BAB 3 PRINSIP SANGKAR BURUNG MERPATI

Transkripsi

1 BAB 3 PRINSIP SANGKAR BURUNG MERPATI 3. Pengertian Prinsip Sangar Burung Merpati Sebagai ilustrasi ita misalan terdapat 3 eor burung merpati dan 2 sangar burung merpati. Terdapat beberapa emunginan bagaimana burung-burung itu menempati sangarnya. Beriut ini disaian peristiwa bagaimana burung merpati menempati sangar-sangar itu Gambar 3.. Peristiwa 3 burung merpati dan 2 sangar Dari eempat peristiwa yang teradi pada ilustrasi di atas tampa bahwa di setiap peristiwa itu selalu ada satu sangar burung atau lebih yang ditempati beberapa burung merpati. Lebih tepatnya ita ataan paling sediit ada satu sangar burung yang ditempati oleh paling sediit dua eor burung merpati. Kita perhatian bagaimana yang teradi ia terdapat 4 burung merpati yang menempati 3 sangar burung. Peristiwa yang teradi di antaranya dapat dilihat pada gambar beriut. Pertama-tama ita perhatian emunginan yang teradi ia semua sangar terisi. Karena banyanya merpati melebihi banyanya sangar maa peristiwa semua sangar terisi ini dapat digambaran sebagai beriut: Gambar 3.2. Peristiwa 4 burung merpati dan 3 sangar (asus ) Jia terdapat satu sangar yang tida terisi maa emunginan yang dapat teradi adalah seperti di bawah ini: Gambar 3.3. Peristiwa 4 burung merpati dan 3 sangar (asus 2). Terahir adalah peristiwa 2 sangar yang tida ditempati burung-burung itu sehingga terdapat 4 eor burung yang menempati salah satu di antara etiga sangar yang tersedia. Semua peristiwa yang mungin tentang tida terisinya dua sangar ini dapat digambaran sebagai beriut Gambar 3.3. Peristiwa 4 burung merpati dan 3 sangar (asus 3) Dari gambar-gambar di atas yang memperlihatan berbagai situasi yang berlainan dapat disimpulan bahwa manaala banyanya burung melebihi banyanya sangar maa aan selalu terdapat paling sediit satu sangar burung yang ditempati oleh paling sediit dua eor burung merpati. Kita rumusan hasil disusi ini pada teorema beriut. Teorema 3. (Prinsip Sangar Burung Merpati) Jia + obye atau lebih ditempatan pada ota maa terdapat paling sediit satu ota yang memuat dua obye atau lebih. Buti: Misalan tida terdapat satu ota pun yang memuat lebih dari satu obye. Maa ini menunuan bahwa banyanya obye secara eseluruhan tentulah paling banya adalah. Namun ini adalah sebuah ontradisi arena ini berarti paling sediit hanyalah ada + obye. 3.2 Prinsip Sangar Burung Merpati yang Diperumum Prinsip sangar burung merpati menyataan bahwa terdapat paling sediit 2 obye dalam ota yang sama ia terdapat obye yang lebih banya dari otanya. Misalnya di antara 3 anga desimal pasti terdapat paling sediit 4 anga yang sama. Ini arena ia e 3 anga tadi didistribusian pada 0 ota satu ota tentu aan memilii lebih dari 3 obye. Secara umum situasi ini ita rumusan sebagai beriut. Teorema 3.2 (Prinsip Sangar Burung Merpati yang Diperumum) Jia N obye ditempatan pada ota maa terdapat paling sediit ota yang memuat Buti: Misalan bahwa ta ada ota yang memuat lebih dari / banya adalah N N N dengan etidasamaan N N N / obye. N obye. Maa eseluruhan obye paling 4

2 telah digunaan. Namun ini merupaan sebuah ontradisi arena total banyanya obye adalah N. Beberapa masalah yang sering muncul biasanya adalah tentang menentuan banyanya obye minimum demiian sehingga paling sediit r obye dari obye-obye ini harus terdapat dalam satu dari ota ia obyeobye ini didistribusian di antara ota-ota itu. Jia ita memilii N obye prinsip sangar burung merpati yang diperumum menyataan bahwa paling sediit terdapat r obye dalam ota asalan N r. Bilangan bulat N terecil dengan N r yaitu N = (r-) + merupaan bilangan bulat terecil yang memenuhi etidasamaan N r. Munginah ada nilai N yang lebih ecil? Tentu tida arena ia ita memilii (r-) obye ita menempatan r- di antaranya pada tiap-tiap ota dari ota yang tersedia dan ta ada ota pun yang ditempati oleh paling sediit r obye. Teorema 3.3 Tiap-tiap barisan dari n 2 + bilangan real yang berbeda memuat sebuah barisan bagian yang panangnya n+ dan barisan bagian ini merupaan barisan nai atau turun. Apliasi prinsip sangar burung merpati memperlihatan adanya (esistensi) suatu barisan bagian (subsequence) yang nai atau turun dengan panang tertentu dalam sebuah barisan bilangan bulat. Sebuah barisan bagian dari barisan a a2 an didefinisian sebagai sebuah barisan dalam bentu a i ai a 2 i m dengan i i2 i m in. Ini berarti sebuah barisan bagian yang diperoleh dari suatu barisan tertentu diperoleh dengan mengambil beberapa suu dari barisan tersebut dalam urutan aslinya dan mungin tida memuat suu-suu lainnya. Sebuah barisan diataan nai ia tiap-tiap suunya selalu lebih besar daripada suu-suu sebelumnya dan diataan turun ia tiap-tiap suu selalu lebih ecil daripada suu-suu sebelumnya. Latihan Soal-soal: 3. Di antara 367 orang yang menghadiri sebuah seminar matematia pasti ada 2 orang yang berulang tahun pada hari yang sama. Mengapa? 3.2 Di antara anga yang ditulis pasti ada paling sediit anga yang berulang. Jelasan. 3.3 Jia seseorang diminta menulisan 28 ata yang disusun berdasaran huruf-huruf dalam abad maa pasti paling sediit ada dua ata yang diawali dengan huruf yang sama. Mengapa? 3.4 Dalam uian ahir semester matematia ombinatori mahasiswa mendapat sor minimal 0 dan masimal 00. Jia ita ingin agar terdapat paling sediit 2 mahasiswa yang mendapat nilai uian dengan sor yang sama berapa banyanya mahasiswa yang harus mengiuti uian itu? 3.5 Di antara 40 siswa dalam sebuah elas berapa orang yang lahir pada hari yang sama? 3.6 Di antara 0 mahasiswa yang mengontra mata uliah persamaan diferensial berapa orangah di antaranya yang lahir pada bulan yang sama? 3.7 Berapaah banyanya mahasiswa paling sediit yang harus menghadiri peruliahan matematia ombinatori agar terdapat paling sediit 6 mahasiswa yang memilii nilai huruf yang sama (dari nilai-nilai A B C D dan E) di ahir peruliahan? 3.8 Dari 52 artu bridge berapa artu harus dipilih agar terdapat paling sediit 3 artu dari (a) enis yang sama terpilih? (b) enis hati terpilih? 3.9 Dalam sebuah provinsi mau di antara pendudunya terdapat 25 uta eluarga yang masing-masing memilii unit telepon abel yang nomornya terdiri atas 0 anga. Dietahui bahwa nomor telepon tersebut dinyataan dalam bentu AXX-AXX-XXXX A merupaan anga 2 hingga 9 tiga anga pertama menyataan ode abupaten sedangan yang lainnya merupaan anga sembarang mulai dari 0 hingga 9. Berapa paling sediit ode daerah yang perlu disediaan agar semua pendudu memilii nomor telepon yang berlainan? 3.0 Dalam satu bulan tertentu yang terdiri atas 30 hari sebuah tim olah raga memainan paling sediit pertandingan setiap harinya tapi ta lebih dari 45 pertandingan. Perlihatan bahwa diperluan adanya satu periode tertentu yang terdiri atas beberapa hari yang berturut-turut dan pada periode ini tim olah raga tersebut harus memainan tepat 4 pertandingan. 3. Perlihatan bahwa di antara n+ bilangan bulat positif yang tida lebih dari 2n terdapat sebuah bilangan bulat yang membagi habis salah satu bilangan asli lainnya. 3.2 Barisan memilii 0 suu. Perhatian bahwa 0 = Terdapat 4 barisan bagian nai dengan panang 4 yaitu 462; 467; 460; dan 457. Terdapat pula sebuah barisan bagian turun dengan panang 4 yaitu Misalan dalam sebuah pesta yang dihadiri 6 orang tiap-tiap sepasang orang yang hadir saling merupaan teman atau saling merupaan musuh. Butian bahwa terdapat tiga orang yang hadir saling merupaan teman atau tiga orang yang hadir saling merupaan musuh. 42

3 Soal-soal Latihan:. Butian bahwa dalam tiap umpulan 6 mata pelaaran pasti ada dua mata pelaaran yang teradwal pada hari yang sama ia ta ada pelaaran yang diselenggaraan di hari Sabtu. 2. Misalan di sebuah pertemuan terdapat 28 orang. Maa paling sediit terdapat 2 orang yang namanya diawali dengan huruf yang sama. 3. Sebuah laci lemari diisi selusin aus ai berwarna biru dan selusin aus ai berwarna colat yang bercampur tida berpasangan. Seorang ana mengambil beberapa aus ai tersebut dalam egelapan malam. a. Berapa aus ai harus diambil agar dia yain bahwa paling sediit dia memperoleh dua aus ai yang berwarna sama? b. Berapa aus ai harus dia ambil agar paling sediit diperoleh dua aus ai berwarna biru? 43

4 4. Misalan terdapat sebuah himpunan bilangan bulat. Maa terdapat dua bilangan bulat yang sama memilii sisa yang sama ia eduanya dibagi Misalan a adalah bilangan asli. Tunuan bahwa di antara senbarang grup dari a+ bilangan asli (ta perlu berurutan) terdapat 2 bilangan asli yang memilii sisa yang sama ia eduanya dibagi bilangan a. 6. Misalan p adalah sebuah bilangan bulat positif. Perlihatan bahwa dalam tiap sembarang himpunan n bilangan bulat positif berurutan terdapat tepat bilangan bulat yang habis dibagi p. 7. Di awal tahun terdapat calon mahasiswa dari 40 provinsi yang mendaftar e perguruan tinggi. Jia ita ingin agar paling sediit terdapat 60 calon mahasiswa berasal dari provinsi yang sama berapa banyanya calon paling sediit yang harus mendaftar? 8. Tunuan bahwa ia 5 bilangan asli dipilih dari 8 bilangan asli pertama maa pasti terdapat sepasang bilangan asli yang umlahnya adalah Misalan dari 8 bilangan bulat positif pertama diambil 4 bilangan. Apaah pasti terdapat sepasang bilangan bulat positif yang umlahnya 9? 0. Perlihatan bahwa ia 7 bilangan dipilih dari 0 bilangan asli pertama maa pasti terdapat paling sediit dua pasang bilangan yang umlahnya.. Misalan 6 bilangan dipilih dari 0 bilangan asli pertama. Apaah pasti terdapat paling sediit dua pasang bilangan yang umlahnya? 2. Berapa banyanya bilangan yang harus dipilih dari himpunan {2345} untu memastian bahwa paling sediit sepasang bilangan dari bilangan-bilangan dalam himpunan ini umlahnya Berapa banyanya bilangan yang harus dipilih dari himpunan {23456} untu memastian bahwa paling sediit sepasang bilangan dari bilangan-bilangan dalam himpunan ini umlahnya Berapa banyanya bilangan yang harus dipilih dari himpunan { } untu memastian bahwa paling sediit sepasang bilangan dari bilangan-bilangan dalam himpunan ini umlahnya Di sebuah peruliahan matematia ombinatori terdapat sembilan mahasiswa. Perlihatan bahwa di peruliahan tersebut paling sediit terdapat paling sediit lima mahasiswa pria atau paling sediit lima mahasiswa wanita. Tunuan pula bahwa di peruliahan tersebut terdapat paling sediit tiga mahasiswa pria atau paling sediit tuuh mahasiswa wanita. 6. Misalan bahwa tiap-tiap mahasiswa yang mengontra mata uliah persamaan diferensial yang umlahnya mencapai dua puluh lima orang adalah mahasiswa asal Pulau Jawa Pulau Sumatra atau Pulau Kalimantan. Perlihatan bahwa terdapat paling sediit sembilan mahasiswa asal Pulau Jawa paling sediit sembilan mahasiswa asal Pulau Sumatra atau paling sediit sembilan mahasiswa asal Pulau Kalimantan. Tunuan pula bahwa terdapat paling sediit tiga mahasiswa asal Pulau Jawa paling sediit sembilan belas mahasiswa asal Pulau Sumatra atau paling sediit lima mahasiswa asal Pulau Kalimantan. 7. Susunlah sebuah barisan yang terdiri atas enam belas bilangan asli yang mengandung barisan bagian dengan lima suu demiian sehingga barisan bagian tersebut termasu barisan nai atau barisan turun. 8. Perlihatan bahwa di antara 0 peserta seminar yang tinggi badannya semuanya berbeda terdapat sebelas orang yang dapat diminta berdiri dalam satu barisan dengan tinggi badan dari terecil e terbesar atau sebalinya. 44

5 9. Dalam sebuah elompo yang terdiri atas 5 orang di antara dua orang dalam elompo tersebut saling merupaan teman atau saling merupaan musuh. Perlihatan bahwa tidalah mungin terdapat tiga orang dalam elompo tersebut yang saling merupaan musuh satu sama lain atau saling merupaan teman satu sama lain. 20. Dalam sebuah elompo yang terdiri atas 0 orang di antara dua orang dalam elompo tersebut saling merupaan teman atau saling merupaan musuh. Perlihatan bahwa pasti terdapat tiga orang dalam elompo tersebut yang saling merupaan musuh satu sama lain atau empat orang yang saling merupaan teman satu sama lain dan tiga orang yang saling merupaan musuh satu sama lain atau empat orang yang satu sama lainnya merupaan teman. 2. Dalam sebuah elompo yang terdiri atas 20 orang di antara dua orang dalam elompo tersebut saling merupaan teman atau saling merupaan musuh. Perlihatan bahwa pasti terdapat empat orang dalam elompo tersebut yang saling merupaan musuh satu sama lain atau empat orang yang saling merupaan teman satu sama lain. 22. Misalan a a2 an merupaan bilangan asli. Butian bahwa ia sebanya ( a a2 n n a ) ( ) merpati ditempatan e dalam n sangar maa sangar yang e-i dengan i = 2... n ditempati oleh paling sediit a i burung merpati. 23. Di tepi sebelah iri sepanang alan raya sebuah ota terdapat 23 rumah. Tiap-tiap rumah mempunyai nomor mulai dari 00 hingga 43. Perlihatan bahwa ada paling sediit 2 rumah yang mempunyai nomor berurutan Misalan m i n untu i 2 n. Dengan prinsip sangar burung merpati yang diperumum tunuan bahwa terdapat n+ suu i i i. 2 n a dengan a a i i 2 i n m m m dan i i 2 i n Contoh 3. Di antara 367 orang yang menghadiri sebuah seminar matematia pasti ada 2 orang yang berulang tahun pada hari yang sama arena hanya ada 366 hari ulang tahun yang mungin dalam setiap tahunnya. Contoh 3.2 Di antara anga yang ditulis pasti ada paling sediit anga yang berulang arena hanya ada 0 anga yani mulai dari 0 hingga 9. Contoh 3.3 Jia seseorang diminta menulisan 28 ata yang disusun berdasaran huruf-huruf dalam abad maa pasti paling sediit ada dua ata yang diawali dengan huruf yang sama arena abad hanya memuat 26 huruf saa. Contoh 3.4 Dalam uian ahir semester matematia ombinatori mahasiswa mendapat sor minimal 0 dan masimal 00. Jia ita ingin agar terdapat paling sediit 2 mahasiswa yang mendapat nilai uian dengan sor yang sama berapa banyanya mahasiswa yang harus mengiuti uian itu? 45

6 Dalam hal ini sor yang ada adalah dari 0 hingga 00. Ini artinya terdapat 0 sor yang berlainan yang dapat diperoleh mahasiswa peserta uian tersebut. Sesuai dengan prinsip sangar burung merpati di antara 02 mahasiswa yang mengiuti uian ahir semester terdapat paling sediit 2 mahasiswa mendapat sor yang sama. Contoh 3.5 Di antara 40 siswa dalam sebuah elas berapa orang yang lahir pada hari yang sama? Di antara 40 mahasiswa terdapat paling sediit 40 / 7 = 6 mahasiswa yang memilii hari ulang tahun yang sama. Contoh 3.6 Di antara 0 mahasiswa yang mengontra mata uliah persamaan diferensial berapa orangah di antaranya yang lahir pada bulan yang sama? Di antara 0 mahasiswa terdapat paling sediit 0 /2 9 mahasiswa yang lahir pada bulan yang sama. Contoh 3.7 Berapaah banyanya mahasiswa paling sediit yang harus menghadiri peruliahan matematia ombinatori agar terdapat paling sediit 6 mahasiswa yang memilii nilai huruf yang sama (dari nilai-nilai A B C D dan E) di ahir peruliahan? Untu memastian bahwa paling sediit terdapat 6 mahasiswa memperoleh nilai yang sama maa banyanya mahasiswa yang diperluan paling sediit dapat dinyataan dengan bilangan bulat terecil demiian sehingga N / 5 5. Bilangan terecil ini adalah N = = 26. Jia ita hanya mempunyai 25 mahasiswa maa bisa teradi adanya 5 mahasiswa yang masing-masing memperoleh nilai demiian sehingga di antara eenam mahasiswa ta ada yang memperoleh nilai yang sama. Ini berarti diperluan paling sediit 26 mahasiswa agar paling sediit terdapat 6 mahasiswa memperoleh nilai yang sama. Contoh 3.8 Dari 52 artu bridge berapa artu harus dipilih agar terdapat paling sediit 3 artu dari enis yang sama terpilih? Misalan terdapat 4 ota dan di saat artu dipilih artu-artu itu ditempatan pada ota yang telah dihususan untu ditempati artu dari enis itu. Dengan menggunaan prinsip sangar burung merpati tampa bahwa ia N artu dipilih maa paling sediit terdapat ota yang memuat paling sediit N / 4 artu. Aibatnya terdapat paling sediit 3 artu dari enis yang sama terpilih ia N / 4 3. Bilangan bulat terecil demiian sehingga N / 4 3adalah N = = 9 sehingga 9 artu diperluan. Andaian 9 artu dipilih maa bisa diperoleh 2 artu dari enis yang sama demiian sehingga lebih dari 9 artu yang diperluan. Impliasinya adalah bahwa 9 artu harus dipilih untu menamin agar paling sediit 3 artu dari enis yang sama terpilih. Perlu dicatat bahwa setelah artu e-8 dipilih ita ta aan mampu menghindari teradinya artu etiga dari enis lainnya. Contoh 3.9 Dari 52 artu bridge berapa artu harus dipilih agar terdapat paling sediit 3 artu dari enis hati terpilih? Dalam masalah ini ita hanya ingin memastian bahwa etiga artu itu berasal dari enis hati dan buan berasal dari enis yang sama semata. Kita tentu saa dapat memilih seluruh artu dari enis bata daun atau eriting yani 39 artu semuanya sebelum ahirnya ita memilih sebuah artu hati. Tiga artu beriutnya semuanya berupa artu hati. Ini menunuan bahwa ita perlu memilih 42 artu untu memperoleh 3 artu hati. Contoh 3.0 Dalam sebuah provinsi mau di antara pendudunya terdapat 25 uta eluarga yang masing-masing memilii unit telepon abel yang nomornya terdiri atas 0 anga. Dietahui bahwa nomor telepon tersebut dinyataan dalam bentu AXX-AXX-XXXX A merupaan anga 2 hingga 9 tiga anga pertama menyataan ode abupaten sedangan yang lainnya merupaan anga sembarang mulai dari 0 hingga 9. Berapa paling sediit ode daerah yang perlu disediaan agar semua pendudu memilii nomor telepon yang berlainan? Terdapat 8 uta nomor yang berlainan dalam bentu tersebut arena ode daerah dalam bentu AXX terdiri atas 8 0 0=800 ode. Terdapat beberapa nomor telepon yang ode daerahnya sama sehingga perbedaan antara nomor telepon yang satu dengan yang lainnya tentu saa sangat tergantung pada 7 anga beriutnya yani yang dibentu oleh AXX-XXXX. Konfigurasi ini memberian = nomor yang berlainan. Dengan demiian berdasaran Prinsip Sangar Burung Merpati dari 25 uta pemili telepon tersebut terdapat di antaranya yang memilii nomor telepon yang sama. Dengan demiian paling sediit terdapat 4 ode wilayah yang diperluan agar esepuluh anga tersebut berlainan. Banya seali penerapan prinsip sangar burung merpati yang amat menari. Di antara penerapan itu misalnya bagaimana obye-obye yang ita pilih ita tempatan e dalam ota-ota secara cerdi. Contohcontoh beriut memberi ilustrasi penerapan seperti itu. 46

7 0 Contoh 3. Dalam satu bulan tertentu yang terdiri atas 30 hari sebuah tim olah raga memainan paling sediit pertandingan setiap harinya tapi ta lebih dari 45 pertandingan. Perlihatan bahwa diperluan adanya satu periode tertentu yang terdiri atas beberapa hari yang berturut-turut dan pada periode ini tim olah raga tersebut harus memainan tepat 4 pertandingan. Misalan a menyataan banyanya pertandingan yang dimainan pada hari e- atau hari sebelumnya dalam bulan tertentu. Maa a a2 a30 merupaan sebuah barisan nai dari bilangan bulat positif yang berlainan dengan a 45. Selain itu a 4 a2 4 a30 4 uga merupaan barisan nai dari bilangan bulat positif berlainan dengan 5 a Terdapat enam puluh bilangan bulat positif yaitu a a2 30 a 4 a2 4 a30 4 yang semuanya tida melebihi 59. Ini berarti sesuai dengan prinsip sangar burung merpati dari bilanganbilangan bulat ini dua bilangan di antaranya adalah sama. Karena bilangan bulat a = semuanya berlainan dan a + 4 = semuanya berlainan pula maa terdapat indes i dan dengan a i = a + 4. Dengan demiian terdapat tepat 4 pertandingan yang dilasanaan mulai dari hari + hingga hari i. Contoh 3.2 Perlihatan bahwa di antara n+ bilangan bulat positif yang tida lebih dari 2n terdapat sebuah bilangan bulat yang membagi habis salah satu bilangan asli lainnya. Kita tulis n+ bilangan bulat a a2 an sebagai pangat dari hasil ali antara2 dan sebuah bilangan asli ganil. Dengan ata lain misalan bahwa a 2 q untu =2... n+ dengan sebagai bilangan bulat ta negatif dan q merupaan sebuah bilangan ganil. Bilangan bulat q q2 qn merupaan bilangan bulat positif ganil yang urang dari 2n. Karena terdapat hanya n bilangan bulat positif ganil yang urang dari 2n maa berdasaran prinsip sangar burung merpati dua bilangan dari bilangan-bilangan q q q tentulah bernilai sama. Dengan demiian terdapat bilangan bulat i dan demiian sehingga q i 2 N = q. Misalan q merupaan nilai perseutuan dari q i dan q. Maa a 2 q. Ini berarti ia i < maa a i membagi habis a ; sedangan ia i > maa a membagi habis a i. Apliasi prinsip sangar burung merpati memperlihatan adanya (esistensi) suatu barisan bagian (subsequence) yang nai atau turun dengan panang tertentu dalam sebuah barisan bilangan bulat. Sebuah barisan bagian dari barisan a a2 an didefinisian sebagai sebuah barisan dalam bentu a i ai a 2 i m dengan i i2 i m in. Ini berarti sebuah barisan bagian yang diperoleh dari suatu barisan tertentu diperoleh dengan mengambil beberapa suu dari barisan tersebut dalam urutan aslinya dan mungin tida memuat suu-suu lainnya. Sebuah barisan diataan nai ia tiap-tiap suunya selalu lebih besar daripada suu-suu sebelumnya dan diataan turun ia tiap-tiap suu selalu lebih ecil daripada suu-suu sebelumnya. Contoh 3.3 Barisan memilii 0 suu. Perhatian bahwa 0 = Terdapat 4 barisan bagian nai dengan panang 4 yaitu 462; 467; 460; dan 457. Terdapat pula sebuah barisan bagian turun dengan panang 4 yaitu Contoh 3.4 Misalan dalam sebuah pesta yang dihadiri 6 orang tiap-tiap sepasang orang yang hadir saling merupaan teman atau saling merupaan musuh. Butian bahwa terdapat tiga orang yang hadir saling merupaan teman atau tiga orang yang hadir saling merupaan musuh. Misalan O adalah salah seorang di antara yang hadir di pesta itu. Di antara lima orang lainnya yaitu O 2 O 3 O 4 O 5 dan O 6 terdapat tiga orang atau lebih yang merupaan teman O atau tiga orang atau lebih merupaan musuh. Ini berdasaran prinsip sangar burung merpati yang diperumum arena ia 5 obye dibagi menadi dua himpunan maa salah satu himpunan memilii paling sediit 5/ 2 3 anggota. Dalam asus yang pertama misalan O 2 O 3 dan O 4 adalah teman dari O. Jia dua orang di antara yang tiga orang ini saling merupaan teman satu sama lain maa edua orang ini bersama-sama dengan O membentu sebuah elompo yang terdiri atas tiga orang yang saling merupaan teman satu sama lain. Jia tida demiian halnya maa O 2 O 3 dan O 4 membentu sebuah elompo yang saling merupaan musuh satu sama lain. Pembutian asus edua dapat dibutian dengan cara yang serupa. 47