MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS

Transkripsi

1 Seminar Sains Penidi Sains VI UKSW Salatiga Juni 0 MSLH VEKTOR EIGEN MTRIKS INVERS MONGE DI LJBR MX-PLUS Farida Suwaibah Subiono Mahmud Yunus Jurusan Matematia FMIP Institut Tenologi Sepuluh Nopember Surabaya fsuwaibah@yahoo.com BSTRK Pada penelitian ini aan dibahas masalah nilai eigen vetor eigen dari matris invers Monge di ljabar Max-Plus. Suatu matris disebut matris Monge jia entri-entrinya memenuhi: untu semua. Segan matris invers Monge atau sering juga disebut sebagai matris anti Monge adalah matris yang entri-entrinya memenuhi: untu semua. Dalam paper ini dibahas tentang path monoton. Dengan menggunaan sifat path yang monoton selanjutnya ditentuan matris yang aan berguna dalam penentuan vetor eigen matris invers Monge. Pada ahir pembahasan aan diterapan satu lgoritma untu mendapatan nilai eigen vetor eigen dari matris invers Monge Kata Kunci: ljabar max- plus Matris invers Monge Nilai eigen Vetor eigen.. PENDHULUN Pada beberapa permasalahan matris digunaan untu memodelan suatu sistem sistem tersebut di selesaian sehingga didapatan solusinya. Dari sebuah matris dapat ditentuan nilai eigen vetor eigen yang mana eduanya memainan peranan yang sangat penting dalam suatu sistem. Peranan nilai eigen vetor eigen di ljabar Max-Plus diantaranya menggambaran estabilan sistem menganalisis edinamian suatu sistem. Sebagai contoh adalah sistem produsi sederhana yang bisa dilihat di Subiono (00) analisis edinamian sistem pada masalah penjadwalan flow shop di Nur Shofianah Subiono (008). Seperti pada matris biasa matris invers Monge juga mempunyai nilai eigen vetor eigen. Banya permasalahan yang diaui dapat diselesaian dengan mudah jia melibatan matris Monge atau matris invers Monge. (lesey. Imaev Robert P.Judd 00). Sebagai contoh pada las travelling salesmen problem (TSP) dengan cost matrix merupaan matris invers Monge maa aan didapatan rute terpende dengan pola tertentu. Sebuah problem spectral pada matris Monge matris invers Monge di ljabar Max-Plus telah dipelajari di Gavalec Plava. Di Gavalec J.Plava (00) ditunjuan bahwa nilai eigen dari suatu matris invers Monge yang diberian dapat ditentuan dengan mengambil nilai maximum dari elemen-elemen pada diagonal utama. Segan di lesey. Imaev (009) ditunjuan peran path monoton dalam menentuan yang digunaan untu mendapatan vetor eigen di ljabar Max-Plus. Selanjutnya diterapan lgoritma yang dipaai untu menentuan vetor eigen matris invers Monge di ljabar Max-Plus. Pada penelitian ini aan dibahas mengenai permasalahan yang diberian oleh lesey. Imaev Robert P. Judd yaitu : bagaimana menentuan vetor eigen matris invers Monge di ljabar Max-Plus dengan menerapan satu algoritma.

2 . LJBR MX-PLUS. ljabar max-plus merupaan contoh strutur aljabar yang disebut dioid (semiring idempotent). ljabar max-plus adalah Himpunan dengan operasi yang dinyataan dengan dimana dengan. dapun strutur ljabar dari dijelasan dalam definisi beriut: Definisi. Strutur ljabar (Bacelli d 99) Simbol menyataan himpunan yang mempunyai dua operasi biner yaitu masi mum yang dinotasian dengan penjumlahan yang dinotasian dengan. Sedemiian hingga untu setiap berlau : Pada operasi mempunyai elemen netral arena untu setiap berlau: operasi mempunyai elemen satuan arena. Himpunan semua matris uuran di ljabar Max-Plus dinyataan dengan. Dengan cara yang sama pada aljabar biasa elemen pada matris baris e olom e ditulis dimana. Sebagaimana biasa Matris dapat ditulis sebagai: Operasi pada matris adalah penjumlahan peralian seperti yang dijelasan beriut ini: Penjumlahan matris dinotasian dengan didefinisian sebagai: dengan. dapun peralian Salar dengan matris didefinisian oleh =. Segan Peralian Matris dengan Matris didefinisian sebagai:. Suatu matris dapat direpresentasian e dalam bentu graf sebalinya dari suatu graf dapat dinyataan e dalam bentu suatu matris. dimana elemen-elemen matris merupaan bobot busur dari graph seperti disebutan dalam defnisi beriut: Definisi. Communication Graph (lesey Imaev 009) Untu sebarang matris dapat diaitan dengan sebuah graph ( yang dinotasian dengan disebut dengan communication graph pada. mempunyai node dengan. Untu sebarang dua node ada sebuah busur dengan bobot jia hanya jia Page

3 Communication graph dinotasian dengan Sebuah path di dapat dinyataan sebagai urutan dari busur-busurnya yaitu : atau sebagai urutan nodenya yaitu: Suatu path diataan elementer jia tida ada node terjadi dua ali. Segan suatu siruit adalah suatu path dengan atau disebut path elementer tertutup. Dan suatu siruit yang mempunyai bobot rata-rata masimum disebut siruit ritis. Pengertian panjang bobot bobot rata-rata untu suatu siruit sama seperti path. (Subiono 00) Panjang suatu path adalah banyanya busur dalam suatu path yang dinyataan dengan segan bobot dari suatu path dinyataan dengan yaitu jumlah bobot dari seluruh busur pada suatu path. Segan bobot rata-rata dari path adalah. Suatu graph diataan strongly connected jia untu sebarang dua node ada suatu path dari e. Dan suatu matri diataan irreducible jia communication graphnya adalah strongly connected. Selanjutnya nilai eigen vetor eigen dalam ljabar Max-Plus diberian melalui definisi sebagai beriut: Definisi. ( lesey.imaev 009) Penentuan suatu nilai suatu vetor yang memuat paling sediit satu elemen berhingga sedemiian hingga memenuhi disebut suatu eigenproblem dari. Maa disebut nilai eigen adalah vetor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen. Interpretasi grafis nilai eigen dari matris irreducible adalah siruit elemnter di yang mempunyai bobot rata-rata masimum atau dengan ata lain: () dimana merupaan himpunan siruit elementer di. Selanjutnya untu sebarang didefinisian beberapa hal sebagai beriut:... ( )... Page

4 . MTRIKS INVERS MONGE Definisi 4. (lesey.imaev 009) Suatu matris beruuran disebut matris Monge jia hanya jia memenuhi: disebut matris invers Monge jia memenuhi: untu () untu () Di ljabar Max-Plus suatu matris disebut matris invers Monge jia entri-entrinya memenuhi: Untu mengetahui suatu matris uuran memenuhi matris invers Monge atau matris Monge yaitu dengan memerisa disetiap submatri yang beruuran apaah memenuhi pertidasamaan () atau pertidasamaan () (Gerhard J. Woeginger 006). Pertidasamaan () atau () berlau untu baris olom yang berdeatan. Contoh : Matris dengan uuran yaitu: da 9 submatris uuran ( yang dapat diperisa apaah masing-masing submatris tersebut memenuhi () yaitu:. PTH MONOTON Pada bagian ini aan dijelasan pengertian suatu path monoton melalui satu definisi beberapa contoh. Dari pengertian path yang monoton dapat di gunaan untu menentuan dengan merupaan matris invers Monge. Definisi 4.(lesey..Imaev 009) Diberian matris dengan graf dari matris adalah selanjutnya di misalan suatu path dalam yaitu: Titi disebut sebagai punca jia. Segan titi disebut sebagai lembah jia Page 4

5 Definisi 5. (lesey..imaev 009 hal 97) Suatu path elementer atau siruit elementer dalam graf path tersebut tida terdapat punca atau lembah. diataan monoton jia dalam Dari definisi di atas beriutnya diturunan satu Teorema untu mendapatan matris Teorema. (lesey.imaev 009) Misalan merupaan matris invers Monge dengan maa: Dimana menyataan himpunan semua path mono di dari titi e Contoh : Diberian matris Matris merupaan matris invers Monge yang irreducible. an ditentuan matris dengan memperhatian path yang monoton di Pertama merepresentasi matris e graf sebagai beriut: Gambar. Graf Seperti yang telah disebutan pada bagian sebelumnya bahwa eigenvalue untu suatu matris sebarang di ljabar Max-Plus diperoleh dengan menentuan bobot rata-rata masimum dari sebarang siruit di graf dapun bobot rata-rata dari sebarang siruit di graf diberian pada tabel beriut ini: Tabel (). Tabel siruit elementer dari Gambar. Ciruit Panjang Bobot Bobot rata-rata Berdasaran Tabel () di atas nilai masimum bobot rata-rata adalah 8 maa eigenvalue dari adalah 8. didapatan yaitu: Page 5

6 Selanjutnya untu memperoleh dapat dilauan dengan memperhatian path mono dari Terlebih dahulu dibuat graf representasi dari yang ditunjuan pada gambar beriut: Gambar. Graf dapun path mono dari graf matris diberian pada tabel beriut: Tabel (). Tabel path monoton dari Gambar. Path Mono dari node e node Panjang path mono Bobot Bobot masimum dari path mono node e node 0 0 Berdasaran Tabel () diatas diperoleh matris Page 6

7 4. Eigenvalue Eigenvetor Matris Invers Monge Matris invers Monge seperti halnya matris biasa juga mempunyai nilai eigen vetor eigen. Misalan memenuhi matris invers Monge maa nilai eigen dari yang dinotasian dengan merupaan nilai masimum dari elemen-elemen pada baris e olom e sebagaimna dijelasan dalam teorema beriut: Teorema(): (Martin Gavalec d 00). Jia max memenuhi matris invers Monge maa: i N beriut: Segan eigenvector dari matris invers Monge diberian melalui definisi Definisi 6. (lesey Imaev 009 hal 0) n Misalan dimana adalah eigenvalue dari i misalan merupaan bilangan bulat sedemiian hingga dari adalah eigenvector matris dengan ata lain: maa vetor olom e Dari definisi diatas eigenvector dari suatu matris dapat ditentuan dengan memperhatian olom e dari matris yang memenuhi. Beriut ini diberian satu teorema yang menjelasan tentang suatu matris invers Monge yang irreducible dengan. Teorema. (lesey.imaev 009) Misalan Matris irreducible Maa: dengan untu memenuhi matris invers Monge i j untu j j untu Contoh : Dari Contoh telah didapatan matris Definisi 6 maa vetor eigen dari matris adalah:. Berdasaran. Selanjutnya dalam menentuan vetor eigen matris invers Monge di ljabar Max-Plus diberian lgoritma sebagai beriut: Page 7

8 lgoritma Input : suatu matris invers Monge irreducible Output: Eigenvalue eigenvector dari : n i : : Tentuan sedemiian hingga 4: 5: 6: 7: for to do 8: l c 9: end for 0: for to do : c l : end for Contoh 4. Misalan matris invers Monge pada Contoh di atas aan ditentuan eigenvalue eigenvector dari matris. Karena matris memenuhi matris invers Monge maa dengan menggunaan Teorema () diperoleh eigenvalue dari adalah : i Dari Contoh diperoleh matris sehingga yang memenuhi adalah. Selanjutnya ditentuan eigenvector dari dengan menerapan lgoritma di atas melalui tahapan-tahapan sebagai beriut: Untu : maa diperoleh : maa diperoleh Untu Page 8

9 l : diperoleh: c Sehingga eigenvector dari adalah:. Hasil perhitungan dari menerapan lgoritma () di atas apabila di perhatian menyataan olom e- dari matris 5. Kesimpulan. Vetor eigen di ljabar Max-Plus memainan peran penting dalam mempelajari perilau steady state dari Sistem Event Disret Deterministic Cyclic.. Path monoton memainan peran dalam menentuan vetor eigen matris invers Monge di ljabar Max-Plus sehingga: dimana yang memenuhi vetor eigen digunaan lgoritma.. Selanjutnya untu mendapatan 6. DFTR PUSTK [] Baccelli F. Cohen G. Olsder G.J. Quadrat J.P. (99) Synchronization and Linearity n lgebra for Discrete Event Systems John Wiley & Sons New Yor. [] Gavalec M.Plava J n algorithm for maximum cycle mean of Monge matrices in Max-lgebra Discrete pplied Mathematics 7(00) [] Imaev.. (009). Hierarchical Modeling of Manufacturing Systems Using Max-Plus lgebra Disertasi P.Hd(4pp) Ohio University Ohio. [4] Imaev.. Judd P.R (00) Computing an eigenvector of an inverse Monge matrix in Max-Plus lgebra Discrete pplied Mathematics 58 (00) Ohio university thens OH 4570 United States. (70-707). [5] Subiono (00) Terapan ljabar Max-Plus pada Sistem Produsi Sederhana serta Simulasinya dengan Menggunaan Matlab Jurusan Matematia FMIP ITS Surabaya [6] Subiono (00) ljabar Max-Plus Dan Terapannya versi.00 Jurusan Matematia FMIP ITS Surabaya [7] Woeginger G.J (006) Some Problem round Travelling Salesman Problem The lgorithmics Column by Gerhard J Woeginger Departement of Mathematematics and Computer Science Eindhoven University of Technology Page 9