Fakultas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universitas Brawijaya

Transkripsi

1 Fakulas Teknik Jurusan Teknik Sipil Universias Brawijaa

2 Luas Penampang a. Bidang erenuk ak erauran Luas penampang didefinisikan seagai inegral dari luas elemen diferensial dengan A : Luas penampang secara keseluruhan (mm) : Luas elemen diferensial = d. D d : Lear elemen d : Tinggi elemen

3 Eample:. Tenukan luas daerah B diawah kurva : = + dianara = - dan =

4 Answer : Luas A B - d ,

5 .Tenukan luas idang ang erenuk semisegmenparaola ang mempunai persamaan f h - dan diaasi oleh sumu ang mempunai nilai anara

6 h h h h h h h d h d A d h d A

7 . Penampang idang mempunai epi ak erauran dan idak erdefinisi secara sisemais sederhana Luas penampang dapa dienukan dengan memagi idang menjadi elemen-elemen erhingga ang kecil-kecil, kemudian menjumlahkanna. A Dengan : n = Jumlah elemen ang erenuk A i = Luas elemen ke i (in aau mm ) i n A i

8 c. Penampang Bidang Secara Umum

9 Momen Sais Momen sais dari suau luasan erhadap sumu dan didefinisikan seagai inegral dari hasil kali luas seiap elemendiferensial dengan jarak iik era luasan elemen erseu erhadap suau sumu ang diinjau Terhadap sumu : M s. (in aau mm ) Terhadap sumu : M s. (in aau mm )

10 Tiik Pusa Bera Benda Tiik pusa era suau penampang dapa dinaakan seagai iik angkap resulane gaa dalam arah horizonal dan verikal aau suau iik dimana semua era erpusa pada iik erseu. Koordina dan dari pusa era sama dengan momen sais diagi dengan luas penampang Dimana: m, m, m = massa pias,, = jarak massa erhadap iik pusa O pada sumu,, = jarak massa erhadap iik pusa O pada sumu dan = jarak iik era enda erhadap sumu dan M = Σm M M M

11 Prinsip Besaran Momen m m m m... m m m M Dengan cara ang sama: m M

12 Tiik Bera Bidang / Penampang a. A a. A Dimana: a, a, a = luas penampang pias,, = Jarak penampang erhadap sumu,, = Jarak penampang erhadap sumu A = Σa = a + a + a +

13 Conoh: Tenukan iikera penampang eriku: Y X Penampang ABCH: a = 0 = 0 cm = 5 cm = 5 / =,5 cm Penampang DEFG: a = (5 ) = 6 cm = 5 cm = ½ (5 ) = 6 cm a a. 0, , A 0 6 A 0 6

14 . Tampang L Momen Sais erhadap Bagian Luas (50)=00 000=00 007,5=50 -(05)=-50-50,5= =-500 Jumlah o o M A M A s s a. A a. A ,5

15 Soal: Tenukan iikera penampang eriku:

16 MOMEN NERSA BDANG () r r a r a a Maka momen inersia erhadap sumu : a a. r. r a. r a. r Jika luas idang ang diarsir: a = a = a = Jarak erhadap sumu : r = r = r = Maka momen inersia erhadap sumu :

17 Eample : nersia segiempa erhadap sumu melalui iik era d d

18 d d d.d d d d d d d d d d d d Momen inersia segiempa erhadap sumu melalui iik era

19 Momen inersia pada penampang erluang Momen inersia segiempa ABCD erhadap sumu : = / d Momen inersia segiempa EFGH erhadap sumu : = / d Momen inersia segiempa erluang: = (ABCD) - (EFGH) = / d - / d Dengan cara ang sama, Momen inersia segiempa erluang erhadap sumu : = (ABCD) - (EFGH) = / d - / d

20 Momen nersia Penampang Lingkaran = π. r. dr π. r = keliling seuah cincin r = jari-jari cincin dr = lear cincin r = +

21 ) ( R R R r r dr r dr r r r p R R R R p R R R R p

22 Momen nersia Pada Sisem Koordina Translasi ' ' a a a ' ams a. A '... a & = koordina pusa era O erhadap sumu sumu // sumu sumu // sumu Bila: = + = a + ' Ms. A koordina X, Y eriik angkap pada iik era penampang, maka Ms dan Ms = 0 ' ' a.a.a

23 Momen inersia segiiga erhadap sumu (hd dasar penampang). ' '. ' '. '. '.. ' ' ' ' a a d a d a jarak Luas d a d a Luas a a a a (hd iik era) a a a jarak Luas

24 Tenukan esarna momen inersia unuk perhiungan egangan lenur dari penampang pada gamar di awah.

25 Berhuung momen inersia ang diinginkan akan dipergunakan dalam perhiungan lenuran, maka momen inersia ini haruslah diperhiungkan erhadap sumu ang melalui iikera penampang Menenukan iik era penampang Keerangan Luas (A) (mm ) Jarak iik era hd. alas ( (mm)) A (mm ) Luas Toal 0 60 = = 7000 Luas Rongga dalam -(0 0) = = -000 A = 800 A.. = 5000

26 A. A , mm dari dasar Momen inersia erhadap sumu unuk luas penampang luar o.. h mm A , 0,69.0 mm 0 A. 7,69.0,50.0 mm 0,69.0 mm

27 unuk rongga dalam o A h A. 7,9.0 8, mm 0. 0,50.0,69.0,50.50 mm,69.0 mm mm unuk penampang erluang 7, ,50.0 mm 7,9.0

28 MOMEN NERSA POLAR : Dari gamar erliha ahwa r = + Sehingga rumus momen inersia polar dapa juga diulis s : p r p = +

29 Huungan Momen nersia Polar dan Momen nersia erhadap sumu dan c c A a A Berhuung : p maka : p c c A a A c c A a Momen inersia polar nilaina makin esar apaila iik ang diinjau erleak makin jauh dari pusa era idang.

30 Momen nersia Terhadap Dua Sumu (Silang) adalah produk inersia erhadap pusa era idang ang diinjau. Produk inersia dapa eranda posiif, negaif, aau ernilai 0 erganung pada leak sumu erhadap penampang erseu. A Sehingga, unuk koordina ranslasi: ' ' a.. A Produk inersia ernilai o, apaila salah sau sumuna merupakan sumu simeris penampang

31 Jari-jari nersia (Radius Girasi) Jari-jari inersia erhadap sumu : r A (cm) Jari-jari inersia erhadap sumu : r A (cm) dan eruru-uru sama dengan momen inersia erhadap sumu dan sumu, dan A sama dengan luas idang.

32 Suau penampang pada gamar. Tenukan :. Momen inersia erhadap sumu dan sumu dari penampang. (produk inersia)

33 Berhuung sumu adalah sumu simeris, maka =0. Sumu dan sumu adalah sumu uama. Penampang diagi aas 8 agian.

34 Tiik Bera Penampang Bagian Luas A (cm ) Jarak erhadap sumu Momen sais: A.Y Leak sumu = 50 7, = = = 75 65,5 = 5,5 5787,5 V 75 5,5 5787,5 V ½ (5) (5) =, /.5=5 5787,5 V, ,5 V ½ (0) (0) = 00 5+/(0)=,67 V 00,67 Toal 85 Toal 5759 A A ,8

35 , ,86 0

36 sumu dan sumu memagi penampang sama esar, sehingga sumu dan sumu diseu sumu simeri. Jika suau penampang mempunai sumu simeri, maka sumu erseu dan sumu lainna ang egak lurus sumu erseu diseu sumu uama. Produk inersia suau penampang sama dengan nol jika sedikina sau sumu merupakan sumu simeri. Sehingga dapa disimpulkan ahwa produk inersia sama dengan nol dan sumu uama ( =0)

37 Perhaikan gamar!!! sumu X dan Y ukan sumu uama sehingga 0. Unuk menenukan sumu uama, X dan sumu Y diroasikan seesar ø sehingga menjadi sumu X dan Y idak semua sumu uama menjadi sumu simeri.

38 Menenukan momen inersia uama dan sera sudu puar ø Ordina iik era elemen A erhadap sumu X dan Y adalah ( ; )

39 AC '; AF ' AC AD CD AD AB sin ø AC cosø sin ø = cos ø sin ø AF OC OE EC OE OB cosø cos ø EC BD AB sin ø sin ø AF cos ø sin ø = cos ø sin ø

40 Sara sumu uama : ' ' o o cosø sin ø gø sin ø gø g ø cosø g ø

41 ' ' ' ' Sumu dan adalah sumu ang saling egak lurus dimana momen inersia dari sumu erseu mempunai harga maimum dan minimum. ma min o

42 Suau penampang seperi pada gamar Tenukan :. Leak iik era penampang erseu. ma & min. Leak sumu uama

43 Menenukan iik era penampang

44

45 0 0 min ma,, 86,9 87,7 67, 7, 6 7, 50, 6 7, 67, 87,7 86,9 87,7 86,9 ø ø arcg arcg ø cm cm

46