REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION

Transkripsi

1 TUGAS AKHIR SM REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION AIRIN NUR HIDAYATI NRP Dosen Pembimbing Dr. Didi Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Diey Adziya, S.Si, M.Si. JURUSAN MATEMATIKA Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Tenologi Sepuluh Nopember Surabaya 017

2 Halaman ini sengaja diosongan

3 FINAL PROJECT SM REDUCTION OF ONE-DIMENSIONAL RIVER FLOW MODEL USING SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION METHOD AIRIN NUR HIDAYATI NRP Supervisiors : Dr. Didi Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Diey Adziya, S.Si, M.Si. DEPARTMENT OF MATHEMATICS Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 017

4 Halaman ini sengaja diosongan

5

6 Halaman ini sengaja diosongan vi

7 REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION Nama : Airin Nur Hidayati NRP : Jurusan : Matematia FMIPA ITS Dosen Pembimbing : 1. Dr. Didi Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Diey Adziya, S.Si, M.Si Abstra Sistem yang terdapat di alam semesta seringali memilii orde yang besar, sehingga watu omputasi yang dibutuhan semain lama pula. Oleh arena itu, dibutuhan penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memilii orde yang lebih ecil tanpa esalahan yang signifian. Penyederhanaan sistem inilah yang dimasud redusi model. Pada masalah aliran air sungai, model sistem yang digunaan merupaan sistem yang ta stabil. Dalam penyelesaian redusi model pada sistem ta stabil berbeda dengan penyelesaian pada sistem yang stabil. Untu sistem ta stabil dibutuhan proses deomposisi untu mendapatan subsistem stabil yang dapat diredusi. Metode Singular Perturbation Approximation (SPA) adalah salah satu metode redusi model. Pada redusi model meggunaan metode SPA, semua variabel eadaan dari sistem setimbang dipartisi menjadi mode cepat dan lambat. Selanjutnya, model teredusi diperoleh dengan mengambil ecepatan dari mode cepat sama dengan nol. Hasil simulasi menunjuan bahwa model aliran air sungai tida dapat diredusi dengan metode SPA. Sebab, pada model aliran air sungai bersifat ta terendali dan ta teramati. Sedangan pada metode SPA, sistem yang diredusi harus bersifat stabil asimtoti, terendali dan teramati. Kata unci: Redusi model, Sistem ta stabil, Model aliran air sungai, Deomposisi, Singular Pertubation Approximation. vii

8 Halaman ini sengaja diosongan viii

9 REDUCTION OF ONE-DIMENSIONAL RIVER FLOW MODEL USING SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION METHOD Name : Airin Nur Hidayati NRP : Department : Mathematics FMIPA-ITS Supervisors : 1. Dr. Didi Khusnul Arif, S.Si, M.Si. Dr. Diey Adziya, S.Si, M.Si Abstract The system in the universe often have large order, so that the computational time of analyze a higher-order system is longer than the computational time to analyze a smaller-order system. Therefore, we need to simplify the order of the system so that the system has a smallerorder without any significant errors. Simplification of this system can be done using the model reduction. The water flow model is nown to be unstable. The algorithm to reduce an unstable model is different compared to the algorithm to reduce a stable model. The unstable system needs to be decomposed to obtain a stable subsystem that can be reduced. Singular Perturbation Approximation (SPA) method is one of the model reduction method. The reduction of the model using SPA, all variables balanced realization is partitioned into fast and slow mode. Furthermore, the reduced model is obtained by taing the speed of fast mode is equal to zero. The simulation results showed that the model of water flow cannot be reduced by the method of SPA. Because, on the model of water flow is uncontrollable and unobservable. While the method of SPA requires an asymptotically stable system, controllable and observable. Keywords: Model reduction, Unstable system, The water flow model, Decomposition, Singular Perturbation Approximation. ix

10 Halaman ini sengaja diosongan x

11 KATA PENGANTAR Assalamu alaium Wr. Wb. Alhamdulillahhirobbil aalamin, segala puji syuur penulis panjatan ehadirat Allah SWT. atas segala rahmat, taufiq dan arunia- Nya, sehingga penulis dapat menyelesaian Tugas Ahir yang berjudul REDUKSI MODEL ALIRAN AIR SUNGAI SATU DIMENSI DENGAN METODE SINGULAR PERTURBATION APPROXIMATION yang merupaan salah satu persyaratan aademis dalam menyelesaian Program Sarjana Jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Tenologi Sepuluh Nopember Surabaya. Dalam menyelesaian Tugas Ahir ini, penulis telah banya mendapat bantuan serta masuan dari berbagai piha. Oleh arena itu, dalam esempatan ini penulis menyampaian terima asih epada: 1. Bapa Dr. Imam Muhlash, S.Si, MT, selau etua Jurusan Matematia FMIPA ITS yang telah memberian duungan dan motivasi selama perulihan hingga terselesainya Tugas Ahir ini.. Bapa Dr. Didi Khusnul Arif, S.Si, M.Si, selau Dosen Pembimbing dan selau Kaprodi S1 Jurusan Matematia FMIPA ITS yang telah memberian bimbingan dan motivasi epada penulis dalam mengerjaan Tugas Ahir ini sehingga dapat terselesaian dengan bai. 3. Bapa Dr. Diey Adziya, S.Si, M.Si selau Dosen Pembimbing yang telah memberian bimbingan dan motivasi epada penulis dalam mengerjaan Tugas Ahir ini sehingga dapat terselesaian dengan bai. 4. Bapa Drs. Iis Herisman, M.Si, selau Seretaris Kaprodi S1 Jurusan Matematia FMIPA ITS yang telah memberian duungan dan motivasi selama perulihan hingga terselesainya Tugas Ahir ini. xi

12 5. Ibu Soleha, S.Si, M.Si selau Dosen Wali yang telah memberian duungan dan motivasi selama peruliahan hingga terselesaiannya Tugas Ahir ini. 6. Bapa Dr. Choirul Imron, MI.Komp, Ibu Tahiyatul Asfihani, S.Si, M.Si dan Bapa Muhammad Syifa ul Mufid, S.Si, M.Si selau Dosen Penguji yang telah memberian saran demi perbaian Tugas Ahir. 7. Keluarga tercinta terutama Bapa Bibit dan Ibu Sulastri yang senantiasa dengan ihlas memberian asih sayang, semangat, doa, dan nasihat-nasihat yang sungguh berarti, serta Moh. Bastomi, Muhammad Fuad Alwi dan Fatma Sofiani yang senatiasa memberian semangat dan duungan epada penulis. 8. Seluruh jajaran dosen dan staf jurusan Matematia ITS yang tida dapat penulis sebutan satu-persatu. 9. Seluruh teman-teman angatan 013 dan seluruh eluarga besar HIMATIKA ITS terima asih atas duungan dan semangat yang diberian epada penulis. Apabila dalam Tugas Ahir ini ada eurangan, penulis mohon riti dan saran demi penyempurnaan Laporan Tugas Ahir di masa yang aan datang. Semoga Tugas Ahir ini dapat bermanfaat bagi semua piha yang berepentingan. Wassalamu alaium Wr. Wb. Surabaya, Januari 017 Penulis xii

13 Spesial Than s To Keberhasilan penulisan Tugas Ahir ini tida lepas dari orangorang terdeat penulis. Oleh sebab itu, penulis mengucapan terima asih epada : 1. Allah SWT yang telah memberi rahmat, petunju, euatan, dan esabaran dalam setiap langah ehidupan penulis serta epada Nabi Muhammad SAW yang senantiasa dinanti syafa'atnya di yaumil qiyamah nanti.. Ibu dan Bapa, edua orang tua u tercinta. Mas Bastomi, Alwi, Ani, Mbah Putri dan Mbahung, terima asih atas doa, asih sayang, duungan, motivasi, dan segalanya yang selalu dicurahan epada penulis selama ini. 3. Zulfa Afiq Firiya, Metta Andriani, Gina Faaizatud Dini, Melynda Sylvia Dewy, Azaria Elvinarosa, Retno Palupi, Putri Saraswati, dan Siti Nur Afifah. Terima asih atas segala doa, duungan, bantuan, eceriaan, watu dan motivasi alian. 4. Sahabat dan teman-teman Alumni SMA Negeri 1 Nganju 013. Terima asih atas segala doa, duungan, watu dan motivasi alian. 5. Teman-teman seperjuangan Tugas Ahir yang saling menduung dan memotivasi satu sama lain, dan terimaasih epada Zulfa Afiq Firiya, Ivan Octaviano, Hartanto Setiawan, Helisyah Nur Fadhilah dan teman-teman lain yang sudah banya membantu penulis dalam pembuatan program. Terima asih banya semua. 6. Teman-teman angatan 013, terima asih atas doa dan duungannya selama ini. Kelian eluarga edua diampus perjuangan ini. Terima asih atas semangat, erja eras dan pengorbanan alian. 7. Semua piha yang ta bisa penulis sebutan satu-persatu, terima asih telah membantu sampai terselesaiannya Tugas Ahir ini. xiii

14 Halaman ini sengaja diosongan xiv

15 DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL... i ABSTRAK... vii ABSTRACT... ix KATA PENGANTAR... xi DAFTAR ISI... xv DAFTAR GAMBAR... xix DAFTAR TABEL... xxi DAFTAR SIMBOL...xxiii BAB I PENDAHULUAN Latar Belaang Rumusan Masalah Batasan Masalah Tujuan Manfaat Sistematia Penulisan Tugas Ahir... 3 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Masalah Aliran Sungai Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai Persamaan Saint Venant Metode Numeri sebagai Penyelesaian Persamaan Saint Venant Sistem Linier Watu Disrit... 8 xv

16 ..1 Sifat-Sifat Sistem Gramian Keterendalian dan Gramian Keteramatan Deomposisi Sistem Ta Stabil Redusi Model dengan Metode SPA Sistem Setimbang Metode Redusi Model dengan Singular Perturbation Approximation (SPA) BAB III METODE PENELITIAN Tahapan Penelitian Sema Metode Penelitian BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pemodelan Aliran Air Sungai Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai Persamaan Saint Venant Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Implisit Sema Preissman Disritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Implisit Sema Preissman Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai Redusi Model Aliran Sungai dengan SPA Penyelesaian Model Saint Venant dengan metode Staggered Grid Disritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Staggered Grid xvi

17 4.3. Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai Redusi Model Aliran Air Sungai dengan SPA BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN A LAMPIRAN B xvii

18 Halaman ini sengaja diosongan xviii

19 DAFTAR GAMBAR Gambar.1 Masalah Aliran Sungai... 7 Gambar 3.1 Sema Metode Penelitian Gambar 4.1 Grafi Ketinggian pada saat = Gambar 4. Grafi Kecepatan pada saat = Gambar 4.3 Grafi Ketinggian Air Sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,, Gambar 4.4 Grafi Keceparan Aliran Air Sungai pada posisi e-90 dan pada watu =0,1,, xix

20 Halaman ini sengaja diosongan xx

21 DAFTAR TABEL Tabel 4. 1 Nilai eigen matris A(Sema Preissman) Tabel 4. Nilai eigen matris A(Staggered Grid) xxi

22 Halaman ini sengaja diosongan xxii

23 DAFTAR SIMBOL A, B, C, D : Matris-matris onstan sistem disrit dengan uuran yang bersesuaian dan diasumsian matris A non singular. λ : Nilai eigen. x : Variabel eadaan pada sistem disrit. u : Vetor masuan pada sistem disrit. u : Vetor eluaran pada sistem disrit. M c : Matris Keterendalian. M o : Matris Keteramatan. W : Gramian Keterendalian. M : Gramian Keteramatan. A s, B s, C s, D s : Sistem stabil asimtoti, terendali, teramati. U d : Transformasi matris unitary deomposisi. W d : Transformasi matris tahap edua deomposisi. G d : Hasil deomposisi sistem ta stabil. G s : Subsistem stabil. G u : Subsistem ta stabil. T : Matris transformasi non singular. A s, B s, C s, D s : Sistem setimbang watu disrit. W : Gramian Keterendalian sistem A s, B s, C s, D s. M : Gramian Keteramatan sistem A s, B s, C s, D s : Gramian esetimbangan. σ i : Nilai singular Hanel. A sr, B sr, C sr, D sr : Sistem teredusi dengan metode SPA. A r, B r, C r, D r : Sistem teredusi total dengan metode SPA. xxiii

24 Halaman ini sengaja diosongan xxiv

25 BAB I PENDAHULUAN Bab ini membahas latar belaang yang mendasari penulisan Tugas Ahir. Didalamnya mencaup identifiasi permasahan pada topi Tugas Ahir. Kemudian dirumusan menjadi permasalahan yang aan diberian batasan-batasan untu membatasi pembahasan pada Tugas Ahir ini. 1.1 Latar Belaang Sungai merupaan salah satu sumber air yang menampung dan mengaliran aliran air. Daerah dimana sungai memperoleh air merupaan daerah tangapan hujan yang disebut dengan daerah tangapan sungai atau Daerah Aliran Sungai (DAS). Masalah utama dalam pengelolaan DAS dibagi menjadi dua yaitu uantitas air sungai dan ualitas air sungai. Untu mengetahui uantitas air sungai dan ualitas air sungai, maa perlu adanya perhitungan ecepatan aliran sungai dan tingginya sendimentasi di sungai (etinggian air sungai)[1]. Sungai bisa dipandang sebagai suatu sistem. Dimana sistem merupaan suatu ombinasi dari beberapa omponen yang beerja bersama-sama untu mendapatan tujuan tertentu, dalam hal ini adalah sistem dari ecepatan aliran air sungai dan etinggian sungai digunaan agar tetap dapat memantau debit air sungai tetap dalam ondisi yang diharapan. Sistem dari ecepatan aliran dan etinggian sungai ini dapat direpresentasian edalam bentu pemodelan matematia. Sistem yang terdapat di alam semesta seringali memilii orde yanag besar. Sehingga dihasilan model matematia yang memilii banya variabel eadaan. Hal ini mempengaruhi watu omputasi arena semain besar uuran sistem, watu omputasi yang dibutuhan semain lama pula. Oleh arena itu, dibutuhan penyederhanaan sistem yang berorde besar agar sistem tersebut memilii orde yang lebih ecil tanpa esalahan yang signifian. Penyederhanaan sistem inilah yang dimasud redusi model[]. Metode redusi model yang sering digunaan diantaranya metode pemotongan setimbang (Balanced Truncation/BT) dan 1

26 aprosimasi perturbasi singular (Singular Perturbation Approximation/SPA)[3]. Redusi orde model dengan metode BT dilauan dengan memotong vetor eadaan (state) dari sistem yang bersesuaian dengan nilai singular Hanel ecil setelah diurutan. Nilai singular Hanel adalah representasi pengaruh state terhadap arateristi output maupun input dalam sistem. Sedangan pada redusi orde model dengan metode SPA, semua variabel eadaan dari sistem setimbang dipartisi menjadi mode cepat dan lambat, variabel eadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hanel ecil didefinisian sebagai mode cepat, sedangan variabel eadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hanel yang lebih besar didefinisian sebagai mode lambat. Selanjutnya, model teredusi diperoleh dengan mengambil ecepatan dari mode cepat sama dengan nol[3]. Pada masalah aliran air sungai, model sistem yang digunaan merupaan sistem yang ta stabil. Dalam penyelesaian redusi model pada sistem ta stabil berbeda dengan penyelesaian sistem stabil. Oleh arena itu, pada Tugas Ahir ini aan dilauan penelitian tentang redusi model pada aliran air sungai dengan menggunaan metode SPA. Setelah didapatan model hasil redusi, emudian aan dilauan analisis terhadap sifat-sifat model hasil redusi. Setelah itu aan dilauan simulasi untu model awal dan model hasil redusi dengan menggunaan software MATLAB. 1. Rumusan Masalah Berdasaran uraian di atas, permasalahan yang diselesaian dalam Tugas Ahir ini adalah : 1. Bagaimana meredusi model aliran air sungai menggunaan pendisritan Implisit Sema Preissman dengan metode SPA?. Bagaimana meredusi model aliran air sungai menggunaan pendisritan Staggered Grid dengan metode SPA? 1.3 Batasan Masalah Berdasaran rumusan masalah di atas, batasan masalah dari Tugas Ahir ini adalah :

27 3 1. Metode yang digunaan adalah metode aprosimasi perturbasi singular ( Singular Perturbation Approximation / SPA).. Sistem yang digunaan adalah sistem linier watu invarian. 3. Model aliran air sungai yang digunaan adalah model yang bersifat ta stabil. 4. Pemodelan aliran sungai dideati dengan model aliran dangal berdimensi satu. 5. Diasumsian bahwa panjang sungai (L) jauh lebih besar jia dibandingan dengan lebar sungai (B). 6. Pendisritan sistem dilauan dengan pendisritan Implisit Sema Preissman dan Staggared Grid. 1.4 Tujuan Adapun tujuan Tugas Ahir ini adalah sebagai beriut : 1. Mengetahui redusi model aliran air sungai menggunaan pendisritan Implisist Sema Preissman dengan metode SPA.. Mengetahui redusi model aliran air sungai menggunaan pendisritan Staggered Grid dengan metode SPA. 1.5 Manfaat Adapun manfaat Tugas Ahir ini adalah sebagai beriut : 1. Sebagai referensi bagi pembaca dalam melauan penelitian selanjutnya.. Sebagai pemberi informasi bagi pembaca mengenai penerapan redusi model pada model matematia yang memilii orde besar sehingga dapat mempermudah penghitungan dan analisis. 1.6 Sistematia Penulisan Tugas Ahir Sistematia penulisan dalam laporan Tugas Ahir ini adalah sebagai beriut: 1. BAB I PENDAHULUAN Bab ini menjelasan latar belaang penyusunan Tugas Ahir, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaan dan sitematia penulisan laporan Tugas Ahir.

28 4. BAB II DASAR TEORI Bab ini menjelasan tentang landasan teori yang menduung penelitian, antara lain tentang model satu dimensi pada aliran sungai, metode numeri sebagai penyelesaian model aliran sungai, sistem linier watu disrit, deomposisi sistem ta linier dan redusi model. 3. BAB III METODOLOGI Bab ini menjelasan tentang tahap-tahap yang dilauan dalam penyusunan Tugas Ahir ini. 4. BAB IV ANALISISDAN PEMBAHASAN Bab ini menjelasan secara detail mengenai sistem awal, pendisritan pada sistem awal, deomposisi sistem ta stabil, redusi model pada subsistem stabil dan simulasi. 5. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Bab ini menjelasan tentang penarian esimpulan yang diperoleh dari pembahasan masalah pada bab sebelumnya serta saran yang diberian untu pengembangan penelitian selanjutnya.

29 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Bab ini membahas dasar teori yang digunaan dalam penyusunan Tugas Ahir ini. Dasar teori yang dijelasan dibagi menjadi beberapa subbab yaitu model satu dimensi pada aliran sungai, peramaan Saint Venant, sistem linier watu disrit, deomposisi sistem ta stabil, dan redusi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA)..1 Masalah Aliran Sungai Masalah aliran sungai meliputi tiga hal, diantaranya adalah model aliran satu dimensi pada aliran sungai, persamaan Saint Venant dan metode numeri sebagai penyelesaian persamaan Saint Venant..1.1 Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai Ada tiga onservasi, yaitu massa, momentum dan energi yang digunaan untu menggambaran aliran sungai. Dua variabel aliran yaitu edalaman dan ecepatan atau edalaman dan nilai debit, cuup untu mendefinisian ondisi aliran pada sebuah penampang melintang. Karena itu dua persamaan pengatur digunaan untu menganalisa eadaan jenis aliran yaitu persamaan ontinuitas dan persamaan momentum atau persamaan energi. Untu aliran yang ontinu digunaan persamaan energi, sedangan untu aliran yang tida ontinu (disrit), misalnya jia melalui terjunan atau lubang digunaan persamaan momentum, arena perlu dietahui berapa jumlah ehilangan (losses) yang terjadi. a. Persamaan Kontinu Huum eealan massa disebut juga sebagai prinsip ontinuitas (Principle of Continuity). prinsip tersebut menyataan bahwa laju perubahan massa fluida yang terdapat dalam ruang yang ditinjau pada selang watu dt harus sama dengan perbedaan antara laju massa yang masu dan laju massa yang eluar e dan dari elemen fluida yang ditinjau. Prinsip ontinuitas menyataan eealan massa dalam ruang 5

30 6 berisi fluida yang ditinjau. Persamaan ontinuitas dalam aliran sungai dapat dimodelan sebagai beriut[4]: h u + D = 0 (.1) t x b. Persamaan Momentum Persamaan momentum dalam aliran sungai dapat dimodelan sebagai beriut[4]: u h + g + C t x fu = 0 (.).1. Persamaan Saint Venant Masalah aliran sungai yang diambil dalam penelitian ini merupaan masalah aliran sungai dangal (shallow water problem) dan aliran satu dimensi. Ada dua persamaan dalam hidrodinami aliran satu dimensi, yaitu Persamaan ontinuitas (.1) dan Persamaan momentum (.). Kedua persamaan tersebut digunaan untu menyelesaian penelusuran aliran air di sungai yang selanjutnya dienal dengan Persamaan Saint Venant sebagai beriut[4]: u t h u + D = 0 t x h + g + C x fu = 0 } (.3) dengan syarat awal dan syarat batas: h(x, 0) = 1, u(x, 0) = 0, h(0, t) = ψ b (t), u(l, t) = u N (t) dimana h(x, t) : etinggian air terhadap titi acuan, D : edalaman sungai terhadap titi acuan, t : watu, x : posisi sepanjang sungai, g : gaya grafitasi, C f : oefisien gesean, ψ b : etinggian air pada posisi x 0, u(l, t) : ecepatan aliran pada batas x N.

31 7 Masalah aliran sungai dapat ditunjuan oleh Gambar.1 beriut ini: u(l, t) h(0, t) h D L Rembesan Gambar. 1 Masalah Aliran Sungai.1.3 Metode Numeri sebagai Penyelesaian Persamaan Saint Venant Persamaan Saint Venant merupaan persamaan yang tida dapat diselesaian secara biasa, maa digunaan metode numeri untu menyelesaiannya. Metode numeri terdiri dari metode esplisit dan metode implisit. Metode Esplisit digunaan untu menyelesaian perhitungan ecepatan dan edalaman aliran pada sistem grid berdasaran data yang sudah dietahui sebelumnya. Sedangan metode Implisit digunaan untu menyelesaian persamaan pada setiap tahapan watu. Karena aan dibentu sistem linear watu disrit pada pemodelan di atas, maa perlu adanya penyelesaian dari sistem persamaan Saint Venant terhadap ruang x dan watu t. Dalam masalah aliran air sungai ini digunaan pendisritan Implisit Sema Preissman dan pendisritan Staggered Grid. a. Pendisritan Implisit Sema Preissman Menurut pendisritan Implisit Sema Preissman didefinisian untu sebarang fungsi f sebagai beriut[]: f x = θ (f i+1 +1 fi +1 x ) + (1 θ) ( f i+1 fi x ) (.4)

32 8 +1 fi+1 f = t (f i+1 t ) + ( f i +1 f i t +1 + f +1 i ) + (1 θ) ) (.5) f = θ (f i+1 (f i+1 + f i ) (.6) untu 0 < θ < 1. Pendisritan Implisit Sema Preissman tersebut dapat juga ditulisan sebagai beriut: h = +1 t (h i+1 hi+1 t u ui x = θ (u i+1 x ) + ( h i +1 h i ) (.7) t ) + (1 θ) ( u i+1 u = θ (u i u +1 i ) + (1 θ) x (u i+1 ui ) (.8) + u i ) (.9) b. Pendisritan Staggered Grid Pendisritan Staggered Grid didefinisian sebagai beriut[4]: h = x (h i+1 hi x h = +1 t (h i hi ) t u x = ( u i+ u t = ( u i+ 1 ui 1 x +1 1 ui+ 1 t u = 1 (u i+ 1 ) + (h i+1 ) + ( ) + u +1 1 i+ ) +1 hi +1 x ) u 1 ui 1 i+ x. Sistem Linier Watu Disrit Diberian suatu sistem linear watu disrit sebagai beriut[3]: x +1 = Ax + Bu } (.10) y = Cx + Du dengan x adalah variabel eadaan pada watu, )

33 9 u y adalah vetor masuan deterministic pada watu, adalah vetor eluaran pada watu, A, B, C, D masing-masing adalah matris-matris onstan dengan uuran yang bersesuaian. Persamaan (.10) dapat dinyataan sebagai sistem (A, B, C, D)...1 Sifat-Sifat Sistem Sifat-sifat dari suatu sistem meliputi tiga hal, diantaranya estabilan, eterendalian dan eteramatan Kestabilan dari Segi Nilai Karateristi Definisi.1[5] Diberian sistem linear disrit x +1 = Ax, (.11) dengan x R n adalah variabel eadaan pada watu dan A adalah matris onstan dengan uuran yang bersesuaian. Misalan x e disebut titi setimbang. i. Titi setimbang x e diataan stabil bila untu setiap E > 0, terdapat δ > 0 sedemiian hingga untu setiap solusi x yang memenuhi x x e < δ maa berlau x x e < E untu setiap 0. ii. Titi setimbang x e diataan stabil asimtoti jia x e stabil dan bila terdapat δ 1 > 0 sedemiian rupa sehingga untu setiap solusi x yang memenuhi x 0 x e < δ 1 maa berlau lim x x e = 0. Berdasaran Definisi.1 untu menyelidii estabilan sistem (A, B, C, D),maa syarat estabilan sistem dapat ditentuan seperti pada teorema beriut. Teorema.1[6]. Sistem linear disrit, seperti yang dinyataan pada Persamaan (.11), adalah stabil asimtoti jia dan hanya jia real λ i (A) < 1 untu i = 1,, n dengan λ i (A) adalah nilai eigen matris A. Sedangan jia real λ i (A) = 1, maa sistem disrit adalah stabil untu i = 1,, n...1. Keterendalian Teorema.[6]. Sistem disrit yang diberian pada Persamaan (.10) terendali jia dan hanya jia ran[b AB A n 1 B] = n,

34 10 dengan [B AB A n 1 B] disebut sebagai matris eterendalian Keteramatan Teorema.3[6]. Sistem disrit yang diberian pada Persamaan (.10) teramati jia dan hanya jia ran[c CA C(A) n 1 ] = n, dengan [C CA C(A) n 1 ] disebut sebagai matris eteramatan..3 Gramian Keterendalian dan Gramian Keteramatan Diberian sistem linier disrit sebagai sistem (A, B, C, D). Pada sistem (A, B, C, D ) juga didefinisian Gramian eterendalian W, dan Gramian eteramatan M, yaitu[7]: W = A B B T (A T ) =0 (.1) M = (A T ) =0 C T C A (.13) Hubungan antara sifat estabilan, eterendalian dan eteramatan sistem dengan Gramian eterendalian W, dan Gramian etermatan M, dapat dinyataan dalam teorema beriut. Teorema.4[7]. Diberian sistem (A, B, C, D) yang stabil, terendali dan teramati. Gramian eterendalian W, dan Gramian etereamatan M, masing-masing merupaan penyelesaian tunggal dan definit positif dari persamaan Lyapunov A WA T + B B T W = 0 (.14) A T MA + C T C M = 0 (.15) Pada Teorema.4 sistem (A, B, C, D) yang stabil dimasud adalah sistem stabil asimtoti. Sehingga, sistem (A, B, C, D) adalah sistem yang stabil asimtoti, terendali, dan teramati..4 Deomposisi Sistem Ta Stabil Deomposisi sistem ta stabil merupaan metode pemisahan antara subsistem stabil dan ta stabil. Algoritma deomposisi dapat dilauan dengan dua tahap transformasi. Pada tahap pertama, transformasi real Schur bentu blo. Menggunaan unitary matris U d dalam bentu blo diagonal atas Schur, sehingga nilai-nilai eigen dari transformasi sistem diatur berdasaran urutan nilai absolut dari nilai

35 11 eigennya. Jia x sistem awal dan U d transformasi matris unitary, maa x t hasil dari transformasi sistem dengan x = U d x t. Pada transformasi tahap edua, dilauan dengan menyelesaian persamaan umum Lyapunov dan melanjutan untu transformasi tahap edua menggunaan transformasi x t = W d x d, dimana x d adalah tahap ahir dari transformasi state dan W d adalah tahap ahir dari transformasi matris. Sehingga aan diperoleh pemisahan antara subsistem stabil dan ta stabil[7]. Model hasil dari deomposisi : G d = [ A s B s ] + [ A u B u C s D s C u 0 ] = G s (subsistem stabil) + G u (subsistem ta stabil) (.16).5 Redusi Model dengan Metode SPA Redusi model merupaan upaya untu mengganti model atau sistem yang beruuran besar dengan model yang lebih sederhana tanpa esalahan yang signifian. Redusi model dapat dilauan dengan beberapa metode salah satunya SPA. Redusi model dilauan dengan cara membentu system setimbang..5.1 Sistem Setimbang Sistem setimbang (A, B, C, D ) adalah sistem baru yang diperoleh dari sistem awal (A, B, C, D) dengan Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M yang sama dan merupaan matris diagonal. System setimbang diperoleh dengan mentransformasian system awal terhadap matris transformasi T[3]: x = Tx (.17) Dengan, x : variabel eadaan dari sistem (A, B, C, D) x : variabel eadaan dari sistem setimbang (A, B, C, D ) T : matris transformasi yang non singular dan beruuran nxn Selanjutnya, Persamaan (.17) dapat ditulisan sebagai beriut. x = T 1 x (.18) Untu = + 1, maa Persamaan (.18) menjadi.

36 1 x +1 = T 1 x +1 (.19) Jia sistem awal pada Persamaan (.17) dan (.18) disubstitusian pada Persamaan (.19) maa diperoleh hasil sebagai beriut. x +1 = T 1 (Ax + Bu ) (.0) Selanjutnya, mensubstitusi Persamaan (.17) e dalam Persamaan (.0), maa diperoleh hasil sebagai beriut. x +1 = T 1 (ATx + Bu ) = T 1 ATx + T 1 Bu = A x + B u (.1) Sedangan untu mendapatan matris C dan D, dilauan dengan mensubstitusian Persamaan (.17) e dalam Persamaan (.18), maa diperoleh hasil sebagai beriut. y = CTx + Du = C(Tx ) + D u = CTx + D u (.) Sehingga didapat. A = T 1 AT, B = T 1 B, C = CT, dan D = D (.3) Sistem setimbang dapat ditulisan dalam bentu: x +1 = Ax + Bu } (.4) y = Cx + Du Hubungan antara sistem setimbang dengan Gramian eterendalian dan Gramian eteramatan sistem, dapat dilihat pada definisi beriut. Definisi.[7]. Sistem (A, B, C, D ) disebut sistem setimbang dari sistem (A, B, C, D) jia sistem (A, B, C, D ) mempunyai Gramian eterendalian W, dan Gramian eteramatan M, yang merupaan solusi tunggal dari persamaan Lyapunov A W A T + B B T W = 0 (.5) A TM A + C TC M = 0 (.6) Sedemiian sehingga memenuhi W = M = = diag(σ 1, σ,, σ n ), σ 1 σ r σ n > 0. dengan σ i merupaan nilai singular Hanel dari sistem (A, B, C, D) yang dapat didefinisian sebagai

37 13 σ i = λ i (WM), i = 1,, n, (.7) dengan λ i adalah nilai-nilai eigen dari WM..5. Metode Redusi Model dengan Singular Perturbation Approximation (SPA) Pada redusi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA), semua variabel eadaan pada sistem setimbang (A, B, C, D ) dapat dipartisi menjadi mode cepat dan lambat. Variabel eadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hanel ecil didefinisian sebagai mode cepat, sedangan variabel eadaan yang bersesuaian dengan nilai singular Hanel yang lebih besar didefinisian sebagai mode lambat. Selanjutnya, model teredusi diperoleh dengan mengambil ecepatan dari mode cepat sama dengan nol. Selanjutnya, pada sistem yang telah diredusi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA), sifat estabilan yang berlau pada sistem semula juga berlau pada sistem yang telah diredusi. Adapun teorema estabilan sistem teredusi dengan metode SPA diberian sebagai beriut. Teorema.5[3]. Jia sistem (A, B, C, D ) merupaan sistem yang stabil asimtotis, maa sistem teredusi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA)(A, B, C, D ) juga merupaan sistem yang stabil asimtotis. Setelah diperoleh sistem setimbang (A, B, C, D ) dengan Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M yang sama, dan merupaan matris diagonal. Selanjutnya sistem (A, B, C, D ) dipartisi sesuai dengan = diag( 1, ), dengan 1 = diag(σ 1, σ,. σ n ) dan = diag(σ r+1,, σ r+,. σ n ) dengan demiian, realisasi sistem (A, B, C, D ) dapat ditulis sebagai [ x 1( + 1) x ( + 1) ] = [A 11 A 1 y () = [C 1 A 1 A ] [ x 1() x () ] + [B 1 ] u() B C ] + D u() } (.8)

38 14 Dengan x 1() R r dan A 11 R rxr bersesuaian dengan gramian 1, dan x () R n r bersesuaian dengan. Langah selanjutnya, mengambil x ( + 1) = 0 sehingga dari Persamaan (.8) diperoleh x 1( + 1) = A 11 x 1 () + A 1 x () + B 1u() (.9) 0 = A 1 x 1() + A x () + B u() (.30) y () = C 1x 1() + C x () + D u() (.31) Kemudian, dengan mengansumsian A adalah matris nonsingular, dari Persamaan (.30) didapatan 1 1 x () = A A 1 x 1() A B u() (.3) Selanjutnya, mensubsitusian Persamaan (.3) e dalam Persamaan (.9) dan Persamaan (.31). Dengan demiian, diperoleh sistem teredusi berorde r yang bersesuaian dengan gramian 1 sebagai beriut. x 1( + 1) = A 11 x 1() + B 1 u() y () = C 1 x 1() } (.33) + D u() Untu = 0,1,,, dengan x 1() R r, u() R s, dan y () R t dengan A r = A 11 A 1 A 1 A 1 (.34) B r = B 1 A 1 A 1 B (.35) C r = C 1 C A 1 A 1 (.36) D r = D 1 C A B (.37) Dengan demiian diperoleh sistem teredusi yang beruuran r yang dapat dinyataan dalam bentu: x r+1 = A rx r + B ru } (.38) y r = C rx r + D ru Untu selanjutnya sistem teredusi ini disebut sebagai sistem (A r, B r, C r, D r). Dari redusi orde model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA) pada sistem (A, B, C, D ) yang stabil asimtotis,

39 15 terendali dan teramati berorde n dihasilan sistem teredusi (A r, B r, C r, D r) berorde r < n yang stabil asimtotis. Teorema.6[3]. Diberian suatu sistem (A, B, C, D ) yang bersifat stabil, terendali, teramati dan setimbang dengan Gramian W = M = diag(σ 1, σ,, σ n ), σ 1 σ r σ n > 0, dengan σ r σ r+1 maa sistem teredusi dengan order r juga aan stabil, terendali dan teramati, serta memenuhi G s G sr (σ r σ n ), dengan G s dan G sr masing-masing adalah fungsi transfer sistem (A, B, C, D) dan sistem teredusinya. Setelah didapatan sistem teredusi seperti pada Persamaan (.38) yang memenuhi Teorema.6 maa redusi model pada sistem ta stabil dapat diperoleh sebagai beriut. G r = G sr + G u dengan G r : sistem teredusi total dengan SPA G sr : sistem teredusi dengan SPA : subsistem ta stabil hasil deomposisi G u

40 16 Halaman ini sengaja diosongan

41 BAB III METODE PENELITIAN Bab ini menjelasan langah-langah yang digunaan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Ahir. Disamping itu, dijelasan pula prosedur dan proses pelasanaan tiap-tiap langah yang dilauan dalam menyelesaian Tugas Ahir. 3.1 Tahapan Penelitian Untu mencapai tujuan dari penulisan ini, aan dilauan langah-langah sebagai beriut : a. Studi Literatur Pada tahap ini dilauan identifiasi permasalahan dan studi literatur dari beberapa buu, jurnal, penelitian, paper, maupun atriel dari internet mengenai referensi tentang sistem yang ta stabil, model aliran air sungai dan metode redusi sistem. b. Pendisritan Pada Sistem Awal Pada tahap ini dilauan pendisritan pada model aliran air sungai dengan menggunaan metode Implisit Sema Preissman dan metode Staggered Grid. c. Analisis Sifat Sistem Awal Pada tahap ini dilauan analisis model awal sistem pada model aliran air sungai. Analisis yang dilauan meliputi analisis sifat dan perilau sistem. Analisis sifat terdiri dari analisis estabilan, eterendalian dan eteramatan pada sistem tersebut. Sedangan analisa perilau sistem meliputi sistem pada aliran air sungai tersebut apaah stabil atau ta stabil. d. Deomposisi sistem Ta Stabil Pada tahap ini dilauan pemisahan dari sistem awal yang ta stabil sehingga diperoleh subsistem stabil dan subsistem ta stabil. 17

42 18 e. Redusi Model pada Subsistem Stabil Pada tahap ini dilauan redusi model pada subsistem stabil dengan menggunaan metode Singular Perturbation Approximation / SPA untu menghasilan model dengan steady-state yang jumlahnya lebih sediit dan sifat estabilan yang berlau pada sistem semula juga berlau pada sistem yang telah diredusi. f. Analisis Sifat Sistem Teredusi Pada tahap ini dilauan analisis sifat model yang telah diredusi. Analisis yang dilauan berupa analisis estabilan, eterendalian dan eteramatan. Analisis model teredusi dilauan untu melihat apaah sifatsifat model teredusi sama dengan sifat-sifat model awal atau tida. g. Simulasi menggunaan Matlab Pada tahap ini dilauan simulasi pada model aliran air sungai yang telah dilauan redusi. Sehingga diperoleh model aliran air sungai yang teredusi. Selanjutnya dilauan simulasi dengan Matlab untu mendapatan hasil yang optimal. h. Analisis Hasil dan Kesimpulan Pada tahap ini dilauan analisis dari hasil simulasi pada mpdel aliran air sungai yang teredusi. Selanjutan aan ditari esimpulan apaah redusi model pada aliran air sungai menggunaan metode Singular Perturbation Approximation / SPA optimal.

43 19 3. Sema Metode Penelitian Sistem Awal (Aliran Air Sungai) Pendisritan pada Model Aliran Air Sungai Analisis Sistem pada Model Aliran Air Sungai Sistem Ta Stabil Deomposisi Sistem Ta Stabil Subsistem Stabil Subsistem Ta Stabil Sistem Setimbang Subsistem Stabil Teredusi Sistem Teredusi Simulasi Analisis Hasil dan Kesimpulan Gambar 3. 1 Sema Metode Penelitian

44 0 Halaman ini sengaja diosongan

45 BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN Pada bab ini aan dijelasan secara detail mengenai pemodelan aliran air sungai, persamaan Saint Venant, metode Implisit Sema Preissman, metode Staggered Grid, sifat-sifat sistem dan redusi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA). 4.1 Pemodelan Aliran Air Sungai Pemodelan aliran air sungai meliputi dua hal, yaitu model satu dimensi pada aliran sungai dan persamaan Saint Venant Model Satu Dimensi pada Aliran Sungai Ada tiga onservasi, yaitu massa, momentum dan energi yang digunaan untu menggambaran aliran sungai. Dua variabel aliran yaitu edalaman dan ecepatan atau edalaman dan nilai debit, cuup untu mendefinisian ondisi aliran pada sebuah penampang melintang. Karena itu dua persamaan pengatur digunaan untu menganalisa eadaan jenis aliran yaitu persamaan ontinuitas dan persamaan momentum atau persamaan energi. Untu aliran yang ontinu digunaan persamaan energi, sedangan untu aliran yang tida ontinu (disrit), misalnya jia melalui terjunan atau lubang digunaan persamaan momentum, arena perlu dietahui berapa jumlah ehilangan (losses) yang terjadi. a. Persamaan Kontinu Huum eealan massa disebut juga sebagai prinsip ontinuitas (Principle of Continuity). prinsip tersebut menyataan bahwa laju perubahan massa fluida yang terdapat dalam ruang yang ditinjau pada selang watu dt harus sama dengan perbedaan antara laju massa yang masu dan laju massa yang eluar e dan dari elemen fluida yang ditinjau. Prinsip ontinuitas menyataan eealan massa dalam ruang berisi fluida yang ditinjau. Persamaan ontinuitas dalam aliran sungai dapat dimodelan sebagai beriut[4]: h u + D = 0 t x (4.1) 1

46 b. Persamaan Momentum Persamaan momentum dalam aliran sungai dapat dimodelan sebagai beriut[4]: u t + g h x + C fu = 0 (4.) 4.1. Persamaan Saint Venant Masalah aliran sungai yang diambil dalam penelitian ini merupaan masalah aliran sungai dangal (shallow water problem) dan aliran satu dimensi. Ada dua persamaan dalam hidrodinami aliran satu dimensi, yaitu Persamaan ontinuitas (4.8) dan Persamaan momentum (4.9). Kedua persamaan tersebut digunaan untu menyelesaian penelusuran aliran air di sungai yang selanjutnya dienal dengan Persamaan Saint Venant sebagai beriut[4]: h u + D = 0 t x u h + g + C t x fu = 0 } (4.3) dengan syarat awal dan syarat batas: h(x, 0) = 1, u(x, 0) = 0, h(0, t) = ψ b (t),u(l, t) = u N (t) dimana h(x, t) : etinggian air terhadap titi acuan, D : edalaman sungai terhadap titi acuan, t : watu, x : posisi sepanjang sungai, g : gaya grafitasi, C f : oefisien gesean, ψ b : etinggian air pada posisi x 0, u(l, t) : ecepatan aliran pada batas x N. 4. Penyelesaian Persamaan Saint Venant dengan Metode Implisit Sema Preissman Pada subbab ini aan dijelasan tentang tiga hal, yaitu disritisasi model aliran air sungai dengan metode Implisit Sema Preissman,

47 3 analisa sifat model dan redusi model dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA) Disritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Implisit Sema Preissman Menurut pendisritan implisit sema Preissman, maa Persamaan (4.3) menjadi : ( h +1 i+1 hi+1 t + h i +1 h i t ) + D (θ ( u i+1 ui x ) + (1 θ) ( u i+1 x ui )) = 0 +1 h i+1 t h i+1 D(1 θ) x +1 h i Dθ t D(1 θ) u x i+1 + h +1 i t t u i = 0 u x i +1 + h +1 i+1 t h i + Dθ u t x i+1 +1 Dθ + Dθ u x i+1 +1 = h i u x i +1 + D(1 θ) x + D(1 θ) t x u i+1 u i + h i+1 t ( u +1 i+1 ui+1 t + u i +1 u i t ) + g (θ ( h i+1 hi C f ( θ (u i u +1 i ) + (1 θ) (u i+1 + u i )) = 0 x ) + (1 θ) ( h i+1 x hi )) + +1 u i+1 u i+1 + u +1 i t t t g(1 θ) x gθ C f θ h i + C fθ u i+1 x h i +1 + gθ u i + gθ h t x i+1 +1 gθ +1 + C fθ h x i+1 +1 g(1 θ) x u i +1 1 u t i + C f (1 θ) + C f (1 θ) u i+1 = 0 1 t u i+1 h x i +1 + g(1 θ) x u i +1 + C f (1 θ) u i+1 h i + g(1 θ) u i + 1 t u i+1 h x i C fθ u i+1 +1 h i+1 + C f (1 θ) u i = 0 t u i +1 + gθ h x i +1 + ( 1 + C fθ ) u t i +1 + gθ h x i ( 1 + C fθ ) u +1 t i+1

48 4 = g(1 θ) h x i + ( 1 + ( 1 ) u i+1 C f (1 θ) t C f (1 θ) t ) u i g(1 θ) x h i+1 Sehingga Persamaan (4.3) dapat ditulis sebagai beriut : 1 h t i +1 Dθ u x i h t i Dθ u x i+1 +1 = 1 h t i + D(1 θ) u x i + (4.4) 1 t h i+1 D(1 θ) x u i+1 gθ h x i +1 + ( 1 + C fθ ) u t i +1 + gθ h x i ( 1 + C fθ ) u +1 t i+1 = g(1 θ) h x i + ( 1 C f (1 θ) ) u t i g(1 θ) h x i+1 + ( 1 ) u i+1 (4.5) C f (1 θ) t Persamaan (4.4) dan (4.5) dapat ditulis pada saat i = 0,1,,, N 1, N sebagai beriut : Untu i = 0, diperoleh : 1 h t 0 +1 Dθ u x h t Dθ u x 1 +1 = 1 h t 0 + D(1 θ) u x h t 1 D(1 θ) u x 1 gθ x h ( 1 t + C fθ ) u gθ x h ( 1 t + C fθ ) u 1 +1 = g(1 θ) h x 0 + ( 1 + ( 1 ) u 1 C f (1 θ) t C f (1 θ) t Untu i = 1, diperoleh : ) u 0 g(1 θ) x h 1 1 h t 1 +1 Dθ u x h t +1 + Dθ u x +1 = 1 h t 1 + D(1 θ) u x h t D(1 θ) u x

49 5 gθ x h ( 1 t + C fθ ) u gθ x h +1 + ( 1 t + C fθ ) u +1 = g(1 θ) h x 1 + ( 1 + ( 1 ) u C f (1 θ) t C f (1 θ) t Untu i =, diperoleh : ) u 1 g(1 θ) 1 h t +1 Dθ u x h t Dθ u x 3 +1 = 1 h t + D(1 θ) u x + 1 h t 3 D(1 θ) u x 3 gθ h x +1 + ( 1 + C fθ ) u t +1 + gθ h x ( 1 + C fθ ) u t 3 +1 = g(1 θ) h x + ( 1 + ( 1 ) u 3 C f (1 θ) t C f (1 θ) t Untu i = N 1, diperoleh : 1 h t N 1 +1 Dθ u x N D(1 θ) u x N ( 1 + C fθ t gθ x h N 1 = g(1 θ) h x N 1 + ( 1 C f (1 θ) t x ) u g(1 θ) x h h 3 h t N +1 + Dθ u x N +1 = 1 h t N D(1 θ) u x N ) u N gθ h x N +1 + ( 1 + ( 1 ) u N 1 C f (1 θ) t ) u N Untu i = N, diperoleh : 1 h t N +1 Dθ 1 h t N+1 x u N D(1 θ) x h t N 1 + t + C fθ g(1 θ) h x N h t N Dθ u x N+1 +1 = 1 u N+1 gθ x h N +1 + ( 1 t + C fθ ) u N +1 + gθ x h N ( 1 ) u N +1 h t N + D(1 θ) u x N + t + C fθ +1 ) u N+1

50 6 = g(1 θ) h x N + ( 1 + ( 1 C f (1 θ) t C f (1 θ) t ) u N+1 ) u N g(1 θ) x h N+1 Dengan demiian, untu i = 0,1,,, N 1, N dapat dibentu matris sebagai beriut : +1 h a b a b c d c d u a b a b h c d c d u a b a b c d c d 0 = +1 h N 1 +1 u N a b +1 h [ c d ] N [ u +1 N ] dengan : a p a p q r q r a p a p q r q r a p a p q r q r a p [ q r ] [ a = 1 Dθ gθ, b =, c =, d = ( 1 + C fθ ) t x x t p = D(1 θ) x, q = g(1 θ) x, r = ( 1 C f(1 θ) t ) h 0 u 0 h 1 u 1 h N 1 u N 1 h N u N ]

51 7 Selanjutnya diberian syarat awal dan syarat batas adalah sebagai beriut : Syarat awal : h i 0 = 1; u i 0 = 0, (4.6) dan syarat batas : h 0 = ψ b ( t); u +1 N+1 = u N+1 = h +1 N+1 = h N+1 = 0 (4.7) dimana i menunjuan posisi, sedangan menyataan langah watu. Dengan demiian, untu i = 0 dan i = N, menjadi : Untu i = 0, diperoleh : h 0 = ψ b ( t), h 0 +1 = ψ b (( + 1) t) = a 0 ψ b ( t) = a 0 h 0 dengan ψ b (0) = 1, a 0 = e 1 6, gθ x h ( 1 t + C fθ ) u gθ x h ( 1 t + C fθ ) u 1 +1 = g(1 θ) h x 0 + ( 1 + ( 1 ) u 1 C f (1 θ) t C f (1 θ) t ) u 0 g(1 θ) Untu i = N, digunaan syarat batas u +1 N+1 = u N+1 +1 = h N+1 = 0, sehingga diperoleh : h N+1 1 h t N +1 Dθ u x N +1 = 1 h t N + D(1 θ) u x N gθ h x N +1 + ( 1 + C fθ ) u t N +1 = g(1 θ) h x N + ( 1 x h 1 = C f (1 θ) t ) u N Dengan demiian, untu i = 0,1,,, N 1, N dapat dibentu matris sebagai beriut :

52 8 +1 h c d c d u a b a b h c d c d u a b a b c d c d 0 = +1 h N 1 +1 u N a b +1 h [ c d ] N [ u +1 N ] a q r q r a p a p q r q r a p a p q r q r a p [ q r ] [ h 0 u 0 h 1 u 1 h N 1 u N 1 h N u N ] Berdasaran hasil pendisritan diatas, dapat dibentu sistem ruang eadaan yang invarian terhadap watu : C 1 x +1 = C x x +1 = C 1 1 C x (4.8) dengan A = C 1 1 C dimana :

53 9 C 1 = c d c d a b a b c d c d a b a b c d c d a b [ c d ] a q r q r a p a p q r q r C = a p a p q r q r a p [ q r ] 4.. Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai Pada Model Aliran Air Sungai dengan Metode Sema Preissman pada Persamaan (4.8) aan dilauan analisa sifat model. Analisis sifat model meliputi sifat estabilan, sifat eterendalian, dan sifat eteramatan Sifat Kestabilan Pada Teorema.1 disebutan bahwa sistem disrit diataan stabil simtoti jia dan hanya jia nilai eigennya urang dari satu. Sedangan jia nilai eigen sama dengan satu, maa sistem disrit diataan stabil. Jia diberian sistem awal (A, B, C, D) yang ta stabil, dengan N = 4 edalaman sungai D = 10 m, percepatan gravitasi g =

54 m det, oefisien gesean C f = 0.000, a 0 = e 1 6, x = 60000/N, t = 1 dan θ = 0.6, maa diperoleh : C 1 = [ ] C = [ ] A = [ ] (4.9) B = [ 1 ] (4.10) C = [ ] (4.11) D = [ 0 ] (4.1) dengan A R 10 10, B R 10 1, C R 10, D R 1.

55 31 Pada sistem awal (A, B, C, D), aan dilauan analisa estabilan, eterendalian dan eteramatan dari sistem awal tersebut. Stabilitas sistem awal (A, B, C, D) dapat ditentuan berdasaran nilai absolut dari eigen matris A seperti pada Tabel 4.1 beriut Tabel 4. 1 Nilai eigen matris A(Sema Preissman) t λ t Berdasaran Tabel 4.1, terlihat bahwa nilai absolut dari eigen matris A yang bernilai lebih dari 1 ada sebanya 4, maa berdasaran Teorema.1 sistem (A, B, C, D) tida stabil Sifat Keterendalian Pada Teorema. disebutan bahwa suatu sistem disrit diataan terendali jia dan hanya jia ran dari matris eterendaliannya sama dengan n, atau dengan ata lain ran[b AB A n 1 B] = n. Jia diberian matris A dan matris B seperti pada Persamaan (.15) dan (.16), dan misalan W c adalah matris eterendalian, maa diperoleh : W c = [B AB A B A 3 B A 4 B A 5 B A 6 B A 7 B A 8 B A 9 B]

56 = [ ] Berdasaran hasil simulasi, didapatan bahwa ran dari matris eterendalian sistem (A, B, C, D) sama dengan 6, sehingga sistem (A, B, C, D) bersifat ta terendali Sifat Keteramatan Pada Teorema.3 disebutan bahwa suatu sistem disrit diataan teramati jia dan hanya jia ran dari matris eteramatannya sama dengan n, atau dengan ata lain ran[c CA CA n 1 ] = n. Jia diberian matris A dan matris C seperti pada Persamaan (.15) dan (.17), dan misalan M c adalah matris eterendalian, maa diperoleh : M c = [C CA CA CA 3 CA 4 CA 5 CA 6 CA 7 CA 8 CA 9 ] = [ ]

57 33 Berdasaran hasil simulasi, didapatan bahwa ran dari matris eteramatan sistem (A, B, C, D) sama dengan 7, sehingga sistem (A, B, C, D) bersifat ta teramati Redusi Model Aliran Sungai dengan SPA Model aliran air sungai dengan metode Implisit Sema Preissman adalah suatu model yang bersifat ta stabil, ta terendali dan ta teramati. Setelah dilauan analisis sistem, maa selanjutnya aan dilauan redusi model. Redusi model dilauan dengan cara membentu sistem setimbang. Sistem setimbang adalah sistem baru yang diperoleh dari sistem awal (A, B, C, D) dengan Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M yang sama dan merupaan matris diagonal. Pada model aliran air sungai dengan metode Implisit Sema Preissman, Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M tida dapat dicari. Sebab, pada analisis sistem awal, model aliran air sungai dengan metode Implisit Sema Preissman bersifat ta terendali dan ta teramati. Oleh arena itu, model aliran air sungai dengan metode Implisit Sema Preissman tida dapat diredusi dengan metode SPA. 4.3 Penyelesaian Model Saint Venant dengan metode Staggered Grid Pada subbab ini aan dijelasan tentang tiga hal, yaitu disritisasi model dengan Metode Staggered Grid, analisa sifat model dan redusi model dengan Singular Perturbation Approximation (SPA) Disritisasi Model Aliran Air Sungai dengan Metode Staggered Grid Berdasaran pendisritan dengan metode Staggered Grid, maa Persamaan (4.3) menjadi : h i +1 h i t + 1 D u i+ 1 ui 1 x + 1 D u i ui 1 x = 0

58 34 1 h t i +1 1 h t i + D u x i+ 1 D u x i 1 + D u +1 x i+ 1 D u +1 x i 1 = 0 1 h t i +1 D u +1 x i 1 + D u +1 x i+ 1 = 1 h t i + D u x i 1 D u x i+ 1 (4.13) +1 u 1 ui+ 1 i+ t 1 u t i g h i+1 hi x +1 1 u t i+ 1 C fu i C fu i g h i+1 hi x + 1 C fu 1 i+ + 1 C fu +1 1 i+ = 0 + g h x i+1 g h x i + g h x i+1 +1 g h x i = 0 g h x i +1 + g h x i ( C t f) u 1 i+ ( 1 1 C t f) u 1 i+ +1 = g h x i g h x i+1 + (4.14) dimana i menunjuan posisi, sedangan menyataan langah watu. Selanjutnya, Persamaan (4.13) dan (4.14) dapat ditulis pada saat i = 0,1,,, N 1, N sebagai beriut : Untu i = 0, diperoleh : 1 h t 0 +1 D u +1 x 1 + D x u1 +1 = 1 h t 0 + D u x 1 D x u1 g x h g ( 1 1 C t f) u1 Untu i = 1, diperoleh : x h ( 1 t + 1 C f) u1 +1 = g h x 0 g h x h t 1 +1 D x u D x u3 +1 = 1 h t 1 + D x u1 D x u3

59 35 g h x g h x +1 + ( C t f) u3 ( 1 1 C t f) u3 Untu i =, diperoleh : +1 = g h x 1 g h x + 1 h t +1 D +1 x u3 + D +1 x u5 = 1 h t + D x u3 D x u5 g x h +1 + g x h ( 1 t + 1 C f) u 5 ( 1 t 1 C f) u 5 +1 = g h x g h x 3 + Untu i = 3, diperoleh : 1 h t 3 +1 D x u D x u7 +1 = 1 h t 3 + D x u5 D x u7 g x h g ( 1 1 C t f) u7 x h ( 1 t + 1 C f) u7 Untu i = N 1, diperoleh : +1 = g h x 3 g h x h t i +1 D u +1 x i 1 + D u +1 x i+ 1 = 1 h t i + D u x i 1 D u x i+ 1 g x h i +1 + g x h i+1 ( 1 1 C t f) u 1 i+ Untu i = N, diperoleh : +1 + ( 1 t + 1 C f) u i = g h x i g h x i h t N +1 D u +1 x N 1 + D u +1 x N+ 1 = 1 h t N + D u x N 1 D u x N+ 1

60 36 +1 = g h x N +1 + g h x N ( C t f) u 1 N+ ( 1 1 C t f) u 1 N+ g h x N g h x N+1 + Dengan demiian, untu i = 0,1,,, N 1, N dapat dibentu matris sebagai beriut. a b c d c b a b c d c b a b c d c b a b [ c d ] +1 h 0 +1 u 1 +1 h 1 +1 u 3 [ +1 h N 1 +1 u 1 N +1 h N +1 u 1 N+ ] =

61 37 dengan : a = 1 t a b c e c b a b c e c b a b c e c b a b [ c e ] D gθ, b =, c =, d = ( 1 + C fθ ), e = ( 1 x x t [ h 0 u 1 h 1 u 3 h N 1 u 1 N h N u 1 N+ C f(1 θ) t Selanjutnya diberian syarat awal dan syarat batas adalah sebagai beriut : Syarat awal : h 0 i = 1; u 0 i = 0, (4.15) dan syarat batas : h 0 = h b ( t); u 1 N+ = 0 (4.16) dimana i menunjuan posisi, sedangan menyataan langah watu. Sehingga untu i = 0 dan i = N, menjadi : Untu i = 0, diperoleh : h 0 = h b ( t) g h x g h x ( C t f) u1 ( 1 1 C t f) u1 +1 = ) g h x 0 g h x 1 + ]

62 38 Untu i = N, diperoleh : 1 h t N +1 D u +1 x N 1 + D u x N+ 1 D +1 = 1 t h N + D x u N 1 u x N+ 1 u N+ 1 = 0 Dengan demiian, untu i = 0,1,,, N 1, N dapat dibentu matris sebagai beriut : c d c b a b c d c b a b c d c b a b [ ] [ h u1 +1 h 1 +1 u3 +1 h N 1 +1 u 1 N +1 h N +1 u 1 N+ ] =

63 c e c b a b c e c b a b c e c b a b [ ] [ h 0 u 1 h 1 u 3 h N 1 u 1 N h N u 1 N+ ] [ 0 ] Berdasaran hasil pendisritan diatas, dapat dibentu sistem ruang eadaan yang invarian terhadap watu : D x +1 = A x + B u (4.17) dengan D = c d c b a b c d c b a b c d c 0 0 [ b a b ], u

64 c e c b a b c e c b a b A = c e c b a b [ ] B = [ 0 ] x = [ h 0 u1 h 1 u3 h N 1 u 1 N h N u 1 N+ ]

65 41 Dengan demiian diperoleh matris = D 1 A, B = D 1 B dan C = [ ] Analisa Sifat Model Aliran Air Sungai Pada Model Aliran Air Sungai dengan Metode Staggered Grid pada Persamaan (4.13) dan (4.14), aan dilauan analisa sifat model. Analisis sifat model meliputi sifat estabilan, sifat eterendalian, dan sifat eteramatan Sifat Kestabilan Pada Teorema.1 disebutan bahwa sistem disrit diataan stabil simtoti jia dan hanya jia nilai eigennya urang dari satu. Sedangan jia nilai eigen sama dengan satu, maa sistem disrit diataan stabil. Jia diberian sistem awal (A, B, C, D) dengan N = 4 edalaman sungai D = 10 m, percepatan gravitasi g = 9.8 m det, oefisien gesean C f = 0.000, x = 60000/N dan t = 360, maa diperoleh sebagai beriut: D = A = [ ] [ ]

66 B = [ 0] A = [ ] (.18) B = [ ] (.17) C = [ ] (.18) D = [0] (.19) dengan A R 10 10, B R 10 1, C R 10, D R 1 1. Selanjutnya aan dilauan analisa estabilan, eterendalian dan eteramatan dari sistem awal tersebut. Stabilitas sistem awal (A, B, C, D) dapat ditentuan berdasaran nilai absolut dari eigen matris A seperti pada Tabel 4. beriut.

67 43 Tabel 4. Nilai eigen matris A(Staggered Grid) t λ t Berdasaran Tabel 4., terlihat bahwa nilai absolut dari eigen matris A seluruhnya bernilai urang dari 1, maa berdasaran Teorema.1 sistem (A, B, C, D) stabil asimtoti Sifat Keterendalian Pada Teorema. disebutan bahwa suatu sistem disrit diataan terendali jia dan hanya jia ran dari matris eterendaliannya sama dengan n, atau dengan ata lain ran[b AB A n 1 B] = n. Jia diberian matris A dan matris B seperti pada Persamaan (.18) dan (.19), dan misalan W c adalah matris eterendalian, maa diperoleh : W c = [B AB A B A 3 B A 4 B A 5 B A 6 B A 7 B A 8 B A 9 B] = [ ]

68 44 Berdasaran hasil simulasi, didapatan bahwa ran dari matris eterendalian sistem (A, B, C, D) sama dengan 9, sehingga sistem (A, B, C, D) bersifat ta terendali Sifat Keteramatan Pada Teorema.3 disebutan bahwa suatu sistem disrit diataan teramati jia dan hanya jia ran dari matris eteramatannya sama dengan n, atau dengan ata lain ran[c CA CA n 1 ] = n. Jia diberian matris A dan matris C seperti pada Persamaan (.18) dan (.0), dan misalan M c adalah matris eterendalian, maa diperoleh : M c = [C CA CA CA 3 CA 4 CA 5 CA 6 CA 7 CA 8 CA 9 ] = [ ] Berdasaran hasil simulasi, didapatan bahwa ran dari matris eteramatan sistem (A, B, C, D) sama dengan 9, sehingga sistem (A, B, C, D) bersifat ta teramati. Beriut aan disajian simulasi pada sistem ruang eadaan yang invarian terhadap watu : x +1 = Ax + Bu dengan tujuan untu mengetahui stabilitas pada aliran air sungai, yaitu dengan mengetahui etinggian dan ecepatan pada posisi i = 0,1,, N. Jia diberian N = 100, watu simulasi = 1000, dan h b ( t) = untu semua = 0,1,,, dimana N menyataan posisi

69 45 dan menyataan lama watu simulasi, maa diperoleh grafi etinggian dan grafi ecepatan sebagai beriut: Gambar 4.1 Grafi Ketinggian pada saat = 750 Berdasaran Gambar 4.1, terlihat bahwa etinggian air sungai pada posisi e-0 sampai dengan posisi e-100 dan pada watu e-750 mengalami penurunan dan peningatan. Gambar 4. Grafi Kecepatan pada saat = 750 Berdasaran Gambar 4., terlihat bahwa ecepatan aliran air sungai pada posisi e-0 sampai posisi e-100 dan pada watu e-750 mengalami penurunan dan peningatan.

70 46 Gambar 4.3 Grafi Ketinggian Air Sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,1000 Berdasaran Gambar 4.3, terlihat bahwa etinggian aliran air sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,100 mengalami peningatan dan penurunan. Sedangan pada watu e-00 sampai watu e-1000, etinggian aliran air sungai pada posisi e-90 cenderung mendeati nilai. Stabilitas pada etinggian air sungai dapat dietahui berdasaran grafi etinggian pada Gambar 4.3. Berdasaran grafi etinggian aliran air pada watu e-00 sampai watu e-1000, etinggian aliran air sungai pada posisi e-90 cenderung mendeati nilai, maa etinggian air sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,1000 bersifat stabil.

71 47 Gambar 4.4 Grafi Keceparan Aliran Air Sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,1000 Berdasaran Gambar 4.4, terlihat bahwa ecepatan aliran air sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,00 mengalami peningatan dan penurunan. Sedangan pada watu e-300 sampai watu e-1000, etinggian aliran air sungai pada posisi e-90 cenderung mendeati nilai 0. Stabilitas pada ecepatan air sungai dapat dietahui berdasaran grafi ecepatan pada Gambar 4.4. Berdasaran grafi ecepatan aliran air pada watu e-300 sampai watu e-1000, ecepatan aliran air sungai pada posisi e-90 cenderung mendeati nilai, maa ecepatan air sungai pada posisi e-90 dan pada watu = 0,1,,1000 bersifat stabil Redusi Model Aliran Air Sungai dengan SPA Model aliran air sungai dengan metode Staggered Grid adalah suatu model yang bersifat stabil stabil asimtoti, ta terendali dan ta teramati. Setelah dilauan analisis sistem, maa selanjutnya aan dilauan redusi model. Redusi model dilauan dengan cara membentu sistem setimbang. Sistem setimbang adalah sistem baru yang diperoleh dari sistem awal (A, B, C, D) dengan Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M yang sama dan merupaan matris diagonal.

72 48 Pada model aliran air sungai dengan metode Staggered Grid, Gramian eterendalian W dan Gramian eteramatan M tida dapat dicari. Sebab, pada analisis sistem awal, model aliran air sungai dengan metode Staggered Grid bersifat ta terendali dan ta teramati. Oleh arena itu, model aliran air sungai dengan metode Staggered Grid tida dapat diredusi dengan metode SPA.

73 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpulan Berdasaran analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya, dapat disimpulan beberapa hal sebagai beriut : 1. Berdasaran hasil simulasi menunjuan bahwa model aliran air sungai dengan pendisritan Implisit Sema Preissman tida dapat diredusi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA). Sebab, model aliran air sungai dengan pendisritan Implisit Sema Preissman bersifat ta stabil, ta terendali dan ta teramati. Sedangan pada metode Singular Pertubation Approximation (SPA), untu menentuan sistem setimbang diperoleh dari Gramian eterendalian dan Gramian eteramatan. Karena model aliran air sungai bersifat ta terendali dan ta teramati, maa tida dapat diperoleh Gramian eterendalian dan Gramian eteramatan.. Berdasaran hasil simulasi model aliran air sungai dengan pendisritan Staggered Grid, dapat disimpulan sebagai beriut: a. Analisis sifat estabilan pada etinggian dan ecepatan model aliran air sungai dengan pendisritan Staggered Grid menunjuan bahwa etinggian air sungai dan ecepatan aliran air sungai bersifat stabil. b. Model aliran air sungai dengan pendisritan Staggered Grid tida dapat diredusi dengan metode Singular Perturbation Approximation (SPA). Sebab, pada model aliran air sungai dengan pendisritan Staggered Grid bersifat ta terendali dan ta teramati. Sedangan pada metode Singular Pertubation Approximation (SPA), untu menentuan sistem setimbang diperoleh dari Gramian eterendalian dan Gramian eteramatan. Karena model aliran air sungai bersifat ta terendali dan ta teramati, maa tida dapat diperoleh Gramian eterendalian dan Gramian eteramatan. 49

74 50 5. Saran Adapun saran dari Tugas Ahir ini adalah : 1. Pada penelitian selanjutnya, dapat diembangan redusi model pada apliasi dengan sistem yang ta stabil, terendali dan teramati.. Pada penelitian selanjutnya, dapat diembangan redusi model pada model aliran air sungai satu dimensi dengan menggunaan metode Pemotongan Setimbang.

75 DAFTAR PUSTAKA [1] Wibowo, H. (013, September). Kajian Geometri Sungai Berdasaran Model Matematia Menggunaan Data Debit Aliran. Eco Reayasa, Vol.9, No..pp [] Arif, D.K, et al. (014). Construction of the Kalman Filter Algorithm on the Model Reduction. International Journal Control and Automation (IJCA), Vol. 7, No.9, pp [3] Rochmah, M., Fatmawati. dan Purwati, U.D, Redusi Orde Model Sistem Linier Watu Disrit dengan Metode Singular Perturbation Approximation. Jurnal Matematia. Universitas Airlangga. [4] M.Verlaan. (1998). Efficient Kalman Filtering for Hydrodynamic Models, PhD Thesis. Delft University of Technology. Netherland. [6] Ogata, K. (1995). Discrete-time Control Sistems. Canada : Prentice-Hall International, Inc. [5] Subiono. (013). Sistem Linier dan Kontrol Optimal. Jurusan Matematia Institut Tenologi Sepuluh Nopember. Surabaya. [7] Arif, D.K. (014). Konstrusi dan Implementasi Algoritma Filter Kalman pada Model Teredusi. Disertasi S3.Jurusan Matematia FMIPA UGM. Yogyaarta. [8] Khasanah, N.I. (016). Analisis Redusi Model pada Sistem Linier watu disrit ta stabil. Jurusan Matematia Institut Tenologi Sepuluh Nopember. Surabaya. 51

76 5 Halaman ini sengaja diosongan

77 LAMPIRAN A Listing Program %MODEL ALIRAN AIR SUNGAI DENGAN PENDISKRITAN STAGGERED GRID clc; clear all; %%SISTEM AWAL D=10; g=9.8; Cf=0.000; t=360; % t = delta t i=input('masuan nilai i : '); x=60000/i; % x = delta x n=(i*+); % uuran matris D_Tilda,A_Tilda,B_Tilda %menghitung Matris D_Tilda D_Tilda=zeros(n); D_Tilda(1,1)=1; D_Tilda(n,n)=1; for i=::n- D_Tilda(i,i-1:i+1)=[-g/(*x) (1/t)+(Cf/) g/(*x)]; end for i=3::n-1 D_Tilda(i,i-1:i+1)=[-D/(*x) 1/t D/(*x)]; end D_Tilda %menghitung Matris A_Tilda A_Tilda=zeros(n); for i=::n- A_Tilda(i,i-1:i+1)=[g/(*x) (1/t)-(Cf/) - g/(*x)]; end for i=3::n-1 53

78 54 end A_Tilda A_Tilda(i,i-1:i+1)=[D/(*x) 1/t -D/(*x)]; %menghitung Matris B_Tilda B_Tilda=zeros(n,1); B_Tilda(1,1)=1; B_Tilda %menghitung Matris A,B,C,D A=inv(D_Tilda)*A_Tilda B=inv(D_Tilda)*B_Tilda C=zeros(1,n); C(1,n/)=1; %C(,)=1; C D=[0] =input('masuan nilai : '); X=zeros(n,1); for i=1::n X(i,1)=1; % nilai etinggian pada saat =0 adl 1 end for i=::n X(i,1)=0; % nilai ecepatan pada saat =0 adl 1 end X_=X; U=input('Masuan nilai U : '); wt_tampil=input('masuan watu yang ditampilan : '); pos_tampil=input('masuan posisi yang ditampilan : ');

79 55 h=zeros(n/,1); % etinggian di semua posisi pada watu tertentu u=zeros(n/,1); % ecepatan di semua posisi pada watu tertentu q=zeros(+1,1); % etinggian pada posisi tertentu pada semua watu r=zeros(+1,1); % ecepatan pada posisi tertentu pada semua watu q(1,1)=x(*pos_tampil-1,1); r(1,1)=x(*pos_tampil,1); X_1=zeros(n,1); if ==0 %jia simulasi dilauan sampai =0 X_1=X; q(1,1)=x_1(*pos_tampil-1,1); r(1,1)=x_1(*pos_tampil,1); for g=1:n/ h(g,1)=x_1(*g-1,1); u(g,1)=x_1(*g,1); end else for l=1: X_1=(A*X_)+(B*U) X_=X_1; q(l+1,1)=x_1(*pos_tampil-1,1); r(l+1,1)=x_1(*pos_tampil,1); for g=1:n/ h(g,1)=x_1(*g-1,1); u(g,1)=x_1(*g,1); end end end y=zeros(n/,1) % membuat sumbu t dimulai dari nol for l=1:n/; y(l,1)=l-1;

80 56 end figure(1); plot(y,h,'b') title(['grafi Ketinggian pada watu e- ' numstr()]); xlabel('posisi') ylabel('ketinggian') figure(); plot(y,u,'r') title(['grafi Kecepatan pada watu e-' numstr()]); xlabel('posisi') ylabel('kecepatan') z=zeros(+1,1); % membuat sumbu t dimulai dari nol for l=1:+1 z(l,1)=l-1; end figure(3); plot(z,q,'b') title(['grafi Ketinggian pada posisi e-' numstr(pos_tampil)]); xlabel('watu') ylabel('ketinggian') figure(4); plot(z,r,'r') title(['grafi Kecepatan pada posisi e-' numstr(pos_tampil)]); xlabel('watu') ylabel('kecepatan') X_baru=zeros(n,1); for i=1::n X_baru(i,1)=1; % nilai etinggian pada saat =0 adl 1 end for i=::n

81 57 X_baru(i,1)=0; % nilai ecepatan pada saat =0 adl 1 end X baru=x_baru; h_baru=zeros(n/,1); % etinggian di semua posisi pada watu tertentu u_baru=zeros(n/,1); % ecepatan di semua posisi pada watu tertentu q_baru=zeros(+1,1); % etinggian pada posisi tertentu pada semua watu r_baru=zeros(+1,1); % ecepatan pada posisi tertentu pada semua watu q_baru(1,1)=x_baru(*pos_tampil-1,1); r_baru(1,1)=x_baru(*pos_tampil,1); X_1_baru=zeros(n,1); if wt_tampil==0 %jia simulasi dilauan sampai =0 X_1_baru=X_baru; q_baru(1,1)=x_1_baru(*pos_tampil-1,1); r_baru(1,1)=x_1_baru(*pos_tampil,1); for g=1:n/ h_baru(g,1)=x_1_baru(*g-1,1); u_baru(g,1)=x_1_baru(*g,1); end else for l=1:wt_tampil X_1_baru=(A*X baru)+(b*u) X baru=x_1_baru; q_baru(l+1,1)=x_1_baru(*pos_tampil-1,1); r_baru(l+1,1)=x_1_baru(*pos_tampil,1); if l==wt_tampil for g=1:n/ h_baru(g,1)=x_1_baru(*g-1,1); u_baru(g,1)=x_1_baru(*g,1); end

82 58 end end end y=zeros(n/,1) % membuat sumbu t dimulai dari nol for l=1:n/; y(l,1)=l-1; end figure(5); plot(y,h_baru,'b') title(['grafi Ketinggian pada watu e-' numstr(wt_tampil)]); xlabel('posisi') ylabel('ketinggian') figure(6); plot(y,u_baru,'r') title(['grafi Kecepatan pada watu e-' numstr(wt_tampil)]); xlabel('posisi') ylabel('kecepatan') det_a=det(a) sysawal=ss(a,b,c,d,1); [n,n]=size(a); %dimensi %% MENENTUKAN NILAI EIGEN DARI MATRIKS A Eigen_A=abs(eig(A)) Ta_Stabil = 0; Stabil = 0; Stabil_Asimtoti = 0; for i = 1:n if Eigen_A(i) > 1 Ta_Stabil = Ta_Stabil +1; end if Eigen_A(i) == 1 Stabil = Stabil +1; end if Eigen_A(i) < 1

83 59 Stabil_Asimtoti = Stabil_Asimtoti +1; end end Ta_Stabil Stabil Stabil_Asimtoti %% KETERKENDALIAN SISTEM AWAL Matris_Keterendalian_Sistem_Awal=ran(ctrb(sysAwa l)) bb=ran(ctrb(sysawal)); %% KETERAMATAN SISTEM AWAL Matris_Keteramatan_Sistem_Awal=ran(obsv(sysAwal)) aa=ran(obsv(sysawal)); %% Matris uniter dan Matris Transformasi,deomposisi stabil/tida stabil A1 stabil, A % U adalah matris uniter % At adalah matris transformasi % M adalah jumlah eadaan yang stabil % A adalah matris A % 6 adalah tipe % 3 adalah state yang stabil [U,At,Z] = blrsch(a,6,stabil_asimtoti) %% SOLUSI LYAPUNOV A(t11)S-SA(t)+At1=0 A11=At(1:Z,1:Z); A=At(Z+1:n,Z+1:n); A1=At(1:Z,Z+1:n)*inv(A); P=A11; Q=(inv(A))'; R=A1; S=dlyap(P,Q,R); %% TRANSFORMASI TAHAP KEDUA I_m=eye(Z); I_n=eye(n-Z); nul =zeros(n-z,z);

84 60 S; Wd=[I_m S;nul I_n] Wi=[I_m -S;nul I_n]; %% DEKOMPOSISI SISTEM TAK STABIL Bt=U'*B; Ct=C*U; Ad=Wi*At*Wd Bd=Wi*Bt Cd=Ct*Wd D; Gd=[Ad Bd;Cd D] %% SUBSISTEM STABIL As=Ad(1:Z,1:Z) Bs=Bd(1:Z) Cs=Cd(1,1:Z) Ds=D Gs=[As Bs;Cs D] %% GRAMIAN PADA SUBSISTEM STABIL sysstabil=ss(as,bs,cs,ds,1); =gram(sysstabil,'c'); l=gram(sysstabil,'o'); if(det()>0) disp('gramian W Dfinit Positif'); else errordlg('gramian W ta definit positif','ta Terendali'); brea; end if(det(l)>0) disp('gramian M Dfinit Positif'); else errordlg('gramian M ta definit positif','ta Teramati'); brea; end

85 61 %% ANNALISIS SIFAT SUBSISTEM STABIL %% KESTABILAN SUBSISTEM STABIL Eigen_Subsistem_Stabil=abs(eig(sysStabil)) %% KETERKENDALIAN SUBSISTEM STABIL Matris_Keterendalian_Subsistem_Stabil=ran(ctrb(s ysstabil)) b=ran(ctrb(sysstabil)); %% KETERAMATAN SUBSISTEM STABIL Matris_Keteramatan_Subsistem_Stabil=ran(obsv(sysS tabil)) a=ran(obsv(sysstabil)); if(isequal(a,b)) disp('ran Matris Keterendalian = Ran Matris Keteramatan'); else errordlg('ran Matris Keterendalian TIDAK SAMA dengan Ran Matris Keteramatan','error'); brea; end %% SUBSISTEM TAK STABIL Au=Ad(Z+1:n,Z+1:n); Bu=Bd(Z+1:n); Cu=Cd(Z+1:n0); Du=0; Gu=[Au Bu;Cu Du] sysunstabil=ss(au,bu,cu,du,1); %% ANALISIS SIFAT SUBSISTEM TAK STABIL %% KESTABILAN SUBSISTEM TAK STABIL Eigen_Subsistem_TaStabil=abs(eig(sysunStabil)) %% KETERKENDALIAN SUBSISTEM TAK STABIL Matris_Keterendalian_Subsistem_TaStabil=ran(ctr b(sysunstabil)) %% KETERAMATAN SUBSISTEM TAK STABIL

86 6 Matris_Keteramatan_Subsistem_TaStabil=ran(obsv(s ysunstabil)) %% MENENTUKAN FUNGSI TRANSFER PADA SUBSISTEM STABIL(As,Bs,Cs,Ds) disp('fungsi Transfer dari Subsistem Stabil (As,Bs,Cs,Ds)'); G=tf(sysStabil); Realisasi_Minimal=order(G); %% MENENTUKAN BENTUK REALISASI SISTEM SETIMBANG [Ab,Bb,Cb]=dbalreal(As,Bs,Cs); Db=Ds; sysb=ss(ab,bb,cb,db,1); W_gramian = gram(sysb,'c') M_gramian = gram(sysb,'o') c=fix(abs(w_gramian)); d=fix(abs(m_gramian)); if(isequal(c,d)) disp('gramian Keterendalian Setimbang = Gramian Keteramatan Setimbang'); else errordlg('gramian Keterendalian Setimbang TIDAK SAMA dengan Gramian Keteramatan Setimbang','error'); brea; end hsv= hsvd(sysb); Nilai_Singular_Hanel=hsv %% SISTEM TEREDUKSI %% INPUTAN r (ORDE SISTEM TEREDUKSI) [p,o]=size(ab); disp(['masuan uuran sistem teredusi(r) mulai dari orde sampai ' numstr(p)-1]); r=input('r='); %% REDUKSI MODEL DENGAN MENGGUNAKAN METODE SPA

87 63 rsys=balred(sysb,r); disp('fungsi Transfer dari Sistem teredusi dengan metode SPA'); G3=tf(rsys); omr=order(g3); [AsrS,BsrS,CsrS,DsrS]=ssdata(rsys); %% ANALISIS SIFAT SISTEM TEREDUKSI %% KESTABILAN SISTEM TEREDUKSI Eigen_SPA1=abs(eig(rsys)) %% KETERKENDALIAN SISTEM TEREDUKSI Ran_Matris_Keterendalian_SPA1=ran(ctrb(rsys)) %% KETERAMATAN SISTEM TEREDUKSI Ran_Matris_Keteramatan_SPA1=ran(obsv(rsys)) %% SISTEM TEREDUKSI TOTAL (Redusi SPA+Subsistem Ta Stabil) nul1=zeros(r,ta_stabil); nul=zeros(ta_stabil,r); ArS=[AsrS nul1;nul Au] BrS=[BsrS;Bu] CrS=[CsrS Cu] DrS=[DsrS] sysspa=ss(ars,brs,crs,drs,1); %% ANALISIS SIFAT SISTEM TEREDUKSI TOTAL %% KESTABILAN SISTEM TEREDUKSI TOTAL DENGAN SPA Eigen_SPA=abs(eig(sysSPA)) %% KETERKENDALIAN SISTEM TEREDUKSI TOTAL DENGAN SPA Ran_Matris_Keterendalian_SPA=ran(ctrb(sysSPA) ) %% KETERAMATAN SISTEM TEREDUKSI TOTAL DENGAN SPA Ran_Matris_Keteramatan_SPA=ran(obsv(sysSPA)) %% NORM

88 64 [ta1,tb1]=sstf(a,b,c,d,1); Sistem_Awal=tf(ta1,tb1,1); [ta,tb]=sstf(ars,brs,crs,drs,1); Sistem_Redusi_SPA=tf(ta,tb,1); Error1=Sistem_Awal-Sistem_Redusi_SPA; NormSPA=norm(Error1,inf); Error=Sistem_Redusi_SPA-Sistem_Awal; NormSPA=norm(Error,inf); %% GRAFIK figure(1); hsv=hsvd(sysb); xlabel('order') ylabel('nilai Singular Hanel') plot(hsv,'*') title('nilai Singular Hanel') figure(100+r); t=logspace(-3,3,00); [mag,pha]=bode(a,b,c,d,1,t); [magr,phar]=bode(ars,brs,crs,drs,1,t); semilogx(t,0*log10(mag),'g:',t,0*log10(magr),'b:' ) title(['freuensi Response antara Sistem Awal dan Sistem Teredusi dengan Uuran ' numstr(r+ta_stabil)]); xlabel('freuensi') ylabel('gain') legend('sistem Awal','Sistem Teredusi dengan SPA'); figure(z+1); t=logspace(-3,3,00); [mag,pha]=bode(as,bs,cs,ds,1,t); [magr,phar]=bode(ab,bb,cb,db,1,t); semilogx(t,0*log10(mag),'b*',t,0*log10(magr),'r:' ) title('freuensi Response antara Subsistem Stabil dan Sistem Setimbang');

89 xlabel('freuensi') ylabel('gain') legend('subsistem Stabil','Sistem Setimbang'); 65

90 66 Halaman ini sengaja diosongan

91 LAMPIRAN B Biodata Penulis Penulis bernama lengap Airin Nur Hidayati dengan nama panggilan Airin. Lahir di Nganju, 31 Otober Jenjang pendidian formal yang ditempuh yaitu SDN Sumberurip 1 ( ), SMPN 1 Brebe ( ), SMAN 1 Nganju ( ). Searang sedang menempuh pendidian S1 Jurusan Matematia di Institut Tenologi Sepuluh Nopember (ITS) dengan bidang minat Matematia Terapan. Penyusun juga atif berorganisasi di KM ITS, yaitu sebagai staff Departemen Pengabdian Masyaraat di HIMATIKA ITS ( ), staff Departemen Kaderisasi di Lembaga Dawah Jurusan Matematia Ibnu Muqlah ( ), staff Departemen Community Service di HIMATIKA ITS ( ), Bendahara Umum di Lembaga Dawah Jurusan Matematia Ibnu Muqlah ( ). Selain itu penyusun juga atif dalam epanitianepanitian acara di dalam ampus. Penyusun melasanaan Kerja Prate di PT. Perebunan Nusantara X PG. Pesantren Baru pada 016. Untu riti, saran dan informasi lebil lanjut mengenai Tugas Ahir ini dapat ditujuan epada penulis melalui airinnurhidayati@gmail.com. 67