Aljabar Linier Elementer

Transkripsi

1 Aljabar Linier Elementer Kuliah 15 dan 16 11/11/2014 1

2 Materi Kuliah Kebebasan Linier Basis dan Dimensi 11/11/2014 Yanita, Matematika Unand 2

3 5.3 Kebebasan Linier Definisi Jika S = v 1, v 2,, v r adalah himpunan tak kosong vektor-vektor, maka persamaan vektor k 1 v 1 + k 2 v k r v r = 0 memiliki paling tidak satu solusi, yaitu k 1 = 0, k 2 = 0,, k r = 0 Jika ini satu-satunya solusi, maka S disebut sebagai himpunan bebas linier. Jika terdapat solusi-solusi lain, maka S disebut sebagai himpunan tak bebas linier (bergantung linier) 11/11/2014 3

4 Contoh 11/11/2014 4

5 Contoh 11/11/2014 5

6 Teorema Suatu himpunan S adalah: dengan dua atau lebih vektor a. Tidak bebas linier jika dan hanya jika paling tidak salah satu dari vektor pada S dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S. b. Bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor pada S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor lain pada S. 11/11/2014 6

7 Contoh Vektor-vektor v 1 = (2, 1,0,3), v 2 = (1,2,5, 1), v 3 = (7, 1,5,8) tidak bebas linier. Dengan menggunakan Teorema berarti vektorvektor ini dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari dua vektor lainnya. Buktikan. 11/11/2014 7

8 Teorema a. Suatu himpunan terhingga vektor-vektor yang mengandung vektor nol adalah tidak bebas linier. b. Suatu himpunan dengan tepat dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika tidak satupun dari vektornya merupakan kelipatan skalar dai vektor lainnya. 11/11/2014 8

9 Interpretasi Geometrik dari Kebebasan Linier Interpretasi geometrik kebebasan linier pada R 2 dan R 3 : Pada R 2 dan R 3, suatu himpunan yang terdiri dari dua vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada garis yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya terletak pada titik asal. Pada R 3, suatu himpunan yang terdiri dar tiga vektor adalah bebas linier jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut tidak terletak pada bidang yang sama ketika ditempatkan sedemikian rupa sehingga tiik awalnya terletak pada titik asal. 11/11/2014 9

10 Teorema Misalkan S = v 1, v 2, v r adalah suatu himpunan vektor-vektor pada R n. Jika r > n, maka S tidak bebas linier 11/11/

11 5.4 Basis dan Dimensi Definisi Jika V adalah suatu ruang vektor sebarang dan S = v 1, v 2, v n adalah suatu himpunan vektor-vektor pada V, maka S disebut basis untuk V jika dua syarat berikut berlaku: 1. S bebas linier 2. S merentang V Contoh: Basis standar 11/11/

12 Contoh 11/11/

13 Basis standar untuk P n P n = a 0 + a 1 x + + a n x n a i R, i = 1,2,, n Tunjukkan bahwa S = 1, x, x 2,, x n adalah basis untuk ruang vektor P n. Untuk menunjukkan S basis untuk P n berarti harus ditunjukkan S bebas linier dan S merentang P n. Akan ditunjukkan S bebas linier. Misalkan a 0 p 1 + a 1 p a n p n = 0 (1) Akan ditunjukkan a 0 = a 2 = = a n Persamaan 1 ekivalen dengan a 0 + a 1 x + + a n x n untuk semua x pada,. Dalam aljabar linier poinomial tak nol dengan pangkat n memiliki paling banyak n akar. Implikasikasinya polinomial nol hanya dipenuhi ketika a i = 0, i = 1,2,, n. 11/11/

14 Akan ditunjukkan S merentang P n. Ambil sebarang p P n, artinya p adalah polinomial, yaitu p = a 0 + a 1 x + + a n x n, dengan a i R. Berarti p adalah kombinasi linier dari 1, x, x 2,, x n. Jadi 1, x, x 2,, x n merentang P n. 11/11/

15 Keunikan/Ketunggalan Representasi Basis Teorema Jika S = v 1, v 2, v n adalah suatu basis dari ruang vektor V, maka setiap vektor v pada Vdapat dinyatakan secara tunggal dalam bentuk v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n 11/11/

16 Koordinat-koordinat Relatif Terhadap Suatu Basis Jika S = v 1, v 2, v n adalah basis untuk ruang vektor V, dan v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n Adalah pernyataan untuk suatu vektor v dalam bentuk basis S, maka skalar-skalar c 1, c 2,, c n disebut sebagai koordinat v relatif terhadap basis S. Vektor (c 1, c 2,, c n ) pada R n yang disusun dari koordinat-koordinat ini disebut vektor koordinat v relatif terhadap S, dan dinotasikan dengan (v) S = (c 1, c 2,, c n ) Catatan: Vektor koordinat tidak bergantung pada basis S saja, tetapi juga pada urutan penulisan vektor basis. 11/11/

17 Dimensi Definisi Suatu ruang vektor tak nol V disebut berdimensi terhingga jika terdiri dari himpunan terhingga vektorvektor v 1, v 2, v n yang membentuk suatu basis. Jika tidak terdapat himpunan seperti ini, V disebut sebagai berdimensi tak hingga. Selain itu, kita akan menganggap ruang vektor nol sebagai berdimensi terhingga. 11/11/

18 Teorema Misalkan V adalah suatu ruang vektor berdimensi terhingga dan {v 1, v 2,, v n } adalah basis sebarang. a. Jika suatu himpunan memiliki vektor lebih dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak bebas linier b. Jika suatu himpunan memiliki vektor kurang dari n, maka himpunan tersebut bersifat tidak merentang V. 11/11/

19 Teorema Semua basis untuk ruang vektor berdimensi terhingga memiliki jumlah vektor yang sama. Contoh Pada R 3, dimensinya adalah 3, maka semua basis pada R 3 memiliki jumlah unsur 3. 11/11/

20 Definisi Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terhingga, dinotasikan dengan dim(v), didefinisikan sebagai banyaknya vektor-vektor pada suatu basis untuk V. Selain itu, didefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol. Contoh dim R n = n dim P n = n + 1 dim M mn = mn 11/11/

21 Dimensi dari Ruang solusi Perhatikan sistem persamaan linier berikut ini: x y = z 0 Himpunan penyelesaian untuk sistem persamaan linier homogen ini adalah 2s 3t H = s t s, t R Maka H adalah subruang dari R 3. Perhatikan bahwa vektor-vektor solusi dapat ditulis sebagai berikut: x 2 3 y z = s t 0 1 Yang menunjukkan bahwa v 1 = (buktikan) dan v 2 = Maka v 1, v 2 adalah basis untuk H. Jadi dim H = 2 merentang ruang solusi dan v 1, v 2 bebas linier 11/11/

22 Contoh 11/11/

23 Teorema plus/minus Teorema Misalkan S adalah himpunan tak kosong vektor-vektor pada ruang vektor V. a. Jika S adalah himpunan yang bebas linier, dan jika v adalah suatu vektor pada V yang terletak di luar rentang S, maka himpunan S {v} yang diperoleh dengan menyisipkan v ke dalam S masih bersifat bebas linier. b. Jika v adalah suatu vektor pada S yag dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor-vektor lainnya pada S, dan jika S v menotasikan himpunan yang diperoleh dengan mengeluarkan v dari S, maka S dan S v merentang ruang yang sama, yaitu Rentang S = rentang(s v ) 11/11/

24 Teorema Jika V adalah suatu ruang vektor berdimensi n, dan jika S adalah suatu himpunan pada V dengan tepat n vektor, maka S adalah basis untuk V jika salah satu dari hal berikut berlaku, merentang V atau S bebas linier. 11/11/

25 Teorema Misalkan S adalah suatu himpunan terhingga dari vektorvektor pada suatu ruang vektor V berdimensi terhingga. a. Jika S merentang V, tetapi bukan suatu basis untuk V, maka S dapat direduksi menjadi suatu basis untuk V dengan mengeluarkan vektor-vektor yang sesuai dari S. b. Jika S adalah suatu himpunan bebas linier yang belum merupakan basis untuk V, maka S dapat diperbesar menjadi suatu basis untuk Vdengan menyisipkan vektorvektor-vektor yang sesuai ke dalam S. 11/11/

26 Teorema Jika W adalah suatu subruang dari suatu ruang vektor V yang berdimensi terhingga, maka dim(w) dim(v). Lebih lanjut, jika dim W = dim((v), maka W = V. 11/11/