GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR SUNARSIH

Transkripsi

1 GENERALISASI METODE TALI BUSUR UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN TAK LINEAR SUNARSIH DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

2 ABSTRACT SUNARSIH. Generalization of the Secant Method for Solving Nonlinear Equations. Supervised by SISWANDI and BERLIAN SETIAWATY. This manuscript discusses a method for determining nonlinear equations roots from function having ( 1) th derivative which are continuous on an open interval containing the roots. The method used in this manuscript is a generalization of the Secant method. This generalization is by substituting the linear interpolation equation in the iteration equation by Secant method for the ( 1) th derivative polynomial interpolation equations. Convergence analyzing of the approximation roots sequence resulting in a degree of convergence which is greater than that of the Secant method and relatively similar to that of the Newton-Raphson method. Key Words: Nonlinear Equation Roots, Generalization of the Secant Method.

3 ABSTRAK SUNARSIH. Generalisasi Metode Tali Busur untu Menyelesaian Persamaan Ta Linear. Dibimbing oleh SISWANDI dan BERLIAN SETIAWATY. Karya ilmiah ini membahas metode penentuan aar persamaan ta linear dari fungsi yang memilii turunan e- + 1 ontinu pada interval terbua yang mengandung aar. Metode yang digunaan dalam arya ilmiah ini merupaan generalisasi dari metode Tali Busur. Generalisasi ini dilauan dengan mengganti persamaan interpolasi linear pada persamaan iterasi metode Tali Busur dengan turunan interpolasi polinomial e Analisis eonvergenan barisan hampiran aar menghasilan derajat eonvergenannya lebih besar daripada menggunaan metode Tali Busur, dan relatif sama jia menggunaan metode Newton-Raphson. Kata Kunci: Aar Persamaan Ta Linear, Generalisasi Metode Tali Busur.

4 Generalisasi Metode Tali Busur untu Menyelesaian Persamaan Ta Linear SUNARSIH G Sripsi Sebagai salah satu syarat untu memeroleh gelar Sarjana Sains Pada Departemen Matematia DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2011

5 Judul Linear Nama NIM : Generalisasi Metode Tali Busur untu Menyelesaian Persamaan Ta : Sunarsih : G Mengetahui Pembimbing I Pembimbing II Drs. Siswandi, M.Si. Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP NIP Mengetahui Ketua Departemen Matematia Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP Tanggal Lulus :

6 KATA PENGANTAR Puji dan syuur penulis panjatan atas ehadirat Allah SWT yang telah melimpahan rahmat, arunia dan hidayah-nya epada saya sebagai penulis sehingga penulis dapat menyelesaian sripsi yang berjudul Generalisasi Metode Tali Busur untu Menyelesaian Persamaan Ta Linear tepat pada watunya. Sripsi ini disusun sebagai salah satu syarat elulusan untu memeroleh gelar Sarjana Sains pada program sarjana di Departemen Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor. Pada esempatan ini, penulis juga ingin mengucapan terimaasih pada berbagai piha yang telah membantu, 1. Keluargau tercinta: Bapa dan ibu (terima asih atas semua doa, duungan dan asih sayangnya), Kang Wito, Muji dan Riani (terima asih atas doa dan duungannya). 2. Bapa Dr. Siswandi, M.Si. dan Ibu Dr. Berlian Setiawaty, Ms. Selau Pembimbing I dan Pembimbing II (terima asih atas semua ilmu, esabaran, motivasi dan bantuannya selama penulisan sripsi ini). 3. Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. Selau dosen penguji, (terima asih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 4. Semua dosen Departemen Matematia (terima asih atas semua ilmu yang diberian). 5. Semua staf dan aryawan di Departemen Matematia(terimaasih atas segala bantuannya). 6. Teman-temanu (Inang, Ken dedes, Kimel, Ndut, Rhe, Tha, Yus). 7. Teman-teman angatan 43: Emta, Putri, Rias, Erni, Fitria, Dandi, Copi, Slamet, Lina, Ady, Vera, Abi, NS, Leo, Nobo, Cupit, Adam, Aji, Tami, Sendi, Albrian, Ratna, Fardan, Resti, Apri, Margi, Fajar, Wira, David, Arif, Arum, Aini, Ace, Zul, Diah, sabar, Dwi, Faizal, Nurmalina, Suci, Faizul, Syahrul, Nanu, Destya, Eca, Kabil, Nia, Razon, Peli, Irsyad, Hendra, Andrew, Nidya, Subro, Agung, Gandi, Elly, SN, dan Bertrand(terima asih atas ebersamaan alian). 8. Kaa-aa elasu angatan 41 dan 42 (terima asih atas doa dan duungannya). 9. Adi-adi elasu angatan 44 dan 45 (terima asih atas doa dan duungannya). Ahir ata, semoga sripsi ini memberian manfaat untu ita semua. Penulis juga menyadari bahwa sripsi ini masih jauh dari sempurna sehingga riti dan saran yang membangun sangat penulis harapan. Semoga Allah SWT senantiasa melimpahan rahmat dan arunia-nya untu ita semua. Amin. Bogor, November 2011 Sunarsih

7 RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Peanbaru pada tanggal 10 November 1987 sebagai ana edua dari empat bersaudara, ana dari pasangan Sonimin dan Siyam. Tahun 2000 penulis lulus dari SD N 036 Sia, Peanbaru. Tahun 2003 penulis lulus MTs-Hidayatullah Sialang baru, Peanbaru. Tahun 2006 penulis lulus SMA N 1 Lubu Dalam, Peanbaru dan pada tahun yang sama penulis lulus selesi masu IPB melalui jalur ujian Beasiswa Utusan Daerah (BUD), Tingat Persiapan Bersama. Pada tahun 2007, penulis memilih jurusan Matematia, Faultas Matematia dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengiuti peruliahan penulis pernah atif di IKPMR (Iatan Keluarga Pelajar dan Mahasiswa Riau) Bogor di bagian divisi erohanian islam 2008/2009. Penulis juga atif sebagai panitia pada beberapa acara lain Pesta Sains Nasional 2009, Dies Natalis IKPMR 2008, 2009 dan 2010, Masa Perenalan Departemen 2008, dan Try Out Kalulus dan Pengantar Matematia 2008, 2009 dan 2010.

8 vii DAFTAR ISI Halaman DAFTAR ISI... vii DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL.. ix DAFTAR LAMPIRAN... x I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang Tujuan II LANDASAN TEORI 2.1 Aar persamaan Ta Linear Interpolasi Barisan dan eonvergenan Sifat Aar Persamaan Polinomial... 9 III PEMBAHASAN 3.1 Rumusan Masalah Metode Newton-Raphson Metode Tali Busur Generalisasi Metode Tali Busur Analisis Keonvergenan Keonvergenan Metode Newton-Raphson Keonvergenan Metode Tali Busur Keonvergenan Generalisasi Metode Tali Busur Contoh Numeri Contoh dengan Metode Newton-Raphson Contoh dengan Metode Tali Busur Contoh dengan Generalisasi Metode Tali Busur IV SIMPULAN V DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN.. 25 vii vii

9 viii DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 1 Grafi Iterasi Metode Newton-Raphson.. 11 Gambar 2 Grafi Iterasi Metode Tali Busur. 12 viii viii

10 ix DAFTAR TABEL Halaman Tabel 1 Selisih Terbagi Tabel 2 Ilustrasi Metode Newton-Raphson.. 19 Tabel 3 Perubahan nilai awal terhadap banyanya iterasi pada MNR. 20 Tabel 4 Ilustrasi Metode Tali Busur Tabel 5 Perubahan nilai awal terhadap banyanya iterasi pada MTB.. 21 Tabel 6 Ilustrasi Generalisasi Metode Tali Busur Tabel 7 Perubahan nilai awal terhadap banyanya iterasi pada GMTB Tabel 8Hasil perolehan aar dari fungsi f x = x e x dengan metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi Metode Tali Busur ix ix

11 x DAFTAR LAMPIRAN Halaman Lampiran 1 Pembutian Teorema Lampiran 2 Program dengan Metode Newton-Rapshon Lampiran 3 Program dengan Metode Tali Busur.. 38 Lampiran 4 Program dengan Generalisasi Metode Tali Busur. 39 Lampiran 5 Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 6Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 7Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 8Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 9Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 10Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 11Program Metode Newton-Raphson dengan Nilai Awal x 0 = Lampiran 12Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.2 dan x 1 = Lampiran 13Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.3 dan x 1 = Lampiran 14Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.4 dan x 1 = Lampiran 15Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.5 dan x 1 = Lampiran 16Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.6 dan x 1 = Lampiran 17Program Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.7 dan x 1 = Lampiran 18Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.2 dan x 1 = Lampiran 19Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.3 dan x 1 = Lampiran 20Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.4 dan x 1 = Lampiran 21Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.5 dan x 1 = Lampiran 22Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.6 dan x 1 = Lampiran 23Program Generalisasi Metode Tali Busurdengan Nilai Awal x 0 = 0.7 dan x 1 = x x

12 xi I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belaang Salah satu masalah yang paling umum ditemui dalam bidang matematia, teni dan beberapa bidang ilmu lain adalah mencari aaraar persamaan. Terutama aar dari persamaan ta linear yang tida dapat diselesaian dengan metode analiti. Persamaan tersebut lebih efetif diselesaian dengan metode iteratif (Sahid 2005). Metode iteratif yang banya digunaan di berbagai buu adalah metode Tali Busur dan metode Newton-Raphson. Ada juga metode lain yaitu generalisasi metode Tali Busur. Secara umum semua metode pencarian aar tersebut dapat dielompoan menjadi dua golongan besar, yaitu metode tertutup dan metode terbua. Metode tertutup atau metode pengurung (braceting method) adalah metode pencarian aar yang aar-aarnya berada dalam interval a, b, dalam interval ini dipastian berisi minimal satu buah aar. Karena iterasinya selalu onvergen (menuju) e aar, sehingga metode ini selalu menemuan aar. Contoh metode ini adalah metode Bagi Dua dan metode Regular Falsi (Munir 2003). Metode terbua adalah metode pencarian aar yang tida memerluan interval yang mengapit aar, yang diperluan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untu menghitung hampiran aar yang baru. Pada metode ini hampiran aar yang diperoleh mungin saja mendeati aar sebenarnya (onvergen) atau mungin juga menjauhinya (divergen). Contoh metode ini adalah metode Titi Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur (Munir 2003). Untu selanjutnya pembahasan pada arya ilmiah ini dibatasi untu metode terbua, yaitu metode Newton-Raphson, metode Tali Busur dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson merupaan metode pencarian aar yang paling cepat onvergen di antara metode-metode pencarian aar yang lain, namun metode ini memerluan dua iterasi fungsi, yaitu nilai fungsi dan turunannya. Sedangan metode Tali Busur adalah metode pencarian aar yang memilii eonvergenan yang relatif lambat, tetapi untu setiap iterasi hanya memerluan perhitungan fungsinya saja (Sahid 2005). Pada arya ilmiah ini aan dibahas generalisasi dari metode Tali Busur, di mana metode ini merupaan metode pencarian aar yang hanya memerluan iterasi fungsi saja dan eonvergenannya relatif cepat. 1.2 Tujuan Tujuan penulisan arya ilmiah ini adalah: 1. Menentuan aar persamaan dengan generalisasi metode Tali Busur dan menganalisis eonvergenan barisan hampiran aar yang diperoleh (Sidi 2007). 2. Membandingan ecepatan dalam memperoleh aar dengan menggunaan generalisasi metode Tali Busur dengan metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur pada apliasi numerinya. II LANDASAN TEORI 2.1 Aar Persamaan Ta Linear Misalan f adalah suatu fungsi ontinu. Setiap bilangan α pada domain f yang memenuhi f α = 0 disebut aar persamaan f x = 0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f. Secara singat, α sering disebut aar f(x). Definisi 1 (Derajat Aar) Misalan f dan merupaan fungsi ontinu dengan (x) 0, sedemiian sehingga f x dapat dinyataan sebagai f x = x α m x, maa α disebut aar berderajat m. Dari persamaan di atas terlihat bahwa jia α pembuat nol fungsi f berderajat m, maa f α = 0, f α = 0,, f (m 1) α = 0, f (m ) (α) 0. Jia m = 1, maa α disebut aar sederhana. Jia m > 1, maa α disebut aar ganda. Jia m = 2, maa α disebut aar dobel, dan seterusnya. (Sahid 2005) xi

13 2 Definisi 2 (Galat Hampiran) Misalan x adalah suatu nilai hampiran yang diperoleh melalui suatu metode numeri, untu nilai esa (nilai sebenarnya) x yang tida dietahui. Nilai ε x = x x disebut selisih atau galat, ε x disebut galat mutla. (Atinson & Han 2003) Definisi 3 (Derajat Keonvergenan) Misalan x 0, x 1, x 2, merupaan barisan yang onvergen e α dan misalan ε n = x n α menyataan persamaan galat hampiran e-n, yang didefinisian pada Definisi 2, dengan n = 0, 1, 2,. Jia terdapat sebuah bilangan s dan onstanta Q 0 yang mengaibatan lim ε n+1 ε n s = Q, maa s disebut derajat eonvergenan barisan tersebut dan Q disebut onstanta galat asimptoti. Untu s = 1 disebut eonvergenan linear. Untu s = 2 disebut eonvergenan uadrati, dan seterusnya. (Atinson & Han 2003) Definisi 4 (Metode Iteratif) Metode iteratif adalah suatu metode yang digunaan untu mencari solusi suatu persamaan ta linear yang dimulai dengan memilih nilai awal dan emudian berusaha memperbaii hampiran e-n yang menuju ta hingga, tetapi setiap langahnya tetap onvergen atau menuju e suatu aar tertentu. (Atinson & Han 2003) Definisi 5 (Metode Terbua) Metode terbua adalah metode pencarian aar yang tida memerluan interval yang mengapit aar, yang diperluan adalah nilai awal dan persamaan iterasi untu menghitung hampiran aar yang baru. Pada metode ini hampiran aar yang diperoleh mungin mendeati aar (onvergen), atau mungin juga menjauhinya (divergen). (Munir 2003) Contoh metode ini adalah metode Titi Tetap, metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson Metode Newton-Raphson adalah metode pencarian aar yang hampiran aarnya diperoleh dengan mencari titi potong garis singgung urva di titi x n, f x n dengan sumbu-x, dengan nilai awal x 0 diberian. Persamaan iterasi untu mendapatan hampiran e-n + 1 adalah x n+1 = x n f(x n ) f ; n = 0, 1,2,. (1) x n (Atinson & Han 2003) Metode Tali Busur Metode Tali Busur (secant method) adalah metode pencarian aar yang merupaan modifiasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran aar yang dicari diperoleh dengan mencari titi potong garis singgung urva di titi x n, f x n dengan sumbu-x. Kemudian dimodifiasi pada metode Tali Busur di mana hampiran aarnya diperoleh dengan menggunaan tali busur yang melalui titi x n 1, f x n 1 dan x n, f x n sebagai hampiran f(x) dan mencari titi potongnya dengan sumbu-x. Persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson yang menggunaan turunan f(x) dimodifiasi sehingga tida harus menggunaan fungsi turunannya tersebut. Persamaan iterasi untu mendapatan hampiran e-n + 1 adalah x n+1 = x n f x n ; n = 1,2,. f x n, x n 1 (Atinson & Han 2003) Definisi 6 (Deret Taylor) Misalan fungsi f memunyai turunan e n + 1 yang ontinu pada interval [a, b]. Misalan juga untu setiap x 0 [a, b]. Deret n f () x 0 (x x! 0 ) =0 disebut deret Taylor fungsi f di seitar x 0, dan dapat ditulisan f x = n =0 f () x 0! (x x 0 ). Dengan memisalan x = x 0 +, diperoleh n f () x 0 f x 0 + =.! =0 (Cheney & Kincaid 1994) 2

14 3 Definisi 7 C +1 (I) adalah himpunan semua fungsi yang memilii turunan e- + 1 ontinu pada I, di mana I adalah interval terbua. (Burden & Faires 1993) Teorema 1 (Teorema Rolle) Misalan f adalah fungsi yang ontinu pada [a, b] dan fungsi f terturunan pada (a, b). Jia f a = f b = 0, maa terdapat sebuah bilangan c (a, b), sehingga f c = 0. (Burden & Faires 1993) Buti: Terdapat tiga asus, yaitu Kasus 1: f x =, dengan onstan. Dari sini diperoleh f x = 0, sehingga bilangan c dapat diambil sembarang bilangan dalam interval (a, b). Kasus 2: f(x) > f(a), untu suatu x pada (a, b). Karena f fungsi ontinu pada a, b, maa menurut Teorema Nilai Estrim f memunyai nilai masimum pada suatu titi dalam interval [a, b]. Karena f(a) = f(b), f harus mencapai masimum pada c a, b, maa f memunyai masimum loal pada c dan arena f terturunan pada c, maa f c = 0. Kasus 3: f x < f(a) untu suatu x dalam interval terbua (a, b). Karena f fungsi ontinu pada a, b, maa menurut Teorema Nilai Estrim f memunyai nilai minimum pada suatu titi dalam interval [a, b]. Karena f(a) = f(b), f harus mencapai minimum pada c a, b, maa f memunyai minimum loal pada c dan arena f terturunan pada c, maa f c = 0. Dengan demiian Teorema 1 terbuti. 2.2 Interpolasi Definisi 8 (Interpolasi) Interpolasi adalah proses pencarian dan perhitungan nilai suatu fungsi yang grafinya melewati seumpulan titi yang diberian. Titi-titi tersebut mungin merupaan hasil esperimen dalam sebuah percobaan atau diperoleh dari sebuah fungsi yang dietahui. Fungsi interpolasi biasanya dipilih dari seelompo fungsi tertentu, salah satu fungsi yang paling banya dipaai adalah fungsi polinomial. (Atinson & Han 2003) Definisi 9 (Interpolasi Polinomial Linear) Interpolasi polinomial linear adalah interpolasi dua buah titi dengan sebuah garis lurus, misal diberian dua buah titi x 1, y 1 dan x 2, y 2, maa polinomial yang menginterpolasi edua titi itu adalah persamaan garis lurus yang berbentu p 1 x = y 1 + y 2 y 1 x x x 2 x 1. 1 (Cheney & Kincaid 1994) Definisi 10 (Selisih Terbagi) Selisih terbagi (divided difference) atau adang disebut daftar selisih adalah metode untu mendapatan suatu penyajian secara esplisit suatu interpolasi polinomial Newton dari data yang tertabulasi dan ditulis sebagai f x 0, x 1,, x. Selisih terbagi dari fungsi y = f(x) untu = 1,2,3,, m didefinisian sebagai beriut 1. Selisih terbagi e-nol terhadap x adalah f x = f x. 2. Selisih terbagi pertama terhadap x dan x +1 adalah f x, x +1 = f x +1 f x x +1 x. 3. Selisih terbagi edua terhadap x, x +1 dan x +2 adalah f x, x +1, x +2 = f x +2, x +1 f x +1, x x +2 x Selisih terbagi didefinisian secara reursif sebagai beriut f x, x +1,, x +n 1, x +n = f x +n, x +n 1,, x +1 f x +n 1,, x +1, x x +n x ; x x +n. (Cheney & Kincaid 1994) Teorema 2 (Sifat Simetris Selisih Terbagi) Misalan s 1, s 2,, s +1 menyataan permutasi dari indes 1,2,, + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maa untu sebarang indes selisih terbagi berlau f x s1, x s2,, x s+1 = f x s+1,, x s2, x s1. (Atinson & Han 2003) Buti: (dengan indusi pada + 1) 1. Basis indusi 3

15 4 Untu = 1, maa berlau f x 1, x 2 = f x 2 f x 1 x 2 x 1 = f x 2 f x 1 x 2 x 1 = f x 2 f x 1 x 2 x 1 = f x 1 f x 2 x 1 x 2 = f x 1 f x 2 x 1 x 2 = f x 2, x Hipotesis indusi Anggap benar, untu s 1, s 2,, s sebarang permutasi dari indes 1,2,, f x s1, x s2,, x s = f x s, x s2, x s1. 3. Langah indusi Aan dibutian: untu s 1, s 2,, s +1 sebarang permutasi dari indes 1,2,, + 1 berlau f x s1, x s2,, x s+1 = f x s+1, x s2, x s1. Buti: f x s1, x s2,, x s+1 = f x s+1, x s,, x s2 f x s,, x s1 = f x s 2,, x s+1 f x s1,, x s 1, x s x s+1 x s1 = f x s 1,, x s 1, x s f x s2,, x s +1 (x s1 x s +1 ) = f x s 1,, x s 1, x s f x s2,, x s+1 x s1 x s+1 = f x s+1, x s,, x s1. Berdasaran prinsip indusi matemati, maa Teorema 2 terbuti. Teorema 3 (Hubungan Selisih Terbagi dengan Turunan untu Simpul Sama) Jia didefinisian f x 1, x 1 = lim x2 x 1 f x 1,x 2 dan limitnya ada, maa berlau f x 1, x 1 = f x 1. (Atinson & Han 2003) Buti: Karena dietahui f x 1, x 1 = lim f x 1, x 2 x 2 x 1 = lim x 2 x 1 f x 2 f x 1 x 2 x 1 (arena Definisi 10) = f x 1. (menurut Definisi turunan) Dengan demiian Teorema 3 terbuti. x s+1 x s1 Teorema 4 (Interpolasi Polinomial Newton) Misalan fungsi f terdefinisi pada interval terbua I, dan misalan x n, x n 1,, x n adalah + 1 bilangan yang berlainan pada interval terbua I, maa terdapat sebuah polinomial tunggal p n, x berderajat paling tinggi yang memenuhi f x i = p n, x i ; untu i = n, n 1,, n. Interpolasi polinomial Newton ini adalah p n, x = f x n + f x n, x n 1,, x n i x x n j i=1 i 1 j =0. (2) (Sahid 2005) Buti: Interpolasi polinomial Newton dapat diperoleh secara reursif. Oleh arena itu, untu menghitung suatu nilai dengan menggunaan interpolasi polinomial berderajat perlu menghitung nilai-nilai polinomial berderajat 1,2,,. Misalan interpolasi polinomialnya ditulisan sebagai p n, x = a 1 + a 2 x x n + a 3 x x n x x n a x x n x x n 1 x x n +2 + a +1 x x n x x n 1 x x n +1, dan aan ditentuan nilai-nilai oefisien a 1, a 2, a 3,, a. Di sini berlau p n, x i = f x i untu i = n, n 1,, n. Jia x = x n disubstitusian pada persamaan interpolasi polinomial, maa semua suu pada sisi anan persamaan ecuali suu pertama bernilai nol, sehingga diperoleh p n,0 x n = a 1 = f x n. Jia x = x n 1 disubstitusian e dalam persamaan interpolasi polinomial, maa semua suu pada sisi anan ecuali dua suu pertama bernilai nol, sehingga diperoleh p n,1 x n 1 = f x n 1 = f x n + a 2 x n 1 x n 4

16 5 atau a 2 = f x n 1 f x n = f x n 1 f x n = f x x n 1 x n x n 1 x n, x n 1. n Jia x = x n 2 disubstitusian e dalam persamaan interpolasi polinomial, maa semua suu pada sisi anan ecuali tiga suu pertama bernilai nol, sehingga diperoleh f x n 2 = p n,2 x n 2 atau = f x n + f x n 1 f x n x n 1 x n x n 2 x n + a 3 x n 2 x n x n 2 x n 1 f x n 2 f x n f x n 1 f x n x x a 3 = n 1 x n 2 x n n x n 2 x n x n 2 x n 1 f x n 2 f x n f x n 1 f x n x = n 2 x n x n 1 x n. x n 2 x n 1 Untu memermudah perhitungan bentu a 3 dapat diubah menjadi f x n 2 f x n 1 f x n 1 f x n x a 3 = n 2 x n 1 x n 1 x n x n 2 x n = f x n 1, x n 2 f x n, x n 1 x n 2 x n (menurut Definisi 10) = f x n 2, x n 1 f x n 1, x n (arena Teorema 2) x n 2 x n = f x n, x n 1, x n 2 (menurut Definisi 10) dan seterusnya. Jia x = x n disubstitusian e dalam persamaan interpolasi polinomial, maa diperoleh f x n = p n, x n dengan a +1 = = f x n + f x n 1 f x n x x n 1 x n x n n f x n 2 f x n 1 x + n 2 x n 1 x n 2 x n f x n f x n f x n 1 f x n x n 1 x n f x n 1 f x n x n 1 x n + a x n x n x n x n 1 x n x n +2 + a +1 x n x n x n x n 1 x n x n +1, x n x n x n x n 1 + x n x n a 3 x n x n x n x n 1 a x n x n x n x n 1 x n x n +2. x n x n x n x n 1 x n x n +1 Jia diuraian aan diperoleh bentu a +1 = f x n, x n 1, x n 2,, x n. Dari uraian di atas terlihat adanya suatu pola pada pembilang a 1, a 2, a 3 dan seterusnya sampai a +1. Pembilang-pembilang tersebut merupaan selisih terbagi fungsi f. Berdasaran Definisi 10, intrpolasi polinomial Newton ini dapat ditulisan menjadi p n, x = f x n + f x n, x n 1 x x n + f x n, x n 1, x n 2 x x n x x n x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 1 x x n +1, atau secara reursif dapat ditulisan sebagai beriut p n,0 x = f x n p n,1 x = f x n + f x n, x n 1 x x n p n,2 x = f x n + f x n, x n 1 x x n + f x n, x n 1, x n 2 x x n x x n 1 5

17 6 p n, x = f x n + f x n, x n 1 x x n + f x n, x n 1, x n 2 x x n x x n x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 1 x x n +1. Sehingga dapat ditulisan p n, x = f x n + f x n, x n 1,, x n i x x n j. (2) i=1 Dengan demiian Teorema 4 terbuti. i 1 j =0 Aibat (Hampiran Newton) Misalan p n, adalah interpolasi polinomial Newton yang diberian oleh Teorema 4 dan digunaan untu menginterpolasian fungsi f, yaitu f x i = p n, x i ; i = n, n 1,, n. Karena f x p n, x, maa ada galat di antara eduanya, misalan E n, x yang aan memenuhi persamaan beriut f x = p n, x + E n, x. 3 (Sahid 2005) Lema 1 (Polinomial Bersifat Tunggal) Misal diberian himpunan titi-titi yang memunyai absis berlainan yaitu x n, f(x n ), x n 1, f(x n 1 ),, x n, f(x n ), maa terdapat tepat sebuah polinomial berderajat paling tinggi yang melalui + 1 titi tersebut. (Cheney & Kincaid 1994) Buti: Misalan p n, x adalah polinomial berderajat dan memenuhi p n, x i = f x i ; untu i = n, n 1,, n. Untu menunjuan bahwa p n, x tunggal, misalan terdapat polinomial lain, T n, (x) berderajat paling tinggi dan memenuhi T n, x i = f x i ; untu i = n, n 1,, n. Searang definisian L n, x = p n, x T n, x. Karena p n, dan T n, eduanya berderajat, maa L n, berderajat. Selanjutnya berlau L n, x i = p n, x i T n, x i = f x i f x i = 0 ; untu i = n, n 1,, n. Ini menunjuan bahwa L n, (x) memunyai + 1 aar berlainan, yani x n, x n 1,, x n, padahal L n, berderajat. Hal ini tida mungin, arena berdasaran sifat aar polinomial, polinomial berderajat hanya memunyai paling banya aar, ecuali L n, x = 0, yani L n, berupa polinomial nol. Dari sini diperoleh 0 = p n, x T n, x p n x = T n, x, atau p n, bersifat tunggal. Dengan demiian Lema 1 terbuti. Lema 2 (Galat Interpolasi pada Selisih Terbagi) Jia p n, adalah polinomial berderajat yang menginterpolasian fungsi f pada titi x n, x n 1,, x n, maa untu x yang merupaan titi lain pada interval terbua I, berlau f x p n, x = f x n, x n 1,, x n, x x x n i. (4) i=0 (Cheney & Kincaid 1994) Buti: Misalan t titi selain x n, x n 1,, x n pada interval I, di mana f t terdefinisi. Misal didefinisian q n, merupaan polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasian fungsi f pada titi x n, x n 1,, x n, t, sehingga polinomial q n, dapat dibentu dari persamaan (2), yaitu q n, x = f x n + f x n, x n 1,, x n i x x n j i=1 +f x n, x n 1,, x n, t 1 j =0 i 1 j =0 x x n j x x n = p n, x + f x n, x n 1,, x n, t x x n i. (5) Karena q n, merupaan polinomial berderajat + 1 yang menginterpolasian fungsi f pada titi x n, x n 1,, x n, t, maa menurut Teorema 4 berlau f x i = q n, x i ; i = n, n 1,, n, t, i=0 6

18 7 dan f t = q n, t. Oleh arena itu, dari persamaan (5) diperoleh f t = p n, t + f x n, x n 1,, x n, t t x n i. i=1 Untu t = x, maa Lema 2 terbuti. Lema 3 (Galat Interpolasi) Jia p adalah polinomial berderajat yang menginterpolasian fungsi f pada + 1 titi berlainan, misal x n, x n 1,, x n dan f (+1) ontinu, maa x a, b, terdapat bilangan ξ = ξ x a, b, yang mengaibatan f x p n, x = f(+1) ξ + 1! i=0 x x n i. 7 (Cheney & Kincaid 1994) Buti: Definisian untu t x n i, i = 0,1,, w t = i=0 t x n i c(x) = f x p n, x ; w x φ t = f t p n, t cw t, c terdefinisi arena w t 0 arena t x n i. Fungsi φ memunyai + 2 pembuat nol, yaitu x n, x n 1,, x n, dan t, arena φ x n = φ x n 1 = = φ x n = φ t = 0. Fungsi φ terdiri dari fungsi-fungsi yang ontinu pada [a, b] dan memunyai turunan e Karena ada + 2 pembuat nol, maa terdapat + 1 interval yang nilai φ di titititi ujungnya sama dengan nol, maa menurut Teorema 1 pada setiap interval terdapat c i, i = 1,2,, + 1 sehingga φ c i = 0. Dengan alasan yang sama, maa φ memunyai pembuat nol, φ memunyai 1 pembuat nol, dan seterusnya. Ahirnya, dapat diataan φ (+1) t memunyai paling sediit 1 pembuat nol. Misalan t = ξ merupaan pembuat nol φ (+1) t, maa diperoleh φ +1 ξ = 0 = f ξ p n, ξ cw +1 ξ. 6 Pada persamaan di atas, p (+1) n, ξ = 0 arena p n, merupaan polinomial berderajat. Berdasaran sifat aar ; polinomial, polinomial berderajat, jia diturunan sebanya + 1 maa hasilnya nol. Perhatian juga bahwa w ξ = ξ x n i i=0 = ξ +1 + (ξ berderajat < + 1) w ξ = + 1 ξ ( ) + (ξ berderajat < ) w (2) ξ = + 1 ξ ( 1) + (ξ berderajat < 1) w +1 ξ = (1) = + 1!. Ahirnya dari persamaan (6) diperoleh f +1 ξ c + 1! = 0 f +1 ξ + 1! f x p n, x = 0 + 1! w x w x f x p n, x = f +1 ξ f x p n, x = f +1 ξ + 1! i=0 Dengan demiian Lema 3 terbuti. x x n i. (7) Lema 4 (Hubungan Selisih Terbagi dan Turunan) Jia f (+1) ontinu pada a, b dan x n, x n 1,, x n, t adalah + 2 titi pada a, b, maa ada ξ pada (a, b), yang mengaibatan f x n, x n 1,, x n, x = 1 ( + 1)! f(+1) ξ. (Cheney & Kincaid 1994) Buti: Misalan p n, adalah polinomial berderajat yang menginterpolasian fungsi f pada titi x n, x n 1,, x n. Dari Lema 2 dietahui untu x yang merupaan titi lain pada interval terbua (a, b), berlau f x p n, x = f x n, x n 1,, x n, x x x n i. i=0 Dari Lema 3 dietahui x (a, b), terdapat bilangan ξ di mana ξ x (a, b), yang mengaibatan f x p n, x = f(+1) ξ + 1! i=0 Dari persamaan di atas diperoleh x x n i. 7

19 8 f x n, x n 1,, x n, x i=0 f +1 ξ + 1! x x n i i=0 f x n, x n 1,, x n, x = f(+1) ξ + 1!. Dengan demiian Lema 4 terbuti. 2.3 Barisan dan Keonvergenan = x x n i Definisi 11 (Barisan Konvergen) Misalan x n n=0 adalah barisan bilangan real. Barisan x n n=0 onvergen e α, jia barisan tersebut memunyai limit α. (Goldberg 1976) Definisi 12 (Barisan Terbatas) Misalan X = x n n=0 adalah barisan bilangan real. Barisan x n n=0 terbatas di atas, jia wilayah X terbatas di atas dan terbatas di bawah, jia wilayah X terbatas di bawah. Jia wilayah X terbatas, maa barisan x n n=0 barisan terbatas. Barisan x n n=0 terbatas jia dan hanya jia terdapat M > 0, sehingga x n M, n N. (Goldberg 1976) Teorema 5 (Hubungan Barisan Konvergen dengan Barisan Terbatas) Jia barisan bilangan real x n n=0 onvergen, maa x n n=0 terbatas. (Goldberg 1976) Buti: Misalan x n n=0 adalah barisan onvergen dan lim x n = α. Untu ε = 1, terdapat n 0 N, sehingga x n α < 1, n n 0. x n α < x n α (sifat nilai mutla) x n < α + 1, n n 0. Misalan M = max x 1, x 2,, x n0, α + 1, maa x n < M, n N. Jadi x n n=0 terbatas. Dengan demiian Teorema 5 terbuti. Definisi 13 (Barisan Monoton) Misalan s =1 adalah barisan bilangan real, barisan s =1 ta turun, jia s s +1, N dan ta nai, jia s s +1, N. Barisan s =1 barisan monoton, jia barisan ta turun atau ta nai. s =1 ; (Goldberg 1976) Teorema 6 (Hubungan Barisan Ta Nai dan Terbatas dengan Keonvergenan) Misalan ε n n=0 adalah barisan bilangan real. Jia ε n n=0 barisan ta nai dan terbatas di bawah, maa barisan ε n n=0 onvergen. (Goldberg 1976) Buti: Misalan ε n n=0 adalah barisan ta nai dan terbatas di bawah. Misalan A = ε 0, ε 1, terbatas di bawah dan a = inf A. Aan dibutian bahwa ε n a, bila n, yaitu ε > 0, n 0 N, sehingga ε n a < ε, n n 0. Misalan diberian ε > 0, maa a + ε buan batas bawah dari A. Jadi terdapat n 0 N, sehingga ε n0 < a + ε Karena ε n n=0 adalah barisan ta nai, maa dari persamaan di atas diperoleh ε n ε n0 < a + ε, n n 0 (8) Karena a adalah batas bawah terbesar dari A, maa a ε n, n N (9) Dari persamaan (8) dan (9) diperoleh a < ε n a + ε, n n 0 ; ε n a < ε, n n 0. Jadi, lim ε n = a atau ε n n=0 onvergen e a. Dengan demiian Teorema 6 terbuti. Teorema 7 (Hubungan Barisan Ta Turun dan Terbatas dengan Keonvergenan) Misalan s =1 adalah barisan bilangan real. Jia s =1 barisan ta turun dan terbatas di atas, maa barisan s =1 onvergen. (Goldberg 1976) Buti: Misalan s =1 adalah barisan ta turun dan terbatas di atas. Misalan A = s 1, s 2, terbatas di atas dan a = sup A. Aan dibutian bahwa s a, bila, yaitu ε > 0, 0 N, sehingga s a < ε, 0. Misalan diberian ε > 0, maa a ε buan batas atas dari A. Jadi terdapat 0 N, sehingga s 0 > a ε 8

20 9 Karena s =1 adalah barisan ta turun, maa dari persamaan di atas diperoleh s s 0 > a ε, 0 (10) Karena a adalah batas atas terecil dari A, maa s a, N (11) Dari persamaan (10) dan (11) diperoleh a ε < s a, 0 ; s a < ε, 0. Jadi, lim s = a atau s =1 onvergen e a. Dengan demiian Teorema 7 terbuti. Teorema 8 (Hubungan Keontinuan dan Keonvergenan Barisan) Misalan x n n=0 adalah barisan bilangan real. Jia fungsi f ontinu di α dan x n n=0 adalah barisan yang onvergen e α, maa f x n n=0 onvergen e f α. (Goldberg 1976) Buti: Diberian ε > 0 sebarang. Karena fungsi f ontinu, maa δ > 0 sehingga 0 < x α < δ f x f α < ε. Karena lim x n = α, maa x n α < η, n n 0. Dari dua pernyataan di atas, diperoleh x n α < η f x n f α < ε. Dengan demiian Teorema 8 terbuti. Definisi 14 (Barisan Bagian) Misalan X = x n adalah barisan bilangan real, dan r 1 < r 2 < < r n < adalah barisan bilangan asli, maa barisan pada bilangan real yang diberian oleh x r1, x r2,, x rn, disebut barisan bagian dari X. (Goldberg 1976) Teorema 9 (Hubungan Keonvergenan Barisan dan Barisan Bagian) Jia barisan x n n=0 onvergen e α, maa setiap barisan bagian dari x n n=0 juga onvergen e α. (Goldberg 1976) Buti: Misalan x ni n=0 adalah barisan bagian dari x n n=0. Diberian ε > 0 sebarang. Karena x n α, maa terdapat n 0 N, sehingga x n α < ε, n n 0. Pilih indes terecil sehingga n n 0, maa dari persamaan di atas diperoleh x ni α < ε, i. Jadi, barisan x ni onvergen e α. n =0 Dengan demiian Teorema 9 terbuti. Teorema 10 (Hubungan Peralian Barisan yang Konvergen dan Terbatas) Misalan x n n=0 dan y n n=0 adalah barisan bilangan real. Jia barisan lim x n = 0, dan barisan y n n=0 terbatas, maa lim x n y n = 0. (Goldberg 1976) Buti: Diberian ε > 0 sebarang. Karena y n n=0 terbatas, maa terdapat M > 0 sehingga y n M, n N. Karena x n n=0 onvergen, maa terdapat n 0 N sehingga x n 0 ε M, n n 0. Aibatnya x n y n 0 = x n y n = x n y n ε M M = ε, n n 0. Dari sini terbuti bahwa lim x n y n = 0. Dengan demiian Teorema 10 terbuti. Definisi 15 (O. dan o. ) Simbol O. dan o. merupaan cara yang digunaan untu membandingan besarnya dua buah barisan, misalan X = x n dan Y = y n merupaan barisan bilangan real. Notasi X = O Y atau x n = O y n, dengan n, menyataan bahwa x n y n terbatas, atau M > 0 sehingga x n M y n. Notasi X = o Y atau x n = o y n, dengan n, menyataan bahwa lim x n y n = 0. Hal ini berarti x n 0 lebih cepat dari y n 0. (Bartle 1964) 2.4 Sifat-Sifat Aar Polinomial Lema 5 (Sifat Aar Polinomial) Didefinisian persamaan polinomial sebagai beriut 9

21 10 g,a s = s +1 a i=0 s i = 0, maa persamaan tersebut memunyai sebuah aar real misal s dan max 1, a < s < a + 1. (Traub 1964) Buti: (Lihat Traub 1964) Lema 6 (Aar Polinomial Bersifat Nai) Didefinisian persamaan polinomial sebagai beriut g,a s = s +1 a i=0 s i = 0. Persamaan tersebut memunyai sebuah aar real misal s, maa s 1 < s,. (Traub 1964) Buti: (Lihat Traub 1964) Lema 7 (Keonvergenan Aar Polinomial) Misalan s aar positif dari persamaan g,a s = s +1 a i=0 dan a > 1, maa berlau + 1 a + 1 < s < a + 1 dan lim s = a + 1. (Traub 1964) Buti: (Lihat Traub 1964) s i Lema 8 (Batas Aar Polinomial) Misalan s aar positif dari persamaan polinomial beriut g,a s = s +1 a i=0 dan diberian v = a + 1, maa berlau +1 a + 1 ea a + 1 < s a < a + 1 a + 1 di mana e basis logaritma natural. (Traub 1964) Buti: (Lihat Traub 1964) Teorema 11 Misalan persamaan galat didefinisian sebagai beriut ε n+1 = L s ε n i i=0 di mana s bilangan positif dan ε n 0, bila n. Misalan juga s adalah aar positif dari persamaan dan L 0, maa g,a s = s +1 a lim Buti: (Lihat Traub 1964) i=0 s i s i ε n+1 ε n s = L s 1 /. ; = 0 (Traub 1964) III PEMBAHASAN 3.1 Rumusan Masalah Dalam tulisan ini aan dicari aar dari persamaan f(x) = 0, (12) yaitu nilai x = α yang menyebaban f α = 0, dengan α merupaan aar dari persamaan tersebut. Fungsi f dari persamaan (12) yang aan ditentuan aarnya merupaan fungsi ta linear dan memenuhi syarat f C +1 I dan f α 0 (Sidi 2007). Untu menentuan aar persamaan (12) dapat digunaan metode analiti atau metode iteratif. Metode analiti adalah metode penyelesaian persamaan dengan menggunaan rumus-rumus yang sudah lazim digunaan, seperti rumus abc untu mencari aar persamaan uadrat. Tida semua fungsi dapat ditentuan aar persamaannya secara analiti. Oleh arena itu, diperluan metode iteratif di dalam memberian hampiran penyelesaian. Pada metode iteratif pencarian aar dilauan dengan prosedur-prosedur tertentu. Secara umum prosedurnya sebagai beriut. Prosedur Metode Iteratif i. Memilih nilai awal, batas toleransi T, dan masimum iterasi N. Biasanya setiap metode tida selalu sama banyanya nilai awal yang harus dipilih, misalnya metode Newton-Raphson 10

22 11 memerluan satu nilai awal x 0, dan metode Tali Busur memerluan dua nilai awal, x 0 dan x 1. Semain deat nilai awal yang dipilih dengan aar sebenarnya, maa iterasi aan semain cepat onvergen (Atinson & Han 2003). Untu memilih batas toleransi agar hampiran aar yang diperoleh sangat deat dengan aar sebenarnya, maa batas toleransi yang dipilih harus sangat ecil. ii. Melauan proses iterasi. Proses iterasi dilauan untu menghasilan barisan aar, barisan aar yang dimasud adalah hampiran-hampiran aar yang onvergen e aar sebenarnya. Selanjutnya proses iterasi dihentian jia x n+1 x n < T. iii. Analisis eonvergenan. Barisan aar yang diperoleh emudian dianalisis eonvergenannya, untu mengetahui derajat eonvergenannya. Derajat eonvergenan menunjuan ecepatan dalam menemuan aar. Jia derajat eonvergenan semain besar, maa ecepatan dalam menemuan aar aan semain bai (Burden & Faires 1993). Adapun metode-metode iteratif yang aan dibahas antara lain: metode Newton-Raphson, metode Tali Busur, dan generalisasi metode Tali Busur Metode Newton-Raphson Salah satu metode pencarian aar yang paling populer dalam menentuan aar-aar persamaan ta linear adalah metode Newton- Raphson. Metode ini paling disuai arena eonvergenannya paling cepat di antara metode lainnya (Cheney & Kincaid 1994). Metode Newton-Raphson merupaan metode pencarian aar yang hampiran aarnya diperoleh dengan mencari titi potong garis singgung urva di titi x n, f x n dengan sumbu-x. Biasanya nilai awal x 0 selalu diberian. Jia tida diberian nilai awal bisa dipilih dengan syarat, nilai f x 0 0. Hal ini disebaban arena metode Newton-Raphson menggunaan fungsi turunan untu setiap iterasinya dan tida melauan pengapitan aar. Hampiran selanjutnya x n+1 diperoleh dengan mencari titi potong garis singgung urva di titi x n, f x n dengan sumbu-x. Ilustrasi penjelasan tersebut sebagai beriut. Hampiran aar pertama x 1 diperoleh dari titi potong garis singgung di titi x 0, f x 0 dengan sumbu-x. Hampiran aar edua x 2 diperoleh dari titi potong garis singgung di titi x 1, f x 1 dengan sumbu-x. Demiian seterusnya, sampai diperoleh hampiran aar yang paling deat dengan aar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar beriut. Gambar 1 Grafi Iterasi Metode Newton- Raphson. Selanjutnya aan dibahas prosedur pencarian aar dengan metode Newton- Raphson. Berdasaran prosedur pencarian aar dengan metode iteratif, diperluan nilai awal dan persamaan iterasi. Dalam memilih nilai awal pada metode ini sudah dijelasan yaitu dengan syarat untu setiap nilai awal x 0, maa nilai f x 0 0. Misalan x 0 adalah nilai awal yang diberian. Gradien garis singgung urva y = f(x) di titi x 0, f x 0 adalah f x 0, maa persamaan garis singgungnya adalah y f x 0 = f x 0 x x 0. Hampiran aar pertama x 1 diperoleh dari persamaan garis singgung pada saat y = 0. Artinya titi x 1, 0 memenuhi persamaan garis singgung, yani 0 f x 0 = f x 0 x 1 x 0 f x 0 f x 0 = x 1 x 0 x 1 = x 0 f x 0 f x. 0 Secara umum dengan cara yang sama, ahirnya diperoleh persamaan iterasi pada metode Newton-Raphson. Persamaan iterasi yang digunaan pada metode Newton-Raphson adalah x n+1 = x n f(x n ) f ; n = 0, 1,2,. x n 11

23 12 Beriut ini algoritme yang aan digunaan untu menentuan program dengan metode Newton-Raphson. Algoritme 1: Metode Newton-Raphson Input: f(x), nilai awal x 0, batas toleransi T, dan masimum iterasi N. Output: α sehingga f α = 0. Langah-langah: i. Set penghitung iterasi i = 1, ii. WHILE i N DO a. Menghitung x = x 0 f x 0 f x 0. b. IF x x 0 < T, THEN set α = x; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi i = i + 1 d. Set x 0 = x dan f x 0 = f x. iii. STOP Metode Tali Busur Metode Tali Busur adalah metode pencarian aar yang merupaan modifiasi dari metode Newton-Raphson. Pada metode Newton-Raphson hampiran aar diperoleh dengan mencari titi potong garis singgung urva di titi x n, f x n dengan sumbu-x. Pada metode Tali Busur hampiran aarnya diperoleh dengan menggunaan tali busur yang melalui titi x n 1, f x n 1 dan x n, f x n sebagai hampiran f(x) dan mencari titi potongnya dengan sumbu-x (Atinson & Han 2003). Persamaan iterasi metode Newton- Raphson yang menggunaan fungsi turunan f(x) dimodifiasi sehingga tida harus menggunaan fungsi turunannya. Metode Tali Busur di atas menggambaran pencarian aar jia dilihat dari grafi iterasinya, dapat dilauan dengan cara sebagai beriut. Langah pertama adalah memilih dua nilai awal x 0 dan x 1. Dari sini tari tali busur yang melewati dua titi awal x 0, f(x 0 ) dan x 1, f(x 1 ), sehingga diperoleh hampiran aar pertama, misal x 2 yang merupaan titi potong edua titi dengan sumbu-x. Hampiran aar edua, misal x 3 diperoleh dengan cara menari tali busur yang melewati dua titi x 1, f(x 1 ) dan x 2, f(x 2 ). Demiian seterusnya sampai diperoleh hampiran aar yang paling deat dengan aar sebenarnya. Ilustrasi penjelasan ini dapat dilihat pada gambar beriut Gambar 2 Grafi iterasi metode Tali Busur. Untu memeroleh persamaan iterasi dengan interpolasi linear gunaan absis titi potong tali busur dari garis lurus yang melalui titi x n, f x n dan (x n 1, f(x n 1 )) dengan sumbu-x. Karena gradien garis busur yang melalui titi tersebut adalah f x n f(x n 1), maa x n x n 1 dengan interpolasi linear diperoleh persamaan tali busurnya y f x n = f x n f(x n 1) x x x n x n. n 1 Hampiran aar diperoleh dengan mencari titi potong urva dengan sumbu-x, artinya titi (x n +1, 0) yang memenuhi persamaan di atas, sehingga diperoleh 0 f x n = f x n f(x n 1) x x n x n+1 x n, n 1 f x n x n+1 = x n = x n f x n f x x n x n 1 n 1 f(x n ) f x n f(x n 1 ) x n x n 1 = x n f(x n ) f x n 1, x n = x n f(x n ) f x n, x. n 1 Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur. Cara lain untu memeroleh persamaan iterasi metode tali busur adalah melalui modifiasi persamaan iterasi metode Newton- Raphson. Menurut definisi turunan, f x dapat ditulisan f x + f(x) f x = lim, 0 untu yang sangat ecil, f x f x + f(x), 12

24 13 misalan x = x n dan = x n 1 x n, diperoleh f x n f x n 1 f(x n ) x n 1 x n = f x n 1 f x n x n 1 x n = f x n, x n 1. Dari sini diperoleh persamaan iterasi metode Tali Busur. Persamaan iterasi metode Tali Busur adalah x n +1 = x n f(x n ) f[x n, x n 1 ]. 13 Persamaan di atas diperoleh melalui dua cara, yaitu melalui interpolasi linear dan modifiasi metode Newton-Raphson. Berdasaran prosedur pencarian aar dengan metode iteratif, untu menentuan aar dengan metode ini diperluan nilai awal dan persamaan iterasi. Metode Tali Busur memerluan dua nilai awal x 0 dan x 1. Persamaan iterasi yang digunaan adalah persamaan (13). Beriut ini algoritme yang aan digunaan untu menentuan program dengan metode Tali Busur. Algoritme 2: Metode Tali Busur Input: f(x), nilai awal x 0 dan x 1, batas toleransi T, dan masimum iterasi N. Output: α sehingga f α = 0. Langah-langah: i. Set i = 2, q 0 = f x 0, q 1 = f x 1, ii. WHILE i N DO a. Menghitung x = x 1 q 1 q 1 q 0 x 1 x 0. b. IF x x 1 < T, THEN set α = x; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi i = i + 1 d. Set x 0 = x 1, x 1 = x, q 0 = q 1, dan q 1 = q, iii. STOP Generalisasi Metode Tali Busur Pada subbab dan telah dibahas metode Newton-Raphson dan metode Tali Busur. Metode Newton-Raphson memunyai eonvergenen yang relatif cepat untu menentuan aar, namun memerluan iterasi turunan fungsi (Sahid 2005). Dengan memodifiasi persamaan iterasi metode Newton-Raphson diperoleh metode Tali Busur yang tida harus menggunaan turunan f(x), namun metode Tali Busur ini memunyai eonvergenan yang relatif lebih lambat dibandingan metode Newton-Raphson (Sahid 2005). Oleh arena itu, diperluan metode lain untu menentuan aar yang memunyai eonvergenan mendeati metode Newton- Raphson tetapi tida harus menggunaan turunan f(x) seperti metode Tali Busur (Sidi 2007). Persamaan iterasi metode Tali Busur diperoleh dengan menggunaan interpolasi polinomial Newton untu = 1. Pada bagian ini aan dibahas generalisasi metode Tali Busur, yaitu metode pencarian aar dengan menggunaan interpolasi polinomial Newton derajat dengan > 1. Generalisasi metode Tali Busur ini tida memerluan turunan f(x), tetapi memerluan nilai awal sebanya dengan 2, dan samasama tida harus menggunaan turunan f(x) per iterasi. Selanjutnya aan dibahas penurunan persamaan iterasi metode ini. Persamaan iterasi generalisasi metode Tali Busur adalah x n+1 = x n f(x n ) ; n =, + 1,. (14) p n, (x n ) Persamaan di atas diperoleh melalui modifiasi metode Tali Busur yaitu dengan mengganti selisih terbagi pertama f x n, x n 1 dengan selisih terbagi e- dari turunan interpolasi polinomial Newton p n, dengan 2. Lema 9 (Turunan Polinomial) Misalan p n, merupaan polinomial yang menginterpolasian fungsi f pada + 1 titi, yaitu x n, x n 1,, x n, maa turunan polinomial tersebut adalah p n, x n = f x n, x n 1 i 1 + f x n, x n 1,, x n i x n x n j. i=2 j =1 Pada arya ilmiah ini hanya dibatasi sampai = 2 yaitu p n, x n = f x n, x n 1 + f x n, x n 1, x n 2 x n x n 1. Buti: Adapun penurunan persamaan (14) adalah sebagai beriut. 13

25 14 Dari Teorema 4 dietahui persamaan interpolasi polinomial Newton yang menginterpolasian fungsi f pada titi x n, x n 1,, x n adalah p n, x = f x n + f x n, x n 1,, x n i x x n j. i=1 Untu menurunan p n, (x), aan dijabaran terlebih dulu, yaitu p n, x = f x n + f x n, x n 1 x x n + f x n, x n 1, x n 2 x x n x x n 1 + f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x x n x x n 1 x x n f x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 1 x x n +2 x x n +1. Jia penjabaran persamaan tersebut diturunan aan diperoleh x = 0 + f x n, x n 1 + f x n, x n 1, x n 2 x x n + f x n, x n 1, x n 2 x x n 1 p n, +f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x x n x x n 1 + f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x x n x x n 2 +f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x x n 1 x x n 2 + +f x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 1 x x n +2 +f x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 1 x x n +3 x x n f x n, x n 1, x n 2,, x n x x n x x n 2 x x n +2 x x n +1 +f x n, x n 1, x n 2,, x n x x n 1 x x n +2 x x n +1. Misalan x = x n, sehingga diperoleh persamaan x n = f x n, x n 1 + f x n, x n 1, x n 2 x n x n + f x n, x n 1, x n 2 x n x n 1 p n, atau +f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x n x n x n x n 1 + f x n, x n 1, x n 2,x n 3 x n x n x n x n 2 +f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x n x n 1 x n x n f x n, x n 1, x n 2,, x n x n x n x n x n 1 x n x n +2 +f x n, x n 1, x n 2,, x n x n x n x n x n 1 x n x n +3 x n x n f x n, x n 1, x n 2,, x n x n x n x n x n 2 x n x n +2 x n x n +1 +f x n, x n 1, x n 2,, x n x n x n 1 x n x n +2 x n x n +1 = f x n, x n 1 + f x n, x n 1, x n 2 x n x n 1 + f x n, x n 1, x n 2, x n 3 x n x n 1 x n x n f x n, x n 1, x n 2,, x n x n x n 1 x n x n +2 x n x n +1, p n, x n = f x n, x n 1 + f x n, x n 1,, x n i x n x n j. i=2 Untu = 1 diperoleh p n, x n = f x n, x n 1 yaitu merupaan selisih terbagi pertama yang digunaan dalam metode Tali Busur. Sedangan untu 2 metode yang digunaan adalah generalisasi metode Tali Busur. i 1 j =0 i 1 j =1 Selanjutnya aan dibahas sifat-sifat selisih terbagi. Adapun sifat-sifatnya antara lain: i. Dapat ditentuan secara reursif. (berdasaran Definisi 10) ii. Simetris. Misalan s 1, s 2,, s +1 menyataan permutasi dari indes 1,2,, + 1 suatu simpul pada selisih terbagi, maa untu sebarang indes selisih terbagi berlau f x s1, x s2,, x s+1 = f x s+1,, x s2, x s1. (buti disajian pada Teorema 2) iii. Dapat dinyataan dalam turunan. Jia f ontinu pada I dan x n, x n 1,, x n adalah + 1 titi pada I, maa ada ξ pada I, yang mengaibatan 1 f x n, x n 1,, x n, x = ( + 1)! f(+1) ξ. (buti disajian pada Lema 4) Selanjutnya aan dibahas penyajian selisih terbagi. Selisih terbagi yang diperoleh pada proses iterasi e-nol, disimpan dalam tabel selisih terbagi, dapat yang emudian aan digunaan untu menentuan selisih terbagi pertama. Selisih terbagi pertama disimpan dalam tabel selisih terbagi yang emudian digunaan untu menentuan selisih terbagi edua, dan seterusnya sampai diperoleh selisih terbagi e- yang diperluan. Dengan menggunaan Definisi 10, maa dapat dibuat tabel selisih terbagi. Untu = 0 dapat dilihat pada tabel beriut. 14

26 15 Tabel 1 Selisih terbagi x 0 f 0 f 01 x 1 f 1 f 012 f 12 f 0123 x 2 f 2 f 123 f 23 f 1234 x 3 f 3 f 234 f 34 f 2345 x 4 f 4 f 345 f 45 f 3456 x 5 f 5 f 456 f 56 f 4567 x 6 f 6 f 567 f 67 x 7 f 7 Keterangan: f i,i+1,,m = f x i, x i+1,..., x m. Tabel di atas berisi nilai-nilai selisih terbagi {x 0, x 1,..., x 7 }, nilai-nilai tersebut aan digunaan untu menghitung x 8. Selain itu, pada Tabel 1 tida perlu lagi dihitung berulang-ulang dari awal setiap iterasi, yang diperluan adalah menambahan diagonal baru di bagian bawah tabel yang ada. Untu melihat hal ini, aan diberian contoh sebagai beriut: misalan = 3 dan hampiran x i, dengan i = 0, 1,..., 7 telah dihitung. Untu menghitung x 8 aan digunaan nilai-nilai yang telah diperoleh pada Tabel 1 dan dengan menggunaan persamaan (14), ahirnya diperoleh x 8 = x 7 f x 7 p 7,3 x 7 = x 7 f 67 + f 567 x 7 x 6 + f 4567 x 7 x 6 x 7 x. 5 Untu menghitung x 9 diperluan selisih terbagi dari f 8, f 78, f 678, f Komputasi pertama f 8 dengan menggunaan x 8, selisih terbagi ini dapat dihitung dari Tabel 1 melalui hubungan reursif f 7 f 78 = f 7 f 8 x 7 x 8, f 678 = f 67 f 78 x 6 x 8, f 5678 = f 567 f 678, x 5 x 8 dan ditambahan e bagian bawah Tabel 3. Untu menghitung x 8, perlu menyimpan nilai diagonal ini, dan memasuan f 7, f 67, f 567, f Nilai x 8 dan f 8 dihitung dengan menggunaan nilai-nilai f 7, f 67, f 567, f 4567 sehingga diperoleh nilai-nilai f 8, f 78, f 678, f Dengan demiian, secara umum untu menghitung x n +1 harus dihitung nilai x n dan perlu menyimpan hasil perhitungan f n, f n 1,n,,, f n,n +1,...,n 1,n dan x n, x n 1,..., x n. Selanjutnya pembahasan aan dimulai dengan prosedur pencarian aar. Prosedurnya adalah sebagai beriut. Prosedur Generalisasi Metode tali Busur 1. Memilih nilai awal, batas toleransi T, dan masimum iterasi N. Misalan x 0, x 1,..., x adalah nilai awal dengan 2, dimulai dengan memisalan x 0 dan x 1 adalah dua nilai awal yang diberian. Selanjutnya melauan proses iterasi untu = 1, dengan menggunaan persamaan (13) untu menghitung x dengan mulai dari 2, yang aan digunaan sebagai nilai awal. Pada arya ilmiah ini nilai awal hanya dibatasi untu = 2 menggunaan tiga nilai awal, x 0, x 1 dan x Melauan proses iterasi dengan persamaan (14). Iterasi dilauan sampai diperoleh hampiran aar yang paling deat dengan aar sebenarnya. Untu melihat hampiran aar yang diperoleh telah onvergen, maa dengan menggunaan batas toleransi T untu menghentian iterasi. Misalan dengan memilih batas toleransi T = 0.001, maa iterasi aan berhenti jia x n x n 1 < T. Dari sini diperoleh hampiran x n merupaan aar dari persamaan f(x) = 0. Beriut ini algoritme yang aan digunaan untu menentuan program dengan metode Tali Busur. Algoritme 3: Generalisasi Metode Tali Busur Input: f(x), nilai awal x 0 dan x 1, batas toleransi T, dan masimum iterasi N. Output: α sehingga f α = 0. Langah-langah: 15

27 16 1. Misalan q 0 = f x 0, q 1 = f x 1. Menghitung 2. Set i = 2, q 2 = f x WHILE i N DO a. Menghitung x 2 = x 1 q 1 q 1 q 0 x 1 x 0. x = x 2 f x n, x n 1 + f x n, x n 1, x n 2 x n x. n 1 b. IF x x 1 < T, THEN set α = x; go to STOP. c. Tambah penghitung iterasi i = i + 1. d. Set x 0 = x 1, x 1 = x 2 dan x 2 = x, q 0 = q 1, q 1 = q 2 dan q 1 = q, 4. STOP. q Analisis Keonvergenan Analisis eonvergenan suatu metode pencarian aar dilauan untu menentuan derajat eonvergenannya. Hal ini dilauan arena derajat eonvergenan menunjuan ecepatan dalam menemuan aar, jia derajat eonvergenan semain besar, maa ecepatannya dalam menemuan aar aan semain cepat (Burden & Faires 1993). Untu menganalisis eonvergenan dapat dilihat dari persamaan galat hampirannya. Hal ini disebaban arena galat berhubungan dengan seberapa deat aar hampiran terhadap aar sebenarnya. Semain ecil galatnya, maa semain teliti solusi yang diperoleh (Atinson & Han 2003) Keonvergenan Metode Newton- Raphson Misalan x 0, x 1,, x n+1 merupaan hampiran-hampiran aar yang diperoleh melalui iterasi berturut-turut dengan menggunaan persamaan iterasi. Misalan α adalah aar sebenarnya dan ε n merupaan galat hampiran pada iterasi e-n, maa menurut Definisi 2, ε n = x n α, dan ε n+1 = x n+1 α = x n f x n f x n α = ε n f x n f x n = ε n f x n f x n f. (15) x n Berdasaran Definisi 6, f x n ε n dapat diespansi dalam bentu deret Taylor, yaitu f x n ε n f x n f x n ε n + f ξ n 2 f α f x n f x n ε n + f ξ n 2 ε n 2 ε n 2 0 f x n f x n ε n + f ξ n 2 0 = f x n f x n ε n + f ξ n 2 ε n f x n f x n = f ξ n ε 2 2 n, di mana ξ n di antara α dan x n. Selanjutnya substitusian persamaan di atas pada persamaan (15) diperoleh persamaan galat hampiran e-n + 1, yaitu ε n+1 = 1 f ξ n 2 f x ε n 2. n f ξ n Misal didefinisian C = 1 ε 2 f x n, maa n persamaan di atas dapat ditulisan ε n+1 = Cε n. (16) Untu membutian eonvergenan terjadi, tanpa ehilangan perumuman, asumsian I = (α T, α + T) untu T > 0, sehingga m 1 = min x I f (x) > 0. Hal ini dimunginan arena α I dan f α 0. f Diberian M 2 = max 2 x x I, dan pilih 2! interval J = (α t/2, α + t/2) I cuup ecil untu memastian bahwa m 1 > M 2 t/2. Selanjutnya aan dibutian jia x n, untu n = 0,1,, di J, maa C = 1 f ξ n 2 f ε x n < C < 1, n di mana C = M 2t/2 m 1. Karena x n, n = 0,1,, di J, maa α t/2 x n α + t/2 t/2 x n α t/2 0 x n α t/2 0 ε n t 2, n. Sehingga C dapat ditulisan ε n 2 ε n 2 16