ALGORITMA PENYELESAIAN PERSAMAAN DINAMIKA LIQUID CRYSTAL ELASTOMER

Transkripsi

1 ALGORITMA PENYELESAIAN PERSAMAAN DINAMIKA LIQUID CRYSTAL ELASTOMER Oleh: Supardi SEKOLAH PASCA SARJANA JURUSAN ILMU FISIKA UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

2 PENDAHULUAN Liquid Crystal elastomer (LCE merupaan materi luna dengan eberaturan orientasional dan memii fitur ombinasi antara liquid crystal (LC dengan polimer yang elasti. LCE petama ali diusulan oleh de Genes dan pertama ali disintesis oleh Finelman dan awan-awan (Finelman, d., Materi ini terdiri atas polimer LC dengan pautan melintang (cross-lined dengan sisi eberaturan orientasional. Keberadaan LCE membawa banya fenomena yang tida ditemuan pada ristal cair ataupun polimer. Fitur utama yang dibawa oleh LCE adalah adanya opling yang uat antara deformasi meani dengan order orientasional. Sebagai onseuensi dari opling ini, regangan (strain meanis aan mengubah parameter benahan (order parameter dan oleh sebab itu sifat-sifat fisis LCE yang ditunjuan dengan adanya rangsangan luar, misalnya adanya pengaruh cahaya saja aan menghasilan perubahan yang sangat besar. Seperti ditunjuan oleh Camacho-Lopez d. (2004 bahwa eberaturan orientasional dapat dipengaruhi oleh adanya rangsangan seperti halnya cahaya. Merea mendemonstrasian bahwa dengan melarutan azo dyes e dalam cuplian LCE, maa deformasi meanis sebagai respon terhadap iluminasi ta uniform oleh cahaya tampa menjadi sangat besar (bengo lebih dari 60 o dan lebih dari dua orde magnitud lebih cepat dibandingan dengan yang telah dilaporan sebelumnya (Finelman d, Deformasi indusi-cahaya cepat memunginan LCE berinterasi dengan lingungan dengan cara yang baru dan tida diharapan. Ketia sebuah beras cahaya dari atas disinaran e arah sample dye-doped LCE yang mengambang di air, maa LCE aan berenang menjauhi cahaya tersebut. Banya penelitian telah dilauan untu mengaji secara mendalam mengenai tanggap LCE oleh adanya rangsangan luar. Namun demiian, dinamia ristal cair jenis ini belum dapat dijelasan secara gamblang. Seperti penelitian yang telah 2

3 dilauan oleh Cvilinsi d (2003 tentang isomerisasi UV pada nematic elastomer. Dari penelitian ini terungap bahwa relasasi marosopi ditentuan oleh relasasi order nemati dan buan oleh relasasi jaringan polimer. Bentu dari LCE sangat bergantung epada parameter group mesogeni. Keberaturan ini dapat dimanipulasi jia photo-isomerisable group, misalnya N = N iatan dimasuan e dalam materi. Tanggap foto meani panjang dari azo-benzena yang berisi nematic elastomer pada suhu yang berbeda telah diaji dengan menggunaan penguuran gaya dan optical berifringe yang difousan pada aspe fundamental dari dinamia populasi dan beraitan dengan laju eberulangan respon. PERSAMAAN GERAK Untu menjelasan perilau dinami dari LCE ini, maa perlu diselesaian ungapan persamaan diferensial yang menyataan evolusi watu terhadap pergeseran materi elastis yang ditunjuan oleh persamaan λ u t = 1 2 α ( L 1 F L o + α (Λ(J 1 J F 1 + λ 1 2λ 3 α (( α u F 1 +F T α u T F T ` (1 dengan λ : onstanta bilangan positif, F adalah gradien deformasi, L o =I +2 μ Q o adalah tensor panjang langah pada eadaan awal dimana Q o adalah tensor parameter benahan mula-mula, dan J = det(f. Sedangan untu menyataan perubahan parameter benahan pada setiap saat dinyataan oleh persamaan S t = 1 [ 6(1 μ S tr (FL F T 2 o 3(1+2μ2 S 2 μ 2 S + (1 μ S(1+2μ S ( 3 Tem 5( 300 1S +4 S 2 5S (1+2μ S 2 tr(nn T FL o F T ] (2 3

4 Beberapa parameter yang terlibat dalam persamaan ini antara lain S: parameter benahan, yaitu parameter yang bertanggung jawab terhadap eadaan LC, µ: parameter relasasi, Tem: fungsi suhu yang bergantung pada loasi dan watu, F: gradient deformasi dan n: vetor director. Untu asus fase uniasial, bentu tensor parameter benahan dinyataan oleh Q=S ( 3/ 2 nn T 1 2 I. Untu menjaga panjang director n, maa perlu dinyataan sebuah persamaan diferensial seperti diperlihatan di bawah ini n t = μ S 3 S 2 (1 μ S (1+2 μ S [ FL o F T tr (nn T FL o F T I ] n (3 Persamaan beriutnya menyataan eadaan deformasi LCE pada setiap saat yang dinyataan oleh persamaan F t = α ' u (4 ALGORITMA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN GERAK PADA DINAMIKA LCE Sebagaimana diperlihatan pada persamaan (1, (2, (3 dan (4 bahwa eempat persamaan diferensial tersebut mengandung derivatif watu dan ruang. Oleh sebab itu, ada beberapa metode yang dapat digunaan untu menyelesaian persamaan ini. Diantara metode yang dapat diuji untu menyelesaian persamaan diferensial ini antara lain (1 metode FTCS (Forward in Time, Centerd in Space, yaitu pendeatan derivatif dengan menggunaan pendeatan beda maju untu derivatif watu dan beda terpusat untu derivatif ruangnya (2 metode CTCS (Centered-Space Centered-Space, yaitu metode yang menggunaan pendeatan beda hingga terpusat untu derivatif watu dan ruangnya, (3 metode spectral(fft, DFT dan Chebyshev. Namun demiian, 4

5 dalam paper ini hanya aan digunaan metode FTCS mengingat esederhanaan dalam disretisasinya. 1 ALGORITMA UNTUK PERSAMAAN PERGESERAN Sebagaimana dinyataan oleh persamaan (1 λ u t = 1 2 α ( L 1 F L o + α (Λ(J 1 J F 1 + λ 1 2 λ 3 α (( α u F 1 +F T α u T F T Persamaan ini dapat diselesaian dengan metode FTCS yaitu dengan mengambil pendeatan beda hingga maju untu derivatif watu dan beda hingga terpusat untu derivatif ruangnya. Dalam persamaan tersebut derivatif watu sudah jelas tampa, tetapi untu derivatif ruangnya perlu diaji lebih lanjut. Sebelum ita melauan disretisasi terhadap persamaan (1, maa terlebih dahulu aan dijelasan beberapa hal mengenai parameter yang terlibat di dalam persamaan ini. Apabila digunaan oordinat artesan, maa ungapan α dapat dinyataan sebagai α =î x + ĵ y + z. Sedangan untu L dan F masing-masing dapat dinyataan sebagai mengingat [3 L= I+2μ Q=[ ] 2 n xn x μ 3 2 n n y x n n z x Q=S ( 3/ 2nn T 1 2 I atau 3 2 n 3 x n y 2 n x n z 3 2 n n 1 3 y y 2 2 n n y z (5 3 2 n n z y 2] 3 2 n n 1 z z (6a Q ij =S ( 3 2 n i n j 1 2 δ ij (6b 5

6 Sedangan F adalah gradien deformasi yang dinyataan oleh F ij = R i R oj (7 Mana fisis yang terandung di dalam gradien deformasi ini dapat dijelasan sebagai beriut. Jia dipandang sebuah ruang acuan S R dari sebuah benda sebelum melauan deformasi e ruang S T. Sebuah titi materi R o di dalam S R menjadi R=R o +u( R o di dalam S T (Lihat gambar 1. Gambar 1. Deformasi benda elastis. Sebuah titi dengan oordinat R o dalam ruang acuan S R dipindahan e posisi baru R di dalam ruang target S T. Deformasi digambaran secara penuh oleh medan vetor pergeseran u( R o pada setiap titi dalam bentu benda mula-mula. Selanjutnya R o dipindah e R oleh u( R o. Matris V dan U masing-masing adalah rotasi untu S R dan S T. Sudah jelas bahwa hanya gradien pergeseran saja yang berontribusi terhadap efe fisis: medan pergeseran uniform u beraitan dengan perpindahan benda secara eseluruhan. Apabila transformasi ruang target terjadi arena rotasi U sehingga R '=U R dan deformasi ruang acuan arena rotasi V sehingga R o ' =V R o maa tensor gradien deformasi dapat dinyataan oleh ' R F l =U i T l V R jl oj (8a 6

7 F ' =U F V T atau sebaliya (8b F=U T F ' V (8c dimisalan Selanjutnya, untu melauan disretisasi pada persamaan (1 maa perlu A=L 1 F L o atau A ij =(L 1 F L o ij (9 B=Λ(J 1J F T atau B ij =(Λ( J 1 J F T ij (10 C = α u F 1 F T atau C ij =( α u F 1 F T ij (11 D=F T α u T F T atau D ij =(F T α u T F T ij (12 sehingga diperoleh bentu yang lebih sederhana λ u t = 1 2 α A+ α B+ λ 1 2λ 3 α (C +D atau (13a λ u i t = 1 2 i A ij + i B ij + λ 1 2λ 3 i (C ij + D ij (13b Jia disretisasi dilauan hanya e arah x saja maa diperoleh λ u +1 x u x = 1 Δ t 2 A xj,i +1 + λ 1 ( C xj, i+1 2 λ 3 u +1 x = 1 λ u x+ Δ t 2λ + λ 1 Δt A xj,i 1 2 Δ x C xj,i 1 A xj,i+1 ( C xj, i+1 2λ λ 3 + D xji+1 + B xj, i+1 B xj,i 1 D xj,i 1 A xj,i 1 + Δ t 2 Δ x λ C xj,i 1 B xj, i+1 + D xj, i+1 B xj,i 1 D xj,i 1 (14 (15 dengan j=1..3 (atau x, y dan z. Beda hingga yang digunaan untu mendeati ungapan derivatif pada (15 adalah beda maju untu derivatif watu dan beda terpusat untu derivatif ruangnya. Berdasaran pada disretisasi (15 maa ita dapat menyusun algoritma untu memperoleh ungapan pergeseran u pada setiap saat. 7

8 (1 Tentuan harga tetapan λ,λ 1, λ 3 (2 Tentuan panjang langah untu Δ t dan Δ x (3 Tentuan batas bawah t a dan batas atas t b untu derivatif watu. (4 Tentuan batas bawah x a dan batas atas x b untu derivtif ruangnya. (5 Tentuan jumlah iterasi masimum M = (t b t a Δt dan N = ( x b x a Δ x o (6 Menentuan syarat awal, yaitu pada t=0.0 untu menentuan u=u x (7 Memberian syarat batas (dapat berupa Dirichlet atau Neuman untu A xj, B xj, D xj, D xj di sepanjang x= N (8 Untu =1:N (a t =t a + Δ t 1. Untu i=1:n-1 1. x i = x a +i Δ x 2. Hitung A i = Δt 2λ A xj, i+1 A xj,i 1, B i = Δt λ B xj,i+1 B xj, i 1 2 Δ x C xj,i +1 2 λ λ 3 C i = λ 1 Δ t C xj,i 1 dan D i = D xj, i+1 D xj,i 1 3. Hitung u i+1 =u i + A i +B i +C i +D i (b Tampilan data untu t, x dan u. (9 Selesai 2 ALGORITMA PERSAMAAN DINAMIKA PARAMETER BENAHAN Persamaan parameter benahan diberian oleh persamaan (2 yang dapat ditulis embali 8

9 S t = 1 [ 6(1 μ S tr (FL F T 2 o 3(1+2μ2 S 2 μ 2 S + (1 μ S(1+2μ S ( 3 Tem 5( 300 1S +4 S 2 5S (1+2μ S 2 tr(nn T FL o F T ] Persamaan diferensial seperti ditunjuan oleh persamaan di atas tentunya lebih mudah dierjaan dibandingan dengan persamaan sebelumnya, mengingat ruas anan tida mengandung derivatif ruang. Aan tetapi, untu mempermudah perhitungan, ita perlu melauan penyederhanaan. Apabila dimisalan A=tr(FL o F T, B=tr(nn T FL o F T sehingga persamaan (1 menjadi S t = 1 2[ 6(1 μ S tr ( A 3(1+2 μ 2 S 2 tr (1+2μ S (B] + μ 2 S 2 (1 μ S(1+2μ S ( 3 Tem 5( 300 1S+4S2 5S (16 maa ita cuup menggunaan pendeatan beda maju saja untu derivatif watunya, sehingga diperoleh ungapan disretisasi S i+1 S i Δt = 1 2[ 6(1 μ S i tr ( A 3(1+2μ2 S 2 i tr (1+2μ S i (B] + μ 2 S i 2 (1 μ S i (1+2μ S i +200 Tem 3 ( 5( 300 1S +4S 2 i i 5 S i 3 (17 atau S i+1 =S i Δt 2[ 6(1 μ S i tr ( A 3(1+2 μ2 S 2 i tr ( (1+2 μ S i B] + Δ t μ 2 S i 2 (1 μ S i (1+2 μ S i +200 Δ t Tem 3 ( 5( 300 1S +4 S i i 2 5 S i 3 (18 Dari persamaan (18 ita dapat menyusun algoritma dinamia parameter benahan sebagai beriut: 2. Tentuan onstanta μ dan Tem 3. Tentuan tensor gradient deformasi F, tensor panjang langah L o dan vetor director n. 9

10 4. Hitung A=tr(FL o F T dan B=tr(nn T FL o F T 5. Tentuan batas bawah t a dan batas atas t b untu derivatif watu. 6. Tentuan panjang langah watu Δ t 7. Hitung jumlah iterasi N = (t b t a Δt 8. Berian harga awal (inisialisasi S=S o 9. Untu i=1:n (a t i =t a +i Δt (b Hitung Δ t [ Y i = 6(1 μ S i tr ( A 3(1+2μ2 S 2 i tr 2 (1+2 μ S i (B] + Δt μ 2 S i 2 (1 μ S i (1+2 μ S i +200Δ t Tem 3 ( 5( 300 1S +4S 2 i i 5S i 3 (c Hitung S i+1 =S i +Y i (d Tampilan data S untu tiap elemen t i 10. Selesai 3 ALGORITMA PERSAMAAN DINAMIKA DIRECTOR Untu menyelesaian secara numeri bentu dari ungapan derivatif watu pada persamaan dinamia director n, maa perlu dilauan pernyederhaan ungapan terlebih dahulu. Dimisalan A=(FL o F T, B=tr(nn T FL o F T I dan C=A+B maa persamaan (3 menjadi n t = μ S 3 S 2 (1 μ S (1+2 μ S C n (19 Jia diambil pada arah sumbu x saja, maa ungapan (19 menjadi n x t = μ S 3S 2 (1 μ S (1+2 μ S C n x (20 10

11 Dengan menggunaan pendeatan beda hingga maju pada derivatif watunya, maa ungapan (20 dapat dinyataan oleh n x i+1 n x i Δ t μ S = 3 S 2 (1 μ S(1+2μ S C n i x (21 atau n i+1 x =n i Δt μ S x + 3S 2 (1 μ S(1+2μ S C n i x (22 dengan cara yang sama diperoleh untu disretisasi e arah sumbu y dan z n i+1 y =n i Δ t μ S y + 3 S 2 (1 μ S (1+2 μ S C n i y n i+1 z =n i Δ t μ S z + 3S 2 (1 μ S(1+2 μ S C n i z (23 (24 Berdasaran pada persamaan (22, (23 atau (24 maa ita dapat menyusun algoritma program sebagai beriut. 1. Tentuan onstanta μ dan S 2. Tentuan tensor gradient deformasi F, tensor panjang langah L o dan vetor director n. 3. Hitung A=FL o F T dan B=tr(nn T FL o F T I 4. Tentuan batas bawah t a dan batas atas t b untu derivatif watu. 5. Tentuan panjang langah watu Δ t 6. Hitung jumlah iterasi N = (t b t a Δt 7. Berian harga awal (inisialisasi n i =n o (ita dapat mengambil derivatif e arah sumbu x, y atau z 8. Untu i=1:n (a t i =t a +i Δt 11

12 Δt μ S (b Hitung y i = 3 S 2 (1 μ S (1+2μ S C n i (c Hitung n i+1 =n i + y i (d Tampilan data n i pada tiap elemen t i 9. Selesai 4 ALGORITMA DINAMIKA DEFORMASI Persamaan dinamia deformasi benda elastis dinyataan oleh persamaan (4, atau jia ditulis embali F t = α ' u Sebelum ita membuat algoritma penyelesaian numeri persamaan diferensial di atas, maa perlu terlebih dahulu dijabaran variabel yang terlibat di dalamnya. Variabel F adalah tensor deformasi yang berhubungan dengan tensor gradien pergeseran u dengan hubungan F ij =δ ij +u ij (25 Identitas δ ij merupaan tensor satuan yang menyataan tida adanya deformasi. Sedangan u ij adalah tensor gradien pergeseran yang dinyataan oleh ungapan u ij = u i R oj (26 Dengan mensubstitusian ungapan (25 e persamaan (4 maa diperoleh F ij = α u t j atau (δ ij +u ij = t α u j atau (u ij = t α u ij atau 12

13 (u ij = u j (27 t x i mengingat (δ ij =0. Dengan demiian, berdasaran pada persamaan (27 ita dapat t melauan disretisasi sebagai beriut. Jia hanya diambil pada arah sumbu x saja, maa dengan menerapan metode FTCS diperoleh ungapan disretisasi (u +1 xj u xj Δt = u j, i+1 u j,i 1 (28 atau u +1 xj =u xj + Δt 2 Δ x ( u j,i+1 u j,i 1 (29 dengan j=1..3 (x,y dan z. Selanjutnya dapat dibuat algoritma sebagai beriut (1 Tentuan panjang langah untu Δ t dan Δ x (2 Tentuan batas bawah t a dan batas atas t b untu derivatif watu. (3 Tentuan batas bawah x a dan batas atas x b untu derivtif ruangnya. (4 Tentuan jumlah iterasi masimum M = (t b t a Δt dan N = ( x b x a Δ x (5 Menentuan syarat awal, yaitu pada t=0.0 untu menentuan u=u x o (6 Memberian syarat batas (dapat berupa Dirichlet atau Neuman untu di u j,i sepanjang x= N (7 Untu =1:N (a t =t a + Δ t 1. Untu i=1:n-1 1. x i = x a +i Δ x 2. Hitung y i = Δt ( u j,i +1 u j,i 1 13

14 3. Hitung u i+1 =u i + y i (b Tampilan data untu t i, x i dan u i. (8 Selesai Setelah diperoleh harga u ij, maa dilanjutan dengan menghitung tensor gardien deformasi F ij =δ ij +u ij 14