METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Transkripsi

1 METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR Sripsi Diajuan untu Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematia Disusun Oleh : Maria Martini Leto Kurniawan NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 008

2 METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR Sripsi Diajuan untu Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematia Disusun Oleh : Maria Martini Leto Kurniawan NIM : PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 008 i

3 EXTERIOR PENALTY FUNCTIONS METHOD THESIS Presented as Partial Fulillment o the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics By : Maria Martini Leto Kurniawan Student Number : MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 008 ii

4 iii

5 iv

6 TUHAN, PERISAIKU (Mzm 8 : -9) Orang-orang yang menabur dengan mencucuran air mata, aan menuai dengan bersora sorai, (Mzm 6:5) Segala sesuatu indah pada watunya. (Pengotbah 3:) Bila selama ini au masih bertahan... Semua ini au persembahan hanya arena cintau untu : Tuhan Yesus dan Bunda Maria, Teman dan Bunda tersayang yang dengan setia mendengaran semua epedihan hatiu Bapa dan Mama tercinta... Ini janji Rita...walaupun perjalanan ini masih panjang, tapi au senang bisa membuat bapa dan mama tersenyum embali No Ovi tercinta...kamu adalah pemberian terindah yang Tuhan berian buat oncu, dan oncu tida aan pernah menyerah berjuang dalam hidup ini arena KAMU Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce & No Faldi...Au sangat-sangat bersyuur dan bangga menjadi bagian dari alian semua I love u all... Isto yang sudah hadir dan mewarnai hidupu... Au mau amu tahu bahwa semenja ada dirimu semua terasa indah...thans or your love v

7 vi

8 KATA PENGANTAR Puji syuur penulis panjatan epada Tuhan Yesus atas segala asih dan perlindungan-nya sehingga penulisan sripsi ini dapat terselesaian. Sripsi ini berjudul : METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR, yang diajuan sebagai salah satu syarat untu memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematia, Jurusan Matematia, Faultas Sains dan Tenologi, Universitas Sanata Dharma Yogyaarta. Penulisan sripsi ini tida lepas dari bantuan dan duungan dari berbagai piha. Oleh arena itu, pada esempatan ini penulis ingin menyampaian ucapan terima asih epada:. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh perhatian dan esabaran telah membimbing serta memberi saran dan riti epada penulis selama proses penulisan sripsi ini.. Bapa Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing aademi. 3. Bapa Herry Pribawanto.S, S.Si, M.Si yang telah memberian pinjaman buu-buu matematia yang sangat membantu penulis dalam menyelesaian sripsi ini. 4. Bapa St. Eo Hari Parmadi, S.Si.,M.Kom sebagai dosen panguji. 5. Ir. Greg. Heliaro, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selau Dean FST-USD. 6. Segenap dosen dan aryawan seretariat FST yang telah mendidi dan meyediaan asilitas yang sangat bermanaat bagi penulis. i

9 7. Bapa, Mama, No Ovi, Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce, No Faldi dan seluruh eluarga besaru tercinta atas asih sayang, doa, semangat, duungan serta esabarannya selama ini. 8. No Ie, atas segala bantuan, doa dan dorongan buat saya. Terima asih untu semuanya. 9. Isto untu segala asih dan esabaran yang begitu tulus. Saya sangat bersyuur mengenal amu dan menjadi bagian dari hidupmu arena au telah mengajaran saya begitu banya hal 0. Sahabat-sahabatu seperjuangan angatan 00: Agnes, Alam, Fanya, Daniel, Teddi, Deta, Vrysca, Upi, Yuli, Dani, Tabita, Andre, Indah, Ariel, Eria, Wiwit, Maria, Very, Ray, dan April.. Mas Nadi yang selalu setia membantu dan menyemangati saya. Ma asih mas.. Meggy atas segala bantuan dan dorongan semangat yang begitu tulus. Ma asih Gy. 3. Semua piha yang telah membantu penulis bai secara langsung maupun tida langsung hingga selesainya penulisan sripsi ini. Penulis menyadari bahwa sripsi ini masih banya eurangannya. Oleh arena itu, penulis mengucapan terima asih bila ada riti dan saran yang dapat membangun penulis. Penulis berharap semoga sripsi ini dapat bermanaat dan menjadi reerensi bagi pembaca. Yogyaarta, 6 Mei 008 Penulis

10 PERNYATAAN KEASLIAN KARYA Saya menyataan dengan sesungguhnya bahwa sripsi yang saya tulis ini tida memuat arya atau bagian arya orang lain, ecuali yang telah disebutan dalam utipan atau datar pustaa, sebagaimana layanya arya ilmiah. Yogyaarta, 6 Mei 008 Penulis, Maria Martini Leto Kurniawan i

11 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING... HALAMAN PENGESAHAN... HALAMAN PERSEMBAHAN... HALAMAN HAK CIPTA... ABSTRAK... ABSTRACT... KATA PENGANTAR... PERNYATAAN KEASLIAN KARYA... DAFTAR ISI... DAFTAR GAMBAR... DAFTAR TABEL... i iii iv v vi vii viii i i ii iv v BAB I PENDAHULUAN... A. Latar Belaang Masalah... B. Perumusan Masalah... 3 C. Batasan Masalah... 4 D. Tujuan Penulisan... 4 E. Manaat Penulisan... 4 F. Metode Penulisan... 5 G. Sistematia Penulisan... 5 ii

12 BAB II TOPOLOGI DI n R DAN TEORI OPTIMISASI... 7 A. Ruang Euclid dan Matris... 7 B. Topologi di n R... 8 C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdierensial... D. Himpunan Konves dan Fungsi Konves. 5 E. Syarat Optimalitas Masalah Tida Berendala. F. Teori Optimisasi 5 G. Metode Newton.. 7 BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR A. Konsep Fungsi Penalti B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti C. Metode Fungsi Penalti Esterior Bentu Fungsi Penalti Esterior 4. Algoritma Metode Fungsi Penalti Esterior. 43 D. Konvergensi Metode ungsi Penalti Esterior 56 BAB IV PENUTUP DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN iii

13 DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar.. Minimum sama dengan masimum... Gambar.4. Ilustrasi dari himpunan onves dan tida onves... 5 Gambar.4. Lingaran... 6 Gambar.4.3 Parabola... 6 Gambar.7. Diagram Alir Algoritma Metode Newton... 9 Gambar 3.. Grai Penalti Gambar 3.. Grai Fungsi Tambahan Gambar 3.. Geometri Fungsi Penalti Gambar 3.3. Diagram Alir Algoritma Metode Fungsi Penalti Esterior iv

14 DAFTAR TABEL Halaman Tabel 3.3. Output penyelesaian contoh Tabel 3.3. Output penyelesaian contoh Tabel Output penyelesaian contoh v

15 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Masalah Secara umum optimisasi merupaan tindaan untu mendapatan hasil yang terbai terhadap situasi yang diberian (sebagai suatu masalah). Sebagai contoh perusahaan sepatu yang ingin memberian harga yang terbai supaya perusahaan itu mendapatan euntungan yang terbanya. Dalam berbagai macam situasi pratis tindaan tersebut dapat dibawa e dalam perumusan matematia sebagai suatu ungsi dari variabel-variabel eputusan tertentu, sehingga optimisasi dapat dideinisian sebagai proses mencari atau menemuan situasi yang memberian nilai masimum atau minimum dari suatu ungsi. Perhatian gambar.. di bawah ini : ( ) ( ) pembuat minimum dari ( ) 0 pembuat masimum dari ( ) ( ) Gambar.. Minimum ( ) sama dengan masimum dari ( )

16 Dalam gambar.. ( dalam hal ini sebagai contoh ungsi ( ) dengan satu variabel ) dapat dilihat bahwa jia suatu titi menunjuan nilai pembuat minimum dari ungsi ( ), titi yang sama itu juga menunjuan nilai pembuat masimum dari negati ungsi tersebut yani ( ). Berarti optimisasi dapat ditentuan dengan cara meminimalan suatu ungsi arena masimum dari ungsi tersebut dapat ditemuan dengan mencari minimum dari negati dari ungsi yang sama. Secara matematis optimisasi merupaan proses menemuan nilai masimum atau minimum dari suatu ungsi dengan cara meminimalan ungsi tersebut. Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yani, optimisasi berendala dan optimisasi tida berendala. Optimisasi berendala adalah optimisasi suatu ungsi yang disebut sebagai ungsi obyeti dengan endala-endala berupa pertidasamaan atau persamaan, sedangan optimisasi tida berendala adalah optimisasi suatu ungsi obyeti tanpa endala. Pada optimisasi berendala jia ungsi obyeti atau ungsi endala adalah nonlinear maa masalah tersebut dinamaan masalah program nonlinear atau biasa disebut sebagai masalah optimisasi berendala nonlinear. Ada beberapa teni yang dapat digunaan untu menyelesaian suatu masalah program optimisasi berendala nonlinear. Semua metode ini dapat dilasiiasian e dalam dua ategori yani, metode langsung (direct method) dan metode tida langsung (indirect method). Metode langsung meliputi metode Pencarian Heuristi, metode Pendeatan Kendala, dan metode Arah Laya.

17 3 Metode Arah Laya sendiri terbagi lagi menjadi dua metode yaitu metode Zoutendij dan metode Proyesi Gradien. Sedangan metode tida langsung meliputi Transormasi Variabel dan metode Fungsi Penalti, dimana metode Fungsi Penalti dibagi lagi menjadi dua metode yani metode Fungsi Penalti Esterior dan metode Fungsi Penalti Interior. Metode Fungsi Penalti merupaan salah satu metode numeri yang digunaan untu mengubah masalah optimisasi dengan endala menjadi masalah optimisasi tanpa endala dengan menambahan ungsi penalti dan parameter penalti pada ungsi obyeti. Dalam sripsi ini hanya membahas metode Fungsi Penalti Esterior. Metode Fungsi Penalti Esterior digunaan untu menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala, dimana pendeatan yang digunaan adalah dengan mengubah masalah optimisasi dengan endala tersebut menjadi masalah optimisasi tanpa endala yang euivalen. Pada metode Fungsi Penalti Esterior, pencarian solusi optimal dimulai dari daerah tida laya dan menghasilan titi titi tida laya yang limitnya merupaan penyelesaian optimal dari masalah asli. B. Perumusan Masalah Berdasaran uraian yang diemuaan dalam latar belaang, poo permasalahan dalam sripsi ini dapat dirumusan sebagai beriut :. Apa itu metode Fungsi Penalti hususnya metode Fungsi Penalti Esterior?. Bagaimana bentu umum dan algoritma metode Fungsi Penalti Esterior?

18 4 3. Bagaimana menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala dengan metode Fungsi Penalti Esterior dan implementasinya dengan program Matlab. C. Batasan Masalah. Dalam sripsi ini metode yang digunaan dalam menyelesaian masalah tida berendala adalah metode Newton, aan tetapi dalam sripsi ini hanya membahas egunaan dan algoritma metode Newton.. Program yang digunaan untu perhitungan numeris adalah program Matlab. D. Tujuan Penulisan Penyusunan sripsi ini bertujuan untu membahas metode Fungsi Penalti Esterior dan bagaimana algoritma metode Fungsi Penalti Esterior dalam menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala serta onvergensi metode Fungsi Penalti Esterior. E. Manaat Penulisan Manaat yang diharapan dalam sripsi ini adalah dapat mengetahui dan memahami bagaimana bentu metode Fungsi Penalti hususnya metode Fungsi Penalti Esterior dan mengetahui bagaimana metode Fungsi Penalti Esterior digunaan untu menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala.

19 5 F. Metode Penulisan Dalam penulisan sripsi ini penulis menggunaan metode studi pustaa yani, mempelajari reerensi-reerensi yang beraitan dengan masalah optimisasi nonlinear, hususnya mengenai metode Fungsi Penalti Esterior dan reerensireerensi mengenai dasar teori penduung. G. Sistematia Penulisan Sistematia penulisan sripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan sebagai beriut : BAB I : PENDAHULUAN Dalam bab I aan dibahas tentang latar belaang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manaat penulisan, metode penulisan, dan sistematia penulisan. n BAB II : TOPOLOGI DI R DAN TEORI OPTIMISASI Dalam bab ini aan dibahas onsep ruang Euclid dan matris, topologi di n R, ungsi ontinu dan ungsi terdierensial, himpunan onves dan ungsi onves, syarat optimalitas untu masalah berendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya aan digunaan untu memahami metode Fungsi Penalti Esterior.

20 6 BAB III : METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR Dalam bab III aan dibahas tentang onsep ungsi penalti, interpretasi geometris ungsi penalti, pengertian metode Fungsi Penalti Esterior, bentu umum Fungsi Penalti Esterior dan algoritma metode Fungsi Penalti Esterior disertai beberapa contoh masalah optimisasi nonlinear berendala yang diselesaian dengan metode Fungsi Penalti Esterior. Terahir dibicaraan juga implementasinya dengan program matlab serta onvergensi metode Fungsi Penalti Esterior. BAB IV : PENUTUP Bab IV berisi esimpulan dan saran.

21 BAB II TOPOLOGI DI n R DAN TEORI OPTIMISASI n R Dalam bab ini aan dibahas onsep ruang Euclid dan matris, topologi di, ungsi ontinu dan ungsi terdierensial, himpunan onves dan ungsi onves, syarat optimalitas untu masalah berendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya aan digunaan untu memahami metode Fungsi Penalti Esterior. A. Ruang Euclid dan Matris Beriut aan dideinisian mengenai hasilali dalam Euclidean, ruang Euclid, transpose matris, dan matris semideinit positi. Deinisi.. Jia u = ( u, u, K, u n ) dan v = ( v, v, Kv n ) adalah vetor-vetor sebarang pada n R, maa hasilali dalam Euclid (Euclidean inner product) u. v dideinisian sebagai Deinisi.. u.v = u v u v K u v n n. Ruang n R dengan operasi-operasi penjumlahan, peralian salar dan hasilali dalam Euclidean disebut ruang Euclid berdimensi n (n-dimensional Euclidean space) atau Ruang Euclid yang diberi notasi n Ε.

22 8 Deinisi..3 t Jia A adalah matris m n, maa transpose dari A dinyataan dengan A, dideinisian sebagai matris n m yang didapatan dengan mempertuaran baris-baris dan olom-olom dari A ; sehingga olom pertama dari t A adalah t baris pertama dari A, olom edua dari A adalah baris edua dari A, dan seterusnya. Deinisi..4 Jia A adalah matris simetris n n, maa A diataan semideinit positi ( positive semideinite ) jia t A 0 untu setiap Ε n dan ditulis A 0. B. Topologi di n R Deinisi.. Diberian titi n n R dan ε > 0, N ε ( ) = { y R : y < ε} disebut suatu perseitaran ε dari. Deinisi.. Misalan n K R dan K. Titi disebut titi dalam atau titi interior dari K jia terdapat suatu perseitaran ε dari yang termuat di dalam K, yaitu jia ada ε > 0 sedemiian sehingga y < ε beraibat y K. Himpunan

23 9 semua titi interior dari K disebut interior K dan dinotasian dengan int K. Selanjutnya, K disebut terbua jia K = int K. Deinisi..3 Misalan n K R, disebut titi limit dari K jia untu setiap ε > 0 K N ε ( ) φ. Himpunan semua anggota K beserta titi limitnya disebut closure dari K dan dinotasian dengan Cl K. Selanjutnya, K disebut tertutup jia K = Cl K. Deinisi..4 Suatu barisan vetor,, 3,K diataan onvergen e titi limit jia 0 untu, yaitu jia untu sembarang ε > 0 terdapat bilangan bulat positi N sedemiian sehingga < ε untu semua N. Barisan biasanya dinotasian dengan { } dan titi limit { } disajian dengan untu atau dengan lim =. Catat bahwa barisan onvergen mempunyai titi limit yang tunggal.

24 0 Deinisi..5 Dengan menghapus elemen-elemen tertentu dari barisan{ }, diperoleh subbarisan, yang biasanya dinotasian dengan { } κ, dengan κ adalah subset dari semua bilangan bulat positi. Semesta pembicaraan searang adalah bilangan real Barisan bilangan real adalah suatu ungsi dari Ν e dalam R. Jadi, ungsi : Ν R atau ( n) dengan n Ν adalah barisan bilangan real. Biasanya ( n)dinyataan dengan s. Barisan dengan s sebagai suu e-n aan ditulis s n atau { s n }. n n Deinisi..6 Misalan adalah ungsi yang terdeinisi di dalam himpunan bilangan real ( ) L R ; diataan mempunyai limit L di, dan ditulis lim, jia 0 0 = diberian sebuah bilangan ε > 0, maa ada sebuah δ > 0 sedemiian sehingga ( ) L < ε bila X dan 0 < δ. < 0 Deinisi..7 Barisan { s n } diataan onvergen jia terdapat s R dengan siat, untu sebarang ε > 0 yang diberian, terdapat N Ν sehingga untu semua n Ν dengan n N berlau s s n < ε. Bilangan s dinamaan limit { s n } untu

25 n dan ditulis lim atau disingat n s n lim s n = s. Suatu barisan yang tida mempunyai limit disebut divergen. Deinisi..8 Barisan { } n s diataan nai jia s n s n dan turun jia s n s n untu semua n Ν. Barisan nai dan barisan turun dinamaan barisan monoton. Contoh..8. Barisan,,,,3,3,K adalah barisan nai.. Barisan,,,,,, K adalah barisan turun. 3 3 Ke dua contoh di atas adalah barisan monoton. C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdierensial Deinisi.3. Misalan : K T, dimana n K R dan l T R. Fungsi diataan ontinu di K jia untu setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sedemiian sehingga untu y K dan y < δ berlau ( y) ( ) < ε. Selanjutnya ungsi diataan ontinu pada K jia ontinu di setiap titi anggota K.

26 Deinisi.3. Diberian ungsi : K R, K R. Fungsi diataan :. Nai pada K jia untu setiap, K, dengan <, maa ( ) ( ) <.. Turun pada K jia untu setiap, K, dengan >, maa ( ) ( ) >. 3. Monoton pada K jia nai pada K atau turun pada K. Deinisi.3.3 Misal : R n R. Turunan orde satu dari, dinotasian dengan D, dideinisian sebagai beriut: D =,, L, n Deinisi.3.4 n ( ) Misal : R R, gradien dari ungsi di ditulis dari D, yaitu :, adalah transpose t ( ) = ( D ) = ( ) ( ) ( ),, L, n t = M ( ) ( ) ( ) n

27 3 Deinisi.3.5 Misalan K himpunan tida osong di n E, K int dan. Matris Hessian dari ungsi pada E K :, yang biasa dinotasian dengan ( ) H adalah matris yang elemen-elemennya terdiri dari turunan-turunan parsial e dua dari ungsi yaitu : () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = n n n n n H M M M Deinisi.3.6 Misalan K himpunan tida osong di n E, dan terdierensial dua ali. Teorema Taylor orde dua adalah : untu setiap, haruslah memenuhi : E K : K ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) H = t t dimana ( ) H adalah matris Hessian dari ungsi pada dan ( ) λ λ = untu ( ) 0, λ. PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

28 4 Deinisi.3.7 Misalan K himpunan tida osong di Ε n, int K dan : K Ε. Maa diataan terdierensial di jia ada vetor ( ) yang disebut vetor gradien, dan ada ungsi α : E E sedemiian sehingga : t ( ) = () ()( ) α ( ; ) untu setiap K, dimana lim α ( ; ) = 0. Fungsi diataan terdierensial pada himpunan terbua L K jia terdierensial pada setiap titi L. Deinisi.3.8 Misalan K himpunan tida osong di cdiataan terdierensial dua ali di matris simetris E n, int K dan : K Ε. Maa jia terdapat suatu vetor ( ), dan n n H ( ) yang disebut sebagai matris Hessian, dan suatu ungsi α : E E sedemiian sehingga : t t ( ) = () ()( ) ( ) H( )( ) α ( ; ) untu setiap K, dimana lim α ( ; ) = 0. Fungsi diataan terdierensial dua ali pada himpunan terbua L K jia terdierensial dua ali pada setiap titi L.

29 5 Contoh.3.8 Misalan (, ) = Dietahui = ( 0,0) t. Maa 4 4 () = H = dan (). Sehingga : 4 4 (, ) = (,6) (, ). 4 6 D. Himpunan Konves dan Fungsi Konves Beriut aan diberian deinisi dari himpunan onves dan ungsi onves serta teorema-teorema yang beraitan dengan ungsi onves. Deinisi.4. Himpunan K di n R diataan onves jia setiap garis penghubung antara edua titi yang ada di himpunan berada juga pada himpunan tersebut. Dengan ata lain, jia dan ada di λ [ 0, ]. K, maa λ ( λ) harus ada di K untu setiap Gambar.4.. Ilustrasi dari himpunan onves dan tida onves

30 6 Contoh.4. Beberapa contoh himpunan onves. {, : } R. K = ( ) 4 Himpunan ini merepresentasian titi yang berada di dalam lingaran dengan pusat ( 0, 0) dan radius seperti pada gambar.4. y = 4 = Gambar.4. Lingaran 4. K = ( y) {, : y } R Himpunan ini mempresentasian semua titi yang berada di atas urva y = seperti pada gambar.4.3 Gambar.4.3 Parabola y =

31 7 Deinisi.4. Misalan : K R, dimana K adalah himpunan onves tida osong di R. Fungsi diataan onves pada K jia ( λ ( λ) ) λ ( ) ( λ) ( ), untu setiap, K dan 0 λ. Contoh.4. Butian bahwa ( ) = e, R adalah ungsi onves Penyelesaian : Ambil ( ) ( ) = e, R maa = e dan, dan λ ( λ ) ( λ ( λ) ) = e Sedangan, ( ) λ ( λ ) = e e. ( ) ( λ) ( ) = λe ( λ) e λ. Jadi untu setiap, R dan 0 λ diperoleh : ( λ ( λ) ) λ ( ) ( λ) ( ). Maa terbuti ( ) e = adalah ungsi onves.

32 8 Teorema.4.3 Jia suatu ungsi K R adalah onves maa, untu setiap dua titi dan : memenuhi t ( ) ( ) ( )( ) Buti : ( ) Misalan adalah onves, maa berdasaran deinisi (.4.) ( λ ( λ) ) λ ( ) ( λ) ( ) atau dapat ditulis sebagai : ( ( )) ( ) λ( ( ) ) λ (.4.) Pertidasamaan (.4.) dapat dibentu menjadi : ( ) λ( ( ) ( )) ( λ( )) λ ( ( ) ( )) ( λ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) λ λ Pada ruas anan penyebutnya dialian dengan sehingga menjadi : ( λ( ) ) ( ) λ( ) ( ) ( ) ( ) (.4.) Karena deinisi, maa pertidasamaan (.4.) menjadi :

33 9 ( Δ) ( ) ( ( ) ( ) ) (.4.3) Δ Dengan pengambilan limit untu Δ, sehingga pertidasamaan (.4.3) menjadi : t ( ) ( ) ( )( ) Teorema.4.4 Suatu ungsi : K R adalah onves jia matris Hessian H ( ) adalah semideinit positi. Buti : Dari Teorema Taylor bahwa : n ( h) ( ) ( ) n n = h = i hih j θh (.4.4)! dimana 0 < θ <. Misalan =, h =, dan menjadi : i= i i= j= i j h =, sehingga pertidasamaan (.4.4) t t ( ) = ( ) ( )( ) ( ) H{ θ( ) }( Dapat dilihat bahwa untu memenuhi Teorema.4.3 dan arena maa pertidasamaan (.4.5) harus memberian ( ) H( ) semideinit positi. ) (.4.5) onves,

34 0 Contoh.4.3 Misalan ungsi : K R dan ( ) ( ), = R. Butian bahwa 3 4, = 3 adalah ungsi onves untu setiap nilai. 4 Penyelesaian : Berdasaran Teorema.4.4 maa cuup menunjuan bahwa H( ) semideinit positi, H 6 0 () = = = 48 > Jadi terbuti ( ), = 3 adalah ungsi onves untu setiap nilai. 4 Deinisi.4.5 Misalan K adalah himpunan terbua tida osong di E n, dan misalan : K E terdierensial pada K. Fungsi diataan pseudoonves jia untu setiap, K dengan t ( ) ( ) 0 ( ) ( ), maa atau euivalen dengan pernyataan bahwa jia ( ) ( < ), maa ( ) t ( ) 0. < Deinisi.4.6 Pseudoonvesitas di adalah : ungsi diataan pseudoonves pada K jia ( )( ) 0 untu K t maa ( ) ( ) >.

35 E. Syarat Optimalitas Masalah Tida Berendala Beriut aan dideinisian syarat perlu dan syarat cuup tingat pertama sebagai syarat optimalitas untu suatu masalah tida berendala. Deinisi.5. Perhatian masalah meminimalan ( ) pada a. Jia ( ) ( ) global. untu semua b. Jia ada suatu perseitaran ε ( ) ( ) untu semua N ( ) loal. c. jia untu semua N ( ) suatu peminimum loal tegas. ε n E, dan misalan n E. n E, maa dinamaan suatu peminimum ( ) ε N seitar sedemiian hingga ε, maa dinamaan suatu peminimum,, untu ε > 0, maa dinamaan Suatu peminimum global juga merupaan peminimum loal. Teorema.5. Misalan bahwa : E n E terdierensial di. Jia ada sebuah vetor d E n sedemiian hingga ( ) d < 0 maa terdapat δ > 0 sedemiian sehingga ( d) ( ) < t λ untu setiap λ ( 0,δ ). Maa d merupaan suatu arah turun (descent direction) dari di.

36 Buti : Dari Deinisi.3.7 maa diperoleh : t ( λ d) = () λ ( ) λ d α ( ; λd) (.5.) dengan ( ; λd) 0 α untu λ 0. Selanjutnya persamaan (.5.) dibagi dengan λ dimana λ 0, diperoleh : ( λd) ( ) t = () d α( ; λd) λ Karena () d < 0 dan ( ; λd) 0 t sedemiian sehingga () d α ( ; λd) < 0 terbuti ( d) < ( ) λ. α untu λ 0 maa terdapat suatu δ > 0 t untu setiap λ ( 0,δ ). Sehingga Aibat.5.3 Misalan bahwa : E n E terdierensial di. Jia peminimum loal ungsi maa =. ( ) 0 Buti : Dibutian dengan ontradisi. Andaian bahwa ( ) 0. t Misalan d = ( ), didapatan ( ) d = ( ) < 0 terdapat suatu > 0 δ sedemiian sehingga ( d) < ( ). Dari Teorema.5., λ untu λ ( 0,δ ). Hal ini ontradisi dengan asumsi bahwa merupaan suatu peminimum loal. Karena itu pengandaian salah, dan haruslah ( ) = 0.

37 3 Syarat perlu di atas menggunaan vetor gradien yang omponen-omponennya merupaan turunan parsial pertama dari tingat pertama., sehingga disebut sebagai syarat perlu Teorema.5.4 Misalan bahwa : E n E terdierensial dua ali di. Jia adalah peminimum loal, maa ( ) = 0 dan H( ) disebut sebagai Teorema syarat perlu tingat edua. Buti : Dari Deinisi.3.8, maa diperoleh : semideinit positi. Teorema ini t ( λ d) () λ ( ) d t = λ d H( ) d λ d α ( ; λd) (.5.) dimana ( ; λd) 0 α untu λ 0. Karena peminimum loal, maa dari Aibat.5.3 bahwa ( ) = 0. Selanjutnya pertidasamaan (.5.) dibagi dengan λ > 0 menghasilan : ( λd) ( ) t = d H() d d α( ; λd ) (.5.3) λ Karena peminimum loal, ( d) ( ) λ untu λ cuup besar. Maa pada t pertidasamaan (.5.3) jelas bahwa d H( ) d d ( ; d) 0 α λ untu λ cuup besar. Dengan pengambilan limit untu 0 λ maa d ( ) t H d 0. Karena itu maa adalah semideinit positi.

38 4 Teorema.5.5 Misalan : E n E merupaan pseudoonves di. Titi merupaan suatu peminimum global jia dan hanya jia ( ) = 0. Teorema ini adalah Teorema syarat cuup tingat pertama. Buti : Misalan adalah suatu peminimum global. Aan ditunjuan bahwa ( ) = 0. Berdasaran Aibat.5.3 bahwa jia adalah peminimum loal, maa ( ) = 0 dan oleh arena suatu peminimum loal sama dengan peminimum global maa terbuti bahwa ( ) = 0. Misalan bahwa ( ) = 0 Aan ditunjuan bahwa merupaan suatu peminimum global. t Karena ( ) = 0 maa ( ) ( ) pseudoonvesitas dari untu setiap n E. Dengan di maa diperoleh ( ) ( ) untu setiap Sehingga terbuti merupaan suatu peminimum global. n E.

39 5 F. Teori Optimisasi Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yani, optimisasi berendala dan optimisasi tida berendala :. Bentu umum masalah optimisasi berendala Minimalan ( ) dengan endala g i ( ) 0, i =,, L, m (.6.) ( ) = 0, j =,, L l h j, dengan : ( ) = Vetor di n E = Fungsi obyeti i ( ) g = Kendala berupa pertidasamaan sebanya m h j ( ) = Kendala berupa persamaan sebanya l. Bentu umum masalah optimisasi tida berendala Minimalan ( ) Jia ungsi obyeti atau ungsi endala dalam persamaan (.6.) adalah nonlinear maa masalah tersebut dinamaan masalah program nonlinear atau biasa disebut sebagai masalah optimisasi nonlinear berendala.

40 6 Deinisi.6. Bentu umum masalah optimisasi nonlinear berendala adalah : Minimalan ( ) dengan endala g i ( ) 0, untu i =,, L, m ( ) = 0, untu j =,, L l h j, Dengan,, g, K, gm, h K h l adalah ungsi-ungsi ontinu pada n E, X adalah subhimpunan dari n E dan n E. Deinisi.6. Suatu vetor X disebut penyelesaian laya masalah optimisasi nonlinear berendala jia memenuhi semua endala. Deinisi.6.3 Himpunan dari semua penyelesaian laya disebut daerah laya. Deinisi.6.4 Titi laya adalah titi yang menjadi anggota daerah laya. Deinisi.6.5 Titi laya disebut penyelesaian optimal jia ( ) ( ) laya. untu setiap titi

41 7 G. Metode Newton Metode Newton merupaan salah satu metode yang paling terenal dan sering digunaan dalam menyelesaian suatu sistem persamaan nonlinear. Metode ini merupaan perembangan dari metode Newton-Raphson dan metode Titi- Tetap yang digunaan untu menyelesaian persamaan nonlinear. Syarat dalam menyelesaian sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton adalah sebagai beriut : a. Sistem persamaan nonlinear yang dimasud adalah sistem persamaan nonlinear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel. b. Semua ungsi yang terlibat dalam sistem persamaan nonlinear harus terdierensial. Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi ungsional yang membangitan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F( ) = J dengan dan J adalah ( ) matris Jacobi dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton memilii onvergensi yang bersiat q-uadrati dengan relasi esalahan e ( ) ( ) e Metode Newton sangat populer arena bentu iterasinya yang sederhana. Metode Newton dapat juga digunaan untu menyelesaian masalah optimisasi nonlinear tida berendala arena syarat dari optimisasi nonlinear adalah gradien dari ungsi obyetinya sama dengan nol yang berarti bahwa, ada n turunan dari setiap n variabel dari ungsi obyetinya sama dengan nol yang merupaan sistem persamaan nonlinear. Misalan ada masalah optimisasi nonlinear tida berendala yani :

42 8 Minimalan (,,, ) K Selesaian masalah optimisasi ini dengan menggunaan metode Newton. Penyelesaian : n Dengan menggunaan syarat perlu bahwa, jia ungsi maa syarat perlu tingat pertama adalah ( ) = 0. ungsi terdierensial Sehingga dengan mencari gradien dari (,,, ) n K menghasilan : = 0 = 0 M = 0 n (.7.) Kumpulan semua persamaan yang ada di (.7.) berbentu sistem persamaan nonlinear. Kemudian setelah membentu sistem persamaan nonlinear maa masalah optimisasi tersebut dapat diselesaian dengan metode Newton.

43 9 Diagram alir dari algoritma Metode Newton dalam menyelesaian sistem persamaan nonlinear. start Nilai awal () Tol.error (error) Iterasi masimum (N) = while <=N =ungsi() j=jacobian() y=-inv(j) i norm(y)<tol ya end tida =y' = Gambar.7. Diagram alir algoritma metode newton

44 BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR Dalam bab ini aan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Esterior dalam menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala. Tetapi dalam pembahasan ini penulis aan menjelasan terlebih dahulu tentang onsep ungsi penalti dan interpretasi geometris ungsi penalti. Kemudian dilanjutan mengenai bentu umum Fungsi Penalti Esterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti Esterior serta contoh masalah yang diselesaian dengan metode Fungsi Penalti Esterior dan diimplementasian dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang terahir adalah onvergensi metode Fungsi Penalti Esterior. A. Konsep Fungsi Penalti Salah satu cara untu mengubah masalah optimisasi dengan endala menjadi masalah optimisasi tanpa endala adalah dengan menambahan ungsi penalti pada ungsi obyeti yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai endala-endalanya. Dalam ehidupan sehari-hari ita mengenal istilah penalti terjadi arena adanya pelanggaran. Demiian juga dalam masalah optimisasi ini ungsi penalti terjadi arena ada pelanggaran terhadap ungsi obyeti, yaitu dengan menghilangan endala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga dipandang sebagai ungsi yang ditambahan pada ungsi obyeti dengan parameter penalti.

45 3 Metode dengan menggunaan ungsi penalti mentransormasian masalah dengan endala e dalam masalah tanpa endala tunggal atau e dalam barisan masalah tanpa endala. Kendala-endala dibentu e dalam ungsi obyeti melalui parameter penalti sedemiian hingga menghilangan setiap hambatanhambatan dari endala tersebut. Untu membangun ungsi penalti perhatian masalah-masalah dibawah ini. Contoh 3.. Perhatian masalah dengan endala tunggal ( ) = 0 Minimalan ( ) Dengan endala ( ) = 0 h. h, yaitu : Misalan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa endala : Minimalan ( ) h ( ) Dengan n E > 0 suatu bilangan besar. Secara intuiti dapat dilihat bahwa penyelesaian optimal dari masalah tersebut haruslah h ( ) mendeati nol, arena jia tida maa suatu penalti besar h ( ) aan terjadi.

46 3 Contoh 3.. Perhatian masalah dengan endala pertidasamaan tunggal ( ) 0 Minimalan ( ) Dengan endala ( ) 0 g. g yani : Andaian masalah di atas diubah menjadi masalah tanpa endala seperti beriut : Minimalan ( ) g ( ) Dengan n E > 0 suatu bilangan besar. Maa dapat dilihat bahwa dengan bentu ( ) g ( ) penalti bai untu g ( ) < 0 atau g( ) > 0 mengaibatan terjadinya. Dalam masalah di atas suatu penalti aan terjadi hanya jia titi adalah tida laya, yaitu g( ) > 0. Dengan demiian pengandaian di atas salah dan masalah tanpa endala yang sesuai adalah Minimalan ( ) mas { 0, g( ) } Dengan n E > 0 suatu bilangan besar. Jia g ( ) 0, maa masimum 0, g ( ) = { } 0, dan tida ada penalti yang terjadi, dan jia g ( ) > 0, maa masimum { 0, g ( ) } > 0, dan bentu penalti g( ) terjadi. Secara umum, ungsi penalti yang sesuai harus memilii suatu penalti positi untu titi-titi tida laya dan tida ada penalti untu titi laya. Jia

47 33 endala-endala tersebut dalam bentu ( ) 0 g untu i, K, m untu i =, K,l maa ungsi penalti α yang sesuai diberian oleh : m ( ) = Φ[ g i ( ) ] Ψ[ h ( ) i= l i= i i = dan h ( ) = 0 α ] (3..) dengan Φ dan Ψ adalah ungsi-ungsi ontinu yang memenuhi : i Φ Ψ ( y) = 0 jia y 0 dan Φ( y) > 0 jia y > 0 ( y) = 0 jia y = 0 dan Ψ( y) > 0 jia y 0 (3..) Secara husus, Φ dan Ψ berbentu : Φ ( y ) = [ mas { 0, y} ] p Ψ ( ) y = y p dengan p adalah bilangan bulat positi. Jadi ungsi penalti digunaan berbentu α m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p = mas 0, g h i= i i= i α yang biasa Fungsi ( ) α( ) dinamaan ungsi tambahan. Contoh 3..3 Selesaian masalah optimisasi beriut : Minimalan Dengan endala 0. Misalan α( ) [ mas{ 0, g ( ) ] ( ) = }, maa : 0 jia =. jia < α ( ) i

48 34 Penyelesaian : Misalan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa endala : Minimalan ( ) (3..3) Dengan E > 0 suatu bilangan besar. Selanjutnya penyelesaian optimal persamaan (3..3) dapat dicari dengan cara mencari turunannya. Titi optimal aan dicapai etia turunannya sama dengan nol. Maa persamaan (3..3) setelah dicari turunannya menjadi: ( )( ) ( )( ) = ( ) = = = Nilai optimal dapat dicari dengan cara mencari limitnya untu yang mendeati, yaitu lim =. Selanjutnya penyelesaian masalah (3..3) dapat ditunjuan dengan grai di bawah ini :

49 35 α = 0. 5 α =.5 α Gambar 3.. Grai Penalti α α Gambar 3.. Grai Fungsi Tambahan Contoh 3..4 Selesaian masalah optimisasi beriut: Minimalan Dengan endala 0. =

50 36 Penyelesaian : Perhatian masalah penalti beriut, dengan suatu bilangan besar > 0 Minimalan ( ) Dengan endala ( ), E. Perhatian bahwa untu sembarang, ungsi obyeti onves. Jadi syarat perlu dan cuup untu optimalitas adalah gradien dari sama dengan nol yang menghasilan : 0 ( ) ( ) 0 = 0 = (3..4) dan ( ) (3..5) Persamaan (3..4) dan (3..5) diselesaian dengan menggunaan metode Gauss Jordan menjadi : B B B B B B Ditulis e dalam bentu persamaan menjadi : PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

51 37 = = Jadi diperoleh : = =. Selanjutnya nilai dari dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya untu, yaitu lim sehingga diperoleh = =. Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedeat-deatnya dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentuan cuup besar. B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti Untu menggambaran ungsi penalti secara geometri, digunaan contoh Misalan bahwa endala h( ) = 0 ( ) = ε h yaitu = ε. Misalan ( ε ) diperoleh masalah beriut : dipertubasi sedemiian sehingga v merupaan ungsi objeti maa aan v ( ε ) Minimalan Dengan endala = ε

52 38 Perhatian endala = ε, dapat diganti menjadi = ε. Selanjutnya subsitusian e dalam ungsi obyeti sehingga menjadi : ( ) ε (3..) Nilai optimal aan dicapai etia turunannya sama dengan nol, maa ungsi pada (3..) setelah dicari turunannya dapat ditulis sebagai : ( )( ) 0 ε = ( ) 0 ε = ε = 4 ε = 0. Masing-masing ruas dibagi dengan menjadi : ε = 0 = ε ε =. 0 Subsitusian e dalam persamaan endala sehingga menjadi : ε = ε ε = ε ε ε = ε =. Jadi diperoleh nilai optimal yaitu :

53 39 = ε = dan mempunyai nilai obyeti : ( ε ). Oleh arena itu, untu sembarang ε yang diberian, supremum dari dengan endala = ε sama dengan. Oleh arena itu, jia diberian sembarang titi ( ) di, E dengan = ε, nilai obyetinya berada pada interval ( ) ε,. Dengan ata lain, nilai obyeti dari semua di E yang memenuhi h ( ) = ε, terleta diantara ( ε ) dan. E Pemetaan ( h, ) [ h ( ). ( ) ] ( ) Titi laya untu masalah primal Penyelesaian optimal untu masalah penalti dengan parameter ' > Penyelesaian optimal untu masalah penalti dengan parameter [ h ( ). ( )] ε Batas bawah terbesar v ε parabola ( ) Penyelesaian optimal untu masalah primal ' h h h ( ) = ε Gambar 3.. Geometri ungsi penalti pada ruang (h,)

54 40 {, : E } Secara husus, himpunan [ h( ) ( ) ] ditunjuan pada gambar 3.. Batas bawah dari himpunan ini dinyataan oleh parabola ( h) ( ε ) = v ( ε ). Untu suatu nilai tertentu > 0, masalah penalti adalah meminimalan ( ) h ( ) dengan E. Kontur dari h = diilustrasian dalam ruang ( ) h, yang ditunjuan dalam gambar 3.. dengan parabola putus-putus. Irisan dari parabola tersebut dengan sumbu sama dengan. Jadi jia h diminimalan, maa parabola tersebut harus digeser mengarah e bawah sebanya mungin, sedemiian sehingga parabola tersebut masih mempunyai seurang-urangnya satu titi yang sama dengan himpunan yang diarsir. Proses ini dilanjutan sampai parabola tersebut menyinggung himpunan yang diarsir, seperti ditunjuan pada gambar 3... Hal ini berarti bahwa untu nilai yang diberian, nilai optimum dari masalah penalti merupaan perpotongan parabola pada sumbu. Perhatian bahwa penyelesaian optimal masalah penalti sediit tida laya dari masalah asli, arena h 0 di titi singgung. Selanjutnya, nilai obyeti optimal dari masalah penalti adalah sediit lebih ecil dari nilai obyeti optimal primal. Dan perhatian juga bahwa jia nilai bertambah, parabola h menjadi main curam, dan titi singgung mendeati penyelesaian optimal sebenarnya dari masalah asli.

55 4 C. Metode Fungsi Penalti Esterior Metode Fungsi Penalti Esterior adalah metode yang digunaan untu menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala menjadi masalah tida berendala dengan menambahan ungsi penalti dan parameter penalti pada ungsi obyetinya. Proses pencarian penyelesaian optimal dimulai dari luar daerah laya, oleh arena itu disebut metode Fungsi Penalti Esterior. Kendalaendala aan ditambahan pada ungsi obyeti dengan parameter penalti.. Bentu Umum Fungsi Penalti Esterior Fungsi Penalti Esterior merupaan bentu ungsi tambahan yani, ungsi obyeti ditambah ungsi penalti. Misalan ungsi merupaan ungsi tambahan, ( ) dan merupaan ungsi obyeti, maa dengan mengambil : α m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p = mas 0, g h i= didapatan ungsi tambahan i i= i z = m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p mas 0, g h i= i i= i yang disebut sebagai Fungsi Penalti Esterior. Jadi bentu umum masalah Fungsi Penalti Esterior adalah : Minimalan z = m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p mas 0, g h i= i. i= i

56 4 Contoh 3.3. Ubalah masalah beriut menjadi masalah Fungsi Penalti Esterior : 3, = (3.3.) 3 Minimalan ( ) ( ) Dengan endala 0 Penyelesaian : 0. Pertama aan dibentu ungsi penalti dari masalah (3.3.) yaitu α ( ) = [ mas ( 0, )] [ mas ( 0, )] emudian di bentu ungsi z ( ) α( ) z = 3 =, menjadi 3 ( ) [ mas ( 0, )] [ mas ( 0, )] Maa masalah (3.3.) dapat dibentu menjadi masalah Fungsi Penalti Esterior yani 3 Minimalan z ( ) [ mas ( 0, )] [ mas ( 0, )] =. 3

57 43. Algoritma Metode Fungsi Penalti Esterior Beriut aan diberian algoritma dari metode Fungsi Penalti Esterior untu menyelesaian masalah Minimalan ( ) Dengan endala g( ) 0 h ( ) = 0 dan X. Tentuan titi awal, parameter penalti > 0, salar penalti β >, ε > 0 dan =.. Bentu ungsi obyeti untu masalah optimisasi tida berendala ( ) α( ) z =, dengan α m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p = mas 0, g h i= 3. Tentuan penyelesaian dari masalah minimalan z, yani. 4. Jia α( ) < ε i langah dihentian dan diperoleh. Jia tida, lanjutan e langah dengan i= = β. i Perhatian langah 3, bahwa etia masalah optimisasi nonlinear berendala setelah diubah menjadi masalah optimisasi nonlinear tida berendala dengan metode Fungsi Penalti Esterior maa penyelesaian dari masalah minimalan z, yani dapat diselesaian dengan metode Newton.

58 44 Diagram alir dari algoritma metode Fungsi Penalti Esterior dalam menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala Mulai Tentuan titi awal, ε > 0 parameter penalti > 0, salar β > dan = α Bentu ungsi z = ( ) α( ) dengan m p l ( ) [ { ( )}] ( ) p = mas 0, g h i= i i= i Tentuan penyelesaian dari masalah minimalan z yani α ( ) < ε YA Selesai TIDAK = β Gambar 3.3. Diagram alir algoritma metode Fungsi Penalti Esterior

59 45 Dalam menyelesaian masalah optimisasi nonlinear berendala dengan metode Fungsi Penalti Esterior ditemuan dua asus yani, asus umum dan asus husus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya memerluan titi awal, sedangan asus husus adalah masalah yang dalam penyelesaiannya tida memerluan titi awal. Beriut ini aan diberian beberapa contoh asus umum dan asus husus masalah optimisasi nonlinear berendala yang diselesaian dengan metode Fungsi Penalti Esterior. Contoh 3.3. Selesaian masalah beriut : 3, = (3.3.) 3 Minimalan ( ) ( ) Dengan endala 0 (3.3.3) 0 (3.3.4) Penyelesaian : ITERASI Langah Menentuan = 0.00, salar β = 0, ε = dan =. Langah Bentu ungsi z = ( ) 0.00α( ) dimana α( ) = [ mas ( 0, )] [ mas ( 0, )].

60 46 Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah Minimalan 3 z = ( ) [ mas ( 0, )] [ mas ( 0, )] (3.3.5) 3 Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : z = [ 0, ( ) mas ( )] (3.3.6) dan z = )] (3.3.7) [ mas ( 0, Perhatian persamaan (3.3.6) : z i.) Jia mas 0, = maa ( ) 0 = ( ) ii.) Jia mas ( 0, ) = maa = ( ) ( ) z Sehingga persamaan (3.3.6) dapat ditulis sebagai : min [( ),( ) ( )] (3.3.8) Jia min = 0, maa didapatan ( ) = 0, sehingga diperoleh =. Kondisi ini tida mungin arena tida memenuhi endala pada persamaan (3.3.4). Selanjutnya jia ( ) ( ) min =, maa ( ) ( ) = 0

61 47 ( ) 0 = 4 =. Jadi 4 = (3.3.9) Dari persamaan (3.3.7) : i). Jia ii). Jia z mas ( 0, ) = 0maa = mas ( 0, ) = maa = z Sehingga persamaan (3.3.7) dapat ditulis sebagai : min [, ( )] (3.3.0) persamaan (3.3.0) hanya mempunyai satu emunginan yaitu : = 0, maa =. Jad = (3.3.) Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.), (3.3.5) dan (3.3.) diperoleh : = = 500 z = = 500

62 48 Karena ( ) > ε beriutnya. α maa tetapan = β = 0. 0 dan lanjutan e iterasi ITERASI Langah Bentu ungsi dengan z =, yani = ( ) 0.0α( ) β z. Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah meminimalan z seperti pada langah 3, iterasi pertama. Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.), (3.3.5) dan (3.3.) diperoleh : = = 50 z = = ( ) α. = Karena ( ) beriutnya. α maa tetapan = β 0. dan lanjutan e iterasi 3 =

63 49 ITERASI 3 Langah Bentu ungsi dengan z =, yaitu z = ( ) 0.α( ) 3 β Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah meminimalan z seperti pada langah 3, iterasi pertama. Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.), (3.3.5) dan (3.3.) diperoleh : = = 5 z =.3435 = maa tetapan = β dan lanjutan e iterasi Karena α( 3 ) beriutnya. 3 = 4 3 = Dan seterusnya dilauan iterasi sampai pada ( ) ε α <, maa iterasi dihentian dan penyelesaian optimal diperoleh. Beriut aan diberian tabel penyelesaian contoh 3.3. dengan program Matlab :

64 50 Tabel 3.3. Output penyelesaian contoh 3.3. dengan Matlab ====================================================================== Iterasi Nilai mu z mua ====================================================================== Jadi penyelesaian optimal masalah 3.3. adalah dan = 0, yang menyebaban nilai minimum pada = Contoh Selesaian masalah beriut :, Minimalan ( ) = (3.3.) Dengan endala 4 0 (3.3.3) = Penyelesaian : ITERASI Langah Menentuan = 0.00, salar β = 0, ε = dan =. Langah Bentu ungsi z = ( ) 0.00α( ) ( ) ( ) dimana α =. 4

65 5 Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah Minimalan ( ) z = (3.3.4) Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap dan yaitu : z = 4 ( 4) (3.3.5) dan z = 4 4 ( 4). (3.3.6) Persamaan (3.3.5) dan persamaan (3.3.6) dapat ditulis e dalam bentu : dan ( ) = (3.3.7) ( 8 ) = (3.3.8) Sehingga persamaan (3.3.7) dan (3.3.8) diselesaian dengan metode Gauss Jordan menjadi : B 4 B B B

66 5 Ditulis e dalam persamaan menjadi : 3 = = Maa : 3 = = Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.0), (3.3.4) dan (3.3.) diperoleh : =.9980 =.9960 z = = ( ) α = Karena ( ) > ε beriutnya. maa tetapan = β 0. 0 dan lanjutan e iterasi α = ITERASI Langah Bentu ungsi dengan z =, yani z = ( ) 0.0α( ) β

67 53 Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah meminimalan z seperti pada langah 3, iterasi pertama. Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.0), (3.3.4) dan (3.3.) diperoleh : = =.9690 z = = ( ) α. = maa tetapan = β 0. dan lanjutan e iterasi Karena ( 3 ) beriutnya. α 3 = ITERASI 3 Langah Bentu ungsi dengan z =, yaitu z = ( ) 0.α( ) 3 β Langah 3 Menentuan penyelesaian dari masalah meminimalan z seperti pada langah 3, iterasi pertama. Langah 4 Berdasaran persamaan (3.3.9), (3.3.0), (3.3.4) dan (3.3.) diperoleh : =.86667

68 54 = z = = ( ) α 3 3 = > maa tetapan = β dan lanjutan e iterasi Karena ( 3 ) ε beriutnya. 3 α 4 3 = Dan seterusnya dilauan iterasi sampai pada ( ) ε α <, maa iterasi dihentian dan penyelesaian optimal diperoleh. Beriut aan diberian tabel penyelesaian contoh dengan menggunaan program Matlab : Tabel 3.3. Output penyelesaian contoh dengan Matlab ====================================================================== Iterasi Nilai mu z mua ====================================================================== Maa penyelesaian optimal masalah adalah =. 6 dan =., yang menyebaban nilai minimum pada 0. 8.

69 55 Contoh Selesaian masalah beriut : Minimalan ( ), = Dengan endala 0 = 0 Penyelesaian : Tahap awal adalah menentuan titi awal yani (,6),,, = β = 0 ε =0 8 dan =. Kemudian dilanjutan dengan membentu masalah berendala dari contoh menjadi masalah tida berendala dengan menggunaan metode Fungsi Penalti Esterior yani, ( ) mas 0, ( ) = [ ( )] ( ) z =. Tahap selanjutnya adalah mencari penyelesaian dari masalah minimalan z, yani dengan menggunaan metode Newton. Penyelesaian dari contoh dengan menggunaan program Matlab dapat diperlihatan sebagai beriut : Tabel Output penyelesaian contoh dengan Matlab ====================================================================== Iterasi Nilai mu z mua ====================================================================== ======================================================================

70 56 Maa penyelesaian optimal masalah adalah = dan =, yang membuat nilai minimum pada Masalah optimisasi pada contoh adalah asus umum yani yang memerluan titi awal. Dalam tabel penyelesaiannya dapat dilihat bahwa metode Fungsi penalti Esterior onvergen e penyelesaian yang sebenarnya. Aan tetapi dalam asus umum masalah optimisasi yang diselesaian dengan metode Fungsi Penalti Esterior tida selalu mudah menentuan nilai awal, apabila nilai awal dipilih sangat besar maa aan mengaibatan penyelesaian tida optimal. Sebagai perbandingannya aan diberian contoh nilai awal yang sangat besar yang tida menghasilan penyelesaian yang optimal yani Hasil penyelesaian dengan Metode Fungsi penalti Esterior : = ====================================================================== Iterasi Nilai mu z mua ====================================================================== Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa dengan suatu nilai awal yang sangat besar proses optimisasi dapat terhenti pada watu yang seharusnya belum terhenti, arena sealipun penyelesaiannya onvergen tetapi titi laya yang dihasilan buanlah titi optimal, sehingga penyelesaiannya buanlah penyelesaian optimal.

71 57 Metode Fungsi Penalti Esterior memilii elebihan dan eurangan. Kelebihan dari metode Fungsi Penalti Esterior adalah masalah optimisasi berendala menjadi mudah diselesaian arena metode Fungsi Penalti Esterior mengubah masalah optimisasi berendala tersebut menjadi masalah optimisasi tida berendala. Sedangan eurangan dari metode Fungsi Penalti Esterior adalah pada asus umum masalah optimisasi nonlinear yani masalah yang memerluan titi awal, dalam pemilihan yang sangat besar aan mengaibatan esulitan perhitungan artinya bahwa proses optimisasi dapat terhenti pada watu yang seharusnya belum berhenti. Dengan suatu nilai yang sangat besar pada umumnya prosedur optimisasi tida berendala aan bergera cepat menuju titi laya sealipun titi ini mungin jauh dari titi optimal. D. Konvergensi Metode Fungsi Penalti Esterior Untu membutian onvergensi dari algoritma metode Fungsi Penalti Esterior, terlebih dahulu dibentu ungsi tambahan sama yani : z = φ m ( ) ( ) [ { ( )}] p, = mas 0, g i= i = ( ) G[ g( ) ] dengan p bilangan bulat positi dan parameter penalti.

72 58 Lemma 3.4. φ [ ] (3.4.) Jia (, ) = ( ) G g( ) Maa relasi-relasi beriut aan benar untu setiap 0 < < (i) φ ( ) φ(, ), (ii) G[ g ( )] G[ g( ) ] (iii) ( ) ( ) (iv) ( ) (, ) ( ) Buti : φ. : (i) Karena [ ] 0 dan G g( ) maa [ g( ) ] G[ g( ) ] G Sehingga ( ) G[ g( ) ] ( ) G[ g( ) ] Selanjutnya, arena φ (, ) = φ meminimalan φ (, ), maa : (, ) = ( ) G[ g( )] ( ) G[ g( ) ] (, ) Jadi terbuti bahwa ( ) φ(, ) φ (3.4.), φ. φ ( ) dan φ ( ) (ii) Karena dan masing-masing meminimalan maa dapat ditulis :,,

73 59 ( ) G[ g( )] ( ) G[ g( ) ] (3.4.3) ( ) G[ g( ) ] ( ) G[ ( )] g (3.4.4) Dengan menjumlahan persamaan (3.4.3) dan (3.4.4) aan diperoleh : G [ g( )] G[ g( ) ] G[ g( ) ] G[ g( )] [ g( )] G[ g( ) ] G[ g( )] G[ g( ) ] G { G[ g( )] G[ g( ) ]} { G[ g( )] G[ g( ) ]} (3.4.5) Tetapi arena, maa pertidasamaan (3.4.5) aan berlau jia : G [ g( )] G[ g( ) ] 0 atau G[ g ( )] G[ g( ) ] Jadi terbuti bahwa G[ g ( )] G[ g( ) ]. (iii) Dari pertidasamaan (3.4.) diperoleh :. ( ) ( ) { G[ g( ) ] G[ g( )]} (3.4.6) Karena G[ g( ) ] G[ g( )] memberian (iv) Karena dan > 0, maa pertidasamaan (3.4.6) ( ) ( ). meminimalan φ (, ), maa : ( ) [ g( )] φ(, ) G (3.4.7) Sedangan (, ) = ( ) G[ g( )] dapat dibentu menjadi : Karena [ g ( )] = 0 φ maa pertidasamaan (3.4.7) ( ) G[ g( )] ( ) G[ g( )] G. Sehingga : adalah minimum untu masalah optimisasi berendala, maa

74 60 Karena [ g( )] 0 ( ) ( ) G[ g( )] G dan 0 mengaibatan : ( ) (, ) ( ) φ. Teorema 3.4. Jia barisan nai dari nilai-nilai meminimalan ungsi φ(, ) yang diberian pada persamaan (3.4.), maa, yani pembuat minimum ungsi obyeti pada masalah berendala aan onvergen e penyelesaian optimal berendala untu. Buti : ( ) masalah Misalan penyelesaian optimal masalah berendala, maa aan ditunjuan bahwa : lim { min φ (, )} = φ( ) ( ) = Karena ( ) ontinu dan ( ) ( ) untu setiap titi laya, maa dapat dipilih titi laya sedemiian sehingga : () < ( ), (3.4.8) ε untu sembarang nilai ε > 0. Selanjutnya, pilih yang sesuai yang disebut, sedemiian sehingga : ε < [ ()]. (3.4.9) G g