilainya maka kedua konfigurasi tersebut akan semakin dekat (sama). Ukuran kesesuaian dapat dirumuskan sebagai: Nilai R 2 berkisar antara % semakin dekat ke 100 % semakin dekat dua konfigurasi tersebut.
TINJAUAN PUSTAKA. dianalisis dan hasilnya ditransformasi menjadi matriks berukuran??
TINJAUAN PUSTAKA Data Disagregat dan Agregat Berdasarkan cara pengumpulannya, data dapat dibedakan atas data internal dan data eksternal. Data internal berasal dari lingkungan sendiri sedangkan data eksternal
Lebih terperinciPENDAHULUAN LANDASAN ANALISIS
10 PENDAHULUAN Latar Belakang Biplot merupakan metode eksplorasi analisis data peubah ganda yang dapat memberikan gambaran secara grafik tentang kedekatan antar objek, keragaman peubah, korelasi antar
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Gambar 1 Diagram kotak garis
TINJAUAN PUSTAKA Diagram Kotak Garis Metode diagram kotak garis atau boxplot merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran dan kemiringan pola
Lebih terperinciBIPLOT BIASA DAN KANONIK UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB KUSNANDAR
BIPLOT BIASA DAN KANONIK UNTUK PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB KUSNANDAR SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN
HASIL DAN PEMBAHASAN Implementasi Biplot Kanonik dan Analisis Procrustes dengan Mathematica Biplot biasa dengan sistem perintah telah terintegrasi ke dalam beberapa program paket statistika seperti SAS,
Lebih terperinciBAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA. Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang
BAB III PEREDUKSIAN RUANG INDIVIDU DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA Analisis komponen utama adalah metode statistika multivariat yang bertujuan untuk mereduksi dimensi data dengan membentuk kombinasi linear
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI. Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Komponen Utama 211 Pengantar Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Componen Analysis) bermula dari tulisan Karl Pearson pada tahun 1901 untuk peubah non-stokastik Analisis
Lebih terperinciBIPLOT DATA DISAGREGAT DAN AGREGAT DALAM PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB DEDE SAHRUL BAHRI
BIPLOT DATA DISAGREGAT DAN AGREGAT DALAM PEMETAAN PROVINSI BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA IPB DEDE SAHRUL BAHRI SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2010 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA Analisis Gerombol
3 TINJAUAN PUSTAKA Analisis Gerombol Analisis gerombol merupakan analisis statistika peubah ganda yang digunakan untuk menggerombolkan n buah obyek. Obyek-obyek tersebut mempunyai p buah peubah. Penggerombolannya
Lebih terperinciCompany LOGO ANALISIS BIPLOT
Company LOGO ANALISIS BIPLOT Pendahuluan Company name Data : ringkasan berupa nilai beberapa peubah pada beberapa objek Objek n Nilai Peubah X X.. Xp Company name Penyajian Data dalam bentuk matriks =
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
17 Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciKONFIGURASI PROGRAM STUDI DI IPB BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA TPB IPB DEVITA HANDAYANI
KONFIGURASI PROGRAM STUDI DI IPB BERDASARKAN PRESTASI MAHASISWA TPB IPB DEVITA HANDAYANI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 ABSTRAK
Lebih terperinciUKURAN KESESUAIAN DALAM ANALISIS BIPLOT BIASA DAN ANALISIS BIPLOT IMBUHAN MARIYAM
UKURAN KESESUAIAN DALAM ANALISIS BIPLOT BIASA DAN ANALISIS BIPLOT IMBUHAN MARIYAM DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 2 ABSTRAK MARIYAM.
Lebih terperinciSELEKSI PEUBAH DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA DAN PROCRUSTES ACHMAD MUSLIM
SELEKSI PEUBAH DENGAN ANALISIS KOMPONEN UTAMA DAN PROCRUSTES ACHMAD MUSLIM SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan
Lebih terperinciPertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Pertemuan 2 & 3 DEKOMPOSISI SPEKTRAL DAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Ingat : Vektor dan Matriks Ortogonal vektor dan a dan b saling ortogonal jika a dan b saling ortonormal jika a dan b di normalisasi (normalized)
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Statistika Multivariat Analisis statistika multivariat adalah teknik-teknik analisis statistik yang memperlakukan sekelompok variabel terikat yang saling berkorelasi sebagai
Lebih terperinciPEMETAAN PROVINSI DI INDONESIA BERDASARKAN LAPANGAN PEKERJAAN UTAMA DENGAN ANALISIS KORESPONDENSI DESTY PUTRI SARI
i PEMETAAN PROVINSI DI INDONESIA BERDASARKAN LAPANGAN PEKERJAAN UTAMA DENGAN ANALISIS KORESPONDENSI DESTY PUTRI SARI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diuraikan mengenai landasan teori yang akan digunakan dalam bab selanjutnya. 2.1 Matriks Sebuah matriks, biasanya dinotasikan dengan huruf kapital tebal seperti A,
Lebih terperinciANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL SUJITA SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009 PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan
Lebih terperinciSOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR
Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. digunakan untuk menganalisis data dengan lebih dari satu peubah bebas
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Analisis Peubah Ganda Analisis peubah ganda merupakan salah satu jenis analisis statistika yang digunakan untuk menganalisis data dengan lebih dari satu peubah bebas (independen
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini akan dipaparkan beberapa teori pendukung yang digunakan dalam
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dipaparkan beberapa teori pendukung yang digunakan dalam proses analisis klaster pada bab selanjutnya. 2.1 DATA MULTIVARIAT Data yang diperoleh dengan mengukur
Lebih terperinciBAB III ANALISIS FAKTOR. berfungsi untuk mereduksi dimensi data dengan cara menyatakan variabel asal
BAB III ANALISIS FAKTOR 3.1 Definisi Analisis faktor Analisis faktor adalah suatu teknik analisis statistika multivariat yang berfungsi untuk mereduksi dimensi data dengan cara menyatakan variabel asal
Lebih terperinciRuang Vektor Euclid R 2 dan R 3
Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015
Lebih terperinciBAB III ANALISIS KORELASI KANONIK ROBUST DENGAN METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINAN
BAB III ANALISIS KORELASI KANONIK ROBUST DENGAN METODE MINIMUM COVARIANCE DETERMINAN 3.1 Deteksi Pencilan Multivariat Pengidentifikasian pencilan pada kasus multivariat tidaklah mudah untuk dilakukan,
Lebih terperinciPENGUKURAN KONTRIBUSI ITS DALAM MEMBENTUK MUTU SARJANA BARU ITS MENURUT PERSEPSI WISUDAWAN TAHUN 2004
B-17-1 PENGUKURAN KONTRIBUSI ITS DALAM MEMBENTUK MUTU SARJANA BARU ITS MENURUT PERSEPSI WISUDAWAN TAHUN 2004 Arie Kismanto dan Muhammad Sjahid Akbar Jurusan Statistik ITS ABSTRAK Sarjana baru dapat dipakai
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Aljabar Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemen-elemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom sehingga
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. linier, varian dan simpangan baku, standarisasi data, koefisien korelasi, matriks
BAB II KAJIAN TEORI Pada bab II akan dibahas tentang materi-materi dasar yang digunakan untuk mendukung pembahasan pada bab selanjutnya, yaitu matriks, kombinasi linier, varian dan simpangan baku, standarisasi
Lebih terperinciBAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
5 BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Matriks 2.1.1 Definisi Matriks Matriks adalah suatu kumpulan angka-angka yang juga sering disebut elemenelemen yang disusun secara teratur menurut baris dan kolom berbentuk
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 21 Analisis Regresi Perubahan nilai suatu variabel tidak selalu terjadi dengan sendirinya, namun perubahan nilai variabel itu dapat disebabkan oleh berubahnya variabel lain yang berhubungan
Lebih terperinciPertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS. Interpretasi Geometri pada Sampel. Generalisasi varians
Pertemuan 3 & 4 INTERPRETASI GEOMETRI DAN GENERALISASI VARIANS Interpretasi Geometri pada Sampel Generalisasi varians , Interpretasi Geometri pada Sampel Sample Geometry and Random Sampling Data sampel
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam
Lebih terperinciDidownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN
BAB I PENDAHULUAN Dalam kehidupan sehari-hari seringkali dijumpai sesuatu hal yang banyak melibatkan sejumlah variabel yang antar variabel saling berpengaruh, hal semacam ini akan lebih mudah diinterpretasikan
Lebih terperinciANALISIS KOMPONEN UTAMA KERNEL: SUATU STUDI EKSPLORASI PEMBAKUAN PEUBAH PUTRI THAMARA
ANALISIS KOMPONEN UTAMA KERNEL: SUATU STUDI EKSPLORASI PEMBAKUAN PEUBAH PUTRI THAMARA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2014 PERNYATAAN
Lebih terperinciAljabar Linear Elementer
BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut. A. Matriks Matriks adalah himpunan skalar (bilangan
Lebih terperinciBAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan
Lebih terperinciPERBANDINGAN ANALISIS BIPLOT KLASIK DAN ROBUST BIPLOT PADA PEMETAAN PERGURUAN TINGGI SWASTA DI JAWA TIMUR
Jur. Ris. & Apl. Mat. I (207), no., xx-xx Jurnal Riset dan Aplikasi Matematika e-issn: 258-054 URL: journal.unesa.ac.id/index.php/jram PERBANDINGAN ANALISIS BIPLOT KLASIK DAN ROBUST BIPLOT PADA PEMETAAN
Lebih terperinciMODEL-MODEL LEBIH RUMIT
MAKALAH MODEL-MODEL LEBIH RUMIT DISUSUN OLEH : SRI SISKA WIRDANIYATI 65 JURUSAN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA 04 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang
Lebih terperinciSTK511 Analisis Statistika. Pertemuan 13 Peubah Ganda
STK511 Analisis Statistika Pertemuan 13 Peubah Ganda 13. Peubah Ganda: Pengantar Pengamatan Peubah Ganda Menggambarkan suatu objek tidak cukup menggunakan satu peubah saja Kasus pengamatan peubah ganda
Lebih terperinciUKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI ANALISIS PROCRUSTES SARI RAHAYU
UKURAN KESESUAIAN ANALISIS KORESPONDENSI MELALUI ANALISIS PROCRUSTES SARI RAHAYU DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2013 ABSTRAK SARI RAHAYU.
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini dibahas tentang matriks, metode pengganda Lagrange, regresi linear, metode kuadrat terkecil, restriksi linear, multikolinearitas, regresi ridge, uang primer, dan koefisien
Lebih terperinciIV. PERBANDINGAN KONFIGURASI MATRIKS INTERAKSI: METODE PROCRUSTES
IV. PERBANDINGAN KONFIGURASI MATRIKS INTERAKSI: METODE PROCRUSTES 4.1 Pendahuluan Dua pendekatan dalam menangani ketaknornalan data pada pemodelan bilinier telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya. Bab
Lebih terperinciHASIL DAN PEMBAHASAN
HASIL DAN PEMBAHASAN Eksplorasi Data Diagram kotak garis (boxplot) merupakan salah satu teknik untuk memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran, dan kemiringan pola sebaran.
Lebih terperinciKARTU SOAL UJIAN NASIONAL MADRASAH ALIYAH NEGERI PANGKALPINANG
Jumlah 50 Bentuk Pilihan Ganda Standar Kompetensi : Menggunakan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor Kompetensi Dasar : Menggunakan
Lebih terperinciINFORMASI YANG BISA DIAMBIL DARI BIPLOT
ANALISIS BIPLOT PENGANTAR Biplot diperkenalkan pertama kali oleh Gabriel (1971) sehingga sering disebut sebagai Gabriel s biplot. Metode ini tergolong dalam analisis eksplorasi peubah ganda yang ditujukan
Lebih terperinciMODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI
214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar
Lebih terperinciTrihastuti Agustinah
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E OBJEKTIF TEORI CONTOH 4 SIMPULAN
Lebih terperinciALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)
ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS
Lebih terperinciMinggu II Lanjutan Matriks
Minggu II Lanjutan Matriks Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan Tujuan Instruksional Umum Tujuan Instruksional Khusus Jumlah Pertemuan : Matriks : A. Transformasi Elementer. Transformasi Elementer pada baris
Lebih terperinciJika titik O bertindak sebagai titik pangkal, maka ruas-ruas garis searah mewakili
4.5. RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR DAN KOORDINAT A. Pengertian Vektor Posisi dari Suatu Titik Misalnya titik A, B, C Dan D. adalah titik sebarang di bidang atau di ruang. Jika titik O bertindak sebagai titik
Lebih terperinciGeometri pada Bidang, Vektor
Prodi Matematika FMIPA Unsyiah September 9, 2011 Melalui pendekatan aljabar, vektor u dinyatakan oleh pasangan berurutan u 1, u 2. Disini digunakan notasi u 1, u 2 bukan (u 1, u 2 ) karena notasi (u 1,
Lebih terperinciKalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia Titik Kritis Misalkan p = (x, y) adalah sebuah titik peubah dan p 0 = (x 0, y 0 ) adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua
Lebih terperinciBAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN
BAB II TEORI KODING DAN TEORI INVARIAN Pada bab 1 ini akan dibahas definisi kode, khususnya kode linier atas dan pencacah bobot Hammingnya. Di samping itu, akan dijelaskanan invarian, ring invarian dan
Lebih terperinciMODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR
MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.. Pendahuluan Biasanya jika suatu matriks A berukuran mm dan suatu vektor pada R m, tidak ada hubungan antara vektor dan vektor A. Tetapi seringkali kita menemukan
Lebih terperinciAnalisis Komponen Utama (Principal component analysis)
Analisis Komponen Utama (Principal component analysis) A. LANDASAN TEORI Misalkan χ merupakan matriks berukuran nxp, dengan baris-baris yang berisi observasi sebanyak n dari p-variat variabel acak X. Analisis
Lebih terperinciFormat 1. ANALISIS STANDAR KOMPETENSI LULUSAN (SKL) Tahun Pelajaran 2012/2013 Tim Matematika SMA Negeri 6 Malang
Format 1. ANALISIS STANDAR KOMPETENSI LULUSAN (SKL) 01 Mata elajaran Matematika IPA Tahun Pelajaran 01/013 Pengembang Tim Matematika SMA Negeri 6 Malang KISI-KISI SKL 01 INDIKATOR KISI-KISI SKL SK KD 1.
Lebih terperinciTE Teknik Numerik Sistem Linear
TE 9467 Teknik Numerik Sistem Linear Operator Linear Trihastuti Agustinah Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI Institut Teknologi Sepuluh Nopember O U T L I N E. Objektif.
Lebih terperinciAljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9
Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor
Lebih terperinciBAB II KAJIAN TEORI. definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang
BAB II KAJIAN TEORI Pada Bab II ini berisi kajian teori. Di bab ini akan dijelaskan beberapa definisi mengenai grup, ring, dan lapangan serta teori-teori pengkodean yang mendasari teori kode BCH. A. Grup
Lebih terperinciBAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.
BAB 4 RUANG VEKTOR EUCLID Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Ruang n Euclid 2. Transformasi Linier dari R n dan R m 3. Sifat-sifat Transformasi Linier 4.1 RUANG N EUCLID Jika di bab
Lebih terperinciAnalisis Biplot untuk Pemetaan Posisi dan Karakteristik Usaha Pariwisata di Provinsi Bali
Jurnal Matematika Vol. 6 No. 1, Juni 2016. ISSN: 1693-1394 Analisis Biplot untuk Pemetaan Posisi dan Karakteristik Usaha Pariwisata di Provinsi Bali I Gusti Ayu Made Srinadi Jurusan Matematika, Fakultas
Lebih terperinciMatematika II : Vektor. Dadang Amir Hamzah
Matematika II : Vektor Dadang Amir Hamzah sumber : http://www.whsd.org/uploaded/faculty/tmm/calc front image.jpg 2016 Dadang Amir Hamzah Matematika II Semester II 2016 1 / 24 Outline 1 Pendahuluan Dadang
Lebih terperinciVEKTOR 2 SMA SANTA ANGELA. A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan :
1 SMA SANTA ANGELA VEKTOR A. Pengertian Vektor Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Dilambangkan dengan : A B Keterangan : Titik A disebut titik Pangkal Titik B disebut titik Ujung Dinotasikan
Lebih terperinciSILABUS. Mengenal matriks persegi. Melakukan operasi aljabar atas dua matriks. Mengenal invers matriks persegi.
SILABUS Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas / Program Semester : SMA NEGERI 2 LAHAT : MATEMATIKA : XII / IPA : GANJIL STANDAR KOMPETENSI: 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan
Lebih terperinciDidin Astriani P, Oki Dwipurwani, Dian Cahyawati (Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sriwijaya)
(M.2) ANALISIS BIPLOT UNTUK MENGETAHUI KARAKTERISTIK PUTUS SEKOLAH PENDIDIKAN DASAR PADA MASYARAKAT MISKIN ANTAR WILAYAH KECAMATAN DI KABUPATEN OGAN ILIR Didin Astriani P, Oki Dwipurwani, Dian Cahyawati
Lebih terperincig(x, y) = F 1 { f (u, v) F (u, v) k} dimana F 1 (F (u, v)) diselesaikan dengan: f (x, y) = 1 MN M + vy )} M 1 N 1
Fast Fourier Transform (FFT) Dalam rangka meningkatkan blok yang lebih spesifik menggunakan frekuensi dominan, akan dikalikan FFT dari blok jarak, dimana jarak asal adalah: FFT = abs (F (u, v)) = F (u,
Lebih terperinciBAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain
BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional
Lebih terperinciMATRIKS & TRANSFORMASI LINIER
MATRIKS & TRANSFORMASI LINIER Oleh : SRI ESTI TRISNO SAMI, ST, MMSI 082334051324 Daftar Referensi : 1. Kreyzig Erwin, Advance Engineering Mathematic, Edisi ke-7, John wiley,1993 2. Spiegel, Murray R, Advanced
Lebih terperinciMatematika Semester IV
F U N G S I KOMPETENSI DASAR Mendeskripsikan perbedaan konsep relasi dan fungsi Menerapkan konsep fungsi linear Menggambar fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi kuadrat Menerapkan konsep fungsi trigonometri
Lebih terperinciKAJIAN TERHADAP TINGKAT PEMERATAAN PENDIDIKAN MENGGUNAKAN ANALISIS BIPLOT KLASIK DAN BIPLOT KEKAR
E-Jurnal Matematika Vol. 4 (2), Mei 2015, pp. 37-42 ISSN: 2303-1751 KAJIAN TERHADAP TINGKAT PEMERATAAN PENDIDIKAN MENGGUNAKAN ANALISIS BIPLOT KLASIK DAN BIPLOT KEKAR Ni Luh Ardila Kusumayanti 1, I Komang
Lebih terperinciAnalisis Hibrid Korespondensi Untuk Pemetaan Persepsi. Hybrid Correspondence Analysis for Mapping Perception
Jurnal EKSPONENSIAL Volume, Nomor, Mei ISSN 85-89 Analisis Hibrid Korespondensi Untuk Pemetaan Persepsi Hybrid Correspondence Analysis for Mapping Perception Fitriani, Rito Goejantoro, dan Darnah Andi
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2006/2007
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 006/007 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Dalam bab ini akan diberikan beberapa materi yang akan diperlukan di dalam pembahasan, seperti: matriks secara umum; matriks yang dipartisi; matriks tereduksi dan taktereduksi; matriks
Lebih terperinciKata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.
i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 007/008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPA PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan dan
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).
5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian
Lebih terperinciMatriks biasanya dituliskan menggunakan kurung dan terdiri dari baris dan kolom: A =
Bab 2 cakul fi080 by khbasar; sem1 2010-2011 Matriks Dalam BAB ini akan dibahas mengenai matriks, sifat-sifatnya serta penggunaannya dalam penyelesaian persamaan linier. Matriks merupakan representasi
Lebih terperinciGLOSSARIUM. A Akar kuadrat
A Akar kuadrat GLOSSARIUM Akar kuadrat adalah salah satu dari dua faktor yang sama dari suatu bilangan. Contoh: 9 = 3 karena 3 2 = 9 Anggota Himpunan Suatu objek dalam suatu himpunan B Belahketupat Bentuk
Lebih terperinciBAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP. Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 1970-an
BAB III MENENTUKAN PRIORITAS DALAM AHP Pada bab ini dibahas mengenai AHP yang dikembangkan oleh Thomas L Saaty di Wharton School of Business University of Pennsylvania pada sekitar tahun 970-an dan baru
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas teori-teori dasar yang digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya. Pembahasan teori meliputi pengertian data secara umum dan data sirkular, ukuran
Lebih terperinciBAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
BAB IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN A. HASIL PENELITIAN 1. Hasil Pengembangan Produk Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang bertujuan untuk mengembangkan produk berupa Skema Pencapaian
Lebih terperinciContoh. C. Determinan dan Invers Matriks. C. 1. Determinan
C. Determinan dan Invers Matriks C.. Determinan Suatu matriks persegi selalu dapat dikaitkan dengan suatu bilangan yang disebut determinan. Determinan dari matriks persegi dinotasikan dengan. Untuk matriks
Lebih terperinciPengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)
Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. konsep-konsep dasar pada QUEST dan CHAID, algoritma QUEST, algoritma
BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini akan membahas pengertian metode klasifikasi berstruktur pohon, konsep-konsep dasar pada QUEST dan CHAID, algoritma QUEST, algoritma CHAID, keakuratan dan kesalahan dalam
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A,
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Konsep-konsep Matriks Definisi Matriks Suatu matriks didefinisikan dengan huruf kapital yang dicetak tebal, misalnya A, B, X, Y. Elemen-elemen di dalamnya disebut skalar yang berasal
Lebih terperinciBAB. IX ANALISIS REGRESI FAKTOR (REGRESSION FACTOR ANALYSIS)
BAB. IX ANALII REGREI FAKTOR (REGREION FACTOR ANALYI) 9. PENDAHULUAN Analisis regresi faktor pada dasarnya merupakan teknik analisis yang mengkombinasikan analisis faktor dengan analisis regresi linier
Lebih terperinciANALISIS PRINCIPAL COMPONENT BIPLOTS PADA BANK UMUM PERSERO YANG BEROPERASI DI JAWA TENGAH
ANALISIS PRINCIPAL COMPONENT BIPLOTS PADA BANK UMUM PERSERO YANG BEROPERASI DI JAWA TENGAH Ely Fitria Rifkhatussa diyah 1, Hasbi Yasin 2, Agus Rusgiyono 3 1 Mahasiswa Jurusan Statistika FSM UNDIP 2,3 Staff
Lebih terperinciTRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)
Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline
Lebih terperinciVEKTOR. Notasi Vektor. Panjang Vektor. Penjumlahan dan Pengurangan Vektor (,, ) (,, ) di atas dapat dinyatakan dengan: Matriks = Maka = =
VEKTOR Notasi Vektor (,, ) (,, ) Vektor atau Matriks Maka di atas dapat dinyatakan dengan: Kombinasi linear vektor basis maka; ( ) + ( ) + ( ) + + (,, ) Panjang Vektor Misalkan + + (,, ), maka panjang
Lebih terperinci09. Mata Pelajaran Matematika
09. Mata Pelajaran Matematika A. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu universal yang mendasari perkembangan teknologi modern, mempunyai peran penting dalam berbagai disiplin dan mengembangkan daya
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1
Lebih terperinciISTIYANTO.COM. memenuhi persamaan itu adalah B. 4 4 C. 4 1 PERBANDINGAN KISI-KISI UN 2009 DAN 2010 SMA IPA
PERBANDINGAN KISI-KISI UN 009 DAN 00 SMA IPA Materi Logika Matematika Kemampuan yang diuji UN 009 UN 00 Menentukan negasi pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan Menentukan negasi pernyataan
Lebih terperinciMATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )
MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. pendugaan modelnya. Salah satu metode statistika yang dapat mengatasinya adalah
TINJAUAN PUSTAKA Metode Kuadrat Terkecil Parsial Kolinearitas dalm analisis regesi akan menyebabkan ketidaktepatan dalarn pendugaan modelnya. Salah satu metode statistika yang dapat mengatasinya adalah
Lebih terperinciBAB II KAJIAN PUSTAKA. operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas
BAB II KAJIAN PUSTAKA Pada bab ini akan diuraikan mengenai matriks (meliputi definisi matriks, operasi matriks, determinan dan invers matriks), aljabar max-plus, matriks atas aljabar max-plus, dan penyelesaian
Lebih terperinciDESKRIPSI PEMELAJARAN
DESKRIPSI PEMELAJARAN MATA DIKLAT : Matematika TUJUAN : Melatih berfikir dan bernalar secara logis dan kritis serta mengembangkan aktifitas kreatif dalam memecahkan masalah dan mengkomunikasikan ide/gagasan
Lebih terperinciMateri Aljabar Linear Lanjut
Materi Aljabar Linear Lanjut TRANSFORMASI LINIER DARI R n KE R m ; GEOMETRI TRANSFORMASI LINIER DARI R 2 KE R 2 Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
Lebih terperinciSATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS
SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan
Lebih terperinci01-Pengenalan Vektor. Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal Anny2011 1
01-Pengenalan Vektor Dosen: Anny Yuniarti, M.Comp.Sc Gasal 2011-2012 Anny2011 1 Agenda Bagian 1: Vektor dan Kombinasi Linier Bagian 2: Panjang Vektor dan Perkalian Titik (Dot Products) Bagian 3: Matriks
Lebih terperinci