Makalah Seminar Tugas Akhir

Transkripsi

1 Maalah Seminar ugas Ahir Simulasi Penapisan Kalman Dengan Kendala Persamaan Keadaan Pada Kasus Penelusuran Posisi Kendaraan (Vehicle racing Problem Iput Kasiyanto [], Budi Setiyono, S., M. [], Darjat, S., M. [] Jurusan eni Eletro, Faultas eni, Universitas Diponegoro Jln. Prof. Sudharto, embalang, Semarang, Indonesia Abstra-Penapisan merupaan hal yang sangat dibutuhan dalam banya situasi, terutama di bidang teni dan sistem tertanam. apis Kalman adalah tapis optimum yang sangat terenal. Selain sebagai tapis, tapis Kalman juga merupaan estimator yang sangat efetif dalam mengestimasi state(eadaan dinamia sistem yang omples, hususnya sistem yang melibatan derau proses maupun derau penguuran berupa white noise. Ada tiga pendeatan yang bisa digunaan dalam mencari estimasi state berendala, yaitu metode peluang masimum, metode rata-rata uadrat, dan metode proyesi. Dalam ugas Ahir ini dibangun sebuah metode analiti yang berusaha memasuan endala persamaan state e dalam strutur tapis Kalman pada asus penelusuran posisi endaraan (vehicle tracing problem. Kendala state yang digunaan pada ugas Ahir ini merupaan endala linear dengan parameter onstan. Dari hasil pengujian diperoleh bahwa inerja tapis berendala selalu lebih bai daripada tapis tanpa endala, ecuali untu asus ondisi buru dan asus sudut arah endaraan θ =.. Kata Kunci : apis Kalman, endala state, estimasi I. PENDAHULUAN Penapisan merupaan hal yang sangat dibutuhan dalam banya situasi, terutama di bidang teni dan sistem tertanam[]. Dalam dunia nyata seringali informasi yang diinginan ternyata terorupsi oleh derau. Oleh arenanya, penapisan yang optimum menjadi ebutuhan yang sangat penting, terlebih lagi pada apliasi yang membutuhan etelitian dan aurasi data yang tinggi, misalnya pada bidang penjelajahan ruang angasa. apis Kalman merupaan tapis optimum yang sangat terenal dan sudah mengalami banya seali pengembangan seja dienalan oleh Rudolf E. Kalman pada tahun 96. apis ini memilii banya elebihan dibandingan tapis optimum yang lain. Mesipun pada awalnya tapis ini diapliasian pada proye penjelajahan ruang angasa, tepatnya pada sistem navigasi pesawat Apollo yang merupaan proye NASA, namun tapis Kalman telah banya diapliasian pada bidang industri maupun bidang lainnya. Selain sebagai tapis, tapis Kalman juga merupaan estimator yang sangat efetif dalam mengestimasi state(eadaan dinamia sistem yang omples, hususnya sistem yang melibatan derau proses maupun derau penguuran berupa white noise. Misalnya, pada estimasi esehatan mesin turbofan pesawat udara. Pada apliasi tapis Kalman seringali dietahui ada informasi sinyal atau model yang diabaian maupun yang dihi-langan. Sebagai contoh, endala pada nilai state, yang bisa saja berupa besaran fisis, seringali diabaian arena tida sesuai dengan strutur tapis Kalman. ujuan utama dari ugas Ahir ini adalah mengembangan sebuah metode analiti yang memasuan endala persamaan state e dalam strutur tapis Kalman pada studi asus penelusuran posisi endaraan (vehicle tracing problem. Upaya ini dilauan dengan harapan inerja tapis nantinya lebih bai dari pada inerja tapis tanpa endala. ugas Ahir ini juga membandingan inerja tapis untu asus berendala, tanpa endala maupun penguuran sempurna. RMS eror estimasi state dan rata rata eror endala digunaan sebagai parameter ualitas inerja tapis. Semain ecil nilai RMS eror estimasi dan rata rata eror endalanya, semain bai ualitas inerja tapis. Pada ugas Ahir ini tida dibahas prinsip erja transponder. II. APIS KALMAN. Desripsi Model Sistem Sistem yang ditinjau dianggap merupaan sistem disret dinami linear yang terorupsi oleh derau white Gaussian. Jia tapis Kalman ingin digunaan untu mengestimasi state sebuah sistem, maa sistem tersebut harus dimodelan sesuai eranga tapis Kalman, yang dinyataan dalam persamaan state beriut: x = F x + Bu + w... (. w ~ N(, Q dan persamaan penguuran beriut: z = H x + v... (. v ~ N(, Q dengan x adalah vetor state, u vetor masuan ontrol; F, B dan H masing masing ialah matris transisi dari vetor yang terait dengannya; w dan v berturut turut adalah Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP

2 derau proses dan derau penguuran yang diasumsian white Gaussian; Q dan R masing masing ialah ovarian derau proses dan derau penguuran. Untu lebih detailnya, lihat [7]. Penjelasan tentang ovarian bisa ditemuan di [3]. Sebagai ilustrasi, perhatian Gambar. di bawah ini. Gambar. Model sistem yang digunaan untu tapis Kalman. Fase Kerja apis Kalman apis Kalman mempunyai dua fase erja, yaitu fase Predisi dan fase Update. Simbol xˆn m menyataan estimate state x pada watu e-n jia diberian nilai penguuran hingga watu e-m. a. Fase Predisi Fase Predisi dinyataan dengan persamaan beriut: State predisi x ˆ = F x + B u (.3 ˆ Kovarian estimate predisi P = F P F + Q (.4 b. Fase Update Adapun untu fase Update ditunjuan oleh persamaan beriut: Selisih penguuran/inovasi ~ y = z H xˆ (.5 Kovarian inovasi S = H P H + R (.6 Penguatan Kalman optimal K = P H S (.7 Estimate state update x ˆ = xˆ K ~ + y (.8 Kovarian estimate update P = ( I K H P (.9 Persoalan yang dihadapi adalah bagaimana mencari nilai estimasi x, disimbolan sebagai ˆ x,dari eluaran teruurnya { z, z,, } z. Untu itu diasumsian bahwa ondisi-ondisi beriut dipenuhi. E[ x ] = x = E[ w ] = [ ] E[ v ] E w w m = Qδ m = E[ v v m ] = Rδ m [ ] E x v m = E [ w v m ] E x w = = [ m ].3 Estimasi State a Berendala Estimate tapis Kalman merupaan tapis yang meminimuman varians eror estimasi[]. Penjelasan tentang varians dan nilai terharap bisa dibaca di [4,5]. Adapun nilai estimate tapis Kalman dengan varians minimum tersebut diberian oleh xˆ = x x + Σ Σ Y Y ( xy yy ( dengan, x + adalah nilai terharap dari x +, Y ialah nilai terharap dari Y, Σ xy adalah matris varians dari x + dan Y ; Σ yy ialah matris ovarian dari Y, dan x + adalah rata-rata bersyarat dari x + jia diberian eluaran teruur Y. Estimate tapis Kalman xˆ + dan Y juga saling jointly Gaussian, yang berarti x ˆ + merupaan Gaussian bersyarat untu Y yang diberian. Fungsi densitas peluang bersyarat untu x + jia diberian Y adalah sebagai beriut: exp[ ( ( x x Σ ( x x ] P xy = n / / (. (π Σ dengan n adalah dimensi dari x dan Σ = Σ Σ Σ Σ (. xx xy yy yx dengan Σ xx adalah matris ovarian x. Estimate tapis Kalman ialah nilai x yang memasimalan fungsi densitas peluang bersyarat P ( xy, sedangan adalah matris ovarian estimate tapis Kal-man. Penjelasan tentang fungsi densitas peluang bersyarat dapat dilihat di [6,8,9]..4 Estimasi State Berendala Pada asus state berendala diberian persamaan endala sebagai beriut: Dx = d (.3 dengan D adalah matris onstan berdimensi s n, d ialah vetor s, s adalah banyanya endala, n ialah banyanya state, dan s n. Pada ugas Ahir ini diasumsian bahwa matris D mempunyai ran penuh, artinya D mempunyai ran s. Ada tiga pendeatan yang bisa E [( x digunaan x ( x x ] untu mencari estimate state berendala, yaitu metode peluang masimum, metode rata rata uadrat eror, dan metode proyesi. Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP

3 a. Metode Peluang Masimum apis Kalman berendala diperoleh dengan mencari nilai ~ x sedemiian sehingga fungsi densitas peluang bersyarat P ( ~ x Y dimasimalan dan nilai ~ x memenuhi persamaan endala (.. sama saja dengan memasimalan logaritma naturalnya. Jadi, persoalan yang harus diselesaian adalah ( ~ min( ~ max ln P x Y x x Σ ( ~ x x (.4 dengan endala D ~ x = d Untu menyelesaian persoalan tersebut pertama dibuat Lagrangian persamaan (.4, yaitu: ( ~ ( ~ L = x x Σ x x + λ ( Dx ~ d (.5 Selanjutnya, persamaan (.5 diturunan sea-li secara parsial untu mencari nilai minimumnya. Memasimalan P ( ~ x Y L ~ = Σ ( ~ x x + D λ = (.6 x L = d = Dx ~ (.7 λ Dari persamaan (.6 dan (.7 diperoleh ( D D λ = Σ ( Dx d (.8 ~ x = x ΣD ( DΣD ( Dx d (.9 Mengingat bahwa x (rata-rata bersyarat dari x merupaan estimate tapis Kalman( xˆ tanpa endala, maa estimate tapis Kalman berendala x~ dapat diturunan dari estimate ta berendalanya yaitu ~ ΣD ( DΣD ( Dxˆ d (. b. Metode Rata-Rata Kuadrat Persoalannya adalah mencari rata-rata uadrat eror yang memenuhi endala state. Secara matematis, ditulis ~ min E ( x x Y ~ (. x dengan endala D ~ x = d Jia diasumsian bahwa x dan Y jointly distributed, rata-rata uadrat erornya bisa ditulis sebagai beriut: E x ~ ( x Y = x ~ x ( x ~ ( x P( xy dx (. = x xp( xy dx ~ x xp( xy dx + ~ x ~ x (.3 Lagrangian untu persamaan (. dan (.3 adalah sebagai beriut: ~ L = E( x x Y + λ ( Dx ~ d (.4 = ~ + ~ ~ x xp( xy dx x xp( x Y dx x x + λ ( Dx ~ d = ~ + ~ ~ x xp( xy dx x xp( xy dx x x + λ ( Dx ~ d (.5 Perhatian bahwa rata-rata bersyarat dari x bisa ditulis dalam bentu x ˆ = xp( xy dx (.6 Syarat perlu agar persamaan (.5 minimum adalah L ~ ˆ ~ = x + x + D λ = (.7 x L = d = Dx ~ (.8 λ Dengan menyelesaian persamaan (.7 dan (.8 diperoleh ( DD λ = ( Dxˆ d (.9 ~ D ( DD ( Dxˆ d (.3 c. Metode Proyesi Persoalan yang aan diselesaian adalah min( ~ ~ x xˆ W ( ~ x xˆ x (.3 dengan endala D ~ x = d W adalah matris bobot simetris definite-positif. Solusi dari persamaan (.3 diberian oleh persamaan beriut: ~ W D ( DW D ( Dxˆ d (.3 Estimate tapis Kalman berendala yang diturunan dengan metode peluang masimum (. dan dengan metode rata-rata uadrat (.3 dapat diperoleh dari persamaan (.3, yaitu dengan mengganti W = Σ untu persamaan (. dan W = I untu persamaan (.3. III. PERANCANGAN 3. Desripsi Sistem Dalam ugas Ahir ini penulis mengambil asus nonlinear sederhana yang telah dilinearisasi, yaitu asus penelusuran posisi endaraan darat yang bergera dengan lintasan tertentu[]. Gambar 3. merupaan ilustrasi dari sistem yang ditinjau. Gambar 3. Kendaraan yang dipantau posisinya setiap saat oleh dua transponder Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP

4 Gambar 3. memperlihatan sebuah endaraan darat (mobil yang dipantau posisinya setiap watu oleh dua buah transponder. Dua transponder tersebut di letaan pada posisi tertentu, yaitu di ( rn, re dan ( r n, re, yang nantinya aan menjadi acuan bagi posisi atual endaraan. Posisi acuan endaraan dinyataan relatif terhadap sumbu arah utara dan arah timur. Adapun state endaraan itu sendiri pada ugas Ahir ini dianggap terdiri dari empat state yaitu posisi relatif terhadap sumbu arah utara, posisi relatif terhadap sumbu arah timur, ecepatan relatif terhadap sumbu arah utara, dan ecepatan relatif terhadap sumbu arah timur. Persamaan yang menggambaran dinamia sistem adalah sebagai beriut. x x + = + u + w sin θ cosθ (3. y ( x = ( x n n + ( x + ( x e e + e dengan adalah periode cupli estimator posisi dan θ ialah sudut arah endaraan (dihitung berlawanan arah jarum jam terhadap arah timur. Perhatian bahwa dari persamaan (3. dapat dilihat persamaan statenya linear, sedangan persamaan penguurannya nonlinear. apis Kalman yang diperluas(extended Kalman filter dapat digunaan untu mengestimasi vetor state. Pada ugas Ahir ini aan digunaan posisi acuan di (, meter dan posisi acuan di (73, meter. Adapun ovarian derau proses dan derau penguuran ditentuan sebagai beriut: Q = diag(4, 4,, R = diag(9, 9 Pada ugas Ahir ini tapis Kalman digunaan untu mengestimasi posisi endaraan. Mesipun demiian, pada bagian perancangan program dan pengujian program, penulis juga menyertaan estimasi ecepatan sebagai tambahan. Selama selang watu tertentu endaraan mungin saja bergera eluar dari lintasan (off-road atau bergera pada lintasan yang ta dietahui, yang berarti state endaraan merupaan asus tanpa endala. Dalam selang watu yang lain, bisa jadi endaraan bergera menempuh lintasan yang telah diberian, yang berarti state endaraan merupaan asus berendala. Adapun matris endalanya diberian oleh persamaan beriut. tan θ D = tan θ (3. d = [ ] Pada ugas Ahir ini periode cupli diset sebesar 3 deti, sementara sudut θ ditentuan onstan sebesar π/3(6. Untu percepatan ontrol, diatur ± m / s secara bergantian. ujuannya adalah untu memberian efe cepat-lambat terhadap geraan endaraan. Perhatian bahwa dengan mengatur sudut θ sebesar 6 berarti lintasan yang ditempuh endaraan merupaan garis lurus. Nilai awal untu state dan matris ovarian eror estimasi ditentuan sebagai beriut: = 73 P = diag [ ] [ ] 3. Program Utama Selanjutnya aan dijelasan secara singat program yang mensimulasian tapis Kalman sealigus pemplotan data untu eperluan analisis. Pada ugas Ahir ini digunaan bahasa pemrograman Matlab 6.5. Langah pertama yang dilauan adalah menentuan nilai awal (inisialisasi semua parameter sistem, yaitu menentuan selang watu simulasi, matris Q, matris R, matris R, sudut θ, menentuan nilai awal semua state dan estimate state, masuan ontrol, matris ovarian eror estimasi P dan P, posisi acuan edua transponder, matris sistem A, dan matris endala state D. Selanjutnya, untu epentingan pemplotan data, nilai array juga diberi nilai awal terlebih dahulu. Array ini meliputi array state sebenarnya, estimate state penguuran sempurna, estimate state tanpa endala maupun estimate state berendala, dan array eror endala untu semua asus. Gambar 3. menunjuan diagram alir program eseluruhan. Mulai Inisialisasi semua parameter sistem Inisialisasi array untu plot data Simulasi semua hasil penguuran Simulasi semua tapis Kalman Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP A A Simulasi mencari semua state Simulasi sistem Simulasi hasil penguuran seali lagi Mencari rata-rata Memplot data Selesai Gambar 3. Diagram alir jalannya program utama

5 IV. PENGUJIAN DAN ANALISIS 4. Pengujian Jalannya Program Pada pengujian jalannya program ini aan dilauan sebanya dua puluh simulasi. Untu menjalanan program, pertama harus dibua program Matlab 6.5. Contoh tampilan hasil eseusi program yang terlihat pada jendela Command ditunjuan oleh gambar 4. di bawah ini. Gambar 4. Contoh Plot Posisi Sebenarnya Gambar 4. Contoh tampilan hasil eseusi program KalmanBerendala Gambar 4. merupaan contoh plot posisi sebenarnya dari endaraan. Perhatian bahwa pada watu t = 3 deti ternyata endaraan belum mencapai posisi acuan(73, m. Ini di-arenaan tujuan simulasi ini buanlah memenuhi endala watu minimum, melainan eror estimasi minimum. Untu memberi gambaran hasil simulasi, beriut ini diberian tabel 4. yang berisi perbandingan RMS eror estimasi posisi dan eror estimasi ecepatan. abel 4. Perbandingan RMS Eror Estimasi Posisi Dan Kecepatan Pada Pengujian Jalannya Program Simulasi RMS Eror Estimasi e-i Posisi(meter Kecepatan(meter/deti K PS W=I W=P - K PS W=I W=P -. 6,373,757,757,757,493,8759,87664, ,476,876,876,876,7,948,9466, ,8,647,647,647.,388,9,8,8 4. 4,7648,43,43,43,,8784,87739, ,79,547,548,548,998,979, ,499,575,574,575,458,9,63, ,65,86,86,87,46,5,, 8. 5,35,85,8499,85,346,95573,9565, ,779,968,968,969,53,966, ,843,8,8,8,584,983,9879, ,863,67,673,673,367,749,75,75. 4,76,839,8389,839,64,86948,8695, ,7645,634,633,634,69,84534,8446, ,464,975,975,976,777,89737,8968, ,375,349,349,35,8,878,8784, ,565,8989,8988,8989,3,8745,8788, ,5933,7875,7875,7875,35,7644,764, ,5579,889,889,88,387,7,7,9 9. 4,969,7337,7337,7338,8,76788,7685, ,596,934,934,934,3,98,97995,97995 x 5,7979,7979,859,74875,9733,97369,97379 σ x,533,957,956,9447,7577,936,9545,9554 Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP

6 Pada tabel 4. dapat dilihat bahwa RMS eror estimasi posisi berendala, bai untu W=I maupun W=P -, jauh lebih ecil daripada RMS eror estimasi posisi tanpa endala, yaitu hingga /5 alinya. Ini berarti pengujian program telah berhasil sesuai dengan tujuan yang diinginan. Hal sediit berbeda terjadi pada RMS eror estima-si ecepatan. Selisih RMS eror estimasi ecepatan tanpa endala dan berendala relatif sangat ecil, hanya,77 m/deti. Adapun untu rata-rata eror endalanya ditunjuan oleh tabel 4. beriut. abel 4. Perbandingan Rata-Rata Eror Kendala Pada Pengujian Program Simulasi e-i Rata-Rata Eror Kendala K PS W=I W=P -. 5,7564 8,494e-9,7554,7554.,9585,59e-8,49, ,77 7,3937e-9,8599, ,6 8,5e-9,77,77 5.,8994 7,45e-9,65, ,784 8,4948e-9,846,846 7.,65,33e-8,446,446 8.,4657 8,94e-9,56,56 9.,6 8,3693e-9,8,8.,7384 8,34e-9,63,63.,9643,36e-8,63,63.,656 8,777e-9,9868, ,89 7,98e-9,659,659 4.,69 7,645e-9,536,536 5.,4655 7,85e-9,9944, ,74 8,9934e-9,35,35 7.,654 7,94e-9,87,87 8.,477 9,843e-9,34,34 9.,984 9,36e-9,353,353.,948 9,757e-9,9963,9963 x, ,67e-9,3,3 σ x,66349,349e-9,75,75 Mencermati tabel 4. di atas terlihat bahwa ratarata eror endala pada tapis Kalman berendala jauh lebih ecil dibanding pada asus tanpa endala, yaitu mencapai rasio dengan orde -. Hal ini merupaan penegasan terhadap eberhasilan pengujian program. Perhatian bahwa ratarata eror endala untu asus penguuran sempurna sangat ecil, yaitu dalam orde Dengan ata lain, nilainya mendeati nol. Ini terjadi arena pada asus penguuran sempurna juga dilauan penguuran ecepatan. Selain itu, sudut arah endaraan pada asus ini diasumsian sama dengan sudut endaraan sebenarnya sehingga tida perlu dilauan estimasi. Hal berbeda terjadi pada asus tapis tanpa endala maupun berendala, yaitu harus mengestimasi terlebih dahulu sudut arah endaraan berdasaran informasi estimasi state. V. KESIMPULAN DAN SARAN Dari hasil simulasi pengujian program dan analisis yang telah dilauan dapat disimpulan upaya untu memasuan endala state linear e dalam persamaan tapis Kalman terbuti sangat efetif. Keefetifan ini bisa dilihat dari RMS eror estimasi posisi tapis berendala yang bernilai sangat ecil, yaitu sebesar /5 ali, dibandingan hasil tapis tanpa endala. Hal sediit berbeda terjadi pada RMS eror estimasi ecepatan. Selisih RMS eror estimasi ecepatan tanpa endala dan berendala relatif sangat ecil, hanya,77 m/deti. Pemberian nilai awal parameter sistem dapat dilauan secara lebih variatif hingga diperoleh ualitas inerja tapis yang diinginan. Sebainya jumlah simulasi yang dilauan lebih banya sehingga diperoleh data-data (sampel yang lebih valid secara statisti. Untu pengem- Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP

7 bangan ugas Ahir ini selanjutnya bisa digunaan persamaan endala state yang berbeda agar didapatan optimal smoothing. Selain itu juga bisa digunaan tapis minimax atau tapis H untu mengaomodasi etidapastian derau (noise uncertainty dan esalahan dalam pemodelan sis-tem. Algoritma tapis Kalman yang telah dibahas pada ugas Ahir ini bisa diembangan untu diterapan pada asus navigasi aerospace, navi-gasi laut, maupun banya apliasi lainnya. DAFAR PUSAKA [] Simon, D., and.l. Chia, Kalman Filtering with State Equality Constraints, / November 7. [] Simon, D., Kalman Filtering, cs.unc.edu/~welch/alman/,november 7. [3] Weistein,E.W.,Covariance, wolfram.com/covariance.html,november 7. [4] ---, Expected Value, wii/expected value, November 7. [5] ---, Variance, variance, November 7. [6] ---, Probability Density Function, wiipedia.org/wii/probability density function, November 7. [7] ---, Kalman Filter, wii/kalman_filter, November 7. [8] ---, Distribution heory, distribution theory, November 7. [9] ---, Random Variables, random variables, November 7. Lahir di Semarang, Maret 984. Saat ini sedang melanjutan studi pendidian strata I di Jurusan eni Eletro, Faultas eni Universitas Diponegoro Konsentrasi Kontrol. Mengetahui dan mengesahan, Dosen Pembimbing I Budi Setiyono, S, M NIP anggal: 3 Pebruari 8 Dosen Pembimbing II Darjat, S, M NIP anggal:3 Pebruari 8 Iput Kasiyanto (LF 3 59 Mahasiswa Jurusan eni Eletro UNDIP Staf Pengajar Jurusan eni Eletro UNDIP