KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W

Transkripsi

1 J. Math. and Its Appl. ISSN: X Vol. 8, No. 2, November 2011, KAJIAN TEOREMA TITIK TETAP PEMETAAN KONTRAKTIF PADA RUANG METRIK CONE LENGKAP DENGAN JARAK-W Sunarsini. 1, Sadjidon 2 Jurusan Matematia, FMIPA ITS Surabaya 1 sunarsini@matematia.its.ac.id, 2 sadjidon@matematia.its.ac.id Abstra Ruang metri adalah himpunan ta osong yang dilengapi dengan fungsi jara. Jia range dari fungsi jara (himpunan bilangan real) diganti dengan ruang Banach real, maa diperoleh pengertian ruang metri cone. Pada paper ini diperenalan pengertian ruang metri cone dengan jara-w, yang merupaan hasil pengembangan dari ruang metri cone. Selanjutnya, diaji bahwa teorema titi tetap pemetaan ontratif pada ruang metri cone lengap masih tetap berlau pada ruang metri cone lengap dengan jara-w. Kataunci: Ruang metri, Ruang metri cone, Teorema titi tetap. 1. Pendahuluan Analisis fungsional merupaan salah satu cabang matematia analisis lasi. Metode analisis fungsional sangat besar peranannya dalam berbagai bidang matematia dan apliasinya. Dalam analisis fungsional dipelajari lebih umum tentang ruang dan fungsi yang terdefinisi padanya. Sebagai contoh, himpunan ta osong yang dilengapi dengan fungsi jara, dinamaan ruang metri, emudian ruang linear yang dilengapi dengan fungsi norm dinamaan ruang norm [1]. 43

2 44 Kajian Teorema Titi Tetap Pemetaan Kontratif Berbicara mengenai ruang metri, Long-Guang [2], memperumum ruang metri menjadi ruang metri cone, yaitu dengan mengganti range fungsi jara (himpunan bilangan real) menjadi ruang Banach real. Salah satu teorema yang terait dengan ruang metri dan menari untu diteliti adalah teorema titi tetap Banach atau teorema titi tetap pemetaan ontratif. Teorema tersebut menjadi sumber penting dari teorema esistensi dan etunggalan dalam berbagai cabang analisis. Apliasi dari teorema titi tetap inipun memegang peranan yang cuup besar, antara lain sistem persamaan linear, persamaan differensial biasa/parsial, persamaan integral dan lain-lain. Bertola dari itulah, maa Long-Guang [2] memperumum teorema titi tetap Banach pada ruang metri e dalam ruang metri cone. Pengembangan teorema titi tetap Banach pada ruang inipun banya diteliti lebih lanjut, salah satunya dilauan oleh Raja dan Vaezpour [3]. Dalam penelitiannya, Raja dan Vaezpour memperumum definisi pemetaan ontratif menjadi c-nonexpansive dan (c, λ)-uniformly locally contractive functions f-closure, c-isometric pada ruang metri cone lengap. Berbeda dengan Raja dan Vaezpour, penelitian Lazian dan Arabyani [4] terfous pada pengembangan ruang metri cone menjadi ruang metri cone dengan jara-w. Dengan analogi yang sama dari beberapa penelitian yang telah dilauan oleh [4][2], tujuan utama dari paper ini adalah menunjuan bahwa teorema titi tetap pemetaan ontratif pada ruang metri cone lengap masih tetap berlau pada ruang metri cone lengap dengan jara-w. 2. Ruang Metri Cone Dengan Jara-w Pada bagian ini dibahas tentang ruang metri cone dengan jara-w. Sebelumnya, didefinisian pengertian cone, urutan parsial, cone normal dan ruang metri cone. Beberapa contoh dan sifat-sifat yang terait diberian pula pada bagian ini. Definisi 2.1 [2] Diberian E ruang Banach real dan P E. P disebut cone jia dan hanya jia i. P tertutup, P Ø dan P {0} ii. a, b R, a, b 0, x, y P ax + by P iii. x P dan ( x) P x = 0 Beriutnya, jia P E cone, didefinisian urutan parsial terhadap P dengan x y jia hanya jia y x P. Untu x y diartian x y dan x y. Untu x y diartian y x intp (interior P) [2]. Definisi 2.2 [2] P disebut cone normal jia terdapat K > 0 sehingga x, y E dengan 0 x y beraibat x K y.

3 Sunarsini, Sadjidon 45 Untu selanjutnya, selalu diasumsian bahwa E ruang Banach real, P cone dalam E dengan int P dan adalah urutan parsial terhadap P. Misalan X. Fungsi d : X X E sehingga memenuhi i 0 d(x, y) untu semua x, y X dan d (x, y) = 0 jia hanya jia x = y ii d (x, y) = d(y, x) untu semua x, y X iii d (x, y) d (x, z) + d(y, z) untu semua x, y, z X disebut metri cone pada X dan (X, d) disebut ruang metri cone. Contoh : 1. Misalan E = R, P := {x E : x 0}, X = R dan d : X X E sehingga d (x, y) = x y, maa (X, d) ruang metri cone. 2. Misalan E = R 2, P := {(x, y) E : x, y 0}, X = R dan d : X X E sehingga d (x, y) = ( x y,α x y ) dengan α 0, maa (X, d) ruang metri cone. Definisi 2.3 [4]Misalan X ruang metri cone dengan metri d, maa fungsi p : X X E disebut jara-w pada X jia memenuhi: 1. 0 p(x, y) untu semua x, y X 2. p (x, y) p (x, z) + p(y, z) untu semua x, y, z X 3. p(x,.) E lower semi ontinu untu semua x X 4. untu semua 0 α, terdapat 0 β sehingga p(z, x) β dan p(z, y) β beraibat p(x, y) α dengan α, β E. Contoh : 1. Misalan (X, d) ruang metri, maa p = d merupaan jara-w pada X. 2. Misalan X ruang norm dengan norm Euclid, maa fungsi p : X X [0, ) yang didefinisian oleh p (x, y) = x + y untu semua x, y X merupaan jara-w pada X. Beriut ini didefinisian pengertian barisan onvergen, barisan Cauchy pada ruang metri cone dengan jara-w. Definisi 2.4 [4] Misalan (X, d) adalah ruang metri cone, p adalah jara-w pada X, x X dan {x n } barisan dalam X.

4 46 Kajian Teorema Titi Tetap Pemetaan Kontratif a. {x n } disebut barisan Cauchy-p jia untu setiap α E, 0 α, terdapat bilangan asli N sehingga untu semua m, n N, p (x n, x m ) α. b. Barisan {x n } dalam X disebut onvergen-p e x X jia untu setiap α E, 0 α, terdapat bilangan asli N sehingga untu semua n N, p (x, x n ) α. Karena p lower semi-ontinu, maa untu semua n N, p (x n, x) α. Dinotasian lim n x n = x atau x n x. c. (X, p) disebut ruang metri cone lengap dengan jara-w jia setiap barisan Cauchy-p dalam X onvergen-p. 3. Teorema Titi Tetap Pemetaan Kontratif Pada bagian ini dibutian bahwa teorema titi tetap pemetaan ontratif pada ruang metri cone lengap tetap berlau pada ruang metri cone lengap dengan jara-w. Sebelumnya, didefinisian pengertian titi tetap dan pemetaan ontratif pada ruang metri. Definisi 3.1 [1] Titi tetap dari pemetaan T : X X adalah x X yang dipetaan pada dirinya sendiri, artinya, T x = x. Sebagai contoh : pemetaan T : R R dengan T x = x 2 mempunyai dua titi tetap yaitu 0 dan 1, translasi tida mempunyai titi tetap, dan sebuah rotasi mempunyai satu titi tetap yaitu pusat dan rotasi. Definisi 3.2 [1] Misalan X = (X, d) ruang metri. Pemetaan T : X X disebut ontratif pada X jia terdapat bilangan real positif α < 1 sehingga untu semua x, y X berlau: d(t x, T y) αd(x, y). Teorema 3.3 [2] Misalan (X, p) ruang metri cone lengap dengan p adalah jara-w, P cone normal pada X. Jia T : X X memenuhi ondisi p(t x, T y) p(x, y)) untu semua x, y X, dengan (0, 1) suatu onstanta, maa T mempunyai titi tetap tunggal dalam X. Untu setiap x X barisan iterasi {T n (x)} onvergen e titi tetap tersebut. Buti Untu setiap x 0 X dan n 1 dibentu barisan iterasi T n (x 0 ) dengan x 1 = T x 0, x 2 = T x 1 = T (T x 0 ) = T 2 x 0,..., x n+1 = T x n = T n+1 x 0, maa diperoleh p(x n+1, x n ) = p(t x n, T x n 1 ) p(x n, x n 1 ) p(x n 1, x n 2 )... n p(x 1, x 0 )

5 Sunarsini, Sadjidon 47 Menurut Definisi 2.3, untu n > m diperoleh p(x n, x m ) p(x n, x n 1 ) + p(x n 1, x n 2 ) p(x m+1, x m ) ( n 1 + n m )p(x 1, x 0 ) = m 1 n m 1 p(x 1, x 0 ). Karena 0 < 1 maa 1 n m 1. Jadi p(x n, x m ) m 1 p(x 1, x 0 ). Misalan c E dengan 0 c, maa terdapatlah bilangan asli N 1 sehingga untu semua m N 1 berlau ( m 1 )p(x 1, x 0 ) c. Jadi p(x n, x m ) c, untu semua n > m. Dengan ata lain {x n } barisan Cauchy-p di X. Karena X ruang metri cone lengap, berdasaran Definisi 2.4, beraibat barisan x n onvergen-p, ataan onvergen e x X(x n x, n ). Jadi dengan mengambil bilangan asli N 2 sehingga p(x, x n ) c/2 untu semua n N 2. Dengan demiian p(t x, x ) p(t x, T x n ) + p(t x n, x ) p(x, x n ) + p(x n+1, x ) p(x, x n ) + p(x x+1, x ) c 2 + c 2 = c untu semua n N 2. Jadi p(t x, x ) c/m, untu semua m 1 atau c m p(t x, x ) P, untu m 1. Karena c/m 0, m dan P tertutup, maa p(t x, x ) P. Menurut Definisi 2.1, p(t x, x ) P dan p(t x, x ) P maa p(t x, x ) = 0. Jadi T x = x. Terbuti x titi tetap dari T. Selanjutnya, jia y titi tetap yang lain dari T, maa p(x, y ) = p(t x, T y ) p(x, y ). Jadi x = y. Dengan analogi yang sama dari Teorema 3.1 diperoleh dua teorema beriut, yang merupaan hasil utama dalam paper ini. Teorema 3.4 [2] Misalan (X, p) ruang metri cone lengap dengan p adalah jara-w, P cone normal pada X. Jia T : X X memenuhi ondisi p(t x, T y) (p(t x, y) + p(t y, x)) untu semua x, y X, dengan (0, 1 2 ) suatu onstanta, maa T mempunyai titi tetap tunggal dalam X. Untu setiap x X barisan iterasi {T n (x)} onvergen e titi tetap tersebut. Buti Untu setiap x 0 X dan n 1 dibentu barisan iterasi T n (x 0 ) dengan x 1 = T x 0, x 2 = T x 1 = T (T x 0 ) = T 2 x 0,..., x n+1 = T x n = T n+1 x 0,, maa diperoleh p(x n+1, x n ) = p(t x n, T x n 1 ) (p(t x n, x n ) + p(t x n 1, x n )) = (p(x n+1, x n 1 ) + p(x n, x n )) = (p(x n+1, x n 1 )) (p(x n+1, x n ) + p(x n, n n 1 ))(arena p adalah jara-w pada X ) Jadi p(x n+1, x n ) Untu n > m, 1 p(x n, x n 1 ) = hp(x n, x n 1 ) dengan h = 1. p(x n, x m ) p(x n, x n 1 ) + p(x n 1, x n 2 ) p(x m+1, x m ) (h n+1 + h n h m )p(x 1, x 0 ) h m 1 hn m 1 h p(x 1, x 0 )

6 48 Kajian Teorema Titi Tetap Pemetaan Kontratif Karena 0 < 1 maa 0 h < 1. Jadi p(x n, x m ) hm 1 h p(x 1, x 0 ). Misalan c E dengan 0 c, maa terdapatlah bilangan asli N 1 sehingga untu semua m N 1 berlau ( hm 1 h )p(x 1, x 0 ) c. Jadi p(x n, x m ) c, untu semua n > m. Dengan ata lain {x n } barisan Cauchy-p di X. Karena X ruang metri cone lengap, berdasaran Definisi 2.4, maa {x n } onvergen-p, ataan onvergen e x X(x n x, n ). Jadi dengan mengambil bilangan asli N 2 sehingga p(x, x n ) c/3 untu semua n N 2. Dengan demiian p(t x, x ) p(t x, T x n ) + p(t x n, x ) (p(t x, x n ) + p(t x n, x )) + p(t x n, x ) p(x, x n ) + p(x x+1, x ) + p(x n+1, x ) c 3 + c 3 + c 3 = c untu semua n N 2. Jadi p(t x, x ) c/m, untu semua m 1 atau c m p(t x, x ) P, untu m 1. Karena c/m 0, m dan P tertutup, maa p(t x, x ) P. Menurut Definisi 2.1, p(t x, x ) P dan p(t x, x ) P maa p(t x, x ) = 0. Jadi T x = x. Terbuti x titi tetap dari T. Selanjutnya, jia y titi tetap yang lain dari T, maa (x, y ) = p(t x, T y ) (p(t x, y ) + p(t y, x )) = 2p(x, y ). Jadi p(x, y ) = 0, x = y. Dengan demiian terbuti bahwa T mempunyai titi tetap tunggal dalam X. Teorema 3.5 [2] Misalan (X, d) ruang metri cone lengap dengan p adalah jara-w, P cone normal pada X dengan onstanta K. Jia T : X X memenuhi ondisi p(t x, T y) (p(t x, x) + p(t y, y)) untu semua x, y X, dengan ( 0, 1 2) suatu onstanta, maa T mempunyai titi tetap tunggal dalam X. Untu setiap x X barisan iterasi {T n (x)} onvergen e titi tetap tersebut. Buti Untu setiap x 0 X dan n 1 dibentu x 1 = T x 0, x 2 = T x 1 = T (T x 0 ) = T 2 x 0..., x n+1 = T x m = T n+1 x 0, maa diperoleh p(x n+1, x n ) = p(t x n, T x n 1 ) (p(t x n, x n ) + p(t x n 1, x n 1 )) = (p(x n+1, x n ) + p(x n, x n 1 )) p(x n+1, x n ) (p(x n+1, x n )) p(x n, x n 1 ) p(x n+1, x n ) 1 p(x n, x n 1 ) = hp(x n, x n 1 ) dengan h = Menurut Definisi 2.3, untu n > m diperoleh 1. p(x n, x m ) p(x n, x n 1 ) + p(x n 1, x n+2 ) p(x m+1, x m ) (h n 1 + h n h m )p(x 1, x 0 ) hm 1 h p(x 1, x 0 ) Karena P normal cone, maa menurut Definisi 2.2 terdapatlah onstanta K > 0, sehingga p(x n, x m ) hm 1 h K p(x 1, x 0 ). Aibatnya, p(x n, x m ) 0(n, m ). Jadi x n barisan Cauchy-p di X. Karena X ruang metri cone lengap dengan

7 Sunarsini, Sadjidon 49 jara-w maa barisan Caunchy-p di dalam X onvergen-p, ataan onvergen e x X(x n x, n ). Karena p (T x, x ) p (T x n, T x ) (p(t x n, x n ) + p(t x, x )) + p(x n+1, x ) p (T x, x ) 1 1 (p(t x n, x n ) + p(x n+1, x )) p (T x, x ) K 1 1 ( p(t x n, x n ) + p(x n+1, x ) ) 0 Jadi, p(t x, x ) = 0. Hal ini beraibat T x = x atau x titi tetap dari T. Tinggal menunjuan etunggalannya. Jia y titi tetap yang lain dari T, maa p(x, y ) = p(t x, ty ) (p(t x, x ) + p(t y, y )) = 0. Jadi x = y. 4. Penutup Dari pembahasan di atas dapat disimpulan bahwa teorema titi tetap pemetaan ontratif tetap berlau pada ruang metri cone lengap maupun ruang metri cone lengap dengan jara-w. Pustaa [1] Kreyszig, E., Introductory Functional Analysis with Application, John Wiley and Sons. Inc., New Yor, [2] Long-Guang, H., and Xian, Z, Cone Metric Spaces and Fixed Point Theorems of Contractive Mappings, Journal Mathematical Analysis and Applications, 332, , [3] Raja, P., and Vaezpour, S.M.,, Some Extensions of Banach s Contraction Principle in Complete Cone Metric Spaces, Hindawi Publishing Corporation Fixed Point Theory and Applications, article ID , 11 pages, [4] Lazian, H., and Arabyani, F., Some Fixed Point Theorems in Cone Metric Spaces with w-distance, Int. Journal of Math. Analysis, vol. 3, no. 22, , 2009