Hendra Gunawan. 28 Maret 2014

Transkripsi

1 MA101 MATEMATIKA A Hendra Gunawan Semeser II, 013/014 8 Mare 014

2 Kuliah ang Lalu 1.1 Fungsi dua aau lebih peubah 1. Turunan Parsial 1.3 Limi dan Kekoninuan 1.4 Turunan ungsi dua peubah 1.5 Turunan berarah dan gradien 1.6 Auran Ranai 1.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag I 1.8 Maksimum dan minimum 1.9 Meode pengali Lagrange 3/8/014 c Hendra Gunawan

3 Kuliah Hari Ini 1.1 Fungsi dua aau lebih peubah 1. Turunan Parsial 1.3 Limi dan Kekoninuan 1.4 Turunan ungsi dua peubah 1.5 Turunan berarah dan gradien 1.6 Auran Ranai 1.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II 1.8 Maksimum dan minimum 1.9 Meode pengali Lagrange 3/8/014 c Hendra Gunawan 3

4 MA101 MATEMATIKA A 1.5 TURUNAN BERARAH Menenukan urunan berarah dari suau ungsidi suau iikdalam dl arah erenu 3/8/014 c Hendra Gunawan 4

5 Laju Perubahan dalam Arah Sembarang Misalkan =,. Turunan parsial dan mengukur laju perubahan nilai dalam arah sejajardengan sumbu dan sumbu. Bagaimana bila kia bergerak dalam arah lainna? P 3/8/014 c Hendra Gunawan 5

6 Review: Deinisi Turunan Parsial Misalkan p =,, i = 1,0, dan j = 0,1. Maka kedua urunan parsial dari =, di p dapa dideinisikan ulang sebagai p p p hi p lim. h0 h p hj p lim. h 0 h 3/8/014 c Hendra Gunawan 6

7 Deinisi Turunan Berarah Dengan mengganikan i aau j dengan vekor sauan u = u 1,u sembarang, maka kia dapa mendeinisikan urunan berarah dari =, di p =, sebagai p hu p D p lim. u h 0 h Jadi, Di p p dan D p p. j 3/8/014 c Hendra Gunawan 7

8 Hubungan dengan Gradien Jika mempunai urunan aau linear secara lokal di p, maka mempunai urunan berarah di p dalam arah vekor u = u 1,u sembarang, dan D p u p u p u. u 1 p Faka ini dapa dibukikan sebagai beriku: 3/8/014 c Hendra Gunawan 8

9 Buki Karena mempunai urunan di p, maka p hu p p hu hu hu, dengan lim hu 0. Bagi kedua ruas dgn h, h0 p hu p p u hu u. h Hiung limina unuk h 0, kia peroleh D u p p u. 3/8/014 c Hendra Gunawan 9

10 Conoh, Turunan parsial dari di 1, adalah D i 1, 1, ; D j 1, 1, Turunan berarah dari di 1, dalam arah vekor u = 0.6,0.8 adalah 4. D u 1,,4 0.6, ang ernaa lbhb lebih besar daripadad D j 1,. 3/8/014 c Hendra Gunawan 10

11 Laju Perubahan Maksimum Misal θ adalah sudu anara u dan D u p. Maka p u p u p cos. Jadi D u p akan bernilai maksimum bila θ = 0 dan minimum bila θ = π. 0 p p D u. D u p p. 3/8/014 c Hendra Gunawan 11

12 Conoh Tenukan dalam arah vekor manakah urunan berarah dari di 1, mencapai, a nilai maksimum; b nilai minimum. Tenukan laju perubahan maksimum dan minimumna. 3/8/014 c Hendra Gunawan 1

13 Kurva Keinggian dan Gradien Pada kurva keinggian, nilai konsan. p Jadi, jika kia bergerak dalam arah vekor singgung u pada kurva sb, maka laju u perubahan keinggianna akan sama dengan nol: D u p u p 0. Jadi vekor gradien di p egak lurus pada kurva keinggian ang melalui p. 3/8/014 c Hendra Gunawan 13

14 Conoh, Misal. Maka urunan berarah dari di 1, dalam arah vekor u = 1,1 sama dengan nol: 5 1 D u p,1, Ini erjadi karena vekor u merupakan vekor singgung pada kurva keinggian di 1,. 3/8/014 c Hendra Gunawan 14

15 Soal 1 Dikeahui, = 1 unuk, dengan 0 < <, dan, = 0 unuk, lainna. Bukikan bahwa mempunai urunan berarah di 0,0 0 dalam arah sembarang, eapi idak mem punai urunan bahkan idak koninu di 0,0. 0 3/8/014 c Hendra Gunawan 15

16 Soal Dikeahui, Gambarlah pea konur dan medan gradienna ang menggambarkan vekor vekor gradien di sejumlah iik pd sisem koordina g sama.. 3/8/014 c Hendra Gunawan 16

17 MA101 MATEMATIKA A 1.6 ATURAN RANTAI MenggunakanAuranRanaiunukme nenukan urunan ungsikomposisi i anara ungsi dua peubah dengan ungsi vekor Menenukan urunan dariungsi sau peubah ang diberikan secara implisi 3/8/014 c Hendra Gunawan 17

18 Auran Ranai, Versi Perama Jika = dan = mempunai urunan di dan =, mempunai urunan di,, maka =, mempunai urunan di dengan d d d. d d d 3/8/014 c Hendra Gunawan 18

19 Conoh Misalkan = 3 dengan = + 1 dan = 1. Maka d d d 4 4 d d d 1 1 d d /8/014 c Hendra Gunawan 19

20 Soal Dikeahui volume abung V = πr h. Misalkan pada saa r = 10 cm dan h = 0 cm, abung sb mengembang dengan jari jarina jarina berambah 1 cm per jam dan inggina berambah 0.5 cm per jam. Berapakah laju perambahan volumena? 3/8/014 c Hendra Gunawan 0

21 Auran Ranai, Versi Kedua Auran Ranai, Versi Kedua Jika = s, dan = s, mempunai urunan,, p parsial di s, dan =, mempunai urunan di s,,s,, maka = s,,s,mem,,,,,,, punai urunan di s, dengan. s s s. 3/8/014 c Hendra Gunawan 1

22 Conoh Conoh Misalkan = dengan = s + dan = 1 s Misalkan = dengan = s + dan = 1 s. Maka 1 s s s. 1 s s s 1 s 3/8/014 c Hendra Gunawan. 1 s s s s

23 Turunan Fungsi Implisi Lagi Misalkan F, = 0 mendeinisikan secara implisi sebagai ungsi dari. Maka, dengan menurunkan erhadap, kia peroleh: Jadi, F d d d F d d d F /. F / 0. 3/8/014 c Hendra Gunawan 3

24 Turunan Fungsi Implisi Baru Misalkan F,, = 0 mendeinisikan secara implisi sebagai ungsi dari dan. Maka, dgn menurunkan secara parsial erhadap dan, kia peroleh: F /. F / F F /. F / 3/8/014 c Hendra Gunawan 4

25 Conoh/Laihan 1. Dikeahui = 0. Tenukan d/d.. Dikeahui i = 0. Tenukan dan. 3/8/014 c Hendra Gunawan 5