Analisis Fungsional. Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Transkripsi

1 Analisis Fungsional Oleh: Dr. Rizky Rosjanuardi, M.Si Jurusan Pendidikan Matematika UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

2 Lingkup Materi Ruang Metrik dan Ruang Topologi Kelengkapan Ruang Banach Ruang Hilbert Basis ortonormal dari ruang Hilbert Teorema proyeksi dan lema Riesz Jumlah langsung Produk tensor

3 Ruang Vektor Kompleks Ruang vektor atas adalah grup Abelian aditif X, sedemikian sehingga untuk setiap x, y X,, dan e suatu unsur identitas di berlaku: 1) ( x y) x y, 2) ( ) x x x, 3) ( ) x ( x ), 4) e. x x.

4 Contoh ruang vekto 1) Himpunan Mmn yang merupakan himpunan matriks berukuran m n dengan entri-entri bilangan kompleks adalah suatu ruang vektor. 2) 3 : x, y, z x, y, z dengan penjumlahan titik demi titik x1, y1, z1 x2, y2, z2 : x1 x2, y1 y2, z1 z 2 dan dilengkapi perkalian skalar bilangan kompleks x1, y1, z1 : x1, y1, z 1 adalah suatu ruang vektor.

5 Ruang vektor bernorm Misalkan X suatu ruang vektor atas. Norm di X adalah sebuah pemetaan : X, sedemikian sehingga untuk setiap x, y X, berlaku: 1) x 0, 2) x 0 jika dan hanya jika x 0, 3) x x, 4) x y x y. Selanjutnya, ruang vektor X yang dilengkapi dengan norm. atau ditulis X, disebut ruang vektor bernorm.

6 Hasil Kali Dalam - Ruang HKD Misalkan X suatu ruang vektor atas. Suatu hasil-kali dalam pada ruang vektor X adalah pemetaan.. : X X, sedemikian sehingga untuk setiap x, y, z X dan sembarang skalar, berlaku: 1) x y z x z y z, 2) x y y x, 3) x x 0 dan x x 0 jika dan hanya jika x=0. Selanjutnya, ruang vektor X yang dilengkapi dengan hasil-kali dalam.. atau ditulis X,.. disebut ruang hasil-kali dalam.

7 Contoh Ruang HKD Perhatikan ruang fungsi kompleks kontinu: C a, b : f : a, b f kontinu. Misalkan f, g C a, b. Tulis f f1 if 2 dan g g1 ig 2 dengan f, g ; i 1,2 adalah fungsi-fungsi real kontinu dengan domain ab., i i Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berturut-turut: f g x : f x g x i f x g x dan f x : f1 x i f2 x,

8 Contoh Ruang HKD untuk setiap x a, b dan. Dapat ditunjukkan C a, b adalah ruang vektor atas. Selanjutnya didefinisikan: b f g : f x if x g x ig x dx. a ( C a, b,.. ) adalah ruang hasil-kali dalam. Didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar berturut-turut: f g x : f x g x i f x g x dan f x : f1 x i f2 x,

9 Ruang Banach, Ruang Hilbert Misalkan X, adalah ruang vektor bernorm, ruang X disebut lengkap jika setiap barisan Cauchy x di X konvergen n di X. Suatu ruang vektor bernorm yang lengkap disebut ruang Banach. Selanjutnya, suatu ruang vektor bernorm yang lengkap yang normnya diinduksi dari hasil-kali dalam disebut ruang Hilbert.

10 Contoh Ruang Hilbert Perhatikan himpunan semua barisan bilangan kompleks x n yaitu 2 l : xn xn 2. Misalkan 2 xn x1, x2,... l dan y y y l didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian skalar n 2 1, 2,..., berturut-turut: x y x, x,... y, y,... x y, x y,... n n dan x x, x,... x, x,... untuk setiap. n

11 Contoh Ruang Hilbert 2 Dapat ditunjukkan bahwa ruang barisan l adalah ruang vektor atas. Lebih lanjut, dengan hasil-kali dalam dan normnya berturut-turut adalah x y i 1 x y i i dan x x x x, dapat ditunjukkan bahwa ruang i 1 i barisan l 2 suatu ruang Hilbert.

12 Basis ortonormal ruang Hilbert Sebuah himpunan { u j } disebut himpunan ortonormal bila u, u 0 untuk j k dan u, u 1. j k j j Lemma: Misalkan { u } n sebuah basis ortonormal dari ruang Hilbert j j 1 H. Maka setiap f H dapat dituliskan sebagai: di mana f dan n f f f, f u, f u, f adalah saling ortogonal. j 1 j j

13 Basis ortonormal ruang Hilbert Lemma: Misalkan { u } n sebuah basis ortonormal dari ruang Hilbert j j 1 H. Maka u, f 0 untuk setiap 1 j n. Dalam hal khusus j 2 n 2 2 f u, f f. j 1 Juga setiap unsur f di ruang yang direntang oleh { u } n j j 1 memenuhi f f f dengan kesamaan berlaku jika dan hanya jika f f. j

14

15 Fungsi Bilinear Definisi: Fungsi Bilinear Misalkan U, V dan W merupakan ruang vektor atas lapangan F. Sebuah fungsi f : U V W adalah bilinear jika fungsi tersebut linear pada kedua variabelnya secara terpisah, yaitu: f ru su ', v rf u, v sf u', v...(linear kiri) dan f u, rv sv' rf u, v sf u, v '...(linear kanan) r, s F ; v, v' V dan u, u ' U

16 Contoh fungsi bilinear a. Suatu hasil kali dalam.. :V V R pada ruang vektor atas lapangan real bilinear. adalah suatu fungsi b. Misalkan E, F ruang vektor dan M aljabar, kemudian : E M dan : F M masingmasing adalah suatu fungsi linear. Maka fungsi : E F M, dengan e, f e f, e, f E F adalah suatu fungsi bilinear.

17 Hasil kali tensor Definisi: Hasil Kali Tensor Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F dan misalkan T subruang dari ruang vektor bebas F U V yang dibangun oleh vektor-vektor berbentuk: r u, v s u', v ru su ', v...(*) dan r u, v s u, v' u, rv sv ' (**) rsskalar, di F; u, u ' U dan v, v' V. Ruang kosien FU V tensor dari U dan V dan dinotasikan oleh U V. T dikatakan hasil kali

18 Hasil kali tensor Setiap vektor yang dibangun oleh subruang T merupakan elemen nol pada ruang vektor U V. Dengan demikian elemen-elemen dari U V berbentuk ri ui, vi T tetapi biasanya koset u, v T dinotasikan oleh u v, oleh karena itu setiap elemen dari U V ditulis dalam bentuk ui v i di mana r u v s u' v ru su' v.(***) dan r u v s u v' u rv sv ' (****)

19 Hasil kali tensor Setiap elemen U V tidak selalu dapat ditulis secara tunggal finite u v x y i i i i finite jika dan hanya jika kita dapat menemukan elemen yang sama dalam bentuk jumlah berhingga lain.

20 Hasil kali tensor: konstruksi Langkah 1 Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F, kemudian kita konstruksi suatu ruang vektor bebas atas lapangan F dengan U V sebagai generator. Berdasarkan definisi ruang vektor bebas, kita dapatkan F : u, v : F, u, v U V. U V i i i i i i finite Ini adalah kombinasi linier berhingga dari elemen-elemen di U V.

21 Hasil kali tensor: konstruksi Langkah 2 Selanjutnya pilih subruang T dari F U V, yang dibangun oleh vektor-vektor berbentuk (*) dan (**). Kemudian akan dibuktikan bahwa pemetaan kanonik : FU V FU V T di mana ri ui, vi u, v u, v T untuk setiap ri ui, vi u, v F U V, merupakan suatu fungsi bilinear. Artinya: dan ru su ', v r u, v s u', v...(linear kiri) u, rv sv' r u, v s u, v '...(linear kanan) r, s F ; v, v' V dan u, u ' U

22 Hasil kali tensor: elemen tensor Berdasar definisi hasil kali tensor dari ruang vektor U dan V (dinotasikan U ruang kosien V ) adalah FU V T. Sehingga setiap elemen dari U V merupakan suatu hasil pemetaan kanonik : FU V FU V T dengan u, v u, v T, selanjutnya koset u, v T dikatakan elemen tensor dari U V yang dinotasikan sebagai u v. Berdasarkan (***) dan (****) elemen tensor tersebut bersifat: r u v s u' v ru su ' v r u v s u v' u rv sv ' untuk setiap u, u ' U ; v, v' V dan skalar r, s F.

23 Hasil kali tensor: sifat universal Teorema 3.8.1: Sifat Universal Hasil Kali Tensor Misalkan U dan V merupakan ruang vektor atas lapangan F. Suatu fungsi t : U V U V adalah fungsi bilinear yang didefinisikan oleh t u, v u v ( ) Jika f : U V W adalah sembarang fungsi bilinear dari U V pada suatu ruang vektor W atas F, maka terdapat suatu transformasi linear unik :U V W sehingga t f ( ) Jika terdapat s : U V X fungsi bilinear lain yang memenuhi sifat tersebut, maka X U V

24 Hasil kali tensor: sifat universal t bilinear U V U V f bilinear W Gambar Sifat universal hasil kali tensor linear