DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd"

Transkripsi

1 DIKTAT MATA KULIAH ALJABAR LINEAR ELEMENTER (BAGIAN II) DISUSUN OLEH ABDUL JABAR, M.Pd JURUSAN/PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA STKIP PGRI BANJARMASIN MARET

2 MUQADIMAH Alhamdulillah penyusun ucapkan ke hadirat ALLAH SWT, karena berkat limpahan rahmat, taufik dan hidayah-nya penyusun dapat menyelesaikan diktat Aljabar Linear ini. Shalaat dan salam juga semoga selalu tercurah kepada junjungan kita Nabi Muhammad SAW beserta sahabat, kerabat, serta ummat beliau yang senantiasa istiqamah mengikuti risalah beliau hingga akhir zaman. Diktat ini disusun dalam dua bagian, dengan harapan setelah selesai bagian I akan dilaksanakan ujian tengah semester, dan nanti langsung dilanjutkan dengan bagian II. Semoga dengan penyusunan diktat ini dapat membantu mahasisa dalam belajar Aljabar Linear, tentu saja perlu ditambah dengan buku pendukung lainnya. Penyusun juga menyadari baha diktat ini masih jauh dari sempurna, sehingga saran dan kritik sangat penyusun harapkan. Banjarmasin, Maret Penyusun, TTD Abdul Jabar, M.Pd Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal i

3 DAFTAR ISI Halaman BAB IV RUANG VEKTOR.. 4. Field 4. Ruang Vektor 4. Ruang Vektor Bagian Kombinasi Linear dan Span Bebas Linear. 4. Basis dan Dimensi Ro Space, Column space dan Null space 8 BAB V RUANG HASIL KALI DALAM... Hasilkali Dalam Umum. Hasilkali Dalam Khusus... Panjang vektor, jarak antar vektor,dan besar sudut dalam RHD 4.4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt. Perubahan Basis 8 BAB VI TRANSFORMASI LINEAR BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal ii

4 BAB IV RUANG VEKTOR 4. Field Misal { K, +, * }, K adalah himpunan, didefinisikan operasi + (penjumlahan) dan * (perkalian). Akan dikatakan Field jika dipenuhi :. untuk setiap, K maka + K dan * K, dikatakan K tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.. untuk setiap,, K maka (+ ) + =+ ( + ). terdapat K disebut elemen nol, sedemikian sehingga + = + =, untuk setiap K 4. untuk masing-masing K, terdapat - K disebut negatip dari sedemikian sehingga (- ) + = +(- )=. untuk setiap, K maka + = +. untuk setiap,, K maka (*)* =* ( * ) 7. untuk setiap,, K (i) *( + )=* + * (ii) ( + )* = * + * 8. untuk setiap, K maka * = * 9. terdapat K disebut elemen satuan, sedemikian sehingga * = * =, untuk setiap K. untuk masing-masing K, terdapat - K disebut negatip dari sedemikian sehingga - * = * - = Anggota dari Field disebut Skalar. Perhatikan : Sistem Bilangan berikut Bilangan Kompleks Bilangan Imajiner Bilangan Riil B. Irrasional B. Rasional B. Bulat B. Pecahan Dijelaskan Syarat di atas diterapkan pada Masing-masing bilangan tersebut. Sehingga dapat disimpulkan Contoh Field adalah Bilangan Kompleks, Riil, dan Rasional. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

5 4. Ruang Vektor Suatu objek di dalam ruang vektor V disebut vektor. V dikatakan sebagai ruang vektor bila memenuhi aksioma berikut :. Jika u dan v di dalam V, maka u + v juga harus di dalam V. u + v = v + u. u + (v + ) = (u + v) + 4. Di dalam ruang vektor V ada objek, yang disebut sebagai vektor sedemikian sehingga + u = u + = u, untuk semua u di dalam vektor V. Untuk setiap u di dalam V, ada objek yang disebut sebagai u di dalam V, yang disebut sebagai negatip u, sehingga u + (-u) = (-u) + u =. Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah objek di dalam ruang vektor V, maka ku juga ada di dalam ruang vektor V 7. k(u+v) = ku + kv 8. (k + m)u = ku + mu 9. k(mu) = (km)u..u = u Contoh 4. Buktikan R merupakan ruang vektor! Jaab Ambil u, v, R u = (u, u ) v = (v, v ) = (, ). u + v = (u, u ) + (v, v ) = (u + v, u + v ) R (sifat tertutup bilangan real). u + v = (u + v, u + v ) = (v + u, v + u ) (sifat komutatif bilangan real) = (v, v ) + (u, u ) = v + u. u+(v + ) = (u, u ) + [(v, v ) + (, )] = (u, u) + (v +, v + ) = (u + (v + ), u +( v + ) ) = ((u + v)+ ), (u + v) + ) (Sifat assosiatif bilangan real) = [(u + v, u + v )] + (, ) = [(u, u) + (v, v)] + (, ) = (u+v ) + 4. = (, ) R u + = (u, u ) + (, ) = (u, u ) = u. u R -u = (-u, -u) R u + (-u) = (u, u ) + (-u, -u ) = (, ) =. ku = k (u, u) = (ku, ku) R 7. k (u + v) = k (u + v, u + v ) = (k(u + v), k(u + v)) = (ku + kv, ku + kv ) = (ku, ku ) + (kv, kv ) = k(u, u ) + k(v, v ) = ku + kv 8. (k + l) u = (k + l) (u, u ) = ((k + l) u, (k + l) u ) = ((k u + l u ), (k u + l u )) = (ku, ku ) + ( lu, lu ) = k (u, u ) + l (u, u ) Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

6 = ku + lu 9. k (lu) = k (l(u, u)) = k (lu, lu ) = (klu, klu ) = kl (u, u ) = (kl)u. u = (u, u ) = (u, u ) = u R merupakan ruang vektor karena memenuhi aksioma Contoh 4. Diketahui : B = {(, y), y R} dimana (, y) + (, y ) = ( +, ) dan k(, y) = (, ky) Selidiki apakah B sebuah ruang vektor? Jaab: Ambil u, v, B u = (u, u ) v = (v, v ) = (, ). u + v = (u, u ) + (v, v ) = (u + v, ) B (sifat tertutup bilangan real). u + v = (u + v, u + v ) = (u + v, ) = (v + u, ) v + u = (v, v ) + (u, u ) = (v + u, ) = u + v. u+(v + ) = (u, u ) + [(v, v ) + (, )] = (u, u) + (v +, ) = (u + (v + ), ) = ((u + v)+ ), ) (Sifat assosiatif bilangan real) (u+v ) + = [(u, u) + (v, v)] + (, ) = [(u + v, )] + (, ) = ((u + v)+ ), ) =u+(v + ) 4. = (, ) B u + = (u, u ) + (, ) = (u, ) u (gagal). u B -u = (-u, -u ) B u + (-u) = (u, u ) + (-u, -u ) = (, ) =. ku = k (u, u ) = (u, ku ) B 7. k (u + v) = k (u + v, ) = ((u + v ), ) = (u + v, ) ku + kv = k(u, u ) + k(v, v ) = (u, ku ) + (v, kv ) = (u + v, ) = k (u + v) 8. (k + l) u = (k + l) (u, u ) = ( u, (k + l) u ) ku + lu = k (u, u ) + l (u, u ) = (u, ku ) + ( u, lu ) = ((u + u ), ) = (4u, ) (k + l) u (gagal) 9. k (lu) = k (l(u, u )) = k (u, lu ) = (4u, klu ) (kl)u = kl (u, u) = (u, klu) k (lu) (gagal) Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

7 . u = (u, u ) = (u, u ) u (gagal) B bukan ruang vektor sebab tidak memenuhi aksioma 4, 8, 9, dan 4. Ruang Vektor Bagian ( Subspace ) V adalah Ruang Vektor, W adalah Subset dari V. Untuk menentukan apakah W merupakan ruang bagian V, cukup diperiksa berikut :. W ( W tidak hampa ), untuk itu perlu ditunjukkan baha vektor W.. Untuk setiap a, b W maka a + b W. Untuk setiap a W, K maka a W Contoh 4. U = { (, ) R}. Buktikan baha U merupakan sub ruang dari R! Misalkan a, b U artinya a = (, ) dan b = (, ) dengan, R. U. Contoh = (,) U. a + b = ( +, ) dengan + R, jadi a + b U. Untuk skalar k, maka k a = ( k, ) dengan k R, jadi k a U Semua syarat terpenuhi, maka U merupakan sub ruang R Contoh 4.4 U = { (, y, z) y = + z}. Selidiki apakah U merupakan sub ruang dari R Misalkan a, b U artinya a = (a, a, a ) dan b = (b, b, b ) dengan a = a + a dan b = b + b. U. Contoh = (,, ) U. a + b = ( a + b, a + b, a + b ) apakah a + b = (a + b) + (a + b ) Penyelidikan: (a + b) + (a + b ) = a + b + a + b (sifat distributif dan assosiatif umum) = a + a + b + b (sifat komutatif umum) = (a + a)+ (b + b) = a + b a + b U (terpenuhi). Untuk skalar k, maka k a = (ka, ka, ka) apakah ka= ka+ ka Penyeledikan: ka+ ka = ka+ ka =k(a+ a ) = ka ( terpenuhi) U merupakan sub ruang R 4.4 Kombinasi Linier dan Span (Membangun) Sebuah vektor dikatakan merupakan suatu kombinasi linier dari vektor-vektor v, v,, v n jika vektor dapat dituliskan sebagai : = a v + a v +..+ a nv n dengan a, a a n adalah sembarang skalar yang memenuhi persamaan. Contoh 4. Jika terdapat vektor u=(-,,) dan v=(,-,) di ruang R, tentukan apakah vektor-vektor berikut ini adalah kombinasi linier dari u dan v : a) (-4,,4) b) (,-,) Jaab : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4

8 a) Untuk mengetahui suatu vektor adalah kombinasi linier dari vektor yang lainnya, dibuat penulisan persamaan vektor sebagai berikut : = a u + a v -4 - a a = -a + a ; = a - a ; 4 = a Jadi : karena ditemukan a = dan a= - maka mrupakan kombinasi linear dari u dan v b) Sebagai latihan Jika S={v,v,,v r) adalah himpunan vektor di dalam ruang vektor V, dikatakan membangun (Span) suatu ruang vektor V jika setiap vektor pada V selalu dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor vektor di S. Contoh 4. Tentukan apakah v=(-,,), v=(,,), v=(-,,) span dari ruang vektor R? Jaab : Untuk menentukan span di ruang vektor R, maka dicari kemungkinan setiap vektor di ruang R adalah kombina-si linier dari v, v dan v. Misalkan vektor a=(a,a,a ) di ruang vektor R, maka a dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari v,v,dan v Agar supaya ada nilai k,k dan k, maka matrik tersebut harus mempunyai invers atau determinan tidak boleh sama dengan nol. Karena determinan matrik tersebut adalah -, maka k,k dan k didapatkan. Jadi disimpulkan baha v,v dan v merupakan span dari ruang vektor R 4. Bebas Linear Definisi : Himpunan m buah vektor {u, u,, u m} disebut bergantung linier ( linearly dependent, tidak bebas linier) bila terdapat skalar-skalar,,, m yang tidak semua nol sedemikian sehingga u + u + + m u m = ( = vektor nol ). Dalam hal lain himpunan { u, u,, u m} disebut bebas Linier (linearly independent ), dengan perkataan lain apabila u + u + + m u m = hanya dipenuhi oleh = = = m=. Contoh 4. Apakah vektor-vektor v =(,,), v =(,-,) dan v =(-,,-4) saling bebas atau bergantung linier? Jaab : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

9 Untuk mengecek kebergantungan linier, langkah yang dilakukan adalah dengan menuliskan persamaan homogen yang mengandung vektor-vektor tersebut yakni : a v + a v + a v = a (,,) + a (,-,) +a (-,,-4) = Diperoleh persamaan : a + a a =; -a + a = dan a + a 4 a =, didapatkan : a = a = a = Jadi vektor v, v dan v adalah bergantung linier. Beberapa catatan :. Sebuah kumpulan vektor yang ada di dalam S, maka a) Saling bergantung linier jika dan hanya jika paling sedikit ada vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain yang juga di dalam S b) Saling bebas linier jika dan hanya jika tidak ada vektor di dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor lainnya di dalam S.. Sekumpulan vektor berjumlah berhingga yang memuat vektor nol () adalah saling bergantung linier.. Jika S ={v, v, v,, vn} adalah sekumpulan vektor di ruang R m. Apabila n>m, maka himpunan S adalah saling bergantung linier. 4. Basis dan Dimensi Basis : suatu ukuran tertentu yang menyatakan komponen dari sebuah vector. Dimensi biasanya dihubungkan dengan ruang, misalnya garis adalah ruang dengan dimensi, bidang adalah uang dengan dimensi dan seterusnya. Definisi Jika V adalah ruang vektor dan S = {v, v, v,, v n} adalah kumpulan vektor di dalam V, maka S disebut sebagai basis dari ruang vektor V jika syarat berikut ini dipenuhi :. S bebas linier. S span (membangun) V Contoh 4.7 Jika v=(,,), v=(,9,) dan v=(,,,4). Apakah S={v, v, v } adalah basis di R? Jaab : Syarat sebagai basis adalah span dan bebas linier, maka langkah yang harus dilakukan adalah menguji kedua syarat tersebut. Jika span, maka harus ada vektor lain yang merupakan kombinasi linier v, v dan v Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

10 Supaya ada solusi, maka matrik memiliki invers. Dari hasil perhitung diperoleh nilai determinan =, yang menandakan baha matrik memiliki invers. Dengan demikian setiap nilai b, b dan b akan menghasilkan nilai a, a dan a. Dapat dikatakan baha S adalah span dari R. Jika nilai b = b = b =, maka a = a = a = (detailnya sebagai latihan) sehingga ketiga vector saling bebas linier. Kesimpulannya : S={v, v, v } adalah himpunan dari vektor basis di R Catatan: Ruang vektor V yang bukan nol () disebut dimensi terbatas (finite dimensional), yaitu mengandung kumpulan vektor yang membentuk baris {v, v, v,, v n} Jika tidak ada kumpulan vektor yang membentuk basis, maka V disebut sebagai dimensi tak terbatas (infinite dimensional) Catatan : ruang vektor nol disebut finite dimensional Dimensi dari ruang vektor V yang berdimensi terbatas didefinisikan sebagai jumlah vektor yang membentuk basis di dalam ruang vektor V. Ruang vektor nol mempunyai dimensi nol. Pada pembahasan mengenai membangun dan bebas linier, suatu himpunan vektor dapat ditunjukkan merupakan himpunan yang bebas linier atau membangun ruang vektor V hanya dengan melihat dari jumlah vektor dan dim ruang vektor. Sebenarnya tanpa menghitung kita sudah bisa menyimpulkan baha himpunan vektor tersebut tidak bebas linier karena agar bebas linier maksimal jumlah vektor = dim ruang vektor. Sebaliknya jika suatu himpunan vektor hanya memuat vektor dengan jumlah kurang dari dim ruang vektor, maka dapat disimpulkan baha himpunan vektor tersebut tidak membangun. Berdasarkan hal ini, maka suatu himpunan vektor kemungkinan bisa menjadi basis ruang vektor berdimensi n jika jumlah vektornya = n. Jika jumlah vektor < n maka tidak membangun sebaliknya jika jumlah vektor > n maka bergantung linier. Jika jumlah vektor = n, maka dapat dihitung nilai determinan dari ruang yang dibangun oleh himpunan vektor tersebut. Jika det =, maka ia tidak bebas linier dan tidak membangun Jika det, maka ia bebas linier dan membangun merupakan basis. Contoh 4.8 Tentukan basis dan dimensi serta solusi dari system persamaan linier homogen berikut ini : = = = Jaab : Harus dicari solusi SPL dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan diperoleh hasil berikut: (detail sebagai latihan) + 4 = = Solusinya : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7

11 Maka yang menjadi basisnya adalah : Sedangkan dimensinya adalah (karena vektor basisnya ada ) 4.7 Ro space, Column space dan Null space Jika A adalah suatu matrik dengan ordo mn : a a a a n a a a an a a a a n A m n = am am am amn Maka vektor baris adalah r =[a a a n], r =[a a a n] dan seterusnya. a a Vektor kolom adalah a c, c... a m... a a m dan seterusnya. Vektor-vektor baris r, r,.., r m disebut : ro space dari A Vektor-vektor kolom c, c,.., c n disebut : column space dari A Ruang solusi SPL homogen A = yang merupakan sub ruang R n disebut : null space Sistem linier A = b disebut konsisten jika dan hanya jika b adalah column space dari A Jika adalah salah satu solusi dari sistem persamaan linier A = b dan kumpulan solusi dari A= yaitu v, v,, vn merupakan basis untuk null space dari A, maka setiap solusi dari A = b dapat ditulis sebagai berikut : = + a v + a v +. + a nv n Solusi dari A = b adalah yang disebut sebagai solusi khusus (particular solution) dan + a v + a v +. + a nv n disebut solusi umum (general solution). Solusi umum dari A = adalah a v + a v +. + a nv n, dengan demikian dapat disimpulkan baha solusi lengkap dari A = b adalah solusi khusus ditambah solusi umum dari A=. Menentukan basis ruang baris/kolom Basis ruang baris A didapatkan dengan melakukan OBE pada A sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya. Sedangkan basis ruang kolom A didapatkan Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8

12 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9 dengan melakukan OBE pada A T sehingga diperoleh bentuk BEB, baris yang tak nol merupakan basisnya. Dimensi (ruang baris) = Dimensi (ruang kolom) = rank matriks. Rank dan Nullity Pada suatu matrik A dan A T, terdapat ruang vektor yaitu Ro space A Ro space A T Column space A Column space A T Null space A Null space A T Namun ro space A T = column space A, begitu juga dengan column space A T = ro space A. Oleh sebab itu tinggal 4 ruang vektor yang perlu diperhatikan yaitu ro space A, column space A, null space A dan null space A T. Ini semua disebut sebagai fundamental matri space dari A. Dapat disimpulkan baha dimensi dari ro space dan column space suatu matrik adalah sama. Dimensi dari ro space dan column space suatu matrik disbut dengan istilah rank, sedangkan dimensi dari null space disebut dengan istilah nullity (nullitas) Contoh 4.9 Carilah solusi dari system persamaan linier berikut ini : = = = Jaab : Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh : = /8 4 = /8 = /8 maka Solusi khususnya adalah 8 8 8, sedangkan solusi umumnya adalah Bagaimana cara mencari basis dari null space? Ruang solusi dari SPL homogen A= adalah null space. Jadi untuk mencari basis dari null space adalah dengan menganggap ada SPL homogen Contoh 4. Tentukan basis dari null space A serta nullitasnya dari SPL homogen berikut: + + = + 4+ = + = + 4+ =

13 Jaab: Dengan menggunakan eleminasi Gauss-Jordan (detailnya sebagai latihan) diperoleh: = - - = - v4 = 4 Jadi basis dari null space adalah : dan. Nullitas adalah Jika suatu matrik di dalam bentuk ro-reduced echelon, maka vektor baris (ro vector) dengan (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari ro-space dari matrik tersebut dan vektor kolom (column vector) dengan (satu) sebagai leading entry menjadi basis dari column space dari matrik tersebut Contoh 4. Tentukan basis dari ro space, column space dan rank matriks dari matrik berikut ini : Jaab : Karena sudah berbentuk BEB, maka Basis dari ro space adalah : r = [ - ] r = [ ] r = [ ] Untuk mencari basis untuk column space, maka lakukan OBE pada A T sehingga berbentuk BEB (detailnya sebagai latihan) Diperoleh Rank matriks adalah Catatan: Jika dua matrik A dan B saling ro-equivalent, maka :. Kumpulan vector kolom A saling bebas linier jika dan hanya jika kolom vektro B yang berkorespondensi letaknya juga saling bebas linier. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

14 . Kumpulan vector kolom A membentuk basis dari column space (ruang kolom) A jika dan hanya jika vector B yang letaknya sama dengan A juga membentuk basis untuk ruang kolom B Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

15 BAB V RUANG HASIL KALI DALAM. Hasil Kali Dalam Umum Definisi Hasilkali dalam (inner product) pada sebuah ruang vektor V adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah bilangan real <u, v> dengan sepasang vektor u dan v di dalam V, sedemikian sehingga aksioma-aksioma berikut ini dipenuhi bagi semua vektor u, v, dan di dalam V dan semua bilangan skalar k.. Simetris: <u, v> = <v, u>. Aditivitas: <u + v, > = <u, > + <v, >. Homogenitas: <ku, v> = k <u, v> 4. Positivitas: <v, v> dan <v, v> = jika dan hanya jika v =. Ruang vektor yang dilengkapi hasil kali dalam seperti diatas disebut Ruang hasil kali dalam yang biasa disingkat dengan RHD. Contoh. Tunjukkan baha operasi perkalian titik standar di R Euclides merupakan hasil kali dalam! Jaab Akan ditunjukkan baha perkalian titik standar memenuhi keempat aksioma hasil kali dalam, yaitu : Misalkan a = ( a,a,a ), b = ( b,b,b ), c = ( c,c,c ) maka a, b, c R. Simetris < a, b > = ( a. b) = (ab + ab + ab ) = (b a + b a + b a ) = < b, a > ( terpenuhi ). Aditivitas < a + b, c > = ( ( a + b). c ) = ((a +b, a +b, a +b ). ( c,c,c ) ) = ((a c + b c ) + ( a c +b c ) + (a c + b c ) = (a c + a c + a c ) + (b c + b c + b c ) = ( a. c ) + ( b. c ) = < a, c > + < b, c > ( terpenuhi ). Homogenitas < k a, b > = ( k a. b ) = ( ka b + ka b + ka b ) = k(a b + a b + a b ) = k( a. b ) = k< a, b > ( terpenuhi ) 4. Positivitas < a, a > = ( a. a ) = ( a + a + a ) ( terpenuhi ) dan < u, u > = ( a + a + a ) = u = (,, ) =. ( terpenuhi ) RHD yang memiliki hasil kali dalam berupa perkalian titik standar seperti diatas biasa disebut RHD Euclides. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

16 Contoh. Tunjukkan baha <u, v> = uv + uv tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam. Jaab Misalkan a = ( a,a,a ), b = ( b,b,b ), c = ( c,c,c ) maka a, b, c R. Simetris < a, b > = (a b + a b ) = (b a + b a ) = < b, a > ( terpenuhi ). Aditivitas < a + b, c > = <(a +b, a +b, a +b ), ( c,c,c ) > = ((a c + b c ) + (a c + b c ) = (a c + a c ) + (b c + b c ) = < a, c > + < b, c > ( terpenuhi ). Homogenitas < k a, b > = ( ka b + ka b ) = k(a b + a b ) = k( a. b ) = k< a, b > ( terpenuhi ) 4. Positivitas < a, a > = ( a. a ) = ( a + a ) ( terpenuhi ) dan < a, a > = ( a + a ) = a = (,, ) = tidak terpenuhi sebab ambil a = (, a, ) maka < a, a > = padahal a bukan. Terbukti baha <u, v> = u v + u v tidak memenuhi syarat aksioma hasil kali dalam.. Hasilkali Dalam Khusus Jika,,, n adalah bilangan-bilangan real positif yang disebut nilai bobot (eight), dan jika u = (u, u,, u n) dan v = (v, v,, v n) adalan vektor-vektor pada R n maka <u, v> = uv + u v +. + n unvn mendefinisikan sebuah hasil kali dalam pada R n. Hasilkali dalam ini disebut hasilkali dalam Euclidean berbobot dengan nilai-nilai bobot,,, n. Contoh. Diketahui <u, v> = u v + u v dan u = (7, ) dan v = (, -). Tentukan <u, v>. Jaab <u, v> = (-) = Hasilkali dalam yang dibangun oleh Matriks u v u v Misalkan u =... dan v =... adalan vektor-vektor pada R n, maka u n v n <u, v> = v T A T Au Dinamakan hasilkali dalam yang dibangun oleh A. Contoh.4 Tentukan formula hasil kali dalam yang dibentuk oleh A =! Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

17 Jaab: u <u, v> = v T A T Au = [v v ] u = u v + u v (detailnya sebagai latihan). Panjang vektor, jarak antar vektor,dan besar sudut dalam RHD Ketika kita membahas tentang panjang vektor, maka kita harus menghilangkan rumusan yang selama ini kita gunakan mengenai panjang vektor dalan ruang n Euclides berdasarkan operasi hasil kali titik. Kita akan menghitung panjang suatu berdasarkan hasil kali dalam yang telah diberikan, dan sudah dibuktikan bersama sama baha hasil kali titik dalan ruang n Euclides juga merupakan hasil kali dalam jadi konsep yang digunakan ini akan lebih luas daripada konsep sebelumnya. Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam u, v V maka a. u u,u / b. d(u, v) = <u v, u v> / c. Misalkan β adalah sudut antara u dan v, maka cos β adalah u,v cos u v Contoh. Diketahui u = (, -), v = (7, ) dan β adalah sudut antara u dan v. Tentukan panjang masingmasing vektor dan cos β menggunakan hasilkali dalam yang diberikan berikut: a. Hasilkali dalam Euclidis b. Hasilkali dalam Euclidis yang diboboti <u, v> = u v + u v dimana u = (u, u ) dan v = (v, v) c. Hasilkali dalam yang dibentuk oleh matriks A Jaab: a. Hasilkali dalam Euclidis / u u, u. ( )( ) / v v, v u, v.7 ( ). cos u v 8 b. Hasilkali dalam yang diboboti / 9 u u, u.. ( )( ) 4 / v v, v u, v..7 ( ). cos u v 4 c. Hasilkali yang dibentuk oleh matriks A / 4 7 u u, u 4 7 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4

18 / 7 v v, v u, v cos u v 74 (hitung sendiri hasil akhirnya).4 Basis Ortonormal; Proses Gram-Schmidt Diketahui V ruang hasil kali dalam dan v, v,, v n adalah vektor vektor dalam V. Beberapa definisi penting a. H = { v, v,, v n } disebut himpunan ortogonal bila setiap vektor dalam V saling tegak lurus,yaitu < vi, vj > = untuk i j dan i,j =,,,n. b. G = { v, v,, v n } disebut himpunan ortonormal bila G himpunan ortogonal Norm dari v i =, i =,,,n atau <v i, v i > = Contoh. Diketahui: S = { v, v, v } dimana v = (,, ), v =,,, dan v =,,. Selidiki apakah S ortonormal? Jaab: Pertama kita selidiki dulu apakah S ortogonal, setelah diselidiki ternyata S ortogonal sebab < v, v > = < v, v > = < v, v > = ternyata panjang semua vektornya adalah. Sehingga disimpulkan S ortonormal. Metode Gramm Schimdt Metode Gramm Schimdt digunakan untuk merubah suatu himpunan vektor yang bebas linier menjadi himpunan yang ortonormal., jadi dalam hal ini disyaratkan himpunan yang ditransformasikan ke himpunan ortonormal adalah himpunan yang bebas linier. Jika yang akan ditransformasikan adalah himpunan vektor yang merupakan basis dari ruang vektor V maka metode Gramm Schimdt akan menghasilkan basis ortonormal untuk V. Sebelum membahas tentang metode ini, akan dibahas tentang proyeksi ortogonal vektor terhadap ruang yang dibangun oleh himpunan vektor. Diketahui H = { v, v,, v n } adalah himpunan vektor yang bebas linier dari ruang vektor V dengan dim n dan S = {,,, n } merupakan himpunan yang ortonormal. Jika W menyatakan ruang yang dibangun oleh,,, n maka untuk setiap vektor z dalam W, dapat dituliskan z = k + k + + k n n dengan k, k,,k n skalar. Jika u adalah sembarang vektor dalam V, maka tentunya u dapat dituliskan sebagai jumlah dari dua vektor yang saling tegak lurus misalkan z dan z, jadi dapat dituliskan u = z + z. Karena z dalam W, maka sebenarnya z merupakan proyeksi ortogonal u terhadap W, sedangkan z merupakan komponen vektor u yang tegak lurus terhadap W. Jadi untuk menentukan z, maka harus ditentukan nilai k, k,,k n sedemikian hingga nilai k merupakan panjang proyeksi u terhadap, k merupakan panjang proyeksi u terhadap dan seterusnya sehingga k n merupakan panjang proyeksi u terhadap n. Proyeksi ortogonal u terhadap i adalah proy W i ( u ) = < u, i >, dikarenakan,,, n merupakan vektor vektor yang ortonormal. Jadi dapat dituliskan baha proyeksi ortogonal u terhadap W adalah : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

19 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal proy ( u) = z = < u, > + < u, > + + < u, n > n dengan {,,, n} merupakan himpunan orthonormal. Komponen u yang tegak lurus terhadap W adalah z = u (< u, > + < u, > + + < u, n > n) Misal diketahui K = { v, v,, v n } adalah himpunan yang bebas linier, maka K dapat dirubah menjadi himpunan S = {,,, n } yang ortonormal dengan menggunakan metode Gramm Schimdt yaitu :. v v.,, v v v v.,,,, v v v v v v n.,...,,,...,, n n n n n n n n n n n n n v v v v v v v v Contoh.7 Diketahui H = {a, b, c } dengan a = (,, ), b = (,, ), c = (,, ) a. Apakah H basis R? b. Jika ya, transformasikan H menjadi basis orthonormal dengan menggunakan hasil kali dalam Euclides! Jaab a. Karena dim(r ) = dan jumlah vektor dalam H =, maka untuk menentukan apakah H merupakan basis R atau bukan, adalah dengan cara menghitung determinan matriks koefisien dari SPL A = b dengan b adalah sembarang vektor dalam R, yaitu = det. Setelah dihitung diperoleh det A =, ini berarti H merupakan basis untuk R. b. Hasil kali dalam antara a, b dan c < a, b > = 4, < a, c > =, < b, c > = Untuk menjadikan H ortonormal, kita gunakan metode Gramm Schimdt yaitu :

20 Normalisasi himpunan orthogonal ke himpunan ortonormal Diketahui V RHD dan H = {v, v,., v n} dalam V merupakan ortogonal dengan v, maka bisa diperoleh himpunan ortonormal yang didefinisikan sebagai : S = { s, s,., sn} dengan Kalau dicermati, sebenarnya ini adalah rumusan Gramm Schimdt yang telah direduksi yaitu untuk nilai proy(vi) =, akibat dari v, v,. vn yang saling orthogonal. Proses untuk mendapatkan vektor yang ortonormal disebut menormalisasikan vektor. Jika dim (V) = n, maka S juga merupakan basis ortonormal dari V Contoh.8 Diketahui a, b, c dalam R dengan a = (,-,), b = (,, ) dan c =(-,,). Jika R merupakan RHD Euclides, transfor-masikan a, b, c ke basis ortonormal! Jaab : <a,b> =, <a,c> =, <b,c> = Misalkan H = {a,b,c} maka H merupakan himpunan ortonormal. Dim (R ) = jadi dapat ditentukan basis ortonormal untuk R. Misalkan : Basis ortonormal untuk R adalah : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7

21 . Perubahan Basis Suatu ruang vektor dapat memiliki beberapa basis. Jika terdapat sembarang vektor dalam ruang vektor V yang memiliki himpunan vektor A dan B sebagai basisnya, maka tentunya merupakan kombinasi linier dari vektor A dan B Jika V ruang vektor, S={s, s,.,sn} merupakan basis V, maka untuk sembarang dalam V dituliskan: = k s + k s + + k ns n dengan k, k,.k n skalar yang juga disebut koordinat relatif terhadap basis S k k s kn disebut matrik relatif terhadap basis S Jika S merupakan basis ortonormal, maka : s, s, s, s n Jika A ={, } dan B = {y, y } berturut-turut merupakan basis dari V, maka untuk sembarang z dalam V didapatkan :[z] A dan [z] B. Bagaimana hubungan [z] A dan [z] B? Misalkan Dari..() Untuk () () Dengan mensubstitusikan persamaan () dan () ke () diperoleh : Ini berarti : Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8

22 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9 P disebut matrik transisi dari basis A ke basis B. Secara umum, jika A = {,, n} dan B = {y, y,.yn} berturut-turut merupakana basis dari ruang vektor V, maka matrik transisi basis A ke basis B adalah : Jika P dapat dibalik, maka P - merupakan matrik transisi dari basis B ke basis A Contoh soal : Diketahui : A = { v, } dan B = {, y} berturut-turut merupakan basis R dengan v =(,), = (,- ), = (,) dan y = (-,-). Tentukan : a. Matrik transisi dari basis A ke basis B b. Hitung A c. Hitung B dengan menggunakan hasil dari b d. Matrik transisi dari basis B ke basis A Jaab a. Misalkan b a v B, maka b a didapatkan b a Dan untuk d c B, maka d c didapatkan d c Jadi matriks transisi dari basis A ke basis B adalah: P = b. Misalkan k k A maka didapatkan k k c. Dari a dan b diperoleh P = dan A sehingga B P A = d. Matriks transisi dari B ke basis A adalah P - dengan P merupakan matriks transisi terhadap basis A ke basis B. Jadi P - = 4

23 BAB VI TRANSFORMASI LINEAR Transformasi linear merupakan fungsi khusus dari suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain. Fungsi khusus tersebut didefinisikan sebagai berikut. Definisi.. Jika T: V V merupakan fungsi dari ruang vektor V ke ruang vektor V, maka T dinamakan transformasi linear, jika dan hanya jika. T(u + v) = F(u) + F(v) untuk setiap vektor u dan v di V.. T(ku) = kt(u) untuk setiap vektor u di V dan setiap skalar k. Contoh.. Untuk fungsi-fungsi berikut, selidiki apakah fungsi tersebut merupakan transformasi linear? Berikan alasannya!. Fungsi F dari R ke R yang didefinisikan dengan F ((,y)) = ( y, ) untuk setiap (,y) R.. Fungsi F dari R ke R yang didefinisikan dengan F((,y)) = (,y) untuk setiap (,y) R.. Fungsi T dari R ke R yang didefinisikan dengan T ((,y,z)) = (,z,y) untuk setiap (,y,z) R. 4. Fungsi T dari R ke R yang didefinisikan dengan T((,y,z)) = ( + y, y z, + z) untuk setiap (,y,z) R. Penyelesaian:. Misalkan u = (, y ) dan v = (, y ) anggota R dan k sebarang skalar. F (u + v) = F (( +, y + y )) = (( + ) (y + y), + ) = ( + y y, + ) = (( y ) + ( y ), + ) = ( y, ) + ( y, ) = F(, y) + F(, y) = F (u) + F (v). F (ku) = F ((k, ky )) Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

24 = (k ky, k ) = k( y, ) = kf (, y ) = kf (u). Jadi, F adalah transformasi linear.. Misalkan u = (, y ) dan v = (, y ) anggota R dan k sebarang skalar. F (u + v) = F (( +, y + y )) = (( + ), y + y ) = ( + +, y + y) F (u) + F (v) = F ((, y )) + F ((, y )) = (,y ) + (,y ) = ( +, y + y ) Ternyata F (u + v) F (u) + F (v). Jadi, F bukan transformasi linear. Untuk contoh nomor dan 4, silakan Anda selesaikan seperti contoh nomor dan. Ada beberapa definisi dan teorema berkenaan dengan transformasi linear yang harus Anda ketahui, karena definisi dan teorema tersebut sering digunakan dalam aljabar linear. Definisi dan teorema tersebut adalah: Definisi... Misalkan T: V V adalah transformasi linear. Himpunan vektor di V yang oleh T dipetakan ke o dinamakan kernel (ruang nol dari T). Himpunan tersebut dinyatakan oleh ker(t). Himpunan semua vektor di V yang merupakan bayangan oleh T dinamakan jangkauan dari T. Himpunan tersebut dinyatakan oleh R(T). Dengan demikian ker(t) = {v V T(v) = }, dan R(T) = { V T(v) =, untuk setiap v V }.. Jika T: V V adalah transformasi linear, maka dimensi jangkauan dari T dinamakan rank T dan dimensi kernel dari T dinamakan nulitas T. Teorema... Jika T: V V adalah transformasi linear, maka a. T(o) = o. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

25 b. T (- v) = -T(v) untuk setiap v di V. c. T(v ) = T(v) T() untuk setiap v dan di V.. Jika T: V V adalah transformasi linear, maka: a. Ker (T) adalah ruang bagian dari V. b. R(T) adalah ruang bagian dari V.. Jika T: V V adalah transformasi linear dari ruang vektor V yang berdimensi n ke ruang vektor V, maka (rank dari T) + (nulitas dari T) = n. Berikut ini merupakan contoh-contoh soal yang berkenaan dengan ker(t), R(T), rank T, dan nulitas T pada transformasi linear T. Contoh... Diketahui T : R R adalah transformasi linear yang dirumuskan oleh: T(,y) = ( y, y) untuk setiap (,y) R. a. Apakah vektor berikut terletak dalam ker(t). ) (-,-) ) (,) b. Apakah vektor berikut terletak dalam R(T). ) (,) ) (,9). Diketahui T : R R yang dirumuskan oleh T(,y,z) = ( y + z, + y 4z, 7 + 4y + z). Tentukan: a. rank T. b. nulitas T. Penyelesaian:. a. ) T(-,-) = (- +, - + ) = (,). Jadi (-,-) terletak dalam ker(t). ) T(,) = (, 8) = (-,-). Jadi (,) tidak terletak dalam ker(t). b. ) Perhatikan bentuk T(,y) = (,), diperoleh sistem persamaan linear: y = y = a = ; a = -; b = a = ; a = -; b = Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

26 a a a a b dan b a a a a b b Jadi sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian, sehingga vektor (,) tidak terletak dalam R(T). ) Bentuk T(,y) = (,9) akan menghasilkan sistem persamaan linear: y = y = 9 a = ; a = -; b = a = ; a = -; b = 9 a a a a b b Jadi sistem persamaan mempunyai penyelesaian dengan jumlah tak hingga. Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah: 9 Diperoleh y = Misal y = t, maka = y + Penyelesaian: = y + dan y = t Dengan mengambil t = didapat = dan y =. Ini berarti T (,) = (, ) = (,9). Jadi (,9) terletak dalam R(T). 7. a. Bentuk matriks Tdiubah menjadi 4 4 Jadi basis R(T) adalah {(,,7),(,,)}, akibatnya rank T =. b. Ambil sebarang vektor (,y,z) di ker(t), maka T(,y,z) = (,,). Didapat ( y + z, + y 4z, 7 + 4y + z) = (,,). y + z = + y 4z = 7 + 4y + z = Bentuk matriks dari sistem persamaan tersebut adalah: Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

27 4 9 4 Diperoleh: + z = 9 y z = 4 9 Misal z = t, maka = - t dan y = t Penyelesaian dari sistem persamaan linear tersebut adalah: 4 9 = - t; y = t; dan z = t sehingga (,y,z) = 4 9 vektor,, bebas linear t,,. Hal Ini berarti,, pembangun ker(t) dan 4 9 Jadi,, basis untuk ker (T), sehingga nulitas T =. Dari a dan b didapat rank T = ; nulitas T = ; dimensi R =, dan terpenuhi baha rank T + nulitas T = dimensi R. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4

28 BAB VII NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 7. Definisi Sebuah matriks bujur sangkar dengan orde n n misalkan A, dan sebuah vektor kolom X. Vektor X adalah vektor dalam ruang Euklidian n R yang dihubungkan dengan sebuah persamaan: AX X (7.) Dimana adalah suatu skalar dan X adalah vektor yang tidak nol Skalar dinamakan nilai Eigen dari matriks A. Nilai eigen adalah nilai karakteristik dari suatu matriks bujur sangkar. Vektor X dalam persamaan (7.) adalah suatu vektor yang tidak nol yang memenuhi persamaan (7.) untuk nilai eigen yang sesuai dan disebut dengan vektor eigen. Jadi vektor X mempunyai nilai tertentu untuk nilai eigen tertentu. Contoh 7. 4 Misalkan Sebuah vektor X dan sebuah matriks bujur sangkar orde A, 4 Apabila matriks A dikalikan dengan X maka: AX = 4 = = Dimana: 4 = 4 8 = X Dengan konstanta 4 dan 4 4 = 4 Memenuhi persamaan (7.). Konstanta 4 dikatakan nilai eigen dari matriks bujur 4 sangkar A 4 Contoh 7. Sebuah vektor X dan sebuah matriks A. Apabila matriks A dikalikan X didapat: AX 4 4 = = = Dimana: = = X 4 dengan. Maka adalah nilai eigen dari matriks A. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

29 Contoh 7. 4 Sebuah vektor X dan mateiks A bila matriks A dikalikan dengan X maka: 8 4 AX = 8 = Dimana: = = = dengan. 4 adalah nilai eigen dari matriks dan vektor 8 4 matriks yang bersesuaian dengan nilai eigen. 8 X adalah vektor eigen dari Contoh 7.4 Sebuah vektor X dan matriks A. Perkalian matriks A dengan X adalah: AX = = Dimana 9 9 = = =. Konstanta adalah nilai eigen dari matriks bujur sangkar A Contoh 7. Sebuah vektor X dan matriks Matriks A dikalikan X didapat: A. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

30 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7 AX = = = = = = X dengan adalah nilai eigen matriks A Contoh 7.. Sebuah vektor X dan matriks A = Perkalian matriks A dan X adalah: AX = = = 4 AX = 4 = = X, dengan. Maka adalah nilai eigen dari A = 7.. Perhitungan nilai eigen Kita tinjau perkalian matriks A dan X dalam persamaan (7.) apabila kedua sisi dalam persamaan tersebut dikalikan dengan matriks identitas didapatkan: IAX = X I

31 AX = IX I A X (7.) Persamaan (7.) terpenuhi jika dan hanya jika: det I A (7.) Dengan menyelesaikan persamaan (7.) dapat ditentukan nilai eigen ( ) dari sebuah matriks bujur sangkar A tersebut/ Contoh 7.7. Dapatkan nilai eigen dari matriks A = Jaab: Dari persamaan (7.) maka: det = ( )( ) Dengan menggunakan rumus abc didapatkan:, = = = 4 ( 4) = 4.. Maka penyelesaian adalah: dan. Nilai eigen matriks A = adalah: dan 4 = Contoh Dapatkan nilai eigen dari matriks A = Jaab: Nilai eigen ditentukan dengan persamaan: 4 det = Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8

32 maka: ( 4)( ) Dengan rumus abc didapatkan:,, 9 9 ( 9) , Didapatkan 4, dan 4,, jadi nilai eigen matriks 4 A = adalah 4, Contoh 7.9 Dapatkan nilai eigen dari A = Jaab: Nilai eigen ditentukan dari persamaan: det I A det = ( ) ( )( ) Penyelesaian persamaan tersebut adalah: dan Jadi nilai eigen matriks A = adalah dan. Contoh Dapatkan nilai eigen dari A = Jaab: Determinan dari I A = Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9

33 4 det ( 4)( ) Penyelesaian persamaan adalah: 4 4 dan 4 Jadi nilai eigen dari matriks A = Contoh 7. Carilah nilai eigen dari A = Jaab: det I A 4 det 4 4)( ) ( ( 4)( ) ( )( ) = ( ) ( ) ( ) 8 ( )( )( ) Penyelesaian persamaan adalah: dan Jadi nilai eigen yang bersesuai untuk matriks, dan. Contoh 7. adalah: 4 dan. 4 adalah: Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

34 Dapatkan Nilai eigen dari matriks A Jaab: Nilai eigen A didapatkan dari persamaan: det I A = det 8 7 = ( ) ( )( ) = ( ) = ( ) = Maka nilai adalah: Dengan rumus abc didapatkan: 4.,, 7, 7 Jadi nilai eigen dari matriks Contoh 7.. dan, 7 Dapatkan nilai eigen dari A = 8 7 A 7 adalah: 8 7 Jaab: Nilai eigen didapatkan dari persamaan: det I A Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

35 7 det ( 7)( )( ) Maka nilai adalah: 7 7 ( kali) 7 Jadi nilai eigen dari matriks A = Contoh 7.4 Dapatkan nilai eigen dari A = Jaab: = 4 Berdasarkan persamaan deti A det 4 ( ){( )( 4) } ( ){ 7} Maka nilai adalah: 7 Dengan rumus abc didapatkan:, 4.7 = adalah dan 7 maka:, 4 Jadi nilai eigen matriks A = Contoh 7. 4 adalah, 4 dan 4 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

36 Dapatkan nilai eigen dari A = Jaab: 7 Dengan menggunakan persamaan det I A 7 det ( 7)( )( ) Nilai adalah: Jadi nilai eigen dari matriks A = Contoh 7. Dapatkan Nilai eigen dari A = Jaab: 4 maka: Dengan menggunakan persamaan det I A det 4 ( )[( )( 4) ] ( )[ 7 ] ( )[ 7] ( ) ( 7) Maka nilai-nilai adalah: 7 7 adalah: 7 dan. maka: Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

37 Jadi nilai-nilai eigen dari matriks A = 4 adalah:, dan Perhitungan Vektor Eigen Kita tinjau kembali persamaan AX X dimana A adalah matriks bujur sangkar dan X adalah vektor bukan nol yang memenuhi persamaan tersebut. Dalam subbab 7. telah dibahas tentang perhitungan nilai eigen dari matriks A( ), pada subbab ini kita bahas vektor yang memenuhi persamaan tersebut yang disebut vektor eigen(vektor karakteristik) yang sesuai untuk nilai eigennya. Kita tinjau sebuah matriks bujur sangkar orde berikut: a a A = a a Persamaan AX a a a a X dapat dituliskan: (7.4) Persamaan (7.4) dikalikan dengan identitas didapatkan: a a a a a a a a a a = a a = = (7.) Persamaan (7.) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: ( a ) a (7.) a ( a ) Persamaan (7.) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang R n yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi non trivial untuk nilai eigen yang sesuai. Contoh. 7.7 Dapatkan vektor eigen dari matriks A = Jaab: Pada contoh 7.9 nilai eigen didapatkan dan, vektor eigen didapatkan dengan persamaan: ( ) Untuk maka: Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4

38 Solusi non trivial sistem persamaan ini adalah: Misalkan r maka r Vektor eigen matriks A = untuk adalah: r X dimana r adalah bilangan sembarang yang tidak nol. r Untuk maka: Solusi non trivial sistem persamaan tersebut adalah: Misalkan s maka vektor eigen untuk adalah: s X dimana s adalah senbarang bilangan yang tidak nol. s Contoh Dapatkan vektor eigen dari matriks A = Jaab: Pada contoh 7. nilai eigen matriks tersebut adalah 4 dan maka vektor eigen didapatkan dari persamaan: (4 ) ( ) Untuk 4 didapatkan sistem persamaan linier berbentuk: Solusi non trivialnya adalah matriks A untuk 4 adalah: r X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. r Untuk maka: (4 ) ( ) Sistem persamaan linier menjadi:, bila dimisalkan r didapatkan vektor eigen Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

39 Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, jadi tidak terdapat vektor eigen dari matriks A untuk. Contoh 7.9 Dapatkan vektor eigen dari A Jaab: Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan: det I A det ( ) ( )( ) Nilai eigen matriks A adalah:, maka, maka Vektor eigen didapatkan dengan persamaan: ( ) Untuk maka: Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah: Misalkan r maka r. Jadi vektor eigen matriks A untuk adalah: r X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. r Untuk Vektor eigen didapatkan dari sistem persamaan linier: Solusi non trivial adalah:, maka Misalkan r vektor eigen matriks A yang sesuai dengan adalah: Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal

40 X r r dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari A = Jaab: Nilai eigen matriks A didapatkan dari persamaan det I A ( ) det ( ) ( )( ) maka maka Vektor eigen didapatkan dari persamaan: ( ) ( ) Untuk maka: Solusi non trivial persamaan tersebut adalah:, jika r maka r Vektor eigen yang sesuai dengan adalah: r X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. r Untuk maka: Solusi non trivial sistem persamaan linier tersebut adalah; Misalkan r maka r Jadi vektor eigen yang sesuai dengan adalah: r X r Contoh 7. Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 7

41 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 8 Dapatkan vektor eigen dari A = 4 Jaab: Pada contoh 7. diketahui nilai eigen matriks A adalah:, dan. 7 Vektor eigen ditentukan dari persamaan: ) (4 ) ( ) ( Untuk maka: Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: Solusi non trivial didapatkan dari: 4 4 Maka 4 Jadi vektor eigen matriks A = 4 untuk adalah: 4 X Misalkan r maka:

42 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 9 r r r X 4 dengan r adalah bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Vektor eigen ditentukan dari persamaan: 4 Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: 4 Solusi sistem persamaan linier adalah: Vektor eigen dari matriks A = 4 untuk adalah: X Misalkan r maka: r X r dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk 7 Vektor eigen didapatkan dari persamaan: 4 Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: 4 Solusi sistem persamaan linier adalah:

43 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 4 Vektor eigen matriks A = 4 untuk 7 adalah: X Misalkan r maka: r r X dengan r sembarang bilangan yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari matriks A = 4 Jaab: Pada contoh 7. 4 diketahui nilai eigen matriks tersebut yang merupakan bilangan bulat adalah, vektor eigennya didapatkan dari persamaan: ) (4 ) ( ) ( Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah:

44 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Vektor eigen matriks A = 4 yang sesuai dengan nilai eigen adalah: X Misalkan s maka: s s X dengan s adalah bilangan sembarang yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari A = Jaab: Nilai eigen didapatkan dengan persamaan: ) ( ) ( det ) ( ) ( ) ( ) ( Nilai eigen matriksnya adalah: Vektor eigen didapatkan berdasar persamaan: ) ( ) ( Untuk Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: Solusi sistem persamaan liniernya adalah:

45 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan t Vektor eigennya adalah: t t X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Sistem persamaan liniernya adalah: Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan p maka vektor eigennya adalah: p p p X dengan p bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Sistem persamaan liniernya adalah:

46 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah; Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan q maka vektor eigennya adalah; q q q X dengan q bilangan sembarang yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari matriks A = 8 7 Jaab: Dari penyelesaian contoh 7. nilai eigen yang merupakan bilangan bulat adalah, maka vektor eigennya didapatkan dari persamaan: ) ( 8 7 ) ( ) ( Dalam bentuk sistem persamaan linier adalah: 8 7 Solusi non trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah:

47 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 44 4 X Misalkan a maka vektor eigennya adalah: a a a X 4 Contoh 7.4 Dapatkan vektor eigen dari A = Jaab: Nilai eigen matriks tersebut didapatkan dari persamaan: det A I ) ( ) ( ) ( det ) )( ( Nilai eigennya adalah: Vektor eigen didapatkan dari persamaan: ) ( ) ( ) ( Untuk Sistem persamaan liniernya dituliskan: Tidak ada solusi non trivial dari sistem persamaan linier tersebut, maka vektor eigen tidak terdefinisikan. Untuk Sitem persamaan liniernya adalah:

48 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Solusi non trivial sistem persamaan liniernya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan t maka vektor eigennya menjadi: t t X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari matriks A = Jaab: Nilai eigen matriks didapatkan dari persamaan: det A I ) ( ) ( ) ( det ) ( ) )( ( ) ( 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Nilai eigen matriks adalah: Vektor eigen didapatkan dari persamaan: ) ( ) ( ) ( Untuk Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: 4

49 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 4 Solusi non trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan t maka vektor eigennya adalah: t t X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Sistem persamaan liniernya adalah: Solusi non trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan r maka vektor eigenya adalah: r r X dengan r bilangan sembarang yang tidak nol. Contoh 7. Dapatkan vektor eigen dari A = 4 Jaab: Nilai eigen dari matriks didapatkan dari persamaan det A I

50 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 47 ) ( ) ( 4) ( det ) ( ) ( 4) ( 4) )( ( ) ( ) ( ) )( )( ( Nilai eigen matriks tersebut adalah: Vektor eigen didapatkan dari persamaan: ) ( ) ( ) (4 Untuk Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan: Solusi non trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan p maka vektor eigenya adalah: p p X dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Sistem persamaan linier yang sesuai adalah:

51 Diktat Aljabar Linear Bagian II oleh Abdul Jabar, M.Pd (STKIP PGRI Banjarmasin) Hal 48 Solusi non trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan s maka vektor eigennya adalah: s s s X dengan s bilangan sembarang yang tidak nol. Untuk Sistem persamaan liniernya adalah: Solusi trivialnya adalah: Vektor eigen yang sesuai adalah: X Misalkan t maka t t t X dengan t bilangan sembarang yang tidak nol.

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT)

RUANG VEKTOR. Nurdinintya Athari (NDT) 1 RUANG VEKTOR Nurdinintya Athari (NDT) RUANG VEKTOR Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Basis Subruang Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem kontrol

Lebih terperinci

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS VETERAN BANGUN NUSANTARA SUKOHARJO PERANGKAT PEMBELAJARAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER 2 KODE : MKK414515 DOSEN PENGAMPU : Annisa Prima Exacta, M.Pd. PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 5 Ruang Vektor Ruang Vektor Sub Pokok Bahasan Ruang Vektor Umum Subruang Basis dan Dimensi Beberapa Aplikasi Ruang Vektor Beberapa metode optimasi Sistem Kontrol

Lebih terperinci

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks

DIKTAT PERKULIAHAN. EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks DIKTAT PERKULIAHAN EDISI 1 Aljabar Linear dan Matriks Penulis : Ednawati Rainarli, M.Si. Kania Evita Dewi, M.Si. JURUSAN TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS KOMPUTER INDONESIA BANDUNG 011 IF/011 1 DAFTAR ISI

Lebih terperinci

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut:

Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: Bagian 5. RUANG VEKTOR 5.1 Lapangan (Field) Suatu himpunan tak kosong F dengan operasi penjumlahan dan perkalian, dikatakan sebagai field jika untuk setiap,, memenuhi sifat-sifat berikut: 1. dan 2., 3.,

Lebih terperinci

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah)

Pengantar Vektor. Besaran. Vektor (Mempunyai Arah) Skalar (Tidak mempunyai arah) Pengantar Vektor Besaran Skalar (Tidak mempunyai arah) Vektor (Mempunyai Arah) Vektor Geometris Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak

Lebih terperinci

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN

BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN BAB 5 RUANG VEKTOR A. PENDAHULUAN 1. Definisi-1. Suatu ruang vektor adalah suatu himpunan objek yang dapat dijumlahkan satu sama lain dan dikalikan dengan suatu bilangan, yang masing-masing menghasilkan

Lebih terperinci

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasd Qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty cvbnmqwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq fghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfghjklzx wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui opasdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdfg

Lebih terperinci

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor

Bab 4 RUANG VEKTOR. 4.1 Ruang Vektor Bab RUANG VEKTOR. Ruang Vektor DEFINISI.. Suatu ruang vektor (V, +,, F) atas field (F, +), ditulis singkat V(F), adalah suatu himpunan tak kosong V dengan elemenelemennya disebut vektor, yang dilengkapi

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

TRANSFORMASI LINEAR. Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear. Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd TRANSFORMASI LINEAR Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu : Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh : Kelompok 7/ Kelas III A Endar Alviyunita 34400094 Ahmat Sehari ---------------

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1

Ruang Vektor. Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf. Ruang Vektor. Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor. Aljabar Linear dan Matriks 1 Ruang Vektor Kartika Firdausy UAD blog.uad.ac.id/kartikaf Syarat agar V disebut sebagai ruang vektor 1. Jika vektor vektor u, v V, maka vektor u + v V 2. u + v = v + u 3. u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Lebih terperinci

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.

Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. Aljabar Linear dan Matriks (Persamaan Linear dan Vektor) Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs. . Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi Persamaan dalam variabel dan y dapat ditulis dalam

Lebih terperinci

Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer BAB I RUANG VEKTOR Pada kuliah Aljabar Matriks kita telah mendiskusikan struktur ruang R 2 dan R 3 beserta semua konsep yang terkait. Pada bab ini kita akan membicarakan struktur yang merupakan bentuk

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Sebagai acuan penulisan penelitian ini diperlukan beberapa pengertian dan teori yang berkaitan dengan pembahasan. Dalam sub bab ini akan diberikan beberapa landasan teori berupa pengertian,

Lebih terperinci

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR

MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR MATERI ALJABAR LINEAR LANJUT RUANG VEKTOR Disusun oleh: Dwi Lestari, M.Sc email: dwilestari@uny.ac.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

Lebih terperinci

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam

CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam CHAPTER 6. Ruang Hasil Kali Dalam Hasil Kali Dalam Sudut dan Ortogonal dalam Ruang Hasil Kali Dalam Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Squares Orthogonal

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor

Lebih terperinci

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1

PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 PERTEMUAN 11 RUANG VEKTOR 1 TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan : Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor Dapat mengetahui definisi

Lebih terperinci

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F

BAB IV TRANSFORMASI LINEAR. sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka kita mengatakan F BAB IV TRANSFORMASI LINEAR 4.. Transformasi Linear Jika V dan W adalah ruang vektor dan F adalah sebuah fungsi yang mengasosiasikan sebuah vektor yang unik di dalam W dengan sebuah vektor di dalam V, maka

Lebih terperinci

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I)

ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) ALJABAR LINIER MAYDA WARUNI K, ST, MT ALJABAR LINIER (I) 1 MATERI ALJABAR LINIER VEKTOR DALAM R1, R2 DAN R3 ALJABAR VEKTOR SISTEM PERSAMAAN LINIER MATRIKS, DETERMINAN DAN ALJABAR MATRIKS, INVERS MATRIKS

Lebih terperinci

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd

SUBRUANG VEKTOR. Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd SUBRUANG VEKTOR Disusun Untuk Memenuhi Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pembimbing: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun Oleh : Kelompok 6/ III A4 1. Nina Octaviani Nugraheni 14144100115 2. Emi Suryani 14144100126

Lebih terperinci

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U November 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Baris, Kolom,

Lebih terperinci

SUMMARY ALJABAR LINEAR

SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMMARY ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam. Shalawat serta

Lebih terperinci

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga;

Definisi Jumlah Vektor Jumlah dua buah vektor u dan v diperoleh dari aturan jajaran genjang atau aturan segitiga; BAB I VEKTOR A. DEFINISI VEKTOR 1). Pada mulanya vektor adalah objek telaah dalam ilmu fisika. Dalam ilmu fisika vektor didefinisikan sebagai sebuah besaran yang mempunyai besar dan arah seperti gaya,

Lebih terperinci

BAB II DASAR DASAR TEORI

BAB II DASAR DASAR TEORI BAB II DASA DASA TEOI.. uang ruang Vektor.. uang Vektor Umum Defenisi dan sifat sifat sederhana Defenisi : Misalkan V adalah sebarang himpunan benda yang didefenisikan dua operasi, yakni penambahan perkalian

Lebih terperinci

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor)

TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Outline TRANSFORMASI LINIER (Kajian Fungsi antar Ruang Vektor) Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi University of Jember Indonesia Jember, 2009 Outline

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PEMBELAJARAN Mata Kuliah : Aljabar Linear Kode / SKS : TIF-5xxx / 3 SKS Dosen : - Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini berisi Sistem persamaan Linier dan Matriks, Determinan, Vektor

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 6 Ruang Hasil Kali Dalam Sub Pokok Bahasan Definisi Ruang Hasilkali Dalam Himpunan ortonormal Proses Gramm Schmidt Aplikasi RHD Metode Optimasi seperti metode

Lebih terperinci

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com

Ruang Vektor. Adri Priadana. ilkomadri.com Ruang Vektor Adri Priadana ilkomadri.com MEDAN SKLAR Misalkan diketahui bahwa K adalah himpunan, dan didefinisikan 2 buah operasi penjumlahan (+) dan perkalian (*). Maka K dikatakan medan skalar jika dipenuhi

Lebih terperinci

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain

BAB III RUANG VEKTOR R 2 DAN R 3. Bab ini membahas pengertian dan operasi vektor-vektor. Selain BAB III RUANG VEKTOR R DAN R 3 Bab ini membahas pengertian dan operasi ektor-ektor. Selain operasi aljabar dibahas pula operasi hasil kali titik dan hasil kali silang dari ektor-ektor. Tujuan Instruksional

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace 5.6. Rank & Nullity 5.5. Row Space, Column Space, Nullspace Vektor-Vektor Baris & Kolom Vektor baris A (dalam R n ) Vektor kolom A

Lebih terperinci

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W. Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor

Lebih terperinci

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26

Aljabar Linier Elementer. Kuliah 26 Aljabar Linier Elementer Kuliah 26 Materi Kuliah Transformasi Linier Umum Kernel dan Range 10/11/2014 Yanita, Matematika FMIPA Unand 2 Transformasi Linier Umum Definisi Misalkan V dan W adalah ruang vektor

Lebih terperinci

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR

BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR BAB 7 TRANSFORMASI LINEAR PADA RUANG VEKTOR A. DEFINISI DASAR 1. Definisi-1 Suatu pemetaan f dari ruang vektor V ke ruang vektor W adalah aturan perkawanan sedemikian sehingga setiap vektor v V dikawankan

Lebih terperinci

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT.

BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM. Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. BAB 6 RUANG HASIL KALI DALAM Dr. Ir. Abdul Wahid Surhim, MT. KERANGKA PEMBAHASAN 1. Hasil Kali Dalam 2. Sudut dan Keortogonalan pada Ruang Hasil Kali Dalam 3.Basis Ortogonal, Proses Gram-Schmidt 4.Perubahan

Lebih terperinci

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR UMUM AKSIOMA RUANG VEKTOR 7//5 RUANG VEKTOR UMUM Yang dibahas.. Ruang vektor umum. Subruang. Hubungan dependensi linier 4. Basis dan dimensi 5. Ruang baris, ruang kolom, ruang nul, rank dan nulitas AKSIOMA RUANG VEKTOR V disebut

Lebih terperinci

Matematika Teknik INVERS MATRIKS

Matematika Teknik INVERS MATRIKS INVERS MATRIKS Dalam menentukan solusi suatu SPL selama ini kita dihadapkan kepada bentuk matriks diperbesar dari SPL. Cara lain yang akan dikenalkan disini adalah dengan melakukan OBE pada matriks koefisien

Lebih terperinci

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. i Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA 5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A Matriks 1 Pengertian Matriks Definisi 21 Matriks adalah kumpulan bilangan bilangan yang disusun secara khusus dalam bentuk baris kolom sehingga membentuk empat persegi panjang

Lebih terperinci

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank

Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank Aljabar Linier Sistem koordinat, dimensi ruang vektor dan rank khozin mu tamar 9 Oktober 2014 PERTEMUAN-4 : SISTEM KOORDINAT, DIMEN- SI RUANG VEKTOR DAN RANK 1. Sistem koordinat (a) Ketunggalan scalar

Lebih terperinci

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I.

DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR. Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. DIKTAT ALJABAR LINIER DAN MATRIKS VEKTOR Penyusun Ir. S. Waniwatining Astuti, M.T.I. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER GLOBAL INFORMATIKA MDP 24 KATA PENGANTAR Pertama-tama penulis mengucapkan

Lebih terperinci

Catatan Kuliah Aljabar Linier

Catatan Kuliah Aljabar Linier Catatan Kuliah Suryadi Siregar Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer Bandung BANDUNG 018 Kata Pengantar Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor.

Lebih terperinci

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI

MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI 214 MODUL ALJABAR LINEAR 1 Disusun oleh, ASTRI FITRIA NUR ANI Astri Fitria Nur ani Aljabar Linear 1 1/1/214 1 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... i BAB I MATRIKS DAN SISTEM PERSAMAAN A. Pendahuluan... 1 B. Aljabar

Lebih terperinci

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR

Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Yang dibahas : Ortogonal Basis ortogonal Ortonormal Matrik ortogonal Komplemen ortogonal Proyeksi ortogonal Faktorisasi QR Ortogonal Himpunan vektor {v, v,.., v k } dalam R n disebut himpunan

Lebih terperinci

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk :

Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : Persamaan Linear Sebuah garis dalam bidang xy bisa disajikan secara aljabar dengan sebuah persamaan berbentuk : a x + a y = b Persamaan jenis ini disebut sebuah persamaan linear dalam peubah x dan y. Definisi

Lebih terperinci

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel.

5. PERSAMAAN LINIER. 1. Berikut adalah contoh SPL yang terdiri dari 4 persamaan linier dan 3 variabel. 1. Persamaan Linier 5. PERSAMAAN LINIER Persamaan linier adalah suatu persamaan yang variabel-variabelnya berpangkat satu. Disamping persamaan linier ada juga persamaan non linier. Contoh : a) 2x + 3y

Lebih terperinci

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR

MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 7 Transformasi Linear Sub Pokok Bahasan Definisi Transformasi Linear Matriks Transformasi Kernel dan Jangkauan Aplikasi Transformasi Linear Grafika Komputer Penyederhanaan

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI

BAB 2 LANDASAN TEORI BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Sistem Persamaan Linier Sistem Persamaan dengan m persamaan dan n bilangan tak diketahui ditulis dengan : Dimana x 1, x 2, x n : bilangan tak diketahui a,b : konstanta Jika SPL

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: =

BAB II LANDASAN TEORI. yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: = BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks Definisi 2.1 (Lipschutz, 2006): Matriks adalah susunan segiempat dari skalarskalar yang biasanya dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: Setiap skalar yang terdapat dalam

Lebih terperinci

Kumpulan Soal,,,,,!!!

Kumpulan Soal,,,,,!!! Kumpulan Soal,,,,,!!! Materi: Matriks & Ruang Vektor 1. BEBAS LINEAR S 3. BASIS DAN DIMENSI O A L 2. KOMBINASI LINEAR NeXt FITRIYANTI NAKUL Page 1 1. BEBAS LINEAR Cakupan materi ini mengkaji tentang himpunan

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA

SATUAN ACARA PERKULIAHAN UNIVERSITAS GUNADARMA Mata Kuliah : Matematika Diskrit 2 Kode / SKS : IT02 / 3 SKS Program Studi : Sistem Komputer Fakultas : Ilmu Komputer & Teknologi Informasi. Pendahuluan 2. Vektor.. Pengantar mata kuliah aljabar linier.

Lebih terperinci

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR

SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Buletin Ilmiah Math. Stat. dan Terapannya (Bimaster) Volume 03, No. 1 (2014), hal 91 98. SOLUSI PENDEKATAN TERBAIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR TAK KONSISTEN MENGGUNAKAN DEKOMPOSISI NILAI SINGULAR Febrianti,

Lebih terperinci

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut

Operasi perkalian skalar merupakan suatu aturan yang mengasosiasikan setiap skalar k dan setiap objek u pada v dengan suatu objek ku, yang disebut RUANG VEKTOR REAL Aksioma ruang vektor, dinyatakan dlam definisi beikut, dimana aksiona merupakan aturan permainan dalam ruang vektor. Definisi : Jika V merupakan suatu himpunan tidak kosong dari objek

Lebih terperinci

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.

a11 a12 x1 b1 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Kumpulan Materi Kuliah #1 s/d #03 Tahun Ajaran 2016/2016: Oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA. a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 a11 a12 x1 b1 a a x b 21 22 2 2 Setijo Bismo

Lebih terperinci

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain :

Transformasi Linier. Transformasi linier memiliki beberapa fungsi yang perlu dipelajari. Fungsi-fungsi tersebut antara lain : Transformasi Linier Objektif:. definisi transformasi linier umum.. definisi transformasi linier dari R n ke R m. 3. invers transformasi linier. 4. matrix transformasi 5. kernel dan jangkauan 6. keserupaan.definisi

Lebih terperinci

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks

Pertemuan 1 Sistem Persamaan Linier dan Matriks Matriks & Ruang Vektor Pertemuan Sistem Persamaan Linier dan Matriks Start Matriks & Ruang Vektor Outline Materi Pengenalan Sistem Persamaan Linier (SPL) SPL & Matriks Matriks & Ruang Vektor Persamaan

Lebih terperinci

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU

BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU BAB VII MATRIKS DAN SISTEM LINEAR TINGKAT SATU Sistem persamaan linear orde/ tingkat satu memiliki bentuk standard : = = = = = = = = = + + + + + + + + + + Diasumsikan koefisien = dan fungsi adalah menerus

Lebih terperinci

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu

BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu BAB II SISTEM PERSAMAAN LINEAR Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di bidang

Lebih terperinci

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI

MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI MATEMATIKA INFORMATIKA 2 TEKNIK INFORMATIKA UNIVERSITAS GUNADARMA FENI ANDRIANI SAP (1) Buku : Suryadi H.S. 1991, Pengantar Aljabar dan Geometri analitik Vektor Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor Susunan

Lebih terperinci

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES

Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Chapter 5 GENERAL VECTOR SPACE 5.1. REAL VECTOR SPACES 5.2. SUB SPACES Definisi : VECTOR SPACE Jika V adalah ruang vektor dimana u,v,w merupakan objek dalam V sebagai vektor, dan terdapat skalar k dan

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR ELEMENTER

ALJABAR LINEAR ELEMENTER BAHAN AJAR ALJABAR LINEAR ELEMENTER Disusun oleh : Indah Emilia Wijayanti Al. Sutjijana Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada Desember, 22 ii Daftar Isi Sistem Persamaan Linear dan Matriks.

Lebih terperinci

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

SISTEM PERSAMAAN LINEAR SISTEM PERSAMAAN LINEAR BAB 1 Dr. Abdul Wahid Surhim POKOK BAHASAN 1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN 1.3 Matriks dan operasi matriks 1.4 Aritmatika Matriks, Matriks

Lebih terperinci

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.

RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M. RUANG HASIL KALI DALAM (RHKD) Makalah Ini Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linear Dosen Pengampu: Abdul Aziz Saefudin, M.Pd Disusun oleh: Kelompok 5 1. Nurita Cahyaningtyas (14144100112)

Lebih terperinci

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR

MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR MODUL IV SISTEM PERSAMAAN LINEAR 4.. Pendahuluan. Sistem Persamaan Linear merupakan salah satu topik penting dalam Aljabar Linear. Sistem Persamaan Linear sering dijumpai dalam semua bidang penyelidikan

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN KS091206 Independensi Linear Basis & Dimensi TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui apakah suatu vektor bebas linier atau tak bebas

Lebih terperinci

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor

Matematika Lanjut 1. Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier. Matriks Invers. Ruang Vektor Matriks. Determinan. Vektor Matematika Lanjut 1 Vektor Ruang Vektor Matriks Determinan Matriks Invers Sistem Persamaan Linier Transformasi Linier 1 Dra. D. L. Crispina Pardede, DE. Referensi [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., gus

Lebih terperinci

Ruang R n Euclides. Pengertian. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

Ruang R n Euclides. Pengertian. Sifat-sifat Operasi Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar Ruang R n Euclides Pengertian Sebuah vektor di R n, dinyatakan oleh n bilangan terurut, yaitu u=(u 1, u 2,..., u n ) Vektor nol: yaitu vektor yang semua entri-nya nol, misalkan o=(0, 0,..., 0) Dua vektor

Lebih terperinci

MATA KULIAH ALJABAR LINIER

MATA KULIAH ALJABAR LINIER HAND OUT (BAHAN AJAR) MATA KULIAH ALJABAR LINIER Oleh: Saminanto, S.Pd., M.Sc PRODI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH IAIN WALISONGO SEMARANG TAHUN Aljabar Linier KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmaanirrohiim

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI : S1 SISTEM KOMPUTER Semester : 2 Berlaku mulai: Genap/2011 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR NOMOR KODE / SKS : 410202051/ 3 SKS PRASYARAT

Lebih terperinci

Eigen value & Eigen vektor

Eigen value & Eigen vektor Eigen value & Eigen vektor Hubungan antara vektor x (bukan nol) dengan vektor Ax yang berada di R n pada proses transformasi dapat terjadi dua kemungkinan : 1) 2) Tidak mudah untuk dibayangkan hubungan

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Ruang Vektor TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan sifat-sifat dari ruang vektor

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III

ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS. Dosen Pengampu: DARMADI, S.Si, M.Pd. Oleh: Kelompok III ALJABAR LINEAR BASIS RUANG BARIS DAN BASIS RUANG KOLOM SEBUAH MATRIKS Dosen Pengampu: DARMADI, SSi, MPd Oleh: Kelompok III 1 Andik Dwi S (06411008) 2 Indah Kurniawati (06411090) 3 Mahfuat M (06411104)

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2.

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 2. SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER JURUSAN : TEKNIK KOMPUTER JUMLAH SKS : 3 Minggu Ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan Sasaran Belajar Cara Pengajaran Media Tugas Referens i 1

Lebih terperinci

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS

ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS ALJABAR LINEAR SUMANANG MUHTAR GOZALI KBK ANALISIS UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA BANDUNG 2010 2 KATA PENGANTAR Bismillahirrahmanirrahim Segala puji bagi Allah Rabb semesta alam Shalawat serta salam

Lebih terperinci

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal

7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal 7. NILAI-NILAI VEKTOR EIGEN Nilai Eigen dan Vektor Eigen Diagonalisasi Diagonalisasi Ortogonal Nilai Eigen, Vektor Eigen Diketahui A matriks nxn dan x adalah suatu vektor pada R n, maka biasanya tdk ada

Lebih terperinci

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks

Aljabar Matriks. Aljabar Matriks Aljabar Matriks No No Unit Unit Kompetensi 1 Menerapkan keamanan web dinamis 2 Membuat halaman web dinamis dasar 3 Membuat halaman web dinamis lanjut 4 Menerapkan web hosting 5 Menerapkan konten web memenuhi

Lebih terperinci

Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT

Pertemuan Ke 2 SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST.,MT Pertemuan Ke SISTEM PERSAMAAN LINEAR (SPL) By SUTOYO,ST,MT Pendahuluan Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan

II. LANDASAN TEORI. Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori-teori yang berhubungan dengan penelitian ini sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah

Lebih terperinci

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 )

MATRIKS A = ; B = ; C = ; D = ( 5 ) MATRIKS A. DEFINISI MATRIKS Matriks adalah suatu susunan bilangan berbentuk segi empat dari suatu unsur-unsur pada beberapa sistem aljabar. Unsur-unsur tersebut bisa berupa bilangan dan juga suatu peubah.

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks

BAB I PENDAHULUAN. 3) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan invers matriks. 4) Untuk mengetahui apa yang dimaksud dengan determinan matriks 1.1 LATAR BELAKANG BAB I PENDAHULUAN Teori matriks merupakan salah satu cabang ilmu aljabar linier yang menjadi pembahasan penting dalam ilmu matematika. Sejalan dengan perkembangan ilmu pengetahuan, aplikasi

Lebih terperinci

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3

II. M A T R I K S ... A... Contoh II.1 : Macam-macam ukuran matriks 2 A. 1 3 Matrik A berukuran 3 x 1. Matriks B berukuran 1 x 3 11 II. M A T R I K S Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan

Lebih terperinci

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini.

Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. . INVERS MTRIKS Sebelum pembahasan tentang invers matriks lebih lanjut, kita bahas dahulu beberapa pengertian-pengertian berikut ini. a. RNK MTRIKS Matriks tak nol dikatakan mempunyai rank r jika paling

Lebih terperinci

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN

KS KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN KS091206 KALKULUS DAN ALJABAR LINEAR Vektor di Ruang N TIM KALIN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS Setelah menyelesaikan pertemuan ini mahasiswa diharapkan: Dapat mengetahui definisi dan dapat menghitung perkalian

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world).

II. TINJAUAN PUSTAKA. nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian matematika yang. disebut dunia matematika (mathematical world). 5 II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1. Pemodelan Matematika Definisi pemodelan matematika : Pemodelan matematika adalah suatu deskripsi dari beberapa perilaku dunia nyata (fenomena-fenomena alam) ke dalam bagian-bagian

Lebih terperinci

Part II SPL Homogen Matriks

Part II SPL Homogen Matriks Part II SPL Homogen Matriks SPL Homogen Bentuk Umum SPL homogen dalam m persamaan dan n variabel x 1, x 2,, x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = 0 a m1 x 1 + a

Lebih terperinci

Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung

Course of Calculus MATRIKS. Oleh : Hanung N. Prasetyo. Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Course of Calculus MATRIKS Oleh : Hanung N. Prasetyo Information system Departement Telkom Politechnic Bandung Matriks dan vektor merupakan pengembangan dari sistem persamaan Linier. Matriks dapat digunakan

Lebih terperinci

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER

BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER BAB 4 : SISTEM PERSAMAAN LINIER 4.1 PERSAMAAN LINIER Misalnya x 2 Matematika analitik membicarakan ilmu ukur secara aljabar. Garis lurus pada bidang x 1 dan x 2 dapat dinyatakan sebagai persamaan a 1 x

Lebih terperinci

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1

GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN PROGRAM STUDI: S1 SISTEM INFORMASI Semester : 1 Berlaku mulai: Gasal/2010 MATA KULIAH : MATRIK DAN TRANSFORMASI LINEAR KODE MATA KULIAH / SKS : 410102042 / 3 SKS MATA

Lebih terperinci

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut

Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari objek yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column). Objek-objek dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen

Lebih terperinci

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS

SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT / 2 SKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN MATA KULIAH : ALJABAR LINIER KODE / SKS : IT0143231 / 2 SKS Deskripsi: - Mata kuliah ini mempelajari konsep aljabar linear sebagai dasar untuk membuat algoritma dalam permasalahan

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk

BAB 1 PENDAHULUAN. Sebuah garis dalam bidang xy secara aljabar dapat dinyatakan oleh persamaan yang berbentuk BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar belakang Sebagian besar dari sejarah ilmu pengetahuan alam adalah catatan dari usaha manusia secara kontinu untuk merumuskan konsep-konsep yang dapat menguraikan permasalahan

Lebih terperinci

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN

Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN Modul 1 Matriks Drs. H. Karso, M. M.Pd. M PENDAHULUAN odul pertama dari mata kuliah Aljabar Linear ini merupakan materi prasyarat untuk mempelajari konsep-konsep dalam Aljabar Linear berikutnya. Pendahuluan

Lebih terperinci

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1

6- Operasi Matriks. MEKANIKA REKAYASA III MK Unnar-Dody Brahmantyo 1 6- Operasi Matriks Contoh 6-1 : Budi diminta tolong oleh ibunya untuk membeli 2 kg gula dan 1 kg kopi. Dengan uang Rp. 10.000,- Budi mendapatkan uang kembali Rp. 3.000,-. Dihari yang lain, Budi membeli

Lebih terperinci

APLIKASI MATRIKS DAN RUANG VEKTOR, oleh Dr. Adiwijaya Hak Cipta 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta Telp: ;

APLIKASI MATRIKS DAN RUANG VEKTOR, oleh Dr. Adiwijaya Hak Cipta 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta Telp: ; APLIKASI MATRIKS DAN RUANG VEKTOR, oleh Dr. Adiwijaya Hak Cipta 2014 pada penulis GRAHA ILMU Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283 Telp: 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail: info@grahailmu.co.id Hak Cipta

Lebih terperinci

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3

Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Ruang Vektor Euclid R 2 dan R 3 Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U September 2015 MZI (FIF Tel-U) Ruang Vektor R 2 dan R 3 September 2015

Lebih terperinci

Aljabar Linier & Matriks

Aljabar Linier & Matriks Aljabar Linier & Matriks 1 Pendahuluan Ruang vektor tidak hanya terbatas maksimal 3 dimensi saja 4 dimensi, 5 dimensi, dst ruang n-dimensi Jika n adalah bilangan bulat positif, maka sekuens sebanyak n

Lebih terperinci

Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE

Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Sistem Persamaan Linear Homogen 3P x 3V Metode OBE Ogin Sugianto sugiantoogin@yahoo.co.id penma2b.wordpress.com Majalengka, 12 November 2016 Sistem Persamaan Linear (SPL) Homogen yang akan dibahas kali

Lebih terperinci

1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata

1.1. Definisi, Notasi, dan Operasi Vektor 1.2. Susunan Koordinat Ruang R n 1.3. Vektor di dalam R n 1.4. Persamaan garis lurus dan bidang rata SATUAN ACARA PERKULIAHAN (SAP) MATA KULIAH : MATEMATIKA INFORMATIKA 2 JURUSAN : S1-TEKNIK INFORMATIKA KODE MATA KULIAH : IT-045214 Referensi : [1]. Yusuf Yahya, D. Suryadi. H.S., Agus S., Matematika untuk

Lebih terperinci

Latihan 5: Inner Product Space

Latihan 5: Inner Product Space Latihan 5: Inner Product Space Diketahui vektor u v w ϵ R di mana u = v = Hitunglah : a b c d e f Diketahui vektor u v ϵ R di mana u = dan v = Carilah

Lebih terperinci

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.

HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier. Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M. HASIL PRESENTASI ALJABAR LINIER ( SUB RUANG VEKTOR ) Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Aljabar Linier Dosen Pengampu : Darmadi, S,Si, M.Pd Disusun oleh Matematika 5F Kelompok 5: ARLITA ROSYIDA 08411.081

Lebih terperinci