BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Sistem Kendali Lup [1] Sistem endali dapat diataan sebagai hubungan antara omponen yang membentu sebuah onfigurasi sistem, yang aan menghasilan tanggapan sistem yang diharapan. Sistem endali yang sederhana biasanya terdiri dari empat bagian yaitu masuan (input), pengendali (ontroller), endalian (plant), eluaran (output). Sistem endali lup merupaan suatu rangaian simpul proses yang digunaan untu mengendalian suatu plant, agar diperoleh eluaran sesuai dengan yang diiinginan. Sistem endali lup dapat dibedaan menjadi dua, yaitu : 1. Sistem endali lup terbua (open loop ontrol system) 2. Sistem endali lup tertutup (lose loop ontrol system) Sistem Kendali Lup Terbua Sistem endali lup terbua (open loop ontrol system) adalah suatu sistem endali dimana eluarannya tida berpengaruh pada nilai masuan (input) dan pengendali. Pada setiap sistem endali lup terbua, nilai eluaran tida dibandingan dengan nilai masuan, seperti tampa pada gambar 2.1. Gambar 2.1 Sistem Kendali Lup Terbua Berdasaran gambar di atas terlihat bahwa setiap masuan langsung diproses untu menghasilan nilai eluaran. Apabila terdapat gangguan, maa eluaran sistem r(t) tida aan dapat diendalian untu menjadi sama dengan masuan (referensi) yang diinginan. Sistem endali lup terbua ini digunaan apabila hubungan antara masuan dan eluaran sudah dietahui dan tida terdapat gangguan internal maupun esternal. 4

2 2.1.2 Sistem Kendali Lup Tertutup Sistem ontrol lup tertutup adalah suatu sistem ontrol yang sinyal eluarannya memilii pengaruh langsung pada asi pengontrolan. Sinyal eluaran aan dibandingan dengan sinyal masuan yang membentu selisih dan aan diumpanan e ontroler untu mempereil esalahan sehingga menghasilan eluaran sistem yang sesuai atau mendeati harga yang diinginan. Hubungan antara masuan-eluaran dari sistem ontrol lup tertutup diperlihatan pada Gambar 2.2. Gambar 2.2 Sistem Kendali Lup Tertutup Dari gambar di atas, dapat ditentuan persamaan matemati dari esalahan sistem (error) yaitu: dimana, e(t) : esalahan sistem (error), (t) : masuan (input), r(t) : eluaran (output). e t t rt (2.1) 2.2. Kalman Filter [3] Kalman Filter merupaan sebuah algoritma matematia yang mengoptimalan penggunaan data ta jelas (impreise data) pada sebuah sistem linier dengan esalahan Gaussian yang seara terus menerus memperbaharui estimasi atau periraan terbai dari eadaan (state) sistem tersebut. Kalman Filter mengestimasi eadaan proses pada satu watu dan emudian mengambil umpan bali dalam bentu eluaran berderau. 5

3 Dalam Kalman Filter terdapat time update (persamaan predisi) yang mempredisian nilai vetor eadaan yang selanjutnya dipaai untu umpan bali. Measurement update atau observation update merupaan sebuah persamaan oresi yang digunaan untu mengoresi vetor eadaan. Jadi dalam Kalman Filter terjadi proses predisi dan oresi. Kalman Filter aan mempredisi suatu ruang eadaan dan aan mengoresi apaah eluaran sistem telah sama seperti masuan yang diinginan. Time Update (Preditor) Measurement Update (Corretor) Gambar 2.3 Hubungan antara Preditor dengan Corretor Algoritma Kalman Filter Disrit [3] Kalman Filter menunjuan masalah umum dari estimasi sebuah eadaan (state) suatu proses ontrol watu disrit yang diatur oleh persamaan dari perubahan linier stoasti. Seara umum hal tersebut dapat dinyataan dalam persamaan eadaan : dengan suatu penguuran z m x 1 Ax Bu w (2.2) z Hx v (2.3) dan persamaan output y Cx z (2.4) Dimana : A : matris eadaan (n x n), B : matris (n x 1) yang menghubungan input ontrol e sebuah eadaan, C : matris eluaran, 6

4 x : vetor eadaan proses (n x 1) saat watu t, w : vetor derau proses yang diasumsian sebagai sebuah deret putih dengan strutur ovarian dietahui, v : vetor derau penguuran yang diasumsian sebagai sebuah deret putih dengan strutur ovarian dietahui dan mempunyai orelasi silang nol dengan deret y : vetor eluaran, u : vetor masuan, z : vetor penguuran saat watu t, w, H : matris (m x n) yang memberian hubungan ideal antara penguuran dan vetor eadaan saat watu t. Variabel aa w dan v menjelasan derau proses dan penguuran. Variabel variabel tersebut diasumsian berdiri sendiri antara yang satu dengan yang lainnya, white (putih) dan dengan distribusi emunginan normal. Persamaan Kalman Filter terbagi menjadi dua bagian yaitu persamaan time update dan persamaan measurement update. Persamaan persamaan time update bertanggung jawab atas renana yang aan datang dari sebuah eadaan yang searang dan ovarian esalahan mengestimasi untu memperoleh estimasi a priori untu langah selanjutnya. Persamaan persamaan measurement update digunaan sebagai umpan bali, menyatuan sebuah penguuran baru e dalam estimasi a priori untu memperoleh sebuah estimasi a posteriori yang telah diperbaharui. 7

5 Gambar 2.4 di bawah ini menjelasan proses Kalman Filter Masuan estimasi prior ovarians esalahannya P dan K Menghitung gain Kalman T P H T 1 H P H R Proye di depan : 1 T P 1 P Q Estimasi terbaru dengan penguuran K z z H Menghitung ovarians esalahan untu estimasi terbaru P H P I K Gambar 2.4 Proses Kalman Filter Persamaan persamaan time update disebut sebagai persamaan persamaan predisi (preditor), sedangan persamaan persamaan measurement update disebut persamaan persamaan oresi (orretor). Di bawah ini adalah tabel persamaan time update dari Kalman Filter. Tabel 2.1 Persamaan Persamaan Time Update Kalman Filter Estimasi a priori Kovarian esalahan estimasi a priori P A 1 AP 1 Bu A T 1 Q 8

6 Keterangan : : estimasi a priori saat t, x ˆ 1 : estimasi a posteriori saat t -1, u 1 : vetor masuan saat t -1, A B : matris eadaan, : matris yang menghubungan input ontrol e sebuah eadaan, A T : matris transpose A, P : ovarian esalahan estimasi a priori saat t, P 1 Q : ovarian esalahan estimasi a posteriori saat t -1, : ovarian derau proses. Di bawah ini adalah tabel dari persamaan measurement update dari Kalman Filter. Tabel 2.2 Persamaan Persamaan Measurement Update Kalman Filter Gain Kalman Estimasi a posteriori Kovarian esalahan estimasi a posteriori K P H P T T HP H R 1 K z H I K H P Keterangan : K P : gain Kalman, : ovarian esalahan estimasi a priori saat t, R : ovarian derau penguuran, : estimasi a posteriori saat t, : estimasi a priori saat t, z : vetor penguuran saat t, H : matris yang memberian hubungan ideal antara penguuran dan vetor eadaan saat watu t, H T : matris transpose H, P : ovarian esalahan estimasi a posteriori saat t, I : matris identitas. 9

7 2.2.2 Kalman Filter Sebagai Estimator Kalman Filter dapat berfungsi sebagai estimator. Masudnya adalah Kalman Filter mampu melauan estimasi ruang eadaan suatu plant yang dipengaruhi oleh disturbansi. Kalman Filter Estimator dapat dinyataan sebagai : n 1n A n n 1 Bun Ly n C n n 1 Dun v yˆ n n C I MC x ˆ n n I MC.ˆ x n n 1 I CM D CM un MD M yv n (2.5) (2.6) n n n n 1 M y n C n n 1 Dun v (2.7) Keterangan : n n : estimasi eadaan saat t = n, ˆ n n : estimasi eluaran saat t = n, y v n 1n : estimasi eadaan saat t = n+1 dari t = n, x ˆ n n 1 u n y v n L M : estimasi eadaan saat t = n dari t = n-1, : masuan, : eluaran, : gain penguuran, : gain inovasi. Matris gain L dan M diturunan dari penyelesaian persamaan Riati disrit. 10

8 Di bawah ini merupaan diagram blo Kalman Filter Estimator y υ KALMAN FILTER ŷ PLANT y w υ Gambar 2.5 Diagram Blo Kalman Filter Estimator Keterangan : : masuan (input), w : vetor derau proses, υ : vetor derau sensor atau penguuran, r : eluaran (output), y υ ŷ : respon teruur (jumlah antara eluaran dengan vetor derau sensor), : estimasi ruang eadaan, : estimasi eluaran. Gambar 2.5 di atas menjelasan tentang proses estimasi ruang eadaan dari Kalman Filter. Sebelum masu e plant, sinyal masuan () yang berupa sinyal ota aan mendapatan gangguan berupa derau proses (w). Derau proses bersifat aa. Setelah melauan proses, plant aan menghasilan eluaran (r). Keluaran dari plant aan dibandingan dengan setpoint agar diperoleh hasil yang sesuai dengan setpoint yang diinginan. Saat proses penguuran terjadi gangguan berupa derau sensor (υ) yang bersifat aa. Derau tersebut berampur dengan eluaran plant dan menghasilan respon teruur (y υ ). Respon teruur bersama dengan sinyal masuan aan dijadian masuan bagi Kalman Filter. 11

9 Pada Kalman Filter terjadi proses predisi dan oresi. Kalman Filter aan mempredisi ruang eadaan yang diberian oleh plant dan aan mengoresi apaah eluaran sistem telah sama seperti masuan yang diinginan sesuai dengan itersi yang telah ditentuan. Keluaran dari Kalman Filter berupa estimasi ruang eadaan dan estimasi eluaran ŷ. Hasil estimasi ruang eadaan aan dijadian penalaan untu ontroler. Untu menari besarnya estimasi ruang eadaan, plant aan diparalelan dengan Kalman Filter, sehingga Gambar 2.5 dapat disederhanaan. Gambar 2.6 merupaan penyederhanaan dari Gambar 2.5. w υ PLANT y y υ u y υ KALMAN FILTER Gambar 2.6 Hubungan Paralel Antara Plant Dengan Kalman Filter Pada gambar 2.6 terlihat bahwa jumlah masuan ada empat yaitu derau proses (w), derau sensor (υ), sinyal input (u) dan respon teruur (y υ ), sedangan jumlah eluaran ada tiga yaitu eluaran sistem (y), respon teruur (y υ ) dan estimasi ruang eadaan. Nilai respon teruur (y υ ) bisa dieliminasi. Hal ini diarenaan selain menjadi eluaran plant, respon teruur juga berfungsi sebagai masuan Kalman Filter. Sehingga Gambar 2.6 dapat disederhanaan seperti Gambar 2.7 di bawah ini : 12

10 w υ PLANT y u KALMAN FILTER Gambar 2.7 Penyederhanaan Gambar 2.6 Jia terdapat estimasi ruang eadaan nilainya aan dimutlaan sehingga bernilai positif. yang bernilai negatif, maa 2.3. Kontroler [6] Suatu ontroler harus mendetesi sinyal esalahan penggera dan menghilangan sinyal tersebut untu menapai eadaan mantap. Kontroler ontroler yang biasa digunaan untu pengontrolan otomatis adalah ontroler proportional (P), ontroler proportional integral (PI) dan ontroler proportional integral derivatif (PID) Proportional (P) Untu ontroler dengan asi ontrol proportional, hubungan antara eluaran ontroler mt dan sinyal esalahan penggera et adalah m t m K rt t m t m K e t (2.8) 13

11 dimana : e t r t t m K : esalahan (error), : set point, : variabel proses yang aan diontrol, : nilai bias ontrol, Nilai bias adalah nilai eluaran yang tetap pada ontrol dalam eadaan error bernilai nol, : gain ontrol. Bentu transformasi Laplae ontrol proportional : M E s s K Bentu diagram blo dari ontroler proportional ditunjuan pada gambar 2.8 di bawah ini. Gambar 2.8 Diagram Blo Kontroler Proportional Pada ontroler proportional hanya ada satu parameter yang ditala yaitu gain ontrol ( K ). Kelemahan ontrol proportional adalah pada ontrol proportional terjadi offset pada eadaan steady state. Yang dimasud offset disini adalah bila nilai esalahan et tida bisa dihilangan oleh ontrol pada eadaan steady state. 14

12 e Proportional Integral (PI) t rt t Pada ontrol proportional, untu menghilangan offset yaitu esalahan tida dapat menapai nilai nol pada saat steady state perlu ditambahan omponen pada ontrol tersebut yaitu integral time atau asi reset time, sehingga ontrol proportional menjadi Propotional Integral (PI). Pada ontrol PI ini ada dua parameter yang perlu ditala yaitu K dan T i. Asi ontrol dari ontroler Proportional Integral didefinisian dengan persamaan beriut : m K et et m t K T i t 0 dt (2.9) dimana m e t K = nilai bias, = error, = gain ontrol, T i = integral time. Bentu transformasi Laplae ontrol Proportional Integral : M E s s K 1 1 Ti. s (2.10) Gambar 2.9(a) menunjuan diagram blo ontroler Proportional Integral. Jia sinyal esalahan penggera et seperti ditunjuan pada Gambar 2.9(b), maa eluaran ontroler yang ditunjuan pada Gambar 2.9 () Proportional Integral Derivative (PID) adalah fungsi tangga satuan (unit step), mt menjadi seperti Komponen ontrol Proportional Integral (PI) ditambahan dengan asi ontrol derivative aan menjadi ontrol Proportional Integral Derivative (PID). Derivative berfungsi untu mengantisipasi esalahan yang mendahului proses. Pada ontrol PID ini ada tiga parameter yang perlu ditala yaitu K, T i, dan T d. 15

13 et (a) Unit step 1 0 t mt (b) 2Kp Asi ontrol PI (Hanya proportional) Kp 0 T i t () Gambar 2.9 (a) Diagram Blo Kontroler Proportional Integral (b) Diagram Masuan Tangga Satuan (Unit Step) () Keluaran Kontroler Proportional Integral. 16

14 Persamaan ontroler dengan asi gabungan PID ini diberian oleh : m t m K e t K T d de dt t K T i t 0 e t dt (2.11) dalam transformasi Laplae M E s s K 1 T d 1. s T. s i (2.12) dimana, m e t K : nilai bias, : esalahan (error), : gain ontrol, T d T i : derivative time, : integral time. Blo ontroler Proportional Integral Derivative ditunjuan pada Gambar 2.10(a). Jia et adalah fungsi ramp satuan (unit ramp) seperti yang ditunjuan pada Gambar 2.10(b), maa eluaran ontroler 2.10(). mt Penalaan Parameter pada PID menjadi seperti yang ditunjuan pada Gambar Penalaan parameter-parameter bertujuan untu mendapatan suatu sistem endali yang bai. Penalaan ini hanya dilauan untu pengendali P, PI, dan PID. Parameter-parameter tersebut adalah K, T i, dan T d. Parameter-parameter tersebut di dapatan dengan metode Routh s test dan dengan metode quarter deay ratio response. 17

15 (a) (b) () Gambar 2.10 (a) Diagram Blo Kontroler Proportional Integral Derivative (b) Diagram Masuan Ramp Satuan (Unit Ramp) () Keluaran Kontroler Proportional Integral Derivative 18

16 Metode Routh s Test Dengan metode Routh s test didapatan K C atau ultimate gain, yaitu gain masimum pada umpan bali lup endali yang mengaibatan sistem endali PID tida stabil. Routh s test merupaan prosedur untu menentuan ondisi stabilitas sistem persamaan polinominal yang mempunyai onstanta positif. Jia estabilan dari sistem yang dianalisa tida memerluan aar uadrat persamaan dari sistem dan mempunyai bagian yang positif, sehingga Routh s test merupaan ara yang tepat untu menentuan estabilan. Metode Routh s test sesuai untu menyelesaian masalah dalam menentuan batas-batas sebuah parameter lup, terutama ontrol gain yang stabil. Untu melasanaan metode Routh s test ditentuan persamaan arateristi lup, yaitu : n n1 H ( s) GC ( s) GV ( s) ans an s... a s a 0 (2.13) dimana a n, a n-1,., a 1, a 0 merupaan oefisien polinominal, menyataan ebanyaan aar positif bagian real. Untu melauan test pertama, harus dipersiapan array sebagai beriut : Baris 1 a n a n-2 a n-4. a 1 0 Baris 2 a n-1 a n-3 a n-5. a 0 0 Baris 3 b 1 b 2 b Baris Baris n d 1 d Baris n+1 e

17 Dimana baris e tiga sampai baris n +1 dihitung dengan : a a a a n1 n2 n n3 b 1 (2.14) an 1 b 2 1 a n1 b1a a n3 n4 a b a a n1 a 1 n n1 b n5 2 2 b1a dan seterusnya. Proses diterusan sampai pada suatu baris baru semuanya bernilai nol. n5 a b 1 n1 b Metode Substitusi Langsung Dari persamaan (2.13) yang merupaan persamaan arateristi di substitusian s = u i, dan ontrol proportional saja. Hasil substitusi aan diperoleh ultimate gain (K C ). Dari u aan diperoleh perioda ultimate yaitu : T U 2 (2.15) u Metode Quarter Deay Ratio Response Metode ini dienal sebagai metode lup tertutup ( losed loop ) atau on line tuning, diilhami oleh Zieger dan Nihols tahun Penalaan parameter PID dilauan dengan menari ultimate gain ( K CU ) dan periodanya ( T U ). Untu menala parameter PID dengan metode ini dilauan langah langah sebagai beriut : 1. menentuan arateristi atau jenis lup endali. 2. melauan pendeatan dari parameter endali yang ditala yang menghasilan respons untu jenis lup endali pada langah pertama. Pada metode ini arateristi dari proses diwailan dengan adanya ultimate gain dari endali proportional dan periode ultimate dari osilasi. 20

18 Prosedur untu metode quarter deay ratio adalah : 1. set watu endali integral dan derivative pada posisi off, sehingga pengendali hanya proportional. Pada beberapa metode integral time tida dimatian, tetapi diatur pada nilai masimum. 2. naian nilai gain proportional (atau urangi nilai proportional band) sehingga (t) berosilasi dengan amplitudo onstan, atat gain yang menghasilan osilasi dengan amplitudo onstan sebagai K CU ( Ultimate gain ). 3. dari hasil reorder variabel yang diendalian diuur periode osilasi dan dinyataan sebagai T U ( periode ultimate ). K u Gambar 2.11 Respon Lup Kendali dengan Ultimate Gain K CU dan Periode Ultimate T U t Ultimate gain dan periode ultimate dapat ditentuan dengan menggunaan metode Routh s test dan metode subtitusi langsung. Setelah ultimate gain dan periode ultimate didapat emudian penalaan dilanjutan dengan formula pada tabel 2.3. Quarter deay ratio pada lup tertutup yaitu perbandingan dari dua osilasi, yaitu amplitudo osilasi edua sebesar seperempat dari amplitudo osilasi pertama Gambar 2.12 Respon Quarter Deay Ratio Terhadap Disturbane Input 21

19 Gambar 2.13 Respon Quarter Deay Ratio terhadap Setpoint Gambar 2.12 mengilustrasian respon quarter deay ratio terhadap disturbane dan setpoint, parameter endali diatur sehingga terjadi osilasi pada Gambar Keuntungan quarter deay ratio dapat menegah deviasi yang besar dari setpoint tanpa terlalu osilasi. Tabel 2.3 Quarter Deay Tuning Formula Tipe endali Proportional Gain, Integral Time, Derivative Time, K C T i T d Proportional P K u /2 - - Proportional integral PI K u /2,2 T u /1,2 - Proportional integral derivative PID K u /1,7 T u /2 T u /8 22