FUNGSI BANTU NONPARAMETRIK BARU UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI GLOBAL

Transkripsi

1 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 FUNGSI BANTU NONPARAMETRIK BARU UNTUK MENYELESAIKAN OPTIMASI GLOBAL Ridwan Pandiya #, Emi Iryanti #2 # S Informatia, Faultas Tenologi Industri dan Informatia, Insitut Tenologi Telom Jl DI Panjaitan No 28, Purwoerto ridwanpandiya@ittelom-pwtacid 2 emi_iryanti@ittelom-pwtacid Abstract Manusrip ini menyajian dua hal, yang pertama adalah sebuah fungsi pengisian filled function dan yang edua adalah sebuah algoritma Fungsi pengisian ini dilibatan dalam algoritma untu menyelesaian persoalan optimasi global dimana fungsi objetifnya ontinu Fungsi pengisian ini tida mengandung unsur esponen, logaritma, maupun trigonometri sehingga proses untu mendapatan nilai minimum global menjadi lebih sederhana Disamping itu, fungsi pengisian yang diberian dalam manusrip ini berbeda dengan fungsi-fungsi pengisian lain yang ada dalam literatur-literatur sebelumnya arena tida melibatan parameter apapun Algoritma yang dibangun emudian diterapan pada beberapa contoh yang biasa digunaan dalam optimasi global untu menguji apaah fungsi pengisian beerja dengan bai Hasil yang diperoleh menunjuan bahwa fungsi pengisian tanpa parameter mampu secara efetif mendapatan nilai minimum global untu semua contoh yang diberian Keywords Optimasi global, fungsi bantu tanpa parameter, nilai minimum global, fungsi pengisian I PENDAHULUAN Kemajuan di bidang ilmu omputer saat ini membawa banya emudahan terhadap bidang ilmu teni, eonomi, manajemen, euangan, bahan ilmu sosial, dan bidang ilmu lain untu dapat memodelan permasalahan yang aan diselesaian Ta jarang model yang dibangun adalah model optimasi global Berdasar pada enyataan tersebut, metode-metode optimasi hususnya optimasi global mutla diperluan Pada dasarnya pendeatan untu menyelesaian masalah optimasi terbagi menjadi dua jenis yaitu pendeatan stoasti dan deterministi Contoh metode-metode yang menggunaan pendeatan stoasti adalah algoritma genetia [], [2], simulated annealing method [3], tabu search [4], [5] Sedangan metode yang termasu e dalam pendeatan deterministi adalah metode Lagrange [6], metode branch and bound [7], metode dynamic programming [8], metode filled function fungsi pengisian Pendeatan stoasti banya diterapan arena dianggap pendeatan yang cuup efetif [9], mesipun tida ada jaminan aan didapatannya nilai minimum global arena pendeatan ini bertumpu pada banyanya titi awal yang dibangun secara aca Diantara metode-metode yang termasu e dalam pendeatan deterministi yang telah disebutan sebelumnya, metode filled function merupaan metode yang efetif dan mudah untu diapliasian epada persoalan optimasi global bai untu fungsi objetif yang ontinu maupun disrit dan atau yang diferensiabel maupun tida diferensiabel [] Metode filled function pertama ali diperenalan oleh RP Gee seitar tahun 8-an dalam sebuah Seminar Internasional namun baru dipubliasian pada tahun 99 dalam [] Karya lain yang merupaan perbaian filled function tersebut dipubliasian dalam [2] Dalam manusripnya, Gee memberian definisi dari filled function serta filled function itu sendiri yang aan menjadi awal perembangan metode ini Definisi di bawah ini merupaan filled function yang pertama ali dibuat oleh Gee Definisi Misalan adalah sebuah titi minimum dari fungsi f P disebut sebagai filled jia memenuhi: adalah titi masimum dari function dari f di P dan semua ceungan B dari f di menjadi bagian cembung dari P 2 P tida memilii titi minimum atau titi pelana di ceungan f yang lebih tinggi dari B 3 Jia f memilii ceungan yang lebih rendah dari B, maa aan ada sebuah titi ' yang meminimuman P dalam garis yang melalui dan Filled function yang diberian dalam [] dapat dilihat dalam persamaan P, r, ep r f 2, 97

2 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 dengan r dan merupaan dua parameter Namun pada perembangannya edua parameter tersebut sulit untu ditentuan [2] Karena alasan sulitnya mendapatan nilai edua parameter tersebutlah maa Gee dan Qin memperbaii filled function tersebut dengan membuat filled function baru dalam [2] hanya dengan melibatan satu parameter yaitu: 2 Q,, A [ f f ]ep A 2 Kedua filled function tersebut telah banya menginspirasi banya peneliti yang memilii etertarian dalam mengaji global optimasi dengan metode filled function ini Hal ini terbuti dengan semain banyanya filled function-filled function baru yang dibuat yang tujuannya untu memperbaii elemahan filled function mili Gee terutama arena filled function tersebut melibatan unsur esponen Lin et al dalam [3] menggagas filled function dengan dua parameter namun menggunaan fungsi arctan dalam filled function-nya Fungsi arctan digunaan untu mempermudah proses meminimuman filled function Sedangan Ling & Xu dalam [4] masih menggunaan unsur logaritma hanya saja digunaan untu menyelesaian optimasi disrit terutama dalam persoalan large scale ma-cut, dan masih banya filled function dengan dua parameter yang berhasil dipubliasian tentu dengan eurangan dan elebihannya seperti dapat dibaca dalam [5], [6], dan [7] Filled function dengan satu parameter dapat dibaca dalam [8], [9], dan [2] Secara umum ada tiga tahap utama yang diperluan untu menyelesaian optimasi global dengan menggunaan filled function, diantaranya adalah: Meminimuman fungsi objetif f dengan metode sebarang metode peminimuman fungsi tergantung fungsi objetifnya Contohnya metode Newton, metode trust region, metode conjugate gradient, metode Quasi-Newton, metode Steepest Descent, dan lain sebagainya Dalam tahap ini aan didapatan titi minimum loal dari f yaitu 2 Setelah didapatan pada tahap pertama, langah selanjutnya adalah membangun filled function emudian meminimuman filled function tersebut dengan menggunaan titi minimum loal yang telah didapatan sebagai titi awal Tahap ini merupaan tahap yang sangat penting sebab masalah utama dalam menyelesaian optimasi global pada dasarnya adalah bagaimana melewati ceungan atau bagian cembung dari fungsi objetif jia telah berada pada titi minimum loal Tahap ini aan menghasilan sebuah titi ' dimana f ' f 3 Titi ' pada tahap edua aan digunaan sebagai titi awal untu meminimuman embali f sehingga aan didapatan nilai minimum yang lebih ecil dari f Ketiga tahap di atas dilauan secara berulang hingga proses berhenti jia riteria berhenti terpenuhi Proses omputasi sering terganggu apabila nilai parameter filled function pada iterasi tertentu berbeda dengan nilai parameter yang telah ditentuan di awal, sehingga filled function yang ada pada literatur-literatur yang telah disebutan sebelumnya menjadi urang efetif arena aan membutuhan watu yang tida sediit dalam menentuan parameter yang sesuai Berbeal fata tersebut, maa beberapa filled function yang tida melibatan parameter dibuat Ma et al [2] dalam penelitiannya berhasil membangun sebuah filled function tanpa parameter dimana fungsi tersebut melibatan fungsi arctan yang dimasudan sebagai pengganti fungsi esponen yang biasa digunaan banya filled function Filled function tanpa parameter lain yang ada hingga saat ini dapat dilihat dalam [22], [23], dan [24] Definisi serta filled function F, diberian dalam manusrip ini Beberapa sifat dari F, juga diberian beserta buti formalnya Untu membutian eunggulan dari F,, aan dibangun algoritma yang emudian aan diimplementasian menjadi sebuah program omputer dengan menggunaan bahasa pemrograman C++ Fungsi objetif yang digunaan sebagai esperimen dalam penelitian ini adalah fungsi-fungsi satu peubah yang diambil dari beberapa literatur sebagai benchmar function Manusrip ini terbagi menjadi menjadi 5 bagian Bagian 2 berisi dasar teori yang aan digunaan dalam penelitian ini beserta asumsiasumsi agar fous penelitian ini lebih jelas Filled function tanpa parameter dan definisinya aan diberian dalam bagian 3 Algoritma dan implementasinya terhadap fungsi benchmar aan ditulis dalam bagian 4 Sedangan esimpulan aan diberian dalam bagian 5 98

3 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 II DASAR TEORI Masalah optimasi global yang aan dibahas dalam penelitian ini adalah sebagai beriut: min { f : X R}, 3 dengan f : R R, X R adalah fungsi yang tertutup dan terbatas yang mengandung semua titi minimum global f di dalam interiornya Dalam penelitian ini juga ditetapan asumsiasumsi seperti dapat dilihat dalam asumsi sampai asumsi 3 Asumsi Fungsi objetif f merupaan fungsi yang ontinu dan diferensiabel di R Asumsi 2 Titi minimum dari f bisa tida terhingga aan tetapi titi minimum yang memilii nilai yang berbeda terhingga Asumsi 3 f besifat coercive yaitu f aan bernilai positif ta hingga f jia norma dibuat mendeati positif ta hingga Selain asumsi-asumsi di atas, dalam bagian ini juga diberian beberapa definisi, teorema dan lema yang beraitan dan digunaan dalam penelitian ini Untu buti lema dan teorema tida aan dibutian arena telah banya dibahas dalam literatur Definisi Titi X diataan sebagai titi minimum global dari masalah 3 jia f f untu setiap X Definisi 2 Titi X diataan sebagai titi minimum loal dari fungsi f : R R, X R jia f f untu setiap N Definisi 3 Titi X diataan sebagai titi minimum loal sempurna dari fungsi f : R R, X R jia f N \{ } f untu setiap Penelitian ini aan menggunaan definisi yang sebelumnya digunaan dalam [2] III FUNGSI BANTU NONPARAMETRIK BARU Perhatian fungsi pengisian nonparametri baru di bawah ini: P, f f, 4 jia dimana t t -, jia t dan merupaan titi minimum loal dari f Sama dengan literatur [2], tiga teorema di bawah ini menunjuan bahwa merupaan fungsi pengisian Teorema P, Titi minimum uat strictly local minimizer dari f yaitu dari Buti Karena P, merupaan titi masimum global merupaan titi minimum loal f maa terdapat suatu lingungan sedemiian rupa sehingga untu semua N, Karena f f aibatnya N, dimana f f P, P, sehingga terbuti bahwa merupaan titi masimum global dari P, Teorema 2 Jia dan memenuhi P, Buti Karena f f maa f P,, aibatnya P, f maa Dalam algoritma fungsi pengisian, P, diminimuman untu mendapatan titi ' dimana f ' f Proses meminimuman P, tida aan berhenti jia f tida lebih ecil daripada menunjuan bahwa etia f Teorema 32 f P, tida memilii titi stasioner f, 99

4 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 Teorema 3 Jia buan minimum global f dan titi minimum loal f sedemiian rupa sehingga f f, maa aan ada titi ' yang meminimuman melalui dan P, dalam garis yang untu setiap lingungan dari Buti merupaan titi minimum loal f, maa aan ada lingungan sedemiian rupa sehingga N, Aibatnya N, tapi N, dimana f f untu P, untu semua Demiian pula halnya dengan N lingungan, aan ada N, sedemiian rupa sehingga f f ' f untu setiap ', Hal ini juga berlau P ', f ' f = untu > ' N, Juga dietahui bahwa ada sebuah trajectory, P dalam segmen garis yang menghubungan dan ' Di titi nilai P,, etia menjauh dari dengan menggunaan metode Hooe and Jeeves metode ini tida diberian dalam maalah ini arena telah banya diberian dalam berbagai literatur maa nilai P, Pada saat mendeati Jadi P, turun etia emudian nai etia f maa f f P, f dan IV ALGORITMA FUNGSI BANTU NONPARAMETRIK BARU Untu menguji apaah fungsi bantu nonparametri yang diberian dalam penelitian ini benar dapat digunaan untu mencari nilai minimum global maa dibangun sebuah algoritma Algoritma terdiri dari dua tahap utama Tahap pertama adalah meminimuman fungsi objetif yang diberian dengan menggunaan metode-metode untu meminimuman sebuah fungsi Sedangan tahap edua yaitu proses meminimuman fungsi bantu dan menggunaan titi minimum fungsi bantu yang didapatan dalam tahap edua sebagai titi awal meminimuman fungsi objetif untu mencari nilai minimum yang lebih ecil Algoritma yang berhasil dibangun adalah sebagai beriut: I Step awal Misalan n adalah jumlah variabel Pilih, = 2 Pilih arah ei i, 2, m dimana m 2n arah positif dan negatif 3 Pilih titi awal X II Step Utama Minimuman f dengan titi awal, dalam penelitian ini digunaan Metode Hooe and Jeeves Dalam tahap ini aan didapatan titi minimum loal 2 Jia i m maa algoritma berhenti, dan esimpulannya adalah titi minimum global 3 Ambil e i 4 Bangun Fungsi Pengisian Nonparametri P, f f, dimana t jia t -, jia t 5 Minimuman P, dengan titi awal Dalam tahap ini aan didapatan titi ' yang merupaan titi minimum P, 6 Jia a f ' f, maa tetapan = +, ' dan embali e step b Jia ' eluar dari domain X, maa i i dan embali e step 2, selainnya embali e step 5 Algoritma ini aan onvergen epada satu nilai minimum global dari fungsi objetif Metode untu meminimuman f dan P, menggunaan Metode Hooe and Jeeves, dimana penggunaan metode ini tida melibatan turunan fungsi sehingga upaya omputasi aan cenderung lebih ecil V HASIL NUMERIK Algoritma yang telah dibuat dalam bab sebelumnya emudian diimplementasian e dalam bentu program omputer Bahasa pemrograman yang digunaan dalam penelitian ini

5 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 adalah bahasa C++ Contoh fungsi diambil dari [25] Fungsi-fungsi yang digunaan untu menguji efetifitas fungsi pengisian yang diberian dalam penelitian ini adalah: Contoh 5 : 2 f sin sin 3, 3,2 Contoh 52 : 3 f cos cos2 sin, 5 [5,2] Contoh 53 : 2 f cos sin cos, 5 [ 85,2] Contoh 54 : 4 f sin sin 9 Contoh 55 :, [,] f cos sin2, [, 22] 2 3 Contoh 56 : 2 f sin2 sin sin 3, [5, 2] Contoh 57 : 5, f i cos i i i [,] Contoh 58 : f sin sin ln 84 3, 3 [27, 3] Contoh 59 : f cos cos 84, 3 3 [2, 25] Contoh 5: 5 f i sin i i, [,] i Contoh 5: f sin sin ln 84, 3 [27, 39] Contoh 52: 5 f sin i i, [,] i Hasilnya dapat dilihat pada Tabel 5 hingga Tabel 52 dimana simbol yang digunaan dalam tabel adalah sebagai beriut: = titi awal = titi minimum f = nilai minimum ' = titi minimum fungsi pengisian f ' = nilai fungsi pengisian TABEL 5 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 5 f ' f ' TABEL 52 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 52 f ' f ' TABEL 53 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 53 f ' f ' TABEL 54 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 54 f ' f ' TABEL 55 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH f ' f '

6 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 TABEL 56 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 56 f ' f ' TABEL 52 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 52 f ' f ' TABEL 57 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 57 f ' f ' TABEL 58 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 58 f ' f ' TABEL 59 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 59 f ' f ' TABEL 5 : HASIL NUMERIK UNTUK CONTOH 5 f ' f ' Tabel 5 : Hasil Numeri untu Contoh 5 f ' f ' VI KESIMPULAN Dalam penelitian ini, telah diberian sebuah fungsi pengisian nonparametri untu menyelesaian persoalan optimasi global Fungsi tersebut telah terbuti merupaan fungsi pengisian yang dibutian melalui tiga teorema Untu memperlihatan efetifitas fungsi pengisian tersebut telah dibuat algoritma dan mengujinya melalui beberapa contoh benchmar dan dari semua contoh yang diberian ternyata fungsi pengisian nonparametri yang diberian dalam penelitian ini mampu mencari nilai minimum global DAFTAR PUSTAKA [] P Snaselova dan F Zboril, Genetic algorithm using theory of chaos, Procedia Computer Science, vol 5, pp , 25 [2] M Anusha dan J G R Sathiaseelan, Feature selection using K-Means genetic algorithm for multi-objective optimization, Procedia Computer Science, vol 57, pp 74-8, 25 [3] L R Rere, M I Fanany dan A M Arymurthy, Simulated annelaing algorithm for deep learning, Procedia Computer Science, vol 72, pp 37-44, 25 [4] B Peng, Z Lu dan T Cheng, A tabu search/path relining algorithm to solve the job shop scheduling problem, Computers & Operations Research, vol 53, pp 54-64, 25 [5] R Chelouah dan P Siarry, Tabu search applied to global optimization, European Journal of Operational Research, vol 23, pp , 2 [6] A M Geoffirion, Lagrangian Relaation for Integer Programming, 5 Years of Integer Programming, , New Yor: Springer, 2 [7] C F Wang, Y Q Bai dan P P Shen, A practicable branch-and-bound algorithm for globally solving linear multiplicative programming, Optimization: A Journal of Mathematical Programming and Operations Research, 27 [8] R Kamyar dan M M Peet, Multi-objective dynamic programming for constrained optimization of non-separable objective function with application in energy storage, dalam IEEE 55th Conference on Decision and Control, Las Vegas, 26 [9] Y J Yang, M L He dan Y L Gao, Discrete global optimization problems with a modified discrete filled function, Journal of the Operations Research Society of China, 25 2

7 Seminar Nasional Matematia dan Apliasinya, 2 Otober 27 [] L Y Yuan, Z P Wan, Q H Tang dan Y Zheng, A class of parameter-free filled functions for boconstrained system of nonlinear equations, Acta Mathematicae Applicatae Sinica, English Series, vol 32, no 2, pp , 26 [] R Gee, A filled function method for finding a global minimizer of a function of several variables, Mathematical Programming, vol 46, pp 9-24, 99 [2] R Gee dan Y Qin, A class of filled functions for finding global minimizers of a function of several variables, Journal of Optimization Theory and Applications, vol 54, pp , 987 [3] Y Lin, Y Yang dan L Zhang, A novel filled function method for global optimization, Journal of Korean Mathematical Society, vol 47, pp , 2 [4] A-f Ling dan C- Xu, A new discrete filled function method for solving large scale ma-cut problems, Numerical Algorithms, vol 6, pp , 22 [5] Z wan, L Yuan dan J Chen, A filled function method for nonlinear systems of equalities and iequalities, Computational & Applied Mathematics, vol 3, no 2, pp 39-45, 22 [6] Y L Shang, W X Wang dan Q B Sun, A class of generalized filled functions for unconstrained global optimization, Applied Mathematics E- Notes, vol 7, pp 47-53, 27 [7] C Wang, Y Yang dan J Li, A new filled function method for unconstrained global optimization, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 225, pp 68-79, 29 [8] W Zhu dan M Ali, Solving nonlinearly constrained global optimization problem via an auiliary function method, Journal of Computational and Applied Mathematics, vol 23, pp 49-53, 29 [9] H Lin, Y Wang dan L Fan, A filled function method with one parameter for unconstrained global optimization, Applied Mathematics and Computation, vol 28, pp , 2 [2] H Lin, Y Wang, X wang dan Y Gao, A new filled function method for global optimization with bo constraint, Journal of Information & Computational Science, vol 9, no, pp , 22 [2] S Ma, Y Yang dan H Liu, A parameter free filled function for unconstrained global optimization, Applied Mathematics and Computation, vol 25, pp , 2 [22] Y Shang, P Li dan H Xie, A new parameterfree filled function for unconstrained global optimization, dalam Third International Joint Conference on Computational Science and Optimization, Huangshan, China, 2 [23] Q Wu dan L Yuan, A smooth clustering algorithm based on parameter free filled function, Advanced Materials Research, vol 43, pp , 2 [24] Q Wu dan L Yuan, A new filled function method for smooth clustering, Journal of Computers, vol 7, no 2, pp , 22 [25] G K Wen, M B Mamat, I B Mohd dan Y B Dasril, Global Optimization with Nonparametric Filled Function, Far East Journal of Mathematical Sciences, vol 6, pp 5-64, 22 3