BAB III PENENTUAN HARGA PREMI, FUNGSI PERMINTAAN, DAN TITIK KESETIMBANGANNYA Pada penelitian ini, suatu portfolio memilii seumlah elas risio. Tiap elas terdiri dari n, =,, peserta dengan umlah besar, dan telah ditetapan, sehingga teorema limit pusat dapat diberlauan. Risio-risio yang terdapat dalam portfolio diasumsian terdistribusi secara bebas dan identi. Perusahaan asuransi menentuan harga premi untu seumlah risio berdasaran dua prinsip yaitu:. Peluang dari seluruh laim melebihi premi total yang diterima (peluang ebangrutan) ditetapan sebesar α, 0 < α <.. Harga premi aan diperhitungan nai pada saat periraan umlah laim nai. Selanutnya aan diuraian mengenai penentuan harga premi pada portfolio homogen dan portfolio heterogen. 3. Penentuan Harga Premi Secara Umum pada Portfolio Homogen dan Heterogen 3.. Penentuan Harga Premi pada Portfolio Homogen Misalan suatu portfolio yang terdiri dari seumlah n risio yaitu X,, X n, dan π i adalah harga premi untu risio e-i. Penentuan harga premi menggunaan prinsip pertama yaitu, peluang ebangrutan urang atau sama dengan α, 0 < α <, adalah n n P π i X i α. (3.) i= i= Portfolio homogen memilii seumlah n risio X i, i =,, n yang bebas stoasti identi dengan rataan μ X dan ragam σ X, dan harga premi adalah π.
6 Misalan n S = X i, μ s = E[S] = nμ X, dan σ S = Var(S) = nσ X, i= di mana S adalah risio total, μ s dan σ S berturut-turut adalah rataan dan ragam dari risio total. Berdasaran parameter tersebut, maa persamaan (3.) menadi: P(S nπ) α, sehingga harga premi adalah π = μ X + q α σ X n (3.) dimana q α adalah α persentil dari sebaran normal bau. Buti: Menggunaan peluang ebangrutan masimum sebesar α, maa persamaan (3.) menadi P(S nπ) = α P(S nπ) = α P(S nπ) = α Menggunaan teorema limit pusat, persamaan tersebut menadi S E(S) P Var(S) nπ E(S) = α Var(S) nπ E(S) Var(S) = q α nπ E(S) = q α Var(S) nπ = E(S) + q α n σ X
7 π = μ X + q α σ X n 3.. Penentuan Harga Premi pada Portfolio Heterogen Portfolio yang terdiri dari elas risio dinamaan portfolio heterogen. Asumsi-asumsi beriut berlau untu portfolio ini yaitu: (a) Risio- risio di dalam portfolio bersifat bebas stoasti. (b) Pada elas e- yang terdiri atas seumlah n risio bebas stoasti identi yaitu X,,, X,n menyebar sebagai X, dengan rataan μ dan ragam σ, =,, dan n = n. (c) Banyanya n, =,, cuup besar sehingga dapat diberlauan teorema n limit pusat. Misalan S = X i=,i dan S = S adalah risio total portfolio, nilai rataan μ dan ragam σ adalah μ = E[S] = n μ dan σ = var[s] = n σ. Untu portfolio heterogen, penentuan harga premi menggunaan dua metode perhitungan yaitu:. Metode individual. Besar premi dihitung di tiap elas risio e- dengan peluang α, menggunaan persamaan (3.), yaitu: π = μ + q α σ n. Pendeatan ini hanya berlau untu elas e-, =,, dan tida memperhitungan aibatnya untu eseluruhan besar populasi portfolio.. Metode global. Menghitung harga premi untu seluruh elas risio berdasaran prinsip pertama yaitu peluang ebangrutan sebesar α :
8 P n π S α, dan dengan teorema limit pusat, harga premi untu seluruh elas adalah: n π = μ + q α σ = n μ + q α n σ. (3.3) Persamaan (3.3) dapat ditulisan dalam formula lain yaitu: π = μ + q α T (3.4) dimana π, =,, adalah harga premi untu elas e-, dan T, =,, T > 0 dinyataan n T = n σ = σ. (3.5) Beberapa alternatif untu menentuan besar T, =,, yaitu:. Aloasi seragam Standar deviasi σ dari persamaan (3.6) dibagi secara seragam untu seluruh peserta n, yaitu T = = T = σ. Harga premi untu elas e- adalah n σ π = μ + q α n.. Aloasi semi seragam Standar deviasi σ dibagi secara seragam untu seluruh elas, yaitu T = σ. n Harga premi untu elas e- adalah π = μ + q α σ n.
9 3. Aloasi proporsional Ragam tiap elas dibagi secara proporsional oleh ragam eseluruhan yaitu σ = n σ, di mana rasionya adalah = n σ sehingga σ Harga premi untu elas e- adalah π = μ + q α σ n. T = σ n. Selanutnya dengan berdasar pada pendeatan global, penentuan harga premi di tiap elas risio diperoleh dari solusi pendeatan dua masalah pengoptimuman (aloasi optimum). 3. Penentuan Harga Premi Berdasaran Pendeatan Dua Masalah Pengoptimuman ondisi yaitu: Penentuan harga premi dengan aloasi optimum menggunaan dua. Menggunaan prinsip pertama yaitu peluang ebangrutan ditetapan sebesar α, 0 < α <.. Menggunaan prinsip edua yaitu, premi waar yang aan ditetapan dihitung dengan meminimisasi fungsi ara (distance function). Fungsi ara adalah fungsi berdasaran uadrat selisih antara risio total, diurangi premi total yang terboboti. 3.. Pendeatan Pertama Menentuan vetor premi π = (π,, π n ) dengan cara, meminimuman penumlahan nilai harapan dari uadrat selisih antara risio total dengan premi total yang terboboti, dengan endala peluang dari seluruh laim melebihi premi total (peluang ebangrutan) di bawah nilai α, yaitu: min E S π n π
0 dengan endala, P n π S α,, r adalah rasio dimana = n σ σ. Solusi untu pendeatan pertama adalah: π = μ + q α rn σ, (3.6) dimana r = dan q α adalah persentil α dari sebaran normal bau. Untu membutian pendeatan pertama, digunaan dua Lema mengenai matris definit positif beriut. Lema Misalan A adalah matris definit positif dan misalan P adalah matris tasingular, dengan uuran m m. Misalan P T adalah matris transpos dari matris P, maa B = P T AP adalah matris definit positif. Buti: lihat pada lampiran 3a. Lema Misalan a,, a m adalah bilangan positif, dan misalan matris A m adalah: + a + a A m = + a m maa matris A m adalah matris definit positif. Buti: lihat pada lampiran 3b.. Kendala dari pendeatan pertama yaitu P n π S α adalah euivalen dengan persamaan (3.3) yaitu pendeatan pertama menadi: n π = μ + q α σ, sehingga
min E S π n π dengan endala, n π = μ + q α σ. Untu =,, n σ = Var S = Var S n π = E S n π E S n π = E S n π n μ n π dan didapatan E S n π = n σ + n μ n π. (3.7) Substitusi Persamaan (3.7) edalam fungsi tuuan dan diperoleh min π E S n π = = min π n σ + n μ n π n σ = min π n σ + n μ n π. Karena adalah suatu onstanta terhadap π, sehingga bila dieliminasi tida mengubah solusi optimal.
Misalan W (π) = n μ n π,, maa dengan menyubstitusi W (π) pada fungsi tuuan dan endala dari pendeatan pertama diperoleh dengan endala, min π W (π), W (π) = q α σ. Kendala tersebut dapat ditulis menadi: Misalan G(π) = diperoleh W (π) = W (π) + q α σ. (3.8) = W (π), substitusian persamaan (3.8) e dalam G(π) G(π) = W (π) + q α σ = Selanutnya, pendeatan pertama menadi: min{g(π)}. π + W (π). (3.9) Karena fungsi G(π) adalah suatu fungsi dengan peubah π, maa turunan parsial pertama dari persamaan (3.9) adalah = G π = n W (π) = + q α σ n W (π) =,,. (3.0) Untu mendapatan nilai optimal, maa melalui ui turunan pertama menghasilan G π =0
3 n W (π) = + q α σ n W (π) = 0 W (π) = + W (π) = q ασ. Jia W = W (π) maa untu =,, menghasilan suatu sistem persamaan linear W (π),, W (π) yaitu: r + r W + r W = + W r 3 + W 3 + W r + W = 3 = = q ασ = q ασ = q ασ dalam bentu peralian matris, sistem persamaan linear tersebut menadi + r + r 3 + r q ασ r W q ασ W 3 q ασ r = q ασ. r W q ασ q ασ
4 Baris pertamanya merupaan persamaan + r W + W =3 = q ασ. (3.) Selanutnya dengan mengurangan tiap baris dengan baris beriutnya dan seterusnya, ditulisan dalam bentu matris gandeng (augmented matrix) dan diperoleh + q ασ r 0 0 0 r r 3 0 0. 0 0 0 0 0 r r Untu baris edua sampai baris e- berlau r W = W = 3,,. (3.) Substitusian persamaan (3.) e persamaan (3.) menghasilan arena r =, maa W = r q α σ W = r q α σ r (3.3) substitusian persamaan (3.3) e persamaan (3.) menghasilan W = q α σ, = 3,, (3.4) r substitusian persamaan (3.3) dan (3.4) e dalam persamaan (3.8) menghasilan W = q α σ r. (3.5)
5 Ahirnya, dari persamaan (3.3), (3.4), (3.5) diperoleh W = q α σ, =,,. (3.6) r Karena W = W (π) dan W (π) = n μ n π maa diperoleh π = μ + q α σ rn, =,, dan vetor π = (π,, π ) adalah titi ritisnya. Selanutnya aan dibutian matris Hessian dari persamaan (3.9) pada π merupaan matris definit positif. Turunan parsial edua dari persamaan (3.9) terhadap π adalah G π = n + n = n ( + r i ), =,, G π i π = n in i <. Matris Hessiannya: H = n ( + r ) r n n 3 n n 4 n 3 n n 3 ( + r 3 ) n 3 n 4 r 3 n n n n 3 n n n n n 3 n r n ( + r ) r Karena matris definit positif tida berubah ia matris tersebut dialian dengan bilangan salar positif, sehingga matris Hessian ia dialian dengan / menadi
6 n ( + r ) n r n 3 n n 4 n n n 3 ( + r 3 ) n 3 n n r 3 n 4 n 3 n 3 H = n n n ( + r ) n n n n 3 n n H adalah sebuah matris simetris yang memenuhi esamaan: r n 0 H = 0 n + r + r r n 0. 0 n Dengan menggunaan Lema dan, H adalah matris definit positif begitu uga dengan matris Hessian H, sehingga π adalah solusi optimum untu pendeatan pertama 3.. Pendeatan edua Penentuan vetor premi π = (π,, π n ), dengan cara meminimuman peluang ebangrutan dan sebagai endala adalah nilai harapan dari n π yang terboboti di bawah suatu nilai yang telah ditentuan, yaitu: S dengan endala: min π P n π < S, n E n μ n π B
7 Solusi untu pendeatan edua adalah: π = μ + n A r =,, (3.7) n n dimana r = i=, S = X,i, S = S, dengan menggunaan i= asumsi aloasi proporsional ditentuan nilai B = n σ + n. π μ A = n dan π μ Untu membutian pendeatan edua, dengan asumsi n umlah besar sehingga berlau teorema limit pusat, dari peluang ebangrutan diperoleh S μ P S > n π = P σ > n π n μ. (3.8) σ Pada persamaan (3.8), meminimalan S μ n π μ σ onstanta terhadap π ). σ adalah sama dengan memasimuman atau memasimuman n π μ (arena σ > 0 adalah Dengan menggunaan asumsi aloasi proporsional ditentuan nilai A dan n σ B yaitu B dan A = B n σ, dimana A = sehingga endala pada pendeatan edua adalah B = μ, selanutnya pendeatan edua menadi n σ + n π μ n π dengan endala: mas π n π μ n σ + n π μ = B
8 Misalan X = n π μ, dan arena A = B X dan A, diperoleh n σ, dengan menyubstitusi dengan endala: mas π n X n X A = 0. Untu menemuan solusi pengoptimuman tersebut dengan menggunaan ondisi arush-uhn-tucer dengan fungsi lagrange turunan parsialnya adalah dan G(X, λ) X dari persamaan (3.9) diperoleh G(X, λ) = n X + λ n X A, = n + λn X = 0 =,, (3.9) G(X, λ) = n X A = 0 (3.0) λ X = =,,. (3.) λn Karena X 0 dan λ bernilai negatif, dengan menyubstitusi persamaan (3.) edalam persamaan (3.0) diperoleh
9 λn = A r r 4An = λ, (3.) arena λ < 0, menyubstitusi nilai λ dari persamaan (3.) e persamaan (3.) menghasilan X = λn = n A r =,,. (3.3) Selanutnya aan dinyataan bahwa titi X = (X,, X ) adalah titi optimum, misalan ε,, ε R adalah buah bilangan salar. Titi X adalah solusi dari pendeatan edua ia dan hanya ia: y < X, untu setiap titi y = (y,, y ) R dengan y 0, =,, berlau y A = 0. (3.4) Misalan nilai y = X + ε =,,, maa persamaan (3.4) menadi: X + ε = A. (3.5) Menyubstitusi nilai X dari persamaan (3.3) e persamaan (3.5) menghasilan r A r + ε = A A r + A r ε + ε = A
30 A r ε + ε = 0 ε = r A ε < 0 sehingga, y = X + ε = X + ε < X. Karena X adalah titi optimum, menurut persamaan (3.3) dan dari asumsi X = n π μ, maa premi optimum untu elas e- adalah: π = μ + n A r =,, 3.3 Fungsi Harga dan Fungsi Permintaan Solusi untu dua pendeatan tersebut yaitu persamaan (3.7) dan (3.6), dapat ditulisan dalam formula lain. Misalan diberian vetor n = (n,, n ) yang menyataan banyanya peserta asuransi dalam tiap elas risio =,,, maa untu elas e- harga premi π yaitu P (n) adalah: π = P (n) = μ + n a (3.6) dimana untu pendeatan pertama nilai a adalah q ασ, dan untu pendeatan edua nilai a adalah A r. Sehingga P(n) = p (n),, p (n) disebut fungsi harga (the pricing function). Misalan harga premi untu tiap elas risio =,, telah ditetapan yaitu vetor premi π = (π,, π ), aan berpotensi untu menghasilan vetor lainnya yaitu n = D(π) = D (π),, D (π), dimana D (π) adalah banyanya potensi peserta asuransi pada elas e- dengan vetor premi π. Diataan bahwa D(π) adalah fungsi permintaan, dan diasumsian bila D (π) turun etia π nai. r
3 3.4 Esistensi dan Karateristi dari Titi Kesetimbangan 3.4. Esistensi Titi Kesetimbangan Misalan dalam pasar asuransi, pada saat seumlah perusahaan asuransi menentuan harga premi bagi para pemegang polis (policyholders) untu seumlah produ yang diluncuran, pasar bereasi dengan pembaruan (updating) umlah pemegang polis. Hal ini menyebaban pembaruan harga premi, dan seterusnya. Pada penentuan harga premi pada portfolio heterogen untu seumlah =,, elas risio, misalan umlah peserta pada elas tersebut adalah n 0, dimana n 0 = (n 0,, n 0 ). Harga premi ditentuan dengan menggunaan fungsi harga (persamaan 3.), sehingga didapatan vetor harga preminya untu seluruh elas risio yaitu π = P (n 0 ),, P (n 0 ). Pembaruan vetor premi ini, menyebaban perubahan umlah pemegang polis pada tiap elas arena adanya fungsi permintaan yaitu n = D(π ) dan seterusnya. Misalan sampai pada langah e- harga premi ditetapan π = P n,, P n lalu banyanya peserta berubah menadi n = D(π ), vetor harga premi menadi π + = P n,, P n dan seterusnya. Vetor π diataan pada titi esetimbangan pada saat π = P D(π ), dimana n = D(π ) yaitu penentuan banyanya peserta asuransi di tiap elas sebagai fungsi dari π. Penentuan eberadaan titi esetimbangan menggunaan teorema: Teorema 3. Teorema Titi Tetap (Teorema Brouwer) Misalan R n adalah gugus ta osong, ompa, dan onves. Fungsi f: ontinu, maa terdapat titi tetap (fixed point) yaitu x o, x o = f(x o ). Buti: Untu membutian teorema titi tetap (teorema Brouwer), digunaan dua Lema yaitu:
3 Lema 3 Misalan (X, d) dan (Y, ρ) adalah ruang metri. Fungsi f: X Y diataan ontinu pada titi x o X ia dan hanya ia lim n f(x n ) = f(x o ) untu setiap barisan {x n } di X dengan lim n x n = x o. Buti pada lampiran 3c. Lema 4 (Heine-Borel) Misalan gugus K R n, K diataan ompa ia dan hanya ia tertutup dan terbatas. Buti pada lampiran 3d. Misalan x o sebarang dan didefinisian x = f(x o ), x = f(x ),, x n+ = f(x n ) Dietahui ompa, maa menurut Lema 4 tentang eompaan tertutup. Misalan {x n } barisan di, x n x o, x o S dan ε > 0 sebarang. Menurut Lema 3 terdapat δ sedemiian rupa sehingga d f(x n ), f(x o ) < ε, bila d(x n, x o ) < δ, untu n N asli, atau lim f(x n) = f(x o ) n Di piha lain berdasaran onstrusi di atas, diperoleh lim f(x n) = lim x n+ = x o n n dari ( ) dan ( ) diperoleh x o = f(x o ). ( ) ( ) Pada perhitungan penentuan besar premi (π ) dan umlah peserta (n ) di tiap elas risio, menggunaan asumsi batasan intervalnya yaitu: (a) π μ, M, =,,, di mana 0 < N min max D (π) N (b) n N min, N max, =,,, di mana μ P (n) M. Dengan menggunaan teorema (3.) dan asumsi batasan interval, maa fungsi harga pada persamaan (3.4) menadi P (n) = (P (n) M,, P (n) M ). (3.7)
33 Teorema 3. Misalan fungsi permintaan adalah fungsi ontinu, dengan menggunaan asumsi batasan interval diperoleh Q(π) = P D(π) = P D (π),, D (π), maa pada titi esetimbangan terdapat vetor premi π = (π,, π ) yang memenuhi: Q(π ) = Q(π,, π ) = π (3.8) Buti: Karena fungsi P (n) dan D(π) adalah fungsi ontinu, dengan menggunaan asumsi batasan interval yang mengaibatan bahwa Q adalah ontinu dari e, dimana = [μ, M ] [μ, M ], di mana hasilnya didapat berdasaran teorema titi tetap. Teorema 3. membutian esistensi titi esetimbangan. Ketunggalan dari titi esetimbangan tida dibutian, arena berenaan dengan masalah irisan antara dua fungsi peubah banya. Pada perhitungan secara numeri, dapat diperoleh beberapa titi esetimbangan. Untu beberapa asus yang menggunaan iterasi, proses tercapainya titi esetimbangan bergantung pada penetapan titi awalnya. 3.4. Karateristi dari Titi Kesetimbangan Fungsi harga pada persaman (3.4) di titi esetimbangan berdasaran teorema titi tetap menadi persamaan (3.5), sedangan fungsi permintaan pada titi esetimbangan menggunaan teorema beriut. Teorema 3.3 Suatu vetor π = (π,, π ) adalah titi tetap dari Q(π) ia dan hanya ia, untu =,, memenuhi: D (π ) = π a (3.9) μ Buti: Syarat perlu: asumsian bahwa π titi esetimbangan, sehingga: π = μ + D (π ) a,
34 oleh arena D (π ) = π μ a, syarat cuup: aan diperlihatan bahwa persamaan (3.7) mengaibatan persamaan (3.6), dengan menyubstitusiannya e dalam persamaan (3.4) diperoleh μ + D (π ) a = μ + a a π = π μ Jadi berdasaran asumsi, π adalah titi esetimbangan.