METODE PANGKAT BALIK TERGESER UNTUK MENCARI NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN

Transkripsi

1 MEODE PNGK BLIK ERGESER UNUK MENCRI NILI EIGEN DN VEKOR EIGEN Sangadi BSRC rtile disusses the shifted power method as the extension of the power method he shifted power method also requires a good starting approximation for obtaining an eigen value and then iteration is used to obtain an exat solution It assumes that the eigen values are real and distint Cases involving omplex eigen values multiple eigen values or the presene of two eigen values with the same magnitude will ause omputational diffiulties and require more advaned method Keywords: shifted inverse power method inverse power method power method BSRK rtiel membahas metode pangat bali tergeser sebagai perluasan metode pangat Metode pangat bali tergeser uga memerluan pendeatan awal yang bai untu mendapatan suatu nilai eigen emudian iterasi digunaan untu mendapatan solusi esa Diasumsian bahwa nilai eigen adalah real berlainan Kasus yang melibatan nilai eigen yang omples nilai eigen multipel atau aya dua nilai eigen yang nilai mutlanya sama aan beraibat timbulnya esulitan dalam omputasi memerluan metode yang lebih mau Kata uni: metode pangat bali tergeser metode pangat bali metode pangat Staf Peneliti PPIN BN Komples PUSPIPEK Serpong Jurusan Matematia Faultas Sains enologi Universitas Bina Nusantara Jl KH Syah No 9 Palmerah Jaarta Barat 8 sangadi@binusedu Metode Pangat Bali ergeser (Sangadi) 75

2 PENDHULUN Misalan matris buur sangar mempunyai nilai eigen dominan λ misalan terdapat tepat satu vetor eigen ternormalisir V yang bersesuaian dengan λ Pasangan λ V itu dapat diperoleh dengan prosedur iteratif beriut yang disebut metode pangat Dimulai dengan vetor ( K) Bentu barisan { } seara reursif menggunaan () () + () + adalah oordinat terbesar dari Bila terdapat lebih dari satu pilih oordinat dengan + urutan tereil Barisan V λ : Contoh { } } { aan onvergen berturut-turut e lim V lim λ () Gunaan metode pangat untu memperoleh nilai eigen vetor eigen yang dominan untu matris buur sangar Solusi ( ) Dimulai dengan gunaan formula pada persamaan () untu membentu } } barisan vetor { onstanta { Iterasi pertama menghasilan Iterasi edua menghasilan } / 8 / / 7 / 7 /6 6 / / 5 / 8 6 / Iterasi menghasilan barisan { di mana vetor ternormalisir / 7/6 5/ / 76 / 5 7/ 6 85/ / 5/8 /8 / 8 7/ 78 95/58 9/ 8 K Barisan vetor tersebut onvergen e ( / / 5) V barisan onstanta onvergen e λ (lihat abel ) Dapat diperlihatan bahwa lau onvergensi adalah linear 76 Jurnal Mat Stat Vol 9 No Januari 9: 75-8

3 Penelitian Relevan Beberapa penelitian yang telah dilauan untu topi tersebut antara lain berudul Controllability of the Real Shifted Inverse Power Iteration oleh Uwe Helme Fabian Wirth () EOREM MEODE PNGK ndaian bahwa matris bertipe n x n mempunyai n nilai eigen λ λ K λn yang berlainan yang diurutan menurun dalam nilai mutlanya yaitu: λ > λ λ L λ (5) n Bila dipilih yang sesuai maa barisan ( ) ( ) ( ) x x K x { } yang dibentu seara reursif dengan { ( n ) } (6) + (7) + ( ) ( ) + max{ } ( y ) y (8) y i n i aan onvergen berturut-turut e vetor eigen dominan G and Sherbert Donald R ) V nilai eigen λ yaitu (Bartle Robert lim V lim λ (9) MEODE PNGK BLIK ERGESER Metode itu memerluan pendeatan awal yang bai untu mendapatan nilai eigen emudian dengan iterasi digunaan untu mendapatan solusi esa Metode lain misalnya metode QL metode Given dipaai untu menari pendeatan awal Metode pangat bali tergeser berdasaran tiga hasil beriut eorema (Nilai eigen yang digeser) Misalan λ V adalah pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar Bila α onstanta sembarang maa λ α V merupaan pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar eorema (Nilai eigen bali) Misalan λ V adalah pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar Bila λ maa / λ V merupaan pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar Metode Pangat Bali ergeser (Sangadi) 77

4 eorema Misalan λ V adalah pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar Bila α λ maa /( λ α ) V merupaan pasangan nilai eigen vetor eigen matris buur sangar ( Kreyszig 999) EOREM MEODE PNGK BLIK ERGESER ndaian bahwa matris bertipe n x n punya nilai eigen yang berlainan λ λ K λ n pang nilai eigen λ maa onstanta α dapat dipilih sedemiian sehingga μ /( λ α ) merupaan nilai eigen dominan matris Lebih auh bila dipilih yang sesuai maa barisan ( ) ( ) ( ) { ( ) } x x K xn { } yang dibentu seara reursif dengan ( α () () + + ( ) ( ) + max{ } ( x ) x () x i n i aan onvergen e pasangan V untu matris diberian dengan perhitungan μ dominan matris ( α hirnya nilai eigen yang sesuai Buti λ + α () μ anpa mengurangi atau ehilangan eumuman diasumsian bahwa λ < λ < L < λn Pilih λ daripada nilai eigen yang lain yaitu satu bilangan α ( α λ) yang lebih deat e λ α < λi α untu setiap i K + K n () Menurut eorema ( ) ( α ( λ α ) / λ α V adalah pasangan nilai eigen vetor eigen matris Persamaan (5) beraibat / λ α < λ α untu setiap i sehingga i μ / adalah nilai eigen dominan matris ( α Metode pangat bali tergeser menggunaan modifiasi metode pangat untu menentuan pasangan nilai eigen vetor eigen μ V Kemudian perhitungan λ ( / μ) + α menghasilan nilai eigen dari matris yang diinginan (Fitzpatri Patri M 996) 78 Jurnal Mat Stat Vol 9 No Januari 9: 75-8

5 Contoh Gunaan metode pangat bali tergeser untu mendapatan pasangan nilai eigen vetor eigen matris Manfaatan fata bahwa nilai eigen adalah λ λ λ pilih satu α yang sesuai vetor awal untu setiap asus Solusi Kasus : Untu nilai eigen λ ambil I omputasian solusi untu α vetor awal ( ) Pertama bentu matris ( ) dapatan vetor Kemudian omputasian 8888 ( ) Iterasi menghasilan nilai pada abel Barisan } onvergen e μ 5 yang merupaan nilai eigen dominan matris ( omputasi { { } onvergen e V Nilai eigen λ dari diberin dengan 5 5 λ / μ + α /( 5) + + abel (diambil dari Numerial Methods for Mathematis Siene and Engineering hlm 556 Seond Edition Prentie-Hall International In Englewood Cliffs New Jersey Mathews John H 99) Metode pangat bali tergeser untu matris ( dalam ontoh tersebut Konvergensi e vetor V μ ( α + + ( ) ( α ( ) ( ) ( 9 66) ( ) 5569 ( ) ( ) ( ) 5 5 ( ) Metode Pangat Bali ergeser (Sangadi) 79

6 ( ) 6 6 ( ) ( 66 ) 7 7 ( ) 6 55 ( 66) 8 8 ( ) ( 6) 9 9 ( ) 8 57 Kasus : Untu nilai eigen λ ambil I omputasian solusi untu α vetor awal ( ) Pertama bentu matris ( ) dapatan vetor Kemudian omputasian ( ) Iterasi menghasilan nilai pada abel Nilai eigen dari ( dominan adalah μ pasangan nilai eigen vetor eigen dari adalah λ + + V abel (diambil dari Numerial Methods for Mathematis Siene and Engineering hlm 557 Seond Edition Prentie-Hall International In Englewood Cliffs New Jersey Mathews John H 99 ) Metode pangat bali tergeser untu matris ( dalam ontoh tersebut Konvergensi e eigen vetor dominan V μ ( ) + + ( ) ( ) ( ) 957 ( ) ( ) ( ) ( ) 97 ( ) ( ) Jurnal Mat Stat Vol 9 No Januari 9: 75-8

7 Kasus : Untu nilai eigen λ ambil α 875 vetor awal ( ) Iterasi menghasilan nilai yang diberian pada abel Nilai eigen dari matris ( yang dominan adalah μ pasangan nilai eigen vetor eigen dari matris adalah λ awal ( ) onvergen dalam tuuh iterasi V Barisan { } vetor dengan vetor abel (diambil dari Numerial Methods for Mathematis Siene and Engineering hlm 557 Seond Edition Prentie-Hall International In Englewood Cliffs New Jersey Mathews John H 99) Metode pangat bali tergeser untu matris ( eigen dominan V nilai eigen 8 μ dalam Contoh Konvergensi e vetor ( ) + + ( ) ( ) ( ) 856 ( ) ( ) ( ) ( ) 8576 ( ) ( ) PENUUP Metode pangat bali tergeser merupaan perluasan dari metode pangat yang menyataan bila matris buur sangar mempunyai nilai eigen dominan λ misalan terdapat tepat satu vetor eigen ternormalisir V yang bersesuaian dengan λ Pasangan λ V itu dapat diperoleh dengan prosedur iteratif beriut yang disebut metode pangat Dimulai dengan vetor ( K) Bentu barisan { } seara reursif menggunaan + + Metode Pangat Bali ergeser (Sangadi) 8

8 + adalah oordinat terbesar dari Bila terdapat lebih dari satu pilih oordinat dengan urutan tereil Barisan { aan onvergen berturut-turut e V λ { } } Metode pangat bali tergeser menyataan bila matris bertipe n x n punya nilai eigen yang berlainan λ λ K λn Maa onstanta α dapat dipilih sedemiian sehingga μ /( λ ) α merupaan nilai eigen dominan matris Lebih auh bila dipilih yang sesuai maa barisan ( ) ( ) ( ) { ( ) } x x K xn { } yang dibentu seara reursif dengan ( ) + x onvergen e pasangan V + μ dominan matris ( α diberian dengan perhitungan λ + α μ ( ) + max{ } ( x ) x aan n Nilai eigen yang sesuai untu matris DFR PUSK Bartle RG & Sherbert D R () Introdution to real analysis hird Edition John Wiley & Sons In Fitzpatri P M (996) dvaned alulus Boston: PWS Publishing Company Kreyszig E (999) dvaned engineering mathematis Eight Edition New or: John Wiley and Sons In Mathews J H (99) Numerial methods for mathematis siene and engineering Seond Edition Englewood Cliffs New Jersey: Prentie-Hall International In 8 Jurnal Mat Stat Vol 9 No Januari 9: 75-8