3. Sebaran Peluang Diskrit

Transkripsi

1 3. Sebaran Peluang Disrit EL2002-Probabilitas dan Statisti Dosen: Andriyan B. Susmono

2 Isi 1. Sebaran seragam (uniform) 2. Sebaran binomial dan multinomial 3. Sebaran hipergeometri 4. Sebaran Poisson 5. Sebaran binomial negatif dan geometri

3 3.1 Sebaran seragam

4 Sebaran seragam (uniform) Merupaan sebaran peluang disrit yang paling sederhana dimana suatu peubah aca memilii nilai peluang yang semuanya sama Sebaran Seragam: Jia suatu peubah aca X dengan nilai x 1, x 2,, x, memilii peluang yang sama, maa sebaran disrit seragamnya diberian oleh f(x;) = (1/) ; x= x 1, x 2,, x \ Notasi f(x;) dipaai sbg pengganti f(x) untu menegasan etergantungan f pada ; Contoh 3.1: Dalam pelantunan dadu, setiap anggota dari ruang cuplian S={1, 2, 3, 4, 5, 6} muncul dengan peluang (1/6). Dengan demiian, sebaran peluangnya adalah seragam dengan f(x;6) = 1/6 ; x=1, 2, 3, 4, 5, 6. 1/6 f(x;6) x

5 Mean dan Variansi Teorema 3.1: Mean dan variansi dari sebaran peluang seragam f(x;) adalah = = i x i 1 1 μ ( ) = = i x i μ σ BUKTI ( ) ( ) = = = = = = = i i i i i i i x x x f x X E ; μ ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = = i i i i i i i x x x f x X E ; μ μ μ μ σ

6 Contoh 3.3 Berdasaran contoh 3.1 ttg pelemparan dadu, maa ita peroleh mean dan variansi sbb μ = (1/6)( ) = 3.5 σ 2 = {(1-3.5) 2 + (2-3.5) 2 + (3-3.5) 2 + (4-3.5) 2 +(5-3.5) 2 + (6-3.5) 2 }/6 = 35/12

7 3.2 Sebaran Binomial dan Multinomial

8 Sebaran binomial Esperimen berulang yang menghasilan dua macam eluaran dng label berhasil atau gagal disebut sebagai esperimen binomial. Esperimen binomial harus memenuhi sifat-sifat beriut ini: 1. Esperimen terdiri dari n buah percobaan berulang 2. Setiap percobaan memberian hasil yang dapat disebut atau dilabeli sebagai berhasil atau gagal. 3. Peluang berhasil yang disebut p bersifat tetap sepanjang percobaan. 4. Percobaan yang satu bersifat bebas secara statisti dari percobaan yang lain. Contoh esperimen binomial: pengamatan eluaran H dari pelantunan oin Pengambilan aca artu menghasilan artu warna hitam dari satu set artu, setelah diambil artu diembalian dan dioco Pada asus terahir, jia artu ta diembalian, p aan berubah dari ½ menjadi 26/51 atau 25/51, dengan demiian syarat 3 td dipenuhi. Aibatnya, esperimen ini td bisa disebut sbg esperimen binomial

9 Ilustrasi Tinjau percobaan binomial dari pengambilan tiga buah produ dari proses manufatur secara aca, emudian diamati dan dilasifiasian sebagai cacat atau tida cacat. Jia produ cacat, pengamatan disebut berhasil. Jumlah eberhasilan ini disebut sbg peubah aca X yang bernilai bulat antara 0 sampai 3. Beriut ini 8 emunginan hasilnya: Hasil pengamatan x NNN 0 NDN 1 NND 1 DNN 1 NDD 2 DND 2 DDN 2 DDD 3 Produ dipilih secara aca dari proses manufatur yang menghasilan 25% produ cacat, maa P(NDN)=P(N)P(D)P(N) = (3/4)(1/4)(3/4) = 9/64 Peluang hasil yang lain dapat dihitung dengan cara yang sama. Hasil perhitungan sebaran peluang dari X sbb: x f(x) 27/64 27/64 9/64 1/64

10 Peubah aca binomial Definisi 3.1: Jumlah eberhasilan X dalam percobaan binomial disebut sebagai peubah aca binomial. Sebaran peluang dari peubah aca binomial X disebut sebaran binomial dan ditulisan sbg b(x; n, p) arena nilainya bergantung pada jumlah percobaan dan peluang suses untu percobaan yang diberian. Untu sebaran peluang binomial X pada contoh sebelumnya, nilai atau banyanya produ cacat adalah: P(X=2) = f(2) = b(2;3,1/4) Formula umum untu b(x; n, p) Tinjau peluang x buah suses dan n-x gagal untu urutan tertentu. Karena percobaan saling bebas, nilai peluang aan sama dengan peralian peluang masing-masing. Setiap suses muncul dng peluang p, sedangan gagal dng peluang q=1 p. Dengan demiian peluang satu esperimen adalah p x q n-x. Jumlah total titi cuplian dari x suses dan n-x gagal adalah partisi eluaran esperimen edalam dua elompo, x dielompo pertama dan n-x dielompo edua, yani C(n,x). Dng demiian hslnya adalah C(n,x) dialian dengan p x q n-x. Kita formulasian sbb:

11 Rumus sebaran binomial SEBARAN BINOMIAL. Jia suatu percobaan binomial menghasilan eluaran berhasil/suses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maa sebaran peluang dari peubah aca binomial X, yani banyanya eberhasilan dalam n buah percobaan yang saling bebas adalah n x n x b( x; n, p) = p q ; x = 0,1, 2,..., n x Untu asus dimana n=3 dan p=1/4, sebaran peluang X yng menyataan banyanya produ cacat, dpt ditulis sbg (bandingan dng tabel hasil sebelumnya) b(x;3, 1/4) = C(3,x)(1/4) x (3/4) 3-x ; x = 0, 1, 2, 3 Contoh 3.4: Peluang bahwa omponen tertentu lolos uji ejut adalah ¾. Tentuan peluang bahwa tepat dua dari empat omponen lolos uji ejut. Jawab: Dengan mengasumsian uji ini saling bebas dan p=3/4 dari setiap pengujian, maa b(2;4,3/4) = C(4,2)(3/4) 2 (1/4) 2 = [4!/(2!2!)](3 2 /4 4 ) = 27/128

12 Nilai peluang Seringali ita perlu menghitung P(X<r) atau P(a X b). Ini bisa ditentuan dengan penjumlahan binomial B(r;n,p)= r x=0 b(x;n,p) yang nilainya sudah ditabulasian (lihat Table II dalam Buu acuan). Beriut ini contoh pemaaian tabel tsb. Contoh 3.5: peluang seorang pasien dapat sembuh dari suatu jenis penyait langa adalah 0.4. Jia ada 15 orang yang terinfesi, berapa peluang bahwa: (1) sediitnya 10 orang sembuh, (2) 3~8 orang sembuh, dan (3) tepat 5 orang sembuh. Jawab: P(X 10) =1-P(X<10) = 1-9 x=0b(x;15,0.4) = = P(3 X 8) = 8 x=0b(x;15,0.4)- 2 x=0b(x;15,0.4) = = P(X=5) = b(5;15,0.4) = 5 x=0b(x;15,0.4)- 4 x=0b(x;15,0.4) = =

13 Mean dan variansi sebaran binomial Torema 3.2: Nilai mean dan variansi dari sebaran binomial b(x;n,p) adalah μ = np dan σ 2 = npq Buti: andaian I j menyataan eluaran bernilai 0 atau 1 dng peluang masing-masing q dan p. I j disebut sebagai peubah Bernoulli atau lbh tepat lagi peubah indiator arena I j =0 adalah indiator egagalan, sedangan I j =1 menyataan eberhasilan. Dengan demiian, jumlah eberhasilan adalah X=I 1 + I 2 + +I n. Mean dr sebarang nilai I j adalah E(I j ) =0 q + 1 p = p. Berdasaran Corollary dari Teorema 2.4, mean menjadi μ = E(X) = E(I 1 ) + E(I 2 ) + + E(I n ) = p + p + + p = np Sedangan variansi dari sebarang I j adalah σ 2 Ij = E[(I j -p) 2 ] = E(I 2 j) p 2 =[ 0 2 q+1 2 p ] p 2 = p(1-p) = pq Berdasar Teorema 2.11, Corollary 1, maa: σ 2 Ij = σ 2 I1 + σ 2 I2 + + σ 2 In = pq + pq + + pq = npq

14 Contoh 3.6 Soal: Dengan teorema Chebyshev, tentuan dan tafsiran interval μ±2σ untu contoh 3.5 Jawab: Karena contoh 3.5 adalah esperimen binomial dengan n=15 dan p=0.4, dari Teorema 3.2 ita dapatan μ = (15)(0.4) = 6 dan σ 2 =(15)(0.4)(0.6) = 3.6 atau σ= 3.6 = Dengan demiian, interval yang dimasud adalah 6±2(1.897) atau dari sampai dengan Teorema Chebyshev menyataan bahwa laju penyembuhan 15 pasien aibat penyait tsb punya peluang sediitnya ¾ untu jatuh diantara dan

15 Sebaran multinomial Jia hasil esperimen buan hanya dua macam tetapi lebih, esperimen binomial berubah menjadi esperimen multinomial. Contoh: Klasifiasi produ manufatur menjadi 3 golongan: berat, ringan, atau masih dapat diterima (acceptable) Pencatatan ecelaaan lalulintas diperempatan jalan menurut harihari dalam seminggu Penarian artu secara aca, emudian digolongan sebagai salah satu dari{,,, }. Secara umum, jia percobaan menghasilan macam eluaran E 1, E 2,, E dengan peluang p 1, p 2,, p, maa sebaran multinomial menyataan peluang peristiwa E 1 terjadi x 1 ali, E 2 muncul x 2 ali,, dan E muncul x ali dalam percobaan saling bebas dimana x 1 + x x = n. Kita tulisan sebaran peluang multinomial sebagai f(x 1, x 2,, x ; p 1, p 2,, p, n) Jelas bahwa p 1 + p p = 1.

16 Perhitungan sebaran multinomial Kita ambil analogi dengan asus binomial. Setiap percobaan saling bebas, arena itu untu urutan tertentu, ada x 1 eluaran dari E 1, x 2 eluaran dari E 2,, x eluaran dari E, dengan peluang p 1 x1, p 2 x2,.., p x. Total jumlah urutan dng eluaran yang sama untu n percobaan aan sama dengan jumlah partisi n benda edalam elompo, x 1 elompo pertama, x 2 elompo edua,, x elompo e-, yang dapat dilauan sebanya n n! x1, x2,..., x = x1! x2!... x! cara. Setiap partisi muncul secara mutually exclusive dengan peluang yang sama, sehingga diperoleh sebaran multinomial.

17 Rumus sebaran multinomial SEBARAN MULTINOMIAL. Jia suatu percobaan dapat memberian -jenis hasil E 1, E 2,, E dengan peluang p 1, p 2,, p, maa sebaran peluang dari peubah aca X 1, X 2,, X, yang menyataan emunculan dari E 1, E 2,, E didalam n-ali percobaan yang saling-bebas adalah f x1 x2 x ( x, x,..., x ; p, p,..., p, n) = p p... p x1, x2,..., x n 1 2 dimana i= 1 x i = n dan i= 1 p i = 1 Istilah sebaran multinomial muncul arena suu-suu espansi multinomial (p 1 + p p ) 2 beraitan dengan semua nilai yang mungin dari f(x 1, x 2,, x ; p 1, p 2,, p, n)

18 Contoh 3.7 Soal: Jia sepasang dadu dilantunan 6 ali, berapa peluang mendapatan jumlah total 7 atau 11 sebanya 2-ali, eduanya tepat sama sebanya 1-ali, dan ombinasi lain sebanya 3-ali? Jawab: Kejadian yang muncul ita sebut Mata Dadu E 1 : jumlah total mata edua 7 atau 11 E 2 : muncul pasangan dadu dng mata sama E 3 : buan pasangan bermata sama maupun jumlah total-nya 7 atau 11 Masing-masing dengan peluang p 1 = (6+2)/36= 2/9, p 2 = 6/36=1/6, dan p 3 = 22/36=11/18. Nilai peluang tetap untu 6 ali pelantunan. Dengan menggunaan sebaran multinomial x 1 = 2, x 2 =1, dan x 3 = 3, nilai peluangnya adalah f 2,1,3; 2 1, ,,6 = 18 2,1,3 = 6! 2!1!3! =

19 Bab 2: 58, 61, 64 Bab3: 7 Latihan

20 3.3 Sebaran Hipergeometri

21 Pendahuluan Contoh sebelumnya menunjuan bahwa sebaran binomial tida berlau untu, misalnya, pengambilan 3 artu merah dalam 5 ali pengambilan aca tanpa mengembalian dan mengoco lagi. Tinjau pengambilan 5 artu secara aca lalu hitung peluang munculnya 3 artu merah dari 26 yang ada dan 2 artu hitam dari 26 sisanya. Ada C(26,3) cara untu mengambil artu merah dan C(26,2) cara untu artu hitam. Jadi, total aan ada C(26,3) C(26,2) untu esperimen ini. Tetapi, ada C(52,5) cara untu mengambil 5 dari 52 artu tanpa penggantian sehingga peluang terambil 3 artu merah dan 2 hitam adalah. C(26,3) C(26,2)/C(52,5) = Contoh diatas menggambaran esperimen hipergeometri. Kita ingin menghitung peluang x buah dari pengambilan benda yang dinamaan suses dan n - x gagal dari N- benda yang dilabeli sebagai gagal jia n buah cuplian aca diambil dari N benda. Ada dua sifat dasar esperiman hipergeometri 1. Pencuplian dilauan scr aca sebanya n diambil dari N buah benda 2. dari N item digolongan suses, sdngan N- sisanya disebut gagal,

22 Peubah aca hipergeometri Definisi 3.2. Banyanya X suses dalam suatu esperimen hipergeometri disebut sebagai peubah aca hipergeometri. Sebaran peluang dari peubah aca hipergeometri X disebut sebagai sebaran hipergeometri dan ditulisan sebagai h(x; N, n, ) arena nilainya bergantung pada: jumlah eberhasilan diambil dari umpulan yang berisi N benda ita memilih n buah dari umpulan N benda tsb

23 Ilustrasi Tinjau contoh 3.8 beriut. Suatu omite yang terdiri dari 5 orang dipilih secara aca dari 3 orang Kimiawan dan 5 Fisiawan. Tentuan sebaran peluang dari jumlah Kimiawan dalam omite tsb. Jawab: Andaian peubah aca X menyataan jumlah Kimiawan dalam omite, edua syarat esperimen hipergeometri menjadi terpenuhi. Dng demiian: P(X=0) = h(0; N=8, n=5, =3) = C(3,0) C(5,5)/C(8,5) = 1/56 P(X=1) = h(1;8,5,3) = C(3,1) C(5,4)/C(8,5) = 15/56 P(X=2) = h(2;8,5,3) = C(3,2) C(5,3)/C(8,5) = 30/56 P(X=3) = h(3;8,5,3) = C(3,3) C(5,2)/C(8,5) = 10/56 Dalam bentu tabel x h(x; 8, 5, 3) 1/56 15/56 30/56 10/56 Dan dalam bentu formula h(x;8,5,3) = C(3,x) C(5, 5-x)/C(8,5), x=0, 1, 2, 3

24 Sebaran hipergeometri SEBARAN HIPERGEOMETRIK. Sebaran peluang dari peubah aca hipergeometri X, yani jumlah suses dari cuplian aca sejumlah n yang terambil dari N benda, dimana buah diantaranya disebut suses dan N- disebut gagal, adalah h N x n x N n ( x; N, n, ) =, x = 0,1, 2,..., n Contoh: Sejumlah 40 buah omponen eletroni dapat diterima jia cacat-nya tida lebih dari tiga buah. Pencuplian dilauan dengan cara memilih 5 omponen scr aca dan menolanya jia ada yang cacat. Jia ada 3 dari 40 omponen ini cacat, tentuan peluang tepat satu satu dari cuplian ini cacat. Jawab: Ini adalah sebaran hipergeometri dengan n=5, N=40, =3 dan x=1. Dengan demiian, peluang tepat satu buah cacat adalah h(1; 40, 5, 3) = C(3,1) C(37,4)/ C(40,5) =

25 Mean dan Variansi Teorema 3.3 Mean dan variansi dari sebaran hipergeometri h(x; N, n, ) adalah, masing-masing, μ = n/n, dan σ 2 = [(N-n)/(N-1)] n (/N) [1- (/N)] Buti: lihat textboo Pendeatan. Jia n jauh lebih ecil daripada N, perubahan peluang antar pengamatan menjadi ecil. Aibatnya, esperimen lebih mirip e percobaan binomial dan sebarannya aan menjadi sebaran binomial dengan p=/n. Mean dan variansi dapat dideati dengan rumus beriut: μ = np = n/n, dan σ 2 = npq = n (/N) [1- (/N)]

26 Contoh-2 Contoh 3.10: Dengan teorema Chebysev, hitung dan tafsiran interval μ±2σ dalam contoh 3.9 Jawab: Karena contoh 3.9 merupaan percobaan hipergeometri dengan N=40, n=5, dan =3, maa dengan Teorema 3.3 aan diperoleh μ = (5)(3)/40 = 3/8 = dan σ 2 = [(40-5)/(39)](5)(3/40)[1-(3/40)] = Aar uadrat variansi memberian simpangan bau sebesar σ= Dengan demiian, interval yang dicari adalah 0.375±(2)(0.558) atau sampai Berdasaran teorema Chebysev, jumlah omponen cacat etia 5 omponen dipilih secara aca dari 40 buah, 3 diantaranya cacat, punya peluang sediitnya ¾ untu berada dalam selang sampai 1.491

27 Generalisasi Tinjau N umpulan benda yang dipartisi edalam sel A 1, A 2,, A dengan a 1 benda berada di sel pertama, a 2 dalam sel edua,, a dalam sel e-. Kita aan menghitung peluang cuplian aca sejumlah n menghasilan x 1 benda dari A 1, x 2 benda dari A 2,, x benda dari A. Tulisan peluang ini sebagai f(x 1, x 2,, x ; a 1, a 2,, a, N,n) Besar ruang cuplian adalah C(N, n). Ada C(a 1,x 1 ) cara untu memilih x 1 benda dari A 1, dan masing-masing ada C(a 2,x 2 ) cara untu memilih x 2 benda dari A 2. Jadi, ita dapat memilih x 1 benda dari A 1 dan x 2 benda dari A 2 sebanya C(a 1,x 1 ) C(a 2,x 2 ) cara. Demiian seterusnya, ita dapat memilih n-buah benda yang terdiri dari x 1 buah anggota A 1, x 2 benda dari A 2,, x benda dari A sebanya C(a 1,x 1 ) C(a 2,x 2 ) C(a,x ). Kita rumusan hasil ini sbb.

28 Perluasan sebaran hipergeometri EKSTENSI DARI SEBARAN HIPEGEOMETRIK. Jia seumpulan N- buah benda dapat dipartisi menjadi buah sel A 1, A 2,, A yang masing-masing memilii a 1, a 2,, a anggota, maa sebaran peluang dari peubah aca X 1, X 2,, X yang menyataan jumlah anggota terpilih dari A 1, A 2,, A dalam cuplian aca beruuran n adalah dengan ( ) = n N x a x a x a n N a a a x x x f ,,,...,, ;,...,, N a dan n x i i i i = = = = 1 1

29 Contoh 3.12 Soal: Suatu elompo yang terdiri dari 10 orang dipaai untu survei biologi. Dalam elompo terdapat 3 orang berdarah O, 4 berdarah A, dan 3 berdarah B. Tentuan peluang dari suatu cuplian aca sebesar 5 orang mengandung 1 orang berdarah O, 2 orang berdarah A, dan 2 orang berdarah B. Jawab: Dengan formula perluasan dimana x 1 =1, x 2 =2, x 3 =2, a 1 =3, a 2 =4, a 3 =3, N=10, dan n=5, maa nilai peluangnya adalah P= f(1, 2, 2;3, 4, 3, 10, 5) = C(3,1)C(4,2)C(3,2)/C(10,5) = 3/14

30 3.4 Sebaran Poisson

31 Percobaan Poisson Percobaan yng menghasilan peubah aca X, yng menyataan jumlah eberhasilan dalam selang watu atau daerah tertentu, disebut percobaan Poisson. Sifat-sifat: Jumlah eberhasilan dalam suatu selang watu aatu daerah tertentu, bebas terhadap peristiwa dlm selang atau daerah lain. Peluang satu eberhasilan selama selang watu pende atau daerah ecil sebanding dengan lamanya (durasi) selang atau besarnya daerah tsb, dan td bergantung pada jumlah eberhasilan yang terjadi diluar selang atau daerah ini. Peluang lebih dari satu eberhasilan dalam selang atau daerah tsb sangat ecil (dapat diabaian). Contoh percobaan Poisson: edatangan panggilan telepon per jam, jumlah libur seolah arena terjadi banjir selama musim hujan, jumlah pertandingan sepabola yang dibatalan aibat hujan dalam musim pertandingan tertentu.

32 Peubah aca dan Sebaran Poisson Def. 3.3: Jumlah X buah eberhasilan dalam percobaan Poisson disebut sebagai peubah aca Poisson. SEBARAN POISSON. Sebaran peluang dari peubah aca Poisson X, yang menyataan jumlah eberhasilan dalam suatu selang watu atau daerah tertentu, adalah μ x e μ p( x; μ ) =, x = 0,1, 2,... x! dimana μ adalah rata-rata eberhasilan selama selang watu atau daerah terntentu dan e = (bilangan alami). Tabel III dalam buu tes menampilan jumlah sebaran Poisson P(r; μ) = r x=0 p(x; μ).

33 Contoh 3.13 Soal:Dalam percobaan teramati rata-rata ada 4 buah partiel radioatif yang melewati alat pencacah selama selang watu 1 milideti. Berapa peluang ada 6 partiel yang masu alat tsb dalam selama milideti tertentu? Jawab: Dengan menggunaan tabel sebaran Poisson (Tabel III) untu x=6 dan μ=4, ita peroleh p(6;4)= e /6! = 6 x=0 p(x; 4) - 5 x=0 p(x; 4) = =

34 Mean dan variansi Teorema 3.4 Mean dan variansi dari sebaran Poisson p(x;μ) memilii nilai sama, yaitu μ. Contoh: dalam soal 3.13 dimana μ=4, maa variansinya σ 2 =4 atau σ=2. Berdasaran teorema Chebyshev, maa ita bisa mengataan bahwa peubah aca Poisson ini memilii peluang sediitnya ¾ (yani 1-1/2 2 ) untu jatuh dalam selang μ±2σ = 4 ± 2(2), atau dalam selang 0 sampai dengan 8.

35 Kaitan dengan sebaran binomial Teorema 3.5 Andaian X suatu peubah aca binomial dengan sebaran peluang b(x;n,p). Ketia n, p 0, dan μ=np onstan, maa b(x; n, p) p(x; n) Contoh Dalam suatu proses manufatur produ gelas, munculnya cacat atau gelembung menyulitan penjualan produ tsb. Dietahui bahwa untu setiap 1000 produ ini, aan ada 1 produ yang memilii 1 atau lebih cacat gelembung. Berapa peluang dari cuplian aca sebanya 8000 menghasilan urang dari 7 produ yang memilii cacat gelembung ini? Jawab: Sesungguhnya ini adalah esperimen binomial dengan n=8000 dan p=1/1000= Karena p mendeati nol dan n sangat tinggi, ita bisa memaai pendeatan Poisson dng μ=(8000)(0.001) = 8. Jadi, jia X menyataan banyanya gelembung, maa P(X<7) = 6 x=0 b(x; 8000, 0.001) 6 x=0 p(x; 8) =

36 3.5 Sebaran Binomial Negatif dan Sebaran Geometri

37 Pecobaan binomial negatif Percobaan binomial negatif bersifat mirip dengan percobaan binomial (biasa), ecuali percobaan dilauan berulang sampai jumlah tertentu suses tercapai. Jadi, yang dihitung adalah peluang terjadinya suses e- pada percobaan e-x. Contoh: suatu obat efetif terhadap 60% asus. Aan dihitung peluang pasien e-5 yang sembuh (S) adalah pasien e-7 yang diberi obat. Kita sebut F jia pengobatan tida berhasil. Jadi, ita aan menghitung peluang ejadian, misalnya, SFSSSFS, yng muncul dng peluang (0.6)(0.4)(0.6) (0.6) (0.6)(0.4)(0.6) = (0.6) 5 (0.4) 2. Kita juga harus mencacah semua ombinasi S dan F yng demiian, dng batasan urutan terahir adalah S; yani C(7-1,5-1) = C(6,4) = 15. Dengan demiian: P(X=7)=C(6,4) (0.6) 5 (0.4) 2 =

38 Peubah aca dan sebaran binomial negatif Definisi 3.4 Jumlah percobaan X yang menghasilan suses dalam esperimen binomial negatif disebut sebagai peubah aca binomial negatif. SEBARAN BINOMIAL NEGATIF. Jia percobaan berulang yang saling bebas dapat menghasilan suses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maa sebaran peluang dari peubah aca X, yani banyanya percobaan yang menghasilan suses e-, diberian oleh b * x 1 1 ( x;, n) = p x, x =, + 1, + 2,...

39 Contoh 3.16 Tentuan peluang seseorang yang melantunan 3 eping oin mendapatan semua H atau semua T untu edua alinya dalam 5 ali pelantunan. Jawab: ini adalah esperimen binomial negatif dengan x=5, =2, dan p=1/4, sehingga: b*(5;2,1/4)= C(4,1)(1/4) 2 (3/4) 2 = (4!/(1!3!)) (3 3 /4 5 ) = 27/256

40 Sebaran geometri Kasus dimana sebaran binomial negatif memilii =1 menghasilan sebaran peluang dari banyanya percobaan yang menghasilan satu suses. Contoh: pelantunan uang hingga muncul H. Sebaran yang demiian disebut sebagai sebaran geometri g(x;p). SEBARAN GEOMETRIK. Jia percobaan berulang yang saling bebas menghasilan suses dengan peluang p dan gagal dengan peluang q=1-p, maa sebaran peluang dari peubah aca X, yani banyanya percobaan hingga suses pertama muncul, diberian oleh g(x;p) = pq x-1, x = 1, 2, 3,

41 Contoh 3.17 Soal: Dalam suatu proses manufatur, dietahui bahwa rata-rata 1 dari 100 item (bagian produ) cacat. Berapaah peluang bahwa 5 item teramati sebelum suatu cacat ditemuan? Jawab: dengan sebaran geometri dimana x=5 dan p=0.01 diperoleh g(5; 0.01) = (0.01)(0.99) 4 =

42 Selesai