TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

Transkripsi

1 TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita Ahmat Sehari Kunikatus Sangadah Nur Lailatus Shofiah PROGAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 06

2 A. Transformasi Linier dari TRANSFORMASI LINIER n R ke m R Jika pada suatu fungsi f dengan n R sebagai domain dan m R sebagai kodomain ( m dan n mungkin sama) sehingga dapat dinyatakan bahwa fungsi f memetakan n R ke m n m R dengan notasi f : R R Jika kita menotasikan suatu transformasi dengan T, maka n m R yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan berikut: w a x a x... a nxn w ax ax... anxn.. w a x a x a x... m m m mn n Dalam notasi matriks w a a a n x w a a a n x wm am am amn xn Atau w Ax B. Pengertian Transformasi Linier Secara Umum Setelah mengetahui transformasi linier dari n R ke m R, kita telah n m menunjukkan bahwa sebuah transformasi R adalah linier jika dan hanya jika kedua hubungan T u v T u T v dan T ku kt u Berlaku untuk semua vektor u dan v pada Bentuk tersebut dapat juga didefinisikan : n R dan setiap skalar k Jika T : V W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor v kedalam ruang vektor w maka T dinamakan transformasi linier jika:

3 (i) T u v T u T v untuk semua vektor u dan v di V (ii) T ku kt u untuk semua vektor u didalam V dan semua skalar k f u u u+v ku T(u) T(v) T(u+v) T(ku) Diagram Venn C. Contoh-contoh Transformasi Linier. Pemetaan Nol Pemetaan Nol adalah fungsi yang memetakan setiap vektor di V ke vektor nol. Misalkan T : V W dengan 0 T x adalah pemetaan yang menghubungkan vektor nol 0 W ke setiap vektor vv. Untuk sebarang vektor u, v V maka v 0 T u v 0 0 T u T u v T u T v T ku 0 Oleh karena itu, T transformasi linier T ku k.0 kt u T ku. Pemetaan Identitas 3

4 sendiri. Pemetaan identitas adalah fungsi yang memetakan v ke dirinya Pemetaan T : V V dinotasikan oleh I. yang didefinisakan oleh T v Perhatikan pemetaan identitas I : V V, dengan T x y V, biasanya, x, y yang memetakan tiap v V ke dirinya sendiri. Maka untuk sebarang u, vv vektor kita mempunyai I u v u v I u I v Ambil u V dan k skalar, maka I ku ku ki u I ku Jadi, I transformasi linier. 3. Pemetaan Konstan Pemetaan konstan adalah suatu fungsi yang menghasilkan suatu konstanta (tetapan). Pemetaan T : V W yang didefinisikan oleh T u= c. Dengan u V dan c adalah suatu konstanta. Karena suatu konstanta tidak bisa menjadi suatu vektor, maka pemetaan konstan bukan merupakan suatu transformasi linier. Bukti: Misalkan C x, y dengan v x, y T v adalah fungsi yang didefinisikan oleh di merupakan suatu transformasi linier! Misalkan u x, y dan v x, y,, T u v T x y x y T x x, y y x x, y y R dan C R. Tunjukkan apakah T 4

5 x, y x, y T u T v c Karena syarat pertama tidak terpenuhi, maka T bukan merupakan suatu transformasi linear. 4. Pemetaan dari Misalkan R ke R R adalah fungsi yang didefinisikan oleh, x y dengan v x, y T v transformasi linear! Bukti : di R,Buktikan bahwa T merupakan R, x y T v,, T x x, y y ( x x, y y ( x x ), y y Misalkan u x y dan v x y ( i) T u v T x, y x, y ( x x, y y ) x, y x, y T u T v, ( ii) T ku T kx ky k, k x, k y k T u x y 5. Pemetaan dari 3 R ke R 5

6 Periksa linearitas transformasi, T x, y, z x y z! 3 R dengan Penyelesaian : 3 R,, T x y z x y z! Misalkan u x y z, v x y z T x x, y y, z z ( i) T u v T x y z x y z x x, y y, z z ( x y z ) ( x y z ) T u T v,, ( ii) T ku T kx ky kz T ( kx, ky, kz ) kx ky kz k x y z kt x y z k T u Dengan demikian, T transformasi linear 6. Pemetaan dari R ke R Periksa linearitas transformasi, T x y x. y! Misalkan x y 8 maka, x y8,7 R dengan,6 6

7 (...,...) Karena fungsi di atas mempunyai banyak pemetaan, sehingga T bukan merrupakan suatu transformasi linear. Contoh:. Apakah fungsi linear? Penyelesaian : R x, y ( 3 x y) Misalkan u x, y dan v x, y T x, y 3x y merupakan transformasi ( i) T u v T x y x, y 3 T x y T v, T x x, y y 3 x x y y 3x 3x y y 3x y 3x y 3 3 T x y T x y 3 T u T x y ( ii) T ku T k 3kx ky kt 3x ky kt ( u) Karena pada pembuktian pertama tidak terbukti, maka T bukan merupakan transformasi linear. Contoh penyangkal Misalkan : u,3, k 5 maka, 7

8 T ku T K, K 3 T T 5., 5,3 0, Sedangkan untuk Kt u 5T u kt u 5T u 5T, kt ( u) T ku 7 5 Jadi fungsi yang diberikan diatas bukan transformasi linear D. Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T: V W adalah sebuah transformasi linear, maka v dan v sebarang pada V dan skalar c dan c sebarang, kita memperoleh Dan secara lebih umum, jika v, v,..., v n, adalah vektor-vektor pada V dan c, c,..., c n adalah skalar maka T( c v c v... c v ) c T( v ) c T( v )... c T( v )... () n n n n Rumus () terkadang diuraikan dengan sebutan transformasi linear yang mempertahankan kombinasi linear. Teorema berikut ini mencantumkan tiga sifat dasar yang umum untuk semua transformasi linear. Teorema 8.. Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka : 8

9 (a) T(0) 0 (b) T( v) T( v) untuk semua v pada V (c) T( v w) T( v) T( w) untuk semua v dan w pada V Bukti : Misalkan v adalah vektor sebarang pada V. Karena 0v 0, kita memperoleh : (a) T(0) T(0 v) 0 T( v) 0 (b) T( v) T(( ) v) ( ) T( v) T( v) Akhirnya, v w v ( ) w; sehingga, (c) T( v w) T( v ( ) w) T( v) ( ) T( w) T( v) T( w) Dengan kata lain, bagian (a) dari teorema di atas menyatakan bahwa sebuah transformasi linear memetakan 0 ke 0. Sifat ini sangat bermanfaat untuk mengidentifikasi transformasi-transformasi yang tidak linear. Sebagai contoh, jika x 0 adalah sebuah vektor tak nol tetap pada R, maka transformasi T( x) x x0. Memiliki efek geometrik untuk mentranslasikan setiap titik pada x ke arah yang sejajar dengan x 0 sejauh x 0 (Gambar 8.4). Hal ini bukan merupakan sebuah transformasi linear karena T(0) x0, sehingga T tidak memetakan 0 ke 0. E. Karnel dan Jangkauan. Kernel dari transformasi. Misal T : V W merupakan transformasi linear, maka kernel (Inti/Ruang 9

10 nol) dari T adalah himpunan vektor di V yang dipetakan ke vektor ow oleh T. Kernel dari transformasi T dinotasikan dengan Ker( T) vv Tv ( ) o, o W. Untuk memperjelas pengertian dari kernel suatu transformasi, perhatikan transformasi T yang diberikan oleh gambar berikut: Gambar Dari gambar nampak bahwa kernel dari trasformasi T diberikan Ker( T) o, v sebab kedua vector o dan v dipetakan terhadap vektor nol. F. Jangkauan dari transformasi Misal T : V W merupakan transformasi linear, maka Jangkauan/Range dari T yaitu himpunan vektor di W yang merupakan bayangan atau peta dari paling sedikit satu vektor di V. Jangkauan dari T dinotasikan dengan R( T),Im(T) R( T) ww T( v) w, v V Contoh karnel dan jangkuan a. R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh x untuk setiap x R. T x Apakah vektor berikut terletak dalam ker( T) dan RT ( ) ) (0) Penyelesaian : T(0) (.0) (0) 0

11 Jadi (0) terletak dalam ker( T ) Dari vektor tersebut diperoleh SPL : T(x) x 0 Dari SPL tersebut diperoleh x 0, sehingga T (0) terletak dalam RT ( ) ) () Penyelesaian: T() (.) ( ) Jadi () tidak terletak dalam ker( T ) Dari vektor tersebut diperoleh SPL: T( x) x Dari SPL tersebut diperoleh RT ( ). x sehingga T () terletak dalam b. R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh, (, ) T x y x y x y untuk setiap ( x) R. Apakah vektor (,) terletak dalam ker T dan RT Penyelesaian : T,, 0,0 Jadi (,) terletak dalam ker T Dari vektor tersebut diperoleh SPL : x y x y a ; a ; b a ; a ; b a a a dan b a a b a b a a b Jadi, T, tidak terletak dalam RT c. R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh 3 3

12 T( x, y, z) (x y z, x y z, x y) untuk setiap ( x) R Apakah vektor (,,) terletak pada ker (T) dan R(T) Penyelesaian : T(,,) (4, 4, ) (0, 4,0) Jadi, vektor (,,) tidak terletak pada ker (T). Dari vektor tersebut diperoleh SPL : x y z x y z x y Teorema Jika T : V Dari SPL tersebut dengan menggunakan metode Cramer diperoleh x, y,dan z 4 Ini berarti T(,,) terletak dalam R(T) W adalah sebuah transformasi linear, maka : (a) Kernel dari T adalah subruang dari V (b) Jangkauan dari T adalah subruang dari W Bukti : (a) Berdasarkan teorema, vektor 0 berada didalam ker (T), sehingga himpunan ini mengandung setidaknya satu vektor misalkan v dan v adalah vektor-vektor didalam ker(t), dan misalkan k adalah skalar sebarang, maka: T( v v ) T( v ) T( v ) Sehingga v v terletak pada ker (T), dan T( kv ) kt ( v ) k0 0 Sehingga kv terletak pada ker(t) (b) Karena T(0)=0, terdapat setidaknya satu vektor pada R(T). Misalkan w dan w adalah vektor-vektor di dalam jangkauan dari T, dan k adalahskalar sebarang. Untuk membuktikan hal tersebut, harus ditunjukkan bahwa

13 w w dan kw terletak didalam jangkauan dari T. Dengan menemukan vektor a dan vektor b pada V sedemikian rupa sehingga T( a) w w dan T() b kw karena w dan w berada didalam jangkauan dari T, terhadap vektor-vektor a dan a dan V sedemikian rupa sehingga T( a) w dan T( a ) w Jika a a a dan b ka maka: T( a) ( a a ) T( a ) T( a ) w w T( b) T( ka ) kt ( a ) kw Definisi Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear, maka dimensi range dari T disebut sebagai rank dari T (rank of T) dan dinotasikan dengan rank (T); dimensi karnelnya disebut nulitas dari T (nulity of T) dan dinotasikan dengan nuitas (T) jangkauan T adalah ruang kolom dari A. Karnel T adalah ruang pemecahan Ax 0 sehingga : Rank (T)=dim(ruang kolom A)=rank(A) Nulitas(T)=dim(ruang pemecahan Ax 0) Teorema 4 (Teorema dimensi) Jika T : V W adalah sebuah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n kepada sebuah ruang vektor W, maka: Rank dari T nulitas dari T n Dengan kata lain, teorema ini menyatakan bahwa rank + nulitas dari transformasi linear sama dengan dimensi domainnya. dalam kasus khusus n m dimana V R, W R dan T : V W merupakan perkalian oleh sebuah matriks A yang berukuran m x n dan Rank(A) + dim (ruang pemecahan Ax = 0) = n Contoh soal: 3

14 Tentukan rank dan nulitas dari transformasi linear didefinisikan dengan T(p(x)) xp(x). T : P P yang 3 Penyelesaian: ker T { v V Tv ( ) 0} px ( ) abxcx T ( p( x)) xp( x) T ( p( x)) 0 T x (abxcx ) 0 (abxcx ) 0 ax+bx cx 3 a=b=c= 0 Ker( T ) 0 Nulitas (T) dimensi ( Ker( T)) 0 Sehingga rank (T) dimensi ( P ) nullitas(t) 30 3 F. Representasi Transformasi Linear Misalkan T:R n R m adalah transformasi linear dari ruang vektor V ke ruang vektor W, bila V dan W berdimensi berhingga, maka transformasi linear tersebut dapat dinyatakan dengan suatu matriks, yang disebut matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan e, e,, en adalah basis baku untuk n R dan misalkan A adalah sebuah matriks m n yang dibentuk oleh T( e ), T( e ),..., T( e ) sebagai vektor-vektor kolomnya, maka A disebut n sebagai matriks penyajian (representasi matriks). Misalkan T:V T:V W R n R m W 4

15 x b x b x b n m x b x b T x b n m Maka diperoleh sistem persamaan linear Ax 0 a x a x a x b n n a x a x a x b n n a x a x a x b m m mn n m Bentuk perkalian matriks: a a a n x b a a a n x b a a a x b m m mn n n Jadi a a a a a a A a a a n n m m mn sebagai matriks standarnya. Definisi 5

16 Transpose dari matriks koefisien-koefisien di atas, yang dilambangkan dengan ms ( T) atau [ Tsdisebut ] representasi matriks T relatif terhadap basis S, atau cukup dinyatakan dengan matriks T pada basis S. Dengan menggunakan notasi vektor koordinat (kolom), representasi matriks T dapat ditulis dalam bentuk m ( T) [ T] s [ T( e )] s,..., [ T( e )]s s Yaitu kolom-kolom mt ( ), berturut-turut adalah vektor-vektor koordinat dari T(e ), T( e ),...,T(e ) Contoh:. Misalkan jika n R diberikan oleh: x 3x x T x x x Apakah merupakan representasi matriks? Maka penyelesaian: 3 0 dan T(e ) T T(e ) T 0 Ini didapat dari: 3 3 T(e ) T(e ) 0 0 Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui: s x 3x x T x x x 3 x x 6

17 Jadi A 3 adalah representasi matriks untuk x 3x x T x x x. Misalkan R adalah operator linear yang didefinisikan sebagai, 3,4 5 T x y x y x y tentukan matriks Te ( ) terhadap basis e, e,,,5 S Penyelesaian: Tentukan representasi matrikste ( ), dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dan vektor-vektor e, e 8 T(e ) T x y 6 5 dan xy8, x5y 6 Atau dengan cara: x 3y T( x, y) 4x 5y Sehingga: Te 3 8 ( ) T diubah ke dalam bentuk matriks menjadi Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 5 dan y Sehingga T(e ) 5e e. (dengan eliminasi substitusi) Selanjutnya tentukan T(e ) dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari e dan e ; 9 T(e ) T x y dan xy 9, x5y 7 Atau dengan cara: 7

18 Te 3 9 ( ) T Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 9 dan y 55. Jadi, T e 9e 55e. (dengan eliminasi substitusi) Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari. Jadi, T(e,e ) 5 e 9 55 e merupakan representasi matriks dari atau T T( x, y) (x 3 y,4x 5 y) S

19 LATIHAN SOAL. Misalkan R adalah fungsi yang didefinisikan oleh 3 T( v) ( x, x y, x y) dengan v ( x, y) di merupakan transformasi linear!. Periksa linearitas transformasi, T( x, y) ( x y, x 3 y,3x )! R. Buktikan bahwa T R dengan 3 Tentukan T(v 3v 4 v3)! 3. Diketahui R dengan T( x, y) ( x y, x, y) apakah T 3 merupakan transformasi linear? 4. Diketahui R dengan 3 merupakan transformasi linear? T( x, y) ( x, x, y ) apakah T 5. Gunakan definisi transformasi linear untuk menunjukkan bahwa fungsi R yang dirumuskan oleh 3 T( x, y, z) ( x y z, y 4 z) adalah transformasi linear! 6. Misaldiberikantransformasi linear, x x y z T y x 3y z z merupakananggota Ker(T)? a. b. 3 R dengan 3, manakah di antaravektorberikut yang 7. Diketahui sebuah transformasi linear T: R 3 R 3, dimana T[x,y,z] = [x + y z, y+z, x+y-z] Tentukan basis, rank(t), nulitas(t), Ker(T)! 9

20 8. Misalkan F : R R adalah operator linear yang didefinisikan sebagai F( x, y) ( x 3 y, x 5 y) a. Tentukan representasi matriks F relative terhadap basis S { u, u } {(,3),(3,5)} b. Tentukan representasi matriks relative terhadap basis (standar) E { e, e } {(,0),(0,)} 9. W adalah ruang vector dari matriks simetris yang berukuran. T : W P didefinisikan dengan: a b T ( a b) ( b c) x ( c a) x b c Tentukan rank dan nullitas dari transformasi linear T. 0. Tentukan matriks standar transformasi linier 3x x x definisit 5x 7x x x 3x R dengan 3 0

21 JAWAB. Diketahui : R 3 T( v) ( x, x y, x y) dengan v ( x, y) di Penyelesaian : Misalkan u ( x, y) v ( x, y ) T x x, y y x x, x x y y, x x y y x x, x x y y x x y y x, x y, x y, x, x y, x y T x, y T x, y ( i) T u v T x, y x, y T ( u) T ( v) ( ii) T ( ku) T k x, y T kx, ky kx, k x y, k x y k x, x y, x y kt ( x, y ) kt ( u) Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear... Diketahui : R 3 T( x, y) ( x y, x 3 y,3x ) Penyelesaian : Misalkan u ( x, y) v ( x, y ) R

22 T x x, y y x x y y x x y y x x x x y y, x x 3y 3 y,3x 3x x y, x 3 y,3x, x y, x 3 y,3x T x, y x y, x 3 y,3x T ( u) x y, x 3 y,3x, Sehingga pembuktian (i) tidak ( i) T u v T x, y x, y, 3,3 T( v) x y, x 3 y,3x terbukti. ( ii) T ( ku) T k x, y T kx, ky kx ky, kx 3 ky,3kx kt ( u) kx ky, kx 3 ky,3kx Sehingga pembuktian (ii) tidak terbukti. Karena pembuktian (i) dan (ii) tidak terbukti, maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear. 3. Diketahui : R dan T( x, y) ( x y, x, y) 3 Penyelesaian : Misalkan u ( x, y) v ( x, y ) T x x, y y x x y y, x x, y y x x y y, x x, y y x y, x, y, x y, x, y T x, y T x, y ( i) T u v T x, y x, y T ( u) T ( v)

23 ( ii) T ( ku) T k x, y T kx, ky kx ky, kx, ky k x y, x, y kt ( x, y ) kt ( u) Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear. 4. Diketahui : R 3 T x y x x y (, ) (,, ) Penyelesaian: Misalkan u ( x, y) v ( x, y ) T x x, y y ( i) T u v T x, y x, y x x x x y y,,,, x, x xx, y x, x,y y y T x, y T x, y x x x x x x y y y y T ( u) T ( v) ( ii) T ( ku) T k x, y kx kx ky T kx, ky,, kx, k x, k y k x, kx, ky T( u) x, kx, ky sehingga syarat (ii) tidak terpenuhi 3

24 Jadi, karena syarat (i) dan (ii) tidak terpenuhi maka fungsi tersebut bukan merupakan transformasi linear. 5. Diketahui : R dengan T( x, y, z) ( x y z, y 4 z) 3 Penyelesaian : Misalkan u ( x, y, z) v ( x, y, z ) T x x, y y, z z x x y y z z, y y 4z z x x y y z z, y y 4z 4z x y z, y 4 z, x y z, y 4z T x, y, z T x, y, z ( i) T u v T x, y, z x, y, z T ( u) T ( v) ( ii) T ( ku) T k x, y, z T kx, ky, kz kx ky kz, ky 4kz k x y z, y 4z kt ( x, y, z ) kt ( u) Karena syarat(i) dan (ii) terbukti maka fungsi tersebut merupakan transformasi linear. 6. Bayangandari dan olehtransformasi T adalahsebagaiberikut: 3 T 4 0 =

25 T = = 4 Sehinggadapatdisimpulkan Ker(T) dan Ker(T) 3 7. Kita tentukan dulu matriks transformasinya: T[,0,0] = [,0,] T[0,,0] = [,,] T[0,0,] = [-,,-] 3 0 A = 0 K 3( ) 0 0 K 3(3) Rank matriksa (secarakolom) adalah. Jadi rank(t) = dan basis nya dapat diambil {[,0,], [,,]}. Untuk mencariker(t): Misalkan v v, v, v Ker( T) maka Av = 0 atau 3 v 0 0 v 0 v 3 0 nulitas(t) = n - rank(a) = 3 = v v v 0 Ambil dua persamaan yang bebas : 3 v v3 0 Ambil parameter, misalnya v maka v 3, v3. Jadi v [ 3,, ] ; Ker(T) mempunyai basis (-3,,-) atau Ker(T) = L{[- 3,,-]} 5

26 a. F( u) F x y dan x3y0, 3x5y 4 Atau dengan cara: x y F( x, y) 3x 5y Sehingga: Fu 3 0 ( ) T diubah ke dalam bentuk matriks menjadi Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 3dan y Sehingga F( u) 3u u. (dengan eliminasi substitusi) Selanjutnya tentukan Fu ( ) dan kemudian nyatakan sebagai kombinasi linear dari u dan u ; F( u) F x y dan x3y 8, 3x5y Atau dengan cara: F( u) F Dengan menyelesaikan SPL tersebut, maka didapat x 39dan y 9. Jadi, Fu 39u 9u. (dengan eliminasi substitusi) Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan dan sebagai kolom-kolom untuk memperoleh representasi matriks dari. 6

27 Jadi, F( u, u ) 3 u 39 9 u merupakan representasi matriks dari atau F F( x, y) ( x 3 y, x 5 y) S b. F( u) F 0 dan Ini didapat dari: 3 Fu ( ) Fu ( ) F( u) F Atau dapat juga diselesaikan dengan mengeluarkan x dari matriks yang diketahui: x x 3y F y x 5y Jadi F E x 5 y 9. P(x) = a+bx+cx 7

28 a b a b Ker( T ) : T 0 b c b c a b Ker T a b b c x c a x b c ( ) : ( ) ( ) ( ) 0 a b Ker( T ) : ( a b) ( b c) ( c a) 0 b c a b Ker( T ) : a b c b c c c Ker( T ) : c c c Jadi, basis Ker(T) sehingganulitas(t) = dimensiker(t) = Rank(T)= dimensi W nulitas(t) = 3 - = 0. Kemudian menuliskan koordinat-koordinat dan sebagai kolomkolom matriks standar yaitu 8

29 DAFTAR PUSTAKA Abdul Aziz Saefudin. 05. Modul Aljabar Linear.Yogyakarta: Universitas PGRI Yogyakarta. Andrilli, Stephen and David Hecker. 00. Elementary Linear Algebra Fourth Edition. Canada: Elsevier. Anton, Howard Aljabar Linear Elementer Versi Aplikasi. Jakarta: Erlangga Danang Mursita. 00. Aljabar Linear. Bandung: Rekayasa Sains. Matthews, K. R Elementary Linear Algebra. Department of Mathematics: University of Queensland. 9