ANALISIS PERBANDINGAN KOMULAN TERHADAP BEBERAPA JENIS DISTRIBUSI KHUSUS Analysis of Comulans Comparative on some Types of Special Distribution

Transkripsi

1 Jurnal Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) ANALISIS PRBANDINGAN OMULAN TRHADAP BBRAPA JNIS DISTRIBUSI HUSUS Analysis of Comulans Comparative on some Types of Special Distribution ABRAHAM ZACARIA WATTIMNA, VICTOR LATOMPSSY Jurusan Matematia Faultas MIPA Universitas Pattimura Jl. Ir. M. Putuhena, ampusunpatti, Poa-Ambon, Maluu aryawan BRI Cabang Ambon Jl. Diponegoro Ambon, Maluu ampiwattimena@rocetmail.com ABSTRA Dalam penelitian ini adalah berbicara tentang Distribusi, hususnya distribusi ontinu. Dimana aan dicari omulan dari distribusi ontinu hususnya distribusi normal dan distribusi uniform, emudian setelah mendapat omulan dari masing-masing distribusi, emudian omulan dari edua distribusi aan dibandingan. ata unci: Distribusi, Distribusi ontinu, Distribusi Normal, Distribusi Uniform, omulan. PNDAHULUAN Peluang (probabilitas) berawal dari sebuah perudian yang dilauan oleh matematiawan dan fisiawan Italy, yaitu Girolamo Cardan (50 576) yang ditulis dalam buunya yang berudul Liber de Ludo Aleae (Boo On Games Of Changes) pada tahun 565 yang banya membahas tentang masalah perudian. Peluang emudian dibahas oleh para ahli hingga searang. Distribusi normal adalah arya dari Abraham de Moivre yang diperenalan pertama ali pada tahun 77, emudian ditulis ulang pada tahun 78 dengan udul The Doctrime Of Chances yang membahas tentang pendeatan distribusi binomial untu n yang besar, emudian dilanutan oleh Laplace dalam buunya yang berudul Analytical Theory Of Probability pada tahun 8, yang searang dienal dengan Teorema De Moivre Laplace. Berbeda dengan peluang yang berawal dari perudian, statistia sendiri berawal dari egiatan pengumpulan data yang dilauan oleh John Grannt di ropa pada tahun 66, hal ini merupaan awal munculnya Statistia Desriptif. Pada awal abad e-9 diperenalan arti dari Statistia yani ilmu mengenai pengumpulan dan lasifiasi data. Nama dan arti Statistia pertama ali diperenalan dalam bahasa Inggris oleh Sir John Sinclair, yang emudian muncullah enis-enis distribusi yang lain yang salah satunya adalah distribusi uniform yang merupaan salah satu distribusi dengan bentu distribusi disrit maupun ontinu. Dalam statisti, distribusi chi square termasu dalam statisti nonparametri. Distribusi nonparametri adalah distribusi dimana besaran-besaran populasi tida dietahui. Distribusi ini sangat bermanfaat dalam melauan analisis statisti ia ita tida memilii informasi tentang populasi atau ia asumsi-asumsi yang dipersyaratan untu penggunaan statisti parametri tida terpenuhi. Sedangan distribusi Normal adalah distribusi probabilitas yang paling banya digunaan dalam berbagai analisis statistia, distribusi ini uga diului urva lonceng. Distribusi normal dan distribusi uniform erap digunaan dalam apliasi-apliasi statisti di dalam ehidupan sehari-hari. Dalam apliasinya harus memenuhi etentuan-etentuan tertentu untu menentuan enis distribusi yang dipaai. Perbedaan antara distribusi normal dan distribusi uniform membuat tertari peneliti untu mengangat masalah ini dalam penelitian dengan udul Analisis Perbandingan omulan Terhadap beberapa Distribusi ontinu. TINJAUAN PUSTAA Istilah statistia awalnya berarti seumpulan bilangan. Dewasa ini statistia merupaan istilah yang luas, yang eluasannya aan sulit dibayangan oleh para

2 Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) perumus istilah. umpulan bilangan yang asli searang disebut data dan statistia berarti ilmu pengambilan eputusan (Dudewicz 995). Dalam ilmu statistia matematia, teori peluang (probability theory) merupaan dasar dan pengantar untu penyusunan statistia lebih auh, dimana dipaai pada penentuan selang untu distribusi peluang yang terbagi atas distribusi peluang disrit dan distribusi peluang ontinu (Bain 99). Dalam penelitian ini lebih diteanan pada distribusi peluang ontinu hususnya pada distribusi normal dan distribusi Chi Square.. Deret Taylor Bentu umum: f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )! + f (z 0 ) (z z! 0 ) + f (z 0 ) (z z! 0 ) +. Deret Mclaurin Deret Mclaurin merupaan deret taylor dengan z0 0. Bentu umum deret Mclaurin: f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )z + f (z 0 )! z + f (z 0 ) z +!. Fungsi Distribusi Definisi Jia himpunan semua emunginan nilai peubah aca adalah himpunan hingga,,..., atau ta hingga n,,... maa, disebut peubah aca deret, fungsi,,... yang dianggap peluang f P X, untu setiap himpunan nilai X, yang aan disebut fungsi distribusi peluang. Teorema Suatu fungsi PX ( ) adalah suatu fungsi peluang ia dan hanya ia memenuhi sifat-sifat beriut :. 0 PX ( ), untu semua X. P( X i), P X 0, ia,,... i Definisi Bila X suatu peubah aca, fungsi distribusinya didefinisian sebagai : F P X untu semua., Teorema Bila X suatu peubah aca, maa fungsi distribusi hususnya F(), mempunyai sifat sebagai beriut : F F y bila y. F tida turun yaitu,. F lim F 0 dan F F lim arena P X adi P X. F ontinu dari anan yaitu: lim F h F, h0 6.. Distribusi Normal Distribusi normal sering disebut uga dengan distribusi Gauss, inilah distribusi peluang ontinu yang terpenting dan paling banya digunaan. Grafinya disebut urva normal, berbentu seperti lonceng. Pada tahun 7, De Moivre menemuan persamaan matematia untu urva normal yang menadi dasar dalam banya teori statistia indutif. Definisi Suatu peubah aca berdistribusi normal z dengan ratarata μ dan variansi σ mempunyai fungsi densitas: f() = σ π e ( μ σ ) dimana < X < Distribusi normal dilambangan dengan X~ N(μ, σ ), dimana nilai dari distribusi normal z ditentuan oleh: z = μ σ Dengan mentransformasian fungsi densitas terhadap z diperoleh fungsi densitas yang berbentu: f(z) = (z ) π e Untu z dalam daerah < z < Beraitan dengan sifat yang berlau untu sebuah fungsi densitas, dalam distribusi normal berlau pula: i) σ π e ( μ ii) P(a < X < b) = σ ) d = σ π e ( μ σ ) d.. Distribusi Uniform Definisi 4 Jia peubah aca yang berdistribusi uniform, ia hanya ia mempunyai fungsi densitas sebagai beriut:, untu a b f(; a, b) = { b a 0, untu yang lain Dimana < X < Distribusi uniform dilambangan dengan X~ UNIF (a, b) 4. Mean Dan Variansi Definisi 5 Jia X peubah aca ontinu dengan fungsi distribusi F(), maa nilai harapan (mean) dari X diperoleh : X P X d Teorema Jia X peubah aca dengan fungsi distribusi P(X) dan g() adalah fungsi bernilai real, maa g g P X d Definisi 6 Misalan X peubah aca ontinu dengan fungsi distribusi P(X) maa momen e- dari X didefinisian sebagai, ' M X P X d Wattimena Leatompessy

3 Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) Definisi 7 Misalan X peubah aca ontinu dengan fungsi distribusi P(X) maa momen pusat e- dari X didefinisian sebagai : M X X X X P X d Teorema 4 Jia c suatu onstanta dan g() dan h() nilai harapannya ada maa c c.. cg c g. g h g h Definisi 8 Variansi dari peubah aca X didefinisian sebagai Var X X X Teorema 5 Jia X peubah aca dan nilai harapannya ada maa Var X X X. Teorema 6 Jia a, b onstanta-onstanta, maa. Var a 0. Var ax a Var X. Var ax b a Var X 5. Fungsi Pembangit Momen Definisi 9 Jia X peubah aca disrit maa momen e-t t t M t e e X P d disebut fungsi pembangit momen dari X, ia nilai harapannya ada untu semua nilai t pada interval h<t<h dan h > 0. Teorema 7 Jia fungsi pembangit momen X ada untu t Dan M h dan h > 0, maa X X ada dm dt t t 0 t dari peubah aca Teorema 8 Jia a, b sebagai onstanta dan Y ax b, maa M y bt t e M at 6. Fungsi arateristi Definisi 0 Fungsi arateristi dari peubah aca disebut X dan didefinisian sebagai beriut it t e cos tx i sin tx untu semua t sin cost P X d i t P X d Teorema 9. Fungsi onstanta peubah aca X selalu ada 0, t t.. t, untu semua t Teorema 0 Untu sembarang onstanta a dan b berlau ibt t e at ( ab) 7. omulan Definisi Untu suatu peubah aca X dengan fungsi omulan e- ditulis it oefisien dari! pangat 7, maa dan X, didefinisian sebagai dengan espansi Taylor dari deret log t dimana it it t!! ep it t it log 0! dengan menggunaan deret pangat ep( ) dimana : it X maa didapatan t ep it X ( it X ) it X...! X it X it it!... X t 0! Jadi didapat X it log t log 0! dengan menggunaan persamaan Taylor, maa deret log X, yaitu: log maa dengan mengambil X X 0! 0 it Wattimena Leatompessy

4 Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) didapatan esamaan log t X it 0 0 Dari Definisi, maa omulan dapat diturunan dengan menyataan oefisien persamaan beriut masingmasing untu =,,... dan t = 0! it X it! 0 0 0! HASIL DAN PMBAHASAN Hubungan Antara omulan dan Momen Suatu Fungsi Distribusi omulan dari suatu peubah aca pada suatu fungsi distribusi memilii hubungan dengan momen dari fungsi distribusi tersebut. Hubungan ini dapat dilihat pada Lemma. dan Lemma. Lemma X ) X ( X ) ) X X X ( X ) ) 4 4) 4 X 4 X X X 4 X X 6 X Buti Dengan menggunaan Definisi 0 dan dengan menggunaan oefisien persamaan omulan, masingmasing =,,,... dan t = 0, diperoleh: Untu =! i t X i t 0 0 0! it X it 0 X it X it... X it... X, untu t = 0 Untu =! it 0 X it X it! X it X it X it X it...!! it X X it! X it X it X X it! X X, untu t = 0 Untu =! it 0 X it X it X it! X it X it X it!! X it X it X it! 8...!! X it X it X it...!! X X X X, untu t = 0 Dengan cara yang sama diperoleh = 4 dan seterusnya. Lemma X X X X 4 6 Buti X (pembutiannya elas);. X (pembutiannya elas);. X X X X X ( ) X 4. Dengan cara yang sama pada bagian sebelumnya maa dapat dibutian bagian 4. Dari Lemma dan Lemma, maa diperoleh hubungan antara omulan dan momen sebagai beriut : ' ' X M M i 4.. omulan dari Distribusi Normal Untu menentuan omulan e-n dari distribusi normal, terlebih dahulu harus dihitung setiap momen X distribusi tersebut untu =,,. Beriut aan dihitung omulan dari distribusi normal untu = dan = berlau seterusnya untu setiap. Wattimena Leatompessy

5 Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) Diberian peubah aca dengan X~N(μ, σ ) berdasaran Definisi diperoleh fungsi densitas f() = σ π e ( μ σ ) untu dalam daerah < <. Untu nilai distribusi normal z μ z = σ dapat dibentu suatu fungsi arateristi φ(z) = z π e, dan < z <. Dapat dilihat fungsi arateristi φ(z) merupaan fungsi genap dengan φ( z) = ( z) π e = z π e = φ(z) berdasaran bentu ini diperoleh φ (z) = zφ(z) φ (z) = (z )φ(z) Selanutnya dapat dihitung nilai (Z) dan (Z ) untu emudian dapat memudahan dalam perhitungan momen distribusi normal. (Z) = zφ(z)dz = ( zφ(z))dz = ( zφ(z))dz = φ (z)dz = φ(z) = φ() ( φ()) = φ() ( φ()) = 0 (Z ) = z φ(z)dz = ((z ) + )φ(z)dz = (z )φ(z)dz + φ(z)dz = φ (z)dz + φ(z)dz = φ (z) + = 0 + = Untu =, (X) = σ π e ( μ σ ) d dengan mentransformasian nilai z terhadap diperoleh = σz + μ dan d = σdz (X) = (σz + μ)φ(z)dz = σzφ(z)dz + μφ(z)dz = σ zφ(z)dz + μ φ(z)dz = σ. 0 + μ. = 0 + μ = μ (X ) = σ π e ( μ σ ) d = (σz + μ) φ(z)dz = (σ z + σμz + μ )φ(z)dz = σ z φ(z)dz + σμzφ(z)dz + μ φ(z)dz = σ z φ(z)dz + σμ zφ(z)dz + μ φ(z)dz = σ. + σμ. 0 + μ. = σ + μ Berdasaran Lemma maa: Untu = X Untu = X (X ) ( ) omulan dari Distribusi Uniform Untu menentuan omulan e-n dari distribusi uniform, terlebih dahulu harus dihitung setiap momen X distribusi tersebut untu =,,. Beriut aan dihitung omulan dari distribusi uniform untu = dan = berlau seterusnya untu setiap. Diberian peubah aca dengan X~UNIF(a, b) berdasaran Definisi 4 diperoleh fungsi densitas, untu a b f(; a, b) = { b a o, untu yang lain Untu =, b (X) = ( ) d a b a Wattimena Leatompessy

6 Bareeng Vol. 8 No. Hal. 5 0 (04) = ( b a ) b b = ( b a ) (b a ) (b + a)(b a) = (b a) a + b = (X b ) = ( ) d a b a = ( b a ) b = ( b a ) (b a ) = b a (b a) = (b + ab + a )(b a) (b a) = (b + ab + a ) Berdasaran Lemma maa: Untu = X Untu = X ( a+ b) b (X ) ( b ab a ) ( a+ b) ( b ab a ) ( a+ b) 4 4( b ab a ) ( a+ b) 4b 4ab 4a a 6ab b b ab a b a 4.4. Perbandingan omulan dari Distribusi Normal dan Distribusi Uniform Berdasaran hasil perhitungan omulan dari distribusi normal pada subbab 4.. dan hasil perhitungan omulan distribusi uniform pada subbab 4.. diperoleh masing-masing nilai dan untu edua distribusi sebagai beriut: Distribusi Normal = μ dan = σ dimana nilai merupaan nilai rataan pada distribusi normal dan nilai merupaan nilai variansi pada distribusi normal. Distribusi Uniform = a+b dan = (b a) 0 dimana nilai merupaan nilai rataan pada distribusi uniform dan nilai merupaan nilai variansi pada distribusi uniform. Jadi nilai pada edua distribusi tersebut pada dasarnya adalah sama yaitu merupaan nilai rataan pada edua distribusi, sedangan yang membedaan hasil ahirnya berdasaran perbedaan fungsi densitas masingmasing enis distribusi. Demiian pula hal yang sama berlau pada nilai yang sama-sama merupaan nilai variansi dari edua distribusi tersebut, perbedaan yang timbul merupaan aibat dari perbedaan fungsi densitas masing-masing enis distribusi. Dan berlau seterusnya pada nilai-nilai omulan yang lain untu setiap dengan =,,. Perbedaan yang mendasar pada fungsi densitas edua distribusi tersebut uga menentuan eefetifan perhitungan analisis omulan pada edua distribusi. Pada distribusi normal dengan fungsi densitas lebih rumit mengharusan mentransformasian fungsi densitas terhadap z membuat proses perhitungan omulan yang lebih panang, sebalinya ia dibandingan dengan fungsi uniform yang fungsi densitasnya sederhana mengaibatan perhitungan omulan pada fungsi uniform menadi lebih singat. SIMPULAN Berdasaran analisis omulan terhadap distribusi normal dan distribusi uniform yang telah dibahas pada bab sebelumnya, ditari esimpulan sebagai beriut :. Nilai omulan e- untu =,, berbeda untu setiap distribusi, hal ini diarenaan adanya perbedaan pada fungsi densitas masing-masing distribusi.. Untu distribusi dengan fungsi densitas yang sederhana membuat proses perhitungan omulan menadi lebih singat, sebalinya untu distribusi dengan fungsi densitas yang rumit membuat proses perhitungan omulan menadi panang dan tida efisien.. Berdasaran hubungan omulan dengan momen pada distribusi, maa momen e-n dari suatu distibusi dapat dihitung ia telah terlebih dahulu dietahui nilai setiap omulan e- untu =,,, n. DAFTAR PUSTAA [] Bain Lee J, Ma ngelhardt.(99), Introduction To Probability And Mathematical Statistics The Dubury Advanced Series In Statistics And Decision Sciences. [] Dudewicz dward J. Satya N. Misra, (995), Statistia Matematia Modern, Penerbit ITB Bandung. [] reyszig,. (99), Matematia telah lanutan (Statisti lanutan) edisi e-6. penerbit PT Gramedia pustaa, Jaarta [4] Pursell dwin J. Dale Varberg, (99), alulus Dan Geometri Analisis. disi elima, Penerbit rlangga. Wattimena Leatompessy