3.1 TEOREMA DASAR ARITMATIKA

Transkripsi

1 3. TEOREMA DASAR ARITMATIKA Definisi 3. Suatu bilangan bulat > disebut (bilangan) rima, jia embagi ositif bilangan tersebut hanya dan. Jia bilangan bulat lebih dari satu buan bilangan rima disebut (bilangan) omosit. Teorema 3. Jia bilangan rima dan ab, maa a atau b. Buti: Jia a, maa ernyataan di atas benar. Misalan a, arena rima (embagi dari hanya dan satu) maa gcd (,a) =. Karena ab dan gcd (,a) = menurut lemma Euclid disimulan b. Corollary. Jia rima dan a a a n, maa a untu suatu dengan n Buti: Aan dibutian melalui indusi matematia Untu n = benar arena untu rima dan a, maa a. Untu n = benar seerti telah dibutian ada teorema 3.. Misalan untu n > benar. Artinya jia membagi suatu hasil eralian dari fatorfator yang banyanya urang dari n, maa membagi aling sediit sebuah fator. Misalan a a a n, berdasaran teorema 3.. maa a a a n- atau a n. Jia a n ita selesai. Jia a a a n-, maa menurut emisalan maa a suatu dengan n- Jadi disimulan, jia rima dan a a a n, maa a untu suatu dengan n. Corollary. Jia, q, q,, q n semuanya rima dan q q,q n, maa = q untu suatu dengan n, Buti: Jia rima dan q q,q n, berdasaran corollary disimulan q untu suatu dengan n. Karena q rima, maa q hanya memilii embagi ositif dan q Jadi = atau = q. Karena > disimulan = q. Teorema 3. (Teorema Dasar Aritmatia) Setia bilangan bulat ositif n > daat dinyataan sebagai suatu eralian bilanganbilangan rima, dan reresentasi tersebut uni. Endang Mulyana 00

2 Buti: Bilangan bulat n > adalah rima atau omosit. Jia n rima tida ada hal yang harus dibutian lagi. Jia n omosit, maa ada bilangan bulat d n dengan < d < n. Menurut WOP ada bilangan bulat terecil diantara bilangan bulat d dan misalan. Maa haruslah bilangan rima. Karena jia buan bilangan rima, maa ada q dimana < q < dengan q dan n sehingga q n. Hal ini bertentangan dengan embagi n yang terecil yang besar. Dengan demiian daat ita tulis n = n dimana rima dan < n <n. Jia n rima, maa ita eroleh esresi n = n yang ita inginan. Jia n buan rima, dengan rosedur seerti di atas dieroleh bilangan rima yang edua yaitu yang memenuhi n = n, sehingga n = n dengan < n < n. Jia n rima maa tida erlu dilanjutan. Jia n buan rima, maa dieroleh bilangan rima yang etiga yaitu 3 dengan n = 3 m 3 dan n = 3 n 3 dimana <n 3 < n. Barisan turun n > n > n > > adalah barisan terhingga, oleh arena itu setelah sejumlah langah yang berhingga, n - adalah sebuah bilangan rima, sebut saja. Ini menyataan fatorisasi rima n =. Untu membutian eunian fatorisasi rima, misalan n daat diesresian sebagai eralian bilangan-bilangan rima dengan dua cara yaitu n = r = q q q s dengan r s dimana i dan q j semua bilangan rima dan dalam besaran yang nai daat ditulis r ; q q q s Karena n = q q q s, berdasaran corollary teorema 3. = q untu suatu ; dan q. Dengan enalaran yang sama, arena q n = r, berdasaran corollary teorema 3. q = untu suatu ; dan q. Dari q dan q disimulan = q, sehingga dieroleh 3 r = q q 3 q s Dengan mengulang rosedur yang sama seerti di atas dieroleh = q dan 3 4 r = q 3 q 4 q s. Andaian r < s dan roses di atas diterusan aan samai ada = q r+ q r+ q s. Hal ini tida mungin arena q j >, jadi haruslah r = s dan = q, = q,, r = q s. Artinya fatorisasi rima dari n adalah uni. Corollary Setia bilangan bulat n > daat ditulisan secara uni dalam bentu anoni yaitu n r r untu i =,, r, i bilangan bulat ositif dan i bilangan rima dengan < < < r. Buti: Endang Mulyana 00

3 n = r dengan r dengan demiian daat terjadi = sehingga n = 3 r dan seterusnya Teorema 3.3 Pythagoras Bilangan adalah irasional Buti: Andaian rasional, misal = a/b dengan a dan b bilangan bulat ositif dan gcd (a,b) =. Jia edua ruas diuadratan dieroleh a = b sehingga b a. Jia b >, berdasaran teorema dasar aritmatia dijamin ada bilangan rima sehingga b. Ini mengaibatan a, dan berdasaran teorema 3. disimulan a. Karena a dan b, maa gcd (a,b) > ontradisi dengan engandaian gcd (a, b) =. Jia b =, maa a = hal ini tida mungin ( tida ada bilangan bulat yang dialian dengan dirinya sendiri sama dengan ). Dengan demiian engandaian haruslah salah, dengan ata lain bilangan irasional. 3.. SARINGAN ERATOSTHENES Teorema 3.4 Euclid Banyanya bilangan rima adalah ta hingga. Buti: Andaian banyanya bilangan rima itu terhingga dan misalan =, = 3, 3 = 5 4 = 7, bilangan rima terahir (terbesar ) adalah n. Tinjau bilangan bulat ositif P = ( n )+. Karena P >, menurut teorema 3., maa P terbagi oleh beberaa bilangan rima. Tetai,,, n semuanya bilangan rima, sehingga haruslah sama dengan salah satu dari,,, n. Dari P dan n disimulan P ( n ) atau. Karena bilangan ositif haruslah =. Ini bertentangan dengan >. Jadi banyanya bilangan rima adalah ta hingga. Teorema 3.5 Jia n bilangan rima e-n, maa n n Buti: Untu n = benar, sebab Misalan untu n = > benar, artinya Aan ditunjuan bahwa untu n = + juga benar. Perhatian 0 Endang Mulyana 00

4 . ( ) Ingat identitas Dengan demiian ita eroleh Karena untu setia, maa dieroleh. ( ) Corollary Untu n, aling sediit terdaat n+ bilangan rima yang urang dari n Buti: Dari teorema 3.5 di atas ita mengetahui bahwa,,, n+ urang dari n Jia a > dan a bilangan omosit, maa daat ditulis a = bc dimana < b < a dan < c < a. Dengan mengasumsian b c, dieroleh b bc = a atau b a. Karena b >, menurut teorema 3. b memilii aling sediit sebuah fator rima, dimana b a. Selanjutnya arena b dan b a maa a. Dari sini disimulan bahwa jia a bilangan omosit aan selalu memilii sebuah fator rima yang memenuhi eroleh a. Tinjau a = 509, arena < 509 < 3, ita aan coba bilangan rima yang lebih ecil, yaitu,3,5,7,,3,7,9. Adaah yang membagi 509? Ternyata tida ada, dengan demiian daat disimulan 509 bilangan rima. Contoh 3. Salah satu teni untu menyataan suatu bilangan bulat dalam bentu anoni adalah sebagai beriut: Misalan a = 093, arena 45 < 093 < 46, ita cuu mencoba bilangan-bilangan rima,3,5,7,,3,7,9,3,9,3,37,4,43. Setelah dicoba ternyata 7 membagi 093 dan 093 = Endang Mulyana 00

5 Kemudian lauan hal yang sama untu bilangan 99. Karena 7 < 99 < 8 ada tujuh bilangan rima yang lebih ecil dari 8 yaitu:,3,5,7,,3,7. Setelah dicoba bilangan rima yang membagi 99 adalah 3 dan 99 = Karena 3 bilangan rima, maa 093 = Endang Mulyana 00