4. 1 Spesifikasi Keadaan dari Sebuah Sistem

Transkripsi

1 Dalam pembahasan terdahulu ita telah mempelajari penerapan onsep dasar probabilitas untu menggambaran sistem dengan jumlah partiel ang cuup besar (N). Pada bab ini, ita aan menggabungan antara statisti dan penerapan onsep-onsep meania untu menggambaran sistem marosopi, pengembangan lebih lanjut dari pembahasan ini ang ita namaan meania statisti. Beberapa hal ang diperluan dalam menggambaran eadaan sistem partiel adalah:. Spesifiasi eadaan sistem.. Ensamble statisti.. Postulat statisti. 4. Perhitungan probabilitas 4. Spesifiasi Keadaan dari Sebuah Sistem Dalam menentuan eadaan suatu sistem biasana aan diawali dengan mengetahui gambaran eadaan partielna ang dapat dietahui dengan tinjauan meania uantum, arena eadaan miro suatu sistem dinataan oleh eadaan uantumna. Kita telah mengenal empat bilangan uantum ang berdasaran Asas Eslusi Pauli, salah satuna adalah bilangan uantum utama ang dilambangan dengan n. Setiap eadaan uantum tertentu beraitan dengan suatu nilai tertentu, misalna bilangan uantum utama menunjuan tingatan energi dalam sistem ang emudian dienal dengan adana tingatan-tingatan energi atau energi level. Suatu sistem biasana memilii eadaan energi paling ecil, ang dalam pandangan fisia modern hal ini beraitan dengan estabilan inti (sebab dengan semain memilii eadaan energi ang paling ecil maa pengaruh inti sangat uat sehingga cenderung lebih stabil). Asas Eslusi Pauli mengataan bahwa tida ada suatu atom ang memilii bilangan uantum ang sama, artina suatu sistem biasana memilii satu nilai energi sistem tertentu. Hal ini dapat diterima dengan melihat atom atau sistem ang mematuhi prinsip tersebut. Aan tetapi satu nilai energi sistem tertentu dapat saja dimilii oleh bermacam-macam atom. Dengan ata lain, dapat saja dua 6

2 7 atom atau lebih memilii empat bilangan uantum ang sama, dan hal ini dinamaan dengan eadaan degenerasi. Mengetahui eadaan suatu sistem ta aan lepas dari informasi tentang eadaan uantum dan ahirna berhubungan dengan momen magnetina. Sebagai contoh sistem ang hana terdiri dari partiel saja, jia momen magnetina µ o, maa ada dua eadaan ang mungin muncul beraitan dengan spinna aitu spin up atau spin down. Hal ini dapat ditentuan oleh bilangan uantumna aitu +σ untu spin up atau -σ untu spin down. Begitu pula dengan momen magneti sistem, bisa berharga +µ o atau - µ o. Dan pada ahirna energi sistem E dapat saja bernilai -µ o B atau µ o B. Secara statisti dapat dilihat eadaan sistem tersebut dengan tabel adalah sebagai beriut : R σ M E B +µ o σ = + E+ = -µ o B + +µ o µ o.b - -µ o µ o.b (a) Gambar 4. (a) Tabel eadaan quantum untu partiel spin ½. (b) Diagram dua tingat energi partiel spin ½ dengan medan magnet esternal B. Bagaimana ita dapat menjelasan sebuah sistem dengan penerapan onsep fisia, mari ita tinjau contoh beriut ini.. Sistem Partiel dalam Kota Dimensi Sebagai pendahuluan dalam menentuan gambaran statisti sistem partiel maa ita tinjau eadaan ang paling sederhana aitu suatu sistem dengan partiel dalam ota dimensi. Tujuan ita adalah mendapatan gambaran untu menjelasan arateristi partiel dalam ota dimensi. (Dilauan dalam ota X=0 L Gambar 4. X=L Partiel dalam ota dimensi -µ o (b) arena dalam ota aspe dimensina justru aan memudahan perhitungan lebih lanjut walaupun dalam enataannna partiel tida selalu berada dalam ota). σ = - E _ = µ o B

3 Kota ang ditinjau adalah ota dimensi emudian setelah itu dengan melihat prinsip ang ada dalam ota dimensi, dengan mudah ita dapat menentuan partiel dalam ota dimensi. Dari sini dapat ditentuan harga fungsi energi f(e) berdasaran variabel pada sistem ang terdefinisi. Perhatian gambar 4.. Sarat batas ang diberian adalah partiel berada dalam ota dimensi, berarti partiel hana ada pada daerah L < < 0 dan tida pada batas =0 dan =L. Dengan adana pernataan dualisme gelombang ang dicetusan oleh De Broglie bahwa selain memilii sifat partiel juga memilii sifat gelombang maa eberadaan partiel dalam ota dapat dinataan dalam persamaan gelombang: 8 ψ = Asin (4.) A Jia partiel terdapat dalam ota ang panjangna L, maa sarat batas memenuhi: ψ ( ) dan = L ψ ( ) maa: 0 = A.sin (0); 0 = A.sin l (4.) dengan sarat di atas berarti A 0, maa sarat persamaan (4.) memberian nilai sin l ; ani etia sin l = sin nπ l = nπ ; n =,,, (4.) Jia menataan bilangan gelombang, maa aan diperoleh : l = nπ π L = nπ sehingga λ nπ L = (4.4) Dari persamaan (4.4) dapat dianalisis bahwa panjang ota agar ita dapat menemuan partiel ang didefinisian dalam sistem tersebut adalah L = n. ( )λ, maa L harus merupaan elipatan-elipatan dari ½ panjang gelombang. Bagaimana mendapatan persamaan energi sistem tersebut? Hal ini dapat dilauan dengan menentuan fungsi energi. Kita tinjau harga momentum ang dimilii π = λ X=0 L= ½ n λ X=L Gambar 4. Ilustrasi panjang ota D beraitan dengan λ

4 9 partiel oleh De Broglie dapat dinataan dengan h π h P = h. =. = π λ λ (4.5) Pernataan lain mengenai energi ineti partiel (jia interasi antar partiel diabaian) E = ½ mv, dalam bentu momentum energi tersebut dapat dinataan ( m. v) p ( h) dengan : E = = maa : E = m. m. m sehingga nπ h. m h n π h π E = = = n m ml ml = m h = nπ L (4.6) Terlihat pada pers. (4.6) bahwa harga E ini bergantung pada n. Penurunan harga energi ini juga dapat dilauan dengan menggunaan persamaan Schroedinger aitu dengan: Eψ = h ψ m dengan ψ = A. sin, sehingga : E = h nπ m L Jia ita menginginan suatu fungsi energi f(e), maa berdasaran pers.(4.6) dapat diambil esimpulan bahwa fungsi energi ang dimasud adalah: ml L n = = Em hπ hπ L sehingga f ( E) = n = m E (4.7) πh Pers. (4.7) menunjuan bahwa variabel n merupaan harga ang ditentuan oleh nilai E, jia variabel lainna ita anggap onstan L m, sehingga pengamatan πh ita pada sistem seperti ini sangat ditentuan oleh harga rentang energi ang diberian.. Partiel dalam ota dimensi Pembahasan ang lebih luas, sistem pada contoh di atas dapat ita embangan menjadi sitem partiel tunggal dalam ota D, aitu ang memilii panjang, lebar dan tinggi. Untu lebih jelasna perhatian gambar 4.4. Jia diinginan partiel berada dalam ota, maa sarat ang harus dipenuhi adalah : 0 < < L ; 0 < < L ; 0 < < L Fungsi gelombang ang menggambaran partiel dalam ota adalah :

5 40 Ψ = A(sin Ψ = Ψ Ψ Ψ )(sin )(sin ) (4.8) L L L Gambar 4.4 Ilustrasi partiel dalam ota D Dengan demiian sarat batas tersebut memenuhi : Ψ Ψ Ψ ; ; ; = L = L = L Ψ Ψ Ψ (4.9) maa persamaan (4.8) dapat ita turunan dengan menggunaan sarat batas tersebut: Ψ = A(sin A(sin )(sin )(sin )(sin )(sin ) ) 0, sehingga Ψ = A( 0)(0)(sin ) (4.0) Dengan menghindari solusi trivial, maa : A(sin ) 0 dan ψ = A(0)(0)(0) sehingga A 0 (4.) sehingga persamaan ini harus memenuhi hubungan : sin atau ; L sin atau ; L sin atau, L

6 4 nπ = ; L nπ = ; L nπ =. (4.) L Mengingat harga momentum p adalah suatu vetor, (4.) dimana adalah bilangan gelombang ang juga merupaan vetor dan h adalah suatu onstanta, sehingga pernataan harga momentum partiel untu ruang dimensi dapat dinataan dengan : P = h. { + } P = h +, P h E = = + m m { + }, E = h n π nπ nπ + + m L L L (4.4) Jia harga L = L = L = L, maa persamaan di atas menjadi: { n + n n } h. π E = + ml (4.5) dan mengingat n adalah indes ang berjalan (n =,,, ) ang dapat dinataan sebagai bilangan uantum. Untu menggambaran tingatan-tingatan energi, pernataan ang lebih mudah jia ita memberlauan sifat simetris pada sistem ini: n + n + n = R (4.6) Untu lebih jelasna jia tingatan energi ini digambaran dalam oordinat bola sebagai beriut: Harga volume bola pada gambar 4.5 adalah V = 4 πr Jia dipandang /8 volume bola, maa untu menentuan harga perubahan energi merupaan fungsi R atau E adalah : 4 L f ( E) = π (me) 8 hπ L f ( E) = π (me) 6 hπ (4.7)

7 4 Gambar 4.5 Ilustrasi pengembangan ruang energi E δe dimana f(e) adalah fungsi energi dari sistem satu buah partiel ang berada dalam ota tiga dimensi. Dalam menjelasan sebuah sistem ita harus memilii metode ang tepat untu mendapatan informasi tentang perubahan sistem tersebut aibat dari perubahan variabel ang dinataan dalam fungsi f(x) dengan X merupaan variabel teramati. Hal inilah dinamaan spesifiasi eadaan sistem. Sebagai latihan coba anda turunan persamaan energi untu asus Osilator harmoni dan atom hidrogen. B et 4. Ensambel Statisti Ketia ita berhubungan dengan sistem marosopi, maa ita terait dengan pengamatan variabel marosopi ang secara teni mudah ita ontrol, sehingga untu eadaan eadaan ang ita harapan, dapat ita ciptaan ondisina. Namun tida demiian dengan eadaan sistem mirosopi ang memilii variasi eadaan ang sangat beragam dan sulit untu diontrol, terutama untu pengamatan ang beraitan dengan watu. Oleh arena itu ita memerluan onsep Ensambel Statisti, dimana sistem dengan N partiel ang eadaanna beragam aan dielompoan atas dasar sifat ang sama atau hampir sama. Untu melauan hal ini ita memilii dua informasi aitu informasi tentang parameter esternal dan informasi tentang eadaan ang ita inginan. Untu lebih jelasna, perhatian sistem beriut : Informasi esternal ang diberian pada sistem ini adalah adana medan magnet luar B, sifat dari dinding ang memunginan adana interasi

8 partiel satu terhadap lainna dan sistem ang terisolasi. Adapun eadaan ang diinginan adalah energi dari sistem ang teruur aitu E=-µ o B, jia setiap partielna memilii spin ½ dengan momen magneti partiel µ o. Maa ensamble statisti ang dapat dibangun adalah memilah harga ang memunginan untu mendapatan energi gabungan sebesar E=-µ o B, sebagai beriut: Tabel 4. Pola harga moment magneti ang muncul r σ σ σ σ σ M M µ o µ o µ o 4µ o µ o 4µ o µ o 4µ o 4 Dari informasi ini ita dapat lebih mudah menentuan nilai momen magneti total dan standar deviasina untu sistem ang ita inginan. 4. Postulat Statisti Agar ita dapat memilii predisi teoritis ang tepat dalam menjelasan sebuah sistem, maa ita memerluan postulat statisti. Sebagai contoh etia ita melauan pengamatan pada sebuah sistem dengan N partiel, maa ita terait dengan eadaan pengamatan sistem berada dalam rentang variabel tertentu. Misalan sistem berada dalam rentang E E + de, ita dapat melauan pengamatan etia sistem berada dalam eadaan setimbang. Untu menggambaran sistem tersebut berada dalam eadaan setimbang ita memerluan postulat statisti sebagai beriut :. Jia dalam sistem terisolasi ditemuan harga probabilitas ang sama untu setiap eadaan, maa sistem tersebut berada dalam eadaan setimbang.. Jia dalam sistem ang terisolasi tida ditemuan harga probabilitas ang sama untu setiap eadaan, maa sistem tersebut tida berada dalam eadaan setimbang dan aan mengalami perubahan hingga esetimbangan tercapai, dimana setiap eadaanna memilii probabilitas ang sama.

9 44 Perhatian contoh beriut : B et Gambar 4.6 Ilustrasi sistem A dan A Perhatian gambar 4.6, jia sistem A memilii 8 partiel spin ½ dengan harga momen magneti patielna adalah µ o dan A memilii 6 partiel spin ½ dengan harga momen magneti partielna µ o, maa eadaan setimbang ditemuan etia jumlah partiel dalam eadaan up sama bana dengan jumlah partiel dalam eadaan down untu edua sistem A dan A dimana setiap eadaanna memilii peluang ang sama. A A 4.4 Perhitungan Probabilitas Berbicara dengan suatu eadaan pengamatan maa ita terait dengan eadaan ang menggambaran pengamatan sedang berlangsung, misal eadaan tersebut ita namaan dengan eadaan ang diiinan. Ω(E) adalah jumlah eadaan ang diiinan etia pengamatan berlangsung, aitu etia sistem ang ita amati memilii energi dalam rentang E E + de, maa untu menggambaran jumlah peluang suatu eadaan ang sedang berlangsung dapat ita nataan dengan mudah. Misal untu i pengamatan, Ω i adalah jumlah eadaan ang diiinan etia sistem memilii rentang energi dari E i E i + de i, maa peluang untu mendapatan eadaan ini adalah: Ωi P i = (4.8) Ω dengan Ω jumlah semua eadaan ang diiinan, sehingga nilai rata-rata untu parameter pada eadaan i memenuhi: n i P i i = Ω n i Ω i i (4.9)

10 4.5 Jumlah Keadaan ang Diiinan untu Sebuah Sistem Marosopi Gambar di samping adalah suatu sistem dengan N partiel. Mengingat eomplesan ang ada pada sistem ini maa ita batasi pengamatan ita pada variabel ang teruur saja. Untu memudahan mengetahui bagaimana eadaan sistem tersebut maa variabel ang teramati ini dinataan dalam fungsi energi f(e). Dalam Gb. 5.6 di atas, Ω(E) adalah jumlah eadaan ang diiinan oleh sistem ang memilii energi E E + δe. Jia f(e) adalah fungsi energi ang menggambaran jumlah eadaan ang diiinan oleh sistem ang memilii energi E, maa f(e + δe) adalah jumlah eadaan ang diiinan oleh sistem ang memilii energi (E + δe). f(e+de) f(e) E Ω(E) E+dE Gambar 4.8 Ilustrasi sistem dengan fungsi energi f(e) E 45 Dari perumusan tersebut, maa jumlah eadaan ang diiinan oleh sistem ang memilii energi E E + δe dapat ditulisan menjadi: Ω(E) = f(e + δe) - f(e) (4.0) Harga f(e) dapat diperoleh dengan melauan diferensial total : d Ω ( E) = f ( E) de de (4.) Jia harga f(e) telah diperoleh, maa searang ita menentuan eadaan ang diiinan oleh sistem terdefinisi jia sistem mengalami perubahan dari tingatan energi E E + δe aitu: df ( E) Ω( E) = δe de ƒ(e) Ω(E) Gambar 4.7 Keadaan penguuran suatu sistem dapat diwaili oleh harga Ω(E) (4.) dengan δe menunjuan perubahan secara infinitesimal, d L L ( E ) Em ; m Ω = δe Ω( E ) = δe (4.) de π hπ E

11 dengan Ω(E) adalah jumlah eadaan ang diiinan dari sistem ini dengan adana perubahan secara infinitesimal. Searang bagaimana menentuan jumlah eadaan ang diiinan dari partiel ang berada dalam ota dimensi itu?. carana adalah dengan menurunanna terhadap fungsi energi sehingga diperoleh : Ω ( E ) = d de f ( E )δe d L ( E ) Ω = π ( me ) de 6 hπ L ( E ) Ω = π ( me ) E 6 hπ δe δe 46 V Ω ( E ) = ( E ) ( me ) δe 4π (4.4) h Untu jumlah partiel ang cuup bana N, maa ita aan melihat esebandingan fungsi energi terhadap satu satuan tingat energi. Di dalam ruang energi ang memenuhi eslusi Pauli, maa satu satuan ruang energi hana dapat dimilii oleh satu partiel, sehingga fungsi energi ang memenuhi : f(e) α (e-e o ) α, dengan α~. (4.5) Dengan demiian hubungan antara energi total dan sub energi pada tingat energi dapat dinataan dengan E - E o ~ N (e-e o ). (4.6) Mengingat fungsi ini menggambaran jumlah eadaan ang diiinan ang beraitan dengan jumlah ombinasi ang diperbolehan etia sistem berada dalam suatu harga variabel, maa untu menggambaran hubungan fungsi energi terhadap fungsi energi untu satu satuan tingat energi dapat dinataan dengan: f(e) ~ [f(e)] N (4.7) Sehingga jumlah eadaan ang diiinan etia penguuran berlangsung Ω(E), memenuhi persamaan: Ω( E) = df ( E) E ~ de N[ f ( e)] df ( e) E = de f ( e) df ( e de N N ) E (4.8) Karena harga N >>, maa persamaan di atas menjadi:

12 47 Soal Latihan (4.9). Tinjau sebuah gas ideal ang mengandung N partiel monoatomi mengisi sebuah ota beruuran L, L, dan L. Diperiraan harga N memilii orde ang sama dengan bilangan Avogadro. Tunjuan bahwa jumlah eadaan ang diiinan Ω(E) untu interval E E + de memenuhi persamaan: dengan C adalah onstanta dan C V. ( ) N.E δe N V = L. L. L.. Dengan menggunaan jumlah eadaan ang diijinan pada soal nomor diatas, tentuan energi sistem sebagai fungsi dari temperature E = f(t)!. Suatu ristal dipanasan pada temperatur T, maa aan terjadi deffect Schott. Jia pada temperature tersebut terjadi n buah deffect adalah Ω(n) dan entropi sistemna adalah S =.ln Ω(n), maa : a. Jelasan apa ang dimasud dengan deffect Schott itu! b. Tentuan besarna n sebagai fungsi suhu! 4. Sebuah sistem terdiri dari N partiel dengan spin ½. Setiap partiel memilii momen magneti µ o, dan berada dalam loasi medan magnet B. Energi total sistem ini dapat dinataan dengan E = -(n-n )µ o.b, dengan n adalah jumlah partiel dalam eadaan up. Tunjuan bahwa jumlah eadaan ang diiinan untu sistem ini memenuhi (gunaan definisi E = Eµ o.b): ln Ω( E ) = N.ln( N ) df ( e) ln Ω( E) = ( N ) ln f ( e) + ln E de ( N E' )E ( N E' ) ( N + E' )E ( N + E' n n 5. Sebuah ota D (L = L = L ) diperiraan gaa ang diberian oleh moleul r etia menumbu dinding hingga bergeser sejauh L adalah: E Fr = L Butian bahwa teanan rata-rata ang dibutuhan moleul dinataan oleh: N P = C..e, V r )

13 48 dengan e adalah energi rata-rata partiel gas. 6. Untu soal nomor 5, jia gas ang mengisi ota tersebut adalah N dengan massa,5 gr ang diuur pada teanan P 6 dne/cm dengan volume liter, hitunglah: a. φ (E)! b. Ω (E) untu penambahan energi internal δe 4 erg.