Optimasi Non-Linier. Metode Numeris

Transkripsi

1 Optimasi Non-inier Metode Numeris

2 Pendahuluan Pembahasan optimasi non-linier sebelumnya analitis: Pertama-tama mencari titi-titi nilai optimal Kemudian, mencari nilai optimal dari fungsi tujuan berdasaran titi-titi optimal yang telah ditemuan Pada metode numeris langah hitungan yang dilauan justru ebalian dari metode analitis, Pada metode ini leta titi optimum ditentuan dengan menyelidii nilai fungsinya, Titi yang mempunyai nilai fungsi terbesar atau terecil dibandingan dengan nilai fungsi pada titi-titi yang lain itulah titi optimumnya, Jadi leta titi optimum dihitung terahir.

3 Pendahuluan Dalam bab ini aan dibahas metode numeris dalam optimasi satu variabel tanpa endala, yang secara garis besar dibagi sebagai beriut:. Teni eliminasi a. Pencarian bebas a Dengan langah tetap b Dengan percepatan langah b. Pencarian lengap c. Pencarian diotomi d. Pencarian Fibonacci e. Pencarian Emas. Teni pendeatan Newton uadrati

4 Pendahuluan 3 Metode numeris yang aan dibahas disini hanya berlau untu suatu fungsi unimodal. Fungsi unimodal yaitu suatu fungsi yang hanya mempunyai satu punca maimum atau satu lembah minimum. Jia ternyata fungsi tujuan yang aan dioptimasian bersifat multimodal berpunca banya pada interval yang menjadi perhatian, maa interval tersebut harus dibagi menjadi interval-interval yang lebih ecil sedemiian rupa sehingga pada interval-interval ecil tersebut fungsi tujuan bersifat unimodal.

5 Teni Eliminasi pencarian bebas Dengan langah tetap Pendeatan paling dasar dari permasalahan optimasi adalah penggunaan langah tetap berangat dari titi tebaan pertama dan bergera earah yang diehendai. Diandaian permasalahan yang dihadapi adalah minimisasi suatu fungsi tujuan, maa teni ini dapat dijabaran sebagai beriut:. Mulai dengan tebaan titi pertama, misalan.. Hitung f = f. 3. Pilih sebuah uuran langah misalan s, hitung = + s. 4. Hitung f = f. 5. Jia f < f, maa pencarian dapat diterusan earah ini sepanjang titi-titi 3, 4, dengan melauan tes pada setiap dua titi yang terahir. Cara ini ditempuh terus sampai dicapai suatu eadaan dimana i = + i s memperlihatan enaian pada nilai fungsinya. 6. Pencarian dihentian pada i, dan i atau i dapat dianggap sebagai titi optimum. 7. Jia f > f, pencarian harus dilauan earah yang berlawanan yaitu sepanjang titi-titi, 3, dengan j = j s. 8. Jia f = f, maa titi optimum terleta diantara titi-titi dan. 9. Jia ternyata f dan f mempunyai nilai lebih besar dari f, maa titi optimum terleta diantara titi-titi dan.

6 Teni Eliminasi pencarian bebas Contoh: Cari maimum dari fungsi beriut ini menggunaan metode pencarian bebas dengan = - dan s =,4!!! f 3 untu untu

7 Teni Eliminasi pencarian bebas 3 Dengan Percepatan angah Walaupun pencarian dengan langah tetap sangat sederhana dan mudah, tetapi sangat tida efisien. Salah satu cara untu mempercepat proses pencarian titi optimum tersebut adalah dengan memperbesar langah pencarian sampai titi optimum terurung. Salah satunya adalah dengan mengurangi besar langah pada saat titi optimum sudah terurung dalam i, i. Dengan mulai lagi hitungan dari titi i atau i- prosedur di atas dapat diulangi lagi dengan langah pencarian diperecil sampai dicapai pengurungan titi optimum dalam suatu interval yang cuup ecil sesuai dengan ebutuhan.

8 Teni Eliminasi pencarian bebas 4 Dengan Percepatan angah Prosedur pencarian titi optimum dengan teni ini dijelasan dalam bagan alir dalam Gambar beriut:

9 Teni Eliminasi pencarian bebas 5 Contoh: Carilah nilai masimum dari f =,5 dengan nilai awal =, dan langah awal =,5

10 Pencarian engap Teni ini dapat digunaan jia telah dietahui bahwa interval dimana terdapat titi optimum telah tertentu. Misal s dan f berurutan menunjuan titi-titi awal dan ahir dari interval yang menjadi perhatian ita. Misal suatu fungsi didefinisian dalam interval s, f dan dievaluasi pada delapan titi-titi hitungan dan 8. Andaian nilai fungsi yang ditinjau berbentu urva seperti disajian dalam Gambar disamping maa titi optimum aan terleta diantara titi 5 dan 7. Jadi interval 5, 7 dianggap sebagai interval pencarian yang baru.

11 Pencarian engap Secara umum, jia fungsi tujuan dievaluasi pada n titi berjara sama didalam interval pencarian mula-mula = f s, dan jia ternyata bahwa titi optimum berada pada titi j, maa interval terahir adalah n j j n Cari maimum dari fungsi f =.5 dalam interval.,. dengan n = 9.

12 Pencarian Diotomi Pada prinsipnya adalah merupaan teni pencarian bertahap dimana pencarian yang beriutnya dipengaruhi secara langsung oleh pencarian sebelumnya. Pada pencarian diotomi, dua penyelidian dilauan pada daerah dideat titi tengah m dari interval pencarian s, f. Berdasaran nilai relatif dari fungsi tujuan pada dua titi di sebelah iri dan anan yang berjara δ / dari titi tengah, maa penentuan interval pencarian beriutnya dilauan.

13 Pencarian Diotomi Interval pencarian yang baru mempunyai lebar interval sebesar / + δ /. Interval-interval yang baru dicari dengan cara yang sama seperti di atas sehingga didapat hubungan antara lebar interval pencarian dengan jumlah pencarian interval yang telah dilasanaan yang disajian di bawah ini. i ebar Interval Jumlah Pencarian i n n n

14 Pencarian Diotomi 3 Contoh: Cari maimum dari fungsi f =.5 dalam interval.,. dengan n = 6 dan δ =..

15 Pencarian Fibonacci Pencarian Fibonacci dapat dipaai untu mencari maimum dari sebuah fungsi satu variabel, bahan untu fungsi yang tida ontinu. Teni ini, seperti teni eliminasi yang lainnya mempunyai ciri has sebagai beriut: Interval permulaan dimana terleta titi optimum harus dietahui terlebih dahulu. Fungsi tujuan yang dioptimasian harus fungsi unimodal pada interval pencarian. 3 eta yang tepat dari titi optimum tida dapat ditentuan. Hanya interval pencariannya saja yang dapat dietahui. Interval pencarian dapat diperecil sesuai dengan etelitian yang diehendai. 4 Jumlah nilai fungsi tujuan yang harus dievaluasi dalam pencarian atau jumlah subinterval pencarian harus ditentuan sebelumnya.

16 Pencarian Fibonacci Pada teni Fibonacci ini digunaan sebuah deret yang dinamaan deret Fibonacci F n yang mempunyai ciri sebagai beriut: F F n F F n F n, n,3,4, yang menghasilan deret:,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89,

17 Pencarian Fibonacci 3 Dimisalan interval pencarian mulamula adalah = b a, sedangan n adalah jumlah pencarian yang harus dilasanaan. Didefinisian: dan dicari dua titi dan yang diletaan masing-masing pada jara * pada edua tepi interval. Sehingga * F F n n * * F F a b a n n

18 Pencarian Fibonacci 4 Dengan menggunaan sifat fungsi unimodal, maa dapat ditentuan interval yang mana yang mengandung titi optimum. Pada Gambar di atas, interval yang mengandung titi optimum menjadi, b. Besarnya interval ini adalah F * n n n F n F n Fn angah selanjutnya adalah mengulangi prosedur di atas dengan nilai n yang baru yang dihitung sebagai n = n. Demiian prosedur ini diulang sampai dengan n =. F F

19 Pencarian Emas Teni eliminasi dengan pencarian memaai Rasio Emas sangat serupa dengan teni Fibonacci. Dalam teni ini rasio penyempitan interval mengiuti Rasio Emas. Rasio Emas sendiri merupaan penemuan orangyunani uno. Rasio ini dianggap memberian bentu bangunan yang paling menyenangan. Rasio Emas didefinisian sebagai: d b d d b pers.a dengan d dan b secara berturut-turut merupaan sisi pende dan sisi panjang dari suatu persegi panjang

20 Pencarian Emas Jia suatu garis dibagi dengan Rasio Emas menjadi dua bagian tida sama besar, maa nilai perbandingan antara bagian yang besar dibanding panjang eseluruhan sama dengan perbandingan bagian yang ecil dibanding bagian yang besar. Dari persamaan A diperoleh: Rasio ini menghasilan suatu algoritma eliminasi interval yang sangat efisien.

21 Pencarian Emas 3 Pada Gambar disamping nilai * dicari dengan rumus: * dan Interval a, b dibagi menurut geometri Rasio Emas sehingga didapat:.68 * * pers. pers.

22 Pencarian Emas 4 Dari aturan di atas diperoleh: Nilai di atas adalah istimewa arena merupaan /γ Ini berarti bahwa otomatis merupaan * bagi iterasi selanjutnya. Sehingga untu iterasi selanjutnya nilai * dapat dihitung sebagai jara antara dan. 3 3 * *

23 Pencarian Emas 5 Algoritma Rasio Emas untu permasalahan maimisasi f: angah : Misalan a dan b adalah titi tepi interval pencarian mula-mula. Hitung Set a b b a,68339 a

24 Pencarian Emas 6 angah : dan dan maa, Jia a b a a f f dan dan maa, Jia b b b a f f

25 Pencarian Emas 7 angah 3: Berhenti jia b -a < ε cuup ecil sesuai dengan etelitian yang diehendai, titi optimum * diambil sama dengan titi-titi a, b,,, yang memberian nilai f maimum. Jia b -a ε, set = + dan lauan langah. Contoh: Cari maimum dari fungsi f = 7 / 8 dalam interval.,. dengan ε =..

26 X=/o-d/=/--./=.5-.5=.4995 X=/o+d/=.5+.5=.55 F= F= Jia f<f interval baru yg dipilih adalah =.4995 dan f=. X3=+{/-d/}=/ /=+.4975= X4=+{/+d/}=/ /=+.55= F3= F4= Jia f3<f4 interval baru [3,f] Jia f4<f3 interval baru [,4]