Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3"

Vera Dharmawijaya
7 tahun lalu
Tontonan:

1 Vektor di ruang dimensi 2 dan ruang dimensi 3 Maulana Malik 1 (maulana.malik@sci.ui.ac.id) 1 Departemen Matematika FMIPA UI Kampus Depok UI, Depok /2015 1/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

2 Vektor di ruang berdimensi 2 Vektor di ruang berdimensi 3 Diberikan vektor v = (v 1, v 2 ), w = (w 1, w 2 ) dan sembarang bilangan k. 1 v = w jika dan hanya jika v 1 = w 1 dan v 2 = w 2. 2 v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2 ). 3 v w = (v 1 w 1, v 2 w 2 ). 4 k v = (k v 1, k v 2 ). 5 Norm dari v = (v 1, v 2 ), v = v v 2 2. Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatu bilangan positif. Vektor nol, 0 = (0, 0). Diberikan titik P 1 (x 1, y 1 ) dan P 2 (x 2, y 2 ). 1 P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1 ). 2 d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 (perhatikan d = P 1 P 2 ). 2/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

3 Vektor di ruang berdimensi 2 Vektor di ruang berdimensi 3 Diberikan vektor v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ) dan sembarang bilangan k. 1 v = w jika dan hanya jika v 1 = w 1, v 2 = w 2 dan v 3 = w 3. 2 v + w = (v 1 + w 1, v 2 + w 2, v 3 + w 3 ). 3 v w = (v 1 w 1, v 2 w 2, v 3 w 3 ). 4 k v = (k v 1, k v 2, k v 3 ). 5 Norm dari v = (v 1, v 2, v 3 ), v = v1 2 + v v 3 2. Catatan: hasil perhitungan dari norm vektor adalah suatu bilangan positif. Vektor nol, 0 = (0, 0, 0). Diberikan titik P 1 (x 1, y 1, z 1 ) dan P 2 (x 2, y 2, z 2 ). 1 P 1 P 2 = (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ). 2 d = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 (perhatikan d = P 1 P 2 ). 3/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

4 Proyeksi Aplikasi (dot product) antara vektor u dan v. u v = { u v cos θ jika u 0 dan v 0, 0 jika u = 0 atau v = 0, (1) dengan θ adalah sudut antara kedua vektor tersebut. Catatan: 1 Hasil perhitungan dari hasil kali titik adalah bilangan. 2 0 θ π. 4/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

5 Proyeksi Aplikasi Jika v = (v 1, v 2 ), w = (w 1, w 2 ), maka v w = v 1 w 1 + v 2 w 2. (2) Jika v = (v 1, v 2, v 3 ), w = (w 1, w 2, w 3 ), maka v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + v 3 w 3. (3) 5/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

6 Proyeksi Aplikasi Theorem Diberikan vektor u dan v. u = u u (4) Theorem Misalkan u dan v bukan vektor nol dan θ adalah sudut di antaranya. 1 u v > 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut lancip. 2 u v < 0 jika dan hanya jika θ adalah sudut tumpul. 3 u v = 0 jika dan hanya jika θ = π/2. 6/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

7 Proyeksi Aplikasi Theorem Diberikan vektor u, v dan w dan bilangan k, maka 1 u v = v u 2 u ( v + w) = u v + u w 3 k( u v) = (k u) v = u (k v) 4 u u > 0 jika u 0 5 u u = 0 jika u = 0 7/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

8 Proyeksi Aplikasi Theorem Diberikan vektor u dan a. Jika u 0, maka 1 Komponen vektor u pada a proy a u = u a a (5) a 2 2 Komponen vektor u yang tegak lurus dengan a u proy a u = u u a a (6) a 2 8/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

9 Proyeksi Aplikasi Jarak titik P(x 0, y 0 ) ke garis ax + by + c = 0 D = a x 0 + b y 0 + c a 2 + b 2. (7) 9/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

10 Definisi Sifat Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ) = u 1 i + u 2 j + u 3 k dan v = (v 1, v 2, v 3 ) = v 1 i + v 2 j + v 3 k. i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). (cross product) antara u dan v: u v = det i j k u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 (8) 1 hanya untuk vektor di ruang dimensi 3. 2 Hasil dari hasil kali silang adalah vektor. 10/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

11 Definisi Sifat 1 Vektor u v tegak lurus dengan u dan v. 2 Arah vektor u v mengikuti Aturan Tangan Kanan. 3 i j = k, j k = i, k i = j. 4 u v = u v sin θ, yaitu luas jajar genjang yang dibentuk oleh vektor u dan v. 11/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

12 Definisi Sifat Theorem Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 3. 1 u ( u v) = 0 2 v ( u v) = 0 3 u v 2 = u 2 v 2 ( u v) 2 4 u ( v w) = ( u w) v ( u v) w 5 ( u v) w = ( u w) v ( v w) u 12/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

13 Definisi Sifat Theorem Misalkan u, v dan w adalah vektor di ruang dimensi 3, dan k adalah sembarang bilangan. 1 u v = ( v u) 2 u ( v + w) = u v + u w 3 ( u + v) w = u w + v w 4 k( u v) = (k u) v = u (k v) 5 u 0 = 0 u = 0 6 u u = 0 13/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

14 Definisi Sifat Jika u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) dan w = (w 1, w 2, w 3 ), maka u ( v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 disebut hasil kali tripel skalar (scalar triple product). Catatan: 1 Hasil u ( v w) adalah bilangan. (9) 2 u ( v w) : volume paralelepipedum yang dibentuk u, v, w. 14/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

15 Definisi Sifat Theorem Misalkan u = (u 1, u 2, u 3 ), v = (v 1, v 2, v 3 ) dan w = (w 1, w 2, w 3 ) mempunyai titik awal yang sama. Ketiga vektor tersebut terletak di bidang yang sama jika dan hanya jika u ( v w) = det u 1 u 2 u 3 v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 = 0. 15/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

16 Bidang Garis Vektor normal : vektor tak-nol yang tegak lurus suatu bidang. Persamaan bidang yang melalui titik P(x 0, y 0, z 0 ) dan mempunyai vektor normal n = (a, b, c): a (x x 0 ) + b (y y 0 ) + c (z z 0 ) = 0. (10) 16/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

17 Bidang Garis Titik P(x, y, z) pada bidang; vektor posisi r = OP = (x, y, z). Titik P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pada bidang; vektor posisi r 0 = OP 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Persamaan bidang dalam bentuk vektor: n ( r r 0 ) = 0. (11) 17/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

18 Bidang Garis Dua bidang sejajar? Persamaan bidang yang melalui titik (5, 4, 3), (4, 3, 1) dan (1, 5, 4)? 18/21 Vektor

19 Bidang Garis Persamaan parametrik garis yang melalui titik P(x 0, y 0, z 0 ) dan mempunyai vektor arah v = (a, b, c): x = x 0 + a t, y = y 0 + b t, z = z 0 + c t. 19/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

20 Bidang Garis Titik P(x, y, z) pada garis l; vektor posisi r = OP = (x, y, z). Titik P 0 (x 0, y 0, z 0 ) pada garis l; vektor posisi r 0 = OP 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Persamaan garis dalam bentuk vektor: dengan < t <. r = r 0 + t v = 0, (12) 20/21 maulana.malik@sci.ui.ac.id Vektor

21 Bidang Garis Dua garis sejajar? Perpotongan garis dengan bidang? 21/21 Vektor

dokumen-dokumen yang mirip

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9

Aljabar Linier Elementer. Kuliah ke-9 Aljabar Linier Elementer Kuliah ke-9 Materi kuliah Hasilkali Titik Proyeksi Ortogonal 7/9/2014 Yanita, FMIPA Matematika Unand 2 Hasilkali Titik dari Vektor-Vektor Definisi Jika u dan v adalah vektor-vektor