8.1 Transformasi Linier Umum. Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari

Transkripsi

1 8.1 Transformasi Linier Umum Bukan lagi transformasi R n R m, tetapi transformasi linier dari ruang vektor V vektor W.

2 Definisi Jika T: V W adalah suatu fungsi dari suatu ruang vektor V ke ruang vektor W, maka T disebut tranformasi linier dari V ke W jika untuk semua vektor u dan v pada V dan semua skalar c: T (u+v) = T (u) + T (v) T (cu) = ct (u)

3

4 Transformasi Linier Pada kasus khusus dimana V=W, transformasi liniert:v V disebut operator linier V.

5 Transformasi Nol Pemetaan T:V W, disebut transformasi nol jika, T (u+v) = 0 T (u) = 0, T (v) = 0 dan T (k u) = 0 Dengan demikian, T (u+v) =T (u) +T (v) dan T (k u) = kt (u)

6 Operator Identitas Pemetaan I: V V yang didefinisikan oleh I (v) = v disebut operator identitas pada V.

7 Dilation and Contraction operators Jika V sebarang vektor dan k sebarang skalar, maka fungsi T:V V yang didefinisikan oleh T (v) = k v Dilation/Pelebaran V : k > 1 operator linier pada V Contraction/ Penyempitan V: 0 < k < 1

8 Proyeksi Orthogonal Jika W adalah sub ruang berdimensi terhingga dari suatu ruang hasil kali dalam V, maka proyeksi orthogonal dari V pada W adalah transformasi yang didefinisikan oleh: T (v ) = projwv

9 Proyeksi Orthogonal T (v ) = proj w v Jika S = {w 1, w 2,, w r } sebarang basis ortonormal untuk W, maka T (v ) : T (v ) = proj w v = <v,w 1 >w 1 + <v,w 2 >w 2 + +<v,w r >w r Bukti bahwa T adalah suatu transformasi linier diperoleh dari sifatsifat hasil kali dalam, sbb : T (u+v) = <u+v, w 1 >w 1 + <u+v, w 2 >w 2 + +<u+v, w r > w r = <u, w 1 >w 1 + <u, w 2 >w <u, w r >w r + <v, w 1 >w 1 + <v, w 2 >w <v, w r >w r = T (u) + T (v) Dengan cara yang sama: T (ku) = kt (u)

10 Computing an Orthogonal Projection Anggap V = R 3 memiliki hasil kali dalam Euclidean. Vektor w 1 = (1,0,0) dan w 2 = (0,1,0) membentuk basis ortonormal bidang xy. Jika v = (x,y,z) adalah sebarang vektor R 3, proyeksi ortogonal dari R 3 pada bidang xy adalah: T (v ) = <v, w 1 >w 1 + <v, w 2 >w 2 = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) = ( x, y, 0 ) Proyeksi Ortogonal R 3 pada bidang xy

11 Transformasi Linier Ruang Vektor V to R n Jika S = {w 1, w 2,, w n } adalah suatu basis untuk suatu ruang vektor V, dan (v) s = (k 1, k 2,, k n ) adalah vektor koordinat relatif terhadap S dari suatu vektor v dalam V sehingga; v = k 1 w + k 2 w k n w n Definisikan T: V R n sebagai fungsi yang memetakan v pada vektor koordinat relatif terhadap S; yaitu, T (v) = (v) s = (k 1, k 2,, k n )

12 Transformasi Linier Ruang Vektor V to R n Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana: u = c 1 w 1 + c 2 w c n w n dan v = d 1 w 1 + d 2 w d n w n Jadi (u) s = (c 1, c 2,, c n ) dan (v) s = (d 1, d 2,, d n ) Tapi; u+v = (c 1 +d 1 ) w 1 + (c 2 +d 2 ) w (c n +d n ) w n k u = (kc 1 ) w 1 +(kc 2 ) w (kc n ) w n Sehingga; (u+v) s = (c 1 +d 1, c 2 +d 2, c n +d n ) (k u) s = (kc 1, kc 2,, kc n ) Dengan demikian; (u+v) s = (u) s + (v) s dan (k u) s = k (u) s

13 Transformasi Linier Ruang Vektor V to R n Dengan demikian; (u+v) s = (u) s + (v) s dan (k u) s = k (u) s Jika persamaan dalam bentuk T, maka: T (u+v) = T (u) + T (v) and T (k u) = kt (u) Yang menunjukkan bahwa T adalah suatu transformasi linier. REMARK. Penulisan dalam bentuk matriks: [u+v] = [u] s +[v] s and [k u] s = k [u] s

14 Contoh : Transformasi linier p n ke p n+1 Jika p = p(x) = C 0 X + C 1 X C n X n+1 adalah polinom dalam P n, maka fungsi T: P n P n+1 : T (p) = T (p(x)) = xp(x)= C 0 X + C 1 X C n X n+1 Fungsi T adalah suatu transformasi linier, dimana untuk skalar k dan sebarang polinom p 1 dan p 2 dalam P n T (p 1 +p 2 ) = T (p 1 (x) + p 2 (x)) = x (p 1 (x)+p 2 (x)) = x p 1 (x) + x p 2 (x) = T (p 1 ) +T (p 2 ) dan T (k p) = T (k p(x)) = x (k p(x))= k (x p(x))= k T(p)

15 Operator Linier dalam P n Jika p = p(x) = c 0 X + c 1 X c n X n+1 adalah polinom dalam P n, dan anggap a dan b sebarang skalar. Fungsi T didefinisikan sbb: T (p) = T(p(x)) = p (ax+b) = c 0 + c 1 (ax+b) + + c n (ax+b) n adalah suatu operator linier. Contoh, jika ax+b = 3x 5, maka T: P 2 P 2 akan menjadi operator linier sbb: T (c 0 + c 1 x+ c 2 x 2 ) = c 0 + c 1 (3x-5) + c 2 (3x-5) 2

16 A Linear Transformation Using an Inner Product Jika V adalah suatu hasil kali dalam dan v 0 adalah sebarang vektor tetap pada V. Anggap T:V R adalah transformasi yang memetakan suatu vektor v ke hasil kali dalamnya dengan v 0 ; yaitu, T (v) = <v, v 0 > Dari sifat-sifat suatu hasil kali dalam: T (u+v) = <u+v, v 0 >= <u, v 0 > + <v, v 0 > dan T (k u) = <k u, v 0 > = k <u, v 0 > = kt (u) Sehingga T adalah suatu transformasi linear..

17 Sifat-sifat Transformasi Linear Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka untuk sebarang vektor v 1 dan v 2 dalam V dan sebarang skalars c 1 dan c 2, kita dapatkan: T (c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = T (c 1 v 1 ) + T (c 2 v 2 ) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) Dan secara lebih umum v 1, v 2,, v n adalah vektor-vektor pada V dan c 1, c 2,, c n adalah skalar, maka: T (c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n ) 1 ) 1 ) transformasi linear mempertahankan kombinasi linear.

18 Tiga Sifat Dasar Transformasi Linear Theorem Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka: (a) T (0) = 0 (b) T (-v ) = -T (v ) untuk semua v dalam V (c) T (v-w ) = T (v ) - T (w) untuk semua v dan w dalam V Proof. (a) Let v be any vector in V. Since v=0, we have T (0)=T (0v)=0T (v)=0 (b) T (-v) = T ((-1)v) = (-1)T (v)=-t (v) (c) v-w=v+(-1)w; thus, T (v-w)= T (v + (-1)w) = T (v) + (-1)T (w) = T (v) -T (w)

19 Mencari Transformasi Linear dari Bayangan Vektor Basis Jika T:V W adalah suatu transformasi linear dan {v 1, v 2,, v n } adalah sebarang basis untuk V, maka bayangan T (v) dari sebarang vektor v pada V dapat dihitung dari bayangan: T (v 1 ), T (v 2 ),, T (v n ) dari vektor-vektor basis. Nyatakan v sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis; v = c 1 v 1 + c 2 v c n v n Gunakan rumus (1) untuk menulis: T (v) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T (v 2 ) + + c n T (v n ) Suatu transformasi linear secara lengkap ditentukan oleh bayangan sebarang vektor-vektor basis. T (c 1 v 1 + c 2 v c n v n ) = c 1 T (v 1 ) + c 2 T ( v 2 ) + + c n T ( v n )

20 Computing with Images of Basis Vectors Contoh: Tinjau basis S = {v 1, v 2, v 3 } untuk R 3, dimana v 1 = (1,1,1), v 2 =(1,1,0), dan v 3 = (1,0,0). Anggap T: R 3 R 2 adalah transformasi linear sedemikian sehingga: T (v 1 )=(1,0), T (v 2 )=(2,-1), T (v 3 )=(4,3) Carilah rumus untuk T (x 1, x 2, x 3 ); kemudian gunakan untuk menghitung T (2,-3,5).

21 Computing with Images of Basis Vectors Jawab: Nyatakan x = (x 1, x 2, x 3 ) sebagai kombinasi linear v 1 =(1,1,1), v 2 =(1,1,0), and v 3 = (1,0,0). (x 1, x 2, x 3 ) = c 1 (1,1,1) + c 2 (1,1,0) + c 3 (1,0,0) Dengan menyamakan komponen yang bersepadanan: c 1 + c 2 + c 3 = x 1 c 1 + c 2 = x 2 c 1 = x 3 c 1 = x 3, c 2 = x 2 - x 3, c 3 = x 1 - x 2

22 c 1 = x 3, c 2 = x 2 - x 3, c 3 = x 1 - x 2, sehingga Kombinasi Liner: (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 (1,1,1) + (x 2 - x 3 ) (1,1,0) + (x 1 - x 2 ) (1,0,0) = x 3 v 1 + (x 2 - x 3 ) v 2 + (x 1 - x 2 ) v 3 Jadi transformasi linear: T (x 1, x 2, x 3 ) = x 3 T (v 1 ) + (x 2 - x 3 ) T (v 2 ) + (x 1 - x 2 ) T (v 3 ) = x 3 (1,0) + (x 2 - x 3 ) (2,-1) + (x 1 - x 2 ) (4,3) = (4x 1-2x 2 -x 3, 3x 1-4x 2 +x 3 ) Dari rumus ini kita dapatkan T (2, -3, 5 ) =(9,23)

23 Komposisi T 2 dengan T 1 Jika T 1 :U V dan T 2 :V W adalah transformasi linear, komposisi T 2 dan T 1, dinotasikan T 2 ot 1 (baca T 2 circle T 1 ), adalah fungsi yang didefinisikan oleh rumus (T 2 ot 1 )(u) = T 2 (T 1 (u)) (2) dimana u adalah vektor dalam U

24 Theorem Jika T 1 :U V dan T 2 :V W adalah transformasi linear maka (T 2 o T 1 ):U W juga merupakan transformasi linear. Proof. If u and v are vectors in U and c is a scalar, then it follows from (2) and the linearity of T 1 andt 2 that (T 2 ot 1 )(u+v) = T 2 (T 1 (u+v)) = T 2 (T 1 (u)+t 1 (v)) = T 2 (T 1 (u)) + T 2 (T 1 (v)) = (T 2 ot 1 )(u) + (T 2 ot 1 )(v) and (T 2 ot 1 )(c u) = T 2 (T 1 (c u)) = T 2 (ct 1 (u)) = ct 2 (T 1 (u)) = c (T 2 ot 1 )(u) Thus, T 2 ot 1 satisfies the two requirements of a linear transformation.

25 Composition with the Identify Operator Jika T:V V adalah sebarang operator linear dan jika I:V V adalah operator identitas, maka untuk semua vektor v pada V kita dapatkan: (T o I )(v) = T (I (v)) = T (v) (I ot )(v) = I (T (v)) = T (v) Kita dapatkan bahwa T o I dan I ot sama dengan T ; T o I =T and I ot = T (3)

26 Contoh

27 T 3 o T 2 ot 1 Dapat disimpulkan bahwa komposisi bisa didefinisikan untuk lebih dari dua transformasi linear. Misalnya: T 1 : U V and T 2 : V W,dan T 3 : W Y adalah transformasi linear, maka komposisi T 3 o T 2 ot 1 didefinisikan oleh: (4)

28 Contoh Anggap T 1 : P 1 P 1 dan T 2 : P 2 P 2 adalah transformasi linear yang diberikan oleh rumus T 1 (p(x)) = xp(x) dan T 2 (p(x)) = p (2x+4) Komposisi (T 2 T 1 ): P 1 P 2 diberikan oleh rumus: (T 2 T 1 )(p(x)) = (T 2 )(T 1 (p(x))) = T 2 (xp(x)) = (2x+4)p (2x+4)

29 8.2 Kernel And Range

30 Definisi ker(t ): the kernel of T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka himpunan vektor pada V yang dipetakan T ke 0 disebut kernel dari T R (T ): the range of T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear maka himpunan semua vektor pada W yang merupakan bayangan dibawah T yang paling tidak merupakan satu vektor pada V disebut daerah hasil dari T dinyatakan R(T).

31 Kernel and Range of a Matrix Transformation Jika T A :R n R m adalah perkalian matriks A, m n, maka the kernel of T A nullspace of A the range of T A column space of A

32 Kernel and Range of the Zero Transformation Anggap T:V W adalah transformasi nol. Karena T memetakan setiap vektor pada V ke 0 ker(t ) = V. Apabila 0 adalah satu-satunya bayangan di bawah T dari vektor-vektor pada V, R (T ) = {0}.

33 Kernel and Range of the Identity Operator Jika I:V V adalah operator identitas. Dimana I (v) = v untuk semua vektor pada V, setiap vektor pada V adalah bayangan dari suatu vektor, yaitu vektor itu sendiri, R(I ) = V. Karena satu-satunya vektor yang dipetakan I ke 0 adalah 0, ker(i ) = {0}.

34 Theorem Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka (a) The kernel of T is a subspace of V. (b) The range of T is a subspace of W. Proof (a). Let v 1 and v 2 be vectors in ker(t ), and let k be any scalar. Then T (v 1 + v 2 ) = T (v 1 ) + T (v 2 ) = 0+0 = 0 so that v 1 + v 2 is in ker(t ). Also, T (k v 1 ) = kt (v 1 ) = k 0 = 0 so that k v 1 is in ker(t ). Proof (b). Let w 1 and w 2 be vectors in the range of T, and let k be any scalar. There are vectors a 1 and a 2 in V such that T (a 1 ) = w 1 and T(a 2 ) = w 2. Let a = a 1 + a 2 and b = k a 1. Then T (a) = T (a 1 + a 2 ) = T (a 1 ) + T (a 2 ) = w 1 + w 2 and T (b) = T (k a 1 ) = kt (a 1 ) = k w 1

35 Peringkat dan Kekosongan Transformasi Linear rank (T): peringkat T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(t). nullity (T): the nullity of T Dimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T).

36 Theorem Jika A adalah suatu matriks mxn dan T A :R n R m adalah perkalian dengan A, maka nullity (T A ) = nullity (A ) rank (T A ) = rank (A )

37 Teorema Dimensi untuk Transformasi Linear Theorem Jika T:V W adalah suatu transformasi linear dari suatu ruang vektor V berdimensi n ke suatu ruang vektor W, maka rank (T ) + nullity (T ) = n Transformasi linear peringkat ditambah kekosongan sama dengan dimensi daerah asal.

38 Contoh Jika T A :R 6 R 4 dikalikan oleh A= Cari peringkat dan kekosongan T A

39 Cari peringkat dan kekosongan dari matriks A sbb: Bentuk baris-eselon tereduksi A: Ada 2 baris tak-nol atau ada dua utama 1, maka; Ruang baris dan ruang kolom berdimensi 2, sehingga rank(a) = 2

40 Untuk mencari kekosongan dari A, cari dimensi ruang penyelesaian dari sistem liner homogen Ax = 0 Ruang Null Empat vektor membentuk suatu basis untuk ruang penyelesaian, sehingga; kekosongan(a) = 4

41 rank(a) = 2 rank(t A ) =2 kekosongan(a) = 4 kekosongan (T A ) = 4

42 rank (T): peringkat T Jika T:V W adalah suatu transformasi linear, maka dimensi daerah hasil dari T disebut peringkat dari T rank(t). nullity (T): the nullity of T Dimensi kernel disebut kekosongan dari T nullity (T). Jika A adakah suatu matriks mxn dan T A :R n R m adalah perkalian dengan A, maka nullity (T A ) = nullity (A ) Kernel T A rank (T A ) = rank (A ) rank T A