PENYELESAIAN MASALAH PENGAMBILAN DAN PENGIRIMAN DENGAN KENDALA WAKTU MENGGUNAKAN TEKNIK PEMBANGKITAN KOLOM. Oleh: FAJAR DELLI WIHARTIKO G

Transkripsi

1 PENYELESAIAN MASALAH PENGAMBILAN DAN PENGIRIMAN DENGAN KENDALA WAKU MENGGUNAKAN EKNIK PEMBANGKIAN KOLOM Oleh: FAJAR DELLI WIHARIKO G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR 006

2 ABSRAK FAJAR DELLI WIHARIKO Penyelesaian Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu Menggunaan eni Pembangitan Kolom Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan DONNY CIRA LESMANA Masalah penentuan rute endaraan merupaan persoalan yang sering dijumpai oleh produsen, pemerintah maupun oleh penyedia jasa pengiriman barang Salah satu varian dari masalah penentuan rute endaraan adalah masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu (pic up and delivery problem with time windows/pdpw) Dalam PDPW sejumlah rute harus dionstrusi guna memenuhi semua permintaan transportasi (transportation request/r) Permintaan transportasi dapat diartian sebagai suatu permintaan pengiriman barang yang harus dibawa secara langsung dari loasi pengambilan e loasi pengiriman Setiap permintaan transportasi memilii endala watu dan endala apasitas suatu endaraan Kendala watu dalam PDPW diartian sebagai selang watu untu menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat Rute yang dionstrusi harus memenuhi syarat efisibelan Setelah semua rute fisibel ditemuan, maa harus dicari bagaimana memenuhi semua permintaan transportasi dengan biaya yang minimum Dalam arya ilmiah ini, pemilihan rute yang memenuhi semua permintaan transportasi dimodelan sebagai masalah pemartisian himpunan (set partitioning problem/spp) Penyelesaian masalah pemartisian himpunan dalam sala yang besar dapat menggunaan teni pembangitan olom (column generation) eni ini merupaan teni untu menyelesaian suatu pemrograman linear (PL) dengan hanya menggunaan sebagian variabel dari masalah eseluruhan

3 3 PENYELESAIAN MASALAH PENGAMBILAN DAN PENGIRIMAN DENGAN KENDALA WAKU MENGGUNAKAN EKNIK PEMBANGKIAN KOLOM Sripsi Sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Sarjana Sains pada Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor Oleh: FAJAR DELLI WIHARIKO G DEPAREMEN MAEMAIKA FAKULAS MAEMAIKA DAN ILMU PENGEAHUAN ALAM INSIU PERANIAN BOGOR 006

4 4 RIWAYA HIDUP Penulis dilahiran di Bogor pada tanggal 5 Maret 984 sebagai ana edua dari dua bersaudara dari pasangan bapa Hari Harsono dan ibu Sri Wiedarti Pada tahun 00 penulis lulus dari SMUN Bogor dan berhasil menjadi mahasiswa Jurusan Matematia (yang searang berganti menjadi Departemen Matematia), Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Selesi Masu IPB) Selama mengiuti egiatan peruliahan, penulis pernah menjadi asisten pada mata uliah Kalulus I pada tahun 003 Penulis juga atif mengiuti egiatan Badan Eseutif Mahasiswa FMIPA pada tahun 003/004 Selain itu penulis juga pernah atif dalam epengurusan GUMAIKA (Gugus Mahasiswa Matematia) pada periode 003/004

5 5 PRAKAA Syuur Alhamdulillah epada Allah SW, arena dengan rahmat dan euasaan-nya penulis dapat menyelesaian sripsi dengan judul Penyelesaian Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu Menggunaan eni Pembangitan Kolom Pada esempatan ini penulis mengucapan terimaasih epada : Ibu Dra Farida Hanum, MSi dan Bapa Donny Citra Lesmana, SSi selau dosen pembimbing yang telah memberian bimbingan dan arahan sampai penyelesaian sripsi Bapa Ir N K Kutha Ardana, MSc sebagai dosen penguji atas saran dan masuannya 3 Ayahanda, Ibunda dan aau atas dorongan semangat bai moril maupun materiel 4 Seluruh dosen beserta staf Departemen Matematia atas ilmunya yang ta ternilai 5 eman-teman angatan 39 atas enangan yang indah selama masa peruliahan 6 Seluruh rean seperjuangan angatan 35, 36, 37, 38, 40 dan 4 7 Seluruh piha yang telah membantu terselesaiannya sripsi ini yang tida dapat disebutan satu per satu Penulis menyadari dalam penyusunan sripsi ini masih jauh dari sempurna Penulis mengharapan saran dan riti yang membangun untu esempurnaan sripsi ini Semoga sripsi ini bermanfaat bai bagi penulis maupun piha-piha lain yang memerluannya Bogor, Januari 006 Fajar Delli Wihartio

6 6 DAFAR ISI Halaman DAFAR ABEL 7 DAFAR GAMBAR 7 DAFAR LAMPIRAN 7 I II PENDAHULUAN Latar Belaang 8 ujuan 8 LANDASAN EORI Graf 8 Pemrograman Linear 9 Masalah Dual Pemrograman Linear Bilangan Bulat 3 Masalah Pemartisian Himpunan 3 III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu 5 Formulasi Masalah sebagai Masalah Pemartisian Himpunan 9 IV PENYELESAIAN MASALAH eni Pembangitan Kolom 9 Pricing Problem 0 V CONOH KASUS VI SIMPULAN 9 DAFAR PUSAKA 30 LAMPIRAN 3

7 7 DAFAR ABEL Halaman R dan endala watu 5 Permintaan transportasi suatu perusahaan 7 3 Contoh asus masalah PDPW 4 Hasil setiap iterasi menggunaan teni pembangitan olom 9 DAFAR GAMBAR Halaman Graf G = ( V, E) 8 Digraf D = ( V, A ) 9 3 Contoh 8 dalam bentu graf 5 4 Graf dari m tempat 6 5 Graf dari Contoh Graf dari abel Graf dari V S 5 8 Graf dari V S 7 DAFAR LAMPIRAN Halaman Contoh penyelesaian suatu PL dengan menggunaan algoritme simples 3 Hasil perhitungan Contoh 5 menggunaan LINDO Rute Fisibel PDPW 34 4 RMP0, P,0 dan P,0 4 5 RMP, P, dan P, 45 6 RMP, P, dan P, 45

8 8 I PENDAHULUAN Latar Belaang Pendistribusian suatu barang merupaan persoalan yang sering dijumpai bai oleh pemerintah maupun oleh produsen Dalam pelasanaannya sering ali dihadapan pada berbagai masalah seperti efisiensi biaya, efisiensi watu ataupun masalah efetifitas endaraan Contoh pendistribusian barang adalah pengangutan sampah oleh Dinas Kebersihan, pendistribusian produ perusahaan epada agen, pengambilan surat di ota pos oleh P Pos Indonesia dan mas ih banya lagi Contoh-contoh tersebut termasu dalam masalah pengambilan dan pengiriman (pic up and delivery problem / PDP) Masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu (pic up and delivery problem with time windows/pdpw) merupaan pengembangan dari PDP Kendala watu dalam PDPW diartian sebagai selang watu untu menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat Masalah PDP dan PDPW telah banya dibahas dan dipelajari, di antaranya oleh Mitrofic-Minic (998) yang membahas metode heuristi untu menyelesaian masalah PDPW, Bruggen et al (993) membahas PDPW dengan satu depot, Dumas et al (99) membahas penyelesaian PDPW dengan menggunaan teni pembangitan olom yang dipandang sebagai masalah path terpende serta M Sol & MWP Savelsberg (995) yang membahas PDP secara luas ulisan ini merupaan reonstrusi dari tulisan M Sol & MWP Savelsberg (994) yang berjudul A Branch-and-Price Algorithm for the Picup and Delivery Problem with ime Windows ujuan ujuan penulisan arya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah pengambilan dan pengiriman berendala watu dengan menggunaan teni pembangitan olom II LANDASAN EORI Beberapa onsep yang dibutuhan dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu adalah sebagai beriut: Graf Definisi (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V,E) dengan V himpunan taosong dan hingga dan E adalah himpunan pasangan taterurut yang menghubungan elem en-elemen V dan dinotasian dengan G = ( V, E) Elemen V dinamaan simpul (node), dan elemen E dinamaan sisi (edge), dinotasian sebagai { i, j}, yaitu sisi yang menghubungan simpul i dengan simpul j, dengan i, j V (Foulds, 99) Ilustrasi graf dapat dilihat pada Contoh beriut: Contoh G: v v 6 v 5 v v 3 Gambar Graf G = (V, E) v 4 Pada Gambar, V = { v, v, v3, v4, v5, v6} dan E = { v, v },{ v, v6},{ v, v3},{ v3, v6}, { v, v }, { v, v },{ v, }} Definisi (Wal) v5 Suatu wal pada graf G ( V, E) = adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentu: v, { v, v}, v, { v, v3},, { v n, v n }, v n, atau ditulis dengan ringas : v, v,, vn atau v, v,, v n Wal tersebut menghubungan simpul v dengan v n (Foulds, 99) Definisi 3 (Closed Wal, Cycle) Suatu wal v, v,, vn pada suatu graf G diataan tertutup (closed wal) jia v = v n Suatu wal tertutup yang mengandung setidanya tiga simpul dan semua simpulnya berbeda disebut cycle (Foulds, 99) Beriut ini diberian ilustrasi dari wal tertutup dan cycle Salah satu contoh wal

9 9 tertutup pada graf G dalam Contoh adalah v, v6, v, v, v, sedangan v, v, v3, v6, v adalah salah satu contoh cycle Definisi 4 (Digraf) Digraf (directed graf/graf berarah) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V adalah himpunan taosong dan hingga, dan A adalah himpunan pasangan terurut dari elemenelemen di V dan dinotasian sebagai D = ( V, A) Elemen dari A disebut sisi berarah (arc) dan ditulisan sebagai ( i, j) dengan i, j V (Foulds, 99) Contoh beriut merupaan ilustrasi digraf Contoh D: v v 6 v 5 v v 3 Gambar Digraf D = ( V, A) Pada Gambar, digraf D memilii V = { v, v, v3, v4, v5, v6 } dan A = { v, v, v6, v, v, v3, v3, v6, v3, v4 ( v 5, v6 ),( v4, v5)} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Definisi 5 (Wal berarah) Suatu wal berarah pada digraf D = ( V, A) adalah suatu barisan simpul dan sisi dari G dengan bentu: v v v v v, v v, v v ( (, ) ( 3 ) ( n n ) n ) atau ditulis dengan ringas: ( v v ) atau v -v - -v n Wal tersebut menghubungan simpul v dengan v n (Foulds, 99) Definisi 6 (Cycle berarah) Suatu wal berarah ( v v ) dengan v = vn dan mempunyai setidanya tiga simpul berbeda disebut sebagai cycle berarah (Foulds, 99) Beriut ini diberian ilustrasi mengenai cycle berarah Salah satu contoh cycle berarah pada digraf D dalam Contoh adalah cycle v 4 v n v n v -v -v 3 -v 6 -v, sedangan cycle v,v 6,v 3,v,v pada digraf D buan merupaan cycle berarah Definisi 7 (Graf Berbobot) G = V, E atau digraf Suatu graf ( ) ( V A) D =, diataan berbobot jia terdapat fungsi w : E R atau ϑ : A R (dengan R adalah himpunan bilangan real) yang memberian bobot pada setiap elemen E atau elemen A (Foulds, 99) Pemrograman Linear Pemrograman linear adalah egiatan merencanaan untu mendapatan hasil yang optimal Model pemrograman linear (PL) meliputi pengoptimuman suatu fungsi linear terhadap endala linear (Hillier & Lieberman, 990) Pada tulisan ini, suatu PL mempunyai bentu standar seperti yang didefinisian sebagai beriut: Defi nisi 8 (Bentu Standar Suatu PL) Suatu pemrograman linear didefinisian mempunyai bentu standar: Minimuman z = x terhadap A x = b () x 0 c dengan x dan c berupa vetor beruuran n, vetor b beruuran m, sedangan A berupa matris beruuran m n yang disebut juga sebagai matris endala (Nash & Sofer, 996) Solusi S uatu Pemrograman linear Untu menyelesaian suatu masalah pemrograman linear (PL), metode simples merupaan salah satu metode yang dapat menghasilan solusi optimum Metode ini mulai diembangan oleh Dantzig tahun 947 Seja perembangannya, metode ini adalah metode yang paling umum digunaan untu menyelesaian PL, yaitu berupa metode iteratif untu menyelesaian masalah PL dalam bentu standar Pada Pemrograman Linear (), vetor x yang memenuhi endala A x = b disebut sebagai solusi PL () Misalan matris A dapat dinyataan sebagai A = (B N), dengan B adalah matris tasingular beruuran m m yang merupaan matris yang elemennya berupa oefisien variabel basis dan N merupaan matris yang elemennya berupa

10 0 oefisien variabel nonbasis pada matris endala Matris B disebut matris basis untu PL Misalan x dapat dinyataan sebagai x B vetor x =, dengan x B adalah vetor x N variabel basis dan x N adalah vetor variabel nonbasis Maa A x = b dapat dinyataan sebagai x B ( ) A x = B N xn =? xb NxN = b () Karena B adalah matris tasingular, maa B memilii invers, sehingga dari () x B dapat dinyataan sebagai: x B = B b B N x (3) Definisi 9 (Solusi Basis) Vetor x disebut solusi basis dari suatu pemrograman linear jia x memenuhi endala dari PL dan olom-olom pada matris endala yang berorespondensi dengan omponen tanol dari x adalah bebas linear (Nash & Sofer, 996) Definisi 0 (Solusi Basis Fisibel) Vetor x disebut solusi basis fisibel jia x merupaan solusi basis dan x 0 (4) (Nash & Sofer, 996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh beriut: Contoh 3 Misalan diberian pemrograman linear beriut: Minimuman z = x x terhadap x x x 3 = x x4 = 7 x5 = 3, x, x3, x4, x5 x (5) x x 0 Dari pemrograman linear tersebut didapatan: 0 0 A = 0 0, b = Misalan dipilih = ( x x ) dan = ( x ) x xb 3 4 x5 N x N maa matris basis 0 0 B = Dengan menggunaan matris basis tersebut, diperoleh xb = B b = ( 7 3), x N = ( 0 0) (6) Solusi (6) merupaan solusi basis, arena solusi tersebut memenuhi endala pada PL (5) dan olom-olom pada matris endala yang berorespondensi dengan omponen tanol dari (6) yaitu B adalah bebas linear (olom yang satu buan merupaan elipatan dari olom yang lain) Solusi (6) juga merupaan solusi basis fisibel, arena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol_ PL () dapat dinyataan dalam x B dan x N sebagai beriut: Minimuman z = c B xb cn xn terhadap B xb Nx N = b x 0 dengan c adalah oefisien variabel basis B pada fungsi objetif, c N adalah oefisien variabel nonbasis pada fungsi objetif Jia Persamaan (3) disubstitusian e fungsi objetif z = cb xb cn x N maa aan didapat: z = cb ( B b B Nx N ) c N x N z = cb B b ( cn cb B N) x N y = c B B = B c Jia didefinisian ( ) B maa z dapat dinyataan dalam y: z = y b ( cn y N) x N (7) Vetor y disebut vetor pengali simples (simplex multiplier) Untu suatu solusi basis, x N = 0 dan x b ˆ B = = B b, maa c ẑ = B B b Notasi ẑ adalah notasi untu z optimal Koefisien ĉ disebut biaya teredusi (reduced cost) dari x j dengan j ĉ j adalah elemen dari vetor ˆ N = ( cn cb B N) c Biaya teredusi adalah penambahan nilai fungsi objetif jia suatu variabel nonbasis dijadian variabel basis (artinya menjadi solusi tanol) pada suatu pemrograman linear

11 t Penyelesaian Pemrograman Linear dengan Algoritme Simples Solusi suatu pemrograman linear dapat dietahui optimal atau tida untu PL tersebut melalui algoritme sebagai beriut: es Keoptimalan Vetor y = c B B dihitung, emudian dapat dihitung pula nilai biaya teredusi cˆ N = ( cn y b) Jia ĉ N 0 maa solusi yang diperoleh adalah solusi optimal Jia ĉ N < 0 maa variabel x t yang memenuhi c ˆ < 0 dipilih sebagai variabelmasu, yaitu variabel x t yang aan masu e dalam basis Langah tertentu (t) Kolom Aˆ t = B At, yaitu olom oefisien endala yang berhubungan dengan variabel-masu e t dihitung emudian ditentuan indes s pada olom endala yang berhubungan dengan variabel-masu yang memenuhi bˆ = ˆ s min bi : ai, t > 0 (8) as, t i m ai, t Pemilihan indes dengan cara tersebut disebut dengan uji nisbah minimum (minimum ratio test) Variabel yang menjadi variabel-eluar (variabel yang aan eluar dari basis, tergantian oleh variabel -masu) dan pivot entry adalah variabel yang berhubungan dengan ˆ Jia a s, t ˆ 0, ( i m) untu semua i, a i, t maa masalah PL disebut masalah taterbatas (unbounded) Pivot Matris basis B dan vetor basis x B diperbaharui dan emudian embali e tes eoptimalan Beriut ini diberian contoh penggu naan algoritme simples: Contoh 4 Misalan diberian PL(5) dalam Contoh 3 Dengan menggunaan algoritme simples aan diperoleh solusi x = 3, x = 5, x 3 = 3, x 4 = x5 = 0 dengan z = -3 (lihat Lampiran ) _ 3 Masalah Dual Setiap masalah pemrograman linear memilii padanan, yaitu masalah lain yang disebut pemrograman linear dual Pemrograman linearnya sendiri disebut sebagai masalah primal Misalan diberian masalah primal: Minimuman z = c x terhadap A x b (9) x 0 Maa masalah dual dari (9) adalah Masimuman w = b y terhadap A y c y 0 Jia masalah primal memilii n variabel dan m endala, maa masalah dual aan memilii m variabel dan n endala Koefisien fungsi objetif masalah primal merupaan nilai sisi anan pada masalah dual, begitu pula sebalinya Jia masalah primal adalah masalah minimisasi maa masalah dual merupaan masalah masimisasi Solusi optimal dari masalah dual merupaan pengali simples pada masalah primal Pada ondisi optimal, solusi dari masalah dual dan masalah primal aan menghasilan nilai fungsi objetif yang sama Hal ini dibutian dalam teorema dualitas uat Aibat dari teorema dualitas lemah digunaan untu membutian teorema dualitas uat eorema (eorema Dualitas Lemah) Misalan diberian pemrograman linear primal dan masalah dualnya Misalan x adalah solusi fisibel untu masalah primal dalam bentu standarnya dan misalan y solusi fisibel untu masalah dual, maa nilai fungsi objetif dari masalah primal selalu lebih besar atau sama dengan nilai fungsi objetif dari masalah dual Buti : lihat (Nash & Sofer, 996) Aibat Jia x adalah solusi fisibel untu masalah primal, y adalah solusi fisibel untu masalah dual, dan b y = c x, maa x dan y adalah solusi optimal berturut-turut untu masalah primal dan dual eorema (eorema Dualitas Kuat) Misalan diberian pemrograman linear primal dan masalah dualnya Jia salah satu dari masalah primal atau masalah dual tersebut memilii solusi optimal, maa masalah lainnya juga memilii solusi optimal dan nilai fungsi objetif optimalnya adalah sama

12 Buti : Misalan diasumsian bahwa masalah primal dalam bentu standar dan mempunyai solusi x yang merupaan solusi basis fisibel optimal Misalan x dapat dinyataan sebagai xb vetor x =, dengan x B adalah vetor xn variabel basis dan x N adalah vetor variabel nonbasis Selain itu, seperti telah dijelasan sebelumnya matris A dapat dinyataan sebagai A = ( B N) dan vetor oefisien pada fungsi objetif c dapat dinyataan cb sebagai c = Karena B adalah matris cn tasingular, maa B memilii invers sehingga x B dapat dinyataan sebagai x B = B b Dari sebelumnya dietahui pula, jia x optimal maa biaya teredusinya adalah B c N c B N 0 atau cb B N cn (*) Misalan y adalah vetor dari pengali simples yang berhubungan dengan solusi basis fisibel, dengan y = B c B atau y = c BB Aan ditunjuan bahwa: Nilai dari fungsi objetif masalah primal dan dual adalah sama, yaitu b y = c x y adalah optimal untu masalah dual Buti: Sebelumnya aan diperisa terlebih dahulu efisibelan dari y: y A = c BB ( B N) = ( cb cb B ) N ( c B c N ) dari (*) = c Sehingga A y c dan y fisibel untu masalah dual, emudian dihitung nilai objetif untu masalah primal (z) dan dual (w): z = c x = cb x B = c B B b w = b y = y b = c B B b = z Jadi y adalah fisibel untu masalah dual dan nilai fungsi objetif solusi optimal dari masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama Karena b y = c x maa y adalah solusi optimal untu masalah dual (dari Aibat )_ Buti dari teorema dualitas uat menghasilan solusi optimal dual Misalan xb cb x =, A = ( B N), dan c = xn cn maa nilai optimal dari variabel dual diberian oleh vetor pengali simples y = B c B Dari buti teorema dualitas uat terlihat bahwa ondisi primal optimal B c N c B N 0 adalah eivalen dengan ondisi fisibel dual A y c atau c A y 0 Jadi vetor dari biaya teredusi ĉ adalah vetor variabel slac dual ˆ c = c A y Contoh 5 Misalan diberian pemrograman linear primal sebagai beriut: Minimuman z = 5x 7x 93x3 74x4 55x 5 terhadap x x x x x x 3 4 x5 x3 3 x4 x5 x x x x 4 x i 0, untu i = {,,3,4,5} Masalah dual dari masalah tersebut adalah sebagai beriut: Masimuman w = y y y y y y6 y y y3 y y y4 7 y y4 y5 93 y y5 y6 74 y 3 y5 55 terhadap 5 y 0, untu i = {,,3,4,5,6} i Dengan menggunaan LINDO 6, diperoleh solusi dari masalah primal sebagai beriut: x = x = x =, x = x = dengan nilai fungsi objetifnya z = 5 (lihat Lampiran ) Nilai pengali simples untu masing-masing endala adalah sebagai beriut: y = y = 0, y3 = 5, y4 = 7, y5 = 4, y6 = 70 dengan yi adalah nilai pengali simples endala e-i

13 3 Solusi dari masalah dual tersebut juga dapat dicari dengan menggunaan LINDO 6 yang menghasilan solusi: y = y = y =, y = 5, y = 7, y = dengan nilai fungsi objetif w = 5 (lihat Lampiran ) Dari penghitungan tersebut, terlihat bahwa fungsi objetif dar i masalah primal dan dual mempunyai nilai yang sama seperti dinyataan dalam eorema _ 4 Pemrograman Linear Bilangan Bulat Model pemrograman linear bilangan bulat (Integer Linear Programming/ILP) adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunaan berupa bilangan bulat (integer) Jia semua variabel harus berupa bilangan bulat, maa masalah tersebut disebut ILP-murni Jia hanya sebagian yang harus bilangan bulat maa disebut ILP-campuran ILP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau disebut 0- I LP Definisi (Pemrograman Linear Relasasi) PL-relasasi dari suatu ILP merupaan pemrograman linear yang diperoleh dari ILP tersebut dengan menghilangan endala bilangan bulat atau endala 0- pada variabelnya (Winston, 995) Model yang digunaan pada tulisan ini yang beraitan dengan masalah ILP adalah model masalah pemartisian himpunan 5 Masalah Pemartisian Himpunan Definisi (Partisi) Misalan diberian dua himpunan, yaitu I,,, m P = P P,, dengan = { } dan { }, P j adalah suatu himpunan bagian dari I, j J =,,, n { } Himpunan P j, j J * J adalah partisi dari I jia: P j = I dan Υ j J * P n * untu j, J, j P j P = ø (Garfinel & Nemhauser, 97) Ilustrasi dari suatu partisi dapat dilihat pada Contoh 6 beriut: Contoh 6 Misalan diberian himpunan I =,,3,4,5,6 dan elas-elas himpunan { } P = {,6}, P = { 3,4}, P 3 = {,4,6}, 4 = { } P {,3,5} 5 = P, P, Partisi dari I di antaranya adalah { 3, P 4 } arena untu himpunan J * = { 3,5} memenuhi: Υ P j = I dan j J * * untu j, J, j P j P = ø _ Masalah pemartisian himpunan (set partitioning problem/spp) adalah masalah menentuan partisi dari himpunan I dengan biaya minimum Untu mendapatan partisi tersebut, misalan didefinisian variabel 0- sebagai beriut: x j =, jia P j termasu dalam partisi 0, selainnya Bentu umum SPP: Minimuman c j x j n j= terhadap A( j) x = n j= j x = 0 atau j dengan c j adalah biaya P j, A(j) adalah matris oefisien endala, dan adalah vetor dengan dimensi n dengan semua omponennya sama dengan Model ini memilii beberapa sifat penting, yaitu: Sifat Masalah pada model memilii endala berupa persamaan Sifat Nilai sisi anan semua endala adalah Sifat 3 Semua elemen matris oefisien A(j) adalah 0 atau Contoh 7 (Masalah pemartisian himpunan) Misalan diberian himpunan I beserta elas -elas P seperti pada Contoh 6 Misalan dietahui biaya dari masing-masing elas P j, yaitu c j, dengan c = 5, c = 0, c3 = 9, c4 = 8, c5 = 7 Diinginan himpunan dari P j yang dapat memartisi I dengan biaya minimum Masalah tersebut dapat dimodelan sebagai masalah pemartisian himpunan Misalan didefinisian variabel 0- sebagai beriut: x j =, jia P j termasu dalam partisi 0, selainnya

14 4 A(j) =, jia elemen e-j di I merupaan elemen P j, dengan j =,,, 5 0, selainnya Masalah tersebut dapat dimodelan sebagai SPP beriut: Minimuman 5x 0x 9x3 8x4 7 x5 terhadap x x (elemen ) 3 = 4 x5 = x5 = x (elemen ) x (elemen 3) x x (elemen 4) 3 = x 5 = (elemen 5) x x3 = (elemen 6) x = 0 atau, untu j = {,, 3, 4, 5} j Dengan mengunaan LINDO 6 diperoleh solusi untu masalah SPP sebagai beriut: x = x = x4 = 0, x3 = x5 =, dan nilai fungsi objetif sebesar 36 Jadi partisi dari I =,,3,4,5,6 dengan biaya minimum { } adalah P {,4,6} dan {,3,5} 3 = P 5 = III DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Dalam masalah pengambilan dan pengiriman (PDP) sejumlah rute harus dionstrusi guna memenuhi semua permintaan transportasi (transportation request/r) Permintaan transportasi dapat diartian sebagai suatu permintaan pengiriman barang yang harus dibawa secara langsung dari loasi pengambilan barang (tempat asal) e loasi pengiriman (tempat tujuan) Setiap permintaan transportasi memilii uantitas barang yang dibawa oleh suatu endaraan Kuantitas barang yang dibawa e tempat tujuan belum tentu semuanya diturunan pada tempat tujuan Bisa jadi hanya sebagian barang yang diturunan atau bahan tida diturunan sama seali Barang yang tida diturunan emudian diiriman e tempat tujuan selanjutnya Bisa jadi dalam pengiriman tersebut ditambah dengan barang yang diangut pada tempat penurunan barang Kuantitas barang dalam permintaan transportasi teradang tida selalu dietahui pada masalah pengambilan dan pengiriman Kuantitas tersebut dapat dicari melalui uantitas suatu barang yang harus diangut atau diturunan pada suatu tempat Armada endaraan sangat dibutuhan dalam PDP Armada endaraan dapat beroperasi dalam berbagai rute Suatu armada dapat memilii berbagai macam tipe endaraan Setiap tipe endaraan memilii depot dan apasitas pengangutan barang Depot merupaan tempat di mana endaraan tersebut diberangatan dan embali setelah perjalanan usai Masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu (pic up and delivery problem with time windows/pdpw) merupaan pengembangan dari PDP, dengan endala watu diartian sebagai selang watu untu menunggu pengambilan atau pengiriman di suatu tempat Sebagai ilustrasi pada pengambilan surat oleh P Pos Indonesia Misalan saja watu pengambilan surat di suatu ota pos adalah tepat puul 900 Sering ali dalam pelasanaannya dihadapan pada berbagai masalah perjalanan, sehingga diperiraan endaraan tersebut aan tiba seitar puul 850 sampai puul 90 Periraan watu tersebut digunaan sebagai endala watu pada PDPW Dalam masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu, setiap permintaan transportasi memilii endala watu yang ada pada saat pengambilan maupun pengiriman Hal ini berarti setiap endaraan harus mengunjungi setiap tempat sesuai dengan endala watu yang ada Di depot, setiap tipe endaraan dalam armada juga memilii endala watu, sehingga endaraan tersebut berangat dan pulang e depot sesuai dengan watu yang tersedia Jia rute-rute dalam PDPW yang memenuhi permintaan transportasi telah dionstrusi, maa harus dicari bagaimana cara memenuhi semua permintaan transportasi tersebut dengan biaya minimum Beberapa asumsi digunaan dalam model PDPW ini Asumsi tersebut adalah: Barang yang diambil dan diirim merupaan barang yang homogen Barang tersebut diiriman oleh satu endaraan dari loasi pengambilan e loasi pengiriman tanpa adanya biaya pengangutan di tengah loasi 3 Watu yang diperluan untu bongar muat barang pada loasi pengambilan dan loasi pengiriman dapat dengan mudah

15 5 digabungan pada watu perjalanan, sehingga tida aan dibahas secara esplisit 3 Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu Masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu dapat dimodelan sebagai beriut: Misalan S adalah himpunan permintaan transportasi Untu setiap permintaan transportasi i S, muatan q i? Ν { 0} aan diantaran dari tempat asal i e tempat tujuan i -, dengan Ν adalah himpunan bilangan asli Misalan didefinisian Sˆ ={i i S} sebagai himpunan tempat asal dan Sˆ = { i i S} sebagai himpunan tempat tujuan Untu setiap i S, misalan endala watu pengambilan pada tempat i dinotasian sebagai [e i, l i ] dan endala watu pada saat pengiriman di tempat i - dinotasian dengan [ e ī, l - i ] Misalan M adalah himpunan dari tipe endaraan Setiap endaraan dengan tipe M, mempunyai apasitas muatan Q Ν,, memilii depot dan dapat digunaan dalam selang watu [e, l ] Banyanya endaraan bertipe dinotasian sebagai m Didefinisian M ={ M} sebagai himpunan dari depot Misalan didefinisian himpunan S ={ i i Sˆ M }, himpunan S = { i i Sˆ M } dan himpunan V = S S - M Untu setiap i,j V, M didefinisian: t i j sebagai watu perjalanan yang ditempuh oleh endaraan tipe dari tempat i e tempat j c i j sebagai biaya perjalanan yang ditempuh oleh endaraan tipe dari tempat i e tempat j 3 Pemodelan Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu e dalam Suatu Graf Masalah pengambilan dan pengiriman dapat dimodelan e dalam suatu graf berbobot, dengan: Sisi berarah melambangan permintaan transportasi dengan bobot melambangan muatan sebes ar q, dan untu set iap sisi i S dilabeli dengan i, qi Simpul melambangan tempat asal dan tempat tujuan Contoh 8 beriut merupaan ilustrasi untu memodelan PDPW e dalam suatu graf Contoh 8 Suatu perusahaan harus mendistribusian produnya e tiga agen penjualan Misalan setiap tempat saling berhubungan sehingga membentu cycle berarah Misalan pula hanya ada satu endaraan dengan muatan masimum sebesar 70 g Kendaraan tersebut beroperasi dari puul 00 selama 4 jam Kendala watu di setiap agen diberian seperti pada abel abel R dan endala watu R q i empat Batas Watu (i) (g) Asal ujuan Pengambilan Pengiriman a 70 v v b 30 v v c 50 v 3 v d 50 v 4 v Maa masalah tersebut dapat dimodelan sebagai beriut: d,50 v v 4 a,70 c, 50 Gambar 3 Contoh 8 dalam bentu graf b, 30 Dari contoh tersebut, depot perusahaan dilambangan oleh v Kendaraan beroperasi dari puul 00 sampai puul 500 Himpunan permintaan transportasi adalah S = {a, b, c, d} Setiap endaraan yang melewati permintaan transportasi aan membawa barang dari tempat asal e tempat tujuannya Sebagai contoh, endaraan yang melewati permintaan transportasi a (R a) aan membawa barang sebesar 70 g dari tempat asal a (atau v ) e tempat tujuan a - (atau v )_ v v 3 3 Kuantitas Barang di empat Pengambilan dan Pengiriman Barang Misalan didefinisian Q i Ζ sebagai uantitas barang yang ada di tempat i W= S S, dengan Ζ adalah himpunan bilangan bulat dan W adalah himpunan seluruh

16 6 tempat pengambilan dan pengiriman tanpa adanya suatu depot erdapat tiga asus untu uantitas barang Q i Jia Q i < 0, maa barang sebanya Q i harus diangut di tempat i Jia Qi > 0, maa barang sebanya Qi harus diturunan di tempat i Jia Qi = 0, maa pada tempat i tida aan dilauan pengangutan maupun penurunan barang Misalan terdapat j tempat dalam PDP Misalan pula v i adalah suatu tempat sedemiian sehingga untu v, v,, v i- merupaan tempat asal bagi v i yang dihubungan oleh R,, i-, sedangan v i, v i,,v j adalah tempat tujuan dari v i yang dihubungan oleh R i, i,, j Setiap R memilii uantitas barang sebesar q, q,, q i-, q i, q i,, q j Masalah PDP ini dapat dimodelan dalam bentu graf beriut v v i, q i, q i v, q i-, q i- v i j, q j i, q i v i v i- v j Gambar 4 Graf dari m tempat Karena barang yang diiriman merupaan barang yang homogen, maa banyanya barang pada tempat v i dapat dimodelan sebagai beriut: i Q v i = q j n qn (0) n= n= i Hal ini berarti uantitas barang yang masu pada tempat vi harus sama dengan jumlah barang di tempat vi ditambah jumlah barang yang eluar dari vi Persamaan (0) belum tentu berlau pada suatu depot Karena uantitas barang pada saat endaraan berangat dari depot belum tentu sama dengan uantitas barang setelah perjalanan usai Ilustrasi mengenai uantitas barang di suatu tempat dapat dilihat dalam Contoh 9 Contoh 9 Perhatian masalah PDPW dalam Contoh 8 R a mengiriman 70 g barang dari v e v, sehingga pada tempat v terdapat 70 g barang Lalu barang tersebut diambil embali sebesar 30 g dan diiriman e tempat v 3 sesuai dengan R b Aibatnya uantitas barang yang diturunan pada tempat v sebesar 40 g Dengan cara yang sama dapat dicari nilai uantitas barang pada tempat v 3 dan v 4 Pada tempat v 3 dilauan pengangutan barang sebesar 0 g, sedangan pada tempat v 4 tida dilauan pengangutan maupun penurunan barang Setelah perjalanan usai, endaraan masu e depot dengan membawa barang yang aan diturunan sebesar 50 g _ Dalam PDP, uantitas barang dalam permintaan transportasi teradang harus dicari melalui uantitas barang pada tempat asal dan tempat tujuan Kuantitas barang pada R tida selalu mencerminan uantitas pada tempat pengambilan maupun tempat pengiriman arena pada dasarnya uantitas pada R adalah uantitas barang yang dibawa oleh suatu endaraan dari tempat asal e tempat tujuan Untu mencari nilai uantitas barang dalam R dari suatu PDP secara eseluruhan, dapat dimulai dengan memilih arah perjalanan Perjalanan dimulai dan diahiri dari suatu depot Kuantitas R dapat dicari dengan menggunaan Persamaan (0) Pencarian dihentian setelah semua R ditemuan

17 7 33 Rute dalam Masalah Pengambilan dan Pengiriman dengan Kendala Watu Ada banya cycle yang dapat dibuat dari PDPW Namun cycle-cycle tersebut belum tentu menjadi rute dalam PDPW Misal an didefinisian: V = S S - { } S D i D i = Himpunan R yang berpadanan dengan V = watu pengambilan/watu eberangatan endaraan tipe pada tempat i = watu pengiriman/watu tiba i himpunan permintaan transportasi dalam rute R 3 Setiap i S, jia {i, i } V maa i diunjungi terlebih dahulu dari pada i 4 Setiap tempat di V (ecuali depot ) diunjungi tepat ali 5 Setiap tempat di V (ecuali depot ) diunjungi sesuai dengan endala watuny a Ini berarti: i S, D [ e, l ] D [ e, l ] i i i i sedemiian sehingga harus memenuhi:? D i t i D i? x = x = D D i i j j i j endaraan tipe pada tempat dengan t i = t j S dan i = j i i 6 Muatan endaraan tida pernah melebihi, jia endaraan tipe Q, dengan Q adalah apasitas endaraan x i j = melewati tempat i e tempat j tipe 0, selainnya 7 Dalam rute R endaraan berhenti pada depot Rute dalam PDPW didefinisian sebagai dan tida melebihi watu tiba beriut endaraan ( l ) pada depot Contoh beriut ini adalah ilustrasi mengenai suatu rute dalam PDPW Definisi 3 (Rute Fisibel PDPW) Rute pengambilan dan pengiriman R untu endaraan tipe yang fisibel untu PDPW Contoh 0: Pencarian rute PDPW Misalan dietahui permintaan adalah cycle berarah pada V V yang transportasi (R) dari suatu perusahaan memenuhi: seperti pada abel Misalan hanya terdapat Dalam rut e R endaraan berangat dari depot satu depot dan dilambangan dengan empat dan tida berangat sebelum erdapat satu endaraan berapasitas watu pemberangatan endaraan yang ditentuan ( e masimum 00 g dari satu tipe endaraan ) yang beroperasi dalam PDPW ini Setiap i S harus memenuhi i V jia Kendaraan tersebut hanya dapat dioperasian dan hanya jia i V, dengan S adalah mulai puul 700 pagi sampai dengan puul 000 pagi abel Permintaan transportasi suatu perusahaan R qi empat Batas Watu ( i ) (g) Asal ujuan Pengambilan Pengiriman (menit) a b c d e f g h t i i i

18 8 Untu mempermudah pencarian rute, masalah pada Contoh 0 dapat dimodelan dalam suatu graf beriut a,0 b,00 h,5 g,0 Gambar 5 Graf dari Contoh 0 Dalam Gambar 5, himpunan tempat asal, tempat tujuan dan Depot adalah V = S S - {} = {,,3,4,5} erdapat empat cycle berarah yang berawal dan berahir di Simpul Cycle tersebut adalah -3-5-, , , dan Ke empat cycle tersebut belum tentu menjadi suatu rute dalam PDPW Suatu cycle dapat diataan rute PDPW jia memenuhi seluruh persyaratan dalam Definisi Rute Fisibel PDPW Perhatian cycle pertama (-3-5-) Ambil {,3,5} V Cycle tersebut memenuhi etujuh syarat dalam Definisi Rute Fisibel PDPW Dalam cycle pertama, endaraan berangat dari Depot antara puul Watu eberangatan endaraan pada Depot adalah puul 700, sehingga batas watu pengambilan tida mendahului watu pemberangatan endaraan pada Depot Untu setiap permintaan transportasi i {b,g,h} memenuhi i {,3,5} jia dan hanya jia i {,3,5} 3 Untu setiap permintaan transportasi i {b,g,h} dan {i, i } {,3,5}, berlau i diunjungi terlebih dahulu dari pada i 4 empat 3 dan 5 diunjungi tepat ali 5 em pat 3 dan 5 diunjungi sesuai dengan endala watunya Operasi penjumlahan pada langah ini merupaan penjumlahan antara watu eberangatan dengan lamanya perjalanan dalam satuan menit Cycle memenuhi: 5 c,90 e,70 d, f,70 b Untu i=b, D = 700 [700, 705] D b = 75 [75, 70]? ? x,3 = x3,5 = D D g g b 75 D Untu i = g, D = 840 [840, 845] g D = 857 [855, 900]? x,3 = x 3,5 = ? ? x = x D D 3,5 5, = g g h 857 D h Untu i = h, D = 908 [905, 90] h D = 958 [950, 000] 3,5 5, =? x = x ? Muatan barang yang dibawa oleh endaraan tida pernah melebihi 00 g, arena uantitas masimum pada R i {b,g,h} adalah sebesar 00 g 7 Rute endaraan cycle pertama berhenti pada Depot pada puul 958 Batas watu masimum edatangan endaraan pada Depot adalah puul 000 Rute tersebut tida melewati batas watu tiba endaraan di Depot Aibatnya cycle pertama merupaan rute fisibel PDPW Berbeda dengan cycle pertama, cycle edua ( ) buan merupaan rute fisibel PDPW, arena tida memenuhi syarat elima dalam Definisi Rute Fisibel PDPW Ambil {,,3,4,5} V Perhatian permintaan transportasi c dan d Pada R c, muatan sebesar 90 g aan diiriman e Simpul ( c ) dengan batas watu puul Kendaraan tersebut diharusan memenuhi R selanjutnya, yani R d Kendala watu pemberangatan pada Simpul (d ) adalah puul , yang tida mungin dipenuhi jia endala watu pada c adalah Ini berarti cycle edua buan merupaan rute fisibel PDPW Perhatian cycle etiga ( ) dan cycle eempat (--4-5-) Ambil {,,3,4,5} V untu cycle etiga dan {,,4,5} V untu cycle eempat Kedua cycle tersebut buan suatu rute fisibel dalam PDPW, arena muatan barang yang h

19 9 diiriman melalui R a melebihi apasitas endaraan _ 3 Formulasi Masalah sebagai Masalah Pemartisian Himpunan Untu memformulasian PDPW sebagai masalah pemartisian himpunan, Misalan didefinisian:? = himpunan semua rute pengambilan dan pengiriman yang fisibel untu tipe endaraan, jia i S ada dalam rute r Ω δir = 0, selainnya, jia ruter Ω digunaan x r = 0, selainnya c r = biaya dari rute r? Biaya dari rute yang fisibel dapat di definisian sebagai penjumlahan seluruh biaya pada R yang digunaan pada rute tersebut, yaitu: c r = i V j V ij c ij x ir i i i S = c δ Masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu diformulasian sebagai pemrograman linear bilangan bulat (ILP) beriut: minimuman cr xr () terhadap M r Ω dir xr M r O xr m ; r Ω r 0,}; = ; M i S () (3) x { M, r Ω Fungsi objetif () menyataan bahwa aan dicari rute yang memilii biaya minimum dari semua rute yang ada pada endaraan tipe Kendala () menyataan setiap permintaan transportasi hanya dilewati oleh satu rute endaraan tipe Kendala ini disebut sebagai endala pemartisian Kendala (3) menyataan rute endaraan tipe dapat dilewati oleh masimum m endaraan Kendala (3) ini disebut sebagai endala etersediaan endaraan Kolom pada matris endala menyataan rute pengambilan dan pengiriman yang fisibel untu endaraan bertipe IV PENYELESAIAN MASALAH 4 eni Pembangitan Kolom Masalah pengambilan dan pengiriman dengan endala watu (PDPW) bersala besar sering m elibatan rute dalam jumlah yang banya Masalah seperti ini dapat diselesaian dengan algoritme simples, namun memerluan banya watu dalam pengerjaannya Alternatif lain penyelesaian masalah ini adalah teni pembangitan olom (column generation) eni pembangitan olom merupaan teni untu menyelesaian suatu pemrograman linear dengan hanya menggunaan sebagian variabel dari masalah es eluruhan Masalah PL dengan sebagian variabel tersebut diselesaian hingga mendapatan solusi yang optimal Jia ondisi tersebut belum mencapai ondisi optimal pada masalah eseluruhan, maa PL dari sebagian variabel aan ditambahan dengan variabel yang memenuhi suatu riteria tertentu, emudian diselesaian untu mendapatan solusi yang optimal bagi PL tersebut Hal ini terus dilauan hingga mencapai ondisi optimal pada masalah eseluruhan atau telah mencapai suatu riteria pemberhentian Dalam teni pembangitan olom masalah PDPW diselesaian melalui PLrelasasinya PL-relasasi dari masalah PDPW didapatan dengan cara mengganti r batasan x {0,} dengan x 0, sehingga PL-relasasi dari masalah PDPW adalah: minimuman c r xr terhadap M r Ω dir xr M r O x r m r Ω r = ; r ; M i S (4) (5) x 0 ; M, r Ω Masalah PL-relasasi disebut sebagai masalah indu (master problem/mp) Dalam teni pembangitan olom digunaan masalah indu terbatas (restricted master problem/rmp), yaitu masalah pemrograman linear dengan menggunaan sebagian variabel dari MP Misalan RMP pada langah tertentu t, dinotasian dengan RMP t, dapat dinyataan sebagai:

20 0 RMP t : minimuman terhadap c r M r Ω dir M r O x r r Ω xr x x r r = ; i S m ; M 0 ; M, r Ω' Ω Misalan masalah indu (MP) dari PDPW mempunyai solusi fisibel x Jia biaya teredus i dari masalah MP tersebut adalah tanegatif maa x merupaan solusi optimal bagi MP Biaya teredusi dari masalah PL dapat ditemuan melalui masalah dualnya Untu mencari masalah dual dari MP, misalan variabel dual u i (i S) diasosiasian dengan Kendala (4) dan variabel dual v ( M) diasosiasian dengan Kendala (5) Maa masalah dual dari MP adalah: masimuman terhadap δ u v ir i S i i i i S r u m v M c ; r Ω, M u taterbatas dan v 0 (6) Misalan didefinisian d r sebagai biaya teredusi dari masalah MP dengan dr = cr δ irui v; r Ω, M i S Keoptimalan solusi RMP untu masalah eseluruhan dapat diperisa dengan mencari nilai biaya teredusi dari seluruh rute yang fisibel Masalah pencarian biaya teredusi dari masalah eseluruhan disebut sebagai pricing problem Pricing problem untu masalah PDPW adalah sebagai beriut: r minimuman{ c δirui v i S r Ω, M } Misalan z adalah solusi dari pricing problem Misalan z adalah tipe endaraan yang berpadanan dengan z dan r z adalah rute yang berpadanan dengan z Jia z 0, tida ada lagi rute yang dapat dioptimalan, sehingga solusi optimal RMP merupaan solusi optimal untu MP Sebalinya jia z < 0, maa z x merupaan variabel yang dapat masu e dalam basis, sehingga olom (rute) r z untu endaraan tipe z ditambahan e dalam Ω Secara ringas teni pembangitan olom untu optimasi PDPW dapat ditulisan sebagai beriut: z rz Himpunan awal Ω ditentuan sehingga anggota dari himpunan tersebut mempunyai solusi fisibel untu vetor x Masalah indu terbatas diselesaian dengan menggunaan algoritme simples 3 Pricing problem diselesaian Jia z 0 maa proses berahir Jia z < 0, maa Ω = Ω { r z } dan embali e Langah z 4 Pricing Problem Pricing problem dalam PDPW dapat dideomposisi menjadi beberapa submasalah, berdasaran tipe endaraan untu mempermudah pencarian biaya teredusi jia dihadapan pada tipe endaraan yang beragam Misalan pricing problem P adalah masalah mencari biaya teredusi dari rute fisibel untu endaraan bertipe, sehingga P adalah masalah: meminimuman c δ u v r Ω r ir i S Masalah pricing problem P dapat dimodifiasi menjadi masalah pemrograman linear, dengan tujuan mempermudah pencarian biaya teredusi untu endaraaan bertipe sama dalam sala besar Misalan didefinis ian = c j j c i i = c u i i i i, c v dan biaya rute fisibel r oleh endaraan bertipe didefinisian sebagai: c r = i V j V ij c ij x ir = c δ (7) i S i i Biaya teredusi dari rute fisibel r oleh endaraan bertipe dapat ditulisan menjadi: d r = cr δ irui v = = i S c ij x i V j V c i S Karena nilai i i x ij i i i i δ ir i i S u v ir i i S δ u v x aan sama dengan nilai untu rute fisibel yang sama, maa: c u x v r d = ( i ) i i i i S = cij xij v i V j V i (8) δ ir Biaya eredusi (8) dapat digunaan untu mencari rute fisibel dengan biaya teredusi minimum, namun perlu dijamin agar R yang dipilih aan membentu suatu rute fisibel, sehingga pricing problem P dapat diformulasian sebagai beriut:

21 Minimuman terhadap: c i V j V ij xij v (9) x = (a) j V j x = (b) j V j V j i j x { 0,} = j V j i x = Yi ; i S (c) Y i ; i S (d) D D l i i = D i i t i i D i = x = D D i i j j i j e ; i S (e) x ; i S (f) x ; i = j, j S, i S (g) e D l ; i S (h) i i i i i e D l ; i S (i) i x = qi Q ; i S (j) i i { 0, } x i, j ; i j V, () Fungsi objetif P dapat disederhanaan menjadi: c x v i V j V = j V ij ij j c x cij xij v j i S S j V Karena R yang berawal dari depot menuju e seluruh tempat i V hanya dilewati satu ali ( b V x j = ), maa fungsi objetif P dapat ditulisan menjadi: ( c v ) x c ij x j V = j V j c x j i V j V j = c ij xij j i S S i S S j V c ij x j V Fungsi objetif (9) menyataan bahwa aan dicari R yang memilii biaya teredusi minimum Kendala (a) menjamin aan dipilih satu R yang berawal dari depot e tempat j V Kendala (b) menjamin menjamin aan dipilih satu R yang berawal dari tempat j e depot Kendala (c) dan (d) V menjamin endaraan berangat dari depot, satu ali melewati R i S, satu ali melewati tempat i V dan berahir pada depot yang sama Kendala (e), (f), (g), (h) dan (i) menjamin endaraan mengunjungi tempat pengambilan dan pengiriman sesuai dengan endala watu Kendala (j) menjamin endaraan melewati R sesuai dengan endala apasitas endaraan Misalan z adalah solusi dari pricing problem P Nilai biaya teredusi terecil dari seluruh pricing problem P adalah: z = min { z, z,, z }, M Nilai biaya teredusi tersebut digunaan untu memerisa eoptimalan solusi RMP untu masalah eseluruhan ij ij V CONOH KASUS Misalan permintaan transportasi (R) dari suatu perusahaan diberian dalam abel 3 Depot dilambangan oleh empat dan erdapat dua tipe endaraan yang dapat dioperasian dari puul 7 pagi hingga puul siang ipe endaraan pertama berangat dari Depot, sedangan tipe endaraan edua berangat dari Depot erdapat 4 endaraan untu setiap tipe endaraan Kendaraan tipe pertama memilii apasitas masimum sebesar 40 unit barang, sedangan endaraan tipe edua memilii apasitas masimum sebesar 00 unit barang Biaya rute fisibel didefinisian sebagai biaya R yang digunaan dalam rute tersebut Masalah PDPW ini dapat dimodelan e dalam suatu graf seperti pada Gambar 6

22 abel 3 Contoh asus masalah PDPW R q i empat Batas watu Biaya Perjalanan Kendaraan (i) (unit ) Asal ujuan Pengambilan Pengiriman (menit) ipe ipe a b c d e f g h i j l m n o p q r s t u v w x y z aa bb i t = t i

23 b,0 h, 0 c,00 5 t, 70 u, 0 g, 50 d, x 0 y, 0 s, 0 w, 40 v, 00 a,40 i, 0 6 e, 0 f, 00 r, 0 j, 0 n, 0 7, 30 q, 80 m, 70 bb, 5 z, 70 aa, l, 50 8 o, 30 p, 60 Gambar 6 Graf dari abel 3 0 erdapat 3 cycle berarah yang dapat dibentu dari Gambar 6 Namun hanya ada 0 rute yang fisibel untu masalah PDPW Pencarian rute PDPW yang fisibel dapat dilihat dalam Lampiran 3 Rute endaraan yang fisibel untu masalah PDPW adalah: R, = untu R { a,b,c,d,e} R, = untu R {n,o,p,q,r} R,3 = untu R {n,l,q,r} R,4 = untu R {s,t,u} R,5 = untu R {s,x,y} R,6 = untu R {v,w,x,y} R, = untu R {f,g,h,i} R, = untu R {j,,l,m } R,3 = untu R {j,,o,p,m} R,4 = --- untu R {z,aa,bb} Untu memformulasian PDPW sebagai masalah pemartisian himpunan, didefinisian: M = {,}? = {,,3,4,5,6}? = {,,3,4} δ ir, jia i S ada dalam rute r Ω : = 0, selainnya, jia rute r Ω digunaan x r : = 0, selainnya,3 3,4 4,5 c5,6 6, c = c c c c = = 330,9 9, 0 0,8 c 8,7 c = c c c c 7, = = 550 c = c c c c 3 4,9 9,8 8,7 = = 440,4 c 4,6 c = c c 6, = = 40 c = c c c 5 6,4 4,5 5, = = 70,3 3,4 c 4, 5 c = c c = = 60 c = c c c c,6 6,3 3,5 7, 5, = = 60 c = c c c c 3,7 7,9 9,8 8, = = 300,7 7,9 9, 0 c = c c c 4 c 5, = 60 c 0,8 c 8, = = 90, c,, c = c c = = 380 Masalah PDPW diformulasian beriut: sebagai

24 4 minimuman 330 x 550 x 440 x 3 40 x 4 70 x 5 60 x 6 60 x 300 x 90 x x 4 terhadap: a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) ) x = x = x = x = x = x = x = x = x = x x 3 = x x 3 = l) m) n) o) p) q) r) s) t) u) v) x 3 x = x x 3 = x x 3 = x x 3 = x x 3 = x x 3 = x x 3 = x 4 x 5 = x 4 = x 4 = x 6 = w) x) y) z) aa) bb) ) ) 3) x 6 = x 5 x 6 = x 5 x 6 = x 4 = x 4 = x 4 = x x x 3 x 4 x 5 x x x 3 x4 4 x, x, x 3, x 4, x 5, x 3, 4 x {0, } x6 4 Masalah indu dari masalah PDPW variabel untu RMP 0 yang memilii solusi diperoleh dengan mengganti batasan fisibel bagi RMP 0 Variabel tersebut adalah x r {0,} dengan x r 0 ; untu =, r = x, x, x 4, x 6, x, x dan x 4 Dengan,,3,4,5,6 dan untu =, r =,,3,4 Dalam teni pembangitan olom, misalan dipilih demiian RMP0 yang terbentu adalah sebagai beriut: minimuman 330 x 550 x 40 x 4 60 x 6 60 x 300 x 380 x 4 terhadap: a) x = i) x = q) x = y) x 6 = b) x = j) x = r) x = z) x 4 = c) x = ) x = s) x 4 = aa) x 4 = d) x = l) x = t) x 4 = bb) x 4 = e) x = m) x = u) x 4 = ) x x x 4 x6 4 f) x = n) x = v) x 6 = ) x x x4 4 g) x = o) x = w) x 6 = x, x, x 4, x 6, x, x, x 4 0 h) x = p) x = x) x 6 = x 6, x, x, Dengan menggunaan LINDO 6 masalah RMP 0 menghasilan solusi beriut: x = x = x 4 = x 6 = x = x = x 4 =, dengan biaya sebesar 30 (lihat Lampiran 4) Solusi masalah dual untu RMP 0 adalah: u a = 330, u f = 60, u j = 300, u n = 550, u s = 40, u v = 60, u z = 380 dan u b = u c = u d = u e = u g = u h = u i = u = u l = u m = u o = u p = u q = u r = u t = u u = u w = u x = u y = u aa = u bb = v = v = 0 Keoptimalan solusi RMP untu MP dapat diperisa dengan menyelesaian pricing problem Karena terdapat dua tipe endaraan, maa pricing problem dapat dideomposisi berdasaran tipe endaraannya Masalah pencarian rute dengan biaya teredusi terecil untu endaraan ipe dinotasian sebagai P dan untu endaraan ipe dinotasian sebagai P Seluruh tempat dan R yang digunaan dalam P, dapat dimodelan e dalam bentu graf beriut:

25 5 4 6 b,0 c,00 3 h, 0 5 t, 70 u, 0 d, 80 x 0 5 y, 0 a,40 e, s, 0 n, 0 r, 0 7 w, 40 v, 00 q, l, 50 8 o, 30 p, 60 0 Gambar 7 Graf dari V S Pricing problem P dapat ditulisan menjadi: Minimuman (00 u a v )x,3 (90 u b ) x 3,4 (70 u c )x 4,5 (40 u d )x 5,6 (30 u e ) x 6, (80 u h )x 3,5 (90 u l ) x 9,8 (70 u n v ) x,9 (90 u o ) x 9,0 (0 u p )x 0,8 (40 u q ) x 8,7 (40 u r )x 7, (50 u s v ) x,4 (90 ut )x4,6 (00 uu ) x6, (90 uv v) x,3 (50 uw ) x3,4 (70 ux ) x4,5 (50 uy ) x5, terhadap: a) x,3 x,9 x,3 x,4 = b) x 6, x 5, x 7, x 6, = c) x,3 x,9 x,3 x,4 = x 6, x 5, x 7, x 6, = Y a c) x,3 = x 3,4 x 3,5 = Y b c3) x 3, 4 = x 4,5 = Y c c4) x 4,5 x 3,5 = x 5,6 = Y d c5) x 5,6 = x 6, = Y e c6) x 5,6 = x 6, = Y g c7) x,3 = x 3,4 x 3,5 = Y h c8) x 8,7 = x 7, = Y c9) x,9 = x 9,8 x 9,0 = Y l c0) x,3 x,9 x,3 x,4 = x 6, x 5, 40 x 7, 30 x 6, = Y n c) x,9 = x 9,0 x 9,8 = Y o c) x 9,0 = x 0,8 = Y p c3) x 9,8 x 0,8 = x 8,7 = Y q c4) x 8,7 = x 7, = Y r c5) x,3 x,9 x,3 x,4 = x 6, x 5, x 7, x 6, = Y s c6) x,4 x 3,4 = x 4,6 x 4,5 = Y t c7) x 4,6 = x 6, = Y u c8) x,3 x,9 x,3 x,4 = x6, x5, x7, x6, = Yv c9) x,3 = x3,4 = Yw c0) x,4 x 3,4 = x 4,6 x 4,5 = Y x c) x 4,5 = x 5, =Y y d) Y i { 0,} ; i = a, b, c, d, e, f, h, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y e) 700 D i D i 00 ; i = a, b, c, d, e, f, h, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w,x, y f) x,3 = D - a 40 D a f) x 3,4 = D - b 60 D b f3) x 4,5 = D - c 30 D c f4) x 5,6 = D - d 30 D d f5) x 6, = D - e 5 D e f6) x 3,5 = D - h 30 D h f7) x 9,8 = D - l 30 D l f8) x,9 = D - n 30 D n