Kata Pengantar. Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan.

Transkripsi

1 i

2 Kata Pengantar Puji syukur kehadirat Yang Maha Kuasa yang telah memberikan pertolongan hingga modul ajar ini dapat terselesaikan. Modul ajar ini dimaksudkan untuk membantu penyelenggaraan kuliah jarak jauh. Sejalan dengan tujuan penyelenggaraan perkuliahan, materi modul ajar ini dipilih dari pokokpokok aljabar matriks sebagai bahan penyeragaman pemahaman aljabar martriks bagi mahasiswa. Dalam hal ini, setelah mengikuti kuliah sesuai materi dalam modul ajar ini, diharapkan mahasiswa mempunyai bekal yang cukup baik untuk mengikuti perkuliahan. Materi yang diberikan dalam modul ajar ini cukup untuk ukuran perkuliahan satu semester. Untuk itu, materi dalam modul ini diberikan dengan cara sederhana dan contoh singkat; mengingat bahwa semua materi harus diserap sendiri. Untuk itu diharapkan peserta kuliah dengan tekun dan sungguh-sungguh mengikuti modul ini dan aktif mengerjakan soal-soal. Penyusun menyampaikan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu hingga tersusunnya modul ini. Tak lupa, kritik dan saran untuk menyempurnakan modul ini sangat diharapkan. Surabaya, Januari 2007 Penyusun ii

3 Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi ii iii 1 Sistem Persamaan Linear Soal-Soal Latihan Pengantar SPL Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya Soal-Soal Latihan Matriks Invers Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris Determinan Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers Vektor dan Operasinya Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor Soal-Soal Latihan Panjang Vektor Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi Soal-Soal Latihan Cross Product Transformasi Linear dan Sifat Soal-Soal Latihan Transformasi Linear Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear Ruang Vektor Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun iii

4 5.3 Soal-Soal Latihan Bebas Linear Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas iv

5 Modul 1 Sistem Persamaan Linear 1.1 Soal-Soal Latihan Pengantar SPL 1. Persamaan-persamaan manakah yang termasuk persamaan linear? a 2x + 3y + 2z = 6 b 2xy + 3y + 2z = 6 c 2x + 3y = 2z + 6 d 1 2 x + 3y2 = 6 e 1 x + 3y z = 6 f 1 4 x 2 3 y = 6 2. Jika p adalah suatu konstanta, persamaan manakah yang termasuk persamaan linear a 2x + 3y = sin p b py + 3x + 2z = π c px + 1 p y = 6 3. Buatlah matriks A, x dan b yang dapat mewakili sistem persamaan linear dibawah ini 2x + 3y + 4z = 6 3x + 3y 6z = Buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear dibawah ini 3x + 4y 3z = 12 x + 2y + 9z = 21 3y + 2x + 6z = 22 1

6 1.2. Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL 2 5. Apakah sistem linear dibawah termasuk sistem linear homogen 3x + 2y = 3z x + 9z = 2y 3y + 11z = 2x 6. Cari sistem persamaan linear dari matriks diperbesar dibawah ini Soal-Soal Latihan Penyelesaian SPL 1. Diantara matriks-matriks tersebut yang termasuk matriks yang berbentuk eselon, eselon tereduksi, atau bukan keduanya a b e f c. g Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss 2x + 2y + 2z = 12 x + 2y + 3z = 14 3x + y + 2z = 11 d. h Selesaikan sistem dibawah ini dengan metode eliminasi Gauss-Jordan x + 2y + 2z = 9 x + y 3z = 2 3x y + 2z = 9

7 1.3. Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya 3 4. Selesaikan sistem linear homogen dibawah ini dengan metode sebarang x + 2y + 2z = 0 x + y 3z = 0 3x y + 2z = 0 5. Selesaikan sistem linear dibawah ini dengan metode sebarang x 1 + 2x 2 + 2x 3 = x 4 x 1 + x 2 3x 4 = 2x 3 2x 1 2x 3 + 2x 4 = x 2 6. Carilah nilai a, sedemikian hingga sistem linear tersebut mempunyai satu penyelesaian, banyak penyelesaian dan tidak mempunyai penyelesaian x 1 + 2x 2 3x 3 = 4 3x 1 x 2 + 5x 4 = 2 4x 1 + x 2 + a 2 14x 3 = a Soal-Soal Latihan Matriks dan Operasinya 1. Diketahui matriks beserta ukurannya, yaitu A 3 4, B 3 4, C 4 2, D 3 2, dan E 4 3, tentukan manakah yang dapat dilakukan, jika tidak dapat dilakukan beri komentar a B A b A C + D c A E + B d A B + B e EB + A f EA C g E T A h A T + E D 2. Diketahui persamaan matriks dibawah ini a-b b+c carilah nilai a, b, c dan d 3d+c 2a-4d 16 2 = Pandang matriks-matriks dibawah ini 1 2 X = Y = Z = W = Hitung operasi matriks dibawah jika memungkinkan

8 1.4. Soal-Soal Latihan Matriks Invers 4 a XY b Y Z c ZW d W X e Y X Z f ZX 2Y g 3Y + ZX h XZ 2W 4. Carilah matriks A berukuran 4 4, yang anggotanya memenuhi syarat yang dinyatakan a a ij = i + j b a ij = i j 1 c a ij = 5. Jika matriks A berukuran p q, maka traa T = tra T A = s dimana s adalah jumlah kuadrat anggota-angota A. { 1, i j > 1 1, i j Soal-Soal Latihan Matriks Invers Diketahui empat matriks, yaitu A = B = C = D = Hitunglah a AB b AC c AD d BA e BC f BD g CA h CB i CD j DA k DB l DC Apa yang dapat saudar simpulkan? 2. Gunakan hasil kesipulan soal sebelumnya, kemudian hitunglah a A 3 b B 3 c C 3 d D 3 e A 1 3 f B 1 3 g C 1 3 h D 1 3 a AB 3 b AB 1 c CD 1 d DC 3 3. Gunakan hasil dari soal sebelumnya, kemudian hitung a A 2 2A + I

9 1.5. Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers 5 b B 2 2B + I c A 2 2A + IB 2 2B + I 4. Hitunglah a A T b B T c C T d D T e A 1 T f B 1 T g C 1 T h D 1 T a A T B T 1 b B 1 A 1 T c C T D T T d DC T 5. Matriks A = Tentukan apakah A mempunyai invers atau tidak, jika punya, carilah inversnya petunjuk selesaikan AX = I 1.5 Soal-Soal Latihan Matriks Elementer dan Mencari Invers 1. Manakah diantara matriks dibawah ini yang termasuk matriks elementer a. b. c d Carilah operasi baris yang menghasilkan matriks elementer berikut a. b. c. d Diketahui matriks A = B = C = Carilah matriks elementer E 1, E 2, E 3 dan E 4, sedemikian hingga a. E 1 A = B b. E 2 B = A c. E 3 A = C d. E 4 C = A Pandang matriks A =

10 1.6. Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris 6 a Cari matriks elementer E 1 dan E 2 sedemikian hingga E 2 E 1 A = I b Tulis A 1 sebagai perkalian dua matriks elementer c Tulis A sebagai perkalian dua matriks elementer 5. Carilah invers dari B = Soal-Soal Latihan Matriks Diagonal, Segitiga dan Simetris 1. Apakah matriks-matriks dibawah ini mempunyai invers, jika ya, cari inversnya a b c Hitunglah A 2, A 2, dan A l dari a A = b A = c A = 3. Cari semua nilai a, b dan c, jika matriks A adalah simetris 2 a 2b + 2c 2a + b + c A = 3 5 a + c

11 Modul 2 Determinan 2.1 Soal-Soal Latihan Fungsi Determinan 1. Carilah jumlah pembalikan dari permutasi {1, 2, 3, 4, 5, 6} a 1, 2, 3, 6, 4, 5 b 6, 5, 4, 3, 2, 1 c 4, 3, 5, 6, 1, 2 d 3, 2, 1, 5, 4, 6 2. Hitung determinan berikut 2 3 a b c d Hitung determinan berikut a b c d carilah nilai α sehingga determina dari matriks berikut bernilai nol α 2 5 α a b 1 α α α 1 7

12 2.2. Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan 8 5. Gunakan aturan yan gsudah diperoleh unutk mendapat nilai determian dari matriks berikut Soal-Soal Latihan Cara Lain Menghitung Determinan 1. Hitung determinan berikut dengan cepat a b c d Hitung determinan berikut dengan mencongak a b c d Dengan melakukan reduksi, hitung determinan berikut a b c d Dengan menggunakan reduksi baris, buktikan x y z = y zz xz y x 2 y 2 z 2

13 2.3. Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan 9 5. Tunjukan bahwa determinan dibawah ini benar 0 0 z a 0 y z = xyz b x y z z 0 0 y z 0 x y z t x y z = txyz 2.3 Soal-Soal Latihan Sifat Fungsi Determinan 1. Periksalah bawha detka = k n deta a A = ; k = 2 b 2. Periksalah bahwa detab = detadetb dan B = ; k = 2 3. Periksa matriks-matriks dibawah ini, apakah mempunyai invers atau tidak X = Y = Z = Pandang Z = a d h b e i c f j dengan mengasumsikan bahwa detz = 5, maka hitung a det3a b deta 1 c det2a 1 d det2a 1 5. Berapa nilai k agar matriks A mempunyai invers k 3 2 a A = b 2 k k 3 2

14 2.4. Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers Soal-Soal Latihan Kofaktor dan Matriks Invers 1. Pandang matriks A = Hitung semua Minor, Kofaktor dari matriks A? 2. Dengan menggunakan matriks soal pertama, hitung perluasan kofaktor untuk a baris pertama b kolom pertama c baris ketiga d kolom kedua 3. Pandang a Hitung A 1 dengan menggunakan teorema yang ada b Hitung A 1 dengan menggunakan OBE c Manakah yang lebih efisien 4. Dengan aturan Cramer, hitunglah, x 1, x 2 dan x 3 4x 1 + 5x 2 = 2 11x 1 + x 1 + 2x 3 = 3 x 1 + 5x 1 + 2x 3 = 1

15 Modul 3 Vektor dan Operasinya 3.1 Soal-Soal Latihan Pengantar Vektor 1. Sketsa vektor-vektor berikt dengan titik pangkal pada titik asal a v 1 = 2, 6 b v 2 = 4, 2 c v 3 = 8, 6 d v 4 = 6, 3 e u 1 = 1, 2, 6 f u 2 = 3, 4, 2 g u 3 = 2, 8, 6 h u 4 = 6, 3, 2 2. Carilah vektor tak-nol v dengan titik pangkal pada titik P 1, 2, 3 sedemikian hingga a v mempunyai arah yang sama dengan u = 3, 2, 1 b v berlawanan arah dengan u = 3, 2, 3 3. Carilah semua skalar k 1, k 2 dan k 3 sedemikian hingga k 1 1, 2, 0 + k 2 2, 1, 1 + k 3 1, 7, 5 = 0, 5, 4 4. Jika x = 1, 2, 3, y = 1, 4, 3 dan z = 1, 2, 5, hitunglah a x + y b z 2y c z x + y d x 2x + 3y 5. Carilah u sehingga memenuhi 2u x + y = 2z 3y + 5u 11

16 3.2. Soal-Soal Latihan Panjang Vektor Soal-Soal Latihan Panjang Vektor 1. Hitung panjang vektor-vektor dibawah ini a v 1 = 2, 6 b v 2 = 4, 2 c v 3 = 8, 6 d u 1 = 1, 2, 6 e u 2 = 3, 4, 2 f u 3 = 2, 8, 6 g w 1 = 1, 2, 8, 6 h w 2 = 6, 3, 6, 3 i w 3 = 2, 6, 3, 2 2. Carilah jarak antara titik P dan Q, jika a P 2, 6 dan Q4, 2 b P 8, 6 dan P 2, 3 c P 1, 2, 6 dan Q3, 4, 2 d P 1, 8, 6 dan P 3, 2, 3 e P 1, 2, 8, 6 dan Q6, 3, 6, 3 f P 2, 6, 3, 2 dan Q 2, 6, 3, 2 3. Jika u = 3, 2, 1, v = 3, 2, 3 dan w = 3, 2, 3 hitungkah ekspresi dibawah ini a u v b u v c u + v 1 d u + 2v + 3w e u v f 1 u v Dot Product, Proyeksi 3.3 Soal-Soal Latihan Dot Product, Proyeksi 1. Hitung u v, jika a u = 2, 6 dan v = 4, 2 b u = 8, 6 dan v = 3, 2 c u = 1, 2, 6 dan v = 3, 4, 2 d u = 2, 8, 6 dan v = 3, 3, 2 e u = 1, 2, 8, 6 dan v = 6, 3, 6, 3 f u = 2, 6, 3, 2 dan v = 2, 3, 2, 3 2. Cari proyeksi ortogonal u terhadap a a u = 2, 6 dan a = 4, 2 b u = 8, 6 dan a = 3, 2 c u = 1, 2, 6 dan a = 3, 4, 2 d u = 2, 8, 6 dan a = 3, 3, 2 e u = 1, 2, 8, 6 dan a = 6, 3, 6, 3 f u = 2, 6, 3, 2 dan a = 2, 3, 2, 3 3. Carilah komponen vektor dari u yang ortogonal terhadap a dari Soal 2 4. Hitunglah P roy a u dari Soal 2

17 3.4. Soal-Soal Latihan Cross Product Soal-Soal Latihan Cross Product 1. Hitung u v, jika a u = 1, 2, 6 dan v = 3, 4, 2 b u = 2, 8, 6 dan v = 3, 3, 2 c u = 1, 2, 8 dan v = 6, 3, 6 d u = 2, 6, 3 dan v = 2, 3, 2 2. Cari vektor yang ortogonal baik terhadap u dan v a u = 1, 2, 6 dan v = 3, 4, 2 b u = 2, 8, 6 dan v = 3, 3, 2 3. Carilah luas yang dibangun oleh u dan a a u = 1, 2, 6 dan v = 3, 4, 2 b u = 2, 8, 6 dan v = 3, 3, 2 4. Carilah hasil kali ganda tiga u v w a u = 1, 2, 4, v = 3, 4, 2, w = 1, 2, 5 b u = 3, 1, 6, v = 2, 4, 3, w = 5, 1, 2

18 Modul 4 Transformasi Linear dan Sifat 4.1 Soal-Soal Latihan Transformasi Linear 1. Carilah matriks standar dari transformasi linear yang didefinisikan dibawah ini a. w 1 = 2x + 3y + 2z, w 2 = x + 3y + 2z b. w 1 = 2x + 3y + 2z, w 2 = 2x + 3y + 2z, w 3 = 2x 3y + 4z c. w 1 = 2x + 3y + 2z 2t, w 2 = 2x + 3y + 2z + t, w 3 = 2x 3y + 4z 2t 2. Carilah matriks standar untuk transformasi linear T : R 3 R 3 yang diberikan oleh w 1 = 3x 1 + 5x 2 x 3 w 2 = 2x 1 5x 2 + 3x 3 w 3 = x 1 5x 2 + 2x 3 dan hitung T 1, 2, 3 dengan secara langusng mensubstitusikan pada persamaan tersebut dan dengan perkalian matriks. 3. Carilah matriks standar transformasi linear yang diberikan rumus seperti dibawah ini a. T x 1, x 2 = x 1 + x 2, x1 3x 2, 4x1 + 2x 2 b. T x 1, x 2, x 3 = x 1 + x 2 x 3, x1 3x 2 + 2x 3, 4x1 + 2x 2 4x 3 c. T x 1, x 2, x 3, x 4 = x 1 + x 2 x 3, x1 3x 2 + 2x 3 x 4, 4x1 + 2x 2 4x 3 2x 4 d. T x, y, z = 0, 0, 0, 0, 0 14

19 4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = 1, 2 jika dilakukan pencerminan terhadap a. sumbu-x b. sumbu-y c. garis-y = x d. sumbu-x kemudian garis-y = x e. garis-y = x kemudian sumbu-x 5. Dengan menggunakan matriks pencerminan, carilah hasil dari s = 1, 2, 3 jika dilakukan pencerminan terhadap a. bidang-xy b. bidang-xz c. bidang-yz d. bidang-xy kemudian bidang-y = x e. bidang-y = x kemudian bidang-xy 6. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogonal pada a. sumbu-x b. sumbu-y 7. Carilah matriks standar untuk transformasi linear yang mentransformasi secara ortogonal pada a. bidang-xy b. bidang-xz c. bidang-yz 8. Carilah matriks transformasi untuk rotasi pada R Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 1. Cari matriks standar untuk operator linear yang sesuai dari persamaan-persamaan berikut ini

20 4.2. Soal-Soal Latihan Sifat Transformasi Linear 16 a. w 1 = 2x 1 + 3x 2 w 2 = 3x 1 4x 2 b. w 1 = 2x 1 + 3x 2 2x 3 w 2 = 3x 1 4x 2 + x 3 w 3 = x 1 + 2x 2 + 2x 3 2. Tunjukan bahwa daerah hasil dari operator linear dengan pesamaan dibawah ini w 1 = x 1 2x 2 + x 3 w 2 = 4x 1 + x 2 + 2x 3 w 3 = 5x 1 x 2 + 3x 3 tidqk berada di R 3 dan cari sebuah vektor yang tidak berada di daerah hasil. 3. Anggal l adalah garis pada bidang-xyyang melalui titik asal dan membentuk sudut θ dengan sumbu-x positif dengan 0 θ < π, dan T : R 2 R 2 adalah operator linear yang memetakan setipa vektor ke proyeksi ortogonalnya ke garis l. a. Cari matriks standar untuk T b. cari proyeksi ortogonal vektor x = 1, 5 pada garis yang melalui titik asal yang membentuk sudut θ = π 6 dengan sumbu-x positif. 4. Carilah operator linear balikan T 1 dari soal nomor 1

21 Modul 5 Ruang Vektor 5.1 Soal-Soal Latihan Ruang Vektor Real 1. Himpunan semua pasangan dua bilangan x, y dengan operasi x, y + x, y = x + x, y + y, kx, y = 3kx, 3ky 2. Himpunan semua pasangan tiga bilangan x, y, z dengan operasi x, y, z + x, y, z = x + x, y + y, z + z, kx, y, z = kx, y, z 3. Himpunan semua pasangan bilangan real yang berbentuk x, 0 dengan operasi-operasi standar pada R 2 4. Himpunan semua matriks 2 2 berbentuk a 1 1 b dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks 5. Himpunan semua matriks 2 2 berbentuk a a + b a + b b dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks 6. Gunakan Teorema?? untuk menentukan manakah yang termasuk sub-ruang dari R 3 17

22 5.2. Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun 18 a semua vektor berbentuk x, 0, 0 b semua vektor berbentuk x, 1, 1 c semua vektor berbentuk x, y, z dengan x = y + z d semua vektor berbentuk x, y, z dengan y = x + z Soal-Soal Latihan Kombinasi Linear dan Membangun 1. Nyatakan vektor-vektor dibawah ini merupakan kombinasi linear dari p = 1, 1, 3, q = 2, 1, 4 dan r = 3, 2, 5 a 6, 11, 6 b 0, 0, 0 c 5, 6, 7 2. Nyatakan matriks-matriks dibawah ini merupakan kombinasi linear dari matriks p = q = q = a b c Apakah vektor-vektor dibawah ini membangun R 3 a p = 1, 1, 3, q = 2, 1, 4 dan r = 3, 2, 5 b p = 1, 1, 1, q = 0, 1, 1 dan r = 0, 0, 1 c p = 1, 2, 6, q = 3, 4, 1, r = 3, 2, 5 dan s = 1, 2, Soal-Soal Latihan Bebas Linear 1. Apakah himpunan vektor dibawah ini yang bebas linear atau tak bebas linear a {8, 1, 3, 2, 3, 5} b {8, 1, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 4} c {8, 1, 3, 2, 3, 5, 2, 3, 4, 1, 2, 7}

23 5.4. Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi Untuk nilai real α berapakah vektor berikut ini membentuk suatu himpunan vektor yang bebas linear v 1 = α, 1, 1, v 2 = 1, α, 1, v 3 = 1, 1, α, 3. Tunjukan bahwa vektor-vektor u 1 = 4, 7, 1, 3, u 2 = 6, 0, 5, 1 dan u 3 = 0, 3, 1, 1 merupakan himpunan vektor yang tak bebas linear di R 4 4. Nyatakan setiap vektor pada soal 3 sebagai kombinasi linear dari dua vektor yang lainnya. 5.4 Soal-Soal Latihan Basis dan Dimensi 1. Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R 2 a 1, 2, 3, 0 b 4, 1, 7, 8 c 3, 9, 4, Apakah himpunan vektor dibawah ini merupakan basis untuk R 3 a 1, 0, 0, 2, 2, 0, 3, 3, 3 b 3, 1, 4, 2, 5, 6, 1, 4, 8 c 1, 6, 4, 1, 2, 5, 2, 4, 1 3. Carilah koordinat vektor v relatif terhadap basis S = { v 1, v 2, v 3 } a v = 2, 1, 3, v 1 = 1, 0, 0, v 2 = 2, 2, 0, v 3 = 3, 3, 3 b v = 5, 12, 3, v 1 = 3, 1, 4, v 2 = 2, 5, 6, v 3 = 1, 4, 8 4. Carilah basis dan dimensi dari ruang penyelesaian dari sistem linear berikut a 3x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0, 5x 1 x 2 + x 3 x 4 = 0 b x 1 4x 2 + 3x 3 x 4 = 0, 2x 1 8x 2 + 6x 3 2x 4 = Soal-Soal Latihan Ruang Baris, Ruang Kolom dan Ruang Kosong 1. Carilah basis ruang kosong dari matriks dibawah ini a b

24 5.6. Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas Carilah basis ruang baris dari matriks-matriks pada Soal 1 3. Carilah basis ruang kosong dari matriks-matriks pada Soal Soal-Soal Latihan Rank dan Nulitas 1. Tunjukan bahwa ranka = ranka T dari matriks dibawah ini a A = b A = Carilah jumlah parameter yang dibutuhkan pada soal 1 3. Carilah nulla dari soal 1

25 Daftar Pustaka [1] Howard Anton, 2000, Dasar-Dasar Aljabar Linear, Interaksara, Batam. [2] Steven J. Leon, 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya, Erlangga, Jakarta. 21