ANALISIS DATA GEOSTATISTIKA DENGAN UNIVERSAL KRIGING

Transkripsi

1 ANALISIS DATA GEOSTATISTIKA DENGAN UNIVERSAL KRIGING SKRIPSI Diajuan epada Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyaarta untu memenuhi sebagian persyaratan guna memperoleh gelar Sarjana Sains Oleh: Endra Angen Lasana NIM PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2010

2 PERSETUJUAN Sripsi yang berjudul : ANALISIS DATA GEOSTATISTIKA DENGAN UNIVERSAL KRIGING disusun oleh : Endra Angen Lasana NIM Telah disetujui oleh dosen pembimbing untu dihadapan epada Dewan Penguji Sripsi Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyaarta Disetujui pada tanggal : Disetujui oleh : Dosen Pembimbing I Dosen Pembimbing II Mathilda Susanti, M.Si NIP Dr. Heri Retnawati NIP ii

3 SURAT PERNYATAAN Saya yang bertanda tangan di bawah ini: Nama : Endra angen Lasana NIM : Program Studi : Matematia Faultas : MIPA Judul Sripsi : Analisis Data Geostatistia dengan Universal Kriging. Menyataan bahwa sripsi ini adalah hasil peerjaan saya sendiri dan sepanjang pengetahuan saya tida berisi materi yang telah dipubliasian atau ditulis oleh orang lain atau telah digunaan sebagai persyaratan penyelesaian studi di perguruan tinggi lain, ecuali pada bagian-bagian tertentu yang saya ambil sebagai acuan. Apabila ternyata terbuti pernyataan ini tida benar, sepenuhnya menjadi tanggung jawab saya Yogyaarta, Desember 2010 Yang menyataan, Endra Angen Lasana NIM iii

4 PENGESAHAN Sripsi yang berjudul Analisis Data Geostatistia dengan Universal Kriging yang disusun oleh : Nama : Endra Angen Lasana NIM : Prodi : Matematia telah diujian di depan Dewan Penguji pada tanggal 27 Otober 2010 dan dinyataan lulus. DEWAN PENGUJI Nama Jabatan Tanda tangan Tanggal Mathilda Susanti, M.Si Ketua Penguji NIP Dr. Heri Retnawati Seretaris Penguji NIP Dr. DJamillah Bondan Widjajanti Penguji I NIP Retno Subeti, M.Sc Penguji II NIP Yogyaarta, Desember 2010 Faultas MIPA UNY Dean Dr. Ariswan NIP iv

5 MOTTO Allah aan meninggian orang-orang yang beriman di antaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat. Dan Allah Maha Mengetahui apa yang amu erjaan (QS. Al-Mujadalah:11) Barang siapa menuntut ilmu, maa Allah aan memudahan baginya jalan menuju surga. Dan tidalah berumpul suatu aum disalah satu dari rumah-rumah Allah,erea membaca itabullah dan saling mengajarannya diantara merea, ecuali aan turun epada meraa etenangan, diliputi dengan rahmah, dielilingi oleh para malaiat, dan Allah aan menyebut-nyebut merea epada siapa saja yang ada disisi-nya. Barang siapa nerlambat-lambat dalam amalannya, niscaya tida aan bisa dipercepat oleh nasabnya. (H.R Muslim dalam Shahih-nya). Dan pengorbanan pada dasarnya buanlah erugian, pengorbanan adalah investasi beal menuju emuliaan dunia dan ahirat. v

6 PERSEMBAHAN Karya ecil ini upersembahan untu : Allah SWT. Bapa dan ibuu tersayang yang telah memberian do a, nasehat, motivasi, dan rasa sayang yang ta terira. Kaa-aau dan adiu yang telah banya membantuu dalam penyusunan sripsi ini. Utami wulaningsih yang ta pernah lelah dalam menyemangatiu, menasehatiu, dan memberi banya inspirasi untuu sehingga sripsi ini dapat terselesaian. Jurusan Pendidian Matematia Faultas Matematia Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyaarta. Teman-teman seperjuanganu Matematia 05 terimaasih atas duungan alian semua dan ebersamaan alian selama ini. vi

7 ANALISIS DATA GEOSTATISTIKA DENGAN UNIVERSAL KRIGING Oleh : Endra Angen Lasana NIM ABSTRAK Geostatistia awalnya diembangan dalam industri pertambangan untu menasir cadangan-cadangan mineral yang ada dibumi. Proses predisi ini dienal dengan istilah riging. Kriging merupaan tehni untu mengestimasi andungan mineral berdasaran dari data yang telah yang dietahui. Universal riging adalah metode riging yang mempunyai ecenderungan trend tertentu dan merupaan bentu umum dari simple riging sebagai salah satu cara perluasan dari metode Ordinary riging. Pada tulisan ini aan dibahas mengenai Universal riging, sifat estimator, proses estimasi, dan penerapanya pada data air tanah. Universal riging adalah metode penasiran yang digunaan untu menangani masalah enonstasioneran dari data sampel. Seperti halnya dengan Ordinary riging, Universal riging juga menghasilan BLUE (Best Linier Unbiassed Estimator). Sifat BLUE membutian bahwa estimator Universal riging adalah estimator ta bias, linier dan punya nilai variansi minimum. Dengan BLUE ini maa aan dihasilan MSE minimum (Mean Square Error minimum) yang digunaan untu menguur efisiensi dari estimator. MSE minimum diperluan pada analisis strutural, yaitu untu mencocoan nilai semivariogram esperimental dengan semivariogram Universal riging. Dengan MSE minimum didapatan perhitungan dan juga variansi error dari masingmasing data sampel yang aan di estimasi. Dalam asus ini, Universal riging diapliasian pada data andungan air tanah sebanya 94 data, lengap dengan titi-titi oordinatnya yaitu (x,y,z) dan juga p. Koordinat x menyataan absis, oordinat y menyataan ordinat, dalam hal ini oordinat z menyataan edalaman dan p menyataan porositas atau andungan air tanah. Dengan bantuan Matlab R2008a dan juga Minitab15 diperoleh plot yang menunjuan bahwa data yang diperoleh bersifat nonstasioner. Dari tabel MSE minimum (Mean Square Error minimum) maa diperoleh model esponensial yaitu sebagai semivariogram teoritis terecil yang dianggap coco dengan semivariogram Universal riging. Dari hasil estimasi andungan air tanah sebanya loasi, diperoleh estimasi andungan air tanah minimum sebesar % pada oordinat (0.614,0.142,19) dengan variansi error sebesar dan estimasi andungan masimum sebesar % pada oordinat (2.528,4.811,47.8 ) dengan variansi error sebesar vii

8 KATA PENGANTAR Segala puji dan syuur penulis panjatan epada Allah SWT yang telah memberian rahmat dan arunia-nya, sehingga penulis dapat menyelesaian penyusunan sripsi dengan judul Analisis Data Geostatistia Dengan Universal Kriging sripsi ini disusun dalam ranga menyelesaian studi Strata satu untu memperoleh gelar Sarjana Sains. Faultas Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Yogyaarta. Penyusunan sripsi ini tida lepas dari bantuan, bimbingan, dan arahan dari berbagai piha. Seiring dengan selesainya sripsi ini penulis ingin mengucapan terima asih epada: 1. Bapa Dr. Ariswan, Dean Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam, yang telah memberi izin dan esempatan epada penulis dalam menyelesaian studi. 2. Bapa Dr. Hartono, Ketua Jurusan Pendidian Matematia. 3. Ibu Atmini Dhoruri, M.Si, Ketua Program Studi Matematia. 4. Ibu Mathilda Susanti, M.Si, sebagai Dosen Pembimbing I yang telah memberian, nasehat, arahan, dan masuan yang sangat membangun. 5. Ibu Dr. Heri Retnawati, sebagai Dosen Pembimbing II yang telah memberian nasehat, arahan serta masuan-masuan yang sangat membangun dalam penyusunan sripsi ini. viii

9 6. Seluruh Dosen Jurusan Pendidian Matematia FMIPA UNY yang telah memberian ilmu dan pengalaman epada penulis. 7. Teman-teman seperjuangan Matematia Reguler 2005 yang terus memberian motivasi dan bantuannya dalam penyusunan sripsi. 8. Semua piha yang telah membantu bai secara langsung maupun tida langsung sehingga sripsi ini dapat diselesaian. Penulis menyadari sepenuhnya bahwa sripsi ini banya eurangan. Namun demiian, penulis berharap semoga sripsi ini bermanfaat bagi para pembaca hususnya mahasiswa Jurusan Pendidian Matematia Universitas Negeri Yogyaarta. Yogyaarta, Desember 2010 Penulis Endra Angen Lasana NIM ix

10 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL. i HALAMAN PERSETUJUAN... ii HALAMAN PERNYATAAN... iii HALAMAN PENGESAHAN... iv HALAMAN MOTTO v HALAMAN PERSEMBAHAN... vi ABSTRAK vii KATA PENGANTAR. viii DAFTAR ISI..... x DAFTAR GAMBAR xi DAFTAR TABEL.... xii DAFTAR LAMPIRAN... xiii BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang B. Batasan Masalah C. Rumusan Masalah... 3 D. Tujuan Penulisan... 4 E. Manfaat penulisan... 4 x

11 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Matris dan Operasi Matris Matris Matris Bujur Sangar Matris Satuan Transpose Matris Invers Matris Sifat sifat Matris Variable Random Variable Random Kontinu Espetasi Variansi Kovariansi Pengali Lagrange BLUE ( Best Linier Unbiased Estimr ) Linear Unbiased Best Stasioneritas Stricly Stationarity Second-Order Stationarity Intrinsic Stationarity Korelasi spasial xi

12 Variogram dan Semivariogram Esperimental Semivariogram Teoritis Spherical Model Model esponensial (Exponential Model) Model Gauss (Gaussian Model) Data Spasial Model Umum Data Spasial Lag Spasial Tipe-tipe Data Spasial Data Geostatisti Data Lattice Pola titi BAB III PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 3.1. Kriging Universal Kriging Analisis Trend BLUE (Best Linier Unbiased Estimator) Universal Kriging Unbiased Linier. 41 xii

13 Best Second Order Stationary dari Universal riging Semivariogram Universal Kriging Algoritma pengestimasian Diagram pengestimasian andungan air tanah menggunaan metode Universal riging Apliasi Definisi air tanah Pendesripsian Data Sistem Pemrograman Asumsi Non-Stasioneritas Data Analisis Data Semivariogram Universal Kriging dan Analisis Strutural Semivariogram air tanah Estimasi andungan air tanah BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN xiii

14 DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1 Plot fungsi ovariansi dengan semivariogram Gambar 2.2 Semivariogram Gambar 2.3 Model Semivariogram Teoritis Gambar 2.4 Data Spasial Gambar 3.1 Diagram estimasi andungan air tanah menggunaan metode Universal riging Gambar 3.2 Plot sebaran data dengan Minitab Gambar 3.3 Stasionary variable dan Non-stasionary variable.. 56 Gambar 3.4 Plot 3D e dalam Matlab Gambar 3.5 Plot porositas dengan edalaman (z) Gambar 3.6 Plot semivariogram esperimental air tanah Gambar 3.7 Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x,y,dan z Gambar 3.8 Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x dan z Gambar 3.9 Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat y dan z Gambar 3.10 Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x dan y xiv

15 DAFTAR TABEL Tabel 3.1. Tabel data porositas dengan oordinat loasinya 54 Tabel 3.2. Ringasan data Tabel 3.3. Tabel Anova Tabel 3.4. Tabel Coefficients 60 Tabel 3.5. Tabel semivariogram beserta pasangan data dan jaranya...63 Tabel 3.6. Tabel hasil estimasi andungan air tanah beserta variansi error..65 xv

16 DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. Data titi oordinat (meter) dan porositas air tanah (persen) 73 Lampiran 2. Perhitungan Semivariogram Esperimental Lampiran 3. Output Semivariogram Esperimental Lampiran 4. Perbandingan semivariogram esperimental porositas air tanah dengan semivariogram teoritis menggunaan model spherical, esponensial dan Gaussian Lampiran 5. Plot eempat model semivariogram Lampiran 6. Syntax program R beserta hasil estimasi porositas (andungan) air tanah menggunaan metode Universal riging Lampiran 7. Syntax plot hasil estimasi porositas (andungan) air tanah dengan Matlab Lampiran 8. Data hasil estimasi andungan air tanah (porositas) menggunaan metode universal riging xvi

17 BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belaang Geostatistia merupaan salah satu ilmu yang menggunaan analisis spasial. Analisis spasial merupaan analisis yang memilii atribut loasi, seperti halnya loasi absolut (oordinat). Geostatistia muncul pada awal 1980-an sebagai perpaduan ilmu pertambangan, geologi, matematia, dan statistia. Geostatistia awalnya diembangan dalam industri mineral untu menasir cadangan-cadangan mineral yang ada dibumi. Geostatistia mengenal variasi spasial pada sala besar maupun sala ecil, atau jia dalam bahasa statistianya mampu memodelan bai ecenderungan spasial (spatial trends) maupun orelasi spasial (spatial correlation). G. Matheron menamaan proses predisi ini sebagai riging (Ricardo A. Olea, 1999: 91). Kriging juga dapat diartian sebagai metode untu menangani variabel teregionalisasi (regionalized variable). Variabel teregionalisasi adalah variabel yang dapat mempunyai nilai yang berbeda (bervariasi / berflutuasi) dengan berubahnya loasi / tempat. Variabel teregionalisasi berbeda dengan variabel random, arena mempunyai arater deterministi pada ontinuitas spasialnya. Sebagai contoh: topografi permuaan tanah, porositas, permeabilitas. Porositas adalah jumlah atau persentase pori atau rongga dalam total volume batuan, sedangan permeabilitas merupaan emampuan batuan atau tanah untu melewatan atau melolosan andungan mineral. 1

18 2 Bila ditinjau dari cara estimasi dan proses perhitungannya, riging dapat dibedaan atas beberapa macam, yani : Point riging, Bloc riging, Co-riging, Universal riging. Point riging atau simple riging atau sering disebut juga dengan Ordinary riging yaitu metode perhitungan nilai harapan (estimasi) suatu titi sampel. Bloc riging merupaan teni yang memperiraan sifat-sifat statis dari suatu bloc. Co-riging adalah suatu teni husus dalam interpolasi dengan memaai dua variabel yang berbeda aan tetapi secara spasial saling berhubungan. Sedangan Universal Kriging adalah riging dari data yang mempunyai ecenderungan trend tertentu. Universal riging tepat jia diapliasian untu menganalisis data yang mempunyai ecenderungan tertentu, misalnya tebal lapisan bertambah dengan berubah-ubahnya arah atau nilai permeabilitas yang berurang dengan menjauhnya loasi dari channel sand. Channel sand merupaan loasi yang telah ditandai atau dijadian target penambangan. Universal riging sering disebut juga dengan riging with a trend. Universal riging sebenarnya hampir mirip dengan Ordinary riging. Perbedaan dari eduanya hanyalah pada jenis data yang diteliti. Ada banya hal dalam pengestimasian suatu adar atau andungan mineral yang ada di bumi ini. Salah satunya adalah pengestimasian andungan air tanah. Air tanah adalah air yang mengisi celah-celah atau ruang pori-pori tanah dan batuan yang berada di bawah tanah yang juga memilii ecenderungan trend tersendiri. Porositas dan permeabilitas dari air tanah aan berbeda seiring dengan bertambahnya leta edalaman air tanah tersebut. Untu mengetahui andungan air tanah diperluan

19 3 estimasi (tasiran andungan air tanah). Berdasaran ciri has yang dimilii oleh air tanah tersebut, maa pengestimasian andungan air tanah ini tepat bila menggunaan metode Universal Kriging yang mengutamaan data dengan ecenderungan trend tertentu. B. Batasan Masalah Dalam geostatistia hususnya dalam bidang pertambangan, metode yang tepat untu mengestimasi andungan mineral disebut dengan riging. Ada beberapa metode estimasi dalam riging. Untu menghindari masalah yang main meluas maa pada tulisan ini hanya aan dibahas metode Universal riging dan jenis data yang aan diestimasi dengan Universal riging. C. Rumusan Masalah 1. Apaah yang dimasud dengan Universal riging? 2. Bagaimana sifat estimator dari Universal riging? 3. Bagaimana proses estimasi andungan mineral dengan metode Universal riging? 4. Bagaimanaah apliasi Universal riging dalam menetuan andungan air tanah?

20 4 D. Tujuan Penulisan 1. Menjelasan tentang apa yang dimasud dengan Universal riging. 2. Mengetahui sifat-sifat yang ada pada Universal riging. 3. Menjelasan tentang proses estimasi andungan mineral dengan metode Universal riging. 4. Menjelasan apliasi Universal riging dalam menentuan estimasi andungan air tanah. E. Manfaat Penulisan 1. Penulis dapat mempelajari lebih dalam tentang metode Universal riging pada geostatistia. 2. Penulis dapat mempelajari lebih dalam tentang sifat-sifat yang terdapat pada metode Universal riging. 3. Penulis dapat mengetahui proses estimasi andungan mineral dengan metode Universal riging. 4. Penulis dapat mengetahui apliasi metode Universal riging dalam menentuan estimasi andungan air tanah.

21 BAB II DASAR TEORI 2.1. Matris dan Operasi Matris Matris (Howard Anton tahun 2000 : 22) Definisi Matris adalah susunan segi empat siu-siu dari bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dari susunan tersebut dinamaan entri dalam matris. Jia A adalah sebuah matris, maa a ij menyataan entri yang terdapat dalam baris i dan olom j dari A. Jadi sebuah matris 3x4 yang umum dapat ditulisan sebagai A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 Jia B menyataan matris, maa b ij menyataan entri dalam baris i dan olom j. Jadi, matris mxn yang umum dapat ditulisan sebagai B = b 11 b 12 b 1n b 21 b 22 b 2n b m1 b m2 b mn atau b ij mxn 5

22 6 Sebuah matris dengan m baris dan n olom dinamaan matris uadrat berordo n, dan entri-entri a 11, a 22,..., a mn diataan berada pada diagonal utama dari suatu matris A. Maa matris A dinyataan sebagai beriut : A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Dua matris diataan sama jia edua matris tersebut mempunyai uuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian dalam edua matris tersebut juga sama Matris Bujur Sangar (Square Matrix) Matris bujur sangar adalah suatu matris dimana banyanya entri baris (m) sama dengan banyanya jumlah entri olom (n). Matris A disebut matris bujur sangar orde n bila banyanya baris dan olom adalah n Matris Satuan (Identity Matrix) Matris identitas merupaan matris bujur sangar dimana semua elemen pada diagonal utama mempunyai nilai satu (1). Matris identitas dinyataan dengan I. I , , dan seterusnya

23 Transpose Matris Definisi Jia A adalah sebarang matris mxn, maa transpose matris A dinyataan oleh A t dan didefinisian dengan matris nxm yang olom pertamanya adalah baris pertama dari A, olom eduanya adalah baris edua dari A, demiian juga dengan olom etiga adalah baris etiga dari A, dan seterusnya. A (m n) = a 11 a 12 a 13 a 14 a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 a 33 a 24 a 34 A t (n m) = a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 a 14 a 24 a Invers Matris Definisi Jia A adalah matris uadrat, dan jia dapat dicari matris B sehingga AB = BA = I, maa A diataan dapat dibali (invertible) dan B dinamaan inverse dari A. Misal A adalah matris yang dapat dibali, maa inversnya aan dinyataan dengan symbol A 1. Jadi AA 1 = I dan A 1 A = I Invers A memainan peranan penting dalam ilmu hitung matris yang sangat menyerupai peranan yang dimainan oleh ebalian a 1 dalam hubungan numeri aa 1 = 1 dan a 1 a = 1.

24 8 misal : A = a c b d jia ad-bc 0, maa A 1 = 1 det A adj (A) A 1 = 1 ad bc a b c d = d ad bc c ad bc b ad bc a ad bc Teorema Jia A dan B adalah matris-matris yang dapat dibali dan uuranya sama, maa (a) AB dapat dibali (b) (AB) 1 = B 1 A 1 Buti : AB (B 1 A 1 ) = (B 1 A 1 ) AB = I, maa telah dibutian bahwa AB = dapat dibali dan bahwa (AB) 1 = B 1 A 1. Tetapi AB (B 1 A 1 ) = A(BB 1 )A 1 = AIA 1 = AA 1 = I. Demiian juga (B 1 A 1 ) AB = I. Definisi Sebuah matris n x n dinamaan matris elementer jia matris tersebut dapat diperoleh dari matris satuan (identitas) n x n dengan melauan sebuah operasi baris elementer.

25 9 Untu mencari invers suatu matris A yang dapat dibali adalah dengan mencari urutan operasi baris elementer teredusi A pada matris satuan dan emudian melauan urutan operasi yang sama ini pada I n untu mendapatan A -1. [ A I ] operasi baris elementer [ I A -1 ] contoh : aan dicari invers dari matris A = jawab : B 2 2B B 3 B B 3 + 2B B B 2 + 3B B 1 3B B 1 2B jadi A 1 = Teorema Sebuah matris uadrat A dapat dibali (invertible) jia dan hanya jia det (A) -1 0.

26 Sifat-sifat Matris Teorema Jia A adalah matris uadarat dan r serta s adalah bilangan bulat, maa A r A s = A r+s dan (A r ) s = A rs Teorema Jia A adalah sebuah matris yang dapat dibali, maa (a) A 1 dapat dibali dan (A 1 ) 1 = A (b) A n dapat dibali dan (A n ) 1 = (A 1 ) n, untu n = 0,1,2, (c) Untu setiap salar yang ta sama dengan nol, maa A dapat dibali dan (A) 1 = 1 A 1 Buti : Jia adalah sebarang salar yang tida nol (0), maa (A) ( 1 A 1 ) = 1 (A)A 1 = 1 AA 1 = 1I = I arena ( 1 A 1 )(A) = I sehingga (A) dapat dibali dan (A) 1 = 1 A 1 Teorema Jia uuran matris seperti operasi yang diberian dapat dilauan, maa (a) (A t ) t = A (b) (A + B) t = A t + B t (c) (A) t = A t, dimana adalah sebarang salar (d) (AB) t = B t A t 2.2. Variabel Random

27 11 Definisi Variabel random Z pada ruang sample S adalah fungsi Z : S yang menyataan sebuah bilangan real Z(s) dengan setiap titi sample s S. Variabel random dinotasian dengan huruf besar Z dan huruf ecil z yang menyataan nilai dari variabel random tersebut. Pada suatu unit percobaan hanya menghasilan satu variabel teruur yang dinamaan variabel random. Tetapi jia menghasilan beberapa variabel teruur, misal : m variabel, maa hasil penguuran tersebut dinamaan vetor random. Dengan ata lain, omponen atau elemen dari vetor random adalah variabel random Variabel Random Kontinu (Bain dan Engelhardt 1992, hal : 64) Definisi Suatu variabel random Z diataan variabel random ontinu jia terdapat fungsi f z sebagai fungsi densitas peluang (probabilty density function) atau sering disingat (pdf) dari Z, dengan CDF sebagai beriut: F z = f t dt z Espetasi (Bain dan Engelhardt tahun 1992, hal: 67) Definisi Jia Z adalah sebuah variabel random ontinu dengan fungsi densitas peluang (pdf) f z, maa nilai espetasi dari Z adalah : E z = zf z dz

28 12 Teorema jia a dan b merupaan suatu onstanta, maa : E az + b = ae Z + b (2.1) Buti : E az + b = az + b f z dz = a zf z dz + b f z dz = ae Z + b 1. Jia diambil a = 0, maa E b = b 2. Jia diambil b = 0, maa E az = ae(z) Variansi ( Bain dan Engelhardt 1992, hal: 73) Definisi Variansi dari variabel random Z didefinisian sebagai var Z = E Z E Z 2 (2.2) Teorema Jia Z adalah suatu variabel random ontinu dengan fungsi densitas f(z) maa: var Z = E Z 2 E Z 2 Buti : var Z = Z E Z 2 f z dz

29 13 = z 2 2zE Z + E Z 2 f z dz = z 2 f z dz 2E Z z f z dz + E Z 2 f z dz = E Z 2 2E Z E Z + E Z 2 = E Z 2 E Z 2 Teorema Jia Z variabel random, a dan b onstanta maa: Var az + b = a 2 var Z (2.3) Buti : Var az + b = az ae Z 2 f z dz + 0 = a 2 z 2 2a 2 ze Z + a 2 E Z 2 f z dz = a 2 z 2 2zE Z + E Z 2 f z dz = a 2 z E Z 2 f z dz = a 2 var Z

30 Kovariansi ( Bain dan Engelhardt 1992, hal : 174 ) Definisi Kovariansi antara variabel random Z dan Y dinotasian dengan σ ZY. Nilai ovariansi antara variabel Z dan Y didefinisian sebagai: Cov Z, Y = E z E Z Y E Y (2.4) Teorema Jia Z dan Y variabel random, a dan b suatu onstanta, maa : Cov Z + a, Y + b = Cov Z, Y (2.5) Buti : Cov Z + a, Y + b = E Z + a a E Z Y + b b E Y = E Z E Z Y E Y = Cov(Z, Y) Teorema Jia Z dan Y variabel random, a dan b onstanta maa : Buti : Cov az, by = ab Cov Z, Y (2.6) Cov az, by = E az ae Z by be Y = E a Z E Z b Y E Y = ab E Z E Z Y E Y = ab Cov Z, Y Teorema Jia Z variabel random, a dan b suatu onstanta, maa

31 15 Cov Z, az + b = a Var Z (2.7) Buti : Cov Z, az + b = E Z E Z az + b E az + b 2.3. Pengali Lagrange = E Z E Z az + b ae Z b = ae Z E Z Z E Z = a Var Z Fungsi Lagrange sering digunaan dalam asus menyelesaian masalah optimisasi (penentuan harga estrim) dengan batasan-batasan (constrain) tertentu. Prinsip dasar yang digunaan adalah ingin mencari harga estrim (optimisasi) fungsi f(x, y) dengan batasan tertentu dan harus memenuhi g x, y = c. Selanjutnya parameter m adalah variabel baru yang dinamaan pengali Lagrange, sehingga dapat membentu fungsi Lagrange sebagai beriut: Syarat estrim: Sehingga g x, y = c. F x, y, m = f x, y + m g x, y c (2.8) F x = 0, F y = 0, F m = BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Suatu data jia memenuhi asumsi regresi maa proses estimasi aan menghasilan estimator yang bersifat BLUE. Suatu estimator misalan β diataan memenuhi sifat BLUE jia memenuhi riteria best (terbai), linier, dan unbiased (ta bias).

32 16 Jia dari suatu populasi Y = β + e dengan E e = 0 dan var e = σ 2 diambil dari random sampel beruuran T, yaitu Y 1, Y 2,, Y T maa Y T = β + e t, t = 1,2,, T dengan E e t = 0, E e t 2 = σ 2 dan E e t e s = 0, t s. Estimasi dengan metode uadrat terecil adalah mencari harga β dengan meminimuman T S = e t 2 t=1 arena e t = Y T β maa T T 2 S = e t = Y T β 2 t=1 t =1 dan estimator β dirumusan dalam β = 1 T T Y t t=1 Dalam notasi matris dan vetor Y T = β + e t, t = 1,2,, T dapat ditulis sebagai

33 17 Y 1 = β + e 1 Y 2 = β + e 2 Y T = β + e t atau Y = 1β + e dengan Y = Y 1, Y 2,, Y T e = e 1, e 2,, e T 1 = 1,1,., 1 juga E e 1 = 0 E e 2 = 0 E e t = 0 atau E e = 0 E e t 2 = σ 2 E e t e s = 0, t s, t, s = 1,2,, T dapat ditulis sebagai E 2 e 1 e 1 e 2 e 1 e r e 2 e 1 2 e 2 e 2 e r e T e 1 e T e 2 2 e T = E e e = σ 2 I dengan I adalah matris identitas tipe T. Karena T 2 e t t=1 = e e dan

34 18 T t=1 Y T β 2 = Y 1β Y 1β maa T S = e t 2 t=1 T = Y t β 2 t=1 = Y Y Y 1β β 1 Y + β 1 1β = Y Y 2β 1Y + β 1 1β dan β = 1 T T Y t t=1 = 1 T 1 Y atau β = 1 T Y 1 Dengan memperhatian nilai β, maa dapat ditunjuan bahwa β merupaan estimator BLUE yaitu 1. Linear Dapat dilihat bahwa β merupaan fungsi linier dalam Y 1, Y 2,, Y T atau β adalah fungsi linier dalam sampel random. 2. Unbiased E β = E 1 T T Y t t=1 = 1 T T t=1 E Y t

35 19 = 1 T T t=1 β = β E β = β Jadi E β = β, artinya β merupaan estimator ta bias untu β. 3. Best Dengan menggunaan perhitungan dalam bentu matris dan vetor aan dibutian bahwa β merupaan best yang meminimuman variansi. β = Y = β + e = β e = β e β β = e var β = E Y β Y β = E Y 1β Y 1β = E ee = E ee = σ = σ 2 T untu menunjuan β adalah BLUE untu β, maa tinggal menun juan bahwa var β var β jia β adalah sebarang LUE ( linear unbiased estimator ) untu β. Caranya adalah dengan memisalan : T β = a Y = a t Y t, a = a 1, a 2,, a T t =1

36 20 supaya β ta bias untu β. Karena E β = a 1β dan E β = β, haruslah a 1 = 1. Jia dipilih a t = 1 T + c t atau a = c, maa var β = var a Y = a var Y a = a σ 2 a = σ 2 a a = σ c c = σ σ c + σ 2 c σ 2 c c = var β + σ 2 c c arena c c 0, maa var β var β. Sehingga variansi dari estimator β adalah minimum Stasioneritas (Cressie, 1993) Dalam analisis data geostatistia stasioneritas dibagi menjadi tiga yaitu strictly stationarity, second-order stationarity, dan intrinsic stationarity Stricly Stationarity Suatu fungsi random diataan strictly stationarity jia memilii fungsi distribusi umulatif ( CDF ) didefinisian

37 21 Ϝ z s 1, z s 2,.., z s n = Ϝ z s 1+, z s 2+,.., z s n + (2.9) dimana z s 1+, z s 2+,.., z s n+ sama dengan z s 1, z s 2,.., z s n, hanya saja telah dilauan translasi sejauh h. Hal ini berarti umpulan obje observasi tida tergantung pada jara h dan h onstan Second-order Stationarity Second-order stationarity mengasumsian rata-rata onstan untu semua loasi, didefinisian sebagai beriut E z s = m untu semua s D (2.10) Hal tersebut beraibat bahwa Ε z s = Ε z s +, artinya mempunyai nilai rata-rata yang sama untu semua loasi s. Second-order stationarity mengasumsian ovariansi C antara loasi s dan s + ada, dan hanya tergantung pada jara yang tida tergantung pada loasi, didefinisian sebagai beriut : C = Ε z s m z s + m untu semua = Ε z s z s + m 2 (2.11) Untu = 0 diperoleh C( ) yang sering disebut dengan variansi. C( ) = Ε z s m z s + 0 m = Ε z s z s + 0 m 2

38 22 = Ε z s 2 Ε z s 2 = var z s = σ 2 (2.12) Intrinsic Stationarity Vetor z s dalam loasi s D diataan intrinsic stationarity jia memenuhi persamaan : Ε z s + z s = 0 (2.13) var z s + z s = 2γ (2.14) Persamaan (2.13) menjelasan bahwa untu sebarang jara mempunyai nilai harapan (espetasi) antara loasi s + dan s mendeati nol. Dari persamaan (2.14), uantitas 2γ merupaan variogram yang didefinisian sebagai variansi beda pengamatan pada loasi s + dan s. Fungsi ovariansi dan correlogram ada jia fungsi random adalah secondorder stationarity dan berdasaran asumsi pada intrinsic stationarity dapat digunaan untu menurunan variogram. Hubungan antara semivariogram dengan fungsi ovariansi dapat ditulisan sebagai beriut 2γ = var z s + z s = E z s + z s 2 = E z s + 2 2z s z s + + z s 2

39 23 = E z s + 2 E z s z s + + E z s 2 = var z s + + E z s + 2 2E z s z s + +var z s + E z s 2 = 2 var z s 2E z s E z s z s + E z s + = 2σ 2 2C Sehingga diperoleh γ = C 0 C (2.15) Berdasaran persamaan (2.15), semivariogram dan fungsi ovariansi mempunyai bentu yang sama, bedanya hanya saling bertola belaang. Pada saat semivariogram bergera dari nilai rendah e nilai tinggi maa fungsi ovariansi bergera dalam arah sebalinya yaitu dari nilai tinggi e nilai rendah, dapat dijelasan dari gambar beriut : Gambar 2.1. Plot fungsi ovariansi dengan semivariogram

40 Korelasi Spasial Korelasi mencerminan hubungan antara satu data dengan data lain. Sedangan autoorelasi adalah orelasi diri. Ada 2 macam fungsi autoorelasi yani correlogram dan semivariogram. Correlogram merupaan orelasi antara dua variabel random yang dipisahan oleh suatu jara tertentu. Semivariogram adalah perangat untu visualisasi, pemodelan dan esploitasi autoorelasi spasial dari variabel teregionalisasi. Semivariogram dipaai untu menentuan jara dimana nilai-nilai data pengamatan menjadi saling tida tergantung atau tida ada orelasinya Variogram dan Semivariogram Esperimental Variogram merupaan grafi variansi terhadap jara (lag). Hipotesa yang digunaan untu menentuan variogram berdasaran pada sifat intrinsic stationarity pada persamaan (2.13) dan (2.14), tasiran variogram esperimental adalah pada jara adalah : 2γ = 1 N N i=1 z s i + z s i 2 (Cressie, 1993) Sedangan semivariogram adalah setengah dari uantitas γ. Semivariogram dapat digunaan untu menguur orelasi spasial berupa variansi beda pengamatan pada loasi s + dan s. Tasiran semivariogram esperimental pada jara, dapat ditulisan sebagai beriut :

41 25 γ = 1 2N N i=1 z s i + z s i 2 (2.16) Dengan N merupaan banyanya pasangan data untu jara. Tingah lau variogram yang penting diamati adalah sebagai beriut : 1. Nilai variogram diseitar titi awal mencerminan ontinuitas loal dan variabilitas dari data random yang ada. Bila nilai variogram pada =0 tida bernilai 0 maa dapat diataan bahwa variogram mempunyai efe nugget. Nugget mencerminan adanya data sala ecil yang tida diorelasian. 2. Sill adalah nilai semivariogram pada saat tida terjadi peningatan yang signifian (saat semivariogram cenderung mencapai nilai yang stabil). Nilai ini sama dengan nilai variansi dari data tersebut. 3. Partial sill adalah nilai selisih antara sill dan efe nugget. 4. Range merupaan jara dimana nilai mencapai sill. Gambar 2.2. Semivariogram

42 Semivariogram Teoritis Untu analisis lebih lanjut variogram atau semivariogram esperimental harus diganti dengan variogram teoritis yang mempunyai bentu urva paling mendeati dengan variogram esperimental. Dalam analisis data geostatistia, proses pencocoan antara variogram esperimental dengan variogram teoritis ini disebut analisis strutural (structural analisis). Selain itu analisis strutural juga bisa dilauan dengan cara perbandingan mean square error (MSE) dari masing-masing variogram teoritis. Beriut ini adalah beberapa model semivariogram teoritis yang dietahui dan biasanya digunaan sebagai pembanding dari semivariogram esperimental yang telah dihitung Spherical Model Bentu variogram ini diumusan sebagai beriut: γ = C 3 2a C 2a 3 untu a untu > a (2.17) Keterangan:

43 27 1. h adalah jara loasi antar sample 2. C adalah sill, yaitu nilai variogram untu jara pada saat besarnya onstan (tetap). Nilai ini sama dengan nilai variansi data. 3. a adalah range, yaitu jara pada saat nilai variogram mencapai sill Model esponensial (Exponential Model) Pada model esponensial terjadi peningatan dalam semivariogram yang sangat curam dan mencapai nilai sill secara asimtoti, dirumusan sebagai beriut: γ = C 1 exp a (2.18) Model Gauss (Gaussian Model) Model Gauss merupaan bentu uadrat dari esponensial sehingga menghasilan bentu paraboli pada jara yang deat. Model Gauss dirumusan sebagai beriut : γ = C 1 exp a 2 (2.19) Beriut gambar etiga model semivariogram teoritis :

44 28 Gambar 2.3. Model Semivariogram Teoritis. ( diambil dari ) 2.8. Data Spasial Data spasial adalah data yang diperoleh dari hasil penguuran yang memuat informasi mengenai loasi dan penguuran. Data spasial disajian dalam posisi geografis dari obje, loasi, bentu dan hubungan dengan obje-obje lainnya. Misalnya penggambaran arah mata angin pada peta tataguna lahan yang beraitan dengan musim dan sebagainya. Titi, garis, dan luasan digunaan untu menyajian data geografi Model Umum Data Spasial Data spasial harus dimodelan dalam bentu yang sangat sederhana sehingga cuup flesibel untu ditangani mesipun uuranya besar seali. Data yang dipaai dapat berupa data ontinu maupun data disrit, juga dapat berupa agregasi spasial maupun pengamatan pada titi-titi dalam ruang, loasi

45 29 spasialnya dapat regular maupun irregular, dan loasi-loasinya dapat berupa bidang ontinu secara spasial maupun bidang disrit. Beriut adalah gambar ilustrasi dari data spasial : Gambar 2.4. Data spasial Ambil s R d sebagai sebuah loasi data dalam ruang Euclid d-dimensi dan anggaplah bahwa Z(s) adalah vetor random dalam dalam loasi, s adalah nilai aca dan s D, dengan D adalah domain. Selanjutnya aan dibuat agar s bervariasi dalam himpunan indes D d sedemiian rupa sehingga menghasilan medan aca (proses aca) (s) : s D ; yang disebut sebagai model super-populasi untu data spasial Lag Spasial Karateristi dari data spasial adalah adanya etergantungan linier dalam loasi. Tingat perubahan etergantungan linier dealam loasi dinamaan lag spasial. Lag spasial menyataan urutan berdasaran jara antar loasi, digambaran sebagai perubahan posisi suatu loasi tertentu digeser e loasi terdeat diseitarnya dengan jara yang sama. Pada sistem pergeseran loasi

46 30 dapat e arah anan atau iri (timur-barat) dan e arah atas atau bawah (utaraselatan). Data spasial memilii strutur loasi spasial regular (beraturan) maupun irregular (ta beraturan) dan mungin berasal dari loasi spasial ontinu maupun disrit. Pada strutur loasi spasial regular (loasi yang beraturan), lag spasial adalah sistem lattice berupa grid yang biasanya berbentu bujur sangar. Suatu riteria yang biasanya dipaai dalam sistem grid adalah pergeseran yang dapat dilauan hanya satu ali e loasi terdeat dengan jara yang sama untu setiap lag spasial. Selain itu dapat dipilih jara minimum yang dicapai dari suatu loasi tertentu e loasi terdeat diseitarnya. Uuran grid biasanya ditentuan oleh panjang (m) dan lebar (n). Pada strutur loasi spasial irregular (tida beraturan), jara yang memisahan pasangan data cenderung aan bervariasi. Hal ini disebaban arena distribusi loasi yang ta beraturan. Dalam penentuan lag spasial diambil suatu nilai lag nominal spasial yang merepresentasian interval jara tertentu antara pasangan data. Pada penentuan interval jara digunaan suatu lag toleransi yang bertujuan mendapatan jumlah pasangan data yang representatif untu analisis lebih lanjut Tipe-tipe Data Spasial

47 Data Geostatisti Data ini mengarah pada sampel yang berupa titi, bai regular (beraturan) maupun irregular (tida beraturan) dari suatu distribusi spasial ontinu. Data dari setiap sampel titi didefinisian oleh loasi dan bobot nilai penguuran obje yang diamati. Setiap nilai data berhubungan dengan loasinya. Prinsip dasar geostatistia adalah bahwa area yang sering berdeatan aan cenderung memilii bobot nilai yang tida jauh berbeda jia dibandingan dengan area yang berjauhan. Geostatistia mengandung pengertian Ilmu statistia yang diterapan dalam ilmu geologi dan ilmu bumi secara umum. Menurut Cressie (1993), data geostatistia tida hanya terbatas pada lingup bumi saja, tetapi mencaup pada wilayah yang lebih universal yaitu data-data yang berhubungan dengan teori statistia dan apliasinya dengan indes spasial ontinu yang membentu suatu permuaan. Sedangan Isaacs dan Srivasta (1998) menyataan bahwa geostatistia menawaran suatu cara untu menggambaran ontinuitas spasial dari fenomena alam. Tiga omponen penting dalam geostatistia adalah correlogram, fungsi ovariansi dan semivariogram atau variogram yang digunaan untu mendesripsian orelasi spasial dari suatu observasi Data Lattice Data lattice (data area) menggambaran ide titi-titi yang tersebar merata dalam ruang d. Bentu dari lattice (area) tersebut beraturan (regular) maupun

48 32 tida beraturan (irregular) yang diduung informasi lingungan dan dihubungan dengan batas-batas tertentu. Secara definisi data area merupaan sebuah onsep dari garis tepi dan neighbor (tetangga sebelah). Data untu tiap area didefinisian oleh loasi dan bobot nilai penguuranya. Secara umum, data area digunaan pada studi epidemologi, misalnya untu mengetahui pertumbuhan suatu penyait, pada suatu wilayah yang terbagi menjadi area-area tertentu. Perlu diingat bahwa variabel respon didefinisian sebagai himpunan terhitung dari loasi. Sehingga tida mungin dilauan interpolasi arena tida membentu suatu permuaan melainan membentu seumpulan titi yang saling berhubungan Pola titi Pola titi muncul etia variabel penting yang aan dianalisis adalah loasi dari peristiwa pertambangan tersebut. Apaah pola yang diperoleh menggambaran eteracaan spasial sempurna, clustering, atau eteraturan. Contohnya adalah penentuan posisi pohon-pohon dengan uuran tertentu. Apaah pohon-pohon tertentu membentu cluster, Bagaimana pohon-pohon lain berinterasi dengan elompo tersebut, dsb. Variasi uuran-uuran disebut sebuah variabel penanda (mar variable), dan eseluruhan proses selanjutnya disebut sebagai proses titi spasial bertanda (mared spatial point proses). Point patterns adalah data yang diperoleh dari seumpulan titi-titi pada suatu obje pengamatan yang berdistribusi spasial disrit. Sampel yang digunaan adalah sampel ta beraturan atau sampel yang memilii jara yang berbeda. Loasi pola titi diperoleh berdasaran pada posisi oordinat (x,y) dari

49 33 titi-titi yang diamati sedangan data pola titi spasial didapatan dari informasi pada obje yang bersesuaian. Hal terpenting dari analisis pola titi ini adalah untu mengetahui hubungan etergantungan antar titi, masudnya adalah untu mengetahui apaah loasi titi-titi yang menjadi obje-obje penelitian membentu luster atauah regular (beraturan) sehingga dapat dilihat apaah terjadi etergantungan antar titi atau tida. Metode yang paling sering digunaan untu analisis pola titi ini adalah dengan dot map (peta titi). Pemetaan secara lengap dari titi-titi yang menjadi obje penelitian sangatlah penting, arena secara umum sulit untu mengalulasian ecenderungan sebuah pola dari pemerisaan visual pada peta. Data pola titi spasial dapat diobservasian dalam berbagai fenomena yang terjadi di alam.

50 34 BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 3.1. Kriging Kriging adalah salah satu tehni atau metode analisis data yang sering digunaan dalam pertambangan. Secara umum, riging merupaan analisis data geostatistia untu menginterpolasian suatu nilai andungan mineral berdasaran nilai-nilai yang dietahui. Suprajitno (2005) menjelasan bahwa metode ini merupaan metode husus dalam moving average terbobot (weighted moving average) yang meminimalan variansi dari hasil estimasi. Kriging adalah metode estimasi yang memberian estimator BLUE (Best Linier Unbiased Estimator) dari nilai-nilai titi atau rata-rata blo. Metode estimasi ini mempertimbangan fator-fator yang mempengaruhi aurasi estimasi, yaitu: banyanya sampel, posisi sampel, jara antar sampel dengan titi yang aan diestimasi, ontinuitas spasial dari variabel-variabel yang terlibat dll. Dengan ata lain metode ini digunaan untu mengestimasi besarnya nilai arateristi dari estimator (z) pada titi tida tersampel berdasaran informasi dari titi-titi tersampel yang berada diseitarnya. Menurut Ricardo (1999) estimator riging z x 0 dengan x 0 adalah ombinasi linier dari variabel random dengan x i, hal tersebut dapat dilihat pada penarian rumus sebagai beriut: 34

51 35 z x 0 m = λ i i=1 z x i m 3.1 dimana: m λ i x i = nilai mean (onstanta salar) = bobot z(x i ) untu estimasi loasi x. Nilai z(x i ) yang sama aan memilii oefisien bobot yang berbeda untu estimasi pada loasi yang berbeda. = vector loasi berbeda. = banya data yang tersampel untu estimasi. Fungsi random dari persamaan di atas merupaan bentu dari second order stationary, dimana terdapat dua variasi persamaan yang tida mempengaruhi pada translasi spasial. Dua persamaan tersebut adalah: E z(x) = m E z(x) m z(x + ) m = E z(x)z(x + ) m 2 = Cov x, x + = Cov dimana E. sebagai nilai espetasi, m adalah onstanta salar yang juga berarti sebagai mean, adalah vetor jara, dan Cov. adalah nilai ovarian dari fungsi random. Misalan Y x merupaan hasil perbedaan dari z(x) dengan nilai espetasinya: Y x = z(x) E z(x) 3.2 dari persamaan di atas, aan dicari nilai espetasi dari edua ruas, yaitu:

52 36 E Y x = E z(x) E z(x) arena E z(x) = m dan m onstan, sehingga E z(x) juga bersifat onstan, maa : E Y x = E z(x) E z(x) E Y x = 0 emudian, z(x) E z(x) = 0 E z(x) = z(x) = m sehingga dapat diataan bahwa nilai z(x) adalah sama dengan nilai espetasinya E z(x) dan juga sama dengan nilai m sebagai onstanta salar, dari pengembangan persamaan (3.2) ini nantinya aan digunaan untu membutian estimator ta bias pada Universal riging. Tujuan dari riging adalah menentuan nilai oefisien pembobotan λ i yang meminimalan estimasi variansi dapat dinyataan sebagai beriut : σ 2 x 0 = Var z x 0 z x 0 (3.3) dengan estimasi pada masing-masing loasi merupaan perbedaan nilai sebenarnya dari nilai estimator z x 0 dengan nilai z x 0 yang didefinisian : σ 2 x 0 = Var λ i i=1 z x i z x Universal riging Universal riging adalah bentu umum dari simple riging sebagai salah satu cara perluasan dari metode ordinary riging. Universal riging merupaan riging dari data yang mempunyai ecenderungan trend tertentu. Metode ini tepat

53 37 jia digunaan pada nilai-nilai di titi sampel yang memang mempunyai ecenderungan tertentu. Misalnya tebal lapisan bertambah dengan berubahnya arah atau nilai permeabilitas yang berurang dengan menjauhnya loasi dari chanel sand. Dengan menganggap bahwa z x i merupaan bagian variabel random dari ruang lingup d D sebagai daerah spasialnya, estimator universal riging z x 0 untu fungsi random z x i adalah z x 0 = λ i z x i i=1 Dengan asumsi bahwa E z x dan var z x ada, model z x dapat dinyataan sebagai beriut: z x = m x + ε x m x merupaan persamaan dari trend (drift), hasil ombinasi linier dengan oefisien yang tida nol, dengan E z x = m x E z x adalah nilai espetasi dari z x. Untu trend (drift) dari model polinomial f 1 x disajian dalam bentu sebagai beriut: m x = n α l l=0 f l x (3.4)

54 38 dimana f 0 x = 1 dan ε x merupaan error yang memenuhi sifat intrinsic stationarity dengan E ε x = 0. dimana : α l = oefisien trend f l x = oordinat loasi n = banyanya orde dalam persamaan trend. Ricardo (1999) menyataan bahwa, estimator z x 0 adalah sebagai estimator ta bias, jia dan hanya jia : λ i i=1 f l x i = f l x 0 (3.5) persamaan di atas sering disebut universality condition untu l = 1,2,, n. Jia persamaan (3.5) tersebut dialian dengan α l maa aan diberian n + 1 persamaan, yaitu: n α l λ i l=0 i=1 f l x i = n α l l=0 f l x 0 (3.6) pada persamaan sebelah iri, menurut Lemma 6.1 (Ricardo, 1999) jumlahan ganda aan bernilai sama dengan nilai espetasi dari z x. Sedangan pada persamaan sebelah anan aan bernilai sama dengan m x, dan m x = E z x. Jadi persamaan (3.6) aan menjadi: E z x z x = 0 dari persamaan di atas nantinya aan didapatan

55 39 z x = m = z x Maa dapat diataan bahwa estimator dari Universal riging adalah estimator ta bias (unbiased). Selanjutnya dalam universal riging, fungsi trend yang pertama f 0 x bernilai onstan, dengan f 0 x = 1 sehingga berdasaran universality condition diperoleh i=1 λ i = 1 dalam Universal riging, penyamaan dengan nilai 1 diperluan dalam ondisi untu mendapatan estimator ta bias Analisis Trend Goovaerts (1997) menyataan bahwa persamaan yang aan digunaan untu memodelan trend yang aan dipilih dari pendeatan polynomial orde rendah yaitu orde satu atau orde dua. Selanjutnya persamaan polynomial trend yang didapat aan digunaan untu analisis lebih lanjut seperti perhitungan bobot dalam Universal riging. Persamaan polynomial trend orde rendah ( 2 ) yang sering digunaan adalah: 1. Persamaan Trend orde satu di R 3 m x = m x, y, z = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 z 2. Persamaan trend uadrati di R 3 m x = m x, y, z = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 4 x 2 + a 5 y 2 + a 6 z 2 + a 7 xy + a 8 xz + a 10 xyz

56 40 dengan x,y,z merupaan oordinat loasi BLUE (Best Linier Unbiased Estimator) Universal Kriging Seperti yang telah dibahas sebelumnya, bahwa estimator dari riging bersifat BLUE (Best Linear Unbiased Estimator). Begitu juga dengan Universal riging yang menghasilan estimator BLUE atau estimator yang ta bias, linier dan meminimuman variansi estimatornya. Beriutnya aan dibutian bahwa estimator Universal riging juga bersifat BLUE Unbiased Estimator Universal riging merupaan estimator yang ta bias, hal ini dapat ditunjuan dengan z x = m = z x. Pada persamaan (3.5), estimator Universal riging aan bersifat sebagai estimator ta bias jia dan hanya jia λ i i=1 f l x i = f l x 0 persamaan diatas disebut universality condition dengan l = 1,2,, n. Jia persamaan tersebut dialian dengan α l, maa aan diberian n + 1 persamaan, yaitu: n α l λ i l=0 i=1 f l x i = n α l l=0 f l x 0 pada (3.6), menurut Ricardo (1999) jumlahan ganda aan bernilai sama dengan nilai espetasi dari z x. Sedangan pada persamaan sebelah anan aan bernilai sama dengan m x. Sehingga persamaan menjadi : E z x = m x pada persamaan sebelumnya dietahui bahwa m x = E z x, sehingga

57 41 E z x = E z x pada persamaan (3.2) telah dietahui bahwa E z(x) = z(x) = m, maa dari persamaan (3.2) dan (3.7) didapat z x = m = z(x) sehingga dari persamaan diatas diperoleh esimpulan bahwa estimator Universal riging merupaan unbiased atau estimator yang ta bias Linear Telah dijelasan sebelumnya bahwa persamaan estimator Universal riging adalah sebagai beriut : z x 0 = λ i z x i i=1 dari persamaan diatas aan dibutian bahwa estimator Universal riging z x 0 merupaan estimator yang linier. Dari persamaan tersebut, dapat dilihat bahwa estimator z x 0 merupaan fungsi linier dari z x i, arena memilii n penguuran andungan mineral (cadangan) pada loasi 1,2,, n yang dinyataan dalam z x 1, z x 2,, z x n dan ingin di estimasi nilai z x 0 yaitu nilai dari suatu titi tida tersampel z x 0, sealigus sebagai ombinasi linier dari bobot bobot pengaruh dan titi-titi tersampel yang telah dietahui Best Selanjutnya aan dibutian bahwa z x 0 merupaan estimator yang terbai. Dengan menggunaan Langrange Multiplier aan meminimalan variansi estimatornya sebagai beriut :

58 42 Var z x 0 = var λ i i=1 z x i = σ 2 λ i 2 i=1 Untu membutian z x 0 merupaan estimator terbai dapat diselesaian dengan meminimuman persamaan sebagai beriut : min σ λ i,, λ 2 2 λ i n i=1, dimana λ i i=1 = 1 Selanjutnya dengan menggunaan Langrange Multiplier dapat digunaan untu meminimalan variansi estimatornya dapat ditulisan sebagai beriut : L λ, m = σ 2 2 λ i m i=1 λ i i=1 1 (3.8) persamaan (3.8) diturunan terhadap λ 1, λ 2,, λ n dan m, dapat dijabaran sebagai beriut : L λ, m λ i = 0, 2σ 2 λ i m = 0, i = 1,2,, n (3.9) L λ, m m = 0, λ i + 1 = 0 (3.10) i=1 dari persamaan (3.9) diperoleh bahwa λ i = m 2σ 2, beraibat λ 1 = λ 2 = λ 3 = λ n emudian dari persamaan (3.10) diperoleh i=1 λ i = 1 seingga λ i = 1 n untu i = 1,2,, n

59 43 dengan demiian diperoleh : z x 0 = λ i i=1 z x i = i=1 1 z x n i = 1 n i=1 z x i = z x Syarat minimumnya turunan edua pada persamaan (3.9) adalah L λ, m m > 0, didapat 2σ2 > 0 sehingga dapat diataan bahwa variansi estimatornya minimum. Kemudian menentuan nilai oefisien pembobotan λ i yang meminimalan estimasi variansi error sebagai beriut : Var e z x 0 = E z x 0 z x 0 2 = E z x 0 2 λ i z x i (3.11) i=1 dari persamaan (3.11) dengan asumsi bahwa diperoleh 2γ = Var z x + z x Var e x 0 = λ i λ j γ x i x j + 2 λ i γ x 0 x j (3.12) i=1 j =1 j =1 Selanjutnya digunaan Lagrange Multiplier untu meminimalan estimasi variansi error dengan parameter m 0, m 1, m 2,, m p sebagai beriut : F λ, m = λ i λ j γ x i x j + 2 λ i γ x 0 x j i=1 j =1 j =1

60 44 p+1 2 m i 1 λ i f t 1 x i f t 1 x 0 t=1 i=1 (3.13) Untu meminimalan estimasi variansi error, persamaan (3.13) diturunan terhadap λ 0, λ 1, λ 2,, λ p dan dijabaran sebagai beriut : F λ, m = 0, 2 λ λ i γ x 1 x j + 2γ x 0 x 1 2 m t f t = 0 1 j =1 p t=0 p F λ, m = 0, 2 λ λ i γ x 2 x j + 2γ x 0 x 2 2 m t f t = 0 2 j =1 t=0 p F λ, m = 0, 2 λ λ i γ x 3 x j + 2γ x 0 x 3 2 m t f t = 0 3 j =1 t=0 p F λ, m = 0, 2 λ λ i γ x 4 x j + 2γ x 0 x 4 2 m t f t = 0 4 j =1 t=0 F λ, m = 0, 2 λ λ i γ x n x j + 2γ x 0 x n 2 m t f t = 0 n j =1 generalisasi dari penjabaran di atas dapat ditulis sebagai beriut : λ i j =1 γ x i x j γ x 0 x i + m t f t x i = 0 p t=0 p t =0 λ i j =1 γ x i x j + p t=0 m t f t x i = γ x 0 x i, untu i = 1,2,, n (3.14) langah beriutnya, persamaan (3.13) diturunan terhadap m 0, m 1, m 2,, m p dan dijabaran sebagai beriut :

61 45 F λ, m = 0, 2 λ m j f 0 x j 0 j =1 F λ, m = 0, 2 λ m j f 1 x j 1 j =1 F λ, m = 0, 2 λ m j f 2 x j 2 j =1 + 2f 0 x 0 = 0 + 2f 1 x 0 = 0 + 2f 2 x 0 = 0 F λ, m = 0, 2 λ m j f p x j p j =1 + 2f p x 0 = 0 generalisasi dari penjabaran sebelumnya dapat ditulisan sebagai beriut : j =1 λ j f t x j f t x 0 = 0, untu i = 1,2,, p didapat j =1 λ j f t x j = f t x 0 (3.15) untu t = 0 didapat j =1 λ j f 0 x j = f 0 x 0, arena f 0 x = 1 maa λ j j =1 = 1 dari persamaan (3.14) dan (3.15) dapat ditulisan sebagai beriut :

62 46 λ i j =1 γ x i x j + p t=0 m t f t x i = γ x 0 x i, untu i = 1,2,, n λ j f 0 x j = f 0 x 0, untu t = 1,2,, p j =1 λ j j =1 = 1 (3.16) dengan melauan subtitusi dari persamaan (3.16) e dalam persamaan (3.12), variansi error dapat diyataan sebagai beriut : Var e x 0 = λ i λ j γ x i x j + 2 i=1 j =1 j =1 = λ i γ x i x j + 2 j =1 j =1 λ i λ i γ x 0 x j γ x 0 x j = λ i j =1 γ x 0 x j m t f t x 0 p t=0 + 2 λ i γ x 0 x j j =1 p = λ i γ x 0 x j + λ i j =1 i=1 t =0 m t f t x λ i γ x 0 x j j =1 p = λ i γ x 0 x j + λ i m t f t x 0 j =1 i=1 t =0 p Var e x 0 = λ i γ x 0 x j + λ i m t f t x 0 j =1 i=1 t=0 secara umum (3.16) dalam notasi matris sebagai beriut : γ s i s j f t s i f t s j 0 λ j m t = γ s 0 s i f t s 0, untu i = 1,2,, n dan t = 0,1,, p

63 47 dengan notasi matris di atas, maa dapat dihitung matris bobot dari Universal Kriging, yaitu : λ j m t = γ s i s j f t s i f t s j 0 1 γ s0 s i f t s 0 (3.17) dimana : γ s i s j = semivariogram antar titi-titi tersampel γ s 0 s i = semivariogram antar titi tersampel dengan titi estimasi f t s i, f t s j = oordinat loasi dari data tersampel λ j = nilai dari bobot yang aan dicari m t = nilai dari parameter Lagrange s i, s j = loasi dari data tersampel s 0 = loasi dari data yang ingin diestimasi p = banyanya orde dalam persamaan trend Jia persamaan trend yang diperoleh berorde satu di R 3 dengan persamaan sebagai beriut: m s = m x, y, z = a 0 + a 1 x + a 2 y + a 3 z dimana x,y,z adalah oordinat loasi titi tersampel, maa untu persamaan (3.16) menjadi seperti beriut ini : n λ j j =1 γ s i s j + m 0 + m 1 x i + m 2 y i + m 3 z i = γ s 0 s i, n j =1 n j =1 n λ j x j = x λ j y j = y j =1 n λ j j =1 λ j z j = z = 1 i = 1,2, n

64 48 jia direpresentasian e dalam bentu matris maa aan dihasilan seperti beriut ini : dan matris matris bobotnya menjadi K KT λ KT = KT λ KT = K KT 1 KT dengan K KT = γ s 1 s 1 γ s 1 s n 1 x 1 y 1 z 1 γ s n s 1 γ s 1 s n 1 x n y n z n x 1 x n y 1 y n z 1 z n λ KT = λ 1 λ n m 0 m 1 m 2 m 3, KT = γ s 0 s 1 γ s 0 s n 1 x y z Second Order Stationary dari Universal Kriging Dalam Universal Kriging, data mempunyai ecenderungan tertentu yaitu terdapat pola perubahan rata-rata seiring dengan berbedanya loasi, sehingga sifat second-order stationarity (stasioner orde dua) tida berlau. Diataan stasioner orde dua jia memenuhi syarat-syarat, diantaranya rata-rata onstan untu setiap loasi. Untu itu dapat dibutian sifat non-stationarity dari Universal Kriging yaitu:

65 49 E z x = E m x + ε x = E m x + E ε x = E m x = E α l f l x terlihat bahwa E z x tergantung pada loasi x. Sehingga dapat disimpulan bahwa model pada Universal Kriging mempunyai ecenderungan trend tertentu Semivariogram Universal Kriging Semivariogram adalah perangat dasar dari geostatisti untu visualisasi, pemodelan dan esploitasi autoorelasi spasial dari variabel teregionalisasi. Variogram adalah uuran dari variansi, sedangan semivariogram adalah setengah dari nilai variogram. Tasiran semivariogram universal riging pada jara ditulisan dalam persamaan sebagai beriut : n l=0 2γ = 1 N N i=1 z s i + m s i + z s i + m s i 2 (3.18) dengan N adalah banyanya pasangan data untu jara dan m s adalah persamaan trend Algoritma pengestimasian Dalam menganalisis atau mengestimasi suatu data, diperluan beberapa langah sebagai beriut : 1. Memplotan data edalam 3D untu mengetahui ecenderungan trend. 2. Melauan analisis trend dengan memplotan nilai data andungan dengan oordinat loasinya x, y, z. 3. Melauan perhitungan semivariogram untu Universal riging.

66 50 4. Melauan analisis strutural, dengan membandingan semivariogram untu Universal riging dari perhitungan dengan semivariogram teoritis, emudian dipilih semivariogram teoritis terecil. 5. Menghitung nilai bobot λ 1, λ 2,, λ n dengan menggunaan variogram yang telah dihitung pada analisis strutural. 6. Menghitung z x 0 atau estimasi andungan mineral beserta variansi errornya Diagram pengestimasian andungan air tanah menggunaan metode Universal riging

67 51 Gambar 3.1. Diagram langah estimasi Universal riging 3.5. Apliasi Tujuan yang ingin dicapai dari tulisan ini adalah ingin mengetahui seberapa besar andungan air tanah setelah di estimasi dengan menggunaan metode Universal Kriging. Perlu dietahui bahwa air tanah memilii arateristi

68 52 dengan bertambahnya porositas air mengiuti pertambahan edalamanya yang berarti bahwa andungan air tanah aan semain besar apabila letanya semain dalam. Karateristi seperti ini merupaan ecenderungan trend dari air tanah dan juga dianggap coco untu dilauan uji estimasi andungan air tanah dengan metode Universal Kriging Definisi Air Tanah Air tanah didefinisian sebagai semua air yang terdapat dalam ruang batuan dasar atau aliran yang secara alami mengalir e permuaan tanah melalui pancaran atau rembesan. Menurut (Linsley, 1996: 80) deposit glasial pasir dan eriil, dan deposit delta pasir merupaan sumber-sumber air yang sangat bai. Air tanah yang berasal dari peresapan air permuaan disebut air meteori (meteoric water). Jumlah air tanah yang dapat di simpan dalam batuan dasar, sedimen dan tanah sangat bergantung pada permeabilitas. Permeabilitas merupaan emampuan batuan atau tanah untu melewatan atau melolosan air. Air tanah mengalir melewati rongga-rongga yang ecil, semain ecil rongganya semain lambat alirannya. Porositas sangat berpengaruh pada aliran dan jumlah air tanah. Porositas adalah jumlah atau persentase pori atau rongga dalam total volume batuan atau sedimen. Porositas dapat di bagi menjadi dua yaitu porositas primer dan porositas seunder. Porositas primer adalah porositas yang ada sewatu bahan tersebut terbentu sedangan porositas seunder di hasilan oleh retaanretaan dan alur yang terurai.

69 53 Porositas merupaan anga tida berdimensi yang diwujudan dalam bentu %. Porositas untu tanah normal berisar antara 25 % sampai 75 %, sedangan untu batuan yang teronsolidasi berisar antara 0 sampai 10 %. Tanah berbutir halus mempunyai porositas yang lebih besar dibandingan dengan tanah berbutir asar Pendesripsian Data Data yang diperoleh adalah sebuah gambaran data yang menjelasan oordinat loasi dan porositas dari sebuah pengeboran air tanah. Seperti pada umunya suatu pengeboran membutuhan oordinat loasi untu menentuan leta titi bor dari suatu mineral dan juga suatu uuran dari jumlah andungan suatu mineral yang sebelumnya atau dalam hal ini merupaan porositas. Seperti yang telah dijelasan sebelumnya bahwa porositas sangat berpengaruh pada jumlah andungan air tanah yang di bawanya maa yang di jadian uuran untu pengestimasian adalah porositasnya. Data yang dipaai merupaan data yang terdiri dari oordinat loasi x (xcoordinat), oordinat loasi y (y-coordinat), edalaman (z-coordinat), dan porosity (sebagai uuran andungan air tanah). Beriut ini adalah tabel data porositas air tanah. No x y Z Porosity

70 Tabel 3.1. Tabel data porositas dengan oordinat loasinya (data selengapnya dapat dilihat pada lampiran) Tabel 3.1 di atas merupaan data yang terdiri dari 94 data porositas air tanah beserta leta oordinat loasinya. Dari tabel di atas dietahui oordinat loasi x meter, y meter, z meter dan juga diperoleh porositas air tanah dalam % (telah dijelasan sebelumnya bahwa porositas dinyataan dalam bentu %). Kemudian e-94 data dari tabel di atas aan dilauan plot untu mengetahui titi titi sebaran dari porositas air tanah tersebut. Plot data dilauan dengan menggunaan program Minitab 15. Tujuan dari pengeplotan ini adalah untu mengetahui apaah data yang diperoleh mempunyai estasioneritasan atau tida. Kestasioneritasan aan nampa setelah titi titi tersebut di plotan dan dari

71 55 situ aan terlihat apaah ada ecenderungan trend tertentu atau tida. Beriut ini adalah plot sebaran data dari tabel di atas. Gambar 3.2. Plot sebaran data dengan Minitab 15 Untu memudahan gambaran tentang tingat stasioneran, beriut ini adalah tampilan dua buah grafi stasioneritasan. Grafi sebelah iri merupaan variabel stasioner sedangan grafi sebelah iri merupaan variabel nonstasioner. (Suprajitno, 2005 : 6) menyataan tampilan grafi stasioner dan nonstasioner. Beriut ini adalah grafi stasioner dan nonstasioner.

72 56 Gambar 3.3. Stasionary variable dan Non-stasionary variable Sebuah variabel stasioner tida memilii sebuah trend sedangan variabel nonstasioner jia ita lihat terdapat lengungan dari semua variabelnya, hal itulah yang emudian dinamaan trend dari variabel non-stasioner. Setelah melihat dan membandingan pada Gambar 3.2 dengan Gambar 3.3, maa dari hasil plot pada Gambar 3.2 di atas memillii sebuah lengungan atau dengan ata lain plot dari e-94 data pada Tabel 3.1 diatas memilii ecenderungan trend, sehingga plot data diatas dapat digolongan e dalam variabel non-stasioner. Kestasioneran juga dapat dibutian dengan ada atau tidanya sebuah gradasi warna dari data tersebut. Untu itu data dari Tabel 3.1 aan di plotan edalam grafi 3D dengan menggunaan bantuan Matlab R2008a. Setelah dilauan plot data 3D maa aan diperoleh hasil sebagai beriut.

73 57 Gambar 3.4. Plot 3D e dalam Matlab Dari gambar diatas dapat ita lihat bahwa sumbu x dan sumbu y menyataan oordinat loasi, sedangan sumbu z menyataan edalaman. Sedangan titititi yang tersebar menunjuan porositas dan warna dari titi-titi tersebut tergantung dari oordinat loasinya. Jia ita amati secara eseluruhan terdapat gradasi warna dari ungu menuju e uning berdasran bertambahnya edalaman, yaitu dari edalaman yang berisar antara 8 m sampai 16 m. Dapat diataan bahwa plot diatas mengandung ecenderungan trend tertentu sehingga dapat terlihat semain bertambahnya edalaman (z), maa endungan atau cadangan air semain besar pula. Berdasaran buti-buti diatas maa data tersebut digolongan variabel non-stasioner. Setelah dilauan ploting data, untu mengetahui ringasan dari data tersebut dilauan ringasan data dari tabel di atas. Ringasan data dari Tabel 3.1 dilauan dalam program R dengan bantuan summary. Ringasan datanya sebagai beriut. x y Z Porositas Minimum st Quartil Median Mean rd Quartil Maximum Tabel 3.2. Ringasan data Dari ringasan data di atas dapat dilihat bahwa oordinat x (absis x) mempunyai nilai minimum m dan masimalnya m, oordinat y (ordinat y)

74 58 memilii nilai minimum m dan nilai masimal m, oordinat z (edalaman) memilii nilai minimum 18 m dan nilai masimal 47 m, sedangan untu porositas atau andungan air tanah memilii nilai minimum 8 m dan nilai masimalnya 15.8 m Sistem Pemrograman Dalam mempermudah analisis data, maa digunaan program-program yang beraitan dengan pengestimasian data tersebut. Program yang digunaan adalah program R dan juga program Matlab. Program R digunaan untu menjalanan proses estimasi andungan air tanah,dengan beberapa pacages tertentu yang dipaai untu menghitung nilai semivariogram yang dibutuhan dalam metode Universal riging, sedangan program Matlab digunaan untu membuat peta sebaran data andungan air tanah, agar nantinya dapat mempermudah dalam proses visualisasi data Asumsi Non-Stasioneritas Data Dengan melauan pengamatan pada gambar plot sebaran data dari tabel gambar di atas, maa uji stasioneritas dapat dilauan. Data diataan stasioner jia sebaran data pada loasi tertentu mempunyai sebaran data yang aca atau tida bergantung pada loasi atau fator apapun. Sebalinya data diataan nonstasioner jia data mempunyai sebaran yang teratur (tida aca) dan juga bergantung pada fator tertentu. Dari tabel gambar di atas dapat dilihat secara visualisasi bahwa terdapat gradasi warna dari ungu e uning pada sebaran data tersebut. Ini dapat diataan bahwa data tersebut mempunyai etergantungan oleh fator tertentu. Dapat

75 59 diataan juga bahwa data diataan stasioner jia tida tida terdapat gradasi warna pada sebaran datanya, sedangan diataan non-stasioner jia terdapat gradasi warna dalam sebaran datanya. Sehingga dapat diataan bahwa sebaran data andungan air tanah merupaan data non-stasioner, yang juga terdapat pola ecenderungan terhadap edalaman Analisis Data Aan dilauan analisis regresi sederhana dengan SPSS untu mengetahui hubungan antara edalaman (z) dengan porositas (p). Beriut ini adalah langahlangah analisis data yang harus dilauan dalam SPSS untu mendapatan output yang dihasilan adalah : 1. Masuan data edalaman (z) dan porositas (p) pada Data View dengan olom pertama adalah data edalaman (z) dengan label edalaman, emudian olom edua adalah data porositas (p) dengan label porositas. 2. Pilih Analyze Regression Curve Estimation 3. Masuan variabel edalaman pada independent list dan variabel porositas pada dependent list. 4. Pada Models pilih Linear, emudian li continue. 5. Atifan Display ANOVA Table, li OK. 6. Tabel Output dapat dilihat sebagai beriut :

76 60 Tabel 3.3. Tabel Anova Tabel 3.4. Tabel Coefficients Gambar 3.5. Plot hubungan edalaman (z) dengan porositas (p) 1. Uji ecocoan model linier

77 61 Hipotesis : H 0 H 1 : Regresi linier tida coco digunaan : Regresi linier coco digunaan Taraf signifiansi α = 0,05 Statisti uji : Uji F Kriteria eputusan H 0 ditola jia F hit > F α,db = (1,N-2) atau H 0 ditola jia nilai sig. (tabel) < α = 0,05 Kesimpulan : Dari tabel Anova di atas nilai F hitung = 7,457 > F 0,05(1,92) = 3,948 maa H 0 ditola, sedangan untu nilai sig. (tabel) = 0,008 < taraf sig.α = 0,05 juga menola H 0 berarti H 1 diterima atau dengan ata lain Model regresi linier coco di gunaan. 2. Uji signifiansi oefisien Hipotesis : H 0 H 1 : Koefisien regtresi tida signifian : Koefisien regresi signifian Taraf signifiansi α = 0,05 Statisti uji : Uji T Kriteria eputusan H 0 ditola jia T hit > T α,db = N-2 atau H 0 ditola jia nilai sig. (tabel) < α/2 = 0,025 Kesimpulan :

78 62 Dari tabel coefficients nilai T hit = 2,731 > T (0.05,92) = 1,9884 sedangan nilai sig. (tabel) = 0,008 < α/2 = 0,025 dari riteria eputusan diatas maa dapat disimpulan bahwa H 0 ditola atau dengan ata lain H 1 diterima sehingga oefisien regresi signifian atau edalaman berpengaruh secara signifian terhadap porositas. Selanjutnya yaitu ita mendapatan persamaan regresi dari output yang dihasilan untu mempredisi variabel Y, yaitu : Y = 9, ,76 X dengan Y adalah porositas dan X adalah edalaman. Atau persamaan regresi tersebut dapat ditulis sebagai beriut : porositas = 9, ,76 nilai edalaman. Artinya jia nilai edalaman sama dengan nol (0) maa nilai porositas sama dengan 9,560 sedangan jia nilai edalaman nai sebanya satu satuan maa nilai porositas aan bertambah sebanya 0,76 satuan. 3. Plot hubungan edalaman (z) dengan porositas (p). Dari plot hasil SPSS pada gambar 3.5 di atas menunjuan bahwa titi-titi berada diseitar garis regresi, maa dapat diataan bahwa edalaman dengan porositas mempunyai hubungan. Sedangan untu tabel summary dapat dilihat bahwa nilai R-square yani sebesar 7,5 % mampu menerangan nilai porositas Semivariogram Universal Kriging dan Analisis Strutural Untu membuat semivariogram universal riging, yang diperluan adalah membuat pasangan data tersampel dengan dengan adalah banyanya data. Dietahui bahwa data berjumlah 94 data, maa dengan atau

79 63 dihasilan sejumlah 4371 pasangan data. Dengan bantuan pacage gstat dan sp pada program R, maa aan dicari nilai sill dari pasangan data tersebut Semivariogram air tanah Pasangan Jara Semivariogram Tabel 3.5. Tabel semivariogram beserta pasangan data dan jaranya. Dari hasil perhitungan semivariogram air tanah tersebut, diperoleh jumlah pasangan data pada masing-masing elas dan juga jara dari setiap pasangan data beserta nilai semivariogramnya. Sedangan plot semivariogramnya sebagai beriut : Gambar 3.6. Plot semivariogram esperimental air tanah Dari gambar 4 di atas nilai semivariogram terlihat stabill setelah mencapai jara (meter) dengan nilai semivariogram 2.54 (meter), sedangan nilai sill (h) = Hasil analisis strutural diperoleh semivariogram dengan model

80 64 exponential, model tersebut diambil setelah di bandingan dengan beberapa semivariogrm yang dianggap coco dengan metode Universal riging Estimasi andungan air tanah Dari data pada Tabel 3.1 didapatan sebanya loasi yang aan diestimasi. Setelah dilauan estimasi data dengan program R maa di dapatan hasil estimasi beserta variansi errornya. Beriut adalah table hasil estimasinya. Tabel hasil estimasi. Coordinat estimasi cadangan variansi eror (0.614, 0.142, 19) (0.68, 0.142, 19) (1.01, 0.142, 19) (1.076, 0.142, 19) (1.142, 0.142, 19) (1.208, 0.142, 19) (1.274, 0.142, 19) (1.34, 0.142, 19) (1.406, 0.142, 19) (1.472, 0.142, 19) (1.868, 0.142, 19) (1.934, 0.142, 19) (2, 0.142, 19) (2.066, 0.142, 19) (2.132, 0.142, 19) (2.198, 0.142, 19) (1.406, 4.65, 47.8) (1.472, 4.65, 47.8) (1.538, 4.65, 47.8) (1.604, 4.65, 47.8) (1.67, 4.65, 47.8) (1.736, 4.65, 47.8) (2.396, 4.65, 47.8)

81 65 (2.066, 4.811, 47.8) (2.132, 4.811, 47.8) (2.198, 4.811, 47.8) (2.264, 4.811, 47.8) (2.33, 4.811, 47.8) (2.396, 4.811, 47.8) (2.462, 4.811, 47.8) (2.528, 4.811, 47.8) Tabel 3.6. Tabel hasil estimasi andungan air tanah beserta variansi error. Dari tabel hasil estimasi aan di lihat plot gambar dari hasil cadangan estimasi berdasaran oordinat loasinya (x,y,z). Plot 3D data di atas menggunaan bantuan Matlab, emudian aan di lihat dari berbagai sudut pandang berdasaran oordinatnya. Hasil plot aan menunjuan leta dari titi titi estimasi dan juga gradasi warna sesuai dengan tingat edalaman dari hasil estimasi andungan air tanah. Beriut ini adalah plot 3D hasil estimasi andungan air tanah dengan Matlab. Gambar 3.7. Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x,y,dan z

82 66 Gambar 3.8. Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x dan z Gambar 3.9. Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat y dan z Gambar Plot hasil estimasi andungan air tanah dari oordinat x dan y Secara pratis dari e empat plot data tersebut terdapat gradasi warna, dari uning menuju e merah, maa plot data di atas menunjuan hubungan antara

83 67 edalaman dengan andungan air tanah yaitu jia semain dalam (z) maa andungan air tanah aan bertambah banya juga.

84 68 BAB IV PENUTUP A. Kesimpulan Setelah melauan analisis data dan mengetahui hasil estimasi beserta plot data hasil estimasi dengan metode Universal riging, maa esimpulan yang dapat di ambil adalah sebagai beriut ini : 1. Universal riging adalah salah satu metode dari riging untu mempredisi atau mengestimasi andungan mineral dalam pertambangan. Metode Universal riging ini diterapan pada data yang mempunyai ecenderungan trend tertentu atau data yang non-stasioner. 2. Estimator yang dihasilan pada metode Universal riging adalah estimator yang bersifat BLUE ( Best Linier Unbiased Estimator ) yaitu estimator yang tida bias, linier dan punya nilai variansi estimator minimum. 3. Beriut adalah langah langah estimasi andungan mineral dengan menggunaan Universal riging : a. Menggambaran data atau memplotan data edalam grafi 3D untu mengetahui ecenderungan trend. b. Melauan analisis trend dengan memplotan nilai data andungan dengan oordinat loasinya ( x,y,z ).

85 69 c. Melauan perhitungan semivariogram untu Universal riging. d. Membandingan semivariogram dari perhitungan dengan semivariogram teoritis, emudian dipilih semivariogram teoritis yang dianggap paling mendeati dan yang paling minimum dengan semivariogram dari Universal riging. 4. Pada asus ini, Universal riging diapliasian untu mengestimasi andungan air tanah. Data air tanah yang di peroleh sebanya 94 data yang terdiri dari oordinat loasi beserta andungan air tanah yang berada di Kansas. Setelah melalui uji stasioneritas dan analisis trend, dietahui bahwa e-94 data tersebut merupaan data non-stasioner dan juga memilii trend. Kemudian dilauan estimasi sebanya loasi yang diperoleh dari ombinasi linier e-94 oordinat loasi dari data tersampel tersebut. Dari data tersebut di lauan perhitungan semivariogram dengan menggunaan program R. Hasil perhitungan dengan program R didapatan nilai 2, Setelah dietahui nilai sill tersebut, emudian dilauan analisis strutural dengan bantuan Ms. Excel sehingga diperoleh nilai sill yang mendeati 2, yaitu sebesar 2,54051 dan nilai range sebesar 20,02. Dari perhitungan ini dipilih semivariogram teoritis model esponensial. Dipilihnya model esponensial diarenaan semivariogram ini mempunyai nilai MSE yang terecil dari pada model gauss dan model spherical. Setelah didapatan

86 70 semivariogram model esponensial maa estimasi andungan air tanah beserta variansi error dari17307 loasi dapat dihitung. B. Saran Metode Universal riging ini hanya mampu mengestimasi data tambang yang bersifat non-stasioner diarenaan data yang diestimasi mempunyai ecenderungan trend. Sedangan data-data tambang yang tida memilii trend atau yang bersifat stasioner dapat dilauan estimasi dengan menggunaan metode Ordinary riging. Dalam suatu pertambangan, biasanya juga aan ditemuan beberapa andungan mineral lain yang mungin berbengaruh terhadap andungan mineral yang diestimasi. Untu mengatasi hal tersebut dibutuhan metode estimasi Universal co-riging. Universal coriging ini merupaan metode estimasi yang memperhitungan oefisien dari variabel lain.

87 71 DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (1995). Aljabar Linear Elementer (edisi elima). (Terjemahan oleh Pantur Silaban & I. Nyoman Susila). Jaarta: Erlangga. Away, Gunaidi A. (2006). The Shortcut of MATLAB Programming. Bandung : Informatia. Bain & Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics 2 nd Edition. California: Duxbury Press. Bohling, G. (2005). Kriging. Tersedia di diases tanggal 15 Otober Chiles, Jean-Paul. (1999). Geostatistics: Modeling Spatial Uncertainty. John Wiley and Sons, Inc. Canada. Cressie, N. A. C. (1993). Statistics For Spatial Data. New Yor: John Wiley and Sons, Inc. Gauss-Marov Theorem. Tersedia di econweb.rutgers.edu/tsurumi/blue1.pdf diases tanggal 12 Otober Goovaerts, P. (1997). Geostatistics for Natural Resource Evaluation. Oxford University Press, New Yor Judge, G.G. et al. (1982). Introduction to the Theory and Practice of Econometrics. John Wiley and Sons, Inc, New Yor. Linsley, R. K. (1996). Hidrologi Untu Insinyur. Jaarta: Penerbit Erlangga. Olea, Ricardo A. (1999). Geostatistics for engineers and earth scientists.kluwer Academic Publishers. United States of America. Riwidido, H. (2008). Statistia Terapan dengan Program R versi (open source). Jogjaarta : MITRA CENDEKIA Press. Santosa, B. (2007). Data Mining Terapan MATLAB. Yogyaarta : GRAHA ILMU. 71

88 72 Santosa, Purbayu B. (2005). Analisis Statistia dengan Microsoft Excel & SPSS. Yogyaarta : Andi. Setyadji, B. (2005). Data Geostatisti. Tersedia di Diases tanggal 05 Januari Suprajitno Munadi. (2005). Pengantar Geostatisti. Jaarta: Universitas Indonesia. Walpole, R. E. (1982). Pengantar Statistia, Edisi etiga. (Terjemahan Bambang Sumantri). Jaarta: PT Gramedia Pustaa Utama.

89 LAMPIRAN

90 73 Lampiran 1 Data titi oordinat (meter) dan porositas air tanah (persen) no X y z p

91

92 75 Keterangan : x = Titi absis loasi air tanah y = Titi ordinat loasi air tanah z = Titi elevasi loasi air tanah p = Nilai andungan air tanah

93 76 Lampiran 2 Perhitungan Semivariogram Esperimental Data yang diperoleh sebelumnya disimpan dalam bentu.txt e dalam notepad. Pemanggilan data dilauan dalam program R dengan bantuan pacages gstat dan sp yang sesuai dengan riteria data geostatisti. Beriut adalah sintax program R untu menghitung semivariogram : a=read.table("coordinatdanporosity.txt",header=true) b=as.matrix(a) coordinates(a)=~x+y+z Syntax program R untu menghitung semivariogram esperimental : format =function(b) { n=length(b[,1]) A=matrix(0,n,n) distance=matrix(0,n,n) for(i in 1:n) { for(j in 1:i) {distance[i,j]=distance[j,i]=(sqrt((b[i,1]- b[j,1])^2+(b[i,2]-b[j,2])^2+(b[i,3]-b[j,3])^2))}

94 77 } maxdist=max(distance) class=1+3.3*log10(n) width=ceiling(maxdist/class) batasmaxclass=width*(ceiling(class)) variogram=variogram(p~x+y+z,coordinates=~x+y+z,cutoff=bat asmaxclass,width=width,a) variansi=var(a$p) cat("diperoleh nilai sebagai beriut ini :\n") cat("masimum jara\t = ",maxdist,"\n") cat("class \t\t = ",class,"\n") cat("width \t\t = ",width,"\n") cat("variansi(sill) = ",variansi,"\n") cat("\n") cat("nilai semivariogramnya : \n") cat("\n") print(variogram) }

95 78 Lampiran 3 Output semivariogram esperimental

96 79 Lampiran 4 Perbandingan semivariogram esperimental dengan semivariogram teoritis menggunaan model spherical, esponensial dan Gaussian. Nilai sill yang digunaan adalah nilai variansi batubara yaitu 2,782 sedangan range sebesar 20,02 (meter). Hasil diperoleh dengan bantuan dari Microsoft excel sebagai beriut : Kelas np dist gamma sph exp gauss 0 - < 3, , , , , , ,64 - < 7, , , , , , ,28 - < 10, , , , , , ,92 - < 14, , , , , , ,52 - < 18, , , , , , ,2 - < 21, , , , , , ,84 - < 25, , , , , , ,48 - < 29, , , , , , MSE 2, , ,

97 80 Lampiran 5 Plot eempat model semivariogram

98 81 Lampiran 6 Syntax program R beserta hasil estimasi porositas menggunaan metode Universal riging Syntax program R untu menghitung estimasi porositas dengan model semivariogram exponential: